bloque 4

BLO

QU

E

4166

Aprendizajes esperados

• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b =

cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

• Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.

• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propie-dades de la media y la mediana.

El atletismo es un deporte que consta de varias disciplinas clasificadas como carreras, saltos, lanzamientos, pruebas combinadas y marcha. La mayoría de estas pruebas se llevan a cabo en una pista especial formada por dos rectas paralelas y dos semicírculos.

Las carreras se clasifican de acuerdo con la distancia a cubrir: de velocidad (distancias hasta 400 m), de medio fondo (entre 600 m y 3 000 m) y de fondo, en las que se cubren distancias mayores. También hay carreras de obstáculos y pruebas de equipo denominadas carreras de relevos.

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167

Trabaja en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen.

El esquema es de una pista de atletismo. Las distancias están en metros.

a) Calculen las longitudes de la línea roja (parte interior de la pista) y la línea azul (parte exterior). Tomen 3.1416 como el valor de π.

b) Las pistas de atletismo se dividen en cua-tro, seis y ocho carriles de 1.22 m de an-cho. ¿Cuántos carriles tiene la pista del diagrama? La línea verde es la ruta teó-rica que seguiría un corredor del primer carril. ¿Cuál es la longitud de esta línea?

c) Hallen la longitud de la ruta teórica de los otros carriles con la expresión π2x + 168.6, donde x representa el radio del se-micírculo correspondiente. Recuerden que los carriles miden 1.22 m de ancho. Comprueben que esta fórmula es útil para calcular las respuestas de los incisos anteriores. ¿De dónde sale el número 168.6?

84.3

36.8

36.5

46.2


Juegos y retos

168

Cuadrados mágicos

Un cuadrado mágico está compuesto de números ubicados en un arreglo cuadrado de manera que al sumar los de cualquier columna, fila o diagonal siempre se obtiene el mismo número. Los cuadrados mágicos se llaman así por propiedades que veremos, pero no tienen nada que ver con la magia ni con algo sobrenatural. Enseguida tenemos un cuadrado mágico de 3 × 3, que llamaremos cuadrado mágico modelo de 3 × 3.

8 1 6 8 + 1 + 6 = 15

3 5 7 3 + 5 + 7 = 15

4 9 2 4 + 9 + 2 = 15

En este caso, la suma constante es 15, por lo que podemos decir que la constante del cuadrado mágico es 15. Observa que los números en el cuadrado modelo son la serie del 1 al 9.

Aunque hay cuadrados mágicos muy simples, como el siguiente, son más interesantes aquellos en que los números tienen una secuencia.

10 10 10

10 10 10

10 10 10

Completa el siguiente cuadrado mágico de 4 × 4 con los números del 1 al 16 que faltan. La constante es 34.

8 13

10 6

4 9

14 2 7

6 + 7 +

2 = 15

1 + 5 +

9 = 15

8 + 3 +

4 = 15

4 + 5 +

6 = 15 8 + 5 + 2 = 15

1 12

15 3

5 16

11


169

Construye cuadrados mágicos de 3 × 3 con cada sucesión numérica.

−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

En los cuadrados mágicos podemos encontrar algunas propiedades; una es que si cada número se suma, resta, multiplica o divide por la misma cantidad, se obtiene otro cua-drado mágico.

Efectúa las operaciones que se indican en el cuadrado modelo de 3 × 3. Verifica que ob-tengas cuadrados mágicos y anota su constante.

Suma 4 Resta 6 Multiplica por −1

constante: constante: constante:

Contesta.a) ¿Qué operación aplicarías al cuadrado modelo de 3 × 3 para obtener uno con solo

números pares?

b) ¿Y para obtener uno con números distintos, cuya constante sea cero?

c) Menciona dos maneras de obtener un cuadrado mágico de constante 30 a partir del

cuadrado modelo.

d) ¿Cómo cambia la constante de un cuadrado mágico de 3 × 3 si a cada número se

aumenta 1?

e) ¿Y la de un cuadrado mágico de 4 × 4?

PISTAS Y ESTRATEGIAS

3 −4 1 24 3 18

−2 0 2 9 15 21

−1 4 −3 12 27 6

12 5 10 2 −5 0 −8 −1 −6

7 9 11 −3 −1 1 −3 −5 −7

8 13 6 −2 3 −4 −4 −9 −2

27 −3 −15

R.T.Multiplicarporunnúmeropar.

R.T.Restar5.

R.T.Sumarcincoymultiplicarpordos.

R.T.Aumentatres.

R.T.Aumentacuatro.


170

Lección 58

PREGUNTA INICIAL

Sucesiones I

¿Cómo puede calcularse el término 45 de la siguiente sucesión? 3, 7, 11, 15…

1 Completa el cuadrado restando 7 a los términos del cuadrado modelo de 3 × 3.

−6

−5

a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante?

b) Relaciona los números del cuadrado anterior con los que le corresponden en el cua-drado modelo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

c) ¿Los números que anotaste van aumentando o disminuyendo?

d) Observa que has obtenido una sucesión de números cuyo primer término es −6.

¿Cuál es el octavo?

e) Si la sucesión continuara, ¿cuál sería el décimo? ¿Y el vigésimo?

¿Cuál sería el centésimo?

f) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior?

2 Completa el cuadro con los términos del cuadrado modelo de 3 × 3 multiplicados por –2.

a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante?

−6

−2

−4

de nuevoel reto

1 −1

−4 −2 0

−3 2

−6

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

R.T.Aumentando.

R.T.Esuno.

3 13

93

R.T.Se

sumauno.

−16 −12

−6 −10 −14

−8 −18

Es−30.


171

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: Patrones y ecuaciones

b) ¿Cuál es la sucesión de este cuadrado? Anótala enseguida.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

c) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen?

d) ¿Cuál es el undécimo término de la sucesión? ¿Y el vigésimo?

e) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior?

3 Comenta en equipo tus respuestas. Efectúen lo siguiente.

a) Discutan cuál es la forma más sencilla de hallar el quincuagésimo sexto término de la sucesión del cuadrado de la actividad 1 y escríbanla.

b) Anoten una expresión algebraica para calcular el término n de la sucesión de la

actividad 1.

c) Encuentren la manera más sencilla de calcular el octogésimo tercer término de la

sucesión de la actividad 2.

d) Escriban una expresión algebraica para calcular el término colocado en la posición

n de la sucesión de la actividad 2.

4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial con tus compañeros. Escribe las conclusiones que obtuvieron a continuación.

Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros

Observa

Para denotar una posición cualquiera en una sucesión podemos usar una letra. Por ejemplo: n.

La regla de una sucesión permite hallar cualquier término y puede indicarse con una expresión algebraica. Por ejemplo:

La regla 3n − 10 genera la sucesión −7, −4, −1, 2, 5…, ya que

n 1 2 3 4 5

3n − 10 3 − 10 =−7 6 − 10 = −4 9 − 10 = −1 12 − 10 = 2 15 − 10 = 5

−2 −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 −18

R.T.Disminuyen.

−22 −40

R.T.Se

restados.

R.T.Serestasietea56yseobtiene49.

n−7

R.T.Semultiplica83por−2yseobtiene−166.

−2n

R.P.


172

Lección 59

PREGUNTA INICIAL

Sucesiones II

¿Cuál es la regla que genera la sucesión 8, 5, 2, −1, −4…?

1 Observa la sucesión y responde.

−13, −11, −9, −7…

a) Anota los siguientes diez términos de la sucesión.

b) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen?

c) ¿Cómo cambia un término de la sucesión con respecto al anterior?

d) ¿Es una sucesión con progresión aritmética? ¿Por qué?

e) ¿Cuál es el vigésimo cuarto término?

f) Subraya la expresión que es regla de la sucesión.

−2n + 5 −2n − 3 2n + 3 2n + 1

2 Anota los diez primeros términos de las sucesiones. Después contesta.

ReglaValor n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4n − 11

3n −5

−n + 8

−2n +10

−5n −5

−7n −4

a) ¿Las sucesiones anteriores tienen progresión aritmética?

¿Por qué?

b) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones aumentan?

R.T.−5,−3,−1,1,3,5,7,9,11,13

R.T.Aumentan.

R.T.Aumenta

dosunidades.

Sí. R.T.Porquela

diferenciaentreuntérminoyelsiguienteesconstante.

R.T.Es45.

−7 −3 1 5 9 13 17 21 25 29

−2 1 4 7 10 13 16 19 22 25

7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2

8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10

−10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 −50 −55

−11 −18 −25 −32 −39 −46 −53 −60 −67 −74

Sí.

R.T.Porqueladiferenciaentreuntérminoyelsiguienteesconstante.

R.T.4n−11y3n−5.Sonaquellasenlasqueelcoeficientedenespositivo.


173


c) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones disminuyen?

3 Responde las preguntas con respecto a las sucesiones.

a) Escribe la regla algebraica de la sucesión 11, 7, 3, −1, −5, −9…

i) Explica cómo la determinaste.

b) Escribe la regla algebraica de la sucesión −5, −10, −15, −20, −30…

i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

ii) ¿Cuál es la relación entre esa diferencia y los coeficientes que aparecen en la regla

algebraica? Justifica tu respuesta.

c) ¿Cuál es la regla algebraica de la sucesión −11, −16, −21, −26, −31, −36…

i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

ii) ¿Cuál es la relación entre la regla algebraica de la sucesión del inciso b) y la del

inciso c)? Explica tu respuesta.

4 Comenta en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión. Comenten cómo pueden verificar que la regla que escribieron sea la regla algebraica de esa sucesión. Escriban sus conclusiones y preséntenlas a los demás equipos.


R.T.−n+8,

−2n+10,−5n−5,−7n−4.Sonlasquetienencoeficientenegativoenn.

−4n+15

R.T.Elcoeficientedenesladiferenciaentre

untérminoyelsiguiente.Paradeterminareltérminoindependientesesuma15

a−4(1)=−4paraobtener11,queeselprimertérminodelasucesión.

−5n

−5

R.T.Ladiferenciaentrecadatérmino

eselcoeficienteden.

