calcuclo integral pasito a paso i

En matemática, observamos diversos símbolos, una de ellas es una variante de la letra s larga, es el símbolo de la integral, f . Su creador Leibniz, lo tomó de la letra inicial de la palabra latina summa, escrito rumma. En el alfabeto fonético internacional la s alargada, es llamada esh, f. Además, éste símbolo se le conoce como la antiderivada.

Una función F(x) se denomina antiderivada de otra función f(x) continua sobre un intervalo conocido, si se cumple la siguiente igualdad:

Sea la función F(x) = x 4 una antiderivada de la función f(x) = 4x3 , porque, si diferenciamos

F(x), es decir, F' (x) = 4x3 , será igual que la función original.

Además, la función T(x) = x 4 + 9 , es también una antiderivada de f(x) = 4x3 , porque, si

diferenciamos T(x), es decir, r' (x) = 4x3 +O, será igual que la función original. En general se cumple lo siguiente:

La suma de F(x) +e, se conoce como antiderivada general de f(x). Veamos la TABLA 2.1:

38

TABlA 2.1: Ejemplos ilustrativos de funciones originales

R(x) = x 312

Grupo Editorial Megabyte

r(x) = ~x112 2

Unidad II - Integrales Indefinidas

Ampliando: Si f(x) = 4x3 las antiderivadas generales son F1 (x) = x 4 -7, F2 (x) = x 4 + 2rr, y F3 (x) = x4 + 120e-rr etc. Obsérvese, los números -7, 2n y 120e-n , son diferentes, y no hacen variar las funciones F1 (x), F2 (x) y F3 (x), por ello se consideran constantes, y se denotan

por la letra e , de manera usual. Finalmente, la antú:Wrívaáa genera{ de la función f(x) está dada por: F(x) +e (la letra

e es una constante, e E IRl.). Por lo tanto, es importante mencionar que al calcular la antiderivada no se obtiene una única función, sino toda una familia de funciones, que desde el punto de vista geométrico, son curvas paralelas a F(x), veamos la Figura 2.1.

fiGURA 2.1: Ejemplos de antiderivadas generales

2.1.3.A. Definición: Sea M(x) la antiderivada general de f(x), si se cumple M(x) = F(x) + e, tal que F'(x) =

f(x), entonces a M(x) se le conoce como la integral indefinida de f(x). Notación de la integral indefinida de f(x), cuando x pertenece a un intervalo conocido:

DEBES SABER QUE: Si diferenciamos la doble igualdad en la definición de la integral indefinida, tenemos: M'(x) = F'(x) = f(x), a ésta relación se le conoce como yro_píeáaá funáamenta{ de {as antíderívadás, por tanto, se cumple la siguiente relación:

d[F(x)] = f(x)dx

Veamos los siguientes ejemplos ilustrativos en la TABLA 2.2:

TABlA 2.2: Ejemplos ilustrativos de la integral indefinida

Grupo Editorial Megabyte 39

Gabriel Loa - Cálculo Integral

La integral es indefinida, porque contiene una constante e, que puede tomar cualquier valor

numérico.

2.1.3.8. Notación: Veamos el siguiente esquema, que representa la notación de la integral indefinida.

FIGURA 2.2: Notación de la integral indefinida

TABLA 2.3: Definición de los elementos de la integral indefinida

diferencial de x.

En conclusión: El procedimiento para calcular la antiderivada se denomina integración indefinida y se denota por el símbolo f, denominado operador de integración o antiderivación, de tal forma

que la siguiente expresión: f f(x)dx, se denomina integral indefinida de f(x). Y finalmente,

la integral indefinida se denota por: M(x) = f f(x)dx = F(x) +c.

Existe una interpretación geométrica simple para la propiedad fundamental de las

antiderivadas. Si F y G son derivadas de f , es correcto que: c'(x) = F'(x) = f(x), por lo

tanto, se cumple: 3:.._ f f(x)dx = f(x). dx

Significa, que la pendiente F' (x) de la recta tangente a y= F(x) en el punto (x, F(x)) es la

misma pendiente c'(x) de la recta tangente a y=G(x) en el punto (x,G(x)), lo cual

implica que las rectas son paralelas, como se muestra en la FIGURA 2.3. En conclusión, la curva y-= G(x) es paralela a la curva y= F(x), válido para todo x, de manera que se

cumple lo siguiente:

40


FIGURA 2.3: Interpretación geométrica de las antiderivadas

A continuación, se muestra las propiedades más importantes de la integral indefinida.

TABLA 2.4: Propiedades de la integral indefinida

Ejemplos ilustrativos con cada una de las propiedades:

La derivada de la integral indefinida es igual al integrando (está resaltado en negrita).

La antiderivada de f' (x) es f(x), siempre y cuando f(x) sea una función derivable en un intervalo conocido.

integral indefinida se interpreta como una operación inversa a la diferenciación (es equivalente a I), es decir:

d[f(x)] = f' (x)dx

La diferencial de la integral indefinida es igual a la función integrando por la diferencial de x.

Sea f(x) = 4x3; determine:~ [f f(x)dx] , aplicamos la propiedad correspondiente:

dx

:x [f f(x)dx] = [f 4x3 dx]' = [x4 +e]' = 4x3•

Sea f'(x) = 5x4 y f(x) = x 5 , determine: f f'(x)dx, tenemos que, f 5x4 dx = x 5



Sea f(x) = x2 , determine: J d(f(x)) , entonces tenemos J d(x2) = x2 + e

Sea f(x) = 7x8 , halle: d[f f(x)dx] , entonces tenemos d[f 7x8 dx] = [f 7x8 dx]' dx = 7x8 dx

Sea f(x), una función derivable, k y e son constantes de la integración indefinida; se

puede observar en la columna izquierda la fórmula e inmediatamente el ejemplo ilustrativo al lado derecho, para su mejor comprensión; veamos la TABLA 2.5:

TABlA 2.5: Fórmulas básicas de integración

1) J kdx =.kx +e

3) J kf(x)dx = kff(:í;)dx

42

J Sdy =By+ e

f dx --=lnlx-21 +e x-2

f 3x

3xdx =-+e ln3

J dx 1 ¡x- 4\ x 2 - 42 = 2(4) In x + 4 +e

f dx 1 ¡x + 5\ 52 - x 2 = 2(5) In x- 5 +e

J ¡:::::.==d=x== = sen-1 (-x_-_4) +e )16-(x-4)2 4



Las fórmulas o reglas de integración tienen nombres conocidos como: La fórmula 1, es la regla de la constante, la número 2, es la regla de la potencia, la número 3, es la regla del factor constante por una función, la número 4, es la regla exponencial, la número 5, es la regla logarítmica, y la número 6, es la regla de la suma y diferencia, entre otras.

DEBES SABER QUE: Amigo lector, si Ud. efectúa la diferenciación del lado derecho, el resultado debe ser igual al

integrando. Veamos la fórmula 1, de la TABLA 2.5: !!.. (kx +e) =!!.. (kx) +!!..(e) =k+ O= dx dx dx

k , de esta manera, puede verificar su procedimiento, para todas integrales, que realice.

Debo mencionar que uno de los pasos más importantes en la integración es reescribir o darle la forma adecuada al integrando, en una forma que corresponda con las fórmulas básicas de integración, siguiendo el patrón de la TABLA 2.6:

TABlA 2.6: Proceso para reescribir el integrando

TABLA 2.7: Ejemplos ilustrativos de cómo reescribir el integrando

(hl/2) 2,4 1/2 +e 4,8h1/ 2 +e

1 2 5 -4 zP -¡P +e p2 (p-4) -+5- +e 2 -4

3 21 -z7/3 --z4/3 +e 7 4

Demostrar la regla de potencia:

Para comprobar la regla de la potencia, es suficiente demostrar que la derivada de la

función,

_:!___ (xn+l) = (-1-) [(n + 1)xn] = xn dx n +1 n+ 1



En consecuencia, dado que la derivada de (xn+l) es xn, en sentido contrario, la antiderivada n+1

de xn es (xn+l) . Por supuesto que la antiderivada general se obtiene sumando la constante n+1

de integración e.

Ejemplos ilustrativos:

f 1 J r- 2+1 r- 1 1

-dr = r- 2 dr =---+e=-+ e=--+ e r 2 -2+1 -1 r

J 1 f t-1/2 +1 -dt = t- 112 dt = +e= 2Vt + e Vt (-~+1)

f J f z0+1

dz = 1dz = z 0 dz = 0

+ 1

+e= z + e

Es importante, tomar en cuenta que la variable de integración comúnmente es x , pero

puede ser otra como Ud. puede observar (r, t, z) etc.

Demostrar la regla de la constante por una función: f kf(x)dx =k f f(x)dx , k es una constante. Para comprobar la regla de la constante, es suficiente demostrar que la derivada

de la derecha, k f f(x)dx es kf(x), de la siguiente manera:

:x [k J f(x)dx] =k :x [f f(x)dx] = kf(x)

Ejemplos ilustrativos, integración término a término:

dr = ---+ 7 + r dr J (100- Sr+ 7r

2 + r

3) J (100 5 )

r 2 r 2 r

=100fr-2dr -SJ.!dr+ 7frdr +frdr r

(r-2+1) r1+1

= 100 -- - Slnlrl + 7r +-+e -1 2

100 Slnlrl + 7r +::.:_+e r 2

DEBES SABER QUE: Amigo lector, las variables no pueden salir del signo integral, es decir; f xe-xdx * x f e-xdx.

La integral de un producto no es el producto de las integrales, así:

J f(x).g(x)dx =1= J f(x)dx. J g(x)dx

44 Grupo Editorial Megabyte

La integración con condiciones iniciales tiene como objetivo determinar la constante de integración e, empleando para ello el dato inicial del problema denominado condición inicial CI, 0 también valor en la frontera, de esta manera se conocerá de manera particular la única función y= f(x) = y(x).

Es decir, cualquier función de la forma f(x) = x 2 + e, tiene su derivada igual al valor 2x. Note, que debido a la constante de integración e, no se conoce un f(x) único. Sin embargo, si ¡ tiene un valor particular de x, es posible determinar el valor de e y así conocer

específicamente f(x).

Ejemplo ilustrativo: Si se conoce que, f(2) = 3, reemplazamos en la ecuación f(x) = x 2 +e, f(2) = 22 +e , 3 = 4 +e, despejamos la constante, e = -1 , por lo tanto, obtenemos la funcíón yartíeu{ar u orígína[: f(x) = x 2

- 1.

Es decir, ahora ya se conoce la función particular f(x) para la cual f' (x) = 2x y !(2) = 3. La

condición f(2) = 3, que da un valor para la función ¡, y un valor específico de x, se

denomina condición inicial.

Ejemplo 1: Determine f(x), si f'(x) = (x 2 + 1)(4x- 3), con la condición inicial que: !(1) =S.

Pasos: 1. Desarrollando los factores (que está en paréntesis), usando la propiedad distributiva, obtenemos f'(x) = 4x3

- 3x2 + 4x- 3. Además, se sabe que f f'(x)dx = f(x), siendo la

antiderivada de f' (x) la función f(x), la cual se obtiene de la siguiente manera:

f(x) = J (4x3- 3x2 + 4x- 3)dx = J 4x3 dx- J 3x2 dx + J 4xdx- J 3dx

2. Para calcular la constante e tenemos el valor de frontera que indica que f(1) = S,

reemplazando como f(1) = (1)4 - (1) 3 + 2(1) 2 - 3(1) +e ---7 S= -1 +e :. e= 6.

3. Finalmente, e = 6, y la funeíón yartíeu{ar es: f(x) = x4 - x 3 + 2x2 - 3x + 6.

Ejemplo 2:

Determine f(x), si dy = 3x- 4, con la condición inicial (CI), que: f( -1) = 13

~ 2

Pasos: 1. Recordemos que: f f' (x)dx = f(x) + e

J f' (x)dx = J (~~) dx = J (3x- 4) dx = J 3xdx- J 4dx = ~x2 - 4x +e



2. Entonces, podemos observar que f(x) = ~x2 - 4x +e, por la condición inicial o de 2

frontera CI, [x = -1 y f( -1) = ~] , reemplacemos en f(x): f( -1) = % ( -1)2 - 4( -1) +e =

~: obteniendo, e = 1.

3. Finalmente, la antiderivada o función particular u original de 3x- 4 , está dado por la

función, f(x) = ~x2 - 4x + 1. 2

Ejemplo 3: Una compañía actualmente produce 150 unidades por semana de un producto. Por experiencia, saben que el costo de producir la unidad x, en una semana (esto es, el costo

marginal) está dado por: C'(x) = 25- 0,02x. Determine el costo extra (es decir, el incremento), por semana que deberá considerarse al elevar la producción de 150 a 200 unidades, es decir, nos piden: [C(200)- C(150)].

Pasos: 1. El costo marginal C'(x), es la derivada de la función de costo C(x). En consecuencia,

calculemos primero, la función de costo, el cual se obtiene integrando la función de costo marginal.

C(x) = J C'(x)dx = J (25- 0,02x)dx

C(x) = 25x- 0,02 (x2

2

) +e

C(x) = 25x- 0,01x2 +e

2. En este ejemplo no es necesario obtener e, tampoco tenemos la información para

calcularlo. Nos piden hallar el incremento en el costo [C(200)- C(150)], que resulta de

elevar la producción x, de 150 a 200.

3. Calculemos la función de costo para 200 unidades y para 150 unidades, luego lo restamos, de esa manera la constante e se elimina, así:

C(200) = 25(200)- 0,01(200) 2 +e ~ C(200) = 4 600 +e

C(150) = 25(150)- 0,01(150) 2 +e ~ C(150) = 3 525 +e

C(200)- C(150) = (4 600 +e)- (3 525 +e)

C(200)- C(150) = 1 075

4. Finalmente, el incremento en el costo semanal sería $1 075. Nótese que la constante desconocida e, no aparece en la respuesta final.

Ejemplo 4: El ingreso marginal de la empresa TESIL S.A, fabricante de casacas de cuero, de la marca PERÚ, que exporta a Europa y Canadá, está dado por la siguiente ecuación:

R' (x) = 15 - 0,01x

a.- Determine la función de ingreso R(x). b.- Encuentre la función de demanda (precio p), para el producto bandera de la empresa TESIL S.A.

46 Grupo Editorial Mega byte


Pasos: 1. La función de ingreso R(x), es la integral de la función de ingreso marginal R'(x). Así

que:

R(x) = J R'(x)dx = J (15- 0,01x)dx = 15x- 0,01 (~2

) +e

R(x) = 15x- 0,005x2 +e

2. A fin de determinar e, tomemos en cuenta que si no hay ingreso, entonces el ingreso debe ser cero, es decir, R(x) = O, y esto se establece cuando no se venden unidades (x =O). Ahora, reemplazamos en la ecuación de ingreso R(x) hacemos x = O---> R(O) =O,

obteniendo: R(x) = 15x- 0,005x2 +e---> O= 15(0)- 0,005(0) 2 +e , entonces, e= O

Por consiguiente, la función de ingreso R(x) está dado por: R(x) = 15x- 0,005x2.

3. Si cada artículo que la empresa produce se vende a un precio p, entonces el ingreso R,

obtenido por la venta de x artículos está dado por R(x) = px. Recuerde amigo lector, que el ingreso total (R), está dado por el precio de venta, en este caso p, multiplicado por la

cantidad del artículo producido x.

4. Entonces, la estrategia es igualar las dos ecuaciones, de la siguiente manera: R = px = 15x- 0,005x2

, despejando p , para obtener la relación de demanda para el producto de la empresa: p = 15- 0,005x.

5. Finalmente, la función de demanda para el producto bandera de la empresa TESIL S.A. está dado por la ecuación; p = 15- 0,005x.

Ejemplo 5: La Empresa Agroindustrial Dulcito S.A.A. está abocada a la siembra y procesamiento de caña de azúcar y comercialización de productos derivados de la caña; como el azúcar, alcohol, melaza y bagazo. Su ingreso marginal está dado por la siguiente ecuación:

R' (x) = 28 - 0,02x Determine la función de ingreso.

Pasos: 1. De forma similar al ejemplo anterior, la función de ingreso R(x), es la integral de la función de ingreso marginal R' (x). Así que:

R(x) = J R'(x)dx = J (28- 0,02x)dx = 28x- 0,02 (~2

) +e

R(x) = 28x- 0,01x2 +e

2. Para determinar e, consideremos que no hay ingreso, es decir, el ingreso debe ser cero, R(x) =O.

3. Reemplazamos en la ecuación de ingreso R(x), haciendo x = O ...... R =O, obteniendo:

R(x) = 28x- O,Olx2 +e---> O= 28(0)- 0,01(0) 2 +e , entonces, e= O

4. Finalmente, la función de ingreso, R(x) es: R(x) = 28x- O,Olx2 •


Usando las fórmulas básicas de integración, encuentre las integrales indefinidas:

En los ejercicios 11 al 14, determine la función f(x) si la recta tangente tiene las siguientes pendientes (recuerde que la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto determinado).

11.- 4x2

12.- 2x3

13.- 0,75x: ................. .

14.- e8x : ................. .

15. -Amigo lector complete la propiedad de la definición de la integral indefinida:



16. -Para desarrollar los ejercicios Ud. debe conocer la estructura de una integral, se le pide

completar los elementos:

. ; ·~··· ~1 17. -Resuelve el ejercicio:

J xP dx = . . . . . . · . . . · · · · p * -1

18. -Aplique la propiedad correspondiente:

19. -Complete el espacio en blanco en la siguiente expresión matemática:

J x 10dx = ~ x 11 +e []

20. -Mencione si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):

-Si g(x) = 20x 3 , entonces algunas de sus antiderivadas son:

G(x) = Sx4 + 5 ; H(x) = Sx4 - 41, ( )

- Sea la integral indefinida:

J d (H(x)) = H(x) ; (

- La integral de un producto, es el producto de las integrales, así:

J f(x). g(x)dx = J f(x)dx. J g(x)dx ; ( )

21.- Complete las siguientes fórmulas:

A. Si f(x) = 9x11 ; determine:

:JJ f(x)dx] =

B. Si f(x) = x 8; determine:

J d(f(x)) =

C. Si f(x) = f¡x 6 ; determine:

d [f f(x)dx] =

D. Si h(x) = xe-sx; determine: d [f h(x)dx] =


Aplicación en Matemática

Problema 0:1.

familia de curvas: Se tiene una familia de curvas, y en cualquier punto (x ,y) de dichas

curvas, pasa una recta tangente que tiene una pendiente igual a 4x- S. Determine la

ecuación de las curvas.

