bloque iii - jaime pinto 11 probabilidad.pdf · en una baraja española de 40 cartas,¿cuántas...

BLOQUE III

Estadística y probabilidad11. Probabilidad12. Inferencia estadística.

Estimación por intervalos13. Contraste de hipótesis

322 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

11 Probabilidad

■ Piensa y calcula

En una baraja española de 40 cartas, ¿cuántas figuras hay?

Solución:

Las figuras son las sotas, los caballos y los reyes, en total 12 cartas.

1. Operaciones con sucesos

1. Sea el experimento de lanzar un dado de quinielas. Halla:a) el espacio muestral o suceso seguro.

b) los sucesos elementales.

Solución:

a) E = {1, X, 2}

b) {1}, {X}, {2}

2. En el experimento de lanzar un dado de seis caras nu-meradas del 1 al 6, halla:

a) el espacio muestral o suceso seguro.

b) el suceso A, formado por los números impares.

c) el suceso B, formado por los números primos.

d) el suceso C, formado por los números pares.

e) ¿A y B son compatibles o incompatibles?

f ) ¿A y C son compatibles o incompatibles?

g) ¿B y C son compatibles o incompatibles?

Solución:

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) A = {1, 3, 5}

c) B = {2, 3, 5}

d) C = {2, 4, 6}

e) A � B = {3, 5} ò A y B son compatibles.f) A � C = Ø ò A y B son incompatibles.g) B � C = {2} ò A y B son compatibles.

3. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, 12},A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}. Calcula:

a) A � B b) A � B

c) A—

d) B—

Solución:

a) A � B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}

b) A � B = {3, 5, 7, 11}

c) A—

= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

d) B—

= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

4. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 7}.Calcula:

a) A – B

b) B – A

c) Comprueba la ley de Morgan:

= A—

� B—

d) Comprueba la ley de Morgan:

= A—

� B—

Solución:

a) A – B = {1}

b) B – A = {2}

c) A � B = {1, 2, 3, 5, 7}

= {4, 6, 8}

A—

= {2, 4, 6, 8}, B—

= {1, 4, 6, 8}

A—

� B—

= {4, 6, 8}

d) A � B = {3, 5, 7}

= {1, 2, 4, 6, 8}

A—

= {2, 4, 6, 8}, B—

= {1, 4, 6, 8}

A—

� B—

= {1, 2, 4, 6, 8}

A » B

A « B

A » B

A « B

● Aplica la teoría

TEMA 11. PROBABILIDAD 323

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


Se lanzan dos dados de seis caras. ¿Qué suma de puntos tiene la máxima probabilidad?

Solución:

La máxima probabilidad la tiene la suma 7, porque es el que más veces se presenta.

1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 y 6 + 1

2. Regla de Laplace

5. Se toman cuatro cartas diferentes de una baraja, doscincos, un seis y un siete. Las cartas se ponen boca aba-jo sobre una mesa y se mezclan al azar. Determina laprobabilidad de que, al darles la vuelta, todas las cartasestén ordenadas en orden creciente si los dos cincosson indistinguibles.

Solución:

Se aplica directamente la regla de Laplace:

P(5567) =

6. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de cadauno de los siguientes sucesos:

a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.

b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan lamisma puntuación).

c) A � B d) A � B

Solución:

a) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(A) =

b) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(B) =

c) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(A � B) =

d) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) =

= + – = = 49

1636

136

636

1136

136

636

1136

1

1

(1, 1)

2

(2, 1)

3

(3, 1)

4

(4, 1)

5

(5, 1)

6

(6, 1)

2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)

5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

112

5567

5576

5657

5675

5756

5765

6557

6575

6755

7556

7565

7655

7

6

7

5

6

5

7

5

5

6

5

5

6

7

5

7

5

6

5

7

5

5

6

5

5

6

7

5

7

5

5

6

7

6



a) Halla la probabilidad de sacar una carta de copas al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas.

b) La carta de copas extraída se deja fuera, y se extrae otra carta. Halla la probabilidad de que esta segunda carta tambiénsea de copas.

Solución:

a) P(C) = =

b) P((C) = = 313

939

14

1040

3. Probabilidad condicionada

324 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

7. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatoriotales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,4 y P(A

—� B

—) = 0,7

a) Calcula P(A � B)

b) Razona si los sucesos A y B son independientes.

c) Calcula P(A � B)

Solución:

a) Propiedades de la probabilidad.

Por una ley de Morgan se tiene:

= A—

� B—

òP( ) = P(A

—� B

—) = 0,7

Luego:

P(A � B) = 1 – P( ) = 1 – 0,7 = 0,3

b) P(A) · P(B) = 0,6 · 0,4 = 0,24 ≠ P(A � B)

Por tanto,A y B son dependientes.

c) Propiedades de la probabilidad.

P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) == 0,6 + 0,4 – 0,3 = 0,7

8. Lanzamos dos veces consecutivas un dado de seis carasnumeradas de 1 al 6

a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resul-tados sea igual a 4

b) Calcula la probabilidad de que en el primer lanza-miento haya salido un 1, si la suma es 4

Solución:

a) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(Suma 4) = =

b) Se aplica la probabilidad condicionada.

P(Primero 1/Suma 4) = 13

112

336

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

A » B

A » BA » B



© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


Se lanzan al aire dos monedas. Halla la probabilidad de que una sea cara y la otra cruz.

Solución:

P(CX, XC) = P(CX) + P(XC) = · + · = + = = 12

24

14

14

12

12

12

12

4. Regla de la suma y teorema de Bayes

9. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bo-las blancas y 4 negras; la segunda, 5 bolas negras; y latercera, 4 blancas y 3 negras.

a) Si se elige una caja al azar, y luego se extrae una bo-la, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraídasea negra?

b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas,¿cuál es la probabilidad de que proceda de la se-gunda caja?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(N) = · + · 1 + · =

b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(B/N) = =

10. Un día determinado, en una tienda de ropa joven, sehan realizado 400 ventas pagadas con tarjeta de crédi-to V, y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Las ven-tas restantes del día han sido abonadas en metálico.Se comprueba que 150 de las ventas pagadas con latarjeta V superan los 150 €, mientras que 300 de lascompras pagadas con tarjeta de crédito MC superanesa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de lasventas del día pagadas con tarjetas de crédito.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a unacompra superior a 150 €?

b) Si la compra es inferior a 150 €, ¿cuál es la proba-bilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?

Solución:


M = {Superan los 150 €}

P(M) = · + · =

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad y el teo-rema de Bayes.

