COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

B O L E T Í N

BIENVENIDA BIENVENIDA

NUEVO SEMESTRE

Estas líneas son para dar la bienvenida a un nuevo semestre en nuestra querida Facultad. La bienvenida es general, desde aquellos estudiantes que por primera vez pisan nuestro territorio, hasta quienes regresamos a la actividad académica después de un período intersemestral. La perspectiva de los diversos actores es diferente de acuerdo con su situación personal. Los alumnos de primer ingreso llegan a la Facultad llenos de ilusiones pero con un lógico desconocimiento de la vida cotidiana que empiezan a experimentar. Bien dice una sentencia popular nadie experimenta en cabeza ajena. Y es totalmente cierto. Todavía recuerdo cuando asistí a una conferencia informativa impartida en mi añorada “Prepa 4”, por el Ingeniero Alejandro Cadaval (qepd). Con vehemencia y deseos de ayudarnos a quienes teníamos el interés por ingresar a la Facultad de Ingeniería, el ponente nos explicaba el privilegio y lo fabuloso de pertenecer a “la mejor escuela de ingeniería de América Latina” Aunque con toda seriedad y claridad nos mencionaba sobre la dificultad de los estudios y la necesidad de organizar de la mejor manera el tiempo. Entusiasmado por el ya muy próximo ingreso, inconcientemente discriminaba la información. Tan solo tomaba en cuenta la primera parte de su disertación; es decir, sobre el privilegio y lo maravilloso del asunto, pero hacía oídos sordos a las advertencias sobre la dificultad. Ilusamente las dejaba pasar porque sentía que esas palabras no iban dirigidas a mí, puesto que yo no había tenido problemas con doce materias en la preparatoria ¿Cómo podría tenerlos con cinco en la Facultad? Pronto, en los primeros días de estancia en las aulas de esta Facultad sufrí en carne propia aquello a lo que se refería el Ingeniero Cadaval. Ya no quiero extenderme en esto, ya los nuevos miembros de nuestra comunidad estarán hartos de escuchar lo mismo de todos los que los recibimos Únicamente, eso sí, me uno a las palabras de deseo de una feliz y productiva estancia con nosotros y expresarles mi disposición de ayuda para que pronto puedan adaptarse a su nueva vida de estudiante universitario y logren disfrutar ese privilegio ya mencionado.

MATEMÁTICAS Y CULTURA

23.08.2010 No. 267

2 Para otros de nuestros estudiantes su situación es diferente. Regresan de un período intersemestral. Algunos lo habrán ocupado íntegramente en descansar, a otros los hemos visto en cursos ofrecidos por la Facultad en este lapso. En fin, ahora reinician sus estudios curriculares y a ellos también les envío mis mejores deseos porque tengan mucho éxito en todas las asignaturas en las que se inscribieron. Aquí ya no es posible hablar de desconocimiento sobre nuestra forma de vida escolar; sin embargo, habrá algunos que todavía no han logrado encontrar el rumbo por diversas razones. Si este es el caso, lo que puede mencionarse es que cualquier problema, por difícil que sea, si se conoce ya se tiene al menos la mitad de la solución. No olvidemos que la misión diaria de un ingeniero es la de resolver problemas. Nunca debemos ignorar que la Facultad es muy generosa. Nos ofrece, por supuesto, cursos de alta calidad pero aunado a esto, tenemos muchos servicios a nuestra disposición que pueden auxiliarnos para alcanzar nuestros objetivos. Entre ellos está la asesoría psicopedagógica que puede orientar a alguien que no encuentre el camino. Yo invitaría a alguien que se informe sobre la posibilidad y los costos que se tendrían por un servicio similar fuera de nuestras instalaciones. Aquí tenemos profesionales muy reconocidos y ampliamente preparados, esperando a que los alumnos que lo requieran soliciten su apoyo y, sin costo y con mucha amabilidad, emplearán toda su sapiencia para su debida orientación. Ahora, si los problemas provienen de una deficiente preparación académica, la Facultad también ofrece su ya tradicional servicio de asesoría o sus talleres de ejercicios. El alumno que quiera hacer uso de alguno de estos servicios únicamente debe asistir a ellos. Quizás alguien se pregunte si también en la vida profesional existen asesorías. La respuesta es afirmativa. Solamente que se les conoce como consultorías. Incluso existen compañías consultoras. Lo que hay que tener en cuenta es que los costos de las consultorías suelen ser muy grandes. ¡En ocasiones el consultor cobra más que un proyectista! Por ello lo mejor es prepararse muy bien para no tener que recurrir a otra persona que le resuelva a uno un problema. Y aquí las asesorías son, de nuevo, sin costo. También, por supuesto, hay otra parte de nuestros estudiantes que regresan para cursar su último período escolar antes de la terminación de sus materias curriculares y de su incorporación al ejercicio profesional. También eso me hace rememorar esa parte de mi vida en la que ansioso ya quería dejar de ser estudiante para, al fin, convertirme en ingeniero. No sabía que en realidad uno nunca debe dejar de ser estudiante. Ya sea de manera formal, en instituciones de postgrado, o en donde se impartan cursos de educación continua, etcétera. O de manera informal, por cuenta de uno mismo. Antes se decía que un ingeniero que no se actualizaba y se conformaba con lo que había aprendido en la Facultad, a los cinco años estaba obsoleto. Actualmente eso ha cambiado drásticamente. El tan acelerado avance de la tecnología, lo que propicia también una rapidez en la información y con ello en el desarrollo científico, provoca que ese tiempo de obsolescencia se haya reducido en, quizás, un año; es decir, aquel egresado que no se actualiza, en un año está totalmente fuera de la jugada. Por todo esto, jamás se debe dejar de estudiar. Así que lo que yo puedo decirles a los