Primer paso: Tenemos la pendiente de la recta tangente denotado como mtan, en cualquier punto (x ,y), este dato es la derivada de la función y= f(x), así:

dy mtan = dx = 4x - S

Segundo paso: Separamos las variables, es decir, despejamos dy para escribir la ecuación con diferenciales

(darle la forma), y aplicar la integral, en cada miembro (se antiderivan):

dy = (4x- S)dx

J dy= Jc4x-S)dx

Aplicamos las reglas básicas de integración que aparecen en la TABlA 2.S, y obtenemos:

y+ e1 = 4 ( ~2

) - Sx + e2

y = 4 ( x2

2

) - Sx + c2 - c1

DEBES SABER QUE: Amigo lector, esta diferencia de constantes arbitrarias e2 - e1 se debe reemplazar por una

única constante arbitraria e , no altera el resultado:

y = 4 ( ~2

) - Sx + e2 - e1

y = 4 ( ~2

) - Sx + e

Tercer paso: Obtenemos la solución completa de la derivada:



solución:

dy - = 4x - S 4 y = 2x2 - Sx + e dx

Finalmente, la ecuación de las familias de curvas está dado por: y= 2x2- Sx +c.

Aplicación en Administración

Problema 02

Producción de lápices: La gerencia comercial de una compañía dedicada a la fabricación de lápices exclusivo para niños, presenta su informe mensual de la venta de este producto,

en la cual la función de costo marginal e' está dado por:

, 1 e (x) = zox-z + 1

donde e(x) dólares, es el costo total de producción de x unidades de lápices. Determine la

función de costo total que permita a la gerencia general tomar la mejor decisión en bien de la compañía.

Primer paso:

Se conoce la derivada del costo marginal, e' (x) y tenemos que hallar la función de Costo

total C(x), para ello integramos en ambos miembros de la igualdad, de la siguiente manera:

e' = zox-~ + 1 4 J e' (x) = J ( zox-~ + 1) dx

Segundo paso: Aplicamos las reglas básicas de integración, y obtenemos:

Solución:

1 x-;;:

e(x) = 20 1 + x +e 2

Finalmente, el costo total para la toma de decisiones será:

1

e(x) = 40xz + x +e


Problema 03

Del problema anterior, si el costo de producción de 3 600 unidades es $10 500, determine: a) La constante e. b) La función costo total. e) El costo de producción de 10 000 lápices.

Gmpo Editorial Mega byte 51

Primer paso: Conocido la función de costo total, evaluamos la función, para 3 600 unidades (x = 3 600), cuando el costo es de $10 500, [C(3 600) = 10 500], así:

1

C(3 600) = 40(3 600)2 + 3 600 +e ---? 10 500 = 6 000 +e

:. e= $4 500

Segundo paso: Ahora reescribiremos la nueva función de costo total, conociendo la constante, e = $4 soo:

C(x) = 40xi + x + 4 500

Tercer paso: Ahora, podemos evaluar la función para 10 000 lápices, y de esta manera aprobar o no, el proyecto en el corto plazo.

C(x) = 40xi + x + 4 500

1

C(10 000) = 40(10 000)2 + 10 000 + 4 500

C(10 000) = $18 500 Solución: Finalmente, la gerencia comercial, luego de realizar un análisis serio, estima que el costo total de producir 10 000 lápices asciende a 18 500 dólares, por lo tanto, el proyecto es viable para los próximos meses, comercializándose en diversos mercados del mundo, obteniendo una ganancia por volumen de producción.

Aplicación en física

Problema 04

Desaceleración de un vehículo: Un vehículo motorizado ViaJa en línea recta, en el instante que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar atropellar un perrito, que cruzaba en ese momento. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de

22 pi~s (pies por segundo, por segundo), y la constante de integración de la velocidad es S

66 pies, determine: S

a) La ecuación de la velocidad. b) La ecuación de la distancia, antes de detenerse por completo.

Primer paso: Recordemos, cuando un objeto se desplaza en línea recta, su aceleración es la derivada de

la velocidad con respecto al tiempo, y está dada por: a = dv dt



segundo paso: De acuerdo a la información el vehículo motorizado, desacelera a 22 P;;s, por lo tanto, se

considera negativo, así:

Tercer paso:

dv - = a(t) = -22 dt

Despejamos la diferencial de velocidad dv, integramos en ambos miembros de la igualdad, y reemplazamos el valor de la constante de integración, e= 66,

Entonces tenemos:

Cuarto paso:

dv = -22dt

J dv = J -22dt

v(t) = -22t +e

v(t) = -22t + 66

Cuando un objeto se desplaza en línea recta, su velocidad, es la derivada de la distancia con respecto al tiempo, y está dada por:

Quinto paso:

ds V=-= -22t + 66

dt

Despejamos la diferencial de la distancia, ds, integramos en ambos miembros de la

igualdad, tal como se muestra:

J ds = J (-22t + 66)dt

S = -11t2 + 66t + k

Recuerde, k, es constante de integración de la distancia,

Solución: Finalmente, estimado lector llegamos al final de este problema, las respuestas son:

a) v(t) = -22t + 66 y b) s = -11t2 + 66t +k

Aplicación en Biología

Problema 05

Bacterias: Científicos de una universidad en los Estados Unidos, dedicados a la investigación de microorganismos unicelulares, determinaron que la población P(t) de una

colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene una razón de cambio

del número de bacterias por tiempo de acuerdo a la siguiente fórmula:

dP - = 200e0,1t + 150e-o,o3 t dt

Grupo Editorial Mega byte 53


Si la constante de integración de la población de bacterias es de 353 000, determine:

a) La ecuación de la población en el tiempo t. b) Si la población era de 350 000 bacterias cuando se inició la observación, ¿cuál será la

población 5 horas después?

Primer paso: Despejamos la diferencial de población, dP, integramos en ambos miembros de la igualdad:

dP = (200e 0·1t + 1Soe-0•03 t)dt

J dP = J (200e 0•1t + 1Soe-0

•03 t)dt

Segundo paso: Aplicamos las reglas básicas de integración y obtenemos:

P(t) = 2 000e 0•1t- S 000e-0•03 t +e

Tercer paso: Ahora reescribiremos la nueva función de la población de bacterias, conociendo la constante de integración, e= $3S3 000:

P(t) = 2 000e 0·1t - S 000e-0•03 t + 3S3 000

Cuarto paso: Al inicio de la observación tenían 350 000 bacterias en t = O, pero, luego de 5 horas serán (t =S):

P(S) = 2 000e 0•1 (5) - S OOoe-0•03 ( 5) + 3S3 000

:. P(S) = 3S6 297

Solución: Finalmente, luego de 5 horas de observación la población de bacterias aumentó en 6 297.

Aplicación en Física

Problema 06

Aceleración de la gravedad: Un momento culminante en la historia de la física fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton acerca de la Ley de la Gravitación Universal.

En este escenario, la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra es 9,8

Esto es, la velocidad v, de un objeto que cae libremente en el vacío cambia a razón de:

54

dv m -d =9,82 t S

Grupo Editorial Mega byte

m ;z·


Halle la ecuación de la velocidad y el espacio recorrido por el objeto que cae libremente en el vacío, considerando los postulados de Newton, publicados en su libro, Principios matemáticos de filosofía natural.

Primer paso: Despejemos la diferencial de la velocidad dv, integramos en ambos miembros de la

igualdad: dv = 9,8dt

J dv = J 9,8dt

Amigo lector, sin ammo de confundir, sólo con el afán de entender el proceso de integración, menciono: en cada miembro de la igualdad se genera una constante, de esta forma:

v + e1 = 9,8t + e2

Para simplificar el proceso, ambas constantes se sustituyen como una sola, así:

v = 9,8t +e

Siendo la ecuación de la velocidad del objeto que cae libremente en el vacío:

v(t) = 9,8t +e

Segundo paso:

Sabemos que la ecuación de velocidad, está dado por: v = ds , y en el problema la dt

velocidad calculada es: v(t) = 9,8t +e, por lo tanto, igualemos, ambas ecuaciones de velocidad:

ds v = -= 98t+e

dt '

Despejamos la diferencial de la distancia, ds, integramos en ambos miembros de la igualdad, así:

J ds = J (9,8t + e)dt

S = 9,8 e;)+ et +k

Ahora, k es la constante de integración de la distancia.

Solución: Finalmente, estimado lector llegamos al final de este problema, las respuestas son:

a) v(t) = 9,8t +e

b) s = 4, 9t2 + et + k



DEBES SABER QUE: Amigo lector, los descubrimientos de Newton acerca de la luz y el movimiento de los planetas, permitió realizar los primeros vuelos espaciales. Era un apasionado en descubrir los significados ocultos de la biblia.


Problema 07

Conociendo la derivada: Se pide determinar la función particular u original f(x), si se

conoce la derivada f'(x) = dy = Sx- 2, con la condición inicial (CI), que f(O) = 9. dx

Primer paso: Para iniciar el desarrollo de la resolución, tenemos que tener presente la propiedad:

J f' (x)dx = f(x) +e

Segundo paso: Como la derivada de la función f(x), es conocido, reemplazamos en la propiedad de la siguiente manera:

J f' (x)dx = J (:~) dx = J (Sx - 2) dx

Tercer paso: Desarrollamos la integral término a término, como se muestra:

+e

Cuarto paso: f(x)

Entonces, podemos observar que f(x) = ~x2 - 2x +e, y por la condición inicial o de

frontera, CI, [x =O y f(O) = 9], reemplazamos en f(x), para hallar e, así:

S f(O) = z-C0) 2 - 2(0) +e _, 9 =O+ e :. e= 9.

Solución: Finalmente, reemplazando nuevamente en la función f(x), tenemos la función particular u

original, el cual está dado por: f(x) = ~x2 - 2x + 9. 2


Problema 08

Conociendo la derivada y la CI de una función: Se pide determinar la función particular

u original y(x), si se conoce la derivada y'(x) = Jx, con la condición inicial, CI, que

y(4) = 18.



Primer paso: La estrategia es similar al anterior, es decir conocer y aplicar correctamente la siguiente propiedad:

J f' (x)dx = f(x) +e

Segundo paso: como la derivada de la función y(x) = f(x), es conocido, reemplazamos en la propiedad:

Tercer paso: Reescribimos la derivada, para desarrollar la integral, así:

J y'(x)dx = J 4x- 112dx = 8x 112 +e

Cuarto paso:

Entonces, podemos observar que la función y(x) = 8x112 +e, por la condición inicial, CI,

tenemos [x = 4 , y(4) = 18] , reemplazamos en y(x), tal como se observa:

y(4)= 8(4) 112 +e---> 18=16+e :.e=2

Solución: Finalmente, reemplazando nuevamente en la función y(x), tenemos la función particular u original: y(x) = 8x112 + 2.

Aplicación en Biología

Problema 09

Dieta para roedores: Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas que fueron alimentadas con una dieta rica en 10% de proteína. La proteína consistió en levadura Y harina de maíz. El grupo encontró que en cierto periodo, la razón de cambio aproximada del aumento promedio de peso (G, en gramos) de una rata con respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica fue:

dG P dP =-

25 + 2 ; O~ P ~ 100

Si G(10) = 38 entonces P = 10, encuentre G(P).

Primer paso:

Integramos la razón de cambio aproximada del aumento promedio de peso de una rata, con

respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica, es decir, dG fdP'



f G'(P)dP = J (:~) dP = J (-:S+ 2 ) dP

Segundo paso: Desarrollamos la integral término a término, de la siguiente manera:

J G'(P)dP = J- :S dP + J ZdP

J p2

G'(P)dP =-SO+ ZP +e

Tercer paso: p2

Entonces, podemos observar que G(P) = -so+ ZP +e, y por la condición inicial o de

frontera, CI, [P = 10 y G(10) = 38], reemplazamos en G(P), así:

(10) 2

G(10)=-5()+2(10)+e-> 38=18+ e :.e=20

Solución: p2

Finalmente, reemplacemos nuevamente en la función G(P), obteniendo, G(P) = -so+ ZP +

20.

Aplicación en Economía

Problema 10

Elasticidad de la demanda: Un productor de tomates de una zona rural en la Lima, ha determinado que la función de ingreso marginal, es:

dr - = 100- 3q2

dq

Encuentre la función de demanda p(q).

Primer paso: Amigo lector, la estrategia para resolver este problema, es determinar el ingreso r, a partir

de la función del ingreso marginal , dr. dq

J r' (q)dq = J (::) dq = J (100- 3q 2) dq

Segundo paso: Desarrollamos la integral término a término, de la siguiente manera:

J r'(q)dq = J 100dq- J 3q2 dq -> J r'(q)dq = 100q- q3 +e-> r(q) = 100q- q3 +e



Tercer paso: Entonces, podemos observar que la función ingreso es, r(q) = lOOq- q3 +e, en este caso,

no contamos con la condición inicial CI, por tanto, se asume lo siguiente: si no hay producción (q = O) entonces no hay ingresos, r(q) =O para el productor de tomates, por lo

tanto, [q = O y r(O) =O], reemplazamos en la función de ingreso r(q):

r(q) = lOOq- q3 +e --7 r(O) = 100(0)- (0) 3 +e --7 O= O+ e :. e= O

Entonces obtenemos e= O, luego, la función de ingreso queda expresada, así:

r(q) = lOOq- q3

Cuarto paso: A continuación, calculamos función de demanda p, para ello recordemos amigo lector, que

el ingreso es el producto del precio de venta del artículo p por la cantidad de artículos

producidos q, reemplazamos en la función de ingreso, y despejamos la función de demanda

p, de la siguiente manera:

r(q) = p.q

r(q) =p. q = lOOq - q 3

Despejando p obtenemos: p(q) = 100- q2

Solución: Finalmente, la función de demanda p(q), está dado por la función, p(q) = 100- q2 .


Problema 11

Dem<llnda de la elasticidad del producto: Del problema anterior, determine la demanda

de la elasticidad del producto n, cuando el número de tomates sea cinco unidades.

Primer paso: Recordemos que la demanda de la elasticidad del producto denotado por la letra griega eta r¡, se determina de la siguiente manera:

Ahora, se sabe que el número de artículos es cinco unidades, es decir q = 5; luego

procedemos a determinar la función de demanda p(q), evaluada en q = 5, así:

Como, p(q) = 100 - q2 , entonces p(5) = 100 - (5)2 --7 p(5) = 75.

Segundo paso:

Procedemos a diferenciar la función de demanda p(q) respecto a la cantidad producida q, dp d dq : p(q) = 100- q2

--7 ....E..= -2q, y luego evaluemos en q = 5, así: dq



dp dp dp - = -2q---> -(5) = -2(5) ---> -(5) = -10 dq dq dq

Tercer paso: Reemplacemos en la demanda de la elasticidad del producto r¡, como sigue:

p 75

- _!/_ ---> - _s_ r¡ - dp r¡ - -10

dq

Solución:

Finalmente, vemos que la función de demanda de la elasticidad del producto r¡, está dado

por: r¡ = -~ , como r¡ < 1 , quiere decir, que se trata de una demanda inelástica o rígida, 2

esto significa: que el producto tiene un amplio margen de subida del precio, aumentando el ingreso de los productores y que una bajada en el precio reduce sus ingresos, manteniéndose la demanda, así por ejemplo, si el precio del pan sube o baja, la gente sigue consumiendo.

Aplicación en Medicina

Problema 12

Tejido fluido: Para estudiar el comportamiento de la sangre en las arterias, un grupo de médicos brasileños, simulan dicho comportamiento como el flujo de un fluido en un tubo delgado de un material similar a la arteria, de radio constante R, que contiene un tubo

concéntrico de radio r, donde O:::; r:::; R. La velocidad V del fluido es una función de r y

está dada por:

J (Pt- P2 )r V= - dr

ZL!l

donde, P1 y P2 son las presiones en los extremos del tubo, J.1 (una letra griega que se lee

"eta") es la viscosidad del fluido y L es la longitud del tubo.

Si V= O entonces r =R. Demuestre que:

Primer paso: Estimado lector, sería importante que Ud. conozca algunas características de la sangre, es un tejido fluido que circula por capilares, venas y arterias de todos los vertebrados e invertebrados. Su color rojo característico es debido a la presencia del pigmento hemoglobínico contenido en los eritrocitos. Es un tipo de tejido conjuntivo especializado, tiene una fase sólida (incluye a los glóbulos blancos, los glóbulos rojos y las plaquetas) y una fase líquida, representada por el plasma sanguíneo.

Luego, de esta introducción, vamos a desarrollar la integral, pero antes, puede observar en la ecuación de la velocidad V, del fluido, es una función de r, esto quiere decir que los

demás términos como: P1 y P2 , que son las presiones en los extremos del tubo, 11 es la



viscosidad del fluido y L es la longitud del tubo, son constantes, por lo tanto, salen fuera del signo integral, de la siguiente manera:

f (P1 - P2)r (P1 - P2) f V= - dr =- rdr

ZL~ ZL~

Ahora, si podemos integrar de una forma más sencilla:

V = - r dr = - - + e (Pl - Pz) f (P1 - P2 ) (r 2)

ZL~ ZL~ 2

Luego, la velocidad V, del fluido sería:

Segundo paso:

Conociendo la ecuación de la velocidad V del fluido, V=- (P1 -Pzl (C_) +e, utilicemos la ZL¡.t 2

condición inicial, CI, [Si r = R entonces V= 0], reemplacemos en V, obteniendo:

Entonces, obtenemos la constante de integración e:

Tercer paso: Sustituyendo nuevamente en la función de la velocidad V del fluido, resulta:

Cuarto paso:

Factoricemos el término común (P1 -Pzl y ordenando los parámetros, obteniendo la ecuación 4L¡.t

pedida:

Solución:

Finalmente, el proceso finaliza con la demostración de la velocidad V del fluido de radio constante R, que contiene un tubo concéntrico de radio r, donde O ::::; r::::; R, que simula el comportamiento de la sangre en la arteria:




Problema 13

Olimpiada Matemática: En un concurso de matemática realizado en Estocolmo, Suecia, clasificaron estudiantes de quinto de secundaria de países de Sudamérica y Europa. Una de las preguntas de dicho exámen fue la siguiente: Determine la función f(x) cuya tangente tiene una pendiente de 3x2 + 7, para cada valor de

x, cuya gráfica pasa por el punto (1, S)

Primer paso: Amigo lector, recuerde usted que la pendiente de la recta tangente en un punto cualesquiera (x,f(x)), es la derivada de la función f(x), por lo tanto, tenemos:

f'(x) = 3x2 + 7

Segundo paso: La funcion buscada f(x) viene a ser la antiderivada, veamos:

f(x) = J f'(x)dx = J (3x2 + 7) dx --..¿ f(x) = x 3 + 7x +e

Tercer paso: Para determinar la constante e , tomamos en cuenta que la gráfica de la función f(x) pasa

por el punto (1, 5). Es decir, se sustituye x = 1 --..¿ f(1) = 5 en la ecuación anterior

despejamos la constante de integración e, así:

f(x) = x3 + 7x +e--..¿ 5 = 13 + 7(1) +e --..¿e= -3

Solución: Finalmente, la función buscada es f(x) = x 3 + 7x- 3.