P(M—

) = 1 – P(M) = 1 – =

P(MC/M—

) = = = 16

1—152—5

350 50— · —750 350

2—5

25

35

35

300350

350750

150400

400750

150/400

V

MC

400/750

350/750

M150 M

M–250 m

300 M50 m

A = 400 VB = 350 MC

300/350

50/350

M

M–

12

1— · 13

2—3

23

37

13

13

47

13

4/7

1/3

1/3

1/3

N3 B

N–4 N

1 N

N–5 N

3/7 N4 B

N–3 N

A = 3 B y 4 NB = 5 NC = 4 B y 3 N


CCC

CXX

XCC

C

XXXX

1/2

1/21/2

1/2 1/2

1/2

326 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas

Preguntas tipo test

PAU

Dados dos sucesos A y B, sabemos que p(A » B) = 0,1;p(A « B) = 0,7 y p(A|B) = 0,2

Calcula p(A) y p(B)

P(A) = 0,1; P(B) = 0,1

P(A) = 0,2; P(B) = 0,5

P(A) = 0,3; P(B) = 0,5

P(A) = 0,4; P(B) = 0,7

En el problema 1, ¿son independientes los sucesos Ay B?

Los sucesos A y B son dependientes.

Los sucesos A y B son independientes.

En el problema 1, calcula p(A—

« B), donde A—

repre-senta el suceso complementario o contrario de A.

p(A—

« B) = 0,2

p(A—

« B) = 0,5

p(A—

« B) = 0,9

p(A—

« B) = 0,8

En un grupo de familias, un 10% ha cambiado de co-che y también ha cambiado de piso; un 50% no hacambiado de coche y sí de piso.Entre los que han cam-biado de coche, un 25% ha cambiado de piso.

¿Qué porcentaje de familias ha cambiado de piso?

P(P) = 0,5

P(P) = 0,6

P(P) = 0,7

P(P) = 0,8

En el problema 4, ¿qué probabilidad hay de que unafamilia del grupo haya cambiado de coche?

P(C) = 0,4

P(C) = 0,5

P(C) = 0,6

P(C) = 0,7

En el problema 4, de las familias que no han cambia-do de piso, ¿qué porcentaje ha cambiado de coche?

P(C/P—

) = 0,45

P(C/P—

) = 0,55

P(C/P—

) = 0,65

P(C/P—

) = 0,75

Se consideran dos sucesos A y B de un experimentoaleatorio, tales que:

P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, P(A » B) = 1/12

¿Son A y B sucesos independientes?

Los sucesos A y B son dependientes.

Los sucesos A y B son independientes.

En el problema 7, calcula P(A—

/B—

)

P(A—

/B—

) = 3/4

P(A—

/B—

) = 1/4

P(A—

/B—

) = 2/3

P(A—

/B—

) = 4/5

Se sabe que el 30% de los individuos de una pobla-ción tienen estudios superiores; también se sabeque, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de laparte de la población que no tiene estudios superio-res, el 60% tiene empleo.

Calcula la probabilidad de que un individuo, elegidoal azar, tenga empleo.

P(E) = 0,505

P(E) = 0,605

P(E) = 0,705

P(E) = 0,805

En el problema 9, se ha elegido un individuo aleato-riamente y tiene empleo; calcula la probabilidad deque tenga estudios superiores.

P(S/E) = 0,2

P(S/E) = 0,3

P(S/E) = 0,4

P(S/E) = 0,5

✘

10

✘

9

✘

8

✘

7

✘

6

✘

5

✘

4

✘

3

✘

2

✘

1

Contesta en tu cuaderno:


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


1. Operaciones con sucesos

11. Sea el experimento de lanzar una moneda al aire.Halla:


b) los sucesos elementales.

Solución:

a) E = {C, X}

b) {C}, {X}

12. En el experimento de extraer una carta de una barajaespañola de 40 cartas, halla:


b) el suceso A, formado por los oros.

c) el suceso B, formado por las ases.

d) el suceso C, formado por las figuras.

e) ¿A y B son compatibles o incompatibles?

f ) ¿A y C son compatibles o incompatibles?

g) ¿B y C son compatibles o incompatibles?

Solución:

a) E = {1O, 2O, 3O, …, 10B, 11B, 12B}

b) A = {1O, 2O, 3O, …, 10O, 11O, 12O}

c) B = {1O, 1C, 1E, 1B}

d) C = {10O, 11O, 12O, …, 10B, 11B, 12B}

e) A � B = {1O} ò A y B son compatibles.f) A � C = {10O, 11O, 12O} ò A y B son compatibles.g) B � C = Ø ò A y B son incompatibles.

13. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7},B = {2, 3, 5, 7}

Calcula:

a) A � B b) A � B

c) A—

d) B—

Solución:

a) A � B = {1, 2, 3, 5, 7}

b) A � B = {3, 5, 7}

c) A—

= {2, 4, 6, 8}

d) B—

= {1, 4, 6, 8}

14. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}.Calcula:

a) A – B

b) B – A

c) Comprueba la ley de Morgan:

= A—

� B—

d) Comprueba la ley de Morgan:

= A—

� B—

Solución:

a) A – B = {1}

b) B – A = {2}

c) A � B = {1, 2, 3, 5}

= {4, 6}

A—

= {2, 4, 6}, = {1, 4, 6}

A—

� B—

= {4, 6}

d) A � B = {3, 5}

= {1, 2, 4, 6}

A—

= {2, 4, 6}, B—

= {1, 4, 6}

A—

� B—

= {1, 2, 4, 6}

2. Regla de Laplace

15. Después de haber escuchado tres discos, éstos se guar-dan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menosuno de los discos haya sido guardado en su funda?

Solución:

Se aplica directamente la regla de Laplace.

A = {123, 132, 213, 321}

P(A) = =

16. Dado un espacio muestral E, se consideran los sucesosA y B, cuyas probabilidades son:

P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2

a) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles?¿Porqué?

b) Suponiendo que los sucesos A y B son independien-tes, calcula P(A � B)

c) Suponiendo que A � B = E, calcula P(A � B)

Solución:

a) A y B no pueden ser incompatibles porque:

P(A) + P(B) = 7/6 > 1

b) P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)

Como A y B son independientes:

P(A � B) = P(A) · P(B) = 2/3 · 1/ 2 = 1/3

P(A � B) = 2/3 + 1/2 – 1/3 = 5/6

23

46

1233

1322

2133

1

22311

31223

3211

2

3

1

3

1

2

A » B

A « B

A » B

A « B

328 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


c) Si A � B = E ò P(A � B) = 1Aplicando

P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)

Se tiene:

P(A) + P(B) – P(A � B) = 1

2/3 + 1/2 – P(A � B) = 1

P(A � B) = 1/6

17. El 35% de los estudiantes de un centro practican fútbol. El 70% de los que practican fútbol estudia Ma-temáticas, así como el 25% de los que no practicanfútbol.

Si se elige al azar a un estudiante de este centro, calculala probabilidad de que éste:

a) estudie Matemáticas.

b) practique fútbol, sabiendo que no es alumno de Ma-temáticas.

