第1回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題1-1　[2][3] 問題1-2　[1][2][3] 問題1-3　[1] [2]

2/11 第2回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題2-1　[2] 問題2-2　[1] 問題2-3　[1]

第3回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題2-4　[1] 問題2-5　[1] 問題2-6　[1][2]

第4回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題3-1　[1] 問題3-2　[1],[2]

第5回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題3-3　[1],[2] 問題3-4　[1],[2]

第６回レポート（力のバランスと物体の運動）

問題１ 位置 x(t), ベクトル表記で r(t)が以下で与えられている時、各運動の速度と加速度を求めよ。ここで i, jはそれぞれ x, y 方向の単位ベクトルとする。次の計算を行いなさい。

(1) x(t) = 12αt2 + βt + γ

(2) x(t) = Acosωt (3) x(t) = R e−αt sinωt (4) r(t) = (2Rcosωt)i + (Rsinωt)j 問題２ 3 つのベクトルをそれぞれ , とする。ここで はそれぞれ、x, y, z 方向の単位ベクトルとする。次の計算を行いなさい。 (I) (II) (III)

問題３ 質量 10kgの物体を天井から２本の糸 A,Bで図のように吊した。糸 A,Bと天井のなす角はそれぞれ 30°，60°である。糸の質量は無視できるとして、各糸が物体に及ぼす力の大きさを求めよ。重力加速度gの大きさを g=9.8[m/s2]とする。

問題４ 質量 60.0[kg]の物体を長さ 2.00[m]の３本のひもで３人が一本ずつもって吊り下げている。３人は正三角形をなす位置にいて物体との水平距離は 50.0[cm]である。おのおのの糸が物体に及ぼす力の大きさは何[N]か。重力加速度 gの大きさを g=9.80[m/s2]とする。

問題５ 水平な線路上を機関車が貨車を２両引いて加速度 a[m/s2]で右向きに走っている。１両目，２両目の車両の質量はそれぞれm1,m2である。機関車が１両目を引く力 F，１両目が２両目を引く力 F21はそれぞれいくらか。 問題６ 電車が A駅を出発して 20.0秒の間一定の加速度で時速 75.6kmに達し、そこで等速運動に移る。隣の B駅到着 30.0秒前から一定の加速度で減速して B駅に停車した。所要時間は 2.00

分である。線路は直線かつ水平とする。この間、加速度，速度を時間の関数として表し、速度のグラフを描け。また、両駅間の距離を求めよ。

a = 3i + 2 j− k b = −5i + 4 j+ 2k i, j,k

ab

aib

第７回レポート（自由落下の運動方程式を解く）

重力加速度 g=9.8[m/s2]とする。 問題 1 地面から高さ hの場所から、掴んで止まっているボールの手を静かに放した。t[s]後の速度 v(t)と位置 x(t)を求めよ。ただし、空気抵抗は考えず、はじめの位置を x(0)=0,下向きに正の軸を取ることとする

問題 2 地面から高さ hの場所から、ボールを鉛直上向きに速さ v0[m/s]で投げ上げた。このボールが地面に衝突するまで、位置と速度を時刻ｔの関数として表せ。また、地面に衝突する瞬間の時刻と速度を求めよ。ここで、投げ上げた瞬間を時刻 0[s]として、空気抵抗は考えず、地面の位置を x=0,下向きに正の軸を取ることとする

問題3 地面から高さ hの所から、質量ｍのボールを鉛直下向きに速さ v0[m/s]で投げ下げた。この瞬間を時刻 0[s]とする。空気抵抗は考えない。ここで、h=100[m],m=10[kg], v0=10[m/s]とする。 1) 鉛直下向きを x軸として、微分方程式を用いて運動方程式をたてなさい。 2) 初期条件を考え、1)の微分方程式を解き、x(t), v(t)を求めなさい。ただし、地面からの高さ hの場所を x=0 とする。

3) このボールが地面に衝突する時間 tcを求め、具体的な数字を計算せよ。 4) 地面に衝突する瞬間の速度を求め、具体的な数字を計算せよ。

問題4 原点から高さ h[m]の位置から、水平方向に対して角度θをなす角方向に、速度 V[m/s]