Problema 14

Pizarras vitrificadas: Melamitec E.I.R.L. es una importante empresa peruana dedicada a la fabricación de muebles en general, con diseños computarizados a gusto del cliente, siendo las pizarras vitrificadas uno de sus trabajos. Dichas pizarras presentan las siguientes características: una pantalla de proyección y presenta una superficie magnética de acero vitrificado a sooac con garantía de por vida. Además, son resistentes, ideales para lugares de uso continuo, como centros educativos, academias y universidades. La gerente general la Sra. Vanesa Jesús, ha determinado que su costo marginal en dólares por unidad, es el siguiente:

3x2 - 60x + 380

donde x es el número de pizarras producidas. El costo total de producción de las primeras dos pizarras es $900. ¿cuál es el costo total de producción de media docena de pizarras, considerando todos los costos ascociados?



Primer paso: Amigo lector, recuerde que el costo marginal CM, es la derivada de la función costo total

c(x), el cual se expresa de la siguiente manera:

dC dx = 3x2

- 60x + 380

Segundo paso: El costo total C(x) viene a ser la antiderivada, veamos:

C(x) = J :~ dx = J (3x2 - 60x + 380)dx --... C(x) = x 3

- 30x2 + 380x +e

Tercer paso: Para determinar el valor de la constante de integración e , utilizamos la siguiente información: las primeras dos pizarras cuestan $900, quiere decir que C(2) = 900,

reemplazamos en la ecuación:

C(x) = x 3 - 30x2 + 380x +e--... C(2) = 23 - 30(2)2 + 380(2) +e --... 900 = 648 +e--... e = 252

Cuarto paso: El costo de la producción de media docena (x = 6) de pizarras vitrificadas será:

C(x) = x 3 - 30x2 + 380x + 252

C(6) = 63 - 30(6) 2 + 380(6) + 252 --... C(6) = 1 668

Solución: Finalmente, el costo total de producción de media docena de pizarras vitrificadas es $1 668.

Aplicación en Ingeniería Pesquera

Problema 15

Harina de pescado: La harina de pescado es un producto obtenido del procesamiento de pescados, eliminando su contenido de agua y aceite. Se estima que para el año 2 014 los requerimientos de harina de pescado se elevarían en 4 millones de toneladas métricas debido a la variedad de aplicaciones de éste producto industrial marino. Un intermediario recibe 8 toneladas de harina de pescado que se consumirán en cuatro meses aproximadamente a un ritmo de 2 toneladas por mes. Debido al volumen del cargamento los costos de almacenamiento es un céntimo por kilogramo al mes. ¿cuánto pagará el intermediario en los costos de almacenamiento durante dos trimestres?

Primer paso:

En primer lugar definimos C(t) como el costo total de almacenamiento en soles durante t meses. El cargamento en kilogramos de harina de pescado almacenados después de t

meses está dado por la siguiente fórmula: 8 000-2 000 t.



Segundo paso: Para determinar la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo dC/dt realizamos el siguiente análisis: - Si el costo total mensual por kilogramo es un céntimo, en soles, equivale a 0,01 soles. - El cargamento en kilogramos de harina de pescado almacenados después de t meses está

dado por: 8 000 - 2 000 t Entonces la tasa de cambio de costo de almacenamiento con respecto al tiempo estaría dado por la siguiente fórmula:

dC dt = (0,01)(8 000- 2 000 t)

Tercer paso: Calculamos C(t) que es una antiderivada, la cual se obtiene de la siguiente manera:

C(t) = f ~~ dt = f (0,01)(8 000- 2 000 t) dt -> C(t) = 80t- 10t2 +e

Cuarto paso: Para determinar la constante de integración e, se entiende que, cuando llega el cargamento de harina de pescado el tiempo es igual a cero (t = 0), es decir, no hay costo, C(O) =O, por

tanto tenemos: C(t) = 80t- 10t2 +e

C(O) = 80(0) - 10(0)2 +e -> O = O+ e :. e = O

Entonces la función costo total de almacenamiento en soles durante t meses queda expresado como:

C(t) = 80t- 10t2

Quinto paso: Para determinar los costos de almacenamiento de dos trimestres t = 6, reemplazamos en la

ecuación anterior: C(6) = 80(6)- 10(6)2 -> C(6) = 120

Solución: Finalmente, el intermediario pagará por los costos de almacenamiento durante dos trimestres, la suma de 120 soles.


Problema 16

Tren bala: Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren bala o "Shinkansen" en la década de 1 960, que alcanzan velocidades superiores a 200 km/h. El tren de alta velocidad es uno de los vehículos de transporte más seguros del mundo y el que menos víctimas mortales produce, superando incluso al avión. Se fundamenta en la levitación magnética. En un recorrido de prueba por una ciudad japonesa,



el tren bala tiene una velocidad en el instante t, el cual se modela mediante la siguiente

función: v(t) = 7,4 t.

Determine la función de posición del tren bala. Suponga que al inicio del recorrido de prueba, el tren bala está ubicado en la estación de la línea ferroviaria.

Primer paso: Definamos la posición del tren en cualquier instante t, como e(t) de tal manera que al

diferenciar la posición del tren bala obtenemos su respectiva velocidad, v(t) de la siguiente

manera:

e'(t) = v(t)

Segundo paso: Por lo tanto, podemos escribir la velocidad como:

e'(t) = 7,4 t

Para determinar la función de posición integramos la derivada de la función posición, así:

e(t) = J e' (t) dt = J 7,4 t dt = 3, 7 t 2 +e

Tercer paso: Para calcular la constante arbitraria e usamos la condición inicial, e(O) =O, entonces:

e(t) = 3,7 t 2 +e

e(O) = 3,7 (0) 2 +e-> e= O

Solución: Finalmente, la función de posición del tren bala queda expresada como: e(t) = 3,7 t 2

.

Aplicación en Ingeniería Industrial

Problema 17

Mi revista favorita: La revista "con criterio" es la publicación semanal de análisis y opinión más importante de Uruguay, siendo la empresa editorial más sólida de América Latina. Hoy en día se ha convertido en una publicación que se destaca en el continente debido a los diversos reconocimientos y premios internacionales, por su periodismo con carácter, su capacidad investigativa y su independencia.

La circulación de esta revista es de 8 000 ejemplares por semana. Gracias a la demanda de sus lectores se espera que la circulación de ejemplares por semana aumente a razón de:

6 t 213 + 5

donde t se expresa en semanas a partir de hoy durante los próximos dos años. Con base a está proyección, ¿cuál será la circulación de la revista "con criterio" dentro de 180 semanas?


Primer paso:

Definamos la circulación de la revista "con criterio" dentro de t semanas, como M(t), de tal

manera que al diferenciar la circulación de la revista obtenemos la razón de cambio de circulación de la revista por semana M'(t), como sigue:

M'(t) = 6 t 213 +S

Segundo paso: Por tanto, podemos escribir la circulación de la revista Valentino dentro de t semanas como:

M(t) = f M'(t)dt = f ( 6 t 213 +S) dt ---7 M(t) = 6 (~~;) + St +e :. M(t) = 1SS t 513 + St +e

Tercer paso: Para determinar la constante arbitraria e, usemos la condición inicial, M(O) =S 000, entonces:

1S 1S M(t) = -t513 + St +e ---7 M(O) = -(0)513 + S(O) +e ---7 S 000 =O+ e :. e= S 000

S S

Cuarto paso: La circulación de la revista Valentino dentro de t semanas, queda expresado como:

Quinto paso:

1S M(t) = -t513 + St + 8 000

S

Para determinar la circulación de la revista dentro de 1SO semanas reemplazamos en la ecuación anterior para t = 1SO:

1S M(1SO) =S (1S0) 513 + S(lSO) + 8 000 ---7 M(1SO) = 29 SSS

Solución: Finalmente, la circulación de la revista "con criterio" dentro de 1SO semanas será de 29 558 revistas.

Aplicación en Sociología

Problema 18

Nivel de empleabilidad: En la actualidad contamos con el mayor número de personas educadas y capacitadas que ha existido en nuestra historia pero, al mismo tiempo, los volúmenes de desempleo y subempleo también son mayores. Es por ello, que un grupo multidisciplinario principalmente por científicos sociales realizaron una investigación acerca del ingreso anual promedio y (en dólares) que una persona de un grupo urbano particular con x años de educación obtendrá al encontrar un empleo ordinario. Estimaron que la razón del ingreso anual promedio con respecto a los años de educación está dada por:

66

dy - = 120x312 ; 4 :::; x:::; 16 dx

Grupo Editorial Mega byte


donde y= 32 000 cuando x = 10. Encuentre el ingreso anual promedio actual.

Primer paso: Debemos obtener la función del ingreso anual promedio y, para ello despejamos la

diferencial de y 1 e integramos tal como se muestra a continuación:

dy = 120x312 dx ~y= J 120x312 dx = 120 J x 312 dx ~y= 48x 512 +e

Segundo paso: Para determinar la constante arbitraria e 1 usamos la condición inicial siguiente: y = 32 000

cuando x = 10, entonces tenemos:

y= 48x 512 +e~ 32 000 = 48(10) 512 +e~ e = 16 821

Tercer paso:

Por lo tanto, la función del ingreso anual actual está dada por: y = 48x 512 + 16 821

Solución: Finalmente, la función del ingreso anual promedio actual es: y= 48x 512 + 16 821.

Aplicación en Ingeniería de Sistemas e Informática

Problema 19

TI: La Tecnología de la Información son herramientas y métodos empleados para recabar, retener, manipular o distribuir información, y se encuentra generalmente asociada con las computadoras y las tecnologías afines aplicadas en la toma de decisiones. Es por ello, que la empresa Intec S.A.C. viene fabricando dispositivos electrónicos como las tarjetas electrónicas para ser aplicados en diversas actividades económicas.

Por lo cual el gerente general determina que los costos fijos semanales son del orden de los $7 000. Si la función del costo marginal está dado por:

donde C es el costo total en dólares de producir x unidades de tarjetas electrónicas por

semana. Encuentre el costo de producir 800 de estás tarjetas semanalmente.

Primer paso:

Determinamos la función del costo total C(x) de la siguiente manera:

C(x) = J [10- 6 (2.10-3 x 2 - 2Sx) + 2,4] dx ~ C(x) = 6,67.10-10x 3 - 1,25.10-5 x 2 + 2,4x +e



Segundo paso: Para determinar la constante arbitraria e , usamos la condición inicial siguiente: Como los costos fijos son constantes sin importar el nivel de producción entonces tenemos que: x = O

y C = 7 000, lo cual se escribe como, e(O) = 7 000, y reemplazamos en la última ecuación:

7 000 = 6,67.10-10 (0) 3 -1,25.10-5 (0) 2 + 2,4(0) +e --> e= 7 000

Tercer paso: Por lo tanto, la función del costo total está dada por:

C(x) = 6,67. 10-10x 3 - 1,25.10-5x2 + 2,4x + 7 000

Cuarto paso: Para determinar el costo de producir 800 tarjetas electrónicas por semana reemplazamos en

la ecuación precedente: (x = 800):

C(800) = 6,67.10-10 (800) 3 - 1,25.10-5 (800) 2 + 2,4(800) + 7 000--> C(800) = $8 912

Solución: Finalmente, el costo total de producir 800 tarjetas electrónicas semanales es de $8 912.


Problema .20

Examen de admisión: En el último exámen de admisión de una universidad pública de prestigio, el enunciado indicaba: Establecer la función g(x) cuya tangente tiene una

pendiente de 4..fX- 1, para cada valor de x cuya gráfica pasa por el punto (3, 2).

Primer paso: La pendiente de la recta tangente en un punto cualesquiera (x ,g(x)), es la derivada de la

función g(x), por tanto, tenemos; g'(x) = 4..fX -1

Segundo paso: La funcion buscada g(x) viene a ser la antiderivada, y se calcula de la siguiente manera:

g(x) = J g'(x)dx = J (4..JX -1) dx --> g(x) = ~x312 - x +e

Tercer paso: Para determinar la constante e, tomamos en cuenta que la gráfica de la función g(x) pasa

por el punto (3, 2). Es decir, se sustituye x = 3 --> g(3) = 2 , en la ecuación anterior

despejamos la constante de integración e, así:

8 8 g(x) = 3x3

/2

- x +e--> 2 = J (3) 312- 3 +e--> e= -8,85"" -9

Solución: Finalmente, la función buscada es g(x) = !:x 312 - x- 9.

3


Como hemos visto, las integrales surgen en los modelos de fenómenos reales y en la medición de objetos del mundo que nos rodea, y sabemos, en teoría, que su evaluación se realiza mediante antiderivadas. Sin embargo, cuanto más complicados se vuelvan nuestros modelos, más lo serán nuestras integrales. Siendo la integración un arte como una ciencia, es preciso saber cambiar esas integrales más complejas a formas simples para resolverlos.

La meta de este capítulo: es mostrar cómo podemos cambiar las integrales no conocidas a integrales reconocibles, en la que podamos aplicar las fórmulas básicas de integración, localizarlo en una tabla, o calcularlo con la ayuda de un computador.

Las técnicas de integración son procedimientos o conjunto de reglas, que nos permiten desarrollar diferentes tipos de ejercicios sobre integrales indefinidas, así tenemos: La regla de la potencia para la integración, el método de sustitución, diversos métodos de división, cambio de base, el uso de funciones trigonométricas y de funciones hiperbólicas, el uso de tablas de integrales, etc.

Es oportuno, presentar más fórmulas de integración, que incluyan la regla de potencia de

una función x, integrales que incluyen funciones exponenciales, integrales que permiten

obtener funciones logarítmicas, las integrales trigonométricas, y las funciones hiperbólicas para su uso en la resolución de problemas.

En la TABLA 2.8, se puede observar algunas de dichas fórmulas que son de gran importancia y la utilidad es múltiple, los cuales nos permitirán resolver la mayor cantidad de problemas aplicados en las diversas áreas de estudio, válido para las universidades del Perú Y del extranjero.



TABLA 2.8: Más fórmulas básicas de integración

la f ex• + 5)1 ex• + 5) 6 e4x3 )dx = --7-- +e

que J eaxdx = ~eax +e

que J dx x _ 8

= ln[x- 8[ +e

que J cos4x funciones sen4xdx = --4- +e

que J sen3x funciones cos3xdx = -

3- + e

que J sec2 a da = tan a + e

que J csc2 f3df3 = -cot{J +e

que funciones J sece . tanede = sece + e por

que funciones J cscy. coty dy = -cscy + e por

que J e senze sen2 8de =----+e

2 4

que J f3 sen2f3 cos2 f3 dfJ = Z+ -

4- +e

Ejemplos ilustrativos: Resuelve las siguientes integrales de funciones trigonométricas:

J 3(senx + cosx)dx = 3 J senx dx + 3 J cosx dx = 3( -cosx + c1 ) + 3(senx + c2)

= - 3cosx + 3c1 + 3senx + 3c2 = 3(senx- 3cosx) + 3c1 + 3c2 = 3(senx- 3cosx) +e

Estimado lector, en el ejemplo precedente, podemos observar que la regla de la suma y la diferencia para la integración nos permite integrar expresiones término a término,


Unidad II- Integrales Indefinidas

generando varias constantes ci , producto de las integraciones individuales, los cuales se

combinan en una sola constante arbitraria e, resaltado en negrita.

Estimado lector, el desarrollo de una integral puede llegar a ser difícil, pero comprobarla, una vez terminado el proceso de integración, resulta relativamente fácil: lo que se tiene que hacer es diferenciar el lado derecho, como se mencionó en el primer capítulo, al final la derivada debe ser igual al integrando, resaltado en negrita, veamos a continuación:

J 9tanx. secx dx = 9 J secx. tanx dx = 9(secx +e) = 9secx + 9c = 9sec~~-~

d d d - (9secx +e) = 9 -d (secx) + -d e = 9secx . tanx + O = 9secx. tanx dx X X

A continuación demostraremos las fórmulas 2, 6 ,11 y 12 de la TABLA 2.8:

Fórmula 2: f[g(x)]ng'(x)dx = [g(x)Jn+l +e , para todo n =t- -1. La estrategia que n+l

utilizaremos es diferenciar el lado derecho, es decir:

Fórmula 6: f coskx dx = se:kx +c. De forma similar, diferenciamos el lado derecho:

d (senkx ) d (senkx) d 1 - --+e =- -- +-(e)= -(kcoskx) +O= coskx dx k dx k dx k

Fórmula 11: Para demostrar la integral que incluye funciones seno cuadrado, debemos recordar la siguiente equivalencia:

J 2 J (1 - cos2x) 1 J 1 J 1 1 (sen2x) x sen2x sen xdx = 2

dx = 2

dx -2

cos2x dx = 2 x - 2 -2- + e = 2- -

4- + e

Fórmula 12: Para demostrar la integral que incluye funciones coseno cuadrado, debemos recordar la siguiente equivalencia:

f f (1 + cos2x) 1 J 1 J 1 1 (sen2x) x sen2x COS

2 Xdx= 2

dx=2 dx+2 COS2XdX=2X+2 -2- +c=2+-

4-+c


2.2.4.1. Método de sustitución: Es uno de los principales métodos para evaluar integrales, el cual consiste en realizar un cambio de variable, para convertir una integral "compleja" en una que nos permita utilizar las Tablas 2.5 y 2.8, cabe mencionar que el aplicar este método implica utilizar la regla de la cadena o también conocido como regla de la potencia de una función en x, para la

integración.