Solución:

Se construye la tabla de contingencia:

a) P(Estudie matemáticas) = 0,4075

b) P(Practique fútbol/No Matemáticas) = 0,8228

18. Supongamos que tras una encuesta se ha concluido quesi se elige al azar a una persona, la probabilidad de queesté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol esde 0,8; de que esté a favor de la existencia de canales detelevisión de pago, de 0,4; y de que esté a favor de la re-transmisión de partidos de fútbol y también de la exis-tencia de canales de pago, de 0,3

a) Calcula la probabilidad de que una persona esté a fa-vor de la retransmisión de partidos de fútbol o de laexistencia de canales de televisión de pago.

b) Calcula la probabilidad de que una persona no esté afavor de la retransmisión de partidos de fútbol ni dela existencia de canales de televisión de pago.

Solución:

a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P(F � P) = P(F) + P(P) – P(F � P)

P(F � P) = 0,8 + 0,4 – 0,3 = 0,9

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P(F—

� B—

) = ( ) = 1 – P(F � P) = 0,1

3. Probabilidad condicionada

19. La probabilidad de que, en un determinado mes, un clien-te de una gran superficie compre un producto A es 0,6,y la probabilidad de que compre un producto B es 0,5.Se sabe también que la probabilidad de que un clientecompre el producto B no habiendo comprado el pro-ducto A es 0,4

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haya com-prado únicamente el producto B?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no hayacomprado ninguno de los productos?

Solución:

a) P(B/A—

) =

= 0,4 ò P(B � A—

) = 0,4 · 0,4 = 0,16

P(B – A) = P(B � A—

) = 0,16

b) Si P(B) = 0,5 y P(B – A) = 0,16 ò P(A � B) = 0,34P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) =

= 0,6 + 0,5 – 0,34 = 0,76

20. En una ciudad hay un 60% de habitantes aficionadosal fútbol, un 30% al baloncesto y un 25% a ambos de-portes.

a) ¿Son independientes los sucesos “ser aficionado alfútbol” y “ser aficionado al baloncesto”.

b) Si una persona no es aficionada al baloncesto, ¿cuáles la probabilidad de que sea aficionada al fútbol?

c) Si una persona no es aficionada al fútbol, ¿cuál es laprobabilidad de que no sea aficionada al baloncesto?

Solución:

a) Se aplica la condición de dependencia.

P(F) = 0,6; P(B) = 0,3; P(F � B) = 0,25

P(F) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18 ≠ 0,25 ò F y B depen-dientes.

b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.

P(F/B—

) = = = 0,5 =

c) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.

P(B—

/F—

) =

P(F—

) = 1 – 0,6 = 0,4

P(B—

/F—

) = = = 0,875 = 78

0,350,4

P(F—

� B—

)P(F

—)

P(F—

� B—

)P(F

—)

12

0,350,7

P(F � B—

)P(B

—)

P(B � A—

)0,4

P(B � A—

)P(A

—)

F « P

Fútbol

Mate.

24,5% 10,5% 35%

No fútbol 16,25% 48,75% 65%

Total 40,75% 59,25% 100%

No Mate. Total


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas21. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres

veces al aire se consideran los siguientes sucesos:

A: “sacar, al menos, una cara y una cruz”.

B: “sacar, a lo sumo, una cara”.

a) Determina el espacio muestral asociado a ese expe-rimento, y los sucesos A y B

b) ¿Son independientes ambos sucesos?

Solución:

a) E = {CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX}

A = {CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC}

B = {CXX, XCX, XXC, XXX}

b) Se comprueba utilizando la propiedad

P(A � B) = P(A) · P(B) ò A y B independientes.A � B = {CXX, XCX, XXC}

P(A � B) = 3/8

P(A) · P(B) = 6/8 · 4/8 = 3/8

Como las probabilidades son iguales, A y B son inde-pendientes.

22. El temario de una oposición consta de 100 temas. El díadel examen éstos se sortean, de manera que solo pue-den salir dos temas, a los que debe responder obligato-riamente el opositor. Calcula cuántos temas, como míni-mo, debe estudiar el opositor para que la probabilidad deconocer los dos temas que le toquen sea superior a 0,5

Solución:

· > 0,5

Resolviendo la inecuación y tomando solo las solucionespositivas, se obtiene que:

n > 71,21

Por tanto n > 71

4. Regla de la suma y teorema de Bayes

23. En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habi-tantes censados vote al partido A es 0,4; la probabilidadde que vote al partido B es 0,35 y la probabilidad de quevote al partido C es 0,25. Por otro lado, las probabilida-des de que un votante de cada partido lea diariamentealgún periódico son, respectivamente, 0,4; 0,4 y 0,6.

Se elige a una persona de la ciudad al azar:

a) Calcula la probabilidad de que lea algún periódico.

b) La persona elegida lee algún periódico. ¿Cuál es laprobabilidad de que sea votante del partido B?

Solución:


L = {Leer el periódico}

P(L) = 0,4 · 0,4 + 0,35 · 0,4 + 0,25 · 0,6 = 0,45


P(B/L) = = 0,31

24. Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, lamáquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100. Lasprobabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01 pa-ra A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar unahora se juntan todos los tornillos producidos y se eligeuno al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado lamáquina A, sabiendo que no es defectuoso?

Solución:

D

LD–

D

LD–

D

LD–

A0,01

BA 600B 300C 100

0,02

C0,03

0,99

0,98

0,97

0,6

0,1

0,3

0,35 · 0,40,45

L

L–A

0,4

L

L–B

ABC

0,4

L

L–C

0,6

0,4

0,25

0,35

n – 1100

n100

S(n – 1)/99

n/100S–

S

S–

CCC

CCX

CXC

C1/2

1/21/2

1/21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

XCXX

1/2

1/2

XCCC

C

XXCX

C

X

C

X

C

X

XXCX

XXX

C

X

27. Se lanzan tres veces consecutivas dos dados equilibra-dos de seis caras:

a) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-tos salga el seis doble.

b) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-tos salga un doble distinto del seis doble.

Solución:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad com-puesta.

P(666) = P(6) · P(6) · P(6) = · · =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(111) + P(222) + P(333) + P(444) + P(555) =

= 5 · = 5

2161

216

1216

16

16

16

330 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.



D = {tornillo defectuoso}

D—

= {tornillo no defectuoso}

P(D—

) = 0,6 · 0,99 + 0,3 · 0,98 + 0,1 · 0,97 = 0,985


P(A/D—

) = = 0,603

25. En un supermercado, las mujeres realizan el 70% de lascompras. De las compras hechas por éstas, el 80% supe-ra los 12 €, mientras que de las compras realizadas porhombres, solo el 30% sobrepasa esa cantidad.

a) Elegido un tique de compra al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de que supere los 12 €?

b) Si se sabe que un tique de compra no supera los12 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra hayasido hecha por una mujer?

