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C u r s o : Matemática

Material N° 32GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24

UNIDAD: GEOMETRÍA

GEOMETRÍA PROPORCIONAL I

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean, respectivamente,congruentes con los ángulos del otro o también cuando, tengan sus lados homólogosproporcionales.

OBSERVACIONES

Esta definición establece la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos sonsemejantes, si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos deuno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando además,tengan sus lados homólogos proporcionales.

La congruencia es un caso particular de semejanza.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones permiten deducir que el triángulo xyz essemejante en ese orden al triángulo x’y’z’ de la figura 1?

I) yz x'y 'II) xyz x'y'z'

III) xyz ≅ x'y'z'

A) Con IB) Con IIC) Con IIID) Con I y II a la vezE) Con ninguna

2. En la figura 2, ABC es semejante al DEF en el orden

A) FEDB) DEFC) EFDD) DFEE) EDF

A

C

B P

R

Q

ABC PQR si y solo siA P, ∡B Q, C R

y

AB BC CA = =

PQ QR RP

x’

Z’

y’

Z

x y

fig. 1

fig. 2B

3

A

C

4

5 D

E

F

12

15

9

2

3. En la figura 3, ABC DEF. entonces, BAC mide

A) 40ºB) 60ºC) 80ºD) 100ºE) no se puede determinar.

4. El triángulo ABC de la figura 4, es escaleno y rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es falsa?

A) ACD ABC

B) CDB ACBC) ABC CBDD) CBA CAD

E) DCB BAC

5. El orden de semejanza entre los triángulos ABC y XYZ de la figura 5 es

A) XYZ CBAB) ZYX BACC) YXZ BCAD) ZXY BCAE) No son semejantes

A BD

C

fig. 4

B C

A

40°

D E

F

80°

fig. 3

C

A

B15 Y

X Z

13

5

fig. 5

8

3

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de lasseis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellasprovocan necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.

TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL) (AA)

Para que dos triángulos sean semejantes, los ángulos de uno de ellos deben ser congruentescon los ángulos del otro.

O sea, en la figura 1:

COROLARIO

Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero.


EJEMPLOS

1. En la figura 3, los puntos D, E y F son puntos medios de los lados CA , CB y AB ,respectivamente. ¿Cuál de los siguientes triángulos, no es semejante con el DEC en eseorden?

A) AFDB) EDFC) FBED) ABCE) EFD

A B

D E

C

fig. 2

Si A P y B Q

entoncesABC PQR

Si DE // AB ,entonces

CDE CAB

fig. 1

C

A B

R

P Q

3A B

D E

C

fig. 3

F

4

2. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos son semejantes entre sí?

I) II)

III)

A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en I y en IID) Sólo en I y en IIIE) En I, en II y en III

3. Si el triángulo de la figura 5 es rectángulo en C y CD es altura, entonces ¿cuál de lassiguiente afirmaciones es verdadera?

A) ADC DCB

B) DBC CAD

C) DCB DBC

D) ACD ABC

E) CDB ABC

4. En la figura 6, PQ // MN . Si PM mide el triple de RP , ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Los triángulos PQR y MNR son semejantes.

II)PQ 1

=4MN

III)RQ 1

=3RN

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

M N

P Q

R

fig. 6

60º

60º

30°

50°130º

70º

E

A

C

D80º100º

B

fig. 4

fig. 5

C

A D B

5

TEOREMA 2 (LAL)

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entrelados proporcionales.


TEOREMA 3 (LLL)

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.


TEOREMA 4 (LLA>)

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamenteproporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.


EJEMPLOS

1. En la figura 4 , el trazo x es igual a

A) mpk

B) km

(k – p)

C) mk(k p)

D) mk

(k – p)

E) pk

(m – k)

Si A P yAC AB

=PR PQ

, entonces ABC PQR

Si AB BC CA= =

PQ QR RP, entonces ABC PQR

Si C R yAC AB

=PR PQ

,

AB AC ,entonces ABC PQR

AB > AC PQ > PR

fig. 3

P Q

R

q

rA B

C

k · r

k · q

fig. 2

P Q

R

q p

r

C

A B

k · q

k · r

k · p

C

A B

b

c

fig. 1

R

P Qk · c

k · b

fig. 4p

m

x

k

6

2. Los triángulos de la figura 5, son semejantes según el teorema

A) AAB) LALC) LLA >D) LLLE) AAA

3. Si en los triángulos de la figura 6,RP PQ

=WZ ZY

y R W, entonces es (son) siempre

verdadera(s):

I) PQR ZYWII) P Z; Q Y

III) Si PQ = 9 y PR = 5, entonces PQR ZYW.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

4. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo escaleno de lafigura 7?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

Q

R

P

W

Z

fig. 6

Y

fig. 5

S T

U

12

16

P Q

R

6 4

8

fig. 7a b

c

2a + 4 2b + 4

2c + 4

1,3 a 1,3 b

1,3 c

a2

b2

c2

7

TEOREMA 5

En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazoshomólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros (fig. 1).