Ejemplo 1:

Pasos:

1. Se elige una variable, tal como z, entonces se iguala z, al integrando Sx + 7, sin

considerar el exponente: z = Sx + 7

2. Luego, se diferencia z, con respecto a x; y se despeja dx :

dz d - = - (Sx + 7) = S ---> dz = Sdx dx dx

dz .. dx=

S

3. A continuación, reemplazamos en el integrando y resolvemos:

(Sx + 7) 2 dx = z2- =- z 2 dz =- - +e=-+ e f f dz 1 J 1 (z3

) z3

S S S 3 15

4. Finalmente, reemplazamos por la variable original x :

f (Sx + 7) 3

(Sx+7) 2 dx= 1

S +e

Ejemplo 2:

J 8x(4x2- ll) 3 dx

Pasos:

1. Se elige una variable, tal como z , entonces se iguala z, al integrando, sin considerar el

exponente (en general, busque el cambio más simple): z = 4x2 -11

2. Luego, se diferencia z, con respecto a x, y se despeja dx :

dz d dz -=-(4x2 -11)=8x---> dz=8xdx :.dx=~ ~ ~

3. A continuación, ordenamos, reemplazamos en el integrando y resolvemos:

J 8x(4x2- 11) 3 dx = J (4x2

- 11) 3 8xdx = J z 3 dz = 2

4

4

+e

4. Finalmente, reemplazamos por la variable original x:

J (4x2 - 11)4

8x(4x2- ll) 3 dx =

4 +e



Ejemplo 3:

J Zy -JYZ+1" dy

Pasos:

1. se elige una variable, tal como z , entonces se iguala z, al integrando, sin considerar el

signo radical: z = Y2 + 1

2. Luego, se diferencia z, con respecto a y, y se despeja dy :

dz d - = - (y 2 + 1) = Zy ---> dz = 2ydy dy dy

dz :. dy =-

2y

3. A continuación, ordenamos, reemplazamos en el integrando y resolvemos:

f Zy JY2+l dy = J (y2

+ 1)1

/2

2ydy = f z 112 dz = ~~: +e

4. Finalmente, reemplazamos por la variable original y :

J 2y JY2+1 dy = ~ (yz + 1)3/2 + e

Ejemplo 4:

J cos(S{J + 13) d{J

Pasos:

1. Se elige una variable, tal como z , entonces se iguala z, al integrando, sin considerar el

coseno, sólo el ángulo del coseno: z = 5{3 + 13

2. Luego, se diferencia z, con respecto a {3, y se despeja d{J :

dz d dz d{J = d{J (5{3 + 13) = S ---> dz = Sd{J :. d{J = S

3. A continuación, reemplazamos en el integrando y resolvemos:

J f dz 1 cos(S{J + 13) d{J = cos zS = 5sen z +e

4. Finalmente, reemplazamos por la variable original {3:

J cos(S{J + 13) d{J =~sen (5{3 + 13) +e

2.2.4.2. Integración por partes: Es una técnica de integración, cuyo procedimiento consiste en cambiar ciertas integrales a formas más sencillas de integrar, demostraremos la fórmula de integración por partes, de la siguiente manera; consideremos que las funciones u y v son funciones diferenciables de x, aplicando el producto de estas funciones tenemos:



Integramos cada término:

(uv)' = vdu + udv

J (uv)' = J vdu + J udv

uv = J vdu + J udv

Despejamos la siguiente integral J udv , así tenemos; la fórmula de integración por partes:

Judv = uv -J vdu

El objetivo: es seleccionar un u y un dv de la manera más apropiada/ lo cual se logra por

supuesto con la práctica, por ensayo y error.

Ejemplo 5:

f xe5x+2 dx

Considere: u= x y dv = e5x+2dx

Pasos: 1. En este problema la selección de u y dv ya están propuestos/ por lo tanto/ el

procedimiento es diferenciar u respecto a x 1 y luego integrar dv 1 para obtener la función v.

Tal como se muestra en la tablita:

lt;;o. X du =dx ' •· . ···.· J dv = J e5x+2 dx

1 dv = e5'!+2dx" .. v = -e5x+2 +el

5

DEBES SABER QUE: Amigo lector, la constante de integración e1 1 no se toma en cuenta debido a que no se

pierde la continuidad.

2. Todo el proceso desarrollado/ se reemplaza en la fórmula de integración por partes:

5 5 es un artificio

3. Finalmente/ después de aplicar la fórmula de integración por partes se concluye que:

xe5x+2dx = -xe5x+2 __ e5x+2 J 1 1

5 25 J (5x- 1) :. xe5x+2dx = ----zs- e5x+2 +e

Ejemplo 6:



Pasos:

1. En este ejemplo seleccionamos u y dv así: u= x diferenciando tenemos du = dx , y

dv == e-xdx, integrando tenemos: J dv = J e-xdx ---'> v =-e-x.

2 . Aplicando la fórmula de integración por partes:

J udv = uv - J vdu

u=';x du =dx

3. Reemplazamos:

4. Finalmente, luego de evaluar la integral y reducir obtenemos:

Ejemplo 7:

Pasos:

1. Seleccionamos u y dv así: u= lnx ---'> du = :Cdx X

x3 2.. Luego: dv = x 2 dx ---'> v =-

3

3. Aplicando la fórmula de integración por partes:

J udv = uv - J vdu

4. Reemplazando:

Ordenando y resolviendo la segunda integral tenemos:

---'> x 2!nxdx=-x3!nx--x3 --c J 1 1 1

3 9 3

5. Finalmente, se puede escribir:

DEBES SABER QUE:

Amigo lector, para comprobar el desarrollo, se aplica la diferenciación al miembro derecho de la igualdad, con la finalidad de obtener la misma expresión del integrando, así:



DEBES SABER QUE: Si usted amigo lector, hubiese tomado: u= x 2 ~ du = 2xdx y dv = lnxdx, el procedimiento resultaba más tedioso, (al inicio, no es fácil hacer un cambio adecuado). Por lo tanto, en general, se recomienda en éste tipo de ejercicios tomar u = lnx.

Ejemplo 8:

J !n(4x) dx

Pasos:

1. Seleccionamos u y calculamos du, así: u= ln4x ~ du = ~ dx = ]:_ dx 4x x

2. Luego dv, lo integramos y obtenemos: dv = dx ~ V =X

3. Aplicando la fórmula de integración por partes:

J udv =u. v- J vdu ~ J In(4x)dx = ln(4x).x- J x (~dx) ~ J !n(4x)dx = xln4x- x +e

4. Finalmente, luego de evaluar la integral se obtiene:

J !n(4x)dx = x(ln(4x)- 1) +e

2.2.4.3. Integración de funciones con el exponencial natural, e:

Este procedimiento consiste en utilizar la función exponencial cuya forma general es bx,

pero en este caso, la base será el número irracional denotado por la letra e , en honor al

matemático suizo Leonardo Euler (1 707-1 783), cuyo valor aproximado es, e= 2,718281 ...

La función exponencial con base e, se le conoce como función exponencial natural.

Curiosamente e , es la primera letra de la palabra exponente, y del apellido de Euler. Aquí

también utilizaremos el método de sustitución. La derivada de la función exponencial es:

d -[ef(x)] = ef(x)f'(x) dx

Para determinar la integral de una función exponencial con base e utilizamos la fórmula:

Ejemplos ilustrativos:

.·• .· ;ef:Cx) ... ef(x) dx :::¡; -·-· ·-+ e

f'(x)

Determine las integrales que contienen funciones con la exponencial natural, e:

f e-4xdx:

Se puede reconocer que la función integrando es ef(x) = e-4x y f(x) = -4x entonces

f' (x) = -4 , luego, de acuerdo a la fórmula obtenemos:



e - 4x dx = -- + e = --e - 4x + e f e 4x 1

-4 4

J esxdx:

se puede reconocer que la función integrando es ef(x) = e 5x, y f(x) = Sx entonces

f'(x) ==S, entonces de acuerdo a la fórmula tenemos que:

J e3y+7 dy:

se puede reconocer que la función integrando está dado por ef(y) = e 3Y+ 7, y la función

f(y) == 3y + 7 tiene como derivada f' (y) = 3, entonces de acuerdo a la fórmula tenemos

que:

f e3y+7

e3Y+7 dy = -3- +e

Una variación de la fórmula es:

Sean los datos: f' (x) = zex y f(x) = zex , determine: f zex e 2ex dx , de acuerdo a la

fórmula tenemos: J zexezex dx = e 2eX +e

Sean los datos: de

acuerdo a la fórmula tenemos: J exee3+ex-!n7 dx = ee 3 +ex-!n7 +e .

En los siguientes ejemplos, usemos el método de sustitución, aplicado a la integración de funciones con exponencial natural (e):

Ejemplo 9: Calcule: J er4

- 5r 3dr

Pasos:

1. Se elige una variable, tal como z , se iguala al exponente de la base e (en general,

busque el cambio más simple): z = r 4 - S

2. Luego, se diferencia z, con respecto a r, y se despeja dr :

dz d - = - (r4

- S) = 4r3 ~ dz = 4r3 dr .. dr dr

dz dr=-

4r3

3. A continuación, ordenamos, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:

4 F. 1 f 4 1 4 5 · lna mente, reemplazamos por la variable original r : er - 5r 3 dr = ¡er - +e



Ejemplo 10: Determine:

Pasos:

1. Sea la variable, z, la cual se iguala al exponente de la base e: z = r 2

2. Luego, se diferencia z, con respecto a r, y se despeja dr:

dz d - = - (r 2

) = 2r ---Y dz = 2rdr dr dr

dz :. dr =-

2r

3. A continuación, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:

4. Finalmente, reemplazamos por la variable original r : J er2 Zrdr = er2 +e

Ejemplo 11:

Calcule: J er3+3r(6r2 + 6)dr

Pasos:

1. Se elige una variable, tal como z, se iguala al exponente de la base conocido como el

número e: z=r3 +3r

2. Luego, se diferencia z, con respecto a r, y se despeja dr:

~ d ~ ~ - =- (r3 + 3r) = 3r2 + 3 ---Y dz = (3r 2 + 3)dr :. dr = --- = -::-::--::----::dr dr 3r2 + 3 3(r2 + 1)

3. A continuación, ordenamos, reemplazamos, factorizamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:

4. Finalmente, reemplazamos por la variable original r : J er3 +3r(6rz + 6)dr = zer3 +3r +e

DEBES SABER QUE: t+l

La fórmula de la regla de la potencia, no se aplica en: J etdt *_e __ + e t + 1

2.2.4.4. Integrales que obtienen funciones logarítmicas: Este procedimiento consiste en utilizar las funciones logarítmicas las cuales están relacionadas con las funciones exponenciales. Así tenemos, el logaritmo natural y común, que se simbolizan como !nx y log x, respectivamente.

En forma general, el primero tiene la base e y el segundo la base 10. La relación

matemática entre ellos está dado por:



Tenga presente la derivada de la función logarítmica:

d f'(x) dx [!nf(x)] = f(x)

La fórmula de la integral que permite obtener una función logarítmica:

Ejemplos ilus'i:rativos:

f 3x2 + 1 · ---dx = lnlx3 + xl +e x3 + x

f sec2 x --dx = lnltanxl +e tanx

J1 . :¡;av = lnlvl+ e

f x + 1 1 J 2x + 2 1 -

2--dx =- -

2--dx = -

2lnlx2 + 2xl +e

x + 2x 2 x + 2x

f 1 1J 3 1 --dx =- --dx = -lnl3x + 21 +e 3x + 2 3 3x + 2 3

En los siguientes ejemplos utilizáremos el método de sustitución, aplicado a la integración de funciones, que permiten obtener funciones logarítmicas:

Ejemplo 12: 2

Resuelve: J (In:) dx

Pasos:

1. Se elige una variable, tal como z, entonces se iguala z, al logaritmo natural (en general,

busque el cambio más simple): z =In x

2. Luego, se diferencia z con respecto a x, y se despeja dx:

dz d 1 1 -=-(lnx)=--. dz=-dx :.dx=xdz dx dx x x

3. A continuación, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:

f (ln x )2 J 2 2 J 2 3

--x-dx = ~(xdz) = z 2 dz = 3 + e

... malmente, reemplazamos por la variable original x : ---dx = -(lnx)3 +e " F" J (In X )2

1 X 3

DEBES SABER QUE:

Amigo lector, no confundir ln3x = (lnx) 3 con lnx3 •

Ejemplo 13: Resuelve: f-1

-dx 1 + _2:_

ex



Pasos: 1. Desarrollamos el integrando:

2. Se elige la variable, z, la cual se iguala generalmente con el denominador: z == ex+ 1

3. A continuación, se diferencia z, con respecto a x, y se despeja dx :

dz d dz -==-(ex+ 1) ==ex ___, dz == exdx :. dx ==dx dx ex

4. Luego, ordenamos, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:

J 1 J ex J ex (dz) J 1 --dx == --dx == - - == -dz == ln/z/ +e 1 + _.!:_ ex + 1 z ex z

ex

5. Finalmente, reemplazamos por la variable original x:

J 1 J ex --1 dx == --

1 dx ==In/ex+ 1/ +e

1 +- ex+ ex

Ejemplo 14:

Encontrar el área de la región limitada por la gráfica y==+, el eje x y la recta x = 3. X +1

Pasos:

13 X

1. El área está dada por la integral definida: -2--1dx O X +

FIGURA 2.4: Área de la región limitada por g(x) , el eje x y la recta x == 3

2. Sea la función g(x) == -7-- que pasa por el origen de coordenadas, en la cual usted puede X +1

considerar, z == x 2 + 1, entonces z' == 2x (en este ejemplo, no se usará). Para aplicar la

regla logarítmica, multiplicamos y dividimos entre 2 como se muestra (a este tipo de

integral fb , se le conoce como interagral definida, lo veremos en la Unidad III): a Es la derivada de x 2 + 1

13

x 113 2x 1 1 1

- 2--1 dx == -

2 - 2--1

dx = -2

[ln(x 2 + l)]Ó ==-(In 10 -In 1) ==-In 10 "" 1,151 0 x+ 0 x+ 2 2



Ejemplo 15: Resuelve la ecuación diferencial:

Pasos:

dy 1

dx x!nx

1. Puede escribirse como una integral indefinida: f dy = J - 1-dx -"'y= J - 1

-dx xlnx xlnx Hay tres formas posibles para sustituir z:

''0 1, t'§v,,r ~',~'Sll !is'

Primera z=x Segunda z = xlnx Tercera z = lnx

2. La forma: z = x y z = x In x , no logra ajustarse a la forma z' jz de la técnica logarítmica,

pero si cumple la tercera forma. Haciendo: z = lnx -"' z' = 1/x, se obtiene lo siguiente:

J 1 J1/x Jz' x!nxdx= !nxdx= -dx=lnlzl+c=lnllnxl+c

3. Por tanto, la solución es y= lnllnxl +c. ' 1

t Jf'(x) , 1

1 f(x) dx = lnlf(x)l +e

2.2.4.5. Integrales que requieren una división algebraica previa: El objetivo es conocer, analizar y aplicar las técnicas de integración en problemas con mayor grado de dificultad empleando para ello, la división algebraica de polinomios como: división larga, división sintética como el método de Horner, el método de Ruffini (su uso, dependerá de la forma del integrando), etc. Es decir, en general la integración de fracciones algebraicas implica realizar previamente una división, con la finalidad de obtener un cociente y un residuo. Donde D(x) es el dividendo, d(x) el divisor, Q(x) el cociente y R(x)

es el residuo de la división algebraica. Si dividimos el algoritmo de la división entre d(x) tenemos la expresión equivalente:

Algoritmo de la división

D(x)

Ejemplo 16: J (xs + 4) Determine la siguiente integral indefinida: + dx

Pasos: 1. La estrategia es dividir previamente el integrando en dos fracciones, de la siguiente

manera: (xs x4 ) J xz + xz dx

2. Luego, integramos término a término:

Ejemplos 17: Determine la siguiente integral indefinida: f (2x

3 + 3x

2 + X + 1) dx

2x + 1

1. Estimado lector, debemos realizar la división previa, en este caso se recomienda aplicar el algoritmo de Ruffini (división sintética), debido al tipo de divisor; la FIGURA 2.5 muestra el esquema:



fiGURA 2.5: Algoritmo de Ruffini

2. Obtenemos el cociente: Q(x) = 2x2 + 2x y el resto: R(x) = 1, ahora en la fórmula:

3, A continuación, hacemos un artificio, multiplicamos por 2/2 al término

procedemos a integrar término a término el nuevo integrando:

1

2X+l

f (2x2 + 2x + -1-) dx = J (zx2 + 2x + (~)-2-) dx = ~x3 + x 2 + ~lnl2x + 11 +e

2x + 1 2 2x + 1 3 2

Ejemplo 18: Determine la siguiente integral indefinida:

Pasos:

f (6x 5- 20x4

- l3x3 + 25x2 - 21x + 9) dx

3x2 - x + 1

y

1. En este caso es recomendable aplicar el Método de Horner, debido al tipo de denominador, veamos la FIGURA 2.6:

fiGURA 2.6: Algoritmo de Horner



Explicación: Note, que el grado del dividendo es 5 y del divisor es 2, por lo que el cociente será un

polinomio de tercer grado y 4 términos, quiere decir, que a partir del cuarto término, se traza una línea discontinua para separarlo del residuo. El procedimiento es el siguiente: Se divide el coeficiente del término principal del dividendo 6, entre el coeficiente del término principal

del divisor 3, obteniendo el coeficiente del término principal del cociente 2, y éste número

multiplica, al coeficiente lineal del divisor 1, obteniendo 2 y -2, luego, se suma en la

segunda columna -20 + 2 = -18 y este número, se divide entre 3, obteniendo -6 y así

sucesivamente. Sabemos que la línea discontinua separa el cociente y el resto, confirmando que el cociente Q(x), es un polinomio de tercer grado de 4 términos, y el resto R(x) es un

polinomio de primer grado de dos términos, así: Q(x) = 2x3- 6x2 -7x + 8 y el resto es

R(x) = -6x + 1 , reemplazamos en la fórmula:

D(x)

d(x) Q(x)

1 +

6x5 - 20x4 - 13x3 + 25x2

- 12x + 12 ------=--------- = 2x3 - 6x2 - 7x + 8

3x 2 - x + 1

2. Ahora, procedemos a integrar término a término:

+

R(x)

d(x)

-6x + 1

3x2 - x + 1

f (6x5 - 20x4

- 13x3 + 25x2 - 12x + 12) J ( 3 2 -6x + 1 ) 3 2 1

dx = 2x - 6x - 7x + 8 + 3 2 1

dx x-x+ x-x+

f f f f J 6x - 1 x 4 7x2

= 2x3 dx- 6x2 dx- 7x dx + 8dx- 2 dx =-- 2x 3-- + 8x- lnl3x2 - x + 11 +e

3x - x + 1 2 2

2.2A.6. Integración de funciones con una base diferente a la base e : Adicionalmente, en este capítulo integraremos funciones exponenciales con una base diferente al número e, empleando la siguiente expresión como integrando:

Siendo la integral de la siguiente manera:

Ejemplos ilustrativos: v

En primer lugar demostraremos la fórmula precedente: J av dv = 1: a+ e

Tenga presente que: e 1n 2 = 2 , en este caso elna =a y reemplazamos:

J avdv = J e!nav dv = J eClna)vdv

Utilizamos el siguiente artificio multiplicando a la integral: ln a !na



En el siguiente ejemplo ilustrativo, vamos aplicar la fórmula precedente demostrada, para determinar la siguiente integral indefinida de base 2: J 23-x dx

Vemos que la base es a= 2 y el exponente es v = 3- x, entonces dv = -dx , sustituimos:

f av f f J z3-x aVdv=-+C __. 2VdV= 23-X(-dX)=- 23-XdX=---+C In a ln2

2.2.4.7. Integración de fum:iones trigonométricas: Don~e, m , n son núm~ro.? entetos positivos.

Son técnicas para evaluar integrales del tipo:

J sen m x cosn x dx

Ejemplo ilustrativo:

y

/ /

J secm x tann x dx

Evaluar J sen5 x cos x dx con la regla de las potencias haciendo u =sen x __, du = cos x dx , veamos:

f J u6 sen6 x

sen 5 xcosxdx= u 5du=6+c=-6-+c

Para encontrar la antiderivada o primitiva de J senm xcosn x dx , utilizaremos la regla de la

potencia, y las identidades trigonométricas, veamos la TABLA 2.9:

TABLA 2.9: Identidades trigonométricas

sen2x + cos 2 x = 1 Identidad pitagórica

2 1- cos 2x

sen x = 2

Identidad del ángulo medio para sen2 x

2 1 + cos2x

COS X= 2

Identidad del ángulo medio para cos 2 x

Ejemplo 19: Encontrar:

Pasos: L Amigo lector, antes de emplear el método de sustitución, debemos hacer que una función trigonométrica tenga exponente lineal y el otro mayor/ ello se logra degradando el exponente de la función y empleando la TABLA 2.9 1 veamos:

Conservar un factor lineal

J sen3 x cos4 x dx = J sen2 xcos 4 x(sen x)dx = J (1- cos 2 x) cos 4 x sen x dx

J sen3 x cos4 x dx = f(cos 4 x- cos 6 x)sen x dx = J cos4 x sen x dx- J cos 6 x sen x dx

2. Luego/ usc.mos la regla de la potencia con u = cos x (se escoge la función con mayor

exponente) entonces la diferencial está dado por du = -sen x dx y reemplazamos:

84


Ejemplo 20: J cos3 x Si la potencia del coseno es impar y positiva,resuelve: ---dx

-Jsen x

Pasos: L Observemos que la función con mayor exponente, es el coseno, entonces conservamos un factor (degradación) para formar luego el du, y convertir los otros factores del coseno a

seno. Mayor

exponente ConserVar un factor lineal

Convertir los cosenos a senos

f cos 3 x J cos 2 x cos x J (1 - sen2 x) (cos x) ---dx = dx = dx -Jsen x -Jsen x -Jsen x

2. Para usar la regla de la potencia hacemos u= sen x -> du = cos x dx , y reemplazamos:

f cos3

x J J J ---dx = [(sen x)- 112 cos x dx- (sen x) 312 cos x dx] = u- 112 du--Jsen x

5 1 5

f cos 3 x dx = u11

2 _ u2 +e = _(_s_en-::-x_)_2 (sen x)2 1 2 5

-Jsenx 112

:;_ - 5 +c=2(senx)2- 5 (senx)2+c 2

Ejemplo 21: Se observa que la potencia del coseno es par y no negativa, encuentre:

J cos 4 x dx

Pasos:

1 +e os 2x 4 (1 +e os 2x) 2

4 1. Sabemos que 2 1 1 f t' cos x = --2

- -> cos x = --2

- , se reemp aza e cos x y e ecua:

f 4 J (1 + e os 2x)2 J (1 e os 2x cos

2 2x) J [1 cos 2x 1 (1 + cos 4x)] cos x dx = dx = -+--+--- dx = -+--+- dx

2 4 2 4 4 2 4 2

2. En este ejemplo, no utilizaremos el método de sustitución, sólo la integral del coseno:

f 4 1 J J e os 2x 1 J 1 1 J e os 4x 1 sen 2x 1 1 (sen 4x) e os x dx =- dx + -- dx +- - dx +- -- dx = -4

x + -4- + -

8 x + -

8 -

4- + e

4 2 4 2 4 2

Ejemplo 2.2:

f tan3 x La potencia de la tangente es impar, encontrar: ---dx

-Jsec x

Pasos:

lo Se multiplica por secx al integrando y degrada la tangente de x, así: tan3 x = tan2 xtanx, secx

el denominador sube, se emplea tan2 x = sec2x- 1 y se resuelve:

f secx J --(secx)-112 tan3 x dx = (secx)- 312 (tan 2 x)(secxtanx)dx secx



J tan

3x J r::::-::-:::.dx = (secx)- 312(sec 2x -l)(secxtanx)dx

vsecx = J [Csecx) 112-(secx)-312](secxtanx)dx

2. Para aplicar la regla de la potencia consideremos hacer u= secx--. du =secxtanxdx, se

conserva el factor de secxtanx para formar du, veamos:

f tan3x J J u3/2 u-1/2 2 --dx = u 112du- u-312du = -----=- (secx) 312 + 2(secx)- 112 +e .Jsecx 3/2 -1/2 3

Caso de sustituciones trigonométricas empleando triángulos rectángulos: Amigo lector, ya sabemos como evaluar las integrales que contienen potencias de funciones trigonométricas, ahora empleamos la técnica de sustituciones trigonométricas para evaluar integrales que contienen radicales como:

El objetrvo de las sustituciones trigonométricas es .eliminar el radical en el integrando, lo éuaf sereáliza con las icfenticjades pitagór.ícas.

Ejemplo ilustrativo:

Sea u = a sen e, a > O, donde e , varía: -rr/2 :::; e :::; rr/2. Entonces hacemos:

Ejemplo 23: · j dx Por sustitución trigonométrica y considerando: u= a sen e , encuentre: ¡;::;----;

x 2v9- x 2

Pasos: 1. En este tipo de casos las reglas básicas de la integración nos conduce a un proceso

complicado. Por ello, empleamos la sustitución trigonométrica, observe que .)9- x 2 tiene la

forma de .Ja2 - u 2 , donde a= 3 y u= x. Así que igualamos con u= a sen e y obtenemos la diferencial de x:

X = a sen e = 3 sen e -+ dx = 3 COSe de y x2 = 9sen2e

2. Empleando el triángulo mostrado se obtiene el cose, así:

X .,j 9-X 2 ¡;:;----o X = 3 sen e -+ sen e = - :. COS e = -- -4 V 9 - X 2 = 3 COS e

3 3

3. Así, la sustitución trigonométrica nos lleva a:

X x=asenfJ~sene=

a

f --=d=x== = f 3 cose de = ~f _d_e_ = ~f csczede =-~cote+ e xz.J9- xz (9sen2 e)(3 cose) 9 sen2 e 9 9

J dx = - ~ (..f9+XZ) + e = - .J9+XI + e xz.J9 - x2 9 x 9x


' '

X


Ejemplo 24: Aplicando la sustitución trigonométrica y u = a tan e , encontrar: f dx

V4x2 + 1

Pasos:

1. Observe que V4x2 + 1 tiene la forma de Vu 2 + a2 , donde u= 2x y a= 1. Igualamos

con u = a tan e 1 obteniendo 2x = a tan e .

2. Determinemos la diferencial de x, si Zx =tan e___, dx = ~sec 2 e de.

3. Empleando el triángulo mostrado se obtiene la sec e , sabiendo

que 2x =tan e_, tan e= z; :. sece = v4x2 + 1

4. La sustitución trigonométrica genera la siguiente expresión:

2x 2x=tan8---') tanB=-

1

1

2x

f 1 1 J sec2e de 1 J 1 1 1 1 ~dx=- e =- secede=-lnjsece+tanel+c=-ln .J4x2 +1+2x +e

2 sec 2 2 2

2.2.4.8. Integración por medio de fracciones parciales: Es una técnica algebraica de integración que consiste en reescribir el integrando de una función racional propia. Es decir, se trata de un cociente N(x)/D(x) de dos polinomios, en la cual el grado del numerador N(x), es menor que el grado del denominador, D(x). Así, tenemos por ejemplo:

N(x) 39x2 - 7x

D(x) x 3 -6x2 +2x-6

El objetivo de este procedimiento: es integrar la función racional propia expresándola como una suma de fracciones, cada una de las cuales es más fácil de integrar que la función racional original. Este procedimiento se llama método de las fracciones simples o parciales.

Procedimiento: 1) Divida la fracción impropia: Si se tiene N(x)/D(x) una fracción impropia (es decir, si el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador), divida el numerador entre el denominador, aplicando el método de Ruffini o Horner, etc. obteniendo la siguiente expresión:

FIGURA 2.7: Esquema de una división impropia

2) Aplica los casos en la fracción propia: Como el grado de N1 (x) es menor que el grado

de D (x), se aplica los casos I y II (siguiente página) en la fracción racional propia, N1 (x)/ D(x).



El procedimiento se inicia, factorizando completamente el denominador en factores como:

y

Donde ax2 + bx +e es irreductible (o irreducible), es decir, cuando no puede ser expresado como producto de otros polinomios de menor grado.

Casos de Descomposición de N(x)jD(x) en fracciones simples:

CASO I: Factores lineales: Por cada factor lineal (px + q)m, la descomposición en

fracciones simples debe incluir la suma siguiente de m fracciones.

CASO U: factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático (ax 2 + bx + c)n, la

descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de n fracciones.

Ejemplo 25: 1

factores lineales distintos, descomponer en fracciones simples: x 2 - Sx + 6

Pasos: L Factorizamos el denominador, por el método ensayo y error (factorización simple), es decir, x 2

- Sx + 6 = (x- 3)(x- 2), luego, incluir una fracción simple por cada factor, así:

1 A B -x:::-2 -----=s=--x-+-6 = -x---3 + -x---2

2. Reducimos la expresión racional, para ello multiplicamos ésta ecuac1on por el mínimo común denominador, es decir (x- 3)(x- 2) , obteniendo la ecuación básica:

1 = A(x- 2) + B(x- 3)

3. Luego, obtenemos los números A y B, la forma más conveniente es haciendo que los factores particulares se igualen a cero, es decir, (x- 2) = O --. x = 2 y (x- 3) = O ---? x = 3. Para hallar A, hacemos x = 3 y obtenemos:

1 = A(3- 2) + B(3- 3) 1 = A(l) + B(O) ---7 A = 1

Para hallar B, hacemos x = 2 y obtenemos:

1 = A(2 - 2) + B(2 - 3)

1 = A(O) + B(-1)--. B = -1

4. Finalmente, la descomposición en fracciones simples por factores lineales distintos es:

1 1 1

x 2 - Sx + 6 x - 3 x - 2



Ejemplo 26: J Sx2 + 20x + 6 factores lineales repetidos, encuentre: dx

x 3 + 2x2 +X

Pasos: 1. Factorizamos el denominador por el método ensayo y error (factorización simple):

x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2

:2. Incluimos una fracción para cada potencia de x, así (x + 1)1 , hasta el exponente 2,

(x + 1) 2 , en el caso de x también:

Sx 2 + zox + 6 A B e ----,--- =- + + -----.,.

x(x+1)2 x (x+1) 1 (x+1)2

3. Multiplicando por el mínimo común denominador (mayor exponente) es decir, x(x + 1)2

obtenemos la ecuación básica:

Sx2 + 20x + 6 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + ex

Para hallar A, hacemos x =O . Esto elimina los términos By e, obteniendo:

6 = A(1) +O + O -->A = 6

Para hallar e, hacemos x = -1. Esto elimina los términos A y B , obteniendo:

s - zo + 6 = o + o - e -. e = 9

4. Para encontrar el valor de B, usaremos cualquier otro valor de x , junto con los valores

calculados de A y e. Usando X = 1, A = 6 y e = 9 1 obtenemos:

5+20+6=A(4)+B(2)+e ->31=6(4)+2B+9 .·. B=-1

5. Finalmente, reescribimos el integrando e integramos término a término y reducimos:

J Sx

2 + 20x + 6 J (6 1 9 ) (x + 1)-1

( 1)2 dx = ----+e 1)2 dx = 6lnlxl- lnlx + 11 + 9 +e

X X+ X X+ 1 X+ -1

-----dx=ln -----+e J Sx2 + 20x + 6 1 x

6 1 9

x(x + 1)2 x + 1 x + 1

Ejemplo 27: 3

factores cuadráticos y lineales distintos, calcule: J Zx -4x-

8 dx

(x2 - x)(x2 + 4)

Pasos:

1. Similar al ejemplo anterior, primero factorizamos el denominador por el método de ensayo y error obteniendo:

(x2 - x)(x2 + 4) = x(x -1)(x2 + 4)

2· Debe incluirse una fracción simple por cada factor, y para el factor (x2 + 4) debemos colocar en la tercera fracción, un numerador del tipo, ex+ D, así tenemos:



2x3 - 4x - 8 A B ex + D

-;-;;,-----::-;:-;;--7 = - + --+ --ex2-x)ex2+4) X X-1 x 2 +4

3. Multiplicando por el mínimo común denominador xex- 1)ex2 + 4), obtenemos la ecuación

básica:

2x3 - 4x- 8 =A ex- 1)ex2 + 4) + Bxex2 + 4) +e ex+ D)ex)ex- 1) ... f3

Para hallar A, hacemos x =O y obtenemos:

-8=Ae-1)e4)+0+0 ->A=2

Para hallar B, hacemos x = 1 y obtenemos:

-10=0+Be5)+0 -->B=-2

4. Ahora debemos encontrar las constantes e y D 1 elegimos otros dos valores cualesquiera

para x. Como x = -1, y usando A= 2 y B = -2 , reemplazamos en f3 :

-6 = e2)e -2)e5) +e -2)e -1)e5) +e -e+ D)e -l)e -2)--> 2 =-e+ D

Ahora, para x = 2 1 nuevamente en f3, obtenemos:

O= e2)e1)e8) +e -2)e2)e8) + e2e + D)e2)e1)--> 8 = 2e + D

5. Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, resulta:

-e + D = 2 y 2e + D = 8 :. e = 2 y D = 4

6. Finalmente, evaluamos la integral, reemplazando el integrando:

f 2x3

- 4x - 8 J (2 2 2x 4 ) x ( )(

2 4)dx= ----+-2--+-2-- dx= 2lnlxl-2lnlx-1l+ln(x2 +4)+2tan-1 -+c

X X-1 X+ X X-1 X +4 X +4 2

Redutléndo; obtenemos~~

2.2.4.9. Integración de funciones hiperbólicas: 2.2.4.9.A. Introducción: Amigo lector, en muchas aplicaciones matemáticas, especialmente en ingeniería y física se presentan combinaciones de ex y e-x. Dichas combinaciones se denominan funciones

hiperbólicas, siendo los más empleados el seno hiperbólico, senh, y el coseno hiperbólico,

cosh. Los valores de estas funciones están relacionados con las coordenadas de los puntos

de una hipérbola equilátera, de forma similar que los valores de las funciones trigonométricas correspondientes, están relacionados con las coordenadas de los puntos de una circunferencia.

90

ex- e-x senh x = --

2--

e-x+ ex coshx =

2

Donde la variable x representa cualquier número real



De la definición, el dominio de cada una de estas funciones, es el conjunto de los números reales JRL El rango del senh también es el conjunto IRL Sin embargo, el rango del cosh es el

conjunto de números del intervalo [1, +oo ).

ex- e-x senhx=-

2-

ex+ e-x coshx=-

2-

e-x- ex ¡ex- e-x] senh ( -x) = -

2- = - -

2- __. senh ( -x) = -senh x

e-x+ ex cosh ( -x) = -

2- __. cosh ( -x) = cosh x

Impar

Par

El seno hiperbólico es una función impar y el coseno hiperbólico es una función par. Las fórmulas de las derivadas de las funciones seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se obtienen mediante la aplicación de las definiciones anteriores y diferenciando las expresiones resultantes que contienen funciones exponenciales, así:

ex- e-x senhx=-

2-

ex+ e-x coshx=--

2

(ex- e-x) e-x+ ex

Dx(senh x) = Dx -2- = -

2- = coshx

(ex+ e-x) ex- e-x

Dx(cosh x) = Dx -2- = -

2- = senh x

Dx(senhx) = coshx

Dx(cosh x) = senh x

Aplicando la regla de la cadena se tiene el siguiente teorema, si u es una función

diferenciable de x, entonces se cumple:

2.2.4.9.8. Grilfica de las funciones hiperbólicas: Veamos a continuación la FIGURA 2.8, que muestra los gráficos de las dos principales funciones hiperbólicas, con sus respectivas características:

FIGURA 2..8: Gráfica del seno y coseno hiperbólico

-1

-2



Para completar las otras cuatro funciones hiperbólicas, los cuales se definen en términos del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico, vea la TABLA 2.10.

TABLA 2.10: Cuatro fa.mdones hiperbólicas

Demostración: ex- e-x

Pruebe que: tanhx = ---ex+ e-x

senh x tanh x = cosh x

cosh x coth x =-

senhx

1 sech x=-

coshx

1 csch x =--h

sen x

2 sechx=--ex +e-X

2 cschx=--ex- e-x

senh x Sabemos que la función tangente hiperbólica está dado por, tanh x = coshx , reemplacemos

en ésta igualdad el senh x = ex-e-x y el cosh x = ex+e-x , obteniendo la expresión: 2 2

2 Pruebe que: cschx = -x ex- e

Sabemos que la función cosecante hiperbólica está dado por, 1

csch X= senhx ' ex-e-x

reemplacemos en ésta igualdad el senh x = -2- obteniendo la expresión:

1 2 2 es eh x = ex-e-x = ex- e-x --> es eh x =ex- e-x

2

2 Pruebe que: sech x = x ex+ e-

1 Sabemos que la función secante hiperbólica está dado por, sech x = coshx , reemplacemos

ex+e-x en ésta igualdad el cosh x = --

2- ; obteniendo la expresión:

1 2 2 se eh x = x+ -x = --> sech x = ----_e_e_ ex+ e-x ex+ e-x

2

Amigo lector, para una mejor comprensión de los ejemplos y problemas de aplicación de las funciones hiperbólicas, presentamos a continuación la TABLA 2.11, que muestra un comparativo de las identidades de las funciones trigonométricas e hiperbolicas, clasificados de cuatro formas diversas.



TABlA 2.1:1.: Comparación de identidades

1- cos 2x sen2 x = --

2--

1 + cos 2x cos2x = --

2--

sen(x +y) = sen x cos y+ cos x sen y

sen(x- y) = sen x e os y- e os x sen y

cos(x +y)= cos xcosy- senx sen y

cos(x- y) = cos x cos y+ sen x sen y

2 -1 + cosh2x

senh x = 2

2 1 + cosh 2x

cosh x = 2

senh(x +y) = senh x cosh y+ cosh x senh y

senh(x -y) = senh x cosh y- cosh x senh y

cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

cosh(x- y) = cosh x cosh y- senh x senh y

2.2.4.9.C. Derivación e integración de funciones hiperbólicas: Amigo lector, debemos tener en cuenta que las funciones trigonométricas, son funciones periódicas mientras que las funciones hiperbólicas no lo son. Como se mencionó en la introducción, en muchas aplicaciones matemáticas, especialmente en ingeniería y física se presentan combinaciones de ex y e-x. Estas combinaciones se denominan funciones

hiperbólicas, de las cuales, las dos más importantes son el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico.

Presentamos a continuación las reglas de derivación y de integración, para las funciones

hiperbólicas los cuales se expresan en términos de ex y e-x, consideremos que u, es una

función derivable de x, veamos la TABLA 2.12.

Podemos apreciar en la parte superior de la primera columna las derivadas de las funciones hiperbólicas y a la derecha los ejemplos ilustrativos y en la parte inferior tenemos las integrales de funciones hiperbólicas y los ejemplos ilustrativos, para el mejor entendimiento Y organización de la información.

DEBIES SABER QUE:

Amigo lector, tome en cuenta la siguiente notación



TABLA 2.12: Derivadas e integrales de fundones hiperbólicas

d -d [éo .. th u] == -(csc:h2 u)u'

X . . ' .

d -d [sech u] = -(sech u tanh u)u'

X .

d dx [csch u] = -(csch u coth u)u'

J cosh u du = senh u + e

J senh u du = cosh u + e

fsech2 u du= tanh u+ c

J csch2 u du = -coth:u +e

J sech u tanh u du = -sech u + e

Demostración:

Pruebe que: _<1:_ [tanh u] = (sech2 u)u' dx

d - [tanh x] = (sech2 x)l dx

d[ 1] 21( 1) - coth- = -(csch -) --dx x x x 2

~[sechJi] = -(sechJX;tanhJi)( 1r::)

dx Zvx

d - [csch Sx] = -(csch Sx coth Sx)(S) dx

J 2x coshx2 dx = senh x2 +e

J 4x3 senh x4 dx = cosh x4 + e

J 2~sech2 JX dx = tanh JX +e

-csch2 - dx = -coth- +e f 1 1 1

x2 X X

J sech x tanh x dx = -sech x + e

f 1 1 1 1 ---:;;:¡:¡ csch r:: coth r:: dx = -csch r:: + e 2x vx vx vx

h senhx

Sabemos que la función tangente hiperbólica está dado por: tan X = coshx

diferenciemos como un cociente, Dx (;) = vu'v-zuv' , obteniendo la expresión:

, luego

d d [senhx] coshx(coshx)-senhx(senhx) 1 2 -[tanhx] =- -- = = --- = sech x

dx dx cosh x cosh2 x cosh2 x

d Pruebe que: -[cschu] = -(cschucoth u)u'

dx

Sabemos que la función cosecante hiperbólica está dado por: csch x = - 1- , luego

senhx

diferenciemos como un cociente, Dx (;) = vu';zuv' , obteniendo la expresión:

d d ( 1 ) (senhx)1' -1(senhx)' coshx - (es eh x = - -- = = - = -es eh xcoth x dx ) dx senhx (senh x) 2 senh x senh x



Ejemplos ilustrativos: veamos a continuación los ejemplos ilustrativos de derivadas de funciones hiperbólicas:

~[senh (x2 - 3)] = cosh(x2- 3)(2x)

dx

1 , senh x ~[in (coshx)] = -h- (coshx) = -h- = tanhx, recuerde que: dX COS X COS X

~ [x senh x- cosh x] = x cosh x + 1. senhx- senhx = x cosh x dx

Ejemplo 28:

DA u .v) = í< t>' + u'v

Determine la derivada de la función f, luego simplifique mediante el empleo de identidades

de las funciones hiperbólicas. 1

f(x) = 2

[ln(tanh x)]

Pasos: 1. Recordemos que la derivada del logaritmo natural estudiado por Nicholas Mercator, está

dado por:

1 1 [ 1 ] f(x) = 2[ln(tanhx)]--> f'(x) = 2· tanhx.Dx(tanhx)

2. Luego de diferenciar, cambiamos la tangente en seno y coseno, la secante en función del coseno y reducimos la expresión:

1 1 1 cosh x 1 1 1 f'(x) = -.--.sech2 x = -.---.--- = = --- = csch2x

2 tanh x 2 senh x cosh2 x 2 senh x cosh x senh 2x

Ejemplo 29:

Calcule la integral de la función hiperbólica: J cosh 2x senh2 2x dx

Pasos:

1. Para desarrollar la integral utilicemos la identidad hiperbólica del ángulo doble, que se

encuentra en la TABLA 2.11: senh2x = 2 senh x cosh x.

2. Utilicemos el siguiente artificio, multipliquemos y dividamos entre 2:

J cosh 2x senh2 2x dx = ~ J (2 cosh 2x)(senh 2x) 2dx

3. Hacemos un cambio de variable: z = senh 2x --> dz = cosh 2x (2x)' = 2 cosh 2x dx

4. Reemplacemos y ordenemos para generar el nuevo integrando en función de z, así:

J cosh2x senh2 2x dx = ~ J (2 cosh 2x)(senh 2x) 2 dx = ~ J (senh 2x) 2 (2 cosh 2x dx) = ~ J z2 dz =~[~]+e

5. Finalmente, cambiemos nuevamente a la variable x, obteniendo:

f 1 [(senh 2x) 3] (senh 2x) 3

cosh2xsenh2 2xdx=2 3

+e= 6 +e



2.2.4.10. Integración de funciones hiperbólicas inversas: 2.2.4.10.A. Introducdém: Al comparar las funciones trigonométricas, con las funciones hiperbólicas podemos decir que éstas últimas no son periódicas. En general, las funciones hiperbólicas son inyectivas por lo tanto, tienen funciones inversas, en cambio las funciones coseno y secante hiperbólicas, son inyectivas, si se restringe su dominio a los números reales positivos, y es en éste dominio restringido donde tienen función inversa.

Sabemos que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones exponenciales, y las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en términos de funciones logarítmicas, como se muestra en la TABLA 2.13:

Demostración:

TABlA 2.13. funciones hiperbólicas inversas

senh-1x = ln (x+,Jxz + 1)

cosh -l x = ln ( x + ,J x2 - 1)

1 1+x tanh-1 x = -ln --

2 1-x

1 x+1 coth-1x = -ln--

2 x-1

(1 Vl + x 2

) csch-1x = In ;: + -

1-x-l -

(-oo,oo)

[1, 00)

( -1,1)

(-oo,-1) U (l,oo)

(0,1]

( -oo, O) u (O, oo)

Demostremos que la función g es la función inversa de f , para ello usaremos las

propiedades de las funciones exponencial y logarítmica.

f(x) = senhx = ex-2e-x y g(x) = ln(x + Vx 2 + 1)

Para demostrar que g es la inversa de f , o viceversa se debe cumplir que:

f(g(x)) = x o g(f(x)) = x

Apliquemos la composición de funciones, tal como se muestra:

eg(x) _ e-g(x) eln(x+Fx"'+i) _ e-[ln(x+Fx"'+i)J (X + ..j X 2 + 1) - [(x+~)l f(g(x)) = x--> f(g(x)) = senh (g(x)) =

2 2 =

2 = x

2.2.4.10.8. Gráfica de las funciones hiperbólicas inversas: Veamos la FIGURA 2.9 que muestra los gráficos de las dos principales funciones hiperbólicas, con sus respectivas características:



FIGURA 2.9: Gráfica del seno y coseno hiperbólico inverso

Cred~nte en todo,$u dominio. Además:

y= senh-1x si y sólo si x = senhy

donde y es cualquier número

real.

-00 -2

1

-1

2.1.4.UU:. Derivación e integración de funciones hiperbólicas inversas: Presentamos a continuación las reglas de derivación y de integración, para las funciones

hiperbólicas inversas, consideremos que u, es una función derivable de x. Se puede

comprobar cada una de ellas, aplicando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas. Veamos la TABLA 2.14.

TABlA 2.14: Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas inversas

1

z{X (1- x)

f~ = senh-1 ':+ e= In (x + .jx2 + a 2 ) +e .Jxz + az a

f __ d_x_ = cosh-1 ':+e =In (x + .J x2 - 22) +e .Jxz _ zz 2

f dx ~tanh_l(x+l) +c=_l_lnl3+(x+l)l+c 32 -(x+1) 2 3 3 2(3) 3-(x+l)

f dx 1 14 + v'42+ xz¡ --e==== --In +e XV42 +x2 4 X



Demostración: Pruebe la siguiente igualdad: f -==d=u= = senh- 1 ~

~uz + aZ a +e

La demostración se realizará diferenciando el lado derecho de la igualdad para obtener el integrando:

( ~) 1 ( X ) Vx

2 + 1 +X 1 D (senh-1x) = D In x+vx2 + 1 = 1 +--- = =---x x x+VxZ+l Vx2 +1 (x+-JX2+I)Vx2+1 Vx2 +1

f du u Demuestre la siguiente igualdad: -fU'2=a2 = cosh- 1 -

uz _ aZ a +e

La demostración se realizará diferenciando el lado derecho de la igualdad para obtener el integrando:

Ejemplo ilustrativo: J dx Calcule la siguiente integral, usando funciones hiperbólicas inversas: ----r=:==:::===;;:

x~16- 9x2

El objetivo es reescribir el integrando, considerando: a= 4 y u= 3x---> du = 3dx.

J dx J 3dx 1 4 + ,/(4)2- (3x) 2

xV16- 9x2 = (3x),/(4)2- (3x)2 =-¡In l3xl +e f du

uVa-z -uz

Ejemplo ilustrativo: Calcule la siguiente integral, usando funciones hiperbólicas inversas: f dx

7- 4x2

De forma similar, reescribimos el integrando, considerando: a= -J7 y u= 2x---> du = 2dx.

Ejemplos ilustrativos: Exprese cada una de las siguientes expresiones en términos de un logaritmo natural:

sech-1 0 3 =In 1+,f1=0,32 = O 6279 ' 0,3

1


1.-J (x + sr dx

4.- J ~2x - 1 dx

6.- J (x - 8) 5 dx

J 12

3.- (4x-7)3dx

9.- J 21~x+14dx

J 6w3 -7

12.- -w--dw

13.-J ~2u + 5 du


z= x+S dz=dx+O


14.-J Fr(r2 - 2) dr

J xz

15.- --dx 1 + x 2

J 6x 2

- llx +S 16.-

1 dx

3x-

En los siguientes problemas exprese la función racional dada en términos de fracciones parciales. Considere la posibilidad de tener siempre que dividir.

18.- f(x) =~--> x 2 +7x+6

z X2

19.- f(x) "=. . .~ x2 + 6x +8

. . 4x -s. 20.--:-f(x) =

2 ..

2 .1

--> .· · · x + x+

Determine las integrales:

6(x 2+1) 25.- Encuentre el área de la región limitada por la gráfica: y= (x+z)z , y el eje x, desde

x=Oax=l.

26.- Exprese cada una de las siguientes expresiones en términos de un logaritmo natural:


Aplicación en Medicina

problema 01

Futbolista herido: En un clásico de fútbol se disputaba la final del campeonato de ascenso a la primera división, en una versión más de la Copa Perú. Un defensa del equipo local salta a despejar y se golpea la cabeza con el jugador rival, cayó al césped y empezó a sangrar de manera profusa a la altura de la frente. Tuvo que retirarse del campo y fue reemplazado. Luego, de ser llevado a la clínica, el médico le indica que tiene un corte que obligó a ponerle más de 12 puntos. Luego, de t días, el área de la herida empieza a cerrar y se está

reduciendo a una tasa de -4(t + 3)-2 en centímetros cuadrados por día. Del domingo, día del partido, hasta el miércoles el área de la herida fue dos centímetros cuadrados. El futbolista le pregunta al médico: a) ¿cuál era el área de la herida el día del accidente? b) ¿cuál será el área prevista de la herida el día viernes si continua sanando a esa misma

tasa?

Primer paso: En primer lugar debemos definir nuestra variable, en este caso sea S , el área de la herida que está sanando, en cm2

, a partir del día del partido de fútbol. Además, según la información, el área está disminuyendo a una tasa o razón con respecto al tiempo de:

Segundo paso:

dS - = -4(t + 3)-2

dt

Despejamos dS , para darle la forma y aplicar la integración en cada miembro:

dS = -4(t + 3)-2dt

f dS = J -4(t + 3)-2 dt

Tercer paso: Aplicamos el método de sustitución, hacemos que: z = t + 3 , luego diferenciamos z con

respecto a t así, dz = dt , reescribimos el integrando, obteniendo:

S= -4 J (t + 3)-2 dt = -4 J z-2 dz = -4 [~:]+e= 4z-1 +e

Cuarto paso: Para terminar de resolver la integral reemplazamos en la ecuación original, en función del tiempo t en días :

S= -4 J (t + 3)-2 dt = 4(t + 3)-1 +e~ S= 4(t + 3)-1 +e

Quinto paso: De acuerdo a la información, el área de la herida sufrida por el jugador de fútbol, el día miércoles fue de 2 cm2

, recordemos que se lesionó el domingo, hasta el miércoles han



transcurrido 3 días, es decir t = 3 . Con esta información podemos calcular la constante arbitraria de integración e, haciendo que S(3) = 2, reemplazamos en la ecuación S:

S(t) = 4(t + 3)- 1 +e 2 = 4(3 + 3)-1 +e .. e= 41J

Entonces, la ecuación de la herida que está sanando es:

S(t) = 4(t + 3)-1 + 41J

Sexto paso: Respondemos las preguntas: a) El día del accidente, se considera como día inicial; es decir, el área de la herida el día del partido de fútbol se produce cuando el tiempo es cero, t =O, entonces el área fue:

S(O) = 4(0 + 3)-1 + 41J -¿ S(O) = 2,67 cm2

b) Luego a los 5 días, desde el domingo hasta el viernes, el área de la herida que está sanando será:

S(5) = 4(5 + 3)-1 + 41J -¿ S(5) = 1,83 cm2

Solución: Finalmente, el día del accidente el área de la herida fue 2,67 cm2

, y para el día viernes será

de 1,83 cm2 , lo más probable es que el jugador esté alineando para el partido de revancha.

Aplicación en Sociología

Problema 02

!Esperanza de vida: En la ciudad de México se llevó a cabo un estudio de la esperanza de vida con una muestra representativa de los residentes en esa ciudad. Si la tasa de cambio de la esperanza de vida EV de personas que nacieron en la ciudad de México puede modelarse como:

dEV 19

dt 3t+45

donde t es el número de años a partir de 1 950 y la esperanza de vida en ese año fue de 66 años, encuentre la esperanza de vida para personas que nacieron en 1 996.

Primer paso: En este problema, en comparacron con el anterior la tasa de cambio ya está definida. Se trata de integrar la Esperanza de vida en función del tiempo, con la finalidad de obtener la ecuación de la Esperanza de vida, EV:

dEV 19

dt 3t + 45

Segundo paso: Despejamos dEV para darle la forma, y aplicar la integración en cada miembro:



19 f f 19 dEV=--dt-> dEV= --dt 3t + 45 3t + 45

19 f dt .. EV == 3 t + 15

Tercer paso: Aplicamos el método de sustitución, hacemos que: z = t + 15 , luego diferenciamos z, con respecto a t, dz = dt , reemplazamos en la ecuación de la Esperanza de vida, obteniendo:

19 J dt 19 J dz 19 19 EV =- --=- - = -lnlzl + e -> EV = -lnlzl + e

3 t + 15 3 z 3 3

Cuarto paso: Para terminar de resolver la integral reemplazamos en la ecuación original, en función del

tiempo t en días :

19J dt 19 19 19 EV =- --

5-> EV = -

3 lnlzl +e= -(lnlt + 151 +e) :. EV = -

3 lnlt + 151 +e

3 t + 1 3

Quinto paso: 19

Recuerde amigo lector, -e sólo se toma como e, bien, siguiendo con la información, la 3 1

Esperanza de vida de los mexicanos en 1 950 fue de 66 años, es decir, en t = O -> EV = 66, ahora calculemos la constante arbitraria de integración e, de la siguiente manera:

19 EV = 3lnlt + 151 +e

19 -> 66 = 3\n(O + 15) +e -> e= 48,84

Entonces la ecuación de la Esperanza de vida es: EV(t) = ~lnlt + 151 + 48,84

Sexto paso: La Esperanza de vida para las personas de la ciudad de México que nacieron en 1 996 (t = 46) será calculado en la función de la esperanza de vida, como sigue:

19 EV = 3lnl46 + 151 + 48,84-> EV = 74,87 años

Solución: Finalmente, la esperanza de vida en 1 996, es mayor que en 1 950, debido a los grandes avances en las ciencias y tecnología.


Problema 03

ilo reto!: Amigo lector, a partir de este instante, tiene 2 minutos para resolver el ejercicio de la integral indefinida.

J Zm-9

-;=====dm .Jm2 - 9m+ 1

Primer paso: Por el método de sustitución igualamos z con el radicando del integrando: z = m 2 - 9m + 1



Segundo paso: Luego, se diferenciamos z, con respecto a m, y se despeja, la dm:

dz d 2

dz dm = dm (m - 9m + 1) = 2m - 9 ~ dz = (2m - 9)dm :. dm =

2m _

9

Tercer paso: Luego, ordenamos, reemplazamos, cancelamos en el integrando, y resolvemos:

f ¡==;;2=m=::=-=9==.=dm = J-2m_-_9 (-d_z_) = J dz = J z-1/2dz = (-z1-/2) +e= 2z1/2 +e -Jm2-9m+1 -Vz 2m-9 -Vz 1h

Solución: Finalmente, reemplazamos por la variable original m, obteniendo:

Problema 04

f ---,=:::;;2:=m=::=-=

9==dm = 2(m2 - 9m + 1) 112 +e

-Jm2 - 9m + 1


Aplicando la fórmula: Otra de las técnicas, para evaluar un integral, es utilizar directamente las fórmulas de la TABLA 2.5 (pág. 42), pero primero se debe reescribir el integrando, utilizando el método completando el cuadrado, veamos el siguiente caso:

f dx

-Jsx- x 2

Primer paso: Debemos reescribirlo, utilizando el método de completar el cuadrado, que consiste en

2

sumarle y restarle, la mitad del coeficiente lineal al cuadrado (D , con el objetivo de formar

el Trinomio cuadrado perfecto (TCP) de la siguiente manera:

[ 8

2 8 2]

8x- x2 = -(x2 - 8x) = - x2 - 8x + (;z) - (2) = -(x2 - 8x + 16) + 16 = 16- (x- 4)2

Segundo paso: En esta ocasión, no aplicaremos el método de sustitución, sino la fórmula de la TABLA 2.5 :

f~= sen- 1 (~) +e a2 _ x2 a

Solución: Finalmente, reemplazamos en la fórmula precedente y obtenemos la respuesta:

f r:==d=x="" = J dx = sen-1 (-x_-_4) +e -J8x- x2 -,)16- (x- 4)2 4




problema 05

Eliminación de una raíz cuadrada: Son problemas de integrales que se resuelven utilizando Identidades trigonométricas con la finalidad de eliminar el signo radical, haciendo que el radicando se encuentre al cuadrado. En el ejercicio considere el coseno en el primer

cuadrante y resuelve.

J V1 + cos4x dx

Primer paso: Estimado lector, se utilizará la fórmula trigonométrica de la TABLA 2.11 (pág.93), que está

dado por: 2 1 + cos 2e

cos e= 2 ---7 1 + cos2e = 2cos2 e

Seguru:lo paso: Hacemos que e = 2x, entonces se convierte en:

1 + cos 2(2x) = 2 cos 2 2x --->1 + cos 4x = 2 cos 2 2x

Tercer paso: Reescribimos el radicando del integrando, utilizando la igualdad obtenida, ahora es un nuevo integrando:

J V1 + cos4x dx = J .J2 cos2 2x dx

Cuarto paso: Resolvemos algebraicamente y obtenemos:

j -../1 + cos 4x dx = j .Jz cos 2 2x dx = J vz.J cos2 2x dx = j Vi leos 2xl dx = ..rz f cos 2x dx

Solución: k Finalmente, usamos la fórmula de la TABLA 2.8 y reemplazamos: J coskx dx =se~ x +e

J f (sen 2x) v1 + cos 4x dx = ..fi cos 2x dx = -/2 -2- +e


Problema 06

Multiplicando por un factor: Son problemas de integrales que se resuelven utilizando Identidades trigonométricas, con la finalidad de obtener la forma de un logaritmo. En éste caso utilizamos el método de sustitución. Veamos el siguiente caso:

J secxdx



Primer paso: Estimado lector, en esta ocasión el factor es el número uno, que multiplicará al integrando, de la siguiente manera:

J secx (1)dx

Segundo paso: A continuación, reemplazamos éste número por la expresión trigonométrica entre paréntesis, reescribiendo el integrando, así:

f (secx + tanx) secx dx

secx + tanx

Tercer paso: Resolvemos algebraicamente y obtenemos:

f J (secx + tanx) J sec2 x + secx tan x secx dx = secx dx = dx

sec x + tan x sec x + tan x

Cuarto paso: En esta parte, utilizamos el método de sustitución:

a.- Se elige una variable, tal como z, entonces se iguala z, con el denominador del

integrando: z = secx + tanx

b.- Luego, se diferencia z, con respecto a x, y se despeja la dx:

dz d d d - = -d (secx + tanx) = -d (secx) + -d (tanx) dx X X X

dz dz - = secx tan x + sec 2 x ---> dx = ----------=:dx sec x tan x + sec2 x

c.- A continuación, reemplazamos, cancelamos en el integrando, y resolvemos:

J sec2 x + secx tan x dx = J sec2 x + sec x tan x ( dz ) secx+tanx z secxtanx + sec2 x

J secx dx = J d: = lnlzl +e= lnlsecx + tanxl +e

Solución: Finalmente, podemos concluir que muchos de los problemas de integrales requieren, métodos conjuntos, es decir, una combinación de ellos.

J secx dx = lnlsecx + tanxl +e




Problema 01

Función de demanda: Una importante emisora de radio, lanza al aire un nuevo programa de las once hasta la una de la mañana, éste espacio musical, tendrá como principal característica la música de los 80s, y para ello adquieren un lote de discos compactos originales y se estima que el precio p, en dólares de cada unidad de CD original, cambia a

una tasa de: dp -115x

dx J9 +xz

donde x, en cientos de unidades, es la cantidad demandada por la emisora. Suponga que

se demandan 400 unidades, cuando el precio es de 15 dólares por unidad. El fabricante, como parte de la cultura de fidelización del cliente (en éste caso de la radio), llevará a cabo

un estudio para:

a) Determinar el modelo matemático, es decir la función de la demanda p(x).

b) LA qué precio se demandarán 200 unidades, sabiendo que son CDs importados y autografiados? LA qué precio no se demandará ninguna, debido a la exclusividad de los

Cds? e) Cuántas unidades se demandarían a un precio de 9 dólares por unidad?

Primer paso: Sabemos que el precio por unidad demandada p(x), se determina integrando la tasa de

cambio dp/dx, para ello despejamos dp, así:

-115x J J -115x J x dp = ~dx -7 dp = ~dx :. p = -115 ~dx v 9 + x2 v 9 + x2 v 9 + x2

Segundo paso: Aplicamos el método de sustitución, haciendo que: z = 9 + x2

-7 dz = 2x dx, despejamos

dx =::,reemplazamos en la ecuación del precio por unidad demandada p(x), obteniendo:

p=-115 dx=-115 --=--- +e=-115z112 +e f x J x dz 115 [z11

2]

-Jg + xz {Z 2x 2 1/2

Tercer paso:

Para terminar de resolver la integral reemplazamos en la ecuación original, en función de x:

p = -115 J x dx = -115z 112 +e -7 p(x) = -115)9 + x2 +e V9 + x 2

Cuarto paso:

Una vez conocida la ecuación, precio por unidad demandada p(x), procedemos a determinar

la constante arbitraria e, a partir de la información siguiente: la demanda de CDs por parte

de la radio, es de 400 unidades (recuerde que la cantidad demandada, está en cientos de



unidades, entonces, x = 4) cuando el precio p es de 15 dólares por unidad, así p(4) = 15.

Reemplazamos en la ecuación, precio por unidad demandada p(x):

p(x) = -115h + x 2 +e ___, 15 = -115..}9 + (4) 2 +e .. e= 590

La ecuación del precio por unidad demandada p(x) es:

p(x) = -115..)9 + x 2 + 590

Quinto paso: Procedemos a calcular las preguntas b) y e), para el primer caso nos piden: b) ¿A qué precio se demandarán 200 unidades? Entonces x = 2 y el precio es:

p(x) = -115..}9 + (2) 2 + 590

p(2) = 175,36 dólares por unidad

¿A qué precio no se demandará ninguna, debido a la exclusividad de los Cds?

No se demanda ninguna unidad cuando x = O y el precio correspondiente es:

p(O) = -115..}9 + (0) 2 + 590

p(O) = 245 dólares por unidad

e) ¿cuántas unidades se demandan a un precio de 9 dólares por unidad? Utilizando la ecuación, precio por unidad demandada p(x), para determinar el número de

unidades demandadas a un precio unitario de 9 dólares, debemos resolver una ecuación de segundo grado, de la siguiente manera:

9 = -115..)9 + x 2 + 590

5,052 = ~ ___, 25,52 = 9 + x 2 ___, 16,52 = x 2

___, x = ±4,07 :. x = 107

Solución: Finalmente, podemos decir que debido a diversas características de los CDs estos varían en precio. Entonces, si el precio fuese de 9 dólares se demandarían 407 CDs.


Problema 08

Ingreso marginal: El ingreso marginal se define como la variación de los ingresos totales, cuando la producción varía en una unidad adicional de un determinado bien, en los mercados de libre competencia ninguna empresa puede influir sobre el precio, por lo que el ingreso marginal es siempre igual al precio.

Si dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de demanda p.



dr 200

dq (q + 2) 2

Primer paso: Amigo lector, despejamos dr, e integramos la función de ingreso marginal para obtener la

función de ingreso r:

f J 200 J 200

dr = d ---? r = d (q + 2)2 q (q + 2)2 q

Segundo paso: Utilizando el método de sustitución, hacemos que z = q + 2, luego dz = dq, reemplazamos:

Tercer paso:

f 1 200 r = 200

22 dq ---? r =---+e

q+2

Sabemos que r = p. q , donde p, es el precio unitario de venta en dólares y q, la cantidad de artículos producidos, entonces:

200 p.q =---+e ---?

q+2

-200 p = q(q + 2) +e

Solución: 200 Finalmente, la función de demanda p es: p(q) =- q(q +

2) +e


Problema 09

Costo marginal: El costo marginal es la variación que se produce en el costo total cuando el productor desea aumentar o disminuir el "output" en una unidad. Debemos saber que la función de costos no es lineal, por lo tanto, el costo marginal nos mostrará como varía el costo total cuando la variación en el "output" es muy pequeña. Si de/dq es una función de

costo marginal encuentre la función de costo total e, sabiendo que el costo fijo es $2 000.

Primer paso:

dC 20

dq q + 5

Amigo lector, despejamos de, e integramos en ambos miembros de la igualdad, para obtener el costo total e:

J de = f q ~S dq ---7 e = f q ~S dq ---7 C = 20 In(q +S) +e



Segundo paso: Presentamos la función de costo total e, como sigue:

e(q) = 20 ln(q + 5) +e

Tercer paso: Ahora, para calcular la constante arbitraria e, consideremos el valor del costo fijo, cuando

la cantidad q =O.....¿ e(o) = 2 000 , y reemplazamos en la función de costo total e:

e(O) = 20 ln(O + 5) + e .....¿ 2 000 = 20 ln(5) +e :. e = 2 000 - 20 In 5

Solución: Finalmente, la función de costo total e, está dado por:

(q + 5) e(q) = 20 ln(q + 5) + 2 000- 20 In 5 .....¿ e(q) = 20 In -q- + 2 000


Problema 10

Propensión marginal: La propensión marginal es la relación entre los aumentos en el consumo y los aumentos en el ingreso. A medida que el nivel de ingreso de las personas aumenta, su propensión marginal al consumo es menor. Es así que una persona que tiene un nivel de ingreso de subsistencia destinará al consumo la totalidad de cualquier aumento marginal de su ingreso. Sea dejd! la representación de la propensión marginal al consumo.

Encuentre la función de consumo e, sujeta a la condición dada.

Primer paso:

dC 1

dl Vi C(9) = 8

Amigo lector, despejamos de, e integramos en ambos miembros de la igualdad, para

obtener la función de consumo e:

J de= J ~di .....¿ e= J ¡- 112 dq .....¿e= 2-J/ +e

Segundo paso: La función de consumo e, es:

e(!) = 2-J/ + e

Tercer paso: Para calcular la constante arbitraria e, consideremos el dato, e(9) = 8, y reemplacemos en

la función de consumo e:

e(l) = 2-J/ +e .....¿ e(9) = 2-/9 +e .....¿ 8 = 2(3) +e :. e= 2

Nuevamente reemplazamos en la función de consumo e:



c(I) = 2-JJ +e ---> C(I) = 2-JJ + 2

solución: Finalmente, la función de consumo C, está dado por, e(I) = 2-JJ + 2.


Problema 11

Propensión marginal: La propensión marginal según Keynes, es el aumento que se produce en el consumo cuando la renta aumenta en una unidad, es decir, destinamos siempre la misma proporción de ese aumento en el consumo. Si de/di, representa la propensión marginal al consumo. Encuentre la función de consumo

sujeta a la condición dada.

dC 3 1 ---

dl 4 6.J[ C(25) = 23

Primer paso: Procedemos de forma similar al caso anterior, despejamos de, e integramos en ambos

miembros de la igualdad para obtener la función de consumo e:

J de = J (~- -1-) di ---> e = J ~di-~ J r 112 dq---> e=~ 1- ~.JI+ e

4 6-JJ 4 6 4 3

La función de consumo e, es: e(/) =!!. I- ~.JI+ e 4 3

Segundo paso: Para calcular la constante arbitraria e, consideramos el siguiente dato, e(25) = 23, y

reemplazamos en la función de consumo e:

3 1 e(!) = - I - -.JI + e

4 3

3 1 ---> e(25) = ¡(25) - 3m+ e --->

3 1 23 = ¡(25) - 3(5) +e ..

Solución: 3 1 71 Finalmente , la función de consumo e, está dado por: e(/) =- I --.JI+-

4 3 12


Problema 12

71 e=-

12

Costo marginal: El costo marginal es el incremento que sufre el costo cuando se incrementa la producción en una unidad, es decir, el incremento del costo total que supone la producción adicional de una unidad de un determinado bien. Suponga que la función de costo marginal para el producto de un fabricante está dado por:



dC 100q2 - 4 998q + 50

dq q2 - 50q + 1

donde e es el costo total en dólares cuando se producen q unidades.

a) Determine el costo marginal cuando se producen 50 unidades. b) Si los costos fijos son de $10 000, encuentre el costo total de producir 50 unidades. e) Use el resultado de las partes (a) y (b) y diferenciales para aproximar el costo total de

producir 52 unidades.

Primer paso: Estimado lector, en la pregunta a) nos piden calcular la función de costo marginal de 1 dq, cuando se producen 50 unidades, q = 50:

dC ( _ 100(50) 2 - 4 998(50) +50 ___, de ) _

dq SO) - (50) 2 - 50(50) + 1 dq (SO - 150

Entonces cuando se producen 50 unidades el costo marginal será 150 dólares. Es decir, es el aumento que sufre el costo total debido al incremento de la producción en la unidad 51.

Segundo paso: Reescribimos la función de costo marginal, observe el artificio está resaltado en negrita:

de 100q2 - 4 998q + 50

dq q2 - SOq + 1

dC 100q2 - 5 OOOq + 2q + 100 - 50

dq q 2 - SOq + 1

dC 100q2 - S OOOq + 100 + 2q - 50

dq q2 - SOq + 1

de = 100 + ---=-z_q_-_so_ dq q 2 - SOq + 1

Tercer paso: Procedemos a despejar de, e integramos en ambos miembros de la igualdad/ para obtener

la función del costo total e:

J de = J ( 100 + q2 Z:: 5~:: 1) dq ___, e = J ( 100 + q2 ~q 5~:: 1) dq

Cuarto paso: Utilizamos el método de sustitución/ para la función del costo total C:

Hacemos z = q2- SOq + 1---> dz = (2q- SO)dq y despejamos dq: dq = ~

2q-50

f ( 2q - 50 ) J J ( 2q - so ) e= 100 + 2 5 1

dq ___,e = 1oo dq + 2 5

dq · q - Oq + q - Oq + 1



e=' 100q + f (q ~~)zq ~so = 100q + f G)dz = 100q + lnlzl +e :. C(q) = 100q + lnJq 2- SOq + 11 +e

Quinto paso: Para calcular la constante arbitraria e, consideremos el valor del costo fijo, cuando no se tiene alguna cantidad producida q =O ...., e(O) = 10 000, y reemplazamos en la función de

costo total e:

C(q) = 100q + !n\q2 - SOq + 1\ +e...., e(O) = 100(0) + ln\02- 50(0) + 1\ +e :. e = 10 000

La función del costo total es:

e(q) = 100q + !n\q 2- SOq + 1\ + 10 000

Sexto paso: conociendo la función del costo total e(q), determinamos el costo total de producir 50

unidades. e(SO) = 100(50) + ln[S02

- 50(50) + 1] + 10 000 ...., e(SO) = 15 000

El costo total para producir 50 unidades, es 15 000 dólares.

Séptimo paso: Aplicando diferenciales para aproximar la función de costo total al producir 52 unidades tenemos:

e(S2)- e(SO) = [:~(SO)] (52- SO) ...., e(S2)- 15 000 = 150(2) :. e(S2) = 18 000

Solución: Finalmente, cuando se producen 52 unidades el costo total aproximado es 18 000 dólares.


Problema 13

Función de costo: El encargado del área de producción de una Empresa China dedicada a la fabricación de cuadernos, tipo block, presenta un informe detallado al gerente de producción, acerca del costo marginal para dicho producto, cuyo modelo matemático está dado por:

donde e, es el costo total en dólares si se producen q unidades. Los costos fijos son de $360.

a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades. b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades. e) Utilice los resultados de las partes a) y b), y utilice diferenciales para estimar el costo

total de producir 23 unidades.


Primer paso: Estimado lector, en la pregunta a) nos piden calcular la función de costo marginal el cual

está dado por de , cuando se producen 25 unidades q = 25: dq

de 9 -(25) = --125 dq 10

3 de 0,04(25)2 + 4 ~ dq (25) = 13,5

Esto quiere decir, que cuando se producen 25 unidades el costo marginal es 13,5 dólares.

En otras palabras, es el aumento que sufre el costo total debido al incremento de la producción de la unidad 26.

Segundo paso:

Procedemos a despejar de, e integramos en ambos miembros de la igualdad, para obtener

la función del costo total e:

Tercer paso:

Utilizamos el método de sustitución, para la función del costo total C, para ello igualamos y

diferenciamos z = 0,04q~ + 4 ~ dz = [o,04 (~) q112] dq, luego, despejamos dq: dq = (~)

2 0,04 2 fii

Reemplazando, z en función de q, obtenemos:

(

3 3/2

e(q) = 10 0,04q2 + 4) +e

Cuarto paso: Para calcular la constante arbitraria e, consideremos el valor del costo fijo, cuando no se

tiene alguna cantidad producida q =O~ e(o) = 360, y luego, en la función de costo total e:

3 3/2

e(O) = 10 ( 0,04(0)2 + 4) +e ~ 360 = 80 +e :. e = 280

La función del costo total, está definida por:

3 3/2

e(q) = 10 ( 0,04q2 + 4) + 280

Quinto paso: Conocido la función del costo total e(q), determinamos el costo total de producir 25 unidades.



3 3/2

C(25) = 10 ( 0,04(25)2 + 4) + 280 __, C(25) = 550

El costo total para producir 25 unidades es 550 dólares.

sexto paso: Aplicando diferenciales para aproximar la función de costo total cuando se producen 23

unidades, tenemos:

Solución:

!:J.C = dc./J. dq q

C(23) - C(25) = [~~ (25)] (23 - 25)

C(23)- 550 = 13,5( -2) __, C(23) = 523

Finalmente, cuando se producen 23 unidades el costo total aprox'mado es 523 dólares.


Problema 14

Función de consumo: La propensión marginal al ahorro en cierto país está dado por:

dS 1 1,8

di z V31z

donde S e I representan el ahorro y el ingreso total nacional respectivamente, y están

medidos en miles de millones de dólares.

a) Determine la propensión marginal al consumo cuando el ingreso total nacional es de $81 mil millones.

b) Determine la función de consumo, si el ahorro es de $3 mil millones, cuando el ingreso total nacional es de $24 mil millones.

e) Use el resultado de la parte b) para mostrar que el consumo es de $54,9 mil millones, cuando el ingreso total nacional es de $81 mil millones.

d) Use diferenciales y los resultados de las partes a) y e) para estimar el consumo, cuando el ingreso total nacional es de $78 mil millones.

Primer paso: Estimado lector, es importante reconocer y diferenciar las siguientes relaciones matemáticas, aplicadas en economía, como son la propensión marginal al ahorro y la

propensión marginal al consumo, donde S = ahorro e I = ingreso total nacional , veamos:

115

Gabriel Loe - Cálculo Integral

La función de propensión marginal al ahorro ~~' contiene a la función de propensión

marginal al consumo de ; por lo tanto, para responder la pregunta a) despejamos di

propensión marginal al consumo/ veamos:

Segundo paso:

dS .. dC di =l- di

dC dS ~ -,-=1--

dl dl

Reemplazamos, la propensión marginal al ahorro de cierto país, en la función de propensión marginal al consumo, de la siguiente manera:

dS 1 1,8 ----

di 2 3,J3 ¡z

dC 1 1,8 _, -=-+--

di 2 V3 ¡z

Tercer paso: Ahora si podemos responder la pregunta a), tenemos como información que el ingreso total

marginal I, es 81 mil millones (sólo ingresa 81 en la fórmula), así:

dC 1 1,8 de 1 1,8 de

di(!)= -2 + 3r;:;?}3J2 _, -d (81) =- + 3~ :. -d (81) = 0,57

V:5r 1 2 ~3(81)2 l

Esto quiere decir, que si el ingreso de las personas aumenta en un mil millones, entonces su consumo se incrementará en 0,57 mil millones.

Cuarto paso: Para responder la pregunta b), tomamos en cuenta la función de propensión marginal al consumo y procedemos a despejar de, e integramos en ambos miembros de la igualdad,

para obtener la función de consumo e:

de 1 + 1,8 f de f (1 + 1,8 ) di _, e = J ~di + J 3\11,8 di di = 2 V3fi --) == 2 V3 ¡z 2 3 ¡2 ··

1 e = -./ + 3,74\17 +e

Quinto paso: En este punto debemos hacer un análisis simple, para calcular la constante arbitraria e ; sabemos que la función de consumo [¡ restado del ingreso total nacional 1, nos dá como

resultado, el ahorro total nacional S, de la siguiente manera:

r- =S

Reemplazamos los datos, S= 3; 1 = 24 con esta información determinamos, e= 21, ahora

si estamos en condiciones de calcular la constante arbitraria e:

1 1 e= 21 + 3,74VI +e _, 21 = 2 (24) + 3,74\124 +e :. e= -1,79


Unidad II -Integrales Indefinidas

sustituimos en la función de consumo C:

1 3/r e= 21 + 3,74vJ -1,79

sexto paso: Para responder la pregunta e), empleamos el resultado de la parte b) para demostrar que el

consumo es de $54,9 mil millones, cuando el ingreso total nacional I es de $81 mil millones.

1 C(l) = -zl + 3,74Vi -1,79

C(81) = .!:(81) + 3,74V8I -1,79---> C(81) = 54,89 mil millones de dólares 2

Séptimo paso: Para estimar el consumo, cuando el ingreso total nacional es de $78 mil millones, tenemos:

Solución:

C(78) - C(81) = [:~ (81)] (78 - 81)

C(78)- 54,9 = 0,57( -3) ---> C(78) = 53,2

Finalmente, podemos observar que se trata de un problema completo de economía, en la cual se desarrollaron diversos conceptos que son empleados en el día a día.


Problema 15

Lanzamiento de uro proyectil: Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio de 99 pies de altura. ¿Determine la ecuación de la velocidad de la

pelota? Considere la aceleración de la gravedad -32 pies y la constante de integración de sz '

56 pies sz .

Primer paso:

Recordemos que la ecuación de la velocidad v(t), está dado por: v(t) = f adt

Segundo paso: Llevamos a cabo la integración, obteniendo: v(t) = -32t +e

Tercer paso:

Reemplazamos la constante de integración, e= 56 vi~s, en la ecuación de la velocidad: S

v(t) = -32t +56



Solución: Finalmente, la ecuación de la velocidad con la cae la pelota es: v(t) = -32t +56.


Problema 16

Resuelve por el método de sustitución: L = J J 1 + 9x~/3 dx

Primer paso: En este problema, el procedimiento es directo, veamos: ( 3x'f')' = g;,;Z/3

~-----'-1

f ~ 1¡·hx2/3 +4 L = ~ 1 + 9x2J3 dx -> L = '3 x 113 dx

Segundo paso: A fin de evaluar ésta integral considere z = 9x213 + 4 -> dz = 6x- 113dx :. dx = dz/6x-113.

1 f 1 (2 ) (9x21

3 + 4)312

L =- z 112dz =- -z312 +e -> L = +e 18 18 3 27

Solución: ( 9x2/3 + 4il2

Finalmente, luego de aplicar el método de sustitución tenemos, L = +c. 27


Problema 17

Caso factor cuadrático y lineal: Aplicando las fracciones parciales y teniendo en cuenta los grados de los polinomios resuelve:

Primer paso:

J 2x2 - 5x- 2 ~-~:-:---:- dx (x- 2)2 (x- 1)

2x 2 -5x-2 La fracción racional propia se debe reescribir como una suma de fracciones

(x-2)2(x-1)

parciales, se trata de un factor cuadrático repetido (x- 2) 2 y un factor lineal (x- 1), por

tanto, las fracciones están dadas de la siguiente forma:

2x2 - Sx - 2 A B C -(x---2-.,.)-c-2 (.,.-x---1-) = (x - 2) 1 + (x - 2)2 + -(x---1-)



segundo paso: A continuación, se multiplica por el mínimo común denominador (x- 2) 2 (x- 1) a cada

término, en ambos miembros de la ecuación, así tenemos:

2x2 - 5x - 2 A B e -,-----::-;:--;-----:- = + + ---(x-2)2(x-1) (x-2)1 (x-2) 2 (x-1)

(2x2- 5x- 2)[(x- 2)2(x- 1)] A[(x- 2)2(x- 1)] B[(x- 2)2(x- 1)] e[(x- 2) 2(x -1)] _s:__-,--~c'::;--;--:-::----- = + + ----,------

(x-2)2(x-1) (x-2)1 (x-2) 2 (x-1)

Obteniendo: 2x2 - 5x- 2 = A(x- 2)(x- 1) + B(x- 1) + e(x- 2) 2

Resolviendo por la propiedad distributiva:

Tercer paso:

A(x- 2)(x- 1) = Ax2 - 3Ax + 2A B(x- 1) = Bx- B

e(x - 2) 2 = ex2 - 4ex + 4e

Ordenamos los coeficientes y sumamos, formando dos polinomios idénticos, tal como se

muestra: 2x2 - 5x - 2 = Ax2

- 3Ax + 2A + Bx - B + ex2 - 4ex + 4e

Factorizamos los términos comunes (son polinomios idénticos, =):

2x2 - 5x - 2 = (A + e)x2 + (B - 3A - 4e)x + 2A - B + 4e

Cuarto paso: Luego, comparamos los coeficientes del miembro izquierdo con el miembro derecho y formamos un sistema de ecuaciones, así:

Quinto paso:

A+C=2 --'>A=7 B- 3A- 4C = -5 --" B = -4 2A - B + 4C = -2 __,. C = -5

Con los valores de A , B y e se obtiene un nuevo integrando:

2x2 - 5x - 2 7 -4 -5 -,---,.,.-;:--;-----::- = + + ---(x-2)2(x-1) (x-2)1 (x-2)2 (x-1)

Sexto paso: Finalmente, integramos cada fracción obtenida, los cuales son más simples de calcular, así:

J -,-2x_2--:-::-_-::-5-,-x_-_2-::- dx = J _7_ dx + J -4 dx + J _-_5_ dx (x-2)2(x-1) x-2 (x-2)2 x-1

f 2x2 - 5x - 2 ( -1 ) (x _ 2) 2(x _ 1) dx = 7lnlx- 21 - 4 x _ 2 - 5lnlx- 11 +e



DEBES SABER QUE: Amigo lector, luego de evaluar la integral de fracciones parciales, generalmente los resultados se expresan como: In, tan-1, etc.

Solución: Finalmente, luego de evaluar la integral tenemos:

4 x _

2- Slnlx- 11 + 7lnlx- 21 +e


Problema 18

Caso factores irreductibles: Aplicando las fracciones parciales y teniendo en cuenta los grados de los polinomios resuelve:

lJ 12x3 + 20x2 + ZBx+ 4 - dx 3 (x2 + Zx + 3)(x2 + 1)

Primer paso: Podemos observar que se trata de factores irreductibles, es decir, no se pueden llevar a factores lineales.

Segundo paso: Tenemos el denominador formado por factores cuadráticos que no se repiten, entonces empleamos numeradores del tipo, Ax + B y Cx + D respectivamente.

12x3 + 20x2 + 28x + 4 Ax + B Cx + D -:-~---.,...-:--::---:- = + ---(x2 + 2x + 3) (x2 + 1) x2 + 2x + 3 x 2 + 1

Tercer paso: Similar al problema 17, multiplicamos la expresión anterior por: (x2 + 2x + 3)(x2 + 1) , obteniendo una ecuación de tercer grado, veamos:

12x3 + 20x2 + 28x + 4 = (Ax + B)(x2 + 1) + (Cx + D)(x2 + 2x + 3)

Cuarto paso: Aplicamos la propiedad distributiva, factorizamos e igualamos los dos polinomios idénticos:

12x3 + 20x2 + 28x + 4 = (A+ C)x3 + (B + 2C + D)x2 + (2D + 3C + A)x + B +3D

Quinto paso: Luego, comparamos los coeficieRtes del miembro izquierdo con el miembro derecho y formamos el sistema de ecuaciones siguientes:



sexto paso:

A+ e= 12 ~A= 4 B + 2e + D = 20 -" B = 4

A + 2D + 3e = 28 -" e = 8 B + 3D = 4 -" D = O

con los valores de A, By e se obtiene un nuevo integrando:

12x3 + 20x2 + 28x + 4 4x + 4 8x + O -:--::----.,..-;--::---,--- = + --(x2 + 2x + 3)(x2 + 1) x 2 + 2x + 3 x 2 + 1

1 J 12x3

+ 20x2

+ 28X: + 4 1 [J 4x + 4 J 8x ] - dx = - dx + -- dx 3 (x2 +2x+3)(x2 +1) 3 x 2 +2x+3 x2 +1

1 J 12x3

+ 20x2

+ 28x + 4 2 [J 2x + 2 4 J 2x ] - dx = - dx +- -- dx 3 (x2 +2x+3)(x2 +1) 3 x 2 +2x+3 3 x2 +1'

1 J 12x3 + 20x2 + 28x + 4 _ 2 2 4 2 - ( 2 )( 2 ) dx--!nlx +2x+31+-lnlx +11+c 3 X + 2x + 3 X + 1 3 3

Solución:

Finalmente, la antiderivada está dada por, ~ lnlx2 + 2x + 31 + ~ lnlx2 + 11 +e 3 3

A.pli<l:::ación en física

Problema 19

Puerto del Callao: En las vacaciones de verano Derek, Keissy y sus padres salen a navegar hacia una isla cerca del puerto del Callao. En la mañana, día del viaje, Jesús padre de Derek arrastra su bote con una cuerda hacia el muelle. Mientras el papá camina por el muelle, el bote recorre una tractríz, que es la trayectoria curva que describe el bote

mientras es jalado hacia el muelle. La ecuación de dicha tractriz está dado por:

y= a sech-1 ~- -J az- x2 a

donde a es la longitud de la cuerda, si a es 15 pies, y x es la distancia del bote hacia el muelle, calcule la distancia que el papá debe caminar para llevar el bote a 3 pies del muelle. La distancia recorrida por el papá esta dada por la siguiente ecuación:

z = y + -J a 2 - x 2

Primer paso:

Debemos determinar la ecuación de la distancia recorrida por el padre de Derek, para ello reemplazamos la ecuación de la tractriz en la ecuación de la distancia, de la siguiente manera:



Recuerde que, a = 15: z =a sech-1 :::_ --7 z = 15 sech-1 _:::._ a 15

Segundo paso: Conociendo la distancia del bote hacia el muelle, x = 3 pies, y a = 15 aplicamos la fórmula de la secante hiperbólica inversa dado por:

Tercer paso:

1 + ,f1- x2

sech-1 x =in----x

Reemplazamos en la ecuación de la distancia que debe caminar el papá de Derek, z:

:. z = 34, 39 pies

Solución: Finalmente, la distancia que debe recorrer el papá para llevar el bote a 3 pies del muelle es 34,39 pies.

Aplicación en Ingeniería Eléctrica

Problema 20

Electrificación: La electrificación rural es un desafío permanente para mejorar la calidad de vida y el trabajo de la población, facilitando su desarrollo y brindando medios suficientes para las diversas labores de los habitantes. En ese sentido el MTC (Ministerio de Transporte y Comunicaciones) ejecuta proyectos de tendido eléctrico.

Como sabemos los cables de un tendido eléctrico están suspendidos entre dos torres de alta tensión para la distribución eléctrica de alta y baja tensión, formando una curva conocida como catenaría, sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme, cuya ecuación es

la siguiente: X

y= acosha

La distancia entre las dos torres eléctricas es 2b. Calcular la pendiente de la catenaria en el punto de sujeción del cable de la derecha.

Primer paso: En primer lugar consideremos que la curva catenaria se encuentra sujeta entre dos soportes de la misma altura, la torre de la izquierda y la torre de la derecha, siendo la distancia entre ellas 2b.

lZZ Grupo Editorial Mega byte


segundo paso: Diferenciamos la ecuac1on de la catenaria con la finalidad de obtener la pendiente en el punto de sujeción del cable en la torre de la derecha de la siguiente manera:

(1) X X y' = a - senh - = senh -a a a

solución: Finalmente, la pendiente de la catenaria en el punto de sujeción del cable en la torre de la

derecha está dado por senh '!.. a


Problema 21

Amigo lector, resuélvelo en 3 minutos: Calcule la integral.

Primer paso: En este problema inicialmente no es conveniente aplicar la técnica de integración por partes, será mejor efectuar el binomio, veamos:

Segundo paso: Reemplazamos en la integral y resolviendo tenemos:

Tercer paso:

Resolviendo la integral f x e-xdx por integración por partes tenemos:

u = x diferenciando du = dx dv = e-xdx integrando v = -e-x

J udv = u. v - J vdu

Reemplazando:

Cuarto paso: A continuación, reemplazamos en la integral inicial, sustituyendo la ecuación II en I de la siguiente manera:



Solución: Finalmente, la antiderivada está dado por la siguiente expresión:


Problema 22

Olimpiadas matemáticas unhrersitarias: Calcule la siguiente integral en 2 minutos.

Primer paso: J Le damos una forma adecuada (reescribimos el integrando): x 2 xex

2

dx

Segundo paso: Seleccionamos u y dv como sigue:

u= x 2 diferenciando tenemos; du = 2xdx

xz

Luego: dv = xex2 dx , integrando tenemos: J dv = J xex

2 dx --" v = T

Tercer paso: Aplicando la fórmula de integración por partes:

J udv = uv - J vdu

Reemplazamos:

Cuarto paso: Resolviendo la segunda integral y reduciendo la expresión tenemos:

Solución: Finalmente, luego de evaluar la integral y reducir la expresión obtenemos:




problema 23

Examen final de la UNMSM:

Primer paso: Amigo lector, desarrollamos el binomio como se observa a continuación:

Reemplazando en la integral tenemos: f (zx + x) 2 dx = f (z 2x + x 2 + xzx+ 1)dx

Segundo paso: Resolviendo cada integral del miembro derecho tenemos:

Tercer paso: Analizando las integrales por separado:

f zzxdx = f eCzinz)x dx = _1_. eCzinz)x +e

2ln2

Cuarto paso: La otra integral es: f x. zx+l dx , aquí aplicaremos la fórmula de integración por partes:

u= X-.> du = dx y dv = zx+ldx -.> f dv = f zx+ldx = f elnzX+l dx = f eOnZ)(x+l) dx :. V=...!:__ elnZ(x+l) ln2

Reemplazamos:

f X. zx+l dx = X._..!.._. eln2(x+1) _ f _..!.._ eln2(x+1) dx = _..!.._. xeln2(x+1) _ _..!.._ (_..!.._) eln2(x+1) + e ln2 ln2 ln2 ln2 ln2

Quinto paso:

Llevamos a la ecuación (I), y desarrollamos cada integral, y luego cambiamos e1nx = x, así:

f x 3 1 1 1 czx +x)Zdx = _ +-·-.e(Zlnz)x +-xelnz(x+l) ---elnz(x+l) +e

3 2ln2 ln2 ln2 2

Solución:

Finalmente, el desarrollo de la integral es: eCzinz)x = e 2xlnz = e 1nzzx = zzx

f X X3 z2x 1 1 J zx-1 X. zx+l zx+l X3 (2 +x) 2 dx = -+--+-x.zx+l ---.zx+l +e :. (2x + x) 2 dx =--+-----+-+e

3 2ln2 ln2 ln2 2 ln2 ln2 ln2 2 3



Aplicación en Ingeniería Eléctrica

Problema 24

Paneles de celdas solares: Los paneles solares están compuestos por celdas solares; dado que una sola celda solar no produce energía suficiente para la mayor parte de aplicaciones, se les agrupa en paneles solares, de modo que, en conjunto, generan una mayor cantidad de electricidad. Los paneles solares (también denominados módulos fotovoltaicos o FV) son fabricados en diversas formas y tamaños. Los más comunes son los de 50 Wp (watt pico, es la energía producida al mediodía de un día soleado), que producen un máximo de 50 watts de electricidad solar bajo condiciones de luz solar plena, y que están compuestos por celdas solares de silicio. Un estudio realizado en EE.UU acerca del costo de producción de paneles de celdas solares, sostiene que dicho costo (en dólares por watt pico) se reduciría a razón de:

60

(3t + 2) 2 o:::; t:::; 10

Cabe mencionar, cuando t = O corresponde al inicio del año 1 990. En dicho año, los paneles utilizados para los sistemas de energía fotovoltaica costaban diez dólares por watt pico. Determine una ecuación que proporcione el costo por Wp de producción de celdas solares al inicio del año t. ¿cuál será el costo al inicio del año 2 000?

Primer paso: Amigo lector, tenemos como dato la razón de reducción del costo (signo negativo), es decir la derivada de la función costo C'(t), luego integramos, así:

60 J J 60 f C' (t) = - ( )2 --. C(t) = C' (t)dt --. C(t) = - ( )2 dt --. C(t) = -60 (3t + 2)-2dt . 3t + 2 - 3t + 2

Segundo paso: Haciendo un cambio de variable, z = 3t + 2 --. dz = 3dt :. dt = dz/3, obtenemos C(t):

J 1 J -l 60

C(t) = -60 (3t + 2)-2 dt --> C(t) = -60 (3) z- 2 dz --> C(t) = -20 (~ 1

) +e :. C(t) = 3

(3

t + 2

) +e

Tercer paso: Para calcular la constante e, sabemos que el costo por Wp de producción al inicio de 1 990, es decir, cuando t = O, era 10 dólares, entonces tenemos que, C(O) = 10:

60 60 C(t) = 3(3t + 2) +e --. C(O) = 3(3(0) + 2) +e= 10 :. e= O

Solución:

Finalmente, la función de costo está dado por: C(t) = -( 60

l , luego el costo por watt pico 3 3t+2

para producir paneles solares al inicio del 2 000, t = 10 es, C(t) = 3c3

6t:2l--. C(10) =

e e 60) l "" 0,63, es decir, 63 centavos por watt pico.

3 3 10 +2


calcuclo integral pasito a paso i

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