caderno exercicios 2012-2013

8/15/2019 Caderno Exercicios 2012-2013

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ANÁLISE MATEMÁTICA I

(2012 - 2013)

Mestrado Integrado emEngenharia Electrotécnica e de Computadores

CADERNO DE EXERCÍCIOS

(exercícios propostos, tabelas e provas de avaliação de anos anteriores)

Docentes: José Carlos PetronilhoRaquel Caseiro

Maria João FerreiraMaria Elisabete Barreiro

João Nogueira

Departamento de MatemáticaFaculdade de Ciência e Tecnologia

Universidade de Coimbra


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Departamento de Matem´ atica da Universidade de Coimbra

An´alise Matemática I

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

2012/2013 Caderno de Exerćıcios

1. Na gura est ão representados os gr´acos de duas fun ções f e g.

f g

0 2

2

x

y

f g

0 2

2f g

0 2

2f g

0 2

2f g

0 2

2

(a) Indique os valores de f (−4) e g(0).(b) Indique os valores de x para os quais f (x) = g(x).(c) Em que intervalos f é decrescente?

(d) Indique o domı́nio e o contradoḿınio de f e g.2. Diga, justicando, se a curva dada é o gr´ aco de uma fun ção de x. Se for o caso, indique o domı́nio

e o contradomı́nio da fun¸ cão.

(a)

x

y

(b)

x

y (c)

x

y

+1

−1

+2

−2−1 +1

3. Quais dos seguintes subconjuntos de R 2

são grácos de fun ções? Esboce cada um dos conjuntos, ese o conjunto for o gr áco de uma fun ção, indique o domı́nio e o contradomı́nio.

(a) {(x, y ) : x2 + y2 = 4 }(b) {(x, y ) : x2 + y2 = 4 e y ≥ 2}

(c) {(x, y ) : y = √ 4 −x2}(d) {(x, y ) : |x|+ |y| = 1}


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4. Determine o domı́nio de cada uma das seguintes fun¸ cões:

(a) f (x) = x4

x 2 +2 x−1(b) f (t) = 3√ t −1(c) f (x) =

x(x −1)(x −2)

(d) f (x) = xx 2 −1(e) f (x) = √ sen x

5. Determine o domı́nio e esbo¸ ce o gráco de cada uma das seguintes fun¸ cões:

(a) f (x) = 2 x −3(b) f (x) = x2 + 2 x −1(c) f (x) = √ x −5(d) f (x) = |x|(e) f (x) = x − |x|(f) f (x) = sgn x = x|x |

(g) f (x) = x2 +5 x +6

x +2

(h) f (x) =x + 2 se x ≤ −1x2 se x > −1

(i) f (x) =−1 se x ≤ −13x + 2 se |x| < 17 −2x se x ≥ 1

6. Encontre a express̃ ao analı́tica da fun¸ cão cujo gr áco é a curva dada.

(a) O segmento de recta unindo os pontos(−2, 1) e (4, −6).

(b) O segmento de recta unindo os pontos(−3, −2) e (6, 3).

(c) A parte inferior da par´ abolax + ( y −1)2 = 0.

(d) A parte superior da circunferência(x −1)2 + y2 = 1.

7. Deduza a express̃ ao analı́tica da fun¸ cão descrita, e indique o seu doḿınio.

(a) Um rectângulo tem um peŕımetro de 20 metros. Expresse a ´ area do rectângulo como uma

função do comprimento de um dos seus lados.(b) Um rectângulo tem uma área de 16 m2. Expresse o peŕımetro do rectˆ angulo como uma fun¸cão

do comprimento de um dos seus lados.(c) Dena a área de um triângulo equil átero como uma fun¸cão do comprimento de um lado.(d) Expresse a área da superf́ıcie de um cubo como uma fun¸ cão do seu volume.

8. Num determinado páıs, o imposto sobre o rendimento singular é cobrado da seguinte forma: camisentos os que têm rendimento até 10 .000 EUR; aos que têm um rendimento acima de 10 .000 EUR eat́e 20 .000 EUR é cobrado um imposto de 10%; e acima de 20 .000 EUR é-lhes cobrado um impostode 15%.

(a) Esboce o gr áco da percentagem I cobrada sobre o rendimento R.(b) Qual o montante do imposto cobrado sobre um rendimento de 14 .000 EUR? E sobre 26 .000

EUR?(c) Esboce o gr áco do montante de imposto T cobrado sobre o rendimento R.

9. Em cada um dos casos, averigue se f é uma extensão ou uma restri¸cão de g.

(a) f (x) = x2 −1x 3 −1 , g(x) =

x+1x 2 + x +1

(b) f (x) = |x|, g(x) = ( √ x)2

(c) f (x) = xx +1 , g(x) =√ x√ x +1

(d) f (x ) = √ 1 −x + |x |, g(x ) = |1 −x |+ √ x

10. Considere a fun ção

f (x) =x se 0 ≤ x ≤ 12

−x se 1 < x < 2

Represente gracamente uma extens˜ ao de f a R que

(a) seja par.(b) seja ı́mpar.(c) tenha perı́odo 2.


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11. Em cada caso, averigúe se f é par ou ı́mpar.

(a) f (x) = x4 −4x2(b) f (x) = x3 −x

(c) f (x) = x2 + x(d) f (x) = 3 x3 + 2 x2 + 1

12. Calcule as ráızes reais dos seguintes polin´ omios:

(a) ( x −1)3(3x2 + 5 x + 2)( x2 + x + 1)(b) 2x5 + x4 −3x3(c) 5x3 −4x + 1

13. A partir do gráco da fun ção seno, cosseno ou tangente, esboce o gráco das seguintes fun¸cões:

(a) f (x) = 2 sen x(b) f (x) = −4cos(2x)(c) f (x) = |cos(2x)|(d) f (x) = cos |x|(e) f (x) = cos x −

π5

(f) f (x) = cos x − π5

(g) f (x) = 3 tg x

(h) f (x) = 4 sen x6 −5π(i) f (x) = 4 sen (6( x + 5 π))

(j) f (x) = arcsen x(k) f (x) = arctg x

14. Sejam f (x) = x2 , g(x) = 1 /x e h(x) = sen x.

(a) Calcule ( f + g)(−2), (fg ) π3 ,(h/g ) π2 , (f ◦h) π6 , (g ◦h) π3 ,

(b) Determine os domı́nios das fun¸ cões f + g, g ◦h, h ◦g, g ◦g, g / (fh )15. A partir dos grácos de f e de g, esboce os grácos de f + g e de f −g.

(a) f (x) = x, g(x) = 1 /x

(b) f (x) = x3

, g(x) = −x2

16. Determine a expressão anaĺıtica e o domı́nio de f ◦g, g ◦f , f ◦f e g ◦g.(a) f (x) = 2 x2 −x, g(x) = 3 x + 2(b) f (x) = √ x −1, g(x) = x2(c) f (x) = √ x, g(x) = 1x 2 −1(d) f (x) = √ x2 −1, g(x) = √ 1 −x

17. Determine a expressão anaĺıtica e o domı́nio de f ◦g ◦h.(a) f (x) = 1x , g(x) = x

3 , h(x) = x2 + 1(b) f (x) = √ x, g(x) = x

x−1, h(x) = 3√ x

18. Indique fun ções simples f e g tais que F = f ◦g.(a) F (x) = ( x −9)5(b) F (t) = √ cos t(c) F (x) = x

2

x 2 +4

19. Indique fun ções simples f , g e h tais que sen 4(√ x) = f ◦g ◦h.20. A fun ç˜ ao de Heaviside é a fun ção

H (t) =0 se t < 01 se t

≥ 0

Esta fun ção é utilizada no estudo de circuitos eléctricos para representar o surgimento repentino decorrente eléctrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada.

(a) Esboce o gr áco da fun ção de Heaviside.


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(b) Esboce o gr áco da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e120 volts forem aplicados instantaneamante no circuito. Escreva uma f´ ormula para V (t) emtermos de H (t).

(c) Esboce o gr áco da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 5segundos e 240 volts forem aplicados instantaneamante no circuito. Escreva uma f´ ormula paraV (t) em termos de H (t).

21. A função de Heaviside denida no exerćıcio 20 pode também ser utilizada para denir uma fun ç˜ aorampa y = ctH (t), que representa um crescimento gradual na voltagem ou corrente do circuito.

(a) Esboce o gr áco da fun ção rampa y = tH (t).(b) Esboce o gr áco da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e

a voltagem crescer gradualmente até 120 volts num intervalo de 60 segundos. Escreva umafórmula para V (t) em termos de H (t) para t ≤ 60.

(c) Esboce o gr áco da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 7segundos e a voltagem crescer gradualmente até 100 volts num intervalo de 25 segundos.Escreva uma fórmula para V (t) em termos de H (t) para t ≤ 32.

22. (a) Expresse cada uma das seguintes fun¸ cões como soma de uma fun ção par com uma fun¸cãoı́mpar:

i. 3 −2x + x4 −5x7ii. (x + 2)sen x −x3 sen(5x)

iii. sen x + π3(b) Seja f : R →R . Observe que f = E + O,

ondeE (x) =

12

(f (x) + f (−x))O(x) =

12

(f (x) −f (−x)) .Mostre que E é par e que O é ı́mpar. Mostre que existe uma ´ unica decomposi ção de f comosoma de uma fun ção par com uma fun¸cão ı́mpar.

(c) Mostre que a soma de duas fun¸ cões pares (respectivamente ı́mpares) é uma fun¸ cão par (re-spectivamente ı́mpar).

(d) O que podemos armar a respeito do produto de duas fun¸ cões pares? E o de duas fun çõesı́mpares? E o de uma fun¸ cão par com uma fun¸cão ı́mpar?

(e) Responda à mesmas questões, considerando a composi¸cão de fun ções no lugar do produto.

23. Indique quais das fun¸cões cujos grácos são apresentados a seguir s˜ ao injectivas:

(a)

(b)

(c)


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24. Considere as fun ções denidas pelas seguintes express˜ oes analı́ticas. Supondo que o contradomı́niocoincide com o conjunto de chegada, indique as fun¸ cões que têm inversa; se a inversa existir,determine-a.