Solución:


P(S) = 0,7 · 0,8 + 0,3 · 0,3 = 0,65


P(M/N) = = 0,4

26. Resuelve las siguientes cuestiones:a) Tenemos tres urnas, cada una de las cuales contiene

2 bolas rojas y 3 negras. Se extrae al azar una bola yse llama x al número de bolas rojas obtenidas. Calcu-la la probabilidad de que x sea mayor o igual que 1

b) Si cada urna hubiese contenido 5 bolas rojas y 3 bo-las negras y se hubiese extraído una bola de cada ur-

na, ¿cuál hubiese sido la probabilidad de que x hubie-se sido mayor o igual que 1?

c) Justifica la diferencia de los resultados obtenidos.

Solución:

a) Árbol de probabilidades.

P(x mayor o igual que 1) = 1 – P(NNN) =

= 1 – · · = 1 – =

b) Árbol de probabilidades.

P(x mayor o igual que 1) = 1 – P(NNN) =

= 1 – · · = 1 – =

c) La probabilidad del segundo apartado es mayor porque haymás bolas rojas y las mismas negras.

485512

27512

38

38

38

R

N5/8

3/8

5 R3 N

5 R3 N

5 R3 N

RRR

RRN

R

N5/8

3/8

5 R3 N

RNR

RNN

R

N5/8

3/8

5 R3 N

NRR

NRN

R

N5/8

3/8

5 R3 N

NNR

NNN

R

N5/8

R

N

5/8

3/8

3/8

5 R3 N

R

N5/8

3/8

98125

27125

35

35

35

R

N2/5

3/5

2 R3 N

2 R3 N

2 R3 N

RRR

RRN

R

N2/5

3/5

2 R3 N

RNR

RNN

R

N2/5

3/5

2 R3 N

NRR

NRN

R

N2/5

3/5

2 R3 N

NNR

NNN

R

N2/5

R

N

2/5

3/5

3/5

2 R3 N

R

N2/5

3/5

0,7 · 0,20,7 · 0,2 + 0,3 · 0,7

S

N

S

N

M0,8

H

M 70%H 30%

0,3

0,2

0,7

0,7

0,3

0,6 · 0,990,985

Para ampliar


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas28. Si se escoge un número al azar en la guía telefónica de

cierta ciudad española, la probabilidad de que figure anombre de un hombre es 0,7 y de que figure a nombrede una mujer es 0,3. En dicha ciudad, la probabilidad deque un hombre trabaje es 0,8, y de que lo haga una mu-jer es 0,7

Se elige un número de teléfono al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a unapersona que trabaja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a unhombre, sabiendo que pertenece a una persona quetrabaja?

Solución:


T = {Persona que trabaja}

P(T) = 0,7 · 0,8 + 0,3 · 0,7 = 0,77


P(H/T) = = = 0,73

29. Disponemos de tres dados, uno de los cuales está tru-cado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es0,25, siendo los otros resultados equiprobables. Se eligeun dado al azar y se realiza un lanzamiento con él.

a) Determina la probabilidad de obtener un 2

b) Dado que ha salido 2, ¿cuál es la probabilidad de quehayamos elegido el dado trucado?

Solución:

Si en el dado trucado P(5) = 0,25

P(1, 2, 3, 4, 6) = 1 – 0,25 = 0,75

P(2) = 0,75/5 = 0,15 =


P(2) = · + · =


P(T/2) = =

30. Sean A y B dos sucesos tales que:

P(A) = , P(B) = y P(A � B) =

Calcula:

a) P(A | B)

b) P(B | A)

c) P(AC � B), (AC indica el contrario del suceso A)

Solución:

a) P(A | B) = P(A) – P(A � B) = – =

b) P(B | A) = P(B) – P(A � B) = – =

c) P(AC � B) = P(B | A) =

31. Se dispone de una baraja española de 40 cartas. Se ex-trae una carta al azar y, sin devolverla a la baraja, se sacaotra, también al azar.

a) Calcula la probabilidad de que ninguna de las cartasextraídas sea una figura (es decir, sota, caballo o rey).

b) Sabiendo que la segunda carta extraída no ha sidouna figura, calcula la probabilidad de que tampoco lohaya sido la primera.

Solución:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.

P(No F) = · =


P(No F la 1ª/No F la 2ª) =

= = = 913

63—1307—10

28 27— · —40 39

28 27 12 28— · — + — · —40 39 40 39

63130

2739

2840

12 F28 no F

12 F26 no F

12 F27 no F

no F y no Fno F

F 11 F27 no F no F y F

27/39

12/39

11 F27 no F

11 F28 no F

F y no Fno F

F 10 F28 no F F y F

28/39

11/39

no F

F

28/40

12/40

112

112

14

13

14

14

12

14

13

12

929

1 3— · —3 20

29—180

29180

16

23

320

13

2

2–

2

2–

T3/20

B

1 T2 B

1/6

1/3

2/3

320

811

0,7 · 0,80,77

T

T–

T

T–

H0,8

M

HM

0,7

0,7

0,3

332 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas32. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres

personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias ono de consumir un determinado producto.

a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experi-mento utilizando la letra S para las respuestas afir-mativas y N para las negativas.

b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior cons-tituyen el suceso “al menos dos de las personas sonpartidarias de consumir el producto”?

c) Describe el suceso contrario de “más de una perso-na es partidaria de consumir el producto”.

Solución:

a) E = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}

b) A = {SSS, SSN, SNS, NSS}

c) El suceso “más de una persona es partidaria de consu-mir el producto” coincide con el suceso A

A—

= {SNN, NSN, NNS, NNN}

Que se puede describir como:“a lo sumo una personaes partidaria de consumir el producto”.

33. Se tienen tres cajas de bombones, A, B y C. La caja Acontiene 10 bombones, de los cuales 4 están rellenos; lacaja B contiene 8 bombones, de los cuales 3 están relle-nos; y la caja C contiene 6 bombones, de los que 1 estárelleno.

a) Si se toma al azar un bombón de la caja A, ¿cuál es laprobabilidad de que no esté relleno?

b) Si se elige al azar una de las tres cajas y se toma unbombón de la caja elegida, ¿cuál es la probabilidad deque esté relleno?

Solución:

a) P(N) = =

b) Árbol de probabilidades:


P(R) = · + · + · =

34. En un centro de enseñanza secundaria se sabe que el70% de los alumnos practica atletismo, que el 50% juegaal fútbol y que el 40% de los que practican atletismojuega al fútbol.

a) Razona si los sucesos “jugar al fútbol” y “practicaratletismo” son independientes.

b) Si se elige al azar a un alumno de ese centro, ¿cuál esla probabilidad de que no participe en ninguno de es-tos deportes?