−5n−6

−5

R.T.Ladiferenciaeseltérminoindependiente,

quees−6;entonces,elprimertérminodecadasucesióncambia.

R.P.


174

Lección 60

PREGUNTA INICIAL

Sucesiones III

¿Cuál es la regla de una sucesión cuyo primer término es 1 y el décimo, −26?

1 Escribe, a partir de la regla, los seis primeros términos de la sucesión.

a) 3n + 4

b) 2n − 2

c) 2 − 2n

d) 3n − 4

e) 4 − 3n

• Contesta.

f) ¿En qué sucesiones los términos van aumentando?

g) ¿En qué sucesiones los términos van disminuyendo?

h) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 3 en 3?

i) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 2 en 2?

j) ¿Cómo cambiarías la regla de la sucesión 3n + 4 para que el primer término fuera 10?

Justifica tu respuesta.

k) ¿Cómo cambiarías la regla 3n + 4 para que los términos de la sucesión aumentaran

de 2 en 2?

2 Completa las sucesiones y escribe cómo se calcula el término n.

a) −5, −4, , , −1, ... término n:

b) −3, −6, , −12, , ... término n:

c) −2.3, −1.3, , , 1.7, ... término n:

d) −3.5, −7, , , −17.5; ... término n:

e) 1, 0.3, , −1.1, , −2.5 … término n:

f) −4, −2.5, , , , 3.5 … término n:

g) 2, 118,

, , −11

2, ...

término n:

h) −514, −33

4, , , ,

214 … término n:

de nuevoel reto 7,10,13,16,19,22

0,2,4,6,8,10

0,−2,−4,−6,−8,−10

−1,2,5,8,11,14

1,−2,−5,−8,−11,−14

R.T.Ena),b)yd).

R.T.Enc)ye).

R.T.Ena),d)ye).

R.T.Enb)yc).

R.T.Cambiaríaeltérminoindependientepor7,porque

3(1)+7=10.

R.T.Cambiaríaelcoeficientedenpor2.

−3 −2 0 n−6

−9 −15 −18 −3n

−0.3 0.7 2.7 n−3.3

−10.5 −14 −21 −3.5n

−0.4 −1.8 −0.7n+1.7

−1 0.5 2 1.5n−5.5

1

4 − 5

8 −2

3

8 − 7

8n+2

7

8

−21

4 − 3

4 3

4

3

2n−6 3

4


175


3 Contesta considerando las sucesiones de la actividad anterior.

a) ¿Cuál es el término 10 en a)? b) ¿Cuál es el término 11 en b)?

c) ¿Cuál es el término 22 en c)? d) ¿Cuál es el término 15 en d)?

e) ¿Cuál es el término 30 en e)? f) ¿Cuál es el término 20 en f)?

4 Responde y haz lo que se indica.

a) ¿Cuál es el primer término positivo de la sucesión cuya regla es n − 12?

b) Escribe los cinco mayores términos negativos de la sucesión −14n − 4.

c) Anota los dos menores términos positivos de la sucesión −12n + 1 14.

5 Relaciona cada sucesión con su regla anotando en el paréntesis la letra que corresponda.

a) −4, −5, −6, −7, −8, −9… ( ) n2 − 5

b) −4, −6, −6, −4, 0, 6… ( ) n(n − 5)

c) −4, −11, −18, −25, −32, −39… ( ) 3n − 7

d) −4, −1, 4, 11, 20, 31… ( ) −n − 3

e) −4, −1, 2, 5, 8, 11… ( ) −7n + 3

6 Elabora un cuadrado mágico de 4 × 4 cuyo primer término de su sucesión sea ∙8 y el último, 22. Puedes basarte en el cuadrado de 4 × 4 que completaste en la página 168.

7 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.


TIC

En www.e-sm.com.mx/matcom2-175 podrás hallar más información sobre sucesiones.Anota en tu cuaderno lo nuevo que aprendiste en la página.

4 −33

18.7 −52.5

−12.3 39.5

1

−41

4 ,−4

1

2 ,

−43

4,−5,−5

1

4,−5

1

2

3

4 ,

1

4

d

b

e

a

c

−8 6 16 14

20 10 −4 2

−2 0 22 8

18 12 −6 4


Juegos y retos

176

La liebre y la tortuga

Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siem-pre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista, una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad sin pre-cedentes para una tortuga. Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se carcajeó más de media hora antes de aceptar la apuesta.

—¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera?—En un mes —dijeron las tortugas.

Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse de mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así ganaría. En cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar ni de bajar de peso. Estaba muy confiada.

Llegó por fin el día de la carrera y todos los animales se reunieron para presenciarla. Se indicó la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia inició entre grandes aplausos.

La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que iba sin parar a 1 km/h, pronto se quedó muy atrás.

Después de quince minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida.

Después de mucho tiempo la tortuga llegó a donde estaba la liebre.

—Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tor-tuga a la liebre con actitud muy deportiva.—Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo la liebre sin abrir los ojos y siguió en brazos de Morfeo.

De repente, la liebre despertó y miró su reloj.

—¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo mientras se levantaba y volvía a correr a 16 km/h.

Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la meta. Calculó que su velocidad era suficiente para empatar la carrera.

—Le pondré un poco de emoción. Todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre.Los espectadores veían cómo la liebre alcanzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emo-cionados; iba a ser un final de fotografía.


177

Cuando la liebre se encontraba muy cerca de la tortuga, pensó en acelerar para ganar; todavía le quedaban muchas reservas de energía y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo: tropezó con una piedra y quedó tendida, retorciéndose de dolor unos segundos, el tiempo suficiente para que la tor-tuga cruzara la meta y ganara la carrera.

Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír de todos los animales.Esopo (adaptación)Contesta las preguntas en tu cuaderno.

¿De qué distancia fue la carrera de la liebre y la tortuga? ¿Cuánto tiempo duró la competencia?

Trabaja con un compañero. Determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre durmiendo bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga, 1 km. Supongan que ambos competidores empataron la competencia y completen la ta-bla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzaría a la tortuga si no se hubiera caído y sabrán cuándo cruzó la meta la tortuga.

Tiempo (horas)

Distancia de la salida (km)

Liebre Tortuga

0 0 0

0.1 1.6

0.2

0.25

0.5

0.6

0.7

Recuerden que 1 hora es igual a 60 min. ¿Cuántos minutos son un cuarto de hora?

¿Y 0.1 horas?

¿A qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre reanuda la carrera?

¿Y tres minutos después de que la liebre reanuda la carrera?


0.1

3.2 0.2

4 0.25

4 0.5

4 0.6

4 0.7

1 4 1

1.5 4 1.5

2 4 2

2.5 4 2.5

3 4 3

3.25 4 3.25

4 4 4

5.25 4 5.25

5.28 4.53 5.28

5.31 5.06 5.31

5.34 5.59 5.34

5.38 6.13 5.38

15minutos

6minutos

A1.25km

A1.3km


178

Lección 61

PREGUNTA INICIAL

Planteamiento de ecuaciones

¿Qué valor de x hace verdadera la igualdad 5x = x + 1?

1 Lee el problema, responde las preguntas y efectúa lo que se pide.

A 30 km de la frontera se comete un atraco. Los ladrones huyen a 90 km/h. Cuatro minutos más tarde la policía sale en su persecución a 120 km/h. ¿Conseguirá alcanzar a los ladrones antes de que lleguen a la frontera?

a) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco están los ladrones cuando la policía inicia la persecución?

b) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco se encuentran los policías y los ladro-nes cinco minutos después de que inicia la persecución?

c) Subraya la ecuación que permita calcular a qué distancia del atraco (d) está la policía t horas después de que inicia la persecución.

i) d = 120t ii) d = 90t iii) d = 120t iv) d = 90

t

d) Subraya la ecuación que determine a qué distancia del atraco (d) se encuentran los ladrones t horas después de que inicia la persecución.

i) d = 90t − 6 ii) d = 90t + 6 iii) d = 90t + 6 iv) d = 90

t + 6

e) Observa las ecuaciones que escogiste en los incisos c) y d). Nota que cuando el valor de d sea igual en ambas, los policías habrán alcanzado a los ladrones. Escribe la expresión que resulta de igualar ambas ecuaciones.

f) Halla el valor de t para el cual d tiene el mismo valor en los incisos c) y d). Anota tu procedimiento enseguida. Después compáralo con el de tus compañeros. Decidan cuál es correcto.

Recuerda

Una ecuación es una igualdad formada por literales y números relacionados mediante expresiones aritméticas. En una ecuación las literales se llaman incógnitas.

A6km

R.T.Lospolicíasestána10km,ylosladronesa13.5km

120t=90t+6

R.T.

120t=90t+6 Lapolicíaalcanzaráalosladrones

120t−90t=6 en0.2horas,o12minutos,después

30t=6 dequeempiecelapersecución.

t=0.2

Sí.


179


2 Lee los problemas y haz lo que se indica.

a) Escribe una ecuación que relacione dos lados del triángulo. Recuerda la característica que cumplen los lados de un triángulo isósceles.

b) La edad de una madre es 40 años y las edades de sus tres hijas suman 28 años. ¿Den-

tro de cuántos años las edades de las hijas sumarán las de la madre?

i) Completa la tabla. Representa con x los años que deben transcurrir para que la edad de la madre sea igual a la suma de las edades de sus hijas.

Hoy Dentro de x años

Edad de la madre

Suma de las edades de las hijas

ii) La suma de las edades de las hijas en x años no es 28 + x. ¿Cuánto suma tu edad

y la de uno de tus amigos? ¿Cuánto sumarán sus edades dentro

de un año? ¿Y en dos años?

iii) Escribe la ecuación que involucra el problema.

3 Inventa un problema que involucre a la ecuación 3x + 5 = x + 4.

4 Compara las ecuaciones que encontraste en las actividades 1 y 2 con las de tus compañeros. Determinen, con ayuda del profesor, cuáles son correctas. Si hay errores corríjanlos, pero consideren que puede haber varias soluciones.

5 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

5x + 20

3x + 16

x + 196

3x+16=x+196

R.T.4años.

40 40+x

28 28+3x

R.T.26años.

