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Estadística Aplicada. Ingeniería Técnica Agrícola.Curso Académico 2007-2008. 1

BLOQUE II: CALCULO DE PROBABILIDADES

TEMA 4. FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD 1. Concepto de probabilidad. Definición axiomática Experimento aleatorio: un experimento se dice aleatorio si no se puede predecir el resultado del mismo antes de realizarlo, aunque sean conocidas las condiciones iniciales de realización Ejemplos. Lanzamiento de un dado, elección al azar de un número real dentro del intervalo [0,1], lanzamiento de una moneda hasta que aparezcan dos caras,... Teoría de la probabilidad: se ocupa de describir y estudiar los fenómenos aleatorios proporcionando métodos de análisis para su tratamiento Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento aleatorio, se denota por E Atendiendo al número de posibles resultados del experimento, los espacios muestrales se pueden clasificar en

� Espacios muestrales finitos � Espacios muestrales infinitos numerables � Espacios muestrales infinitos no numerables

Ejemplo. Construir el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzamiento de un dado compuesto por 6 lados

E={1, 2, 3, 4, 5, 6} b) Lanzamiento de una moneda hasta obtener una cara

E={C, XC, XXC, XXXC, ...} c) La elección al azar de un número real perteneciente al intervalo [0,1]

E=[0,1]


Suceso: conjunto formado por resultados del experimento aleatorio Sucesos elementales: cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio que no se pueden descomponer en otros más simples que puedan obtenerse al realizar el experimento aleatorio Suceso seguro: suceso que siempre ocurre. Está formado por todos los sucesos elementales Suceso imposible: suceso que no ocurre nunca, denotado por � Operaciones con sucesos: Sean A y B, sucesos asociados a un experimento aleatorio Unión de sucesos, A�B: suceso formado por todos los posibles resultados de A y de B, sin repetir los resultados comunes Intersección de sucesos, A�B: suceso formado por todos los resultados comunes de A y de B Propiedades:

Conmutativa A�B = B�A

A�B = B�A Asociativa

A�(B�C) = (A�B)�C A�(B�C) = (A�B)�C

Distributiva

A�(B�C) = (A�B)�(A�C) A�(B�C) = (A�B)�(A�C)

Existencia de elemento neutro

A�� = A A�E = A


Complementario de un suceso A con respecto al espacio muestral E, �: suceso que contiene todos los resultados de E que no se encuentran en A, verificándose que

A�� = E A�� = Ø

Leyes de Morgan

BABA

BABA

��

��

�

�

Diferencia de dos sucesos, A-B: suceso formado por los resultados de A que no están en B y se obtiene como

B A BA �� Ejemplo. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera. Expresar formalmente los siguientes sucesos:

a) Ocurren A y B, pero no ocurre C b) Ocurren al menos dos. c) Ocurre solamente uno de los tres d) Ocurre al menos uno de los tres e) No ocurre ninguno de los tres

Solución

a) CBA �� b) C)(BC)(AB)(A �� c) C)BA()CBA()CB(A �� d) CBA �� e) CBA ��

��-álgebra de sucesos: Sea un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado E. Una �-álgebra de sucesos es una clase A formada por subconjuntos de E que verifica las propiedades

1. E � A

2. Si �Ai � A, i=1, 2, ... � �

��

1iiA A

3. Si A � A � �A A A (E, A) se le denomina espacio probabilizable


Función de probabilidad: Sea (E, A) un espacio probabilizable, se dice que una aplicación

P: (E, A) � A � A P(A) � �

es una función de probabilidad si verifica los siguientes axiomas (axiomas de Kolmogorov):

1. P(E) = 1 2. P(A) � 0, �A�A

3. �Ai � A, i=1,2,..., tales que Ai�Aj=�, para i j � �

�

�

��

��

�

1ii

1ii )P(AAP �

A la terna (E, A, P(·)) se le denomina espacio de probabilidad y al número P(A), para cada suceso A, probabilidad de A

Consecuencias de los axiomas

1. P(�) = 0

2. Sean A1,..., An�A tales que Ai� Aj=�, para i j � ��

��

��

� n

1ii

n

1ii )P(AAP �

3. P(�) = 1 – P(A), �A�A

4. P(B) = P(��B) + P(A�B), �A, B �A

5. Sean A, B �A tales que A � B � P(A) � P(B) 6. Sean A, B �A � P(A�B) = P(A) + P(B) – P(A�B) 7. Sean A, B, C �A � P(A�B�C) = P(A) + P(B) +P(C)