Solución:

a) Se aplica la propiedad correspondiente.

P(A � F) = 0,4

P(A) · P(F) = 0,7 · 0,5 = 0,35

Como dan distinto, A y F son dependientes.

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P( ) = 1 – P(A � F)

P(A � F) = P(A) + P(F) – P(A � F)

P(A � F) = 0,7 + 0,5 – 0,4 = 0,8

P( ) = 1 – 0,8 = 0,2

35. Se lanza al aire dos veces una moneda.a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga

cara.

b) Sabiendo que, al menos, en una de las tiradas sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas sal-ga cara?

Solución:


P(CC) = · =

b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada.

P(CC/al menos una cara) = = 13

1—43— 4

14

12

12

CC

CX

XC

C1/2

1/21/2

1/2 1/2

1/2X

XX

C

X

C

X

A « F

A « F

113360

16

13

38

13

25

13

R

N2/5

3/5

4 R6 N

ABC

R

N

R

N3/8

5/8

3 R5 N

R

N

R

N1/6

5/6

1 R5 N

R

N

A

B

C

1/3

1/3

1/3

35

610

SSS

SSN

SNS

S1/2

1/21/2

1/21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

NSNN

1/2

1/2

NSSS

S

NNSN

S

N

S

N

S

N

NNSN

NNN

S

N


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas36. Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La proba-

bilidad de que pase la primera prueba es 0,6; la de quepase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5

a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna de laspruebas.

b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prue-ba si no ha superado la primera.

Solución:


P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)

P(A � B) = 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9

P( ) = 1 – 0,9 = 0,1


P(B � A—

) = P(B – A) = P(B) – P(A � B) == 0,8 – 0,5 = 0,3

P(A—

) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4

P(B/A—

) = = =

37. En un colectivo de 200 personas se ha observado que120 son hombres y que, de éstos, 54 son fumadores.44 mujeres de este colectivo no fuman. Con estos da-tos, razona si el suceso “fumar” depende del sexo.

Solución:

Se aplica la regla de Laplace directamente.

P(F/H) = =

P(F/M) = =

Como ambas son iguales, no depende del sexo.

920

3680

920

54120

34

0,30,4

P(B � A—

)P(A

—)

A « B

38. Una persona desea jugar en una atracción de feriadonde regalan un peluche si al tirar un dardo se aciertaen un blanco. Si solo se permite tirar tres dardos y laprobabilidad de acertar en cada tirada es 0,3

a) ¿cuál es la probabilidad de llevarse el peluche?

b) ¿cuál es la probabilidad de llevarse el peluche exacta-mente en el tercer intento? ¿Y de llevárselo exacta-mente en el segundo?

Solución:


A = {acertar en el blanco en una tirada}

P(A—

A—

A—

) = P(A—

) · P(A—

) · P(A—

) = 0, 7 · 0,7 · 0,7 = 0,343

P(Llevarse el peluche) = 1 – P(A—

A—

A—

) = 1 – 0,343 == 0,657

b) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(3er intento) = P(A—

A—

A) = 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,147

P(2º intento) = P(A—

AA) = 0,7 · 0,3 = 0,21

39. Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 bolas rojas y 2 bo-las negras. Se considera el experimento aleatorio con-sistente en extraer tres bolas de la urna, de forma suce-siva y sin reemplazamiento. Sean los sucesos B1: Laprimera bola es blanca, B2: La segunda bola es blanca yB3: La tercera bola es blanca:

a) Expresa con ellos el suceso “las bolas extraídas enprimer y tercer lugar son blancas, y la extraída en se-gundo lugar no”.

b) Calcula la probabilidad del suceso “las tres bolas sondel mismo color”.

Solución:

a) B1 � B—

2 � B3


P(BBB) + P(RRR) + P(NNN) =

= · · + · · + · · =

40. Una fábrica produce tres modelos de coche: A, B y C.Cada uno de los modelos puede tener motor de gaso-lina o diésel. Sabemos que el 60% de los modelos son detipo A y el 30% de tipo B.También sabemos que el 30%de los coches fabricados tienen motor diésel, el 30% delos coches del modelo A son de tipo diésel y el 20% delos coches del modelo B tienen motor diésel. Se elige uncoche al azar. Se piden las probabilidades de los siguien-tes sucesos:

a) El coche es del modelo C

b) El coche es del modelo A, sabiendo que tiene motordiésel.

c) El coche tiene motor diésel, sabiendo que es del mo-delo C

955

010

111

212

110

211

312

510

611

712

Problemas

334 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


Solución:


P(C) = 1 – [P(A) + P(B)] = 1 – (0,6 + 0,3) = 0,1


P(A/D) = = = 0,6

c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

0,6 · 0,3 + 0,3 · 0,2 + 0,1 · P(D/C) = 0,3

P(D/C) = 3/5 = 0,6

41. Un examen consiste en elegir al azar dos temas de en-tre los diez del programa, y desarrollar uno.

a) ¿Qué probabilidad tiene un alumno, que sabe seis te-mas, de aprobar el examen?

b) ¿Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberseuno de los dos temas elegidos y el otro no?

Solución:


P(Aprobar) = 1 – P(MM) =

= 1 – · = 1 – =


P(Uno sí y otro no) = · + · =

42. Una empresa emplea tres bufetes de abogados paratratar sus casos legales. La probabilidad de que un casose deba remitir al bufete A es 0,3; de que se remita albufete B es 0,5 y de que se remita al bufete C es 0,2. La

probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ga-nado en los tribunales es 0,6; para el bufete B esta pro-babilidad es 0,8 y para el bufete C es 0,7

a) Calcula la probabilidad de que la empresa gane uncaso.

b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determina laprobabilidad de que lo haya llevado el bufete A

Solución:


G = {Ganar el caso}

P(G) = 0,3 · 0,6 + 0,5 · 0,8 + 0,2 · 0,7 = 0,72


P(A/G) = = 0,25

43. De una urna con cinco bolas, dos blancas y tres negras,extraemos dos bolas sin reemplazamiento. Calcula laprobabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

a) A = “Las dos bolas extraídas son del mismo color”.

b) B = “Extraemos al menos una bola blanca”.

Solución:


P(A) = P(BB) + P(NN) = · + · =


P(NN) = · =

P(B) = 1 – P(NN) = 1 – = 710

310

310

24

35

25

24

35

14

25

2 N

1 B3 N

2 B3 N

1 B2 N

1 B2 N

2 B1 N

B

N1/4

B

N

2/5

3/5

3/4

2 B2 N

B

N2/4

2/4

BB

BN

NB

NN

0,3 · 0,60,72

G

G–A

0,6

G

G–B

ABC

0,8

0,7 G

G–C

0,3

0,2

0,5

815

69

410

49

610

1315

215

39

410

4 B4 M

5 B4 M

6 B4 M

5 B3 M

5 B3 M

6 B2 M

B

M5/9

B

M

6/10

4/10

4/9

6 B3 M

B

M6/9

3/9

BB

BM

MB

MM

0,6 · 0,30,3

P(A � D)P(D)

D

D–A

0,3

D

D–B

ABC

0,2

D

D–C

0,6

0,3


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas44. Se dispone de tres urnas: A, que contiene dos bolas

blancas y cuatro rojas; B, con tres blancas y tres rojas;y C, con una blanca y cinco rojas.

a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿Cuáles la probabilidad de que esta bola sea blanca?

b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la pro-babilidad de que proceda de la urna B?