(a) f (x) = 7 x3 −3(b) f (x) = x2

−2x + 5

(c) f (x) = sen x(d) f (x) = arccos x(e) f (x) = |x −1|(f) f (x) = 2x−1x(g) f (x) = 3 + √ x −2(h) f (x) = −3 + ln x3

(i) f (x) = 2 10x

(j) f : R \]−1, 0[ → Rx →

x2 se x ≤ −11 −x se x ≥ 0

(k) f : R \ [−1, 0[ → Rx →

x2 se x < −11 −x se x ≥ 0

25. Esboce o gr áco de cada uma das seguintes fun¸ cões, e indique os respectivos domı́nio e o con-tradomı́nio:

(a) 2x

+ 1(b) 2 x +1

(c) 35x

(d) 35 −x

(e) 3−x

(f) −3x(g) 2|x |

(h) 3 −ex

(i) −ln x(j) ln( −x)(k) ln |x|(l) |ln x|

(m) log10 (x + 5)(n) log0,5 (x + 5)

(o) 2 + senh( x −1)(p) −2cosh(x + 1)(q) |tgh (2 x)|(r) argsenh( −x)(s) argcosh( −x)(t) −argtgh x

26. Calcule o valor exacto de cada express˜ao:

(a) log 2 64(b) log 6 136(c) log5 10 + log5 20 −3log5 2

(d) 2log 2 3+log 2 5

(e) e3ln2

27. Prove as seguintes igualdades:

(a) cos x + cos x + 2π3 + cos x − 2π3 = 0(b) sen(3 x) = 3 sen x −4sen3 x(c) 1 + cos x2 = 2 cos

2 x4

(d) tg (2 x) = 11−tg x − 1

1+tg x

(e) cosh2 x

−senh2 x = 1

(f) senh( x + y) = (senh x) ·(cosh y) + (senh y) ·(cosh x)(g) senh (3 x) = 3senh( x) + 4 senh 3 (x)

28. Resolva as seguintes equa¸cões:

(a) 1x−1 + 1x +1 =

2x 2x 2 −1

(b) x−13x +4 = 2

(c) 2sen x = −√ 3(d) sen(2 x) + sen π4 = 0(e) cos x = sen 2 x −cos2 x(f) cos x + sen(2 x) = 0

(g) 3sen x +(sen x )·(tg x ) = 1(h) |arcsin( x + 1) | = π4(i) log3 x = 12 + log 9 (4x + 15)

(j) ex + 4 e−x = 5(k) log2(sen x + 1) −1 = 0(l) log

2(arctg x) + 3 log(arctg x) + 2 = 0

29. Para cada uma das seguintes arma¸ cões, diga se ela é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, expliqueporquê; se falsa, dê um exemplo que justique a sua resposta.

(a) Se f for uma fun ção, ent ão f (s + t) = f (s) + f (t).


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(b) Se f (s) = f (t), ent ão s = t.(c) Se f for uma fun ção, ent ão f (3x) = 3 f (x).(d) Se x1 < x 2 e f for uma fun ção decrescente, então f (x1) > f (x2 ).(e) Uma recta vertical intercepta o gr´ aco de uma fun ção no máximo uma vez.(f) Se f e g são funções, ent ão f

◦g = g

◦f .

(g) Se f for bijectiva então f −1(x) = 1f (x ) .

(h) É sempre possı́vel dividir por ex .(i) Se 0 < a < b , ent ão ln a < ln b.(j) Se x > 0, ent ão (ln x)6 = 6ln x.

30. Seja h(x) =x se x < 0x2 se 0 < x ≤ 28 −x se x > 2

Calcule, se existirem, os seguintes limites:

(a) limx→0+ h(x)(b) lim

x→0h(x)

(c) limx→1h(x)(d) lim

x→2−h(x)

(e) limx→2+ h(x)(f) lim

x→2h(x)

31. Calcule, quando existir, cada um dos limites. No caso do limite n˜ ao existir, explique porquê.

(a) limx→−4|x + 4 |

(b) limx→−4−

|x + 4 |x + 4

(c) limx→2

|x −2|x −2

(d) limx→0−

1x − 1|x|

(e) limx→0+

1x −

1

|x|

(f) limx→π2

tg x

(g) limx→2

√ x + 2 −2x −2

(h) limx→1

x −1x2

−2x + 1

(i) limt→9

9 −t3 −√ t(j) lim

x→+ ∞1 + x2 + x3

5 −2x + x2

(k) limx→0+

√ xx

(l) limx→−∞

√ x2 + 1x

(m) limx

→( π2 )

−sec x

(n) limx→5+

ln(x −5)(o) lim

x→+ ∞cotgh 1 + x2

32. Determine as asśımptotas horizontais e verticais das fun¸ cões:

(a) f (x) = e1x (b) g(x) = ln 1 + 1x (c) h(x) =

x−9√ 4x 2 +3 x +2

33. Dê um exemplo em que limx→a

f (x) e limx→a

g(x) não existem mas existe

(a) limx→a (f (x) + g(x)) (b) limx→a (f (x) ·g(x))34. Use o teorema do limite das fun¸cões enquadradas para provar que:

(a) limx→0

x sen1x

= 0

(b) limx→0

|x|√ x4 + 4 x2 + 7 = 0

(c) limx→−∞

sen3 xx

+ cos 2 x + 3 1−x = + ∞(d) lim

x→1−(arccos x) ·cos

1ln x

= 0

35. Na Teoria da Relatividade, a f´ ormula da Contraç cão de Lorentz

L = L0

1

−v2/c 2

expressa o comprimento L de um objecto como uma fun¸cão da sua velocidade v em rela ção a umobservador, onde L0 é o comprimento do objecto no repouso e c é a velocidade da luz. Determinelim

v→c −L e interprete o resultado. Porque é que é necess´ ario o limite à esquerda?


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36. Estude a continuidade das seguintes fun¸ cões, cujo domı́nio deve sempre indicar.

(a) f (x) =2ex −1 se x < 01 se x [0, 2]sen(x) se x > 2

(b) f (x) =1x se x < 0x se x ≥ 0

(c) f (x) =x cos 1x 2 se x = 00 se x = 0

(d) f (x) = arctg xx−1

(e) f (x) = arccos √ x 2 −1x

(f) f (x) = ln(cosh( x))

(g) f (x) =2 senh x se x < 0e − 1ex se x ≥ 0

37. A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distˆ ancia r do centrodo planeta é

F (r ) =GMr

R 3 se r < RGM r 2 se r ≥ R

onde M é a massa da Terra, R o seu raio e G a constante gravitacional. F é uma fun¸cão cont́ınua

de r ?38. Seja f a função denida por

f (x) = 1 − 2x2

2003

+ ln 2 + sen(πx )

2

Mostre que f se anula em pelo menos um ponto do intervalo ]1 , 2[.

39. Mostre que

(a) a equa ção x3 −9x2 + 7 = 0 tem três solu¸ cões, uma em cada um dos intervalos ] −1, 0[, ]0, 1[ e]6, 9[.(b) a equa ção cos x = x tem pelo menos uma solu¸cão no intervalo ]0 , 1[.(c) a equa ção ln x = e−x tem pelo menos uma solu¸cão no intervalo ]1 , 2[.

40. Seja f uma fun ção contı́nua em [0 , 1] e tal que 0 ≤ f (x) ≤ 1, para todos os valores de x no intervalo[0, 1]. Mostre que existe c em [0, 1] tal que f (c) = c.41. Para cada uma das seguintes arma¸ cões, diga se ela é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique

porquê; se falsa, dê um exemplo que justique a sua resposta.

(a) limx→4

2xx −4 −

8x −4

= limx→4

2xx −4 −

limx→4

8x −4

(b) limx→1

x2 + 6 x −7x2 + 5 x

−6

=limx→1

(x2 + 6 x −7)limx→1

(x2 + 5 x

−6)

(c) limx→1

x −3x2 + 2 x −4

=limx→1

(x −3)limx→1

(x2 + 2 x −4)(d) Se lim

x→5f (x) = 2 e lim

x→5g(x) = 0, então lim

x→5f (x)g(x)

não existe.

(e) Se limx→5

f (x) = 0 e limx→5

g(x) = 0, então limx→5

f (x)g(x)

não existe.

(f) Se limx→6

f (x)g(x) existe, então é igual a f (6)g(6).

(g) Se limx→0

f (x) = + ∞ e limx→0g(x) = + ∞, ent ão limx→0(f (x) −g(x)) = 0

(h) Se a recta x = 1 for uma asśımptota vertical de y = f (x), ent ão f não est á denida em 1.(i) Se f (1) > 0 e f (3) < 0, ent ão existe um n úmero c entre 1 e 3 tal que f (c) = 0.(j) Se f for contı́nua em [ −1, 1], e f (−1) = 4 e f (1) = 3, então existe um n úmero r tal que |r | < 1e f (r ) = π.


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42. A quantidade de carga Q em coloumbs que passa através de um ponto num o até ao instante t(medido em segundos) é dada por Q(t) = t3 − 2t2 + 6 t + 2. Determine o valor da corrente emampères quando t = 0 .5 e quando t = 1.

43. Determine os pontos da curva y = x3 −x2 −x + 1 onde a tangente é horizontal.44. Uma partı́cula move-se segundo a lei do movimento s = f (t), t

≥ 0, onde t é medido em segundos

e s em metros. Para

• f (t) = t2 −10t + 12• f (t) = t3 −9t2 + 15 t + 10• f (t) = tt 2 +1

resolva os seguintes problemas:

(a) Determine a velocidade da part́ıcula no instante t .(b) Quando é que a part́ıcula est´ a em repouso?(c) Quando é que est´ a a movimentar-se no sentido positivo?(d) Determine o espa¸co total percorrido durante os 8 primeiros segundos.

45. Considere a seguinte fun¸cão:

g(x) =−1 −2x se x < −1x2 se −1 ≤ x ≤ 1x se x > 1

(a) Determine o conjunto dos pontos onde g é diferenci´avel.(b) Determine a express˜ ao anaĺıtica de g′.(c) Esboce os gr ácos de g e de g′.

46. Supondo que h(x) = f (g(x)) e que g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2, f ′(6) = 7, determine h ′(3).

47. Supondo que w = u ◦ v e que u(0) = 1, v(0) = 2, u′(0) = 3, u′(2) = 4, v′(0) = 5 e v′(2) = 6,determine w′(0).48. Calcule a derivada de cada uma das seguintes fun¸ cões:

(a) g(x) = x2 + 1x 2

(b) f (x) = 5 + x2 +4 x−3√ x

(c) v = x√ x + 1x 2 √ x(d) y = 3t−7t 2 +5 t−4(e) y = 1x 4 + x 2 +1(f) y = exx + ex(g) f (x) = sen x + cos x(h) f (x) = ex sen x(i) f (x) = tg x−1sec x(j) y = x sen x cos x(k) y = 3√ 1 + x3(l) y = sen ( ex )

(m) f (t) = t − 1t32

(n) f (t) = tg 3√ 1 + tg t(o) g(x) = (3 x −2)10 (5x2 −x + 1)(p) y = ex cos x

(q) y = senh (cosh x)

(r) y = x argtgh x + ln √ 1−

x2

(s) y = x2 argsenh(2 x)

(t) y = (sen −1 x)2

(u) y = x arccos x −√ 1 −x2(v) y = x2 arccotg (3 x)

(w) y = arctg (arcsen √ x)(x) y = log 10 (x2 −x)(y) y = ln x

2 −42x +5

49. (a) Use a diferencia ção impĺıcita para determinar a derivada da fun¸ cão y denida implicitamentepor x2 + y2 = 1.(b) Determine uma equa¸ cão da recta tangente ` a hipérbole x2 −y2 = 1 no ponto ( √ 2;1).

50. Determine os pontos do gr´aco da fun ção f (x) = 2sen x + sen 2 x nos quais a recta tangente éhorizontal.


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51. Determine uma equa¸ cão da recta tangente ` a curva no ponto dado:

(a) y = 2xx +1 , (1, 1)

(b) y = ex

x , (1, e)(c) y = tg x, (π/ 4, 1)

(d) y = 1sen x +cos x , (0, 1)

(e) y = 10 x , (1, 10)

(f) y = sen(sen x), (π, 0)

52. Seja f (x) = 1 − 3√ x2 .

(a) Por que é que f é cont́ınua em R ?(b) Mostre que f (−1) = f (1) mas que n ão existe c ]−1, 1[ tal que f ′(c) = 0. Por que é que issonão contradiz o Teorema de Rolle?