R.T.28años. R.T.32años.

40+x=28+3x

R.T.

Eltripledeunnúmeromáscincoesigualqueelmismonúmeromáscuatro.

¿Cuáleselnúmero?


180

Lección 62

PREGUNTA INICIAL

Solución de ecuaciones I

¿La ecuación x + 2 = 3 y la ecuación 2x + 6 = 9 − x tienen la misma solución?

1 Subraya las acciones que dejarían en equilibrio la balanza. Las medidas de las pesas están dadas en kilogramos y los botes pesan lo mismo.

a) Pasar una pesa de 3 kg del platillo derecho al izquierdo b) Añadir 2 kg a cada platillo c) Quitar 1 kg a cada platillo d) Pasar un bote del platillo izquierdo al derecho e) Eliminar dos botes del platillo izquierdo y uno del derecho f) Quitar un bote de cada platillo g) Agregar un bote a cada platillo

2 Escribe qué se hizo en cada platillo de la balanza. Anota si se conserva el equilibrio y explica por qué.

Acción ¿Se conserva el equilibrio?

a) ¿Cuánto pesa cada bote?

3 Representa con una literal el peso de cada bote y escribe la ecuación que representa la balanza de la actividad 1, así como cada balanza de la actividad 2.

Actividad 1 Actividad 2a) b) c)

• Comprueba que las ecuaciones tengan la misma solución.

Ooo

oooO

Ooo

oooO

Ooo

oooO

Ooo

oooO

11

33

11

33Ooo

oooO

Ooo

oooO

33Ooo

oooO

Ooo

oooO

3Ooo

oooO

Sequitóunbotede

cadaplatillo

Sequitóunapesa

de1kgdecada

platillo

Sequitólamitad

delpesodecada

platillo

Sí,porquesequitóunobjeto

delmismopesodecadaplatillo

Sí,porquelaspesasquese

quitaronsoniguales

Sí,porquecadaplatillotenía

elmismopeso.Alquitarla

mitaddecadaunosesigue

conservandoelmismopeso

Pesa3kg

3x+1=x+7 2x+ 1=7 2x=6 x=3


181


4 Relaciona cada balanza con su respectiva ecuación escribiendo en el paréntesis la letra que corresponda. Después contesta las preguntas en tu cuaderno.

a) b)

c) d)

e) ( ) x + 5 − 5 = 15 − 5

( ) 2x + 5 − x = x + 15 − x

( ) 2x + 5 = x + 15

( ) x = 10

( ) x + 5 = 15

f) ¿Cuánto pesa cada bote?

g) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza b)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio? ¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación a la otra?

h) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza c)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio? ¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación a la otra?

i) Anota qué cambia de una balanza a la siguiente y qué en cada ecuación.

5 Comenta en grupo tu repuesta a la pregunta inicial. Lleguen a una conclusión.

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

5

5 5 5

frijolitos

frijolitos

frijolitos frijolitos 5

5

frijolitos

5 5frijolitos

5

5 5 5frijolitos

5

5 5 5frijolitos

5 5frijolitos

d

b

a

e

c

R.T.Pesa10kg


182

Lección 63

PREGUNTA INICIAL

Un ecuación tiene dos miembros separados por el signo =.

x + 5 = 2x − 2 1ermiembro 2o

miembro

Solución de ecuaciones II

¿Cómo puede hallarse una ecuación equivalente a otra?

1 Completa las ecuaciones y contesta.

Bloques Ecuaciones

3y = + 5

3y − 2y = 2y + 5 −

y =

a) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el segundo paso?

Bloques Ecuaciones

5z + =

5z + 6 − = 8z −

6 = 3z3

=

b) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el tercer paso?

y

y

y

y

y

1

1

11 1

=

y

y

y

y

y

1

1

11 1

=

y1 1 1

1 1=

z 1z

z z

z

1

1 1

1 1

z z z

z z z

zz=

z 1z

z z

z

1

1 1

1 1

z z z

z z z

zz=

1 1

1 1

1 1

z

z

z

1 z1 =

=

{ {

2y

2y

5

R.T.Serestó2y.

6 8z

5z 5z

3

2 z

R.T.Sedividióentre3.


183



2 Representa con bloques cada ecuación.

Ecuaciones Bloques

5x + 4 = 2x + 7

5x + 4 − 2x = 2x + 7 − 2x

3x + 4 = 7

3x + 4 − 4 = 7 − 4

3x = 3

x = 1

a) ¿Cuál es la solución de estas ecuaciones?

3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Obtengan, con ayuda del profesor, conclusiones y anótenlas en sus cuadernos.

Si en ambos miembros de una ecuación se efectúa la misma operación, se conserva la igualdad y se obtiene una ecuación equivalente.

x

x x

x1

1 1 11

1

1

11

1

1

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

=

x=1.


184

Lección 64

PREGUNTA INICIAL

Solución de ecuaciones III

¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 6x = 24?

1 Encuentra las medidas de cada ángulo sin hacer mediciones.

∡CBA = ∡BAC = ∡ACB =

2 Trabaja con tres o cuatro integrantes. Comparen sus respuestas de la actividad anterior y comenten los procedimientos que siguieron para encontrar x. Escriban el que les parezca mejor. Si lo desean, ahora pueden medir la figura para verificar sus respuestas.

3 Resuelve la ecuación –2y = 215 y comenta con tus compañeros de equipo por qué es equivalente a 3y + 5y – 10y = 190 +25.

4 Contesta. Justifica tu respuesta.

¿La ecuación 3y + 5y − 10y = 190 + 25 se puede transformar en la ecuación −2y = 215?

• Comenta tu respuesta en grupo. Digan cuáles son correctas y por qué.

5 Revisa en equipo la actividad 2 de la página 178. Identifiquen en qué pasos se reducen términos semejantes.

2 12 x

35x

12x

B

A

C

125° 30° 25°

R.T.Lasumadelasmedidasdelosángulosdebeser180°.Entoncesseobtieneque,3

5x+

5

2x+ 1

2x=180°.Así,

18

5x=180°yx=50°.

R.T.Sísepuedetransformarporquelasumaalgebraicadetérminossemejanteses

3y+5y−10y=−2y,yladelostérminosindependienteses190+25=215


185



6 Calcula el peso de los botes en cada balanza.

Cada bote pesa g. Cada bote pesa kg.

7 Escribe una ecuación para cada balanza de la actividad anterior y comenta procedimientos para resolverla.

Ecuaciones Procedimientosa)

b)

8 Lee lo siguiente y revisa si te sirve para resolver las ecuaciones de la actividad anterior o para mejorar los procedimientos que anotaste.

9 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen al grupo un método para resolver la ecuación aplicando lo estudiado en la lección.

Para resolver una ecuación conviene aplicar las mismas operaciones en ambos miem-bros de la igualdad, de manera que los términos semejantes queden en un miembro. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 5 se puede restar 3x en ambos miembros.

5x + 7 = 3x + 5 5x + 7 − 3x = 3x + 5 − 3x 2x + 7 = 5

Observa que al reducir términos semejantes se eliminan los términos con x en el segundo miembro.

Después, se resta 7 en ambos miembros.

2x + 7 = 5 2x + 7 − 7 = 5 − 7 2x = −2

Se divide entre 2 ambos miembros, , entonces x = −1.x = −2__2

12

__

75g 75g

50g

75g 75g

3 kg

5 kg 6 kg10 kg

x+200=2x+150

2y+8=y+16

50 8

R.T.Serestaxenambosmiembrosdela

ecuación;despuésseresta150enambos

miembrosyqueda50=x

Enambosmiembrosserestaydela

ecuación;despuésselesresta8yqueda

y=8.


186

Lección 65

PREGUNTA INICIAL

Solución de ecuaciones IV

¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 4x = 24 + 2x?

1 Explica los pasos para resolver las ecuaciones. Observa los ejemplos.

a) z + 4 = 2z

z + 4 − 2z = 2z − 2z Se resta 2z en ambos miembros.

−z + 4 = 0 Se reducen términos semejantes.

−z + 4 − 4 = −4

−z = −4

(−1)z = (−1)4

z = 4

b) 3y + 12 = 7y

3y + 12 − 7y = 7y − 7y

−4y + 12 = 0

−4y + 12 − 12 = −12

−4y = −12

−4y−4

= −12−4

Se dividen ambos miembros entre −4.

y = 3

c) 23x − 34 = 12x

23x −

34 −

12x =

12x −

12x

16x − 34 = 0

16x − 34 + 34 = 0 + 34

16x = 34

16x = 3416

16

x = 184 = 92

• Sustituye los valores que encontraste y comprueba que solucionen las ecuaciones.

Se resta 4 en ambos miembros.

Se reducen términos semejantes.

Se multiplican por −1 ambos miembros.

Se efectúan los productos.

Se resta 7y en ambos miembros.


Se resta 12 en ambos miembros.


Se efectúan las divisiones.

Se resta 1

2x en ambos miembros.


Se suma 3

4

en ambos miembros.


Se dividen ambos miembros entre 1

6.

Se efectúan las operaciones y se simplifica la fracción.


187



2 Efectúa las operaciones para resolver las ecuaciones.

a) −30t = −20t + 15Suma 20t en ambos miembrosde la ecuación.

Reduce términos semejantes.

Divide ambos miembros de la ecuación entre −10.

Efectúa la división.

b) 3x + 5 = 4x − 1Resta 4x en ambos miembros de la ecuación.


Resta 5 en ambos miembros de la ecuación.


Multiplica ambos miembros por −1.

Efectúa los productos.

3 Resuelve las ecuaciones.

a) 3y = 5y + 6 y = b) −4.3z = −7.8z + 3.5 z =

c) −2x − 4 = −x − 1 x = d) 2.4 + 5.1w = 4.2w − 6.6 w =

4 Plantea un problema que se resuelva con la ecuación 4x + 3 = 7 + 2x. Puedes enunciarlo o dibujarlo. Intercámbialo y resuelve el que haya planteado uno de tus compañeros.

5 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial con un compañero. Comprueben su solución.