TEOREMA 6

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón enque se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).

OBSERVACIÓN: Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes y en el círculo.

EJEMPLOS

1. En la figura 2, el trazo DE // AC y el perímetro del DBE es 12 cm. ¿Cuál es el perímetrodel ABC?

A) 30 cmB) 32 cmC) 33 cmD) 36 cmE) 48 cm

2. En la figura 3, ABC PQR, los perímetros respectivos, están en la razón 3 : 1 yAD = 12 cm, entonces PS mide

A) 3 cmB) 4 cmC) 6cmD) 8 cmE) 12 cm

A c B

C

b atc

ha

A’ c’ B’

C’

b’ a’tc’

ha’

fig. 1

c a

c' a'

b t h= =

b' t h=

PerímetroΔABC

Perímetro

ΔA'B'C'

= ....

ÁreaΔABC

Área

ΔA'B'C'

=2 22

c a

c a'

b t h= =

b' t h'

= ....

fig. 2

A BD

E

C

12

4

fig. 3

P

R

S

Q40°

C

A

D

B40°

8

3. En la figura 4, ABC A’B’C’. Si AB : A 'B'= 1 : 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones esverdadera?

A) Área ABC : Área A’B’C’ =1 : 2B) tc : tc’ = 2 : 1C) hc : hc’ = 1 : 1D) CA : C'A ' = 1 : 4E) a : a’ = 1 : 2

4. Los lados de dos pentágonos regulares están en la razón 3:7. Entonces, la razón de susáreas, respectivamente, es

A) 3 : 7B) 6 : 14C) 9 : 28D) 9 : 49E) 12 : 49

5. Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes miden 4 2 y 10 2 . Entonces larazón de sus perímetros, respectivamente, es

A) 16 : 10B) 10 : 4C) 4 : 2

D) 2 : 2 :5E) 2 : 5

6. En la figura 5, el área del ABC es 48 cm2. Si DE // BC , ¿cuál es el área del ADE?

A) 120 cm2

B) 108 cm2

C) 72 cm2

D) 52 cm2

E) 48 cm2

C

A B

hc tca

C’

A’ B’

a’

tc’hc’

fig. 4

E

A DB

15C

10

fig. 5

9

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellasson, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra.

En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD / /BE / /CF

En la figura 2 , L1 y L2 son rectas que se intersectan en C y AD // BE.

Entonces:

En la figura 3, L1 y L2 son rectas que se intersectan en B y AD / /CF

Entonces:

COROLARIO

Si dos rectas paralelas cortan a 2 rectas que se intersectan entonces los segmentosdeterminados por las paralelas y los segmentos determinados por las rectas cumplen con lasiguiente proporción

A

B

C

D

E

F

L1L2

fig. 1

AB DE

BC EF

A D

CE

B

L2L1fig. 3

AB DB

BE BC

B

A

D

C fig. 4E

AC CE

AB BD

L2L1 fig. 2

A

B

C

D

E

CA AD

CB BE

10

EJEMPLOS

1. En la figura 5, L1 // L2 // L3, entonces x mide

A) 5,4B) 6,0C) 8,0D) 13,5E) 15,0

2. Si en la figura 6, L1 // L2 // L3, entonces x - y =

A) 8B) 10C) 12D) 16E) 18

3. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que L1 // L2?

I) II) III)9

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

4. En el trapecio ABCD, de bases AB y DC , de la figura 7, ¿cuál es el valor de x?

A) 10B) 12C) 18D) 24E) 30

L1

L2

L3

6 x

12y

12

4 fig. 6

A

fig. 8

D C

B

x + 2 x + 6

12 9

fig. 59 12

x

20

L1

L2

L3

L1

12 18

L2 L3

46

15

12 L1

L2

L1 L2

4

18

12

8

fig. 7

14

11

5. En la figura 9, FG // DE // AB y FD : FA = 3 : 5, entonces es correcto afirmar que

A) CF : FG = 3 : 5B) DE : AB = 3 : 5C) CD : DE = 3 : 5D) GE : EB = 3 : 2E) ninguna de las opciones anteriores.