53. Seja f (x) = |x −1|. Mostre que n ão existe c tal que f (3) −f (0) = f ′(c)(3 −0). Por que é que issonão contradiz o Teorema do Valor Médio?54. Utilize o Teorema do Valor Médio para provar a desigualdade

|sen a −sen b| ≤ |a −b| a, b R

55. Mostre que

(a) a equa ção x5 + 10 x + 3 = 0 tem exactamente uma ráız real.(b) a equa ção 3x + cos π2 x = 2 tem exactamente uma ráız real.(c) a equa ção x5 −5x + c = 0 tem no m áximo uma ráız no intervalo [ −1, 1].(d) a equa ção x4 = c −4x tem no m áximo duas ráızes reais.

56. Sejam f (x) = 1x e g(x) =1x se x > 01 + 1x se x < 0.

Mostre que f ′(x) = g′(x), x R \ {0}. Porque é que esta igualdade n˜ ao nos permite concluir quef (x) = g(x), x

R

\ {0}?57. Prove as seguinte igualdades:(a) 2 arcsen x = arccos (1 −2x2), x [0, 1](b) arctg x = arcsen x√ 1+ x 2 , x R

58. Supondo que limx→a

f (x) = 0 + e que limx→a

g(x) = + ∞ (respectivamente −∞) mostre que ent˜aolimx→a

f (x)g(x ) = 0 + (respectivamente + ∞).59. Calcule os seguintes limites. Utilize a regra de L’Hˆ opital quando tal for posśıvel e apropriado. Se

existir um método mais elementar, utilize-o. Se a regra de L’Hˆ opital n ão for aplic ável, expliqueporquê.

(a) limx→−1

x2 −1x + 1

(b) limx→1

x9 −1x5 −1

(c) limx→0

ex −1sen x

(d) limx→0

ln(x + 1)x

(e) limx→0

x sen x1 −cos x

(f) limx→π

tg x

x(g) lim

x→0x2 sen 1x

sen x(h) lim

x→0+√ x ln x

(i) limx→−∞

x2ex

(j) limx→+ ∞

x1x

(k) limx→+ ∞

x tg1x

(l) limx→0

1x4 −

1x2

(m) limx→0

1x −cossec x

(n) limx→+ ∞ x2 + x + 1 − x2 −x

(o) limx→+ ∞

x

−sen x

x + sen x(p) lim

x→0+xsen x

(q) limx→−∞

(xe1x −x)

(r) limx→1+

(ln x)1

x − 1


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60. (a) Esboce o gr áco de uma fun ção de domı́nio [0 , 3] que tenha um máximo local em 2 e que sejadiferenci ável em 2.

(b) Esboce o gr áco de uma fun ção de domı́nio [0 , 3] que tenha um máximo local em 2 e que sejacontı́nua mas n˜ ao diferenci ável em 2.

(c) Esboce o gr áco de uma fun ção de domı́nio [0 , 3] que tenha um m áximo local em 2 e que n ãoseja contı́nua em 2.

61. Determine, se existirem, os valores m´ aximos e mı́nimos locais e absolutos de cada uma das seguintesfunções:

(a) f (x) = 8 −3x, x [1, + ∞[(b) f (x) = 3 −2x, x ]− ∞, 5](c) f (x) = x2 , x ]0, 2[(d) f (x) = x2 , x ]0, 2](e) f (x) = x2 , x [0, 2](f) f (x) = 3 x2 −12x + 5 , x [0, 3](g) f (x) = 2 x3 + 3 x2 + 4 , x [−2, 1]

(h) f (x) = xe−x , x ]0, 2[(i) f (x) =

x2 se −1 ≤ x < 02 −x2 se 0 ≤ x ≤ 1

(j) f (x) = 2 −x4 , x R(k) f (x) = x5 , x R(l) f (x) = xx 2 +1 , x [0, 2]

(m) f (x) = x −3 ln x, x [1, 4]62. Mostre que se f (x) = x4 , ent ão f ′′(0) = 0, mas (0 , 0) não é um ponto de inex˜ ao do gr áco de f .

63. Mostre que a fun ção g(x) = x|x| tem um ponto de inexão em (0, 0) mas que g′′(0) n ão existe.64. Esboce o gráco de cada uma das fun¸cões dadas, averiguando os seguintes aspectos:

• domı́nio;• pontos de interseçcão com os eixos coordenados;• simetria;• assı́mptotas;• intervalos de monotonia;• valores máximos e mı́nimos locais;• concavidades e pontos de inexão.

(a) f (x) = 2 −15x + 9 x2 −x3(b) f (x) = x − 1x(c) f (x) = ex −x(d) f (x) = x

3

x 2 −1(e) f (x) = x√ 1−x 2

(f) f (x) = x ln x

(g) f (x) = x√ 5 −x(h) f (x) = √ x2 + 1 −2x(i) f (x) = sen(2 x) −2sen x(j) f (x) = ln ( x2 −x)

(k) f (x) = x + |x|(l) f (x) = xe−x 2(m) f (x) = x −sen x(n) f (x) = sen x −tg x(o) f (x) = ln(2 ex −1)

65. Um número real a é um ponto xo de uma fun ção f se f (a) = a. Mostre que se f for diferenci ávelem R e se f ′(x) = 1 para todo o número real x, ent ão f tem no m áximo um ponto xo.

66. Um agricultor dispõe de 2400 pés de cerca para fazer um curral rectangular na margem de um riorecto. Ele n ão precisa de cerca ao longo da margem do rio. Quais s˜ ao as dimens ões do curral deárea m áxima?

67. Um agricultor quer cercar uma ´ area de 1500 metros quadrados num campo rectangular e ent˜ aodividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do rectˆ angulo. Como fazer isso de formaa minimizar o custo da cerca?

68. Uma caixa sem tampa deve ser constrúıda a partir de um peda¸ co quadrado de papelão, com 60cent́ımetros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando por

cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poder´ a ter.69. Encontre o ponto sobre a hipérbole y2 −x2 = 4 que est á mais pr óximo do ponto (2 , 0).70. Pretende-se fazer uma lata ciĺındrica para receber um litro de ´ oleo. Encontre as dimensões que

minimizar ão o custo do metal para produzir a lata (recorde que 1 l = 1000 cm3).


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71.

a

A

B

O

hr

ℓSeja A um ponto sobre uma recta (que fazemos

coincidir com o eixo dos xx) assente num planohorizontal, e consideremos uma recta vertical ℓ(que fazemos coincidir com o eixo dos yy), que

não contenha o ponto A (ver gura).

Pretende-se determinar o ponto B sobre a recta ℓno qual se deve colocar um foco de luz para obter amelhor ilumina¸cão do plano no ponto A, sabendoque a intensidade do uxo luminoso que incide

sobre o plano no ponto A é igual a

I = c sin

r 2 ,

onde r = AB , = OAB e c é uma constantenumérica.

(a) Pondo h = OB e a = OA, mostre que I se pode expressar em fun¸cão de h por

I (h) = c h

(h2 + a2)3/ 2 .

(b) Determine a fun¸ cão derivada I ′(h).

(c) Justique que as coordenadas do ponto B procurado s ão 0, a√ 2 .

72. Para cada uma das seguintes arma¸ cões, diga se ela é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, expliqueporquê; se falsa, dê um exemplo que justique a sua resposta.

(a) Se f é cont́ınua em a, ent ão é diferenciável em a.

(b) Se f ′(c) = 0, então f tem um m áximo ou um ḿınimo local em c.(c) Se f tiver um valor mı́nimo absoluto em c, ent ão f ′(c) = 0.(d) Se f for contı́nua em ] a, b[, então f atinge um valor máximo absoluto f (c) e um valor ḿınimo

absoluto f (d) para alguns c, d ]a, b[.(e) Se f for diferenci ável em R e f (−1) = f (1), ent ão existe um n úmero real c tal que |c| < 1 ef ′(c) = 0.(f) Se f ′(x) < 0 para 0 < x < 6, ent ão f é decrescente em ]0 , 6[.(g) Se f ′′(2) = 0, então (2, f (2)) é um ponto de inex˜ ao da curva y = f (x).(h) Se f ′(x) = g′(x) para 0 < x < 1, ent ão f (x) = g(x) para 0 < x < 1.

73. Uma part́ıcula move-se ao longo de uma recta de acordo com os dados que se seguem (onde s(t),

v(t) e a (t) designam a posi ção, velocidade e acelera ção no instante t , respectivamente). Determinea posição da partı́cula no instante t .

(a) v(t) = sen t −cos t, s (0) = 0; (b) a(t) = cos t + sen t, s (0) = 0 , v(0) = 5;(c) a(t) = 10 + 3 t −3t2 , s(0) = 0 , s(2) = 10.

74. Sabendo que o gr áco de f passa pelo ponto (1 , 6) e que tem em ( x, f (x)) uma recta tangente deinclina ção 2x + 1, calcule f (2).

75. Sejam F e G primitivas de f e g, respectivamente. É verdade que:

(a) F + G é uma primitiva de f + g?(b) F G é uma primitiva de fg?

(c) F/G é uma primitiva de f /g ?

76. Seja F uma primitiva de f . Mostre que:

(a) Se F é uma fun ção par, então f é uma fun ção ı́mpar.(b) Se F é uma fun ção ı́mpar, ent˜ ao f é uma fun¸cão par.


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77. Calcule primitivas das fun¸ cões indicadas em intervalos adequados:

i ) Primitivas Imediatas

(a) x2 −3x12 (b)

x2 + x + 2√ x (c) e

x√ 1 + e x

(d) 3√ 9 −x

(e) x3

√ 9 −x4 (f)

1x −sen x

(g) sen2 x cos x (h) sen2 x (i) 1x

ln x

(j) arctg x1 + x2

(k) arcsen x√ 1 −x2

(l) x√ 9 −x4

(m) 3x + 5x2 + 1

(n) x9 + x4

(o) cosh(ln x)

x

(p) argtgh2x

1 −x2 (q) ex argsenh(e x )√ 1 + e 2x (r) senhx4 + cosh 2 x

ii ) Primitivas por Partes

(a) x cos x (b) 2xe1+2 x (c) ln x

(d) x2 ln x (e) ln2 x (f) arctg(1x

)

(g) x arcsen x√ 1

−x2

(h) senhx ln(1 + senh x) (i) ln2 x

x3

(j) ex cos x (k) cos(ln x) (l) x2 cos x sen x

iii ) Primitivas de Potências de Fun¸ cões Trigonométricas

(a) sen 3 x (b) cos5 x (c) cos4 x

(d) tg 4 x (e) tg5 x (f) sen5 x√ 3cos x

(g) senhx + cosh x

cosh3 x(h) cosh 2 x (i) senh3x cosh2 x

iv ) Primitivas de Fun¸ cões Racionais

(a) 2x

(x + 2)( x −3) (b)

x2 + 1x2 + 4

(c) x + 2x2(x2 + 1)

(d) 4x2 + 6x3 + 3 x

(e) x + 1x3 −x2

(f) x + 2x2(x4 −1)

(g) 3x + 2

x3 + x2 −2x (h)

x2 −2x + 4x2(x −2)2

(i) x2 + 1(x −1)3


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v ) Primitivas por Substitui¸ cão