−30t + 20t = −20t + 15 + 20t

−10t = 15

−10t

−10

= 15

−10

t = −1 5

10

= −1 1

2

3x + 5 − 4x = 4x − 1 − 4x

−x + 5 = − 1

−x + 5 − 5 = − 1 − 5

−x = −6

−x(−1) = −6(−1)

x = 6

−3 1

−3 −10

R. T.

Si Juan comprara cuatro dulces le sobrarían tres pesos, pero si comprara

dos le quedarían siete pesos. ¿Cuánto cuesta cada dulce y cuánto dinero tiene

Juan?


188

Lección 66

PREGUNTA INICIAL

Ecuaciones con paréntesis

¿Qué relación tienen las ecuaciones 4(x + 5) = 80 y 4x + 20 = 80?

1 Lee la afirmación de Claudia y haz lo que se indica.

Claudia dice “La solución de la ecuación

3(x + 2) = 3x + 6

puede ser cualquier número.”

Explica en el espacio de la derecha si Claudia tiene razón. Puedes utilizar di-bujos, figuras o esquemas.

2 Lleva a cabo con un compañero lo que se pide.

El precio de 1 L de leche en la tienda “La Baratera” es $0.80 menor que en “La Inflación”. ¿Cuál es el precio del litro en cada tienda si con la misma cantidad de dinero se pueden comprar 11 L en “La Baratera” mientras que solo 10 L en “La Inflación”?

a) Subrayen las ecuaciones que permitan resolver el problema.

10(x − 0.8) = 11x 10(y + 0.8) = 11y 11(z − 0.8) = 10z 11(w + 0.8) = 10w

b) Comenten qué significa la incógnita en cada ecuación que subrayaron. c) Resuelvan en sus cuadernos una de esas ecuaciones mediante el método que prefie-

ran. Verifiquen que con la solución se cumplan las condiciones del problema.

3 Completa los pasos para resolver la ecuación.

a) Si no resolvieron la ecuación que escogieron en la actividad 2 o lo hicieron con un método diferente, resuélvela con este.

b) ¿Cuál es el precio de la leche en cada tienda?

7(x − 3) = 5(x + 7)

Se multiplican por 7 los términos del primer paréntesis. 7x − = 5(x + 7)

Se multiplica por 5 cada término dentro del paréntesis. 7x − = +

Se resta 5x en ambos miembros de la ecuación. 7x − − 5x = + − 5x

Se reducen términos semejantes. − 21 = 35

Se suma 21 en ambos miembros. − 21 + 21 = 35 + 21

Se reducen términos semejantes. =

Se dividen ambos miembros entre 2.

R. T. Por la propiedad distributiva,

3(x + 2) es igual que 3x + 6 sin que

importe el valor de x; por lo tanto,

la igualdad se cumple para cualquier

valor de x.

21

21 5x 35

21 5x 35

2x

2x

2x 56

x = 28

$8.00 y $8.80


189


Completa la solución. Continúa donde indica la flecha.

3(x + 4) = 6x − 9

3(x + 4)3 =

6x − 93 x =

x + 4 = 6x3 −

93

5 Plantea y resuelve en equipo los problemas con ecuaciones.

a) Un paquete de tres botellas de crema corporal vale $750.00. El tamaño chico vale lo mismo que el mediano menos $50.00. El precio del tamaño mediano es p. El tamaño grande cuesta el doble que el mediano.

i) ¿Qué expresión algebraica representa el valor del tamaño chico? ______________

ii) ¿Cómo se expresa el costo del tamaño grande? ____________________________

iii) Planteen una ecuación que indique el costo total de las tres botellas.

_________________________________________________________________

iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon.

v) ¿Cuál es el costo de cada botella? ______________________________________

b) El perímetro de un cuadrado es el doble que el perímetro de un triángulo. Cada lado del cuadrado mide x. Dos lados del triángulo miden 6 cm y el otro lado mide x + 3.

i) ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro del triángulo? _____________

ii) ¿Y el del cuadrado? _________________________________________________

iii) ¿Cuál es la ecuación que relaciona los dos perímetros? ______________________

iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon.

v) Indiquen el perímetro de cada figura. ___________________________________

_________________________________________________________________

c) Las tres cuartas partes de la edad de la madre de Concha exceden por quince años a la de su hija. Si hace cuatro años la edad de la madre era el doble que la de su hija, ¿cuál es la edad de ambas? Plantea una ecuación y resuélvela en tu cuaderno.

Las edades son ________________________________________________________

6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Plantea en tu cuaderno un problema que se resuelva con la ecuación, intercámbialo y resuelve el de tu compañero.4

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros fraccionarios o decimales, positivos y negativos

TIC

En www.e-sm.com.mx/matcom2-189 podrás ver un video sobre la solución de ecuaciones.Comenta con tus compañeros qué aprendiste en él.

x + 4 = 2x − 3

x + 4 − 2x = 2x − 3 − 2x

−x + 4 = −3

−x + 4 − 4 = −3 − 4

−x = −7

x = 7

7

p − 50

2p

p − 50 + p + 2p = 750

$150.00, $200.00 y $400.00

x + 15

4x

4x = 2(x + 15)

El perímetro del cuadrado mide

60 cm y el del triángulo, 30 cm.

68 y 36 años. La ecuación es 3

4x + 15 = x − 4

2 + 4


190

Lección 67

PREGUNTA INICIAL

Ecuaciones con coeficientes fraccionarios

¿Qué relación tienen las ecuaciones 12x + 34x = 18 y 4x + 6x = 8?

1 Subraya la ecuación con que se resuelve el problema.

En una bolsa hay canicas rojas y azules. La tercera parte de las rojas más la cuarta de las mismas es igual a la mitad de las azules. Si en total son 52 canicas, ¿cuántas rojas hay?

a) 14r + 13r = 52

2 b) 14r + 13r = 52 − r

c) 14r + 13r = 12(52 − r) d) (14 + 13)r = 12(r − 52)

• Comenta en grupo cómo elegiste la ecuación que subrayaste. Determinen, con ayuda del profesor, si es la correcta y resuélvanla.

2 Contesta con un compañero.

a) Multipliquen por 12 ambos miembros de la ecuación que subrayaron.

¿Obtuvieron una ecuación equivalente?

b) Resuelvan la ecuación que obtuvieron en el siguiente espacio.

c) Comenten en equipo sus procedimientos de solución y determinen cuáles de ellos son correctos.

d) Comenten en grupo si fue más sencillo resolver la ecuación multiplicándola por 12. Anoten sus conclusiones.

El coeficiente de una variable es el número que la multiplica. Por ejemplo, en la ecua-

ción −34x + 5y = 9 el coeficiente de x es −3

4, y el de y, 5.

Una ecuación con coeficientes fraccionarios es aquella donde los términos coeficientes son fracciones. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones con coeficientes fraccionarios.

12x + 34 = 0 3x = 27 4y + 13 = 6

R. T. Sí.

12[ 1

4r +

1

3r] = 12[ 1

2(52 − r)] 3r + 4r = 6(52 − r) 13r = 312

12

4r +

12

3r =

12

2(52 − r) 7r = 312 − 6r r =

312

13

= 24

R. P.


191


3 Trabaja con un compañero. Observen la ecuación y contesten las preguntas.

25x + 13 = 16 + 1

10x

a) Si se multiplican ambos miembros de la ecuación por 5, ¿queda una ecuación sin co-

eficientes fraccionarios?

b) ¿Si se multiplican por 3?

c) ¿Qué tal si se multiplican por 6?

d) ¿Y si se multiplican por 30?

e) Anoten otros números por los que se puedan multiplicar.

f) ¿Cuál es el menor entero por el que se puede multiplicar la ecuación para obtener

otra sin coeficientes fraccionarios?

4 Reúnete en equipo. Expliquen por qué es correcto lo siguiente.

Si ab = c

d , entonces ad = bc

• Analicen cómo pueden usar lo anterior para resolver la ecuación 3x + 12 = 5x + 1

3 .

Expongan sus conclusiones ante el grupo.

5 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) z + 6z + 32 + 1 = z + 5z + 34 − 2 z =

b) 3y − 24 = y − 5

−3 y =

c) 37f − 4f − 26

7 = 5 + 23f + 4 f =

d) 13 = w + 4w − 2 w =

• Comenta en grupo tus procedimientos. Determinen cuáles son correctos.

6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial en grupo. Pidan a algunos compañeros que justifiquen las suyas.


Para resolver una ecuación con coeficientes fraccionarios se pueden multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

No, quedan fracciones con denominadores 3, 6 y 2.

. No, quedan fracciones con denominadores 5, 2 y 10.

. No, quedan los denominadores 5, 3 y 10.

Sí, quedan sin coeficientes fraccionarios.

R. T. 60, 90, 120, 150...

R. T. Es 30.

−33

4

2

−3

−7


192

Lección 68

PREGUNTA INICIAL

Problemas que se resuelven con ecuaciones

¿Qué problema puede solucionarse con la ecuación 3x + 5 = x − 3?

1 Resuelve los problemas.

a) ¿Cuánto mide cada ángulo del cuadrilátero?

∡A =

∡B =

∡C =

∡D =

b) ¿Cuál es el número que cumple la condición de que si a su doble se le resta 17 da lo mismo que si se le sumara 5?

El número es

c) Los libros de la balanza pesan lo mismo. ¿Cuánto pesa cada uno?

Cada libro pesa g.

d) Si al doble de un número se le resta 6, se obtiene ese número más 6. ¿Qué número es?

El número es

e) Un padre tiene el triple de edad que su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la hija, ocho más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno?

El padre tiene años y la hija años.

f) En un supermercado el kilogramo de manzana cuesta el doble que el de plátano. Araceli compró 3 kg de manzana, 2 kg de plátano y un mamey, que le costó $4.50. Silvia compró 2 kg de manzana y 3 kg de plátano. Si Silvia pagó $8.70 menos, ¿cuánto cuesta el kilogramo de plátano?

El kilogramo de plátano cuesta $

g) Juan Antonio gastó $110.00 en un regalo y su envoltura. Si el regalo costó $100.00 más que la envoltura, ¿cuánto pagó por la envoltura? La respuesta no es $10.00.