Solución:


S = {Bola blanca}

P(B) = · + · + · =


P(B/S) = =

45. Los temas objeto de un examen están compuestos portres temas de máxima dificultad, 5 de dificultad media y2 de escasa dificultad, de los cuales se elige uno al azar.La probabilidad de que un alumno apruebe el examen siel tema es de máxima dificultad es de 1/8; si es de difi-cultad media, 2/5, y si es de escasa dificultad, 3/4

a) Halla la probabilidad de que el alumno apruebe elexamen.

b) Halla la probabilidad de que el tema elegido haya sidode máxima dificultad, si el alumno lo aprobó.

Solución:


A = {Aprobar el examen}

P(A) = 0,3 · + 0,5 · + 0,2 · = = 0,3875


P(Máxima/A) = =

46. Una caja contiene 10 tornillos, de los que dos son de-fectuosos.

a) Si se van extrayendo uno a uno los tornillos hasta lo-calizar los dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidadde necesitar exactamente tres extracciones para lo-calizarlos?

b) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha re-sultado ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad deque el primero también lo haya sido?

Solución:


A = {Extraer dos defectuosos}

P(A) = · · + · · =


P(1º defectuoso/2º defectuoso) = 19

245

18

29

810

18

89

210

1 D8 B

7 B8 B

7 B

1 D6 B

2 D8 B

2/10

8/10

2 D7 B

D

B

D

B

2/9

7/9

1 D7 B

D

B

B1/8

1

7/8

D

B1/8

7/8

D

B2/8

6/8

DDB

DBD

DBB

7 B

1 D6 B

1 D7 B

BDD

BDB

1 D6 B

2 D5 B

D

B

1/9

8/9

2 D6 B

BBD

BBB

331

10,3 · —8

31—80

3180

34

25

18

1/8

Máxima 3Media 5Escasa 2

A

A–

2/5 A

A–

3/4 A

A–

0,3

0,2

0,5

Máxima

Media

Escasa

12

1 3— · —3 6

1—3

13

16

13

36

13

26

13

B

R2/6

4/6

2 B4 R

ABC

B

R

B

R3/6

3/6

3 B3 R

B

R

B

R1/6

5/6

1 B5 R

B

R

A

B

C

1/3

1/3

1/3

336 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas47. Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de pla-

ta, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plata, y untercer cofre con 2 monedas de oro. Elegimos un cofreal azar y sacamos una moneda.

a) Calcula la probabilidad de que sea de oro.

b) Sabiendo que ha sido de plata, calcula la probabilidadde que haya sido extraída del cofre A

Solución:


P(Oro) = · + · + · 1 =


P(Plata) = 1 – =

P(A/Plata) = =

48. En un cineclub hay 80 películas: 60 son de acción y20 de terror. Susana elige una película al azar y se la lle-va.A continuación, Luis elige otra película al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Susana comoLuis elijan películas de acción?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la película elegida porLuis sea de acción?

Solución:


P(AA) = · =


P(Luis acción) = · + · =

49. La probabilidad de que un jugador A marque un gol depenalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B esde 4/5. Si cada uno lanza un penalti:

a) halla la probabilidad de que marque gol uno solo delos dos jugadores.

b) halla la probabilidad de que, al menos, uno marquegol.

Solución:


P(Marcar uno solo) = P(MN) + P(NM) =

= · + · =


P(al menos uno marque) = 1 – P(NN) =

= 1 – · =

50. Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienenla siguiente composición:

A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas.

B: 4 blancas y 6 negras.

También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadascon la letra A y las otras dos con la letra B.Tiramos eldado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?

c) La bola extraída ha resultado ser blanca. ¿Cuál es laprobabilidad de que proceda de la urna B?

Solución:

B

R

5/10

2/10

5 B3 N2 R

4 A2 B

A

N

4/6

3/10

2/6

5 B3 N1 R

AR

5 B2 N2 R

AN

4 B3 N2 R

AB

B

N4/10

6/10

4 B6 N

3 B6 N

BB

4 B5 N

BN

B

2930

15

16

310

45

16

15

56

MM

MN

NM

M4/5

1/55/6

1/6 4/5

1/5N

NN

M

BA

N

M

N

34

6079

2080

5979

6080

177316

5979

6080

Acción

Terror

Acción

Terror

60/80

20/80

59/79

60/79

Acción 60

LuisSusana

Terror 20

Acción 59Terror 20

Acción 60Terror 19

2747

1 3— · —3 547—135

47135

88135

88135

13

59

13

25

13

O

P2/5

3/5

2 O3 P

ABC

O

P

O

P5/9

4/9

5 04 P

O

P

2 0 O

A

B

C

1/3

1/3

1/3O1


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.



P(B) = · + · =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.

P(R) = · =

c) Se aplica el teorema de Bayes.

P(Urna B/Blanca) = =

51. Una determinada población está formada, a partes igua-les, por hombres y mujeres. La probabilidad de que unindividuo de esa población no lea ningún periódico es0,25. Además, el porcentaje de individuos que o bien leen algún periódico o bien son hombres es el 95%.Se elige, al azar, a una persona.

a) Halla la probabilidad de “ser hombre y leer algún pe-riódico”.

b) Halla la probabilidad de que lea algún periódico, sa-biendo que es hombre.

Solución:

a) P(H � L) = P(H) + P(L) – P(H � L)

95% = 50% + 75% – P(H � L)

P(H � L) = 30%

Se construye la tabla de contingencia:

b) P(L/H) = P(L � H)/P(H) = 30%/50% = 60%

52. Se dispone de 3 urnas y de 10 bolas, 5 blancas y 5 ne-gras. Distribuimos las bolas de la siguiente forma:

• En la 1ª urna se introducen una bola blanca y una bo-la negra.

• En la 2ª urna se introducen 3 bolas blancas y 2 bolasnegras.

• En la tercera urna se introducen 1 bola blanca y 2 bo-las negras.

De una de las urnas, elegida al azar, se extrae una bola.Halla la probabilidad de que la bola elegida sea negra.