(a) 1

(x2 + 4) 2 (b)

x2

√ 25 −x2 (c)

(sen3 x + 1) cos x1 + sen 2 x

(d) ex

1 + cosh x (e) 1

−√ x

x (f) 1

x√ x2 −9

(g) x2 + 1√ x2 + 1 (h)

tgh3 x1 + tgh 2 x

(i) 1

(x + 1) √ x√ x + 2

vi ) Problemas Mistos

Escolha um método adequado para calcular as primitivas das seguintes fun¸ cões:

(a) arctg x(x −1)2

(b) xargtgh x (c) x2 sen2 x cos x

(d) xearcsen x 2

√ 1 −x4 (e)

ln(ln x)x

(f) e2x −1

ex + 1

(g) 1

sen2 x + sen x cos x (h)

ln(x3 + x)

x2 (i) ln( 1 + x2 )

78. Em cada uma das aĺıneas seguintes, determine o valor do integral denido através da identica¸ cãocom a área de uma regi˜ao (que dever á esboçar):

(a) 2

−3(2x + 6) dx (b) 3

0√ 9 −x2 dx (c)

π2

0 x − π4 dx79. Calcule os seguintes integrais denidos:

(a) 2

0 2x dx

(b) 2

−21

4+ x 2 dx

(c) 2π

0 2x dx

(d) 2π

0 2x cos(2x ) dx

(e) 2π

0 |cos x|dx(f)

52

t 3 +1t +1 dt

(g) 2π

π sen4 x cos x dx

(h) e 2 π

1 sen(ln x) dx

(i) 2

0x 2√ 16−x 2

dx

(j) √ 3−√ 3

√ 4 −x2 dx(k)

10√ 1 + x2 dx

(l) π

2

0cos x

6−5sen x +sen 2 x dx

80. Mostre que s ão nulos os seguintes integrais:

(a) 1

−1 x5√ x4 + 1 dx (b)

1

−1 x sen2 x dx

81. Suponha que a fun¸cão f é cont́ınua em R .

(a) Mostre quei.

ba f (−x) dx = −

a

−b f (x) dxii.

ba f (x + c) dx =

b+ ca + c f (x) dx

(b) Para o caso em que f (x) ≥ 0, interprete geometricamente as igualdades anteriores.82. Se f for contı́nua em [ a, b], mostre que

b

af (x) dx ≤

b

a |f (x)|dx

(Sugest˜ ao : utilize a desigualdade −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|).83. A corrente num o eléctrico é a derivada da carga: I (t) = Q′(t). O que representa

ba I (t) dt?


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84. A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova cal-culadora. A taxa de produ¸ cão dessas calculadoras ap´os t semanas é modelada pela fun¸ cão

dxdt

= 5000 1 − 100

(t + 100) 2 calculadoras/semana

Determine o n úmero de calculadoras produzidas entre o inı́cio da terceira semana e o nal da quartasemana.

85. Sejam

f (x) =

0 se x < 0x se 0 ≤ x ≤ 12 −x se 1 < x ≤ 20 se x > 2

e g(x) = x

0f (t) dt .

(a) Dê uma express˜ ao a g(x) semelhante à que foi dada para f (x).(b) Esboce os gr ácos de f e de g.(c) Indique os pontos de continuidade de f e de g.

(d) Indique os pontos onde f e g são diferenci áveis.(e) Interprete os resultados da resolu¸ cão das duas aĺıneas anteriores ` a luz do Teorema Fundamental

do Cálculo.

86. Determine os intervalos onde o gr´ aco da fun ção

f (x) = x

0

11 + t + t2

tem a concavidade voltada para cima.

87. Calcule

(a) limx→3

xx −3

x

3sen t

t dt (b) lim

x→0 x

2

0 et2 dt

cos x −188. Seja g : [0, π ] →R uma fun ção com derivada contı́nua. Sabendo que g(0) = 2 e que

π

0[g′(x)cos x −g(x)sen x]dx = 4

calcule g(π).

89. Considere a fun ção real de vari ável real denida por:

F (y) = 1

0 x2

eyx

dx, y R

(a) Estude a monotonia de F ;(b) Utilizando uma mudan¸ ca de vari ável adequada, mostre que, para todo o y positivo, se tem

F (y) = 1y3

y

0t2et dt

(c) Verique que

limy→0+

F (y) = 13

.

90. Calcule o limite, reconhecendo a soma como uma soma de Riemann de uma fun¸ cão denida nointervalo [0 , 1]:

(a) limn →+ ∞

n

i=1

i3

n4 (b) lim

n →+ ∞1n

n

i=1 in


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91. A electricidade doméstica é fornecida na forma de corrente alternada que varia de 155 V a −155V com uma frequência de 60 ciclos por segundo (Hz). A voltagem é ent˜ ao dada pela seguinte equa¸ cão:E (t) = 155sen(120 πt )

onde t é o tempo em segundos. Consideremos voltı́metros que lêem a voltagem RMS (raı́z da médiaquadr ática), que é a raı́z quadrada do valor médio de [ E (t)]2 num ciclo.

(a) Calcule a voltagem RMS da corrente doméstica.(b) Muitos fornos eléctricos requerem a voltagem RMS de 220 V . Encontre a amplitude A corres-

pondente necessária para a voltagem E (t) = A sen(120πt ).

92. Mostre que1

17 ≤ 2

1

11 + x4

dx ≤ 724

93. Quais dos seguintes śımbolos representam integrais impr´ oprios, quais representam integrais denidose quais não representam integrais denidos ou impr´ oprios?

(a) 0−2

1(1+ x )√ x dx

(b) 2

−21√ 4−x 2

dx

(c) 2−2 sen t dt

(d) 2

−21x dx

(e) 2−2 √ 4 −x2 dx

(f) 2

−2√ x2 −4 dx

(g) 1−1

1u 2 −u dx

94. Determine a natureza dos seguintes integrais impr´ oprios e indique os seus valores no caso de con-vergência:

(a) + ∞−∞ x

2 dx

(b) + ∞

12

x 2 dx

(c)

0

−∞ex dx

(d) + ∞

41x dx

(e) 0

−∞xe−x 2 dx

(f)

+ ∞−∞

xx 4 +9 dx

(g) 1

01

x 2 dx

(h) + ∞−∞

11+ x 2 dx

(i)

+ ∞1/ 2

1x (ln x ) 1 / 5 dx

95. Mostre que o integral impróprio

+ ∞1

1xα

dx

é convergente e de valor 1α −1 se α > 1, e divergente se α ≤ 1.96. Determine a natureza dos seguintes integrais impr´ oprios:

(a) + ∞

51

x 2 +6 x +12 dx

(b) + ∞

0x

x 3 + x 2 +1 dx

(c) + ∞

1e − xx 3 dx

(d) + ∞−1

32x + 3√ x 2 +1+6 dx

(e) + ∞π2

sen xx 2 dx

(f) 1

01

ln(1+ √ x ) dx

97. Calcule a área das guras limitadas(a) pelas parábolas y = x2 e x = y2 ;(b) pelas curvas y = 1x , y =

1x 2 e x = 2;

(c) pelas curvas y = cos x, y = sen 2 x, x = 0 e x = π2 ;(d) pelas curvas y = sen x, y = sen 3 x, x = 0 e x = π2 ;(e) pelas curvas y = |x|, e y = x2 −2;(f) pela par ábola y2 = −x + 2 y e pela recta x = 0;(g) pela hipérbole y2 −x2 = 1 e pela recta y = 3;(h) pela elipse x

2

a 2 + y2

b2 = 1.

98. Considere a regi ão plana A = {(x, y ) R 2 : 0 ≤ x ≤ π2 , 0 ≤ y ≤ 12 , y ≤ cos x}.(a) Determine a área de A.(b) Determine o volume do sólido gerado pela rota¸cão de A em torno da recta y = 0.


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99. Determine o volume do sólido obtido pela rota¸ cão da regi ão limitada pelas curvas dadas em tornodo eixo especicado:

(a) y = sen x, x = π2 , x = π, y = 0, em torno do eixo dos xx ;(b) x = y −y2 , x = 0, em torno do eixo dos yy;(c) y = x, y = √ x, em torno da recta y = 1;(d) y = x, y = √ x, em torno da recta x = 2;

100. Considere a regi ão limitada pela curva y = cos 2 x, pelo eixo dos xx e pelas rectas x = 0 e x = π2 .

(a) Determine o volume do sólido gerado pela rota¸cão em torno do eixo dos xx .(b) Determine o volume do sólido gerado pela rota¸cão em torno do eixo dos yy.

101. Calcule o comprimento de cada uma das seguintes curvas:

(a) 3x = 2( y −1)3/ 2 , 2 ≤ y ≤ 5 (b) y = ln x − x2

8 , 1 ≤ x ≤ 4

102. Atribua, se posśıvel, uma valor ` a área da regi ão R e um valor ao volume do s ólido obtido pela

rota ção em torno do eixo dos xx , sendo:

(a) R = {(x, y ) R 2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1x }(b) R = {(x, y ) R 2 : x ≥ 1, 1 ≤ y ≤ 1 + 1√ x }(c) R = {(x, y ) R 2 : 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1√ x }

(d) R = {(x, y ) R 2 : 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 13√ x }(e) R = {(x, y ) R 2 : x ≤ 0, e2x ≤ y ≤ ex}(f) R = {(x, y ) R 2 : 1 < x ≤ 2, 0 ≤ y ≤1

x−1 }103. Para cada uma das seguintes arma¸ cões, diga se ela é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique

porquê; se falsa, dê um exemplo que justique a sua resposta.

(a) Se f e g forem contı́nuas em [ a, b] então

b

a [f (x) + g(x)] dx =

b

a f (x) dx +

b

a g(x) dx.

(b) Se f e g forem contı́nuas em [ a, b] então b

a [f (x)g(x)] dx = ( b

a f (x) dx)( b

a g(x) dx).(c) Se f e g forem contı́nuas em [ a, b] então

ba [5f (x)] dx = 5(

ba f (x) dx).

(d) Se f e g forem contı́nuas em [ a, b] então b

a [xf (x)] dx = x( b

a f (x) dx).

(e) Se f e g forem contı́nuas e se f (x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, ent ão b

a f (x) dx ≥ b

a g(x) dx.(f) Se f e g forem diferenci áveis e se f (x) ≥ g(x) para a < x < b , ent ão f ′(x) ≥ g′(x) paraa < x < b .(g) Se f for cont́ınua e existir lim t→+ ∞

t

−t f (x) dx ent ão o integral impróprio + ∞−∞ f (x) dx con-

verge e + ∞−∞ f (x) dx = lim t→+ ∞

t

−t f (x) dx.(h) Se para todo x R tivermos 0 ≤ f (x) ≤ g(x) e se

+ ∞

0 g(x) dx divergir então

+ ∞

0 f (x) dx

também diverge.104. Mostre que y = 2 + e−x 3 é uma solu¸cão da equa ção diferencial y′ + 3 x2y = 6x2 .

105. Verique que y = 2+ln xx é uma solu ção para o problema de valor inicial

x2y′ + xy = 1 y(1) = 2 .

106. Uma determinada popula¸ cão é modelada pela equa¸ cão diferencial

d P d t

= 1 , 2 ·P · 1 − P 4200

.