Juan Antonio pagó $ por la envoltura.

1kg

100g

100g

B

A

C

D

4x − 182x + 20

x − 1 4x − 26

34°

122°

90°

114°

22

200

12

57 19

4.20

5.00


193


h) Al encargado de un comercio le preguntaron lo siguiente.

—¿Cuántas personas trabajan aquí? —No muchas —contesta—. Tres cuartas partes de los que somos más tres cuartas

partes de persona.

¿Cuántos empleados son? Son empleados.

i) Hace ocho años un padre tenía siete veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo tres veces la edad del hijo. ¿Cuáles son las edades de ambos?

La edad del padre es años y la del hijo años. j) Resuelve con una ecuación el problema 1 de la página 178.

Los policías alcanzarán a los ladrones antes de que lleguen a la frontera.

2 Efectúa lo siguiente con base en el cuento de la liebre y la tortuga, de las páginas 176 y 177.

a) Escribe a qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre empieza a correr de nuevo.

b) Subraya la ecuación que represente la distancia (d) a que la tortuga se encuentra del árbol t horas después de que la liebre empieza a correr de nuevo.

d = t + 1.25 d = 1.25t d = t d = t − 1.25

(Verifica que cuando t = 0, d debe ser igual a la distancia a la que se encuentra la tortuga del árbol cuando se encuentra a la liebre.)

c) Subraya la ecuación que relacione la distancia a la que se encuentra la liebre res-pecto al árbol desde el momento en que despierta.

d = 16t d = t + 16 d = 16t + 1.25 d = 16t − 1.25

d) Observa que cuando la liebre alcanza a la tortuga, ambos corredores se encuentran a la misma distancia del árbol. Iguala las expresiones que subrayaste en los incisos anteriores y encuentra cuánto tardó la liebre en alcanzar a la tortuga después de despertar. Anota tu respuesta en minutos.

La liebre alcanza a la tortuga en minutos.

3 Revisa en grupo, y con ayuda del profesor, tus respuestas de la lección.

• Intercambia el problema que planteaste en la actividad inicial con el de un compañero y comprueba que pueda resolverse con la ecuación propuesta.3


de nuevoel reto

3

36 12

sí

A 1.25 km

5


Juegos y retos

194

Círculos y figuras inscritas en círculos

a) ¿Quécírculorojoesmásgrande?

b) Doblauncírculodepapelporlamitaddosveces,trazaunalíneapunteadacomolaquesemuestraenlafotografía.

Recortaporlalíneapunteadaydesdoblaelpa-pel.¿Quéfiguraes?¿Cómopuedescomprobarquesetratadeesafigura?


195

c) Efectúalossiguientesdoblecesyrecortesconotrocírculodepapel.

i) Doblaelcírculoporlamitad.

ii) Desdoblaelcírculoyvuelveadoblarloporlamitaddeformadistinta.

iii) Desdoblayrecortaporlaslíneaspunteadasquesemuestranenlafotografía.

¿Quéfiguraseformó?¿Cómopuedescomprobarquesetratadeesafigura?

d) Elaborauntriángulodepapel.

i) Doblaelcírculoporlamitad.

ii) Desdoblaelcírculoyvuelveadoblarloporlamitaddeformadistinta.

iii) Desdoblayrecortaporlaslíneaspunteadas.

Segúnlamedidadelosángulos,¿quétipodetriánguloobtuviste?

Hazconuncompañerolosiguiente.

a) Veanelprimerreto.Proponganmanerasparacomparareltamañodeloscírculossincalcarlosnisuperponerlos.

b) Comparenlasfigurasdepapelqueobtuvieronenelincisob).Determinensilosdo-blecesyloscortesfueronhechoscorrectamente.

c) Comparen las figuras de papel que obtuvieron. Determinen si los dobleces y loscortesfueronhechoscorrectamente.Busquensemejanzasydiferenciasentresusfiguras.



196

Lección 69

PREGUNTA INICIAL

Ángulos en el círculo I

¿CuáleslarelaciónentrelasmedidasdelosángulosAyB?

1 Efectúa lo que se pide.

Enunteatrocircularsecolocarontresreflectores.Loanteriorserepresentaenlafigura,dondelospuntosA,ByCrepresentanlosreflectores;elpuntoO,elcentrodelcírculo;ylazonaazul,elescenario.Sedeseaquecadareflectorilumineexactamenteelescenariocompleto.Paraello,senecesitasaberenquéángulossedebeabrircadahazdeluz.

a) ElánguloquecorrespondealreflectordelpuntoByaestátrazado.Trazalosqueco-rrespondenalosdelospuntosAyC.Anotalamedidadelosángulosdecadareflector.

∡A = ∡B = ∡C =

b) Eligetrespuntos,D,EyF,dondetambiénsepuedancolocarreflectores.Trazalosánguloscorrespondientesymídelos.

∡D = ∡E = ∡F =

c) Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.¿Quéobservas?

d) Supónquesecolocaráunreflectorenelcentrodelcírculo.Trazaelánguloqueco-rrespondeymídelo.

∡O=

e) ¿CuáleslarelaciónentreelánguloOylosotros?

A

B

Losángulos inscritostienenelvérticesobrelacircunferenciaysusladossoncuerdas.Lossiguientessonángulosinscritos.

Observaquecadaánguloinscritoabarcaunarco.Unarcoesunapartedelacircun-ferencialimitadaentredospuntosdelamisma.Enlasfiguras,losarcosqueabarcacadaánguloinscritoseseñalanconrojo.

A

B

C

O

30° 30° 30°

30° 30° 30°

R.T.Quelamedidadetodoslosángulosesigual.

60°

Mideeldoble.


197

Eje:Forma,espacioymedidaTema:Medida

2 Efectúa lo siguiente en tu cuaderno.

a) Trazatrescircunferencias.Encadaunamarcaunángulocentral.b) Encadacircunferenciatrazaunánguloinscritoqueabarqueelmismoarcoqueel

ángulocentralquemarcaste.c) Midelosángulosyanótalosenlatabla.

Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3Ángulo centralÁngulo inscrito

d) ¿Quérelaciónhayentrelosánguloscentralesylosinscritosdecadacircunferencia?Explica.

e) Compara,conayudadelprofesor,tusrespuestasdelosincisosc)yd)conlasdetuscompañeros.Obtenganunaconclusión.

3 Determina el ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la conclusión de la actividad anterior.

a) b) c)

∡A= ∡A= ∡A=

d) e) f)

∡A= ∡A= ∡A=

• Compruebatusrespuestasmidiendocontransportador.Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.

4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial en grupo.

Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones

Unángulo centraldeunacircunferen-ciaesaquelcuyovérticeeselcentrodelamisma.Unángulocentraltam-biénabarcaunarcodecircunferencia.

Unánguloinscritoyunángulocentralpuedenabarcarelmis-moarcodecircunferencia.

A

70°

A

280°

60°

A45°

A

220°

A

150°

A

R.T.

90° 70° 120° 45° 35° 60°

35° 120° 110°

140° 90° 75°


198

Lección 70

PREGUNTA INICIAL

Ángulos en el círculo II

¿CuáleslarelaciónentrelasmedidasdeAyB?


El∠αeselánguloexteriordeltriángulo.

Observaqueel∠αyel∠ACBsonsuplementarios.Esdecir,susmedidassuman180°.

a) Explicaporqué∡αesigualalasumadelosotrosángulosdeltriángulo:∡α=∡CAB + ∡ABC.

b) ¿Loanterioresválidoparacualquiertriángulo?

2 Traza tres circunferencias en tu cuaderno y efectúa lo siguiente.

a) Enlaprimera,trazaunángulo inscritoquetengadentroelcentrodelacircunfe-rencia.Despuéstrazaelángulocentralquedeterminaelmismoarco.

b) Enlasegunda,trazaunángulo inscritodemaneraqueelcentronoseencuentredentrodelmismo.

c) Enlatercera,trazaunánguloinscritodemaneraqueunodesusladospaseporelcentrodelacircunferencia.

d) Revisacondosotrescompañerosquetustrazoscumplanlascondicionespedidas.

3 Trabaja en equipo. Examinen la figura y contesten.

a) Observenelánguloinscrito∠ACB.¿Dóndeestáelcentrodela

circunferenciaconrespectoaesteángulo?

b) ¿Cuáleselángulocentralquedeterminaelmismoarcoque

∠ACB?

c) ObservenlosladosdeltriánguloAOC.Expliquenporquéesuntriánguloisósceles.

d) Usenelresultadodelaactividad1paraexplicarporqué2∡ACB = ∡BOA.

A B

Recuerda

Losángulosinterioresdeuntriángulosuman180°.

A

B C

α

A

CO

B

R.T.Porquelosángulosinterioresdeuntriángulosuman180°.Lasumade∡ACB+∡CAB+∡ABdan180°;entonces,el∡αesiguala∡CAB+∡ABC.

R.T.Sí.

Estáenun

ladodelángulo.

El∠AOB.

R.T.PorquelosladosOAyOCmidenlomismo,yaquesonradiosdelcírculo.

R.T.Porque∡ACB+∡OACesiguala∡BOA,pero∡OAC=∡ACBporser

ángulosdeuntriánguloisósceles,entonces2∡ACB=∡BOA.


199



4 Trabaja con un compañero. Contesten en sus cuadernos.

Observenque∠ABCesinscritoyelcentrodelacircun-ferenciaestádentrodeél.Tambiénnotenqueelángulocentralqueabarcaelmismoarcoes∠AOC.

a) ∡AOCsepuedeexpresarcomolasumadedosángu-loscentrales.¿Cuáles?

b) ∡ABC sepuedeexpresarcomo lasumadedosángulos inscritos.Además,estostienenunladosobreelcentrodelacircunferencia.¿Cuálesson?

c) Escribanensuscuadernos,conbaseenloanterioryelresultadodelaactividad3,porqué∡AOC=2∡ABC.