で質量 m[kg]の質点を投げた。重力加速度の大きさを gとし、空気抵抗は考えない。

1) 高さ方向を+y，水平方向を+xとして、それぞれの方向の運動方程式を記述せよ。

2) 質点が達する最高点の座標(xh,yh)を求めよ。

3) 質点が地面に衝突するまでの時間 tr, 到達距離 xrおよび衝突の速さと速度を求めよ。

第８回レポート（抵抗のある場合での運動方程式）

問題１ 体重および諸装備を含めて全質量が 50[kg]のスカイダイバーが飛行機から飛び出し、しばらくしたら落下速度が 180[km/h]で一定となった。空気の抵抗は速度に比例するとして、その比例定数 cの単位系と具体的な大きさを求めよ。

問題２ 半径 Rのゴム球と、同じ半径で質量が半分の中空ゴム球を同じ高さから同時に落下させ、空気抵抗がその速度に比例するため、終端速度に達した。終端速度で落下しているとして、落下の所要時間の比はいくらか。

問題３ 原点より質量ｍ[kg]の物体を初速度 0[m/s]で静かに下方向に落とした。ここで物体は落下速度 vに比例し運動方向と逆向きの抵抗力 c[kg/s](ただし c≧0)を受けて落下する。 1) 鉛直下向きをｘ軸の正方向，時間を tとして運動方程式を求めよ。 2) t 秒後の速度 v(t)，移動距離ｘ(t)を求める式を求めよ。 3) t→∞としたとき、終状態での速度を求めることができる。この速度を求めなさい。 4) m=2[kg]、c=5.0[kg/s]とした時、10 秒後の速度を数字で求めよ。この間、地面などに衝突しないものとする。

問題４ 地面に掘られた非常に深い井戸に向かい、質量ｍ[kg]の物体を地面からなす角θ(ただしθ>0)で初速度 v0[m/s]で投げた。ここで物体は速度に比例する抵抗を受けて運動するものとして、その比例定数を c[kg/s](ただし c＞0)とする。水平方向の移動距離は、最大でどの程度になるか求めなさい。ここでm=1[kg]，v0=10[m/s]，c=1[kg/s]，θ=60[°]とし、物体は運動中、井戸の底に衝突しないものとする。

問題５ 非常に高い崖の上から質量m[kg]の物体を水平右方向に速度 v0[m/s]で投げる。投げた瞬間を時刻 t=0[s]とする。ここで、水平右方向を x軸の正の方向，鉛直下向きを y軸の正の方向とする。xとｙ方向それぞれの速度を vx[m/s]，vy[m/s]とし、下方向に進む場合のみ、物体は速度に比例する抵抗力 c vy（進行方向とは逆向き）をうける。ここで cを比例定数とする（ただし、c>0）。物体は運動中に地面などに衝突しないものとする。 1) 水平・垂直方向の軸に注意して、物体の運動を示す全体図を示せ。 2) 水平方向ならびに鉛直方向それぞれの速度を示す運動方程式を記述せよ。 3) 比例定数 cの単位を示せ。 4) 速度 vx，vyを時間の関数として求めよ。 5) 十分時間が経過した時の物体の落下速度Vを求めよ。

第９回レポート（振動現象，減衰振動，強制振動）

問題１ 自然長の長さが d[m]で質量の無視できるバネがある。

1) バネの上端を固定し、質量 m[kg]のおもりをつるしたら長さ a[m]だけ伸びて静かに停止した。バネ定数 kの大きさとその単位系を求めよ。

2) さらに b[m]だけ伸ばして静かに離したらおもりは振動を始めた。振動の周期と振幅はいくらか。

問題２ 水平で滑らかな平面上に、ばね定数 kのバネの片側は壁に固定されており、もう一方に質量ｍの質点を取り付ける。このとき、質点は速度 vに比例し運動方向と逆向きの抵抗力をうけるものとする（比例定数: c，c>0）。時間 t=0[s]で自然長から 2.0[cm]ずらして、ゆっくりと手を離す。ここで、m=2.0[kg], k=10[N/m]，c[kg/s]=1.0とする。