– P(A�B) – P(A�C) – P(B�C) + P(A�B�C)

8. Sean A, B �A � P(A�B) � P(A) + P(B)


9. Sean A1,..., An�A, sucesos que forman una partición del espacio muestral, i.e.,

Ai� Aj=�, para i j (sucesos incompatibles dos a dos)

EAn

1ii �

�� (la unión de todos los sucesos es el suceso seguro)

� 1)P(An

1ii ��

�

�A�A, ��

�n

1ii )AP(AP(A) �

Ejemplo. Sean A, B y C tres sucesos de un espacio probabilístico (E, A, P(·)) tales que P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(C)=0.3, P(A�B)=0.1 y (A�B) �C=�. Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Sólo ocurre A b) Los tres sucesos ocurren c) Ocurren A y B, pero no C d) Por lo menos dos ocurren e) Ocurren dos y no más f) No ocurren más de dos g) Ocurre por lo menos uno h) No ocurre ninguno

Solución Como (A�B) �C=� � (A�C)�(B�C)=� � (A�C)=� y (B�C)=�

a)

0.10.10.2C)BP(AC)P(AB)P(A P(A) C))(AB)P((AP(A)C))(BP(AP(A)))CB(P(A)CB P(A

��

��

��

��

b) P(A�B�C)=P(�)=0 b) 0.100.1C)BP(AB)P(A)CBP(A ��

d)

0.1C)BP(AC)BP(A-C)BP(A- C)BP(A-C)P(BC)P(AB)P(AC))(BC)(AB)A P((

��

��

��

��

e)

0.10-0.1C)BP(A-B) P(A C)BAP(

C)BP(A)CBP(AC))BA(C)B(A)CB P((A

��

��

��

��


f) 101C)BP(A1)CBAP( ��

g)0.80.1-0.30.40.2

C)BP(AC)P(B-C)P(A-B)P(A-P(C)P(B)P(A)C)BP(A

��

��

h) 0.20.81C)BP(A1)CBAP()CBAP( ��

Regla de Laplace. Si el conjunto de sucesos elementales es finito y todos los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso A se calcula como

posibles casosfavorables casos

nk

P(A) ��

donde k es el número de sucesos elementales que favorecen la ocurrencia de A y n es el número total de sucesos elementales Ejemplo. Una urna contiene 3 bolas blancas, 2 negras y 6 rojas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar sea roja? b) ¿Y que no sea negra?

Solución

a) 0.5454116

P(R) ��

b) 0.8181119

)NP( ��

2. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos En ciertas ocasiones es necesario encontrar la probabilidad de sucesos bajo la condición de que un cierto suceso B, con P(B) > 0, ha ocurrido Ejemplo. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas. El espacio muestral asociado a dicho experimento vendrá dado por

E={CC, CX, XC, XX} Y sean los sucesos

A: obtener dos cruces B: obtener al menos una cruz


Entonces P(A) = 1/4 y P(B)=3/4. Si se sabe que B ha ocurrido entonces el espacio muestral queda reducido a

EB={CX, XC, XX} En este caso, P(A|B)=1/3 Se define la probabilidad condicionada de un suceso A al suceso B como

P(B)B)P(A

B)|P(A�

� , P(B) > 0

que es la probabilidad de que ocurra el suceso A supuesto que el suceso B ha ocurrido. Se puede comprobar que la aplicación

P(·|B): (E, A) �

A � A P(A|B) � �

es una función de probabilidad y, por tanto, (E, A, P(·|B)) es un espacio de probabilidad Ejemplo. En el ejemplo anterior, la probabilidad P(A|B) se calcula como

31

4341

P(B)B)P(A

B)|P(A ��

Ejemplo. Una bolsa contiene dos tarjetas: la primera tiene dos caras rojas y la segunda una cara roja y la otra blanca. Se extrae una tarjeta al azar y se coloca sobre una mesa sin que se vea la otra cara. Sabiendo que la cara visible es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la otra sea blanca? Solución. Sean los sucesos R: la cara superior es roja y B: la cara inferior es blanca. Se pide la probabilidad

31

4341

1

P(R)P(R/B)P(B)