Identifiquenelángulocentralqueabarcaelmismoarcoque∠ABC.Observenquesumedidapuedeexpresarsecomolarestade∡DOAy∡DOC.Notenque∡ABCesigualalarestadedosángulosinscritosquetienenunladosobreelcentrodelacircunferencia.

d) Escribanensuscuadernos,conbaseenloanterioryelresultadodelaactividad3, porqué∡AOC=2∡ABC.

• Comparen,conayudadelprofesor,susrespuestas, incluyendolasdelapreguntainicial,conlasdesuscompañeros.

Siobservamoslaubicacióndeunánguloinscritoenunacircunferenciaconrespectoalcentrodelamisma,sepuedenpresentartrescasos.

Elcentroestásobreunladodelángulo.

Elcentroestádentrodelángulo.

Elcentroestáfueradelángulo.

Enlalecciónanteriorobservastequevariosánguloscentralesmideneldoblequeelinscritoqueabarcaelmismoarco.Enmatemáticasnoessuficientehacermuchasobservacionesparaobte-nerunaconclusiónodeterminarunapropiedad.Esnecesariodemostrarqueloquesediceesválidosiempre.

Enlaactividad3deestalección,sedemostróqueunánguloinscritomidelamitaddeloquemideelcentralqueabarcaelmismoarco.Peroestosolosehizoparacualquiercasoenqueelcentrodelacircunferenciaestésobreunladodeltriángulo.Elpropósitodelasiguienteactividadesqueobtengasunademostracióndelosotrosdos.

O

C

B

A

D

D

C

AO

B


200

Lección 71

PREGUNTA INICIAL

Ángulos en el círculo III

¿CuáleslasumadelosángulosAyB?

1 Traza cinco ángulos inscritos que abarquen el mismo arco que el ángulo central B y contesta.

a) ¿CuáleslamedidadelánguloB?

b) ¿Yladelosángulosquetrazaste? ¿Porqué?

2 Escribe la medida del ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la conclusión de la actividad anterior. Observa cuál es el arco del ángulo.

∡A= ∡A= ∡A=

Siunladodeuntriánguloinscritoenunacircunferenciacoincideconundiámetrodelamisma,entoncesesuntriángulorectángulo.

B

A

A

A

A B

180°

90° R.T.Porqueabarcanel

mismoarcoqueunángulocentralde180°.

90° 90° 90°


201




a) TrazaelsegmentoOP.b) LocalizaelpuntomediodeOPyllámaloM.c) TrazaunacircunferenciaconcentroenMquepaseporOyP.d) Lacircunferenciaquetrazasteintersecaalaotraendospuntos.LlámalosAyB.e) Explicaporqué∠PAOesrecto.Observaqueesunánguloinscritodelacircunferen-

ciaquetrazaste.

4 Explica en tu cuaderno por qué la figura del reto c) de la página 195 es un rectángulo y por qué el triángulo del reto d), un triángulo rectángulo.

5 Traza tangentes a la circunferencia que pasen por el punto P. Utiliza solo regla y compás. Ten en cuenta la actividad 3.

a) ¿Cuántastangentespudistetrazar?

6 Utiliza la actividad inicial para resolver el reto a) de la página 194.

7 Halla en grupo la respuesta correcta a la pregunta inicial.

Recuerda

Latangentedeunacircunferenciadebeserperpendicularalradioenelpuntodetangencia.

O

P

P

TIC

Enwww.e-sm.com.mx/matcom2-201hallarásunvideorelacionadoconestetema.Elaboraentucuadernouninformeconlomásimportantedelmismo.

M

A

B

R.T.Porqueesunánguloinscritoqueintersecaelmismoarco

queelángulocentralOMP,elcualmide180°.

Dos.


Juegos y retos

202

Gráficas de línea

Lasfigurasrepresentancisternasconlasmedidasqueseindican.

Lascisternassellenanconllavescuyoflujoesconstante.Lasgráficassiguientesrela-cionaneltiempoconlaalturadelaguaencadacisterna.Anotaenelparéntesisaquétinacocorrespondecadauna.

6 dm

6 dm

6 dm

6 dm

a) b)

6 dm

9 dm

4 dm

9 dm

4 dm

6 dm

c)

altu

ra

( )

tiempo

altu

ra

( )

tiempo

altu

ra

( )

tiempo

altu

ra

( )

tiempo

a

b

c


203

Efectúalosiguienteparadeterminarquégráficacorrespondeacadacisterna.

i) Calculaelvolumendelascisternas.

a)V= dm3 b)V= dm3 c)V= dm3

ii) ¿Cuántoslitroscabenencadacisterna?

a) L b) L c) L

iii) Sisevierten12Ldeaguaencadacisterna,¿quéalturaalcanzaellíquido?

a) dm b) dm c) dm

iv) ¿Cuántoslitrosdeaguasedebenverterparaquesellenenhastaunaalturade3dm?

a) L b) L c) L

v) ¿Cuálcisternatienemayorsuperficieenlabase?___________________________

vi) ¿Cómoeslarelaciónentrelaalturadelaguaenlacisternayeltiempoquetardaenllenarse

conrespectoalasotrasdoscisternas.Explicaturespuesta.______________________

_____________________________________________________________________

vii)¿Cómosereflejaestoenlastresgráficasqueseleccionaste?__________________

_____________________________________________________________________

Explicaentucuadernocómoseleccionastelagráficaquecorrespondeacadatinaco.

• Comparatusresultadosylasjustificacionesconlasdetuscompañeros.Entretodosredactenunaconclusión.


( )

tiempo

altu

ra

( )

altu

ra

tiempo

216 216 216

216 216 216

0.3333 0.5 0.2222

108 72 162

Lacisternac).

R.T.Lastressellenanal

mismotiempo;perosilacisternaesmásalta,elaguasubemásrápido.

R.T.Entremásbaja

eslacisterna,elángulodelalíneaconelejehorizontalesmenor.


204

Lección 72

PREGUNTA INICIAL

Gráficas de proporcionalidad I

¿Cómoeslagráficadeunarelacióndeproporcionalidad?


Jaimetrabajaenunacasadecambioenelaeropuerto.Ahívendenmonedasdedistintospaíses.Elpreciodelasmonedasextranjerascambiadiario;laquemássevendeeseldólar.Jaimehizolasiguientetablaparasabercuántodebepagaralcomprardólares.Fuente:www.banxico.org.mx/portal-mercado-cambiario/index.html.Fechadeconsulta:5deoctubrede2012.

Dólares 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00Pesos 25.50 63.75 127.50 318.75 637.50 1275.00

a) Denotaconp lacantidaddepesosycond ladedólares,yescribeenlalíneauna

expresiónquelasrelacione.

b) ¿Latablaesdevariaciónproporcionaldirecta?

• Observalastablasparaotrasmonedas.

Euros 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00Pesos 33.04 82.60 165.20 413.00 826.00 1652.00

c) ¿Lastablasanterioressondevariaciónproporcionaldirecta?

d) Denotaconplacantidaddepesosyconeladeeuros,yescribeenlalíneaunaex-

presiónquelasrelacione.

Libras esterlinas 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00Pesos 41.54 103.85 207.70 519.25 1038.50 2077.00

e) Denotaconplacantidaddelospesosyconlladelibrasenunaexpresiónquelas

relacione.

f) ¿Enquéseparecentusexpresionesdelosincisosa),d)ye)?

Sidosvariables,xyy,serelacionandemaneradirectamenteproporcionalsecumpleque

y=kx,dondekesunconstante.

Esdecir,siseconoceelvalordex,elvalorcorrespondientedeysecalculamultiplicandoxpork.

Investigaenquépaíses se utili-zanloseurosylaslibrasester-linas.

p=12.75d

Sí.

Sí.

p=16.52e

p=20.77l

R.T.Enquetodas

consistenenunaconstantequemultiplicaalamonedaextranjera.


205

Eje:ManejodelainformaciónTema:Proporcionalidadyfunciones

Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano

2 En el plano cartesiano se graficaron los valores de la primera tabla de la página anterior. Elabora en el plano cartesiano las gráficas que relacionan los pesos con euros y con libras esterlinas. Utiliza colores distintos.

a) Compruebaquelasgráficasquetrazasteseanlíneasrectasquepasenporelpunto(0,0).Sinoesasí,revisatusresultadosycorrigetusgráficas.

b) ¿Cuállíneahaceunángulomayorconelejehorizontal?

c) ¿Ycuálhaceunángulomenor?

d) ¿Dequédependelainclinacióndelasrectas?

e) ¿Porquélasrectasdebenpasarporelpunto(0,0)?

Observa

Aunqueenlasgráficassoloserepresentansegmentosderecta,yaquenosepuedenrepresentarlasrectascompletasporquelalongituddeestasesinfinita,laspropiedadesqueseanalizanserefierenatodalarecta.

2 400

2 200

2 000

1 800

1 600

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

010 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Monedas extranjeras

(pesos / dólares)

Pes

os

Valores de los dólares, euros y libras esterlinas en pesos

(pesos/euros)

(pesos/libras)

Ladelaslibrasesterlinas

Ladelosdólares.

R.T.Delvalordelamonedaextranjera.

R.T.Porquepor0monedas

extranjerassepagan0pesos.


206

Lección 73

PREGUNTA INICIAL

Gráficas de proporcionalidad II

¿Todaslasgráficasquesonrectasrepresentanunarelacióndeproporcionalidad?

1 Lee el texto y observa la figura.

Unobjetoseencuentraa27mdelsuelo.Enciertomo-mento,empiezaaserjaladomedianteunamanivela.Porcadacincovueltasdelamanivela,elobjetosube1m.

a) Completalatablaconlaalturaquealcanzaelobjeto.

Vueltas 0 5 10 15 20 25Altura (m) 27 28

b) ¿Latablaesdevariaciónproporcionaldirecta?

c) ¿Aquéalturaseencontraráelobjetocuandolamaniveladésietevueltasymedia?

d) ¿Cuántasvueltastendríaquedarparaqueelobjetoseencontraraa40mdealtura?

e) Denotaconvelnúmerodevueltasycon hlaaltura.Anotaunaexpresiónalgebraica

querelacioneambasvariables.

f) Comprueba que los valores de la tabla cumplan tu regla de correspondencia delincisoanterior.Sinoesasí,revisatureglaytuscálculos.

g) Graficalosvaloresdelatablaenelplanocartesianodelasiguientepágina.

h) Consideraqueenlugardesubirelobjeto,lamanivelalobajara:cadacincovueltaselobjetodescendería1m.Completalatablacomoenelejemplo.