(a) Para que valores de P a popula ção est á a crescer?(b) Para que valores de P a popula ção est á a diminuir?


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107. Considere o campo de direc¸cões da equa ção diferencial y′ = 2y(y −2), representado na gura.

•2 •1.5 •1 •0.5 0 0.5 1 1.5 2•1.5

•1

•0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Determine gracamente a solu¸ cão que satisfaz a condi¸cão dada:

(a) y(0) = 1 (b) y(0) = 2 .5 (c) y(0) = −1 (d) y(1) = 1

108. Resolva cada uma das seguintes equa¸ cões diferenciais:

(a) d yd x = e2 x4y 3 ; (b) y′ =

xy2 ln y ; (c)

d zd t + e

t + z = 0.

109. Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial:

(a) y′ = sen(5 x)y, y(π) = −3; (b) xe−t d xd t = t, x(0) = 1;(c) x + 2 y√ x2 + 1 d yd x = 0 , y(0) = 1.

110. Determine uma equa¸ cão da curva que passa pelo ponto (1 , 1) e cuja inclina ção em (x, y ) é y2 /x 3 .

111. Uma cultura de bactérias come¸ ca com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional ao seutamanho populacional. Depois de 3 horas existem 8000 bactérias.

(a) Determine uma express˜ ao para o n úmero de bactérias depois de t horas.

(b) Calcule o n úmero de bactérias e a taxa de crescimento depois de passadas 4 horas.(c) Quando é que a popula¸ cão atingir á o número de 30 .000 bactérias?

112. A propaga¸cão de um boato pode ser modelada da seguinte forma: a taxa de propaga¸ cão é pro-porcional ao produto da parte da popula¸ cão que j á ouviu o boato com a parte que ainda n˜ aoouviu.

(a) Escreva a equa¸cão diferencial correspondente a este modelo e resolva-a.(b) Uma vila tem 1000 habitantes. Às 8 horas 80 oitentas pessoas tinham ouvido o boato; e ao

meio-dia metade da cidade. A que horas 90% da polula¸ cão ter á ouvido o boato?

113. Indique as equa ções diferenciais que s ão lineares:

(a) y′ + ex y = x2y2(b) y + sen x = x3y′

(c) xy′ + ln x −x2y = 0(d) yy′ = sen x


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123. Determine a solu ção geral da equa¸cão 2y′′ + ty ′ = t2 .(Sugest˜ ao : Efectue a mudan¸ca de vari ável v = y′.)

124. Sabendo que y = 1t é solu ção particular da equa¸ cão 2y′′+ 3y ′

t − yt 2 = 0, determine todas as solu¸ cõesdesta equa¸cão.

125. Integre as seguintes equa¸cões diferenciais lineares homogéneas, sabendo que admitem os integraisparticulares indicados:

(a) ( t −1)y′′ −ty ′ + y = 0; y1 = t(b) (cos 2 t)y′′ −2y = 0; y1 = tan t(c) ty′′ −y′ = 0(d) t3y′′′ −t2y′′ + 2 ty ′ −2y = 0; y1 = t(e) ty′′′ −y′′ + ty ′ −y = 0; y1 = sen t, y2 = cos t

126. Sabendo que t3 e t3 + 1t são soluções da equa ção

t2y′′ + ty ′

−y = 8t3,

determine o respectivo integral geral.

127. Utilizando o método da varia¸ cão das constantes arbitr´ arias, determine a solu¸ cão geral (em algumintervalo real) de cada uma das seguintes equa¸ cões diferenciais, sabendo que as fun¸cões indicadassão soluções das equa ções homogéneas associadas:

(a) ( t −1)y′′ −ty ′ + y = e2t ; y1 = t, y2 = et(b) t2y′′ + ty ′ −y = 2t; y1 = t, y2 = 1t(c) ty′′ + y′ = t2 ; y1 = 2 , y2 = log t

128. Determine a solu ção geral de cada uma das seguintes equa¸ cões diferenciais lineares homogéneas decoecientes constantes:

(a) y′′ −5y′ + 6 y = 0(b) y(4) −4y′′′ + 14 y′′ −20y′ + 25 y = 0(c) y(5) + 5 y(4) −2y′′′ −10y′′ + y′ + 5 y = 0(d) ( D 3 −4D 2 + 4 D )y = 0(e) [(D + 1) 2 + 1] y = 0

129. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:

(a) y′′ −y′ −12y = 0 , y(0) = 3 , y′(0) = 5(b) y′′′ −6y′′ + 11 y′ −6y = 0 , y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 2

130. Determine a solu ção geral de cada uma das seguintes equa¸ cões diferenciais:

(a) y′′′ −4y′′ + 5 y′ −2y = 2t + 3(b) y′′ −9y = e3t(c) y′′ −y′ = t2et(d) y′′ + 2 y′ + y = et sen t(e) y′′ −y′ −6y = e3t sen2t(f) y′′′ −y′′ = 3et + sen t(g) y′′ −y′ = 3et + 2

131. (a) Determine a solu¸cão geral dey′′′ + 4 y′ = cos t.

(b) Sabendo que y1 = et2

é uma solu¸cão particular de y′′′ + 4 y′ = f (t), determine f (t) e calcule asolução geral da equa ção

y′′′ + 4 y′ = 2f (t) −cos t.


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132. Um ponto material de massa m desloca-se ao longo do eixo OX sujeito ` a acção de uma for ça F .Determine a fun¸cão x = x(t) que descreve, em cada instante, a posi¸ cão desse ponto material.

(a) F = −k2mx (k constante) e no instante t = 0 o ponto est á na posi ção a e tem velocidade nula.(b) F = −2mx −2mv (onde v é a sua velocidade), e no instante t = 0 o ponto est´a na origem comvelocidade 10.

133. Um corpo P é abandonado, com velocidade inicial nula, ` a altura h do solo. Supondo que g é aacelera ção da gravidade, determine

(a) ao m de quanto tempo P atinge o solo.(b) a velocidade de P nesse instante.

134. O movimento vertical de um peso suspenso de uma mola é descrito pela seguinte equa¸ cão diferencial

14 x′′ + x′ + x = 0 .

Supondo que x(0) = 4 e que x ′(0) = 2, determine o deslocamento vertical m´ aximo.

135. Considere-se um circuito elétrico em série (C-BRC) constituı́do por um gerador G que, em cadainstante t, produz uma voltagem de E (t) volts (V ), por uma bobina B que gera uma indutˆ anciade L henrys (h), por uma resistência R de R homs (Ω) e por um condensador C com capacitˆ anciade C farads (f ). Geralmente, a resistência, a indutˆ ancia e a capacitˆancia s ão constantes e em cadainstante t, representa-se por q (t) C a carga no condensador e por i(t) A a intensidade da correnteno circuito (medida em ampères ( A)).Depois de fechado o circuito, de acordo com a 2 a lei de Kirchhoff, a soma das diferen¸cas de potencialem cada n ó é igual à voltagem produzida pelo gerador, isto é,

V B + V R + V C = E (t) ,

onde V B (t) = L i ′(t) é a diferen ça de potencial nas extremidades da bobina, V R (t) = R i(t) é adiferen ça de potencial nas extremidades da resistência e V C (t) = q (t)/C é a diferen ça de potencial

nas extremidades do condensador.(a) Tendo em conta que a corrente i(t) est á relacionada com a carga q (t) no condensador por

i(t) = q ′(t), justique que q (t) satisfaz a equa ção diferencial linear de segunda ordem

L q ′′(t) + R q ′(t) + q (t)C

= E (t) .

(b) Suponha que E (t) = 3 V , L = 0 .2 h, C = 10−3 f , R = 30 Ω e que, no instante inicial,q (0) = 3 ×10−2 C e q ′(0) = 10 −2 A. Calcule a carga no condensador em cada instante t > 0.

(c) Suponha que L = 0 .05 h, C = 0 .01 f , R = 2Ω e que E (t) = 0 V . Supondo que, no instanteinicial, q (0) = 5 C e i(0) = 0 A, determine:

i. a carga no condensador no instante t = 0 .01 s;ii. o primeiro instante em que a carga no condensador se torna nula.


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An álise Matemática I (2012/2013)


PRIMITIVAS IMEDIATAS

Na lista de primitivas que se segue considera-se uma fun¸ cão f : I −→ IR diferenci ável emI , onde I é um intervalo de IR. Além disso, denotamos por C a constante de primitiva¸ cão(arbitr´aria) e por a uma constante.

Fun ção Primitiva

f ′ ·sin f −cos f + C

f ′ ·cos f sin f + C

f ′ ·tan f −ln |cos f |+ C

f ′ ·cot f ln |sin f |+ C

f ′ ·sec f ln |sec f + tan f |+ C

f ′ ·csc f ln |csc f −cot f |+ C

f ′ ·sec2 f tan f + C

f ′ ·csc2 f −cot f + C

f ′ ·sec f ·tan f sec f + C

f ′ ·csc f ·cot f −csc f + C

f ′

1 −f 2arcsin f + C

ou

−arccos f + C

f ′1 + f 2

arctan f + C

ou-arccot f + C

f ′

|f | · f 2 −1arcsec f + C

ou

−arccsc f + C


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An álise Matemática I (2012/2013)


REGRAS DE PRIMITIVAÇ ÃO

I - Potências de fun¸ cões trigonométricas e hiperb´ olicas

1. Potências ı́mpares de sin x , cosx , sinh x e cosh x .

Destaca-se uma unidade ` a potência ı́mpar e o factor resultante passa-se para a co-fun¸ cãoatravés das f´ ormulas fundamentais:

cos2 x + sin 2 x = 1

cosh2 x

−sinh 2 x = 1 .

2. Potências pares de sin x , cosx , sinh x e cosh x .

Passam-se para o arco duplo através das f´ ormulas:

sin2 x = 12

(1 −cos2x)

cos2 x = 12

(1 + cos 2 x)

sinh2

x = 12(cosh2 x −1)

cosh2 x = 12

(cosh 2x + 1) .

3. Potências pares e ı́mpares de tan x , cot x , tanh x e coth x .

Destaca-se tan 2 x (tanh 2 x) ou cot 2 x (coth 2 x) e aplica-se uma das f órmulas:

tan 2 x = sec 2 x −1 tanh2 x = 1 −sech 2 x

cot2

x = csc2

x −1 coth2

x = 1 + csch 2

x

4. Potências pares de secx , cscx , sech x e csch x .

Destaca-se sec 2 x (sech 2 x) ou csc2 x (csch 2 x) e ao factor resultante aplica-se uma dasfórmulas:

sec2 x = 1 + tan 2 x sech 2 x = 1 −tanh2 x

csc2 x = 1 + cot 2 x csch 2 x = coth 2 x −1

5. Potências ı́mpares de secx , cscx , sech x e csch x .

Destaca-se sec 2 x (sech 2 x) ou csc2 x (csch 2 x) e primitiva-se por partes come¸ cando poresse factor.


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II - Produtos de potências das fun¸ cões sin x e cos x (sinh x e cosh x )

1. Pot̂encia ı́mpar de sin x ( sinh x) por qualquer potência de cosx ( cosh x).

Destaca-se sin x (sinh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸ cão, através da f´ ormulafundamental:

sin2 x = 1 −cos2 x (sinh2 x = cosh 2 x −1).