MB

3 compañeros que ya pronto nos abandonarán llevando consigo el título de ingeniero por el que tanto se lucha: disfruten de estos últimos días en la Facultad. Es casi una regla que los mejores amigos se consiguen durante la vida escolar. En fin, a todos: Bienvenidos

ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGAPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

_________________________________________________________________ MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

MATRICES VACÍAS

1 Matrices vacías En algunos programas de manipulación numérica o simbólica, como Matlab, Octave, Scilab y otros, se habla de matrices “vacías”. De momento piense usted que se trata de matrices de

00× y que una matriz vacía es algo así como un contenedor sin contenido, aunque en esta misma nota habremos de introducir matrices de 0×m y de m×0 . Este uso es meramente por comodidad. Por ejemplo si se tiene la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

987654321

A

y desea eliminar la segunda columna, entonces debe de asignar

( ) [ ]=2,:A

y el programa nos contesta con

MB

4

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

976431

Algunos autores consideran estas matrices en sus exposiciones de álgebra lineal, como Mazzola, Milmeister y Weissman [ ]1 El propósito de esta nota es mostrar que las matrices vacías pueden ser introducidas con todo rigor matemático.

2 Formulación del problema

En lo que sigue considere usted un espacio vectorial V de dimensión finita y sea { }0=Ω cualquier espacio trivial de dimensión cero.

a. Transformaciones lineales VA →Ω: Preguntémonos ahora cómo son las transformaciones lineales del tipo VA →Ω: . Como el dominio tiene un solo elemento, el único cálculo que hemos de hacer es ( )0A pero ya sabemos que toda transformación lineal mapea el cero en el cero, por ello A es la transformación lineal cuya regla de correspondencia es ( ) 0=xA . Note pues, que hay una y sólo una transformación lineal de Ω a V y es una transformación cero.

b. Transformaciones lineales Ω→VB : Preguntémonos ahora cómo son las transformaciones lineales del tipo Ω→VB : . Como el codominio tiene un solo elemento, necesariamente ( ) 0=xB para todo Vx∈ . Note pues, que también en este caso, hay una y sólo una transformación lineal de V a Ω y que es una transformación cero.

MB

5

c. Transformaciones lineales Ω→Ω:C Por último preguntémonos cómo son las transformaciones lineales del tipo Ω→Ω:C . Por lo anteriormente dicho, esta transformación lo único que podrá hacer es ( ) ( ) 00 == CxC . Una vez más existe una y sólo una transformación lineal de Ω a Ω y es una transformación cero.

3. ¿Y las matrices? Equipemos ahora a V con una base { }nvvv ...,, 21=β . ¿Cuáles serán las matrices de las transformaciones ,A B y C ? Sabemos que si una transformación lineal T mapea ZWT →: , ( ) mW =dim , ( ) nZ =dim y δ y γ son las bases de W y Z , respectivamente, entonces la matriz correspondiente δ

γM será de mn × . Por ello la matriz de A ha de ser de 0×n , la de B de n×0 y la de C de 00 × . Aquí surge la duda natural: ¿cuál base de Ω ? No es el momento de entrar en esta cuestión sutil, en el libro de Hoffman y Kunze [ ]2 verá usted el argumento a favor de que la única posible base para Ω es el conjunto vacío φ .

4. Multiplicando matrices vacías Como la multiplicación de matrices está ligada a la composición de transformaciones, podemos deducir cómo será la multiplicación de matrices vacías:

- la multiplicación de una matriz de n×0 con otra de 0×n corresponde a la composición de B con A , es decir Ω→Ω:AB o por lo que CAB =o y su matriz es la matriz vacía de 00 × Esto sigue siendo válido si 0=n .

MB

6

- La multiplicación de una matriz de 0×n con otra de m×0 , claramente será una matriz de mn × ; pero la composición de VA →Ω: con Ω→WD : , VWDA →:o (aquí W es otro espacio, de dimensión m ) será ( ) ( ) 00 == AxDA o por lo que 0=DA o y la correspondiente matriz será la matriz cero de mn× (¡que no es una matriz vacía!).

Dejamos al lector de tarea ver qué da al multiplicar matrices vacías por matrices no vacías y qué resulta de multiplicar un número por una matriz vacía. Como las transformaciones involucradas son únicas se habla de la matriz de 00× , de la matriz de 0×m y de la matriz de n×0 . Mazzola, Milmeister y Weissman proponen que las denotemos como 0 0, m 0 y 0n, respectivamente. Para más detalles, consulte el artículo de de Boor que es el que nos ha inspirado [ ]3 .

ALFREDO GÓMEZ RODRÍGUEZPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

REFERENCIAS: [ ]1 G. Mazzola, G. Milmeister, J. Weissman; Comprehensive Mathematics for Computer Scientists 1; Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006. [ ]2 K. Hoffman, R. Kunze, Álgebra lineal, Prentice Hall 1973. [ ]3 C. De Boor, ACM SIGNUM Newsletter archive Volume 25, Issue 4 (October 1990), Pags: 2-6, 1990.-

http:dcb.fi-c.unam.mx erik2306@unam.mx Por razones de austeridad, el tiraje del boletín se sigue manteniendo a la mitad de lo que se acostumbraba.

MB

MB

MB