P(R)R)P(B

P(B/R) ��

��


Independencia de sucesos. Sean A y B sucesos cualesquiera, se dice que A y B son estadísticamente independientes si se verifica que

P(A|B) = P(A)

O, equivalentemente,

P(B|A)=P(B)

O sea, la ocurrencia del suceso B no tiene ningún efecto en la ocurrencia del suceso A y la ocurrencia del suceso A no tiene influencia sobre la ocurrencia del suceso B Consecuencias:

� A y B son independientes � P(A� B) = P(A) P(B)

� Si A y B son independientes, entonces

ntesindependie son B y A c)

ntesindependie son y BA b)

ntesindependie son B y A a)

Ejemplo. En una batalla naval, tres destructores localizan simultáneamente a un submarino. Sean P(A), P(B) y P(C), respectivamente, las probabilidades de que el primer, el segundo y el tercer destructor hundan al submarino. Se pide determinar la probabilidad de que el submarino sea hundido, sabiendo que P(A)=0.6, P(B)=0.3 y P(C)=0.2. Solución. Supongamos que el hecho de hundir el submarino cada uno de los destructores es independiente si le impacta o no el proyectil lanzado por los otros destructores. Entonces,

P(sea hundido) = 1- P(no sea hundido) = 1 - P(ninguno de los tres impacta) = 776.08.07.0 0.4 -1 )CP()BP()AP(-1 )CBAP(1 ��


3. Teorema de la Probabilidad Total. Teorema de Bayes Se dice que los sucesos A1,..., An�A forman una partición del espacio muestral si son sucesos incompatibles y exhaustivos, i.e.,

Ai� Aj=�, para i j, y EAn

1ii �

��

Teorema de la Probabilidad Total Sean A1,..., An�A, sucesos que forman una partición del espacio muestral y sea B�A un suceso cualquiera. Supongamos que se conocen las probabilidades P(Ai) y P(B|Ai), para i=1,...,n, entonces

)P(A)A|P(BP(B) i

n

1ii�

�

�

Ejemplo. Se está experimentando con 3 tipos de semillas de trigo, A B y C. Se sembró una parcela en la que germinaron un 60% de plantas del tipo A, un 35% del tipo B y un 5% del tipo C. La probabilidad de que la espiga tenga más de 50 granos de trigo es igual a 0.20 para el tipo A, a 0.90 para el tipo B y a 0.45 para el tipo C. Se elige una espiga al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga más de 50 granos? Solución. Sean los sucesos

A: semilla del tipo A B: semilla del tipo B C: semilla del tipo C

y el suceso M: tener más de 50 granos Con la información que se proporciona se sabe que

P(A)=0.60 P(M|A)=0.20 P(B)=0.35 P(M|B)=0.90 P(C)=0.05 P(M|C)=0.45

y que los sucesos A, B y C forman una partición Se pide la probabilidad P(M), que se calcula utilizando el Teorema de la Probabilidad Total

P(M) = P(M|A)P(A) + P(M|B)P(B) + P(M|C)P(C) = 0.60·0.20 + 0.35·0.90 + 0.05·0.45 = 0.4575


Teorema de Bayes Sean A1,..., An�A, sucesos que forman una partición del espacio muestral y sea B�A un suceso cualquiera. Supongamos que se conocen las probabilidades P(Ai) y P(B|Ai), para i=1,...,n, entonces

)P(A)A|P(B

))P(AA|P(BB)|P(A

j

n

1jj

iii

��

� , para i=1,...,n

Ejemplo. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer de pulmón, el 90% lo tenía, mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de un paciente, seleccionado al azar padezca cáncer de pulmón?

b) ¿Cuál es la probabilidad de un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador?

Solución. Sean los sucesos

F: ser fumador F : ser no fumador C: padecer cáncer de pulmón C : no padecer cáncer de pulmón

Por los datos que se proporcionan se sabe que

P(F)=0.45 y 0.550.45-1)FP( �� P(C|F)=0.90 y 0.05)F|P(C �

a) Aplicando directamente el Teorema de la Probabilidad Total se tiene que

0.43250.550.050.450.90)F)P(F|P(CF)P(F)|P(CP(C) �� b) Aplicando ahora el Teorema de Bayes se tiene que

0.93640.550.050.450.90

0.450.90)F)P(F|P(CF)P(F)|P(C

F)P(F)|P(CP(C)