Solución:

Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(N) = · + · + · =

53. En un espacio muestral dado se consideran dos sucesosA y B tales que su unión es el suceso seguro, y las proba-bilidades condicionadas entre ellos valen P(A/B) = 1/2y P(B/A) = 1/3. Halla las probabilidades de A y B

Solución:

P(A/B) = ò =

P(B/A) = ò =

P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)

1 = P(A) + P(B) – P(A � B)

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuacionescon las tres incógnitas, se obtiene:

P(A) = , P(B) = y P(A � B) =

54. Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral,se sabe que:

P(A) = 0,4; P(A � B) = 0,8 y P(A—

� B—

) = 0,7

a) Comprueba si los sucesos A y B son independientes.

b) Calcula la probabilidad de que solo se verifique unode los dos sucesos.

Solución:

a) Se aplica la propiedad correspondiente.

P(A—

� B—

) = 0,7 ò P( ) = 0,7 ò P(A � B) == 0,3

P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)

0,8 = 0,4 + P(B) – 0,3

P(B) = 0,7

P(A) · P(B) = 0,4 · 0,7 = 0,28

Como P(A � B) ≠ P(A) · P(B), A y B son dependientes.

b) P(A � B) – P(A � B) = 0,8 – 0,3 = 0,5

A » B

14

12

34

P(A � B)P(A)

13

P(A � B)P(A)

P(A � B)P(B)

12

P(A � B)P(B)

4790

23

13

25

13

12

13

B

N1/2

1/2

1 B1 N

ABC

B

N

B

N3/5

2/5

3 B2 N

B

N

B

N1/3

2/3

1 B2 N

B

N

A

B

C

1/3

1/3

1/3

Leer periódico (L)

Hombres

30% 45% 75%

No leer periódico 20% 5% 25%

Total H/M 50% 50% 100%

Mujeres Total leer

27

2 4— · —6 10

4 5 2 4— · — + — · —6 10 6 10

215

210

46

715

410

26

510

46

338 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas55. La caja A contiene 40 bolígrafos azules y 30 bolígrafos

rojos, la caja B contiene 30 bolígrafos azules y 30 bolí-grafos rojos, y la caja C contiene 30 bolígrafos azules y20 rojos. Se elige una caja al azar y, de ella, también alazar, se extrae un bolígrafo. ¿Cuál es la probabilidad deque el bolígrafo extraído sea azul?

Solución:

Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(A) = · + · + · =

56. Se dispone de dos bolsas con bolas numeradas. La1ª bolsa tiene 7 bolas numeradas del 1 al 7, y la segundatres bolas numeradas del 8 al 10. Se realiza el siguienteexperimento compuesto: se saca una bola al azar de laprimera bolsa y se introduce en la segunda (antes de in-troducirla se anota si es par o impar), después se saca alazar una bola de la segunda bolsa –que en este momen-to tiene 4 bolas– y se anota su número.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraí-das sean pares?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola ex-traída sea impar?

Solución:


P(PP) = · =


P(I) = · + · =

57. El 20% de los tornillos de un gran lote es defectuoso. Secogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonada-mente:

a) la probabilidad de que los tres sean defectuosos.

b) la probabilidad de que ninguno sea defectuoso.

c) la probabilidad de que solamente uno sea defec-tuoso.

Nota: como son muchos tornillos, se supone que laprobabilidad no cambia de sacar un tornillo al sacar elsiguiente.

Solución:


P(DDD) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.

P(BBB) = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512

c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(DBB, BDB, BBD) = 3 · 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,384

Para profundizar

58. En un videoclub quedan 8 copias de la película A, 9 de laB y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente ycada uno elige una copia al azar. Calcula la probabilidadde que:

a) los tres escojan la misma película.

b) dos escojan la película A, y el otro, la C

Solución:


P(AAA) + P(BBB) + P(CCC) = · · +

+ · · + · · =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad total.

3P(AAC) = · · = 133

520

721

822

15154

320

421

522

720

821

922

620

721

822

DDD

DDB

DBD

D0,2

0,80,2

0,80,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

BDBB

0,2

0,8

BDDD

D

BBDB

D

B

D

B

D

B

BBDB

BBB

D

B

1128

14

37

12

47

928

34

37

2 I2 P

4 I3 P

I

P1/2

I

P

4/7

3/7

1/2

1 I3 P

I

P1/4

3/4

II

IP

PI

PP

3970

35

13

12

13

47

13

A

R4/7

3/7

40 A30 R

ABC

A

R

A

R1/2

1/2

30 A30 R

A

R

A

R3/5

2/5

30 A20 R

A

R

A

B

C

1/3

1/3

1/3


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas59. Con el objetivo de recaudar fondos para un viaje,

los alumnos de un centro escolar realizan una rifa con500 números. Un alumno compra dos números.

a) Si solo hay un premio, ¿qué probabilidad tiene elalumno de que le toque a él?

b) Si hay dos premios, ¿qué probabilidad tiene el alum-no de que le toque, al menos, uno de ellos?

Solución:

a) Aplicación directa de la regla de Laplace.

P(Premio) = =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad total.

P(No premio) = · = 0,992

P(Al menos un premio) = 1 – 0,992 = 0,008

60. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraendos bolas al azar, sucesivamente y sin reemplaza-miento.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídassean blancas?

b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál esla probabilidad de que la primera también lo haya sido?

Solución:


P(BB) = P(B) · P(B/B) = · =

b) P(1ª N/2ª N) = =

61. Se considera una célula en el instante t = 0. En el instan-te t = 1 la célula puede reproducirse dividiéndose endos, con probabilidad 3/4; o bien morir, con probabi-lidad 1/4. Si la célula se divide, entonces, en el tiempot = 2, cada uno de sus dos descendientes puede tam-bién subdividirse o morir, independientemente uno deotro y con las mismas probabilidades de antes.

a) ¿Cuántas células puede haber en el tiempo t = 2?

b) ¿Con qué probabilidad?

Solución:

a) En el instante t = 2 puede haber 4, 2, o 0 células.


P(4) = · · =

P(2) = · 2 · · =

P(0) = + · · =

62. Dos cajas,A y B, tienen el siguiente contenido:La A tiene cinco monedas de 1 € y 3 de 2 €

La B tiene cuatro monedas de 1 €, 4 de 2 € y 2 de50 céntimos.

De una de las cajas elegidas al azar, se extrae una mo-neda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 1 €?

b) Si la moneda extraída resulta ser de 2 €, ¿cuál es laprobabilidad de que proceda de la caja B?