Vueltas 0 5 10 15 20 25Altura (m) 27

i) ¿Latablaanterioresdevariaciónproporcionaldirecta?

Laexpresiónalgebraicaquerelacionadosvariablesquepresentanunarelaciónfun-cional,sellamaregla de correspondencia.

29 30 31 32

No.

A28.5m

65vueltas.

h=

1

5v+27

26 25 24 23 22

No.


207

Eje:ManejodelainformaciónTema:Proporcionalidadyfunciones

Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano

j) Escribelaregladecorrespondenciadelatabladelincisoanteriorygrafícala.Utilizauncolordistintodelqueempleasteparalagráficaanterior.

k) Completalatabla.Supónqueelobjetoseencuentraenelsueloyempiezaasersu-bidoporlamanivela.

Vueltas 0 5 10 15 20 25Altura (m) 0

l) ¿Latablaesdevariaciónproporcionaldirecta? ¿Porqué?

m)Anotalaregladecorrespondenciadelatablaygrafícalaenelplanocartesiano.

2 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen, con ayuda del profesor, las características de una gráfica de una relación de proporcionalidad directa.

0

5

5 10 15 20 25

10

15

20

25

30

35

Altura de un objeto de la manivela

Vueltas

Alt

ura

1 2 3 4 5

Sí. R.T.Porquesi

sedividelaalturaentreelnúmerodevueltassiempreseobtieneunquinto.

h=

1

5v


208

Lección 74

PREGUNTA INICIAL

Variación lineal I

¿De qué depende el valor de y en la expresión y = 34x?

1 Analiza la situación y efectúa lo que se solicita.

a) Un tren recorre una ruta que inicia en Torreón, Coahuila, y termina en Jiménez, Chihuahua, haciendo parada en la estación de Gómez Palacio, Durango (a 10.2 km de Torreón). Después de pasar por esa estación, el tren avanza a una velocidad constante de 90 km/h hacia Jiménez. A los cinco minutos de haber salido de Gómez Palacio, ¿qué distancia lleva recorrida en total? ¿Y después de 15 minutos? ¿Y en 20 minutos? Completa la tabla y responde en tu cuaderno.

Tiempo (min) 0 1 2 5 10 15 20

Distancia (m) 10 200

i) ¿Cómo calculaste la distancia (en me-tros) que recorre el tren en un minuto?

ii) ¿Y la que recorre en 10 min?

iii) ¿Cómo calcularías la distancia total re-corrida por el tren a los 20.5 minutos de pasar por Gómez Palacio?

iv) ¿Por qué se indica en la tabla que el tren lleva recorridos 10 200 m en el tiempo 0?

v) Escribe una ecuación que permita obtener la distancia total en metros (d) que lleva recorrido el tren en la ruta Torreón-Jiménez. Representa con t el tiempo transcurrido (en minutos) desde que el tren pasa por Gómez Palacio.

d =

vi) Calcula con la ecuación anterior qué distancia lleva recorrida el tren a los 12 minutos de salir de Gómez Palacio.

Lleva recorridos m

Observa que a cada valor del tiempo le corresponde un valor único de la distancia.

Jiménez

Química El Rey

Escalón

El Oro

TORREÓNCadena

Gómez Palacio

10201.5 10203 10207.5 10215 10222.5 10230

10200+

3

2t

10218


209

Eje: Manejo de la informaciónTema: Proporcionalidad y funciones

Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b

b) Después de llegar a Jiménez, el tren se regresa con carga pesada hacia Torreón y nuevamente lleva velocidad constante. En la tabla se muestra la distancia que le falta por recorrer para llegar a Torreón. Complétala y anota en los óvalos cuánto se debe restar a la distancia anterior para obtener la siguiente.

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5

Distancia (km) 240.7 239.4 238.1 236.8 235.5

i) ¿Qué distancia recorrió en cada minuto?

ii) ¿A qué distancia se encontraba de Torreón 8 min después de iniciar el regreso?

iii) ¿Y 12 min después?

iv) ¿ Cuánto tardó en regresar a Torreón?

v) Escribe una ecuación para calcular cuántos kilómetros le faltan al tren para llegar a Torreón después de t minutos de emprender el regreso.

d =

2 Contesta.

a) Observa que en los problemas anteriores se proporcionaron datos como la velocidad del tren, la distancia deTorreón a Gómez Palacio y el tiempo de recorrido desde que salió de Gómez Palacio. ¿Cuáles son variables y cuáles constantes?

Datos constantes Datos variables

b) ¿Qué datos se pedía calcular en ambos problemas?

¿Estos datos son constantes o variables?


Una función es una relación de correspondencia entre dos variables, de manera que a cada valor de la primera le corresponde uno de la segunda.

− − − −−

242

1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

1.3km

Seencontrabaa231.6km

Seencontrabaa226.4km

3horas,6minutosy9segundos.

240−1.3t

LadistanciadeTorreónaJiménez.

LadistanciadeTorreónaGómezPalacio.

Lavelocidaddeltren.

Eltiempoenquerecorre

ciertasdistanciasdesdequesaledeGómezPalacio,yladistanciaparallegar

aTorreóndesdequesaledeJiménezendeterminadostiempos.

Sonvariables.


210

Lección 75

PREGUNTA INICIAL

Variación lineal II

Si y = 3 + 4x, ¿cómo cambia el valor de y cuando x aumenta una unidad?

1 Lee las situaciones y efectúa lo que se pide.

a) La gráfica muestra el estiramiento de un resorte al que se han colocado varios pesos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Pesos (kg)

i) Escribe de qué depende la longitud del resorte.

ii) ¿Cuánto se estira el resorte con una pesa de 1 kg?

iii) ¿Y con una de 2 kg?

iv) Anota cuánto se estira un resorte con una pesa de 10 kg.

v) Con base en lo anterior, completa la tabla.

vi) Escribe una ecuación que permita obtener la longitud del resorte a partir del peso. Denota con L la longitud del resorte y con p el peso que se coloca.

vii) Calcula con la expresión anterior la longitud del resorte con una pesa de 6.7 kg.

La longitud del resorte es de cm.

Peso (kg) 1 3 5 7 8 9 11 12Longitud del resorte (cm)

Long

itud

del r

esor

te (c

m)

323028262422201816141210

86420

Estiramiento del resorte según el peso que carga

Delpesoquecarga.

Seestira2cm

Seestira4cm

20cm.

10 14 18 22 24 26 30 32

L=8+2p

21.4


211


b) Un automóvil que circula a 60 km/h acelera de forma constante durante quince se-gundos. Anota en los óvalos de la tabla cuánto se debe sumar a cada velocidad para obtener la siguiente.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6

Velocidad (km/h) 60 62.9 65.8 68.7 71.6 74.5 77.4

i) ¿Cuánto aumenta la velocidad cada segundo?

ii) ¿Cuál es la velocidad del automóvil a los 12 s de empezar a acelerar?

iii) ¿Y a los 15 s?

iv) Escribe una ecuación para calcular la velocidad del automóvil (V) en el tiempo t.

V =

c) Un camión circula a 90 km/h. El conductor frena y la velocidad disminuye de manera constante 7.5 km/h cada segundo. ¿Qué velocidad tendrá el camión tras un segundo de haber frenado? ¿Y después de 5 s? Completa la tabla y contesta.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 6 8 10 12

Velocidad (km/h) 90

i) ¿Cuál es la velocidad del camión a los 3.5 s después de frenar?

ii) ¿Y a los 4.2 s de frenar?

iii) Escribe una ecuación que permita determinar la velocidad del camión (V) en el tiempo t.

V =

2 Grafica en tu cuaderno las situaciones de los incisos b) y c) de la actividad anterior.

3 Compara tus respuestas de esta lección con las de tres o cuatro compañeros. Corrijan las que no sean correctas. En el caso de las ecuaciones consideren que pueden estar escritas de distinta forma pero ser equivalentes.



+ + + + + + 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9

Aumenta2.9km/h

94.8km/h

103.5km/h

60+2.9t

82.5 75 67.5 60 45 30 15 0

63.75km/h

58.5km/h

90−7.5t


212

Lección 76

PREGUNTA INICIAL

Variación lineal III

¿Cuál es la regla de correspondencia de la siguiente sucesión? 2, 7, 12, 17, 22, 27, …

1 Resuelve los siguientes problemas.

a) A nivel del mar el agua hierve a 100 °C. A esta temperatura se le llama punto de ebu-llición. Cuando la altitud cambia, el punto de ebullición también lo hace de acuerdo con la ecuación

t = 100 − 0.001h,

donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados y h, la altitud en metros.

i) Anota el punto de ebullición del agua en los siguientes lugares; la altitud aparece entre paréntesis.

Pico de Orizaba (5 747 m) Monterrey (537 m) Monte Éverest (8 848 m)

ii) A mayor altitud, ¿el punto de ebullición aumenta o disminuye?

iii) ¿Cuántos grados varía el punto de ebullición por cada metro de altitud?

iv) ¿De qué depende el punto de ebullición del agua?

v) ¿Cuántos valores de punto de ebullición le corresponden a una altitud?

b) Un antropólogo puede estimar la estatura de un hombre conociendo la medida de su húmero con la ecuación

H = 2.89h + 78.1,

donde H es la estatura y h, la longitud del húmero (ambas en centímetros).

i) Completa la tabla.

h 28 29 30 31 32 33 34 35 36H 159.02

ii) La longitud de dos húmeros difiere 1 cm. ¿Por cuánto difieren las estaturas?

El húmero es el hueso del brazo entre el hombro y el codo (se mues-tra resaltado en la fotografía).

94.253∙ 99.463∙ 91.152∙

Disminuye.

0.001∙

Delaaltura.

Solo

uno.