C)P(FC)|P(F �

��

��

��


TEMA 5. VARIABLE ALEATORIA 1. Concepto de variable aleatoria Sea (E, A, P(·)) un espacio de probabilidad. Una función

X: E �

se denomina variable aleatoria (v.a.) si la imagen inversa mediante X de cualquier intervalo de la forma (-,x] es un suceso del espacio de probabilidad

X-1((-,x])={e�E: X(e) �x}�A, �x�� Ejemplo. Sea el experimento aleatorio de lanzar tres monedas Consideremos el espacio muestral asociado a este experimento

E={XXX,XXC,XCX,CXX,XCC,CXC,CCX,CCC} y la clase de conjuntos A =�(E), que dota a E de estructura de �-álgebra Sea X la función definida sobre el espacio muestral que asigna a cada resultado de E el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos

X(XXX)=0 X(XXC)=X(XCX)=X(CXX)=1 X(XCC)=X(CXC)=X(CCX)=2 X(CCC)=3

Comprobemos a continuación que X es una v.a. Para ello hay que comprobar que

X-1((-,x])={e�E: X(e) �x}�A, �x��


Si x < 0 X-1((-,x])=��A

Si 0 � x < 1

X-1((-,x])={XXX} �A Si 1 � x < 2

X-1((-,x])={XXX,XXC,XCX,CXX} �A Si 2 � x < 3

X-1((-,x])={XXX,XXC,XCX,CXX,XCC,CXC,CCX} �A Si x � 3

X-1((-,x])=E�A Por tanto, X es una v.a. 2. Función de distribución. Propiedades Se define la función de distribución de una v.a. X como una función

F: �[0,1] definida como

F(x)=P[X � x]=P[e�E: X(e) � x], �x�� Propiedades de la función de distribución:

1. 1F(x)lim 0F(x)limxx

��

2. F(x) es una función no decreciente

3. F(x) es continua a la derecha

Las propiedades anteriores caracterizan a toda función de distribución de una v.a.


Ejemplo. Para el ejemplo anterior, se tiene que

P[X=0]=P[XXX]=1/8 P[X=1]=P[XXC,XCX,CXX]=3/8 P[X=2]=P[XCC,CXC,CCX]=3/8 P[X=3]=P[CCC]=1/8

y la función de distribución vendrá determinada por

��

�

��

�

�

�

��

��

��

�

�

3 xsi1

3x2 si87

2x1 si84

1x0 si81

0 xsi0

F(x)

3. Tipos de variables aleatorias: variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua

Variables aleatorias discretas: Una v.a. es discreta si su función de distribución F(x) es una función escalonada, continua salvo a lo sumo en un número infinito numerable de puntos x1, x2,..., en los que se presenta una discontinuidad de salto. Estas discontinuidades proporcionan la probabilidad de cada punto

pi=P[X=xi], i=1,2,...

en los restantes puntos las probabilidades valen cero. Para este tipo de variables aleatorias la función de distribución se puede expresar de la forma

! ��

��xx ii x

iix

p xXP F(x)


F(x5)

F(x4) F(x3) F(x2) F(x1) x1 x2 x3 x4 x5 Al conjunto de pares (xi,pi) se le denomina distribución de probabilidad y a la función que toma los valores pi en los puntos xi función masa de probabilidad o, simplemente, función de probabilidad

p5 p2 p1 p3 p4 x1 x2 x3 x4 x5


Ejemplo. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos dados indistinguibles y definamos la v.a. X como la suma de los valores de las dos caras de los dados. Obtener la función de probabilidad de la v.a. X, así como su función de distribución. Solución. El espacio muestral asociado a ese experimento aleatorio está determinado por E={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Valores que toma la variable X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Función de probabilidad:

P[X=2]=P[(1,1)]=1/36 P[X=3]=P[(1,2),(2,1)]=2/36 P[X=4]=P[(1,3),(3,1),(2,2)]=3/36 P[X=5]=P[(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)]=4/36 P[X=6]=P[(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)]=5/36 P[X=7]=P[(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)]=6/36 P[X=8]=P[(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)]=5/36 P[X=9]=P[(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)]=4/36 P[X=10]=P[(4,6),(6,4),(5,5)]=3/36 P[X=11]=P[(5,6),(6,5)]=2/36 P[X=12]=P[(6,6)]=1/36


Función de distribución:

��

�

��

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

12 xsi112x11 si35/3611x10 si33/36

10x9 si30/369x8 si26/368x7 si21/367x6 si15/366x5 si10/365x4 si6/364x3 si3/363x2 si1/36

2 xsi0

F(x)


Variables aleatorias continuas: Una v.a. es continua si existe una función no negativa f(x) tal que para cualquier x�� se verifica que

" ��

xf(t)dtF(x)

A la función f(x) se le denomina función de densidad

" ��

xf(t)dtF(x)

f(x)

X=x Propiedades que caracterizan a la función de densidad:

1. �� x 0,f(x) 2. "

�

�� 1f(x)dx

Ejemplo. Sea X la v.a. que representa el intervalo de tiempo entre dos llegadas consecutivas de clientes a una tienda, con función de densidad

��

�

��

�

�#

�

�

caso otroen 0

0 xsi21

f(x)

2x

e

a) Demostrar que, efectivamente, f(x) es función de densidad b) Obtener la función de distribución de la v.a. X c) Calcular las probabilidades !6X2P �� y !8XP �


Solución

a) Para que f(x) sea función de densidad deben verificarse las siguientes condiciones:

1. �� x 0,f(x) 2. "

�

�� 1f(x)dx

Obviamente, la primera condición se verifica puesto que f(x) vale cero en el intervalo (-,0] y una cantidad positiva en el intervalo (0,+) Para comprobar si se cumple la segunda condición se debe calcular la integral de la función de densidad

1e-dxe21

dx 0 dx f(x)0

2x

-

02x

-0�$

%

&'(

)��

��

�

�

� """

b) La función de distribución se define como

" ��

xf(t)dtF(x)

Para calcularla vamos a distinguir dos casos si x�(-,0] y si x�(0,+) Si x�(-,0] � "" ��

��xx

0 dt 0 f(t)dtF(x)

Si x�(0,+) � 2x

00

2t

2t

0e1e-dt e

21

dt 0 f(t)dtF(x)��

��$

%

&'(

)�� """

xxx

Por tanto, la función de distribución vendrá dada por

��

��

�

#�

�

��

0 xsi1

0 si0 F(x)

2x

e

x

c) Para calcular esas probabilidades vamos a utilizar la función de

distribución

!6X2P �� = F(6) - F(2) = (1-e-3) - (1-e-1) = 0.3181 !8XP � = F(8) = 1-e-4 = 0.9817


4. Características de una variable aleatoria Esperanza matemática de una función de una v.a.: Sea g(X) una función real de una v.a. X definida para todo los valores de X. Se define la esperanza matemática de g(X), E[g(X)], como

� Si X es una v.a. discreta con distribución de probabilidad {(xi,pi), i=1,2,…}

! i1i

i )pg(xg(X)E �

�

�

siempre que ��

�i

1ii p|)g(x|

� Si X es una v.a. continua con función de densidad f(x)

! dxg(x)f(x)g(X)E "�

��

siempre que �"

�

�f(x)dx|g(x)|

Caso particular: Valor esperado o media de una v.a., E[X]

� Si X es una v.a. discreta con distribución de probabilidad {(xi,pi), i=1,2,…}

! ,pxXE i1i

i�

�

� siempre que ��

�i

1ii p|x|

� Si X es una v.a. continua con función de densidad f(x)

! dx,xf(x)XE "�

�� siempre que �"

�

�f(x)dx|x|

Momentos de una v.a. Se define el momento no central de orden r de una v.a. X como

*r = E[Xr]


Se define el momento central de orden r de una v.a. X como

+r = E[(X-E[X])r] Caso particular: Varianza de una v.a., Var[X] Al momento central de orden 2 se le conoce con el nombre de varianza

Var[X] = +2 = E[(X-E[X])2] Descomposición de la varianza de X como combinación lineal de los momentos no centrales de órdenes 1 y 2:

Var[X] = E[X2] - (E[X])2 A la raíz cuadrada positiva de este momento se le conoce con el nombre de desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión y miden la representatividad de la esperanza de la v.a. 5. Variables aleatorias bidimensionales En esta sección nos centramos en las variables aleatorias bidimensionales. La extensión de las definiciones que se introducirán a una dimensión superior a dos es inmediata Sea (E, A, P(·)) un espacio de probabilidad. Una función