Solución:

1/2

5/8

3/8

1/2

AB

15 de 1 €3 de 2 €

2

4/10

2/10

4/10

14 de 1 €4 de 2 €2 de 0,5 €

2

0,5

1964

14

14

34

14

932

14

34

34

2764

34

34

34

R

M

3/4

9/16

1/16

6/16

1/4

1 C

4 C

2 C2 C

t = 2t = 1t = 0

0 C

0 C

15

2 1— · —6 5

4 2 2 1— · — + — · —6 5 6 5

25

35

46

3 B2 N

4 B2 N

3 B1 N

2 B2 N

3 B1 N

4 B

B

N3/5

B

N

4/6

2/6

2/5

4 B1 N

B

N4/5

1/5

BB

BN

NB

NN

497499

498500

P 2No P 498

P 2No P 497no P

P

498/500

P 2No P 496no P

497/499

1250

2500

340 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.



P(1) = · + · =


P(B/2) = =

63. La probabilidad de que un conductor no lleve la ruedade repuesto es 0,13, y la de que no lleve lámparas derepuesto es 0,37. Se sabe que el 60% de los conducto-res lleva ambos repuestos.

a) Calcula la probabilidad de que un conductor no llevealguno de los dos repuestos señalados.

b) ¿Son independientes los sucesos “llevar rueda de re-puesto” y “llevar lámparas de repuesto”?

Solución:

a) P( ) = 1 – P(R � L)

P(R � L) = P(R) + P(L) – P(R � L)

P(R � L) = 0,87 + 0,63 – 0,6 = 0,9

P( ) = 1 – 0,9 = 0,1

b) P(R � L) = 0,6

P(R) · P(L) = 0,87 · 0,63 = 0,5481

Como P(R � L) ≠ P(R) · P(L), los sucesos R y L son de-pendientes.

64. A un congreso asisten oculistas y pediatras. Se sabe que240 médicos son andaluces, 135 son navarros y 225 soncanarios. El número total de pediatras es 315. De losandaluces, 96 son oculistas; de los navarros, son oculis-tas 75

a) Se escoge a un asistente al azar. ¿Cuál es la probabili-dad de que sea un pediatra navarro?

b) Se ha elegido a un médico canario. ¿Cuál es la proba-bilidad de que sea oculista?

c) ¿Son independientes los sucesos “ser andaluz” y “seroculista”?

Solución:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta.

P(N � P) = · =


P(O/C) = =

c) Se aplica la propiedad correspondiente.

P(A � O) = P(A) · P(O/A) = · =

P(A) = =

P(O) = · + · +

+ · =

P(A) · P(O) = · =

Como P(A � O) ? P(A) · P(O), son dependientes.

65. El 40% de los habitantes de una ciudad va al cine, el 30%va al teatro y el 20% a ambos.

a) Si una persona de esa ciudad no va al cine, ¿cuál es laprobabilidad de que tampoco vaya al teatro?

b) Si una persona no va al teatro, ¿cuál es la probabili-dad de que vaya al cine?

Solución:

a) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.

P(T—

/C—

) = =

P(C � T) = P(C) + P(T) – P(C � T)

P(C � T) = 0,4 + 0,3 – 0,2 = 0,5

P( ) = 1 – P(C � T) = 1 – 0,5 = 0,5

P(C—

) = 1 – P(C) = 1 – 0,4 = 0,6

P(T—

/C—

) = =

b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.

P(C/T—

) = = =

= = = 0,29

66. De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viajeen avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lohace en tren. El 70% de los que viajan en avión, el 80%de los que viajan por carretera y el 50% de los que via-jan en tren van a las playas de la costa occidental.

27

0,4 – 0,20,7

P(C) – P(C � T—

)P(T

—)

P(C � T—

)P(T

—)

56

0,50,6

C « T

P(T � C)P(C

—)

P(T—

� C—

)P(C

—)

19100

1940

25

1940

114225

225600

75135

135600

96240

240600

25

240600

425

96240

240600

3875

114225

110

60135

135600

P

O144/240

96/240

144 P96 O

A 240N 135C 225

P

O

P

O60/135

75/135

60 P75 O

P

O

P

O111/225

114/225

111 P114 O

P

O

A

N

C

240/600

135/600

225/600

R « L

R « L

1631

1 4— · —2 10

1 3 1 4— · — + — · —2 8 2 10

4180

410

12

58

12


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemasa) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Má-

laga, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado enlas playas de la costa occidental?

b) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Má-laga y que ha estado en las playas de la costa occi-dental, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado entren?

Solución:


P(O) = 0,6 · 0,7 + 0,3 · 0,8 + 0,1 · 0,5 = 0,71


P(T/O) = = = 7 %

67. Se lanzan cinco monedas al aire.Calcula:

a) la probabilidad de no obtener ninguna cara.

b) la probabilidad de obtener una cara.

c) la probabilidad de obtener más de una cara.

Solución:


P(XXXXX) = · · · · =


5 · P(CXXXX) = 5 · · · · · =

c) P(Más de una cara) = 1 – P(0C, 1C) =

= 1 – ( + ) = 1 – = 1316316532132

532

12

12

12

12

12

132

12

12

12

12

12

571

0,1 · 0,50,6 · 0,7 + 0,3 · 0,8 + 0,1 · 0,5

A

O

O–

C

O

O–

T

O

O–

0,6

0,7

0,3

0,8

0,2

0,5

0,5

0,1

0,3

342 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

68. Investiga sobre la Ley de los grandes números: si-mula el lanzamiento de un dado con forma de te-traedro con las caras numeradas del 1 al 4. Hazdistintos lanzamientos, cuenta el número de lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener unade las caras; por ejemplo, el 3. Calcula las frecuen-cias relativas y represéntalas en un gráfico de líneas.¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas,que, en definitiva, es la probabilidad?

69. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.

Solución:Resuelto en el libro del alumnado.

Paso a paso

Windows Excel

70. En la Hoja2 del mismo libro investiga sobre la ley de los grandes números: simula el lanzamiento de un dadode forma cúbica con las caras numeradas del 1 al 6. Realiza distintos lanzamientos y cuenta el número de lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras; por ejemplo, el 5. Calcula las frecuencias relati-vas y represéntalas en un gráfico de líneas. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que en definitiva esla probabilidad?

71. En la Hoja3 del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma octaédrica, con las ca-ras numeradas del 1 al 8 y obtener, por ejemplo, el 6. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que endefinitiva es la probabilidad?

Solución:

Solución:

Practica


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

72. En la Hoja4 del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de dodecaedro, conlas caras numeradas del 1 al 12 y obtener la cara 9. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que en de-finitiva es la probabilidad?

73. En la Hoja5 del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de icosaedro, con lascaras numeradas del 1 al 20 y obtener por ejemplo, el 15. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, queen definitiva es la probabilidad?

74. Al final, guarda el libro en tu carpeta personal con el nombre 2C11 completo con todas las hojas de cálculo.

Solución:Haz clic en la barra de herramientas en el icono de Guardar.

Solución:

Solución:

Linux/Windows Calc

bloque iii - jaime pinto 11 probabilidad.pdf · en una baraja española de 40 cartas,¿cuántas...

Documents