2. Pot̂encia ı́mpar de cosx ( cosh x) por qualquer potência de sin x ( sinh x).

Destaca-se cos x (cosh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸ cão, através da f´ ormula

fundamental:

cos2 x = 1 −sin2 x (cosh2 x = 1 + sinh 2 x).

3. Potência par de sin x ( sinh x) por potência par de cosx ( cosh x).

Aplicam-se as f órmulas:

sin2x = 2 sin x cosx sinh 2x = 2 sinh x cosh x

sin2 x = 1 −cos2x

2 sinh2 x =

cosh2x −12

cos2 x = 1 + cos 2x

2 cosh2 x =

cosh2x + 12

.

III - Produtos em que aparecem factores do tipo sin mx ou cos nx , ouprodutos em que aparecem factores do tipo sinh mx ou cosh nx

Aplicam-se as f órmulas:

sin x sin y = 12 (cos(x −y) −cos(x + y)) sinh x sinh y = 12 (cosh( x + y) −cosh(x −y))

cos x cos y = 12 (cos(x + y) + cos( x −y)) cosh x cosh y = 12 (cosh( x + y) + cosh( x −y))

sin x cos y = 12 (sin( x + y) + sin( x −y)) sinh x cosh y = 12 (sinh( x + y) + sinh( x −y))


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An álise Matemática I (2012/2013)Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

FRACÇ ÕES RACIONAIS

Consideremos a fraçcão f (x)g(x)

, em que f (x) e g(x) são polin ómios.

1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua--se a divis˜ aode f (x) por g(x); obtém-se ent˜ ao

f (x)g(x)

= Q (x) + R(x)g(x)

,

sendo agora R(x)g(x)

uma frac ção pr ópria.

2. Decomp˜ oe-se o denominador da fraç c˜ ao pr´ opria em factores ; os factoresobtidos s ão da forma

(x −a )m ,correspondendo a ráızes reais a de multiplicidade m , ou da forma

[(x − p)2

+ q 2

]n ,

correspondendo estes às raı́zes complexas p ±qi de multiplicidade n.

3. Decomp˜ oe-se ent˜ ao a frac ç˜ ao pr´ opria numa soma de elementos simples , de acordo com osfactores obtidos:

(a) cada factor do tipo ( x −a )m dá origem aA1

(x

−a )m

+ A2

(x

−a )m −1

+ . . . + Amx

−a

,

com A 1 , A 2 , . . . , A m constantes a determinar;

(b) cada factor do tipo [( x − p)2 + q 2 ]n dá origem aP 1 x + Q1

[(x − p)2 + q 2 ]n +

P 2 x + Q2[(x − p)2 + q 2 ]n −1

+ . . . + P n x + Qn(x − p)2 + q 2

,

com P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 , . . . , P n , Q n constantes a determinar.


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4. C´ alculo das constantes As constantes Ai , P i e Q i podem ser determinadas conjuntamente pelo método dos coe-cientes indeterminados. H´ a no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes,que descrevemos em seguida.

(a) C álculo dos coecientes relativos a factores do tipo ( x −a )m (seja ψ(x) tal que g(x) =ψ(x)(x −a )m ):

(i) se m = 1, apenas temos de determinar uma constante A 1 , que é dada por:

A1 =R (x)

ψ(x) x = a.

(ii) se m > 1, as constantes calculam-se pelo método dos coecientes indeterminados(a constante A1 ainda pode ser obtida como em (i) ).

(b) C álculo dos coecientes relativos a factores do tipo [( x − p)2 + q 2 ]n (seja ψ(x) tal queg(x) = ψ(x)[(x − p)2 + q 2 ]n ):

(i) se n = 1, obtemos as constantes P 1 e Q 1 fazendo

P 1 x + Q 1 = R (x)ψ(x) x = p+ qi .

(ii) se n > 1, as constantes calculam-se pelo método dos coecientes indeterminados(as constantes P 1 e Q1 ainda podem ser obtidas como em (i) ).

Nota: Caso apare çam elementos simples da forma

1[(x − p)2 + c]n

,

com n > 1, estes podem ser primitivados usando a seguinte f´ ormula de recorrência:

P 1[(x − p)2 + c]n

= 1c

12n −2 ×

x − p[(x − p)2 + c]n −1 + 2n −32n −2 ×

P 1[(x − p)2 + c]n −1


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Departamento de Matem ática da F.C.T.U.C.

AN ÁLISE MATEM ÁTICA I


Duração: 1h (Sem consulta) 1 a Frequência — TP1 15/10/2008

1- Seja f : [−π, + ∞[→R denida porf (x ) :=

cosh x se −π ≤x ≤01 −arctan x se x > 0 .

Fa ça um esboço do gráco de f e indique o seu contradomı́nio.

(Sugest˜ oes: pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções cosh e arctan; cosh π ≈11.6)

2- Considere a fun ção f denida por

f (x ) :=1

x + 5 se x < 0 e x = −5cos √ 1 + ex se x ≥0 .

(a) Determine o domı́nio de continuidade de f .

(b) Diga, justicando, se f é deriv ável em 0.

(c) Determine a fun¸cão derivada, f ′ , no intervalo ]0 , + ∞[.

3- (a) Dena a fun ção inversa argsenh .

(b) Mostre queargsenh x = ln x + x 2 + 1 , x R .

4- Determine

(a) sin arcsin 1213

+ arcsin 45

(b) limx → 4

√ 2x + 1 −3√ x −2 −√ 2

Fim

Cota¸ c ão: 1-(1); 2-(1,5); 3-(1,25); 4-(1,25)


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1- Seja f : [−π, + ∞[→R denida porf (x ) :=

1−cosh x se −π ≤x ≤0arctan x se x > 0 .

Fa ça um esboço do gráco de f e indique o seu contradomı́nio.

(Sugest˜ oes: pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções cosh e arctan; cosh π ≈11.6)

2- Considere a fun ção f denida por

f (x ) := sen√

1 −ex

se x

≤01x −5

se x > 0 e x = 5 .

(a) Determine o domı́nio de continuidade de f .

(b) Diga, justicando, se f é deriv ável em 0.

(c) Determine a fun¸cão derivada, f ′ , no intervalo ] − ∞, 0[.

3- (a) Dena a fun ção inversa argcosh.

(b) Mostre queargcosh x = ln x + x 2 −1 , x ≥1 .

4- Determine

(a) cos arccos 1517 −arccos

725

(b) limx → 4

√ 2x + 1 −3√ x −2 −√ 2

Fim

Cota¸ c ão: 1-(1); 2-(1,5); 3-(1,25); 4-(1,25)


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1- Determine primitivas das seguintes fun¸ cões:

(a) senx

(5 − cos x )5

(b) arctan ( − x )

(c) 1 − x 2 .

2- Na gura ao lado est ão esboçosda par ábola , denida pelaequação y = 12 − x

2 , e da recta ℓ,denida pela equa¸cão y = − x2 .Determine a área da regi ãolimitada por e ℓ.

ℓ

O x

y

3- Considere a fun ção G denida por

G (x ) = cos x1 e1 − t2

dt .

(a) Justique que G é uma fun¸cão diferenci ável em R , sendo

G ′ (x ) = − sen x · esen2 x

em cada ponto x R .(b) Determine, caso exista,

limx → 0

G (x )1 − cos x

.

Fim

Cota¸ c ão: 1-(2,5); 2-(1,5); 3-(2)


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1- Determine primitivas das seguintes fun¸ cões:

(a) cosx

(5 + sen x )4

(b) ln( x 2 )

(c) 1 − x 2 .

2- Na gura ao lado est ão esboçosda par ábola , denida pelaequação y = x 2 , e da recta ℓ,denida pela equa¸cão y = 32 x .Designe A a região limitada por ℓ e .Determine o volume do s ólido que se obtémfazendo girar A em torno do eixo dos xx . O

ℓ

x

y

3- Considere a fun ção G denida por

G (x ) = cosh x

1e1 − t

2

dt .

(a) Justique que G é uma fun¸cão diferenci ável em R , sendo

G ′ (x ) = senh x · e− senh2 x

em cada ponto x R .(b) Determine, caso exista,

limx → 0

G (x )1 − cosh x

.

Fim

Cota¸ c ão: 1-(2,5); 2-(1,5); 3-(2)


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Duração: 1h , 15mn (Sem consulta) 3 a Frequência — TP1, TP2 10/12/2008

1- Determine 2x3 + x −1

x (x −1)(x 2 + 1) dx .

2- (a) Calcule + ∞

1e− x dx .

(b) Averigue a natureza do integral impr´ oprio

+ ∞

0

1 + x√ x1 + x√ x + x 3 dx .

3- Considere a equa ção diferencial linear ordin´aria de segunda ordemy ′′ −y = e

− t .

(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção.(b) Determine a solu¸cão particular que satisfaz as condi¸ cões iniciais

y(0) = y ′ (0) = −14

.

Responda apenas a uma das quest ões 4 e 5 seguintes

4- Determine, caso exista,limx → 0 |x |

x .

5- Uma equa ção diferencial associada aos circuitos eléctricos é

L d I d t

+ RI = E 0 sin(ωt ) ,

onde L é a indutˆancia, R é a resistência, ω é a frequência da voltagem, E 0 a voltagem inicial(todas constantes positivas) e I = I (t ) é a intensidade da corrente em fun¸ cão do tempo, t.Determine uma express˜ ao geral que indique a intensidade da corrente em cada instante t , umavez conhecido o valor inicial dessa intensidade, I 0 .

Fim

Cota¸ c ão: 1-(2,5); 2-(2,5); 3-(2,5); 4,5-(1,5)


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Duração: 2h ,30mn (Sem consulta) Exame Normal 7/1/2009

1- Considere a fun ção f : R → R denida por

f (x ) := e1− cos x se x < 0

cosh (sin x ) se x ≥ 0 .(a) Determine o domı́nio de continuidade de f .(b) Determine a fun¸cão derivada, f ′ , nos pontos onde esta existe.

(c) Calcule, se existir,

limx → 0

1 − cosh (sin x )1 − e1− cos x

.

2- Determine as seguintes primitivas:

(a) ex

1 + exdx (b) 4 − x 2 dx (c)

1x 2(1 + x2)

dx .

3- A gura ao lado representa uma regi˜ ao limitadapor duas curvas, denidas pela equa¸ cões

y = 1 − x 2 + x3 e y = x .

Determine a área da regi ão.x

y

(1 , 1)

4- Determine todas as solu¸cões da equa ção diferencialy ′ − 2ty = 1 − 2t 2 .

5- Considere a equa ção diferencial linear ordin´aria de segunda ordemy ′′ − 5y ′ + 6 y = − 6 .

(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção.(b) Determine a solu¸cão particular que satisfaz as condi¸ cões iniciaisy(0) = 1 , y′ (0) = 0 .

6- (a) Recorrendo à deni ção, determine a natureza do integral impr´ oprio + ∞

1

ln xx

dx .

(b) Determine a natureza do integral impr´ oprio + ∞

1

arctan xx 2

dx .

Fim

Cota¸ c ão: 1-(4); 2-(5); 3-(2); 4-(3); 5-(3); 6-(3)


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Duração: 2h ,30mn (Sem consulta) Exame de Recurso 9/2/2009

1- Considere a fun ção f : [−π, π ] →R denida porf (x ) :=

cosx se −π ≤ x < 0cosh x se 0 ≤ x ≤ π .