(X,Y): E �x�

se denomina variable aleatoria bidimensional si se verifica que

X-1((-,x])�Y-1((-,y])={e�E: X(e) � x, Y(e) � y }�A, �(x,y)��x� Dada (X,Y) una v.a. bidimensional, se define la función de distribución conjunta de (X,Y) como una función

F:�x�[0,1]

definida como

F(x,y) = P[X� x,Y� y] = P[e�E: X(e)� x, Y(e)� y], �(x,y)��x�


Variables aleatorias bidimensionales discretas: X e Y son vv.aa. discretas Función de distribución:

F(x,y) = P[X� x,Y� y] = !� ��

��xx yy

jii j

yY,xXP �(x,y)��x�

Variables aleatorias bidimensionales continuas: X e Y son vv.aa. continuas Función de distribución:

F(x,y) = P[X� x,Y� y] = " "� �

x

.

ydr ds s)f(r, �(x,y)��x�

Distribuciones marginales: Distribuciones de las vv.aa. X e Y como vv.aa. unidimensionales Función de distribución marginal de X:

FX(x) = P[X� x,Y��] = P[X� x ,Y<+], �x�� Función de distribución marginal de Y:

FY(y) = P[X��,Y� y] = P[X<+,Y� y], �y��

� Caso discreto

!� ��

��xx Ry

jiXi j

yY,xXP (x)F

!� �

� �

��Rx yy

jiYi j

yY,xXP (y)F

� Caso continuo

" "�

�

��

x

.X drdy y)f(r, (x)F

" "�

�

��

y

.Y dsdx s)f(x, (y)F

Distribuciones condicionadas: Distribuciones de una variable cuando la otra variable toma un valor o un conjunto de valores


Características de variables aleatorias bidimensionales Momentos Se define el momento no central de órdenes r y s de una v.a. bidimensional (X,Y) como

*rs = E[XrYs] Se define el momento central de órdenes r y s de una v.a. bidimensional (X,Y) como

+rs = E[(X-E[X])r(Y-E[Y])s] Caso particular: Covarianza, Cov[X,Y] Al momento central de órdenes 1 y 1 se le conoce con el nombre de covarianza

Cov[X,Y] = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] está relacionada con los momentos no centrados de acuerdo a la expresión

Cov[X,Y] = E[XY] - E[X] E[Y] La covarianza es una medida de la variabilidad conjunta de X e Y Independencia de variables aleatorias: X e Y son vv.aa. independientes si parra cualquier (x,y)��x� se verifica que

P[X� x,Y� y] = P[X� x] P[Y� y], expresado en términos de funciones de distribución,

F(x,y) = FX(x) FY(y)

Si X e Y son independientes entonces Cox[X,Y] = 0, pero el recíproco no es cierto


TEMA 6. ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 1. Distribución uniforme discreta

Una v.a. discreta X se dice que tiene una distribución uniforme en n puntos, x1, ..., xn, si su función masa de probabilidad viene dada por

! n1,...,ipara ,n1

xXP i ��

i.e., todos los valores de la v.a. tienen la misma probabilidad 2. Distribución de Bernoulli. Distribución binomial Distribución de Bernoulli. Supongamos que se realiza un experimento aleatorio y que observamos si ocurre un determinado suceso A (en cuyo caso se dice que ha habido un éxito en el experimento aleatorio). Sea p la probabilidad de que ocurra el suceso A, p=P(A), y 1-p la probabilidad de que no ocurra A, 1-p=P(�) Consideremos la v.a. definida de la siguiente forma

��

��

��

A ocurre si1

A ocurre no si0X

donde

P[X=0]=P(�)=1-p y P[X=1]=P(A)=p Se dice que la v.a. X tiene una distribución de Bernoulli de parámetro p y se denota por X B(p) Propiedades:

1. Función de distribución:

��

��

�

�

��

�

�

1 xsi11x 0 sip-1

0 xsi0F(x)


F(x)

1

1-p x

2. E[X]=p Var[X]=p(1-p) 3. Función generatriz de momentos:

MX(t) = p et + (1-p) �t�� Distribución binomial. Supongamos que se realiza un experimento aleatorio n veces consecutivas (obteniéndose n realizaciones independientes del experimento aleatorio) y que observamos el número de veces que ocurre un determinado suceso A. Sea p la probabilidad de que ocurra el suceso A, p=P(A), y 1-p la probabilidad de que no ocurra A, 1-p=P(�) Consideremos la v.a. X definida como el número de veces que ocurre el suceso A en las n realizaciones independientes del experimento aleatorio. La v.a. X toma los valores 0,1,2,...,n y la función de probabilidad viene dada por