161.91 164.8 167.69 170.58 173.47 176.36 179.25 182.14

Difierenpor2.89cm


213



• Un antropólogo hizo la siguiente tabla de estaturas, pero en lugar de sumar 78.1 empleó 78 como aproximación, es decir, aplicó la fórmula H = 2.89h + 78. Completa la tabla.

h 28 29 30 31 32 33 34 35 36H 158.92

iii) Analiza con un compañero la diferencia entre los valores de esta tabla y los de la que se elaboró con la fórmula original. Escriban sus conclusiones.

• Otro antropólogo hizo la siguiente tabla, pero usó 3 como aproximación de 2.89, es decir, aplicó la fórmula H = 3h + 78.1. Completen la tabla.

h 28 29 30 31 32 33 34 35 36H 162.1

iv) Analiza con un compañero cómo cambia esta tabla con respecto a la de la fórmula original. Expresen sus conclusiones.

c) La siguiente tabla relaciona la estatura de las mujeres (M) en centímetros con la longitud de su húmero; se elaboró con una fórmula similar a la de la estatura de los hombres. Analicen la fórmula y anótenla.

h 27 28 29 30 31 32 33 34M 148.67 151.56 154.45 157.34 160.23 163.12 166.01 168.9

M =

2 Revisa los incisos a), b) y c) de página 167.

3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen si la regla de correspondencia es de la forma y = mx + b.

Las funciones, que se estudiaron en esta lección, como t = 100 − 0.001h y H = 2.89h + 78.1 son de la forma y = mx + b.

Las siguientes funciones son de la forma y = mx + b. Observa que se utilizan distintas literales para denotar las variables.

y = 3x + 2 z = 3f + 4 z = −5x + 3 y = −9s − 5

En el bloque 5 se estudiarán con más profundidad este tipo de funciones.

161.81 164.7 167.59 170.48 173.37 176.26 179.15 182.04

R.T.Losvaloresdelasestaturasempiezanenunnúmerodistinto,perola

diferenciaes2.89entrecadauna.

165.1 168.1 171.1 174.1 177.1 180.1 183.1 186.1

R.T.Losvaloresdelasestaturasempiezanenotrovalor,peroladiferencia

es3entrecadauna.

2.89h+70.64


214

Lección 77

PREGUNTA INICIAL

Media ponderada

El maestro de Matemáticas de Javier califica con un examen y con tareas. Javier obtuvo 8 en el examen y 10 en tareas, y su promedio fue 7.5. ¿Qué valor se asigna a cada rubro?

1 Contesta.

Un maestro de Matemáticas califica teniendo en cuenta tres aspectos de acuerdo con esta escala.

Examen: 55% de la calificaciónTrabajo final: 25% de la calificaciónTareas: 20% de la calificación

a) Juan obtuvo las siguientes calificaciones.

i) Sin hacer cálculos, contesta: ¿cuál debe ser su promedio?

¿Por qué?

ii) Las calificaciones de tres alumnos son las siguientes.

iii) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio mayor?

¿Por qué?

iv) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio menor?

¿Por qué?

v) Si alguien obtiene 10 de calificación en el examen y 0 en los otros dos aspectos,

¿cuál es su promedio? ¿Cómo lo calculaste?

vi) Un alumno obtuvo 10 en un aspecto, pero 0 en los otros dos. Si su promedio fue

2, ¿en qué aspecto obtuvo 10? ¿Cómo lo sabes?

vii) ¿Cuál es el valor de cada aspecto de la calificación del examen en el promedio?

¿Por qué?

Examen Trabajo TareasAlumno 1 8 10 8Alumno 2 10 8 8Alumno 3 8 8 10

Examen Trabajo Tareas8 8 8

8

R.T.Porquetuvo8entodoslosrubros.

Elalumno2.

R.T.Porquelostrestienendos8yun10,peroéltuvola

calificaciónmásaltaenelrubroconmayorvalor,deacuerdoconlaescala.

Elalumno1.

R.T.Porquetuvo10enelrubroconmenorvalorenlaescala.

Es5.5 R.T.Elexamenvale

55%delacalificación,entoncesobtuvoel55%de10.

Entareas. R.T.Porque

elaspectovale20%de10,quees2.

5.5,2.5y2 R.T.Porqueeselporcentajede10que

correspondeacadauno.


215

Eje: Manejo de la informaciónTema: Análisis y representación de datos

Resolución de situaciones de medias ponderadas

viii) Calcula en tu cuaderno los promedios de los siguientes alumnos.

• Reúnete en equipo. Comparen sus respuestas del inciso a) y, si es necesario, corrijan sus errores. Comenten los procedimientos que usaron para calcular los promedios en el inciso viii) y redacten el que les parezca más eficiente en sus cuadernos. Después, compárenlo con el de los otros equipos y elijan el mejor con ayuda de su profesor.

2 Resuelve lo siguiente. Después compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) Se evaluó la calidad de cinco marcas de televisiones teniendo en cuenta cuatro aspectos: Duración (D), Calidad de imagen (I), Calidad de sonido (S) y Ahorro de ener-gía (A). Cada aspecto recibe una calificación de 1 a 10, pero corresponde a una parte de la calificación final de acuerdo con la siguiente escala.

D = 13 I = 16 S = 16 A = 13

• Completa la tabla.

D I S A PromedioMarca 1 7 7 7 7Marca 2 7 7 8 7.5Marca 3 8 8 10 8Marca 4 7 6 6 6

b) Un profesor califica con un examen oral y uno escrito. Si asigna 75% de la calificación

al examen escrito, ¿cuánto debe asignar al examen oral? ¿Por qué?

c) Roberto estudia con el profesor del inciso b) y obtuvo 7.5 de promedio. ¿Qué califica-

ciones pudo obtener en cada aspecto? Anota dos posibilidades.

3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Con la calculadora puedes darte cuenta de que hay una diferencia constante entre un término y el siguiente. Calcula cuál es esta diferencia.

La media ponderada de un conjunto de datos es un valor representativo de estos cuando no todos tienen la misma importancia; a cada uno se le asigna un valor llamado peso.

Por ejemplo: un profesor asigna calificaciones de esta forma: 80%, examen; 20% ta-reas. Entonces, el examen tiene un peso de 80%, o 0.8, y las tareas, de 20%, o 0.2.

Examen Trabajo Tareas PromedioAlumno 4 7 8 9Alumno 5 7 10 10Alumno 6 8 9 10Alumno 7 9 7 8Alumno 8 6 10 8

7.65

8.35

8.65

8.3

7.4

7

8

6

5

25% R.T.

Porquedebecubrir100%paraobtenerlacalificación.

R.T.7.5enambos

exámenes,o10enelexamenescritoy0eneloral.


216

TIC

Sucesiones con calculadora

Para generar sucesiones puedes usar una calculadora científica. Observa el siguiente ejemplo:

Supongamos que debes continuar la siguiente sucesión.

−7.004, −6.801, −6.598

Entonces, para continuar la serie debes restar esta diferencia al término anterior. Esto se hace fácilmente de la siguiente manera.

Teclea el número 6.598 y presiona la tecla +/- . En la pantalla aparece:

Oprime la tecla ∙ dos veces. Después teclea el número que es la diferencia que

calculaste y presiona las teclas +/- y ∙ .

En la pantalla se lee:

que es el siguiente término de la sucesión. Para calcular los siguientes solo necesitas

presionar la tecla ∙ .

• Escribe cuatro términos de una sucesión en tu cuaderno e intercámbialo con un compañero para que escriba otros diez términos usando la calculadora.

877 8 99

-6.598

877 8 99

-6.395


217

Matemáticas para la vida

Reúnete con un compañero. Respondan lo siguiente en sus cuadernos. 1. Observa los siguientes datos.

Estatura (m) Longitud del pie (m)

Longitud del paso de punta a punta (m)

Persona 1 1.63 0.266 0.506

Persona 2 1.78 0.29 0.552

Persona 3 1.86 0.304 0.578

Persona 4 1.58 0.258 0.49

Persona 5 1.65 0.269 0.512

a) Determinen una constante de proporcionalidad (k) y escriban una expresión de la forma y = mx para determinar la estatura de una persona si se conoce la longitud del pie. Hagan lo mismo para el caso en que se conozca la longitud de la huella.

b) Usen sus fórmulas para determinar la estatura de algunos compañeros conociendo la longitud de su pie y de sus pasos.

Las huellas de una persona

Es posible determinar la estatura de una persona si se conoce la longitud de su pie o de sus pasos. Estos datos pueden obtenerse, por ejemplo, de las huellas que una persona deja so-bre la arena.

Por medio del análisis de varios datos estadísticos, se ha descubierto que la estatura de una persona guarda una relación directamente proporcional con el tamaño de su pie y con la lon-gitud de sus pasos.


218

Evaluación

Subraya la respuesta correcta.

1 Cuál es la regla de la sucesión 3, 0, –3, –6, –9…

a) 3n + 6 b) 3n − 6

c) −3n + 6 d) −3n − 6

2 ¿Cuál es la solución de 4(x – 12) = 2?

a) −1 b) 1 c) 12 d) −12

3 Elena pensó un número, le restó un cuarto, multiplicó el resultado por 2 y sumó 5. Sergio pensó el mismo número que Elena, le restó un medio, multiplicó el resultado por 3, restó 6 y obtuvo el mismo resultado que Elena. ¿Qué número pensaron?

a) −10 b) −12 c) 12 d) 10

4 El triple de un número más la mitad del que le sigue da como resultado 18. ¿Cuál es el número?

a) 12 b) 1 c) 5 d) 18

5 ¿Qué ecuación es equivalente a 3x + 4 – 2x = 5 – 2x – 1

a) −x = −5 b) 3x = 0 c) 3x + 1 = 0 d) −3x + 1 = 0

6 ¿Qué afirmación es cierta?

a) El ángulo A mide la mitad que B.

b) El ángulo A mide el doble que B.

c) Los ángulos A y B miden lo mismo.

d) La suma de las medidas de A y B es 180°.

A B


219

7 ¿Qué gráfica corresponde a una función de la forma y = mx?

a) I

b) II

c) III

d) IV

8 Un automóvil consume un litro de gasolina por cada doce kilómetros recorridos. La capacidad del tanