cal 2 ef 2012 1

CALCULO 2

MATEMATICA 2

EX F

INTEGRALES DOBLES

I. COORDENADAS CARTESIANAS

CAL 2—MATE2 EX F

CASO (1):

Límites de integración

CASO (2):

Límites de integración

Obs: Las flechas siempre son hacia arriba o

hacia la derecha. Para cambiar el orden de integración se

cambian el sentido de las flechas.

A. Intercambiar orden de Integración

1. ELECTRONICA (09-2)

Dada la integral a) Graficar dominio de integración G. (1p)b) Intercambiar el orden de integración de la

integral dada. (2p)c) Calcular el área de G, usando (b). (1p)

2. INDUSTRIAL (09-1)

Dado la integral a) Graficar la región de integración. (1p)b) Intercambiar orden de integración. (1p)c) Evaluar la integral. (2p)

B. Agrupación de Integrales

3. CIVIL (09-1)

, con a) Exprese la siguiente suma como una sola

integral.b) Evaluar la integral resultante, si

(4p)

4. CIVIL (08-1)Dado la integral

a) Graficar la región de integración y expresar I como una sola integral.

b) Hallar el valor de la integral obtenido en (a)

para la función . (4p)

5. MECATRONICA (10-1)Dada la integral

i) Graficar la región de integración.ii) Cambiando el orden de integración, expresar

como una sola integral. (4p)

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6. INDUSTRIAL (10-1)a) Expresar en una sola integral:

b) Calcular . (Sugerencia: intercambiar orden de integración) (4p)

II. COORDENADAS POLARES

Transformacion:

Requisito para usar coord. Polares en integrales:

Se usa polares cuando en el gráfico de la región de integración aparece una circunferencia (o parte de ella), y/o una elipse.

Procedimiento:(Para resolver integrales dobles con polares) Graficar la región de integración D.

Hacer el cambio Hallar los límites de integración en

polares:

Obs: En circunferencia:

En

elipse:

A. Polares Normales

7. CIVIL (11-1)

Calcular la integral

donde viene determinado por las

desigualdades , , .(4p)

8. INDUSTRIAL (09-2)

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2 2

2 20 0( , ) ( , )

a a a a a y

a a y aI f x y dx dy f x y dx dy

CAL 2—MATE2 EX F

Calcular si la región D está

limita por la circunferencia

( una constante). (4p)

9. INDUSTRIAL (08-2)Sea D la región del plano del primer cuadrante dentro de la circunferencia de ecuación

, determinar . (4p)

10. INDUSTRIAL (08-2)Sea D la región del plano, que se encuentra en el primer cuadrante fuera de la circunferencia

, dentro de la circunferencia

, determinar . (4p)

B. Polares Modificadas

11. MECATRONICA (10-2)

Evaluar la integral , donde

, . (4p)


a) Utilice la transformación ,

para generar la imagen de la elipse

en el plano UV. (1.5p)b) Usando la transformación de la parte (a)

evaluar la integral donde G es la región transformada. (2.5p)


Dada la integral a) Describir y graficar la región de integración.b) Hallar el valor de la integral doble. (4p)

14. CIVIL (08-1)

Evaluar la integral , si

(4p)

III. APLICACIONES DE DOBLESA. Cálculo de Áreas

15. INDUSTRIAL (10-2) (Usar Cartesianas)Hallar el área de la región limitada por las

curvas , . (4p)

16. CIVIL (10-1) (Usar Cartesianas)Dado el conjunto D definido por:

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CAL 2—MATE2 EX F

a) Graficar la región .b) Aplicando la integral doble calcular el área de

la región . (4p)

17. MECATRONICA (10-1) (Usar generales )Si U es la región del trapecio de vértices A(1,1), B(5,1), C(10,2), D(2,2) .

i) Graficar la región U. (1p)ii) Determinar el área de U. (3p)

18. CIVIL (09-2) (Usar Polares)Usando integral doble calcular el área de la

región plana acotada por: ,

, , . (4p)

19. CIVIL (09-1) (Usar Cartesianas)Usando integral doble, hallar el área de la

región limitada por las curvas

; . (4p)

20. INDUSTRIAL (09-1) (Usar Cartesianas)Usando integral doble hallar el área de la región plana limitada por las funciones;

; . (4p)

21. INDUSTRIAL (08-1) (Usar Cartesianas)Hallar el área de la regio D acotado por las

curvas , . (4p)

B. Centro de Masa

22. CIVIL (11-1) (Usar Cartesianas)

Sea G una lámina acotada por la curva

, el eje desde hasta

. Si la densidad de área varía con la

distancia al eje . Determinar:

a) La masa total de la lámina .b) Los momentos con respecto a cada uno de los

ejes coordenados. (4p)

23. CIVIL (10-2) (Usar Generales)Sea M una lámina, acotada por las rectas

, , , .

Considerando la transformación ,

. Determinar:

a) La grafica de la región y de su transformación.

b) Si la densidad en cualquier punto es

. Calcular la masa total de M. (4p)

24. ELECTRONICA (10-1) (Usar Cartesianas)Una lámina delgada cubre la región triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,2). La densidad en

cada punto de la lámina es . Determinar:

a) La masa de la lámina.b) Centro de masa de la lámina. (4p)

25. INDUSTRIAL (10-1) (Usar Cartesianas)Una lámina ocupa la región limitada por las

curvas: , . La densidad de la

lámina es . Encuentre la masa total de la lámina. (4p)

26. CIVIL (10-1) (Usar Cartesianas)Una lámina tiene la forma de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones

, , la densidad en cada punto

de la lámina es .

a) Graficar la región .b) Determinar la masa de la lámina. (4p)


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Hallar el centro de masa de una lámina

limitada por las curvas , ,

y cuya función de densidad es una constante. (4p)

28. CIVIL (09-1) (Usar Cartesianas)Encontrar el centro de masa de una región D

acotada por las curvas , el eje X, de

a , si la densidad de área varía con la distancia de un punto de D al eje X.(4p)

INTEGRALES TRIPLES

I. COORDENADAS CARTESIANAS

29. CIVIL (11-1)

a) Calcular donde ,

que se encuentra en el primer octante.

b) Si , determinar el trabajo realizado por F que mueve una

partícula sobre una recta desde hasta

. (4p)

30. CIVIL (10-2)

Sea un sólido en el espacio acotado por el

cilindro parabólico , y los planos

, .a) Graficar las regiones proyectadas sobres los

planos: , . (1p)b) Escribir el volumen del sólido, sobre cada

región proyectada. (2p)c) Evaluar el volumen del solido usando una de

las integrales de la parte (b). (1p)

31. CIVIL (08-1)

Calcular la integral , donde T es la región acotado por los planos

coordenados y por el plano .

(4p)

II. COORDENADAS CILINDRICAS

32. CIVIL (11-1)

Dada la integral .a) Graficar la región de integración. (1p)b) Evaluar la integral dada. (3p)33. MECATRONICA (10-2)

Hallar el volumen del solido S acotado por la

esfera y dentro del

paraboloide . (4p)


Una región solida está limitado por el

cilindro y los planos ,

.

a) graficar . (1.5p)

b) Determinar el volumen del sólido . (2.5p)


Calcular donde es el sólido acotado por las superficies

y (4p)

36. MECATRONICA (10-1)i) Mediante integrales triples, determinar el

volumen del solido S acotado por las

superficies y

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CAL 2—MATE2 EX F

. (3p)

ii) Calculariii)

si

es la curva que va desde el punto

hasta . (2p)

III. COORDENADAS ESFERICAS


Calcular la integral ,

si . (4p)

38. CIVIL (10-1)Calcular el volumen del solido encima del plano XY, limitado por la superficie

y el cono

. (4p)


Calcular la integral donde el

sólido , es acotada por las superficies

, , ,

. (4p)

IV. APLICACIONES DE TRIPLES

A. Cálculo de Volúmenes


Hallar el volumen del sólido comprendido

entre los planos: , y el

cilindro . (4p)

41. INDUSTRIAL (09-2) (Usar Esféricas)Hallar el volumen del sólido limitado por el

cono y la esfera

siendo . (4p)

42. ELECTRONICA (09-1) (Usar Cilíndricas)Usando integral triple hallar el volumen del sólido comprendido entre las superficies;

y . (4p)

43. INDUSTRIAL (08-1) (Usar Cilíndricas)Aplicando integrales triples, determinar el volumen del solido acotado por las superficies

, . (4p)

INTEGRALES DE LINEA

o

1° ESPECIE: FUNCIONES ESCALARES

I. PARAMETRIZACION EN ESCALARES

44. Prof. Rivas-Ramos-Clemente (10-2)

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Calcular , donde es la frontera de la región

(5p)

2° ESPECIE: FUNCIONES VECTORIALES

I. PARAMETRIZACION EN VECTORIALES

45. ELECTRONICA (10-1)Determinar el trabajo realizado por el campo de fuerza

, al mover una partícula a lo largo de la curva

descrito por , desde

el punto hasta el punto . (4p)

46. CIVIL (09-2) Hallar la integral curvilínea

a lo largo de la curva C descrita por la intersección de los

planos: ,

desde el punto hasta el punto

. (4p)

47. INDUSTRIAL (09-2)Hallar la integral de línea

donde C es el segmento de recta que va del

punto al punto y luego del

punto al punto . (4p)

II. TEOREMA DE GREEN

Requisito de Green: C: Curva Cerrada.

48. MECATRONICA (10-2)Evaluar la integral de línea

donde

frontera de . (4p)

49. CIVIL (10-2)Aplicando el teorema de Green evaluar:

Donde es el círculo

(4p)50. INDUSTRIAL (10-2)

Aplicando el teorema de Green evaluar:

. Donde

es el rectángulo de vértices: , ,

, . (4p)

51. INDUSTRIAL (10-1)Usando el Teorema de Green, evaluar la integral curvilínea:

donde es el contorno del rectángulo

, . (4p)

52. ELECTRONICA (10-1)Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

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donde es la elipse . (4p)

53. CIVIL (10-1)a) Verificar si el campo vectorial

admite la función potencial .b) Usando el Teorema de Green calcular la

integral de línea . A lo largo de

la elipse . (2p)

54. ELECTRONICA (09-1)Aplicando el Teorema de Green hallar

a lo largo de la curva

cerrada C limitada por las gráficas de ;

entre los puntos A y B . (4p)

55. INDUSTRIAL (09-1)Aplicando el Teorema de Green calcular,

donde y C está limitada por la porción del círculo

de a y los

segmentos de recta de a y de

a . (4p)

III. DIFERENCIAL EXACTA

A. Con Dos Variables

56. CIVIL (11-1)Dado el campo vectorial

a) Verificar si es un campo conservativo.b) Si la verificación de (a) es afirmativa evaluar

la integral , donde está descrito por

, , . (4p)

57. ELECTRONICA (09-2)Dado el campo vectorial

; a) Pruebe que es un campo conservativo. (1p)b) Determine la función potencial. (2p)c) Calcule la integra a lo largo de la curva C que

une los puntos y . (1p)

58. CIVIL (09-1)Una partícula corre a lo largo de la curva C, donde C está descrita por la transformación de

para . Calcular:

(4p)

59. ELECTRONICA (09-1)Hallar la integral curvilínea

Donde C es el segmento de recta AB con

A y B . (4p)

60. INDUSTRIAL (09-1)Hallar la integral curvilínea

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CAL 2—MATE2 EX F

donde C es la curva descrita por

, . (4p)

B. Con Tres Variables

61. INDUSTRIAL (08-1)Evaluar

donde es el segmento que une los puntos

y . (4p)

IV. APLICACIONES

A. Trabajo de una Fuerza

62. INDUSTRIAL(10-2)(Usar Parametrización)Calcular el trabajo realizado por la fuerza

para mover una

partícula sobre la curva

recorrido veces en sentido antihorario. (4p)

63. CIVIL (10-2) (Usar Parametrización)Dado el campo de fuerza

, determinar el trabajo efectuado por una partícula que se mueve en la intersección de los planos dados

por ,

desde hasta . (4p)

64. CIVIL (10-1) (Usar Diferencial Exacta)Sea el campo de fuerza

en unidades Newton; determine el trabajo que desarrolla esta fuerza al desplazar una

partícula del punto hasta el punto

a lo largo de la curva en el sentido positivo. (4p)

65. CIVIL (09-2) (Usar Parametrización)Hallar el trabajo realizado por la fuerza

al desplazar una partícula en el plano XY a lo

largo de la curva en sentido antihorario. (4p)

66. ELECTRONICA (09-2) (Usar Green)Sea el campo de fuerzas

calcular el trabajo realizado por F para mover

una partícula desde el punto una vuelta completa, en el sentido antihorario, a lo largo del borde de una circunferencia de centro en el origen de radio 5. (4p)

67. CIVIL (09-1) (Usar Green)Dado el campo vectorial

unidades en Newton, determinar el trabajo que desarrolla este campo al desplazar una partícula a lo largo de la curva

, en sentido antihorario, a las agujas del reloj (coordenadas en metro). (4p)

68. ELECTRONICA (09-1) (Usar Dif. Exacta)Hallar el trabajo realizado por la fuerza

al desplazar una partícula del punto A

hasta el punto B a lo largo de la curva

en sentido antihorario. (4p)

69. INDUSTRIAL (08-2) (Usar Green)

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Dado el campo de fuerza

determinar el trabajo que desarrolla este campo, al mover una partícula sólo una vuelta en el sentido positivo a lo largo de la circunferencia de

ecuación . (4p)

70. CIVIL (08-1) (Usar Parametrización)Un móvil se desplaza a lo largo del segmento

de recta que une los puntos y

. Determinar el trabajo desarrollado

por la fuerza ,

para desplazar el móvil. (4p)

INTEGRAL DE SUPERFICIE

1° ESPECIE: FUNCIONES ESCALARES

71. CIVIL (10-2)Encuentre el área de la parte de la esfera

, interior al cilindro

. (4p)

72. ELECTRONICA (10-1)Determinar el área de la superficie

que se encuentra dentro del

cono , con . (4p)

73. CIVIL (08-1)

Evaluar la integral , donde S es la parte de la superficie cónica

, comprendido entre los planos

y . (4p)

74. Evaluar suponiendo que es la parte

del cono circular que se

encuentra entre los planos y .

75. Evaluar donde es la parte

del plano

2° ESPECIE: FUNCIONES VECTORIALES

I. TEROEMA DE GAUSS (DIVERGENCIA O FLUJO:

76. Determinar el flujo del campo vectorial

a través de

la esfera

77. Determinar el flujo del campo vectorial

a través del

elipsoide

78. Calcular el flujo del campo vectorial

a

través de , , con sus normales apuntando hacia su exterior.

II. TEROEMA DE STOKES:

79. Aplicar el teorema de Stokes para calcular el flujo del campo vectorial

a través del

hemisferio .

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80. Verificar el teorema de Stokes para el campo

vectorial y la

superficie .

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