1) 質点の位置を x（ただし、自然長を x=0とする），時間を tとして、この質点に関する運動方程式を記述しなさい。

2) 時刻 tでの質点の位置 xは、tと数字を使ってどのように記述できるか示せ。

問題３ バネの単振動を考えるとき、摩擦などがない場合、支配方程式は

m d 2xdt2

+ kx = 0 (1)

というように記述される。例えば、ここで外部から角振動数ωで質点を強制的に振動させると、支配方程式は、式(1)を書き換えて、例として

d 2xdt2

+ω02x = K0 cosωt ω0 =

km (2)

となる。ただし、K0とバネ定数 kとは関係はない。つまり、式(2)の右辺に角振動数ωで強制振動させるという項が加えられる。

1) 式(1)を解け。 2) 式(2)の方程式の解の一つ xs (t)は

xs (t) = Asinωt + Bcosωt

である。ω≠ω0の場合、この式を利用して、Aと Bの値を求めよ。

3) 一般解は式(1)と式(2)の解の線形結合となる（単純な足し算）。また、t=0において、x(0)=0,

v(0)=0とした場合、方程式中の未知数を決定せよ。

4) さらに外部から与える角振動数ωをω0に近づけたとき（ω→ω0：共振周波数）、解はどのように記述されるか、計算せよ。

第10回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題4-1　[1] 問題4-2　[1] 問題4-4　[1] 問題4-5　[1]

第１１回レポート（角運動量とトルクの概念）

問題１ てこの支点から 1.0mのところに質量 200[kg]の石がのっている。てこは水平から 30゜傾いている。反対側支点から 2.5[m]のところに力を加えて石を持ち上げようとする。

１） 持ち上げるのに必要最小限のトルクの大きさはいくらか

２） 力を鉛直に加えるとき必要最小限の力の大きさはいくらか

３） 力を水平に加えるとき必要最小限の力はいくらか

問題２ x,y,z成分をそれぞれ A(4,1,3),B(-1,4,2)とするベクトルがある。外積 A×Bを求めよ 問題３ 3つのベクトルをそれぞれ , とする。ここで はそれぞれ、x, y, z方向の単位ベクトルとする。次の計算を行いなさい。

(I)

(II)

(III)

(IV)

問題４ 質量 60kgのランナーが直線コースを速度 8.0[m/s]で走っている。スタートラインの延長上のコースから 2.0[m]離れたところに審判員が立っている。審判員とランナーとの距離が 15m

のとき、審判員からみて立っている点のまわりのランナーの角運動量はいくらか。

問題5 Nをトルク，Lを角運動量とすると、回転に対応する運動方程式は

である。原点を中心にｘ-ｙ平面の回転運動をするとき、回転に対してｒが一定であれば回転方向の力を Fφとすると、

となることを利用し、長さ rの糸の一端を支点 Oにつなぎ、他端に質量ｍの質点を結んで重力下で微小振動させると、この振り子の運動が近似的に単振動となることを証明せよ。

問題６ もし力 Fと位置 rの関係が F//rであると（つまり中心力）、角運動量Ｌは保存されることを証明せよ（つまり時間に依存しない）。

a = 3i + 2 j− k b = −5i + 4 j+ 2k i, j,k

ab

aiba × b

N = dLdt

rFφ = mr2 d 2φdt2

= mr2 ddt

dφdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = mr

2 dωdt

Fφ = mrd 2φdt2

= mr ddt

dφdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = mr dω

dt

第１２回レポート（剛体系での力のつり合い）

問題１ 質量 mの棒の重心を挟む 2点 A，Bを指で支えた。棒の重心 Gを通る鉛直線と、点 A,Bを通る鉛直線との距離をそれぞれ dA,dBとする。点 A,Bで指からはたらく鉛直上向きの力の大きさ FA, FBはそれぞれいくらか。

問題２ 密度一様の太さ一定の棒の端に質量 m[kg]のおもりを乗せ、端から 1/4のところを支えたら棒は静止した。棒の質量はいくらか。

問題３ 斜面上に、高さ 2aで底面が一辺 aの正方形である角柱（密度一様）が置かれている。一つの辺は最大傾斜線の方向を向いている。斜面の角度を大きくしていったら角柱が滑ることなく倒れた。その時の斜面の角度はいくらか。