(a) Fa ça um esbo ço do gráco de f e indique, se existirem, as abcissas dos pontos onde f admite extremos e os pontos do gráco que são pontos de inex ão.(Nota : pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções cos e cosh; coshπ ≈ 11.6.)(b) Justique que a fun¸ cão derivada, f ′ , existe em todo o domı́nio de f , e determine f ′ (x )para todo o x [−π, π ].(c) Existe f ′′ (x ) no ponto x = 0?

(d) Calcule π

− π

f 2 (x ) dx .


(a) cosx(2 −sen x )2 dx (b) x log(x 3 ) dx (c) 3x 2

x + x3 dx .

3- Na gura ao lado, R representa um sector circular,situado no primeiro quadrante, limitado pelacircunferência de equa¸ cão x2 + y2 = 1 e pelasduas rectas de equa¸cões y = √ 3 x e y = √ 8 x .

(a) Determine a área do sector R .(b) Determine o volume do sólido de revolução

obtido por rota¸cão da regi ão R em torno do eixodos xx .

y = √ 3 x

y = √ 8 x

x

y

O

R

4- Determine:

(a) limx → 0

+

x

0

e− t2

dtx

;

(b) a natureza do integral impr´ oprio + ∞

1

x1 + x3

dx .

5- Determine a solu ção geral da equa ção diferencial linear ordinária de segunda ordemy ′′ + y = sen t .

Fim

Cota¸ c ão: 1-(4); 2-(5); 3-(4); 4-(4); 5-(3)


40/60




Duração: 2h ,30mn (Sem consulta) Exame Especial 7/9/2009

1- Seja f : [−1, 1] →R denida porf (x ) :=

arcsin x se −1 ≤ x ≤ 0arctan x se 0 ≤ x ≤ 1 .

(a) Fa ça um esbo ço do gráco de f e indique o contradomı́nio.(Sugest ão: pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções arcsin e arctan.)

(b) Diga, justicando, se f é deriv ável para x = 0.

(c) Determine, caso exista, limx → 0 +

tan[ f (x )]sin x

.


(a) sin x(2 −cos x )2 dx (b) x log(x 2 ) dx (c) 1 −4x 2 dx .

3- Na gura ao lado, R representa um sector circular,situado no primeiro quadrante, limitado pelacircunferência de equa¸ cão x2 + y2 = 1 e pelasduas rectas de equa¸cões y = √ 3 x e y = √ 8 x .

(a) Determine a área do sector R .(b) Determine o volume do sólido de revolução

obtido por rota¸cão da regi ão R em torno do eixodos xx .

y = √ 3 x

y = √ 8 x

x

y

O

R

4- Determine:

(a) limx → 0 +

x

0e− t

2

dtx

;

(b) a natureza do integral impr´ oprio

+ ∞

1

√ x1 + x

2 dx .

5- Considere a equa ção diferencial linear ordinária de segunda ordemy ′′ −y = e

− t .

(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção.(b) Determine a solu¸cão particular que satisfaz as condi¸ cões iniciais

y(0) = y ′ (0) = −14

.

Fim

Cota¸ c ão: 1-(4); 2-(5); 3-(4); 4-(3,5); 5-(3,5)


41/60




Duração: 3h (Sem consulta) Prova de Defesa de Nota 20/1/2009

1- Mostre que o integral abaixo tem o valor indicado, apresentando detalhadamente os c´ alculosefectuados.

π

π

3

sin x(2 −cos x)(1 −cos x)

dx = ln2 .

2- Para cada n N 0 , dene-seT n (x) = cos ( n arccos x) .

(a) Indique o domı́nio e o contradomı́nio de T n .(b) Determine os valores de x para os quais T n (x) tem m áximos e mı́nimos locais, indicando

os valores destes extremos.(c) Mostre que

1

− 1T k (x)T m (x)

dx√ 1 −x2

=0 se k = mπ se k = m = 0

π/ 2 se k = m ≥1 .(Sugest ão: use uma mudan¸ca de vari ável adequada.)

(d) Para cada n N 0 , considere a EDO linear de segunda ordem

(1 −x2 )y ′′ (x) −xy

′ (x) + n2 y(x) = 0 . (1)(i) Mostre que uma fun¸cão f (x) é solu ção da EDO (1) no intervalo ] −1, 1[ se e só se afunção g(θ) := f (cos θ) é solu ção, no intervalo ]0 , π[, da EDO linear de coecientes

constantes (na vari´ avel independente θ)

z′′

(θ) + n2 z(θ) = 0 . (2)(ii) Resolva a EDO (2) no intervalo ]0 , π [.

(iii) Usando os resultados obtidos em (i)-(ii), conclua que y = T n (x) é solu ção da EDO(1) no intervalo ] −1, 1[.

3- (a) Mostre que o integral impr´oprio

+ ∞

1

sen xxα

dx

é convergente para todo o α > 0. (Sugest ão: use integra ção por partes.)(b) Determine a natureza do integral impr´ oprio

+∞

−∞

sen(x2 ) dx .

(c) Diga, justicando, se a seguinte arma¸ cão á verdadeira ou falsa: Se f é uma fun¸ c˜ aocont́ınua e limitada em R tal que o integral impr´ oprio

+ ∞−∞ f (x) dx é convergente, ent˜ ao

limx → + ∞

f (x) = 0 .

Fim


42/60




Duração: 30mn (Sem consulta) Teste (vers ão A) 21/10/2009

Nome (completo) :

N úmero de estudante / Curso : /

Assinatura do Professor : Classica¸ c˜ ao: valores

1- Considere a seguinte fun¸cão:

g(x ) =− 1 − 2x se x < − 1x 2 se − 1 ≤ x ≤ 1x se x > 1

(a) Determine o conjunto dos pontos onde g é diferenci ável e indique a express ão anaĺıtica de

g′

.(b) Esboce os gr ácos de g e de g ′ .

2- Calcule a derivada da fun¸cão f (x ) = x arccos x + senh (cosh x ) .

3- Calcule limx → 0

x senx1 − cos x

.

RESOLUÇ ÃO:


43/60




Duração: 30mn (Sem consulta) Teste (vers ão B) 21/10/2009

Nome (completo) :




g (x ) =− 1 − 2x se x < − 1x 2 se − 1 ≤ x ≤ 1x se x > 1

(a) Determine o conjunto dos pontos onde g é diferenci ável e indique a express ão anaĺıtica deg

′

.(b) Esboce os gr ácos de g e de g ′ .

2- Determine uma equa¸cão da recta tangente ` a curva y = sen(sen x ) no ponto ( π, 0).

3- Calcule limx → + ∞

x1

x .

RESOLUÇ ÃO:


44/60




Duração: 1h 30mn (Sem consulta) 1a Frequência 18/11/2009

(1) Calcule primitivas das seguintes fun¸ cões:

(a) sen x(5 − cos x )

4

(b) x 2 ln x

(c) √ 4 − x2

(2) Na gura est˜ao representados um arco de circunferência e um arco de par´ abola, denidas pelasequações

x2 + y 2 = 4 e y = 1 −

x 2

4 .

Determine o volume do s ólido que se obtém rodando a regi˜ao a sombreado em torno do eixodos xx .

x

y

0 2−21

2

(3) Efectuando a mudan¸ ca de vari ável x = ln t , verique que o integral abaixo tem o valor indicado,apresentando detalhadamente os c´ alculos efectuados.

1

0

1e x (1 + e2 x )

dx = 1 −1e

+ π

4 − arctan e .

Fim

Cotação: (1)-3,5; (2)-2,5; (3)-3.


45/60




Duração: 1h15mn (Sem consulta) 2a Frequência (vers ão A) 16/12/2009

(1) (a) Utilizando a deni¸cão de integral impr´oprio, justique que o integral

+ ∞

0xe − x

2

dx

é convergente, e calcule o seu valor.(b) Averigue a natureza do integral impr´ oprio

+ ∞

0

x e − x2

1 + x 3 dx .

(2) O circuito eléctrico representado na gura, no qual est˜ ao ligados em série uma bobina deindut ância L = 0 .5 henrys e uma resistência de R = 1 ohms , est á alimentado por uma tens˜ aoalternada dada por V (t ) = sen t . A teoria dos circuitos eléctricos conduz ` a seguinte equa çãodiferencial

L · i ′ (t ) + R · i(t ) = V (t ) ,onde i(t ) representa a intensidade da corrente no instante t, medida em amp̀eres . Determinea intensidade da corrente no circuito sabendo que no instante t = 0 se mediu uma intensidadede 2 amp̀eres .

V (t )

R

L

i(t )

(3) Considere a equa¸cão diferencial linear de segunda ordemy ′′ + y = cosec x .

(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção diferencial no intervalo [1 , 2].(b) Encontre a solu¸cão particular que satisfaz as condi¸ cõesy π2 = y

′ π

2 = 0 .

Fim

Cotação: (1)-3; (2)-2; (3)-3.


46/60




Duração: 1h15mn (Sem consulta) 2a Frequência (vers ão B) 16/12/2009

(1) (a) Utilizando a deni¸cão de integral impr´oprio, justique que o integral

+ ∞

0x 2 e − x

3

dx

é convergente, e calcule o seu valor.(b) Averigue a natureza do integral impr´ oprio

+ ∞

0

x 2 e − x3

1 + x 5 dx .

(2) O circuito eléctrico representado na gura, no qual est˜ ao ligados em série uma bobina deindut ância L = 0 .5 henrys e uma resistência de R = 2 ohms , est á alimentado por uma tens˜ aoalternada dada por V (t ) = 3sen t . A teoria dos circuitos eléctricos conduz ` a seguinte equa çãodiferencial

L · i ′ (t ) + R · i(t ) = V (t ) ,onde i(t ) representa a intensidade da corrente no instante t, medida em amp̀eres . Determinea intensidade da corrente no circuito sabendo que no instante t = 0 se mediu uma intensidadede 6 amp̀eres .

V (t )

R

L

i(t )

(3) Considere a equa¸cão diferencial linear de segunda ordemy ′′ + y = sec x .

(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção diferencial no intervalo [0 , 1].(b) Encontre a solu¸cão particular que satisfaz as condi¸ cõesy(0) = y ′ (0) = 1 .

Fim

Cotação: (1)-3; (2)-2; (3)-3.


47/60




Duração: 2h 30mn (Sem consulta) Exame Normal 06/01/2010

(1) Seja f : [−π, + ∞[→R denida porf (x ) :=

cosh x se −π ≤ x ≤ 01 −arctan x se x > 0 .

Fa ça um esbo ço do gráco de f e indique o seu contradomı́nio, bem como os extremos, casoexistam. ( Sugest˜ oes: pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções cosh e arctan; cosh π ≈11.6)

(2) Considere a fun ção f : R →R denida por

f (x ) :=ln(1 + x2 ) se x ≤ 0cos x −1

ex

−1

se x > 0 .

(a) Estude a continuidade e a diferenciabilidade de f .(b) Mostre que a recta tangente ao gr´ aco de f no ponto (−1, ln 2) passa no ponto (ln 2 , −1).