! xnx p)(1pxn

xXP ��

��

�� para x=0,1,2,...,n

donde x)!(nx!

n!xn

��

�

��

�

Se dice que la v.a. tiene una distribución binomial de parámetros n y p y se denota por X B(n,p)


Propiedades:


��

��

�

#

��

�

�

n xsi1

1x0 sip)(10 xsi0

F(x)n

��

2. E[X]=np Var[X]=np(1-p) 3. Función generatriz de momentos:

MX(t) = (p et + (1-p))n �t�� 4. Si X B(n,p) � Y=n-X B(n,1-p)

5. Si X1, X2, ..., Xn son vv.aa. independientes, con Xi B(ni,p), i=1,...,n, entonces

��

��

� ��

��

n

1ii

n

1ii p,nBX

Ejemplo. Tres personas lanzan al aire una moneda cada una. Sea X el número de personas que obtiene una cara en el lanzamiento de la moneda. Determinar

a) La distribución de probabilidad de la v.a. X b) Valor esperado y varianza de X

Solución. La v.a. X tiene una distribución binomial de parámetros n=3 y p=0.5,

XB(n=3,p=0.5)

Entonces,

a) Función de probabilidad:

P[X=0] = 030 0.5)(1 0.5 03 ��

��

� = 0.125

P[X=1] = 131 0.5)(1 0.5 13 ��

��

� = 0.375


P[X=2] = 232 0.5)(1 0.5 23 ��

��

� = 0.375

P[X=3] = 333 0.5)(1 0.5 33 ��

��

� = 0.125

b) Valor esperado: E[X] = np = 3�0.5 = 1.5

Varianza: Var[X] = np (1-p) = 3�0.5� (1-0.5) = 0.75

3. Distribución de Poisson Se dice que una v.a. tiene distribución de Poisson de parámetro , (con , > 0), se denota por X P(,), si su función masa de probabilidad viene dada por

!k!�

ekXPk

�� , para k = 0, 1, 2,...

Propiedades:

1. E[X]=, Var[X]=, 2. Si X1, X2, ..., Xn son vv.aa. independientes, con Xi P(,i), i=1,...,n,

entonces

��

��

� ��

��

n

1ii

n

1ii �PX

3. Función generatriz de momentos:

e (t)MX1)(e t

��,

�t��

4. Distribución de Poisson como límite de la distribución binomial

Si XB(n,p), entonces cuando p0 y n

x!�

p)(1p xn

x]P[xx

�xnx e��

��

��

siendo ,=n p


Ejemplo. Si el número de llamadas telefónicas a una centralita sigue una distribución de Poisson de media 3 llamadas cada 5 minutos, se pide calcular las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Seis llamadas en 5 minutos b) Tres en 10 minutos c) Más de 15 en un cuarto de hora d) Dos en un minuto

Solución

a) Sea X la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en 5 minutos, entonces

X P(3) Se pide

P[X=6] = 6!3

6

3

e� = 0.0504

b) Sea Y la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en 10

minutos, entonces Y P(6)

Se pide

P[Y=3] = 3!6

3

6

e� = 0.0892

c) Sea Z la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en

15minutos, entonces Z P(9)

Se pide

P[Z>15] = !!

91

!9

xZP15

0x

9

16x

9

16x xx

xx

ee ��

��

�

��

�

�� =

= 1- 0.978 = 0.022 d) Sea T la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en 1

minuto, entonces T P(3/5=0.6)

Se pide P[T=2] = 2!

0.6

2.6.0

e� = 0.0988


TEMA 7. ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD 1. Distribución uniforme Se dice que una v.a. X tiene distribución uniforme dentro del intervalo (a,b), se denota por X U(a,b), si su función de densidad viene dada por

��

�

��

�

� ��

�

caso otro en0

bxa siab

1

f(x)

Propiedades:


��

�

��

�

�

#

��

�

�

bx si1

bxa sia-ba-x

a x si0

f(x)

2. ! !12

a)-(bXVar

2ba

XE2

��

�

2. Distribución exponencial Se dice que una v.a. X tiene distribución exponencial con parámetro, se denota por X exp(�), si su función de densidad viene dada por

��

�

��

�

��

�

�

caso otroen 0

0 xsie�

1

f(x)

�

x


Propiedades:


��

��

�

��

0 xsie-1

0 xsi0 F(x)

�

x-

2. ! ! 2XVar XE -- ��

Representación gráfica de la función de densidad de una distribución exponencial con parámetro �=4

3. Distribución normal Se dice que una v.a. X tiene distribución normal con parámetros + y �2, se denota por X N(+,�2), si su función de densidad viene dada por

��

��

� ��

x-para ,e2��

1f(x)

2

�

x21

Representación gráfica de la función de densidad de la distribución N(0,1)


Propiedades:

1. La representación gráfica de la función de densidad de una v.a. N(+,�2) es simétrica respecto al eje vertical x=+ y alcanza su máximo en x=+

2. Si X N(+,�2) entonces

E[X]=+ Var[X]=�2

3. Si X N(+,�2) entonces la variable tipificada .��

)-(XZ N(0,1)

4. Si X1, X2, ..., Xn son vv.aa. independientes, con Xi N(+i,�i

2), i=1,...,n, entonces

��

��

� ��

��

n

1i

2i

n

1ii

n

1ii �,NX

5. Aproximación de la distribución binomial por la distribución normal

Si XB(n,p), con función de probabilidad

p)(1p xn

x]P[x xnx ��

��

��

entonces la distribución de la v.a.

p)np(1npX

Z�

��

se aproxima a la distribución de una N(0,1), cuando n


Cálculo de probabilidades. Los valores de la función de distribución de la normal Z N(0,1) se encuentra tabulados, siendo posible a partir de dichos valores el cálculo de probabilidades para cualquier v.a. X N(+,�2)

!

��

��

� ��

�

��

� ��$%

&'(

) ��$%

&'(

) ��

$%

&'(

) ��

��$%

&'(

) ��

��

��

�

a

�

b

�

aZP

�

bZP

�

bZ

�

aP

�

b�

X�

aPbXaP

donde / representa la función de distribución de la normal tipificada Ejemplo. En una determinada región española la estatura de los varones, en metros, se distribuye según una distribución normal de media +=1.68 y desviación típica �=0.2. Se pide:

a) Obtener la probabilidad de que la estatura de los varones esté comprendida entre 1.6 y 1.75m.

b) ¿Y de que sea inferior a 1.2m.? c) ¿Y superior a 2.5m.?

Solución. Sea X la v.a. que representa la estatura, X N(+=1.68,�2=0.22),

entonces la v.a. tipificada �

XZ

�� tiene distribución N(0,1)

a)

!

! ! ! 0.29220.6368)(10.65540.4ZP0.35ZP0.35Z0.4P

0.21.681.75

Z0.2

1.681.6P

�

1.75�

X�

1.6P1.75X1.6P

��

$%

&'(

) ��

��$%

&'(

) ��

��

��

b)

! ! 0.00829918.014.2P0.2

1.681.2ZP

�

1.2�

XP1.2XP ��$%

&'(

) ��$%

&'(

) ��

�� Z

c)

! ! ! 0.03220.967811.85ZP11.85ZP0.2

1.682.5ZP

�

2.5�

XP2.5XP ��#�$%

&'(

) �#�$%

&'(

) �#

��#


4. Distribuciones asociadas a la distribución normal � Distribución 00002 de Pearson. Sean Z1, Z2, ..., Zn vv.aa. independientes e

idénticamente distribuidas, con distribución N(0,1) y consideremos la v.a.

definida como ��

n

1i

2iZ

La distribución de esa v.a. se denomina distribución 00002 de Pearson con n grados de libertad y se denota por

2n

n

1i

2i �Z �

�

� Distribución t de Student. Sean Y y Z vv.aa. independientes tales que

2n�Y y Z N(0,1) y consideremos la v.a.

Y/n

ZT �

La distribución de esa v.a. se denomina distribución t de Student con n grados de libertad y se denota por

T tn

� Distribución F de Snedecor. Sean X e Y vv.aa. independientes tales que

2m�X e 2

n�Y y consideremos la v.a. Y/nX/m

F �

La distribución de esa v.a. se denomina distribución F de Snedecor con m y n grados de libertad y se denota por

F Fm,n

Si F Fm,n , entonces mn,FF1

bloque ii: calculo de probabilidades tema 4. …mcbueso/estadistica_aplicada_archivos/... ·...

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