問題４ 長さ L, 質量 M で密度一定，太さ一定の棒をなめらかな壁に立てかける。床から棒にはたらく垂直抗力の大きさを R，摩擦力の大きさを F，壁から棒にはたらく垂直抗力の大きさを R’とする。床と棒の間の角度をθとして、床と棒の間の静止摩擦係数をμとする。棒が滑り出さない状況において、R，F, R’を求めなさい。また、棒が滑り出さないためのθの条件を求めよ。

問題５ 図のように、質量M，長さ Lの一様な棒が、水平な地面に対する角度θの状態で、高さ Hの鉛直な壁に斜めに立てかけられている。

1) 棒と地面，および棒と壁の間に同じ静止摩擦係数μの摩擦力が働く場合を考える。力の釣り合いの式，トルクの釣り合いの式を考え、棒がすべり始める直前の状態にあるときのμと他の文字との関係を示しなさい。

2) 棒と地面の間には静止摩擦係数μの摩擦力が働くが、棒と壁との間には摩擦力が働かない場合に、棒の上端に大きさ Fの水平右向きの力を加えた。Fを０から徐々に大きくしていったら、棒の下端が地面に対して滑ることなく壁から離れた。このときのμの条件を示せ。

第１３回レポート（慣性モーメントと剛体系の運動）

問題１ 質量M，長さ Lで密度一様な棒の重心 Gを通り、棒に垂直な軸ｇまわりの慣性モーメント Igを求めよ。さらに、軸 gに平行で、gからの距離 dのところを通る軸 aまわりの慣性モーメント Iaが Ia=Ig+Md2で表されることを示せ（中心軸の定理）。

問題２ 質量M，長さ Lで密度一様な棒の片端を通る軸まわりの慣性モーメントを求めよ。

問題３ 質量M，半径 aの密度・厚さ一様な円板の中心を通り、円板に垂直な軸まわりの慣性モーメントを求めよ。

問題４ x方向の長さが a (-a/2≦x≦+a/2), y方向の長さが b (-b/2≦y≦+b/2)の一様な薄い長方形の板（質量M）について、x,y,z軸まわりの慣性モーメントを求めよ。ここで、Iz=Ix+Iyを示せ。

問題5 問題 3と 4を用いて、質量M，半径 aの密度・厚さ一様な円板の中心を通り、円板に水平な軸まわりの慣性モーメントを求めよ。

第１４回レポート（剛体系の運動） 問題１ 質量M，半径 aの円盤に図のように糸を巻き付けて、t=0で天井から静かに手を離して落下させた。 1) 手を離した時の糸の張力を求めよ 2) t 秒後の運動エネルギー，回転エネルギー，位置エネルギーを求めよ。ただし、位置エネルギーの基準点を、天井位置とする。

問題2 質量M，半径 aの円盤を、摩擦係数μをもつ斜面（角度α）に置き、初め止まっている状態から、静かに転がす。 1) 円盤が滑らずに転がるための必要な摩擦係数μと斜面の角度αの関係を求めよ。

2) t 秒後の速度 v，角速度ω，移動距離 xを求めよ。

3) t 秒後の運動エネルギー，回転エネルギーを求めよ。

問題３ 質量M，長さ Lで密度一様な棒の重心Gを通り、棒に垂直な軸ｇまわりの慣性モーメント

Igは、 Ig =112ML2 [kg m2]と表すことができること

を示せ。 また、図のようにモーターを取り付け、軸周りに回転させることを考える。はじめ止まっていたとして、10秒後に 1秒間に 60回転するようにしたい。必要になるモーターのトルクを求めよ。ここで、M=10[kg], L=1[m]とする。 問題４ 水平に置かれた質量M，半径Rの円板が、円板に垂直な中心軸まわりに自由に回転できる。静止した円板の縁に、質量ｍの人が立っている。人が縁に沿って歩き出したら、円板は逆方向に回転し始めた。人の歩く速さが円板に対してｖのとき、円板の角速度ωはいくらか。

第15回レポート 以下で指定した教科書の問題を自ら解き、解答を確認した上で、レポートとして提出せよ。 問題6-1　[2],[3] 問題6-2　[4]