(3) Calcule:

(a) x2 arcsen x 3

√ 1 −x 6dx

(b) 1

0 4 −x 2 dx(c)

1

0

1x 1 / 3

dx

(d) + ∞

0xe − x dx

(4) Na gura est˜ao representados um arco de circunferência, que passa pelos pontos (

−2, 0), (0, 2)

e (2, 0), e um arco de par ábola, que passa pelos pontos ( −2, 0), (0, 1) e (2, 0). Determine aárea da regi ão a sombreado.

x

y

0 2−21

2

(5) Resolva, no intervalo [

−1, 1], o problema de valor inicial(cos x )y ′ −(sin x )y = e

x , y(0) = 1 .

(6) Considere a equa¸cão diferencial linear ordin´aria de segunda ordem

y ′′ −y = e− 3 t .

(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção.(b) Determine a solu¸cão que satisfaz as condi ções iniciais

y(0) = y ′ (0) = 18

.

Fim

Cotação: (1)-2; (2)-3,5; (3)-5; (4)-3; (5)-2,5; (6)-4.


48/60




Duração: 2h 30mn (Sem consulta) Exame de Recurso 25/01/2010

(1) Seja f : [−2π, 2π ] →R denida por

f (x ) :=2 se −2π ≤ x < −π1 −cos x se −π ≤ x ≤ 0

arctan x se 0 < x < π41 −sen x −

π4 se

π4 ≤ x ≤ 2π .

(a) Fa ça um esbo ço do gráco de f .(Sugest̃ao: pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções cos, arctan e sen.)

(b) Indique o contradomı́nio de f .(c) Determine o domı́nio de continuidade de f .(d) Determine o domı́nio de diferenciabilidade de f .(e) Indique os extremos de f , caso existam.(f) Determine a recta tangente ao gr´ aco de f no ponto ( 3 π4 , 0).

(2) Calcule:

(a) √ x + cosxsen3 x dx (b) 3 / 2

0 9 −x 2 dx (c) + ∞

0

11 + 4 x 2

dx

(3) Na gura est˜ao representados um arco de circunferência e um arco de par´ abola, denidas pelas equa¸ cõesx 2 + y2 = 1 e y = −2x (x + 1) .

Determine a ´area da regi ão a sombreado.

x

y

0 1− 1

1

(4) Resolva, no intervalo −π2 ,

π2 , o problema de valor inicial

y ′ + (tan x )y = x cos2 x , y (0) = 1 .

(5) Resolva a equa¸cão diferencial seguinte sujeita ` as condi ções iniciais dadas:y ′′ (x ) −y

′ (x ) = 1 + x2 , y(0) = 1 , y′ (0) = 0 .

(6) Para k R , designe

I k := + ∞

0x k e − x dx .

(a) Justique que este integral impr´ oprio é convergente para k ≥ 0.(b) Usando o método de integra¸ cão por partes, verique queI k = k I k − 1 se k N ,

e use esta rela ção para determinar I k para todo o k N .

Fim

Cotação: (1)-4,5; (2)-4,5; (3)-3; (4)-3; (5)-3; (6)-2.


49/60




Duração: 2h 30mn (Sem consulta) Exame Especial 14/07/2010

(1) Seja f : [−π, + π] →R denida por

f (x) :=

π se

−π

≤x <

−1

arccos x se −1 ≤ x ≤ 0π2 −arctan x se 0 < x ≤ 1

1 se 1 < x ≤ π .(a) Fa ça um esbo ço do gráco de f .

(Sugest̃ao: pode apoiar-se nos gr ácos das fun ções arccos e arctan.)(b) Indique o contradomı́nio de f .(c) Determine o domı́nio de continuidade de f .(d) Determine o domı́nio de diferenciabilidade de f .(e) Determine a recta tangente ao gr´ aco de f no ponto (−

12 ,

2 π3 ).

(2) Calcule:

(a) 3√ x + cosh xsenh 8 x dx (b) 25 −x2 dx (c) + ∞

0xe − x dx

(3) Na gura, a região a sombreado é limitada superiormente por uma semi-circunferência e inferiormentepor um arco de parábola. As circunferência e par´ abola correspondentes s˜ ao denidas pelas equa¸cões

x2 + ( y −1)2 = 1 e y = x2 .

Determine a área da regi ão a sombreado.

x

y

0 1− 1

1

(4) Resolva o problema de valor inicial

y ′ = y senx , yπ2

= 1 .

(5) Resolva a equa¸cão diferencial seguinte sujeita ` as condi ções iniciais dadas:y ′′ (x) −y

′ (x) = 1 + x2 , y(0) = 1 , y′ (0) = 0 .

(6) (a) Seja m um número inteiro não negativo e designem I m e F m os seguintes integrais:

I m := π/ 2

0cos2 m θ dθ , F m :=

π/ 2

0cos2 m +1 θ dθ .

Usando o método de integra¸ cão por partes, mostre que

I 0 = π/ 2 , I m +1 = 2m + 12m + 2

I m , F 0 = 1 , F m +1 = 2m + 22m + 3

F m .

(b) Usando os resultados anteriores prove as f´ ormulas de Wallis:

π/ 2

0 cosk θ dθ =

23

· 45

· · ·k − 1

k , se k é ı́mpar ( k

≥3)

12 ·

34 · · ·k

− 1k · π2 , se k é par ( k ≥2) .

Cotação: (1)-3,5; (2)-4,5; (3)-3; (4)-3; (5)-3; (6)-3.


50/60




Duração: 2h 30mn (Sem consulta) Prova de Defesa de Nota 6/Janeiro/2010

(1) Calcule o comprimento da curva denida por

y = x

1 √ t −1 dt , 1 ≤ x ≤ 16 .

(2) Considere a equa¸cão diferencial loǵısticadP dt

= kP · 1 − P K

,

onde P = P (t ) representa o tamanho da popula¸ cão no instante t, k é uma constante positiva(constante de proporcionalidade) e K é a capacidade de suporte da popula¸ cão.(a) Determine a solu¸cão geral da equa ção loǵıstica.(b) Justique que lim

t→ + ∞P (t ) = K e dê uma interpreta¸ cão para este resultado.

(3) (a) Considere a equa¸cão diferencial linear homogénea de segunda ordemy ′′ + p(x )y ′ + q (x )y = 0 , ( )

onde p(x ) e q (x ) são funções contı́nuas num intervalo I . Suponha que é conhecida umasolução y1(x ) de (*) tal que y1(x ) = 0 para todo o x I .(i) Mostre que uma segunda solu¸cão da equa ção diferencial (*) é

y2(x ) = y1(x ) e−

p(x) d x

y21(x ) dx .

(ii) Prove que {y1(x ), y2(x )} é um sistema fundamental de solu¸ cões para a equa ção (*).(b) Usando os resultados de (a), e sabendo que y1(x ) = x 2 é uma solu¸cão em I =]0 , + ∞[ daequa ção diferencialx 2y ′′ −3xy

′ + 4 y = 0 ,determine a solu¸cão geral desta equa¸cão em ]0, + ∞[.

(4) (a) Sendo a > 0, prove que

a

0f (x ) dx =

a

0f (a −x ) dx

para qualquer fun¸cão cont́ınua f : R →R , e use este resultado para mostrar que π/ 2

0

sinn xsinn x + cos n x

dx = π4

para qualquer n´umero n N 0.(b) Para n N 0, considere o integral impr´oprio

+ ∞

0

t n

(1 + tn )(1 + t2) dt .

Justique que este integral impr´ oprio é convergente e determine o seu valor.

Fim


51/60




Duração: 2h 30mn (Sem consulta) Prova de Defesa de Nota 18/Janeiro/2010

(1) Mostre que:

(a) + ∞

1

sin xx

dx é convergente.

(b) + ∞

1

sin xx

dx é divergente.

(Sugest˜ ao: Comece por provar que + ∞

1

sin2 xx

dx é divergente.)

(2) Considere, no intervalo ]0 , + ∞[, a equação diferencial lineart 2

d2ydt 2 −2y = sin(ln t ) . ( )

(a) Efectuando a mudan¸ ca de vari ável t = ex , verique que esta equa¸cão se transforma naequa ção diferencial linear de coecientes constantes

d2ydx 2 −

dydx −2y = sin x . ( )

(b) Determine a solu¸cão geral de (**) e use o resultado que obtiver para determinar a solu¸ cãogeral da equa ção proposta (*).

(3) (a) Seja g uma fun ção estritamente crescente e diferenci´ avel no intervalo [ a, b ], com inversadiferenci ável em [g(a ), g (b)]. Mostre que

b

ag(x ) dx +

g(b)

g(a)g− 1(u ) du = bg(b) − ag (a ) .

(Sugest˜ ao: Comece por fazer a mudan¸ca de vari ável u = g(x ).)(b) Usando o resultado da aĺınea anterior mostre que

1/ 2

0arcsin x dx =

π12

+√ 32 −1

(4) Determine o conjunto dos valores xR

para os quais é v álida a igualdadearcsin

x −1x + 1

= 2 arctan √ x −π2

.

Fim


52/60




Duração: 30mn (Sem consulta) Teste (vers ão A) 13/10/2010

Nome (completo) :




f (x ) =

π se x < −1arccos x se −1 ≤ x < 0

π

2 se 0 ≤ x < 1π

2 cosh (x −1) se x ≥ 1(a) Esboce o gr áco de f .(b) Indique o contradomı́nio e o domı́nio de continuidade de f .

2- Calcule a derivada da fun¸cão f (x ) = ex · cosh x −arccos(√ x ) , denida para x > 0.

3- Calcule limx → π +

cos 1x − π ·

π

2 + arctan [ ln( x −π ) ] .

RESOLUÇ ÃO:


53/60




Duração: 30mn (Sem consulta) Teste (vers ão B) 13/10/2010

Nome (completo) :




f (x ) =

π

2 + arccot x se x < 0arccos( x − 1) se 0 ≤ x < 1

sech x se x ≥ 1(a) Esboce o gr áco de f e indique o seu contradomı́nio.

(b) Determine limx → + ∞

arctan 1x

· f (x ) .

2- Calcule a derivada da fun¸cão f (x ) = cosh(cos x ) − arcsen 1

1 + x2 .

3- Considere a curva denida pela equa¸ cãox 3 − y3 = 7 .

Usando o método da diferencia¸ cão impĺıcita, determine uma equa¸ cão da recta tangente ao

gráco da curva no ponto (2 , 1).

RESOLUÇ ÃO:


54/60




Duração: 30mn (Sem consulta) Teste (vers ão C) 13/10/2010

Nome (completo) :




f (x ) =

π

2 + arctan x se x < 0arccos x se 0 ≤ x < 1

senh (x − 1) se x ≥ 1(a) Esboce o gr áco de f .

(b) Indique o contradomı́nio e o domı́nio de continuidade de f .

2- Calcule a derivada da fun¸cão f (x ) = cosh( ecos x ) + argsenh 1 + x 2 .

3- Determine limx → + ∞

sen1 + x2

x· arcsen

x1 + x 2

.

RESOLUÇ ÃO:


55/60




Duração: 1h 30mn (Sem consulta) 1a Frequência 3/11/2010

(1) Calcule:

(a) limx → 0−

senx1 − cos x (b) limx → 0 (cos x )

1

x2

(2) Determine as dimens˜oes (c

caderno exercicios 2012-2013

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