6. En la figura 10 DE // AB el valor del trazo x es

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

7. En el PQR de la figura 11 ST // PQ . Si RT : TQ = 3 : 5 y PQ = 12 cm , entonces STmide

A) 7,20 cmB) 4,50 cmC) 4,00 cmD) 2,00 cmE) 1,25 cm

fig. 9

A B

F G

D E

C

P Q

S T

Rfig. 11

A

C

4

fig. 10

x

15

8

B

ED

12

EJERCICIOS

1. En el ABC de la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ABC CBDII) CDA BDC

III) ABC ADC

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. En el triangulo ABC de la figura 2, DE // CB . Si CB = 28 cm, CD = 7 cm y AE = 12 cm,

DE 16 , entonces x - y =

A) 18,3 cm

B) 1,3 cmC) 1,3 cm

D) 0,3 cmE) 0,3 cm

3. En la figura 3, L1 // L2 AD y BC se cortan en E, AE = 3x + 2, EB = 5x - 3 CE = 6

y ED = 4, entonces ¿cuánto vale2x3

?

A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26 6 4

4. En el ABC rectángulo en C de la figura 4, DE BC . Si ED = 4, BD = 5 y DA = 10,¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE?

A) 28B) 31C) 32D) 35E) 96

A D B

C

h

fig. 1

D E

B

CA

fig. 4

fig. 3

3x + 2 5x - 3

E

C D

A B

fig. 2

A E B

C

D

x

y

L1

L2

13

5. Los rectángulos de la figura 5, son semejantes. Si FG = 60 cm, GH = 90 cm y elperímetro del rectángulo ABCD es de 1.080 cm, entonces su lado menor mide


6. En la figura 6, L1 // L2. Si EC = 4 cm y CB = 12 cm, entonces Área ECDÁrea ABC

=

A)13

B)19

C)29

D)91

E)92

7. En la figura 7, las rectas L4 y L5 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. ¿Cuál es elvalor de 2x?

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

8. La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 1 : 4. Si el perímetro delrectángulo más pequeño es 12, ¿cuál es el perímetro del mayor de los rectángulos?


A B

E DL1

L2

fig. 6C

4

12

fig. 5

A

B C

D

E

F G

H

6x – 4

2814

6x + 4

L1

L2

L3

L4 L5

fig. 7

14

9. A cierta hora del día la sombra proyectada de 2 edificios es la que muestra la figura 8. Sila base de cada edificio es de 20 metros, la distancia entre ellos es 40 metros y B y C sonpuntos medios de las bases ¿cuántos mide el resto AB de la sombra si la altura deledificio mayor es 48 metros más alto que el edificio menor que mide 48 metros?

A) 50 mB) 60 mC) 70 mD) 80 mE) 90 m

10. Un par de lados homólogos de dos hexágonos semejantes miden 3 cm y 6 cm. Si el áreadel polígono mayor mide 84 cm2, ¿cuál es el área del hexágono menor?

A) 21 cm2

B) 28 cm2

C) 42 cm2

D) 63 cm2

E) 84 cm2

11. Si en el ABC de la figura 9, AC = 15 cm y AB = 10 cm, entonces el área del cuadradoAEFD es

A) 6 cm2

B) 12 cm2

C) 36 cm2

D) 100 cm2

E) 144 cm2

12. En el cuadrilátero ABCD de la figura 10. El valor de BC es

A) 3B) 6C) 9D) 15E) 24

A

B

fig. 10

C

D

6x

10

x + 6

F

E

A

ED

fig. 9

B F C

A B C Fig. 8

15

13. En la figura 11 el CAD DEB entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones son

verdaderas?

I) ABC DBEII) CAB ~ DEB

III) EDB ACB

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

14. En el rectángulo PQRS de la figura 12, si PS = 24 cm, PT = 30 cm y TR = 10 cm,entonces el área del trapecio PQUT es

A) 88 cm2

B) 180 cm2

C) 360 cm2

D) 364 cm2

E) 384 cm2

15. En la figura 13, ABCD es un paralelogramo en el cual FE // DB , ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones es (son) verdadera(s)?

I) ABD CFEII) BDC FEC

III) ABD CDB

A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

16. La estatura de dos hermanos son 1,6 m y 1,0 m, al salir a caminar en la playa y alobservar sus sombras, la del más alto es 320 cm, ¿cuál es la diferencia entre sus sombras?

A) 1,0 mB) 1,2 mC) 1,6 mD) 2,2 mE) 3,2 m

fig. 12

P Q

S R

T U

A B

F CD

E

fig. 13

A D B

C

fig. 11

E

16

17. La figura 14 muestra el despegue de dos aviones que siguen la misma dirección el mismosentido y el mismo ángulo de inclinación uno tras otro, donde se observa la distanciadesde el punto de despegue con respecto a cada una de sus alturas, de acuerdo a losdatos, ¿cuál es el valor de x?

A) 700 mB) 800 mC) 1.200 mD) 1.280 mE) 1.700 m

18. Si en el ABC de la figura 15, AF = 8FB y AD = 40 cm, entonces AC mide


19. En el PQR de la figura 16, QR // TS y QP // US . Si UR = 3 cm, QT = 5 cm y

RP = 20 cm, entonces el perímetro del cuadrilátero USTQ es


20. En la figura 17, los triángulos ABC y DBC son isósceles. Si AC = BC = 32 yDC = DB = 64, entonces AB mide

A) 8B) 16C) 32D) 48E) 64

100 m

x

400 m

3.200 m

fig. 14

AFB

D

C

fig. 15

A

CB

D

fig. 17

R P

T

Q

U

S

fig. 16

17

21. En el trapecio ABCD de la figura 18, sus bases son AB y CD . Si EF // AB , BC = 60 cm y

ED : AE = 1 : 5 , entonces BF mide


22. Desde el punto A Rosa observa dos pinos, situados frente a ella, tal como se muestra en lafigura 19. La distancia entre Rosa y el pino C es el doble que la distancia entre Rosa y elpino B, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La distancia entre Rosa y el pino B es la misma que la distancia entre los pinosB y C.

II) Si EB // DC entonces EB es mediana de ACD.III) Para los dos pinos el ángulo de elevación no es el mismo.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Ninguna de ellas

23. En el ABC de la figura 20, ABDE , ACDB y ABCB , entonces ¿cuál(es) de lassiguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) ABC DEBII) DEA DBE

III) BAC ≅ DBC

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

A

E

B

DC

fig. 20

fig. 18

A B

D C

E F

fig. 19

3 m 6 m

A B C

D

E

18

24. En el triángulo ABC de la figura 21, PQ es tal que el CPQ es congruente con el CBA.

Si AB = 45 cm, AC = 54 cm y PQ = 15 cm, entonces CQ mide


25. En el triángulo ABC de la figura 22, se ha trazado CE tal que ECB = BAC. Si

AB = 100 cm y BC = 80 cm, entonces AE mide


26. En la figura 23, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . Si EF // AB y AC // GF , ¿cuáles la medida de x?

A)83

B)163

C) 18D) 27E) Falta información.

27. Se puede determinar en que razón se encuentran las áreas de dos triángulos semejantessi:

(1) La razón entre dos alturas homologas es 1 : 5.

(2) El centro de gravedad del triángulo, divide a una transversal de gravedad en la razón1 : 2.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

B

C

E

A

fig. 22

C

P

Q

A B

fig. 21

fig. 23

B

18

8

12 xA

D C

E F

G

19

28. El la figura 24, AB // FC // ED . Se puede determinar el valor de x si:

(1) AF = x

(2) FE = 5

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

29. En la figura 25, el ABC es equilátero. Entonces, CEB BED si:

(1) CE AB

(2) CE es simetral


30. El triángulo ABC de la figura 26 es equilátero. Los triángulos EBF y DFC son semejantes si:

(1) ADF = 120º y EFB = 60º

(2) Cuadrilátero AEFD es un paralelogramo.


fig. 25

A

B

C

ED

D

C

E

A B

fig. 24

3x – 1 3x + 4

x + 2F

A

D

E B

F

C

fig. 26

20

RESPUESTAS

EJERCICIOS PAG 12

DMDOMA32

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 B D C D E

3 y 4 E C D C

5 y 6 D B C D

7 y 8 D B E D E B

10 y 11 B B A A D C B

1. B 11. C 21. D

2. D 12. D 22. C

3. B 13. D 23. C

4. C 14. C 24. E

5. C 15. C 25. C

6. B 16. B 26. B

7. E 17. B 27. A

8. C 18. D 28. D

9. A 19. D 29. D

10. A 20. B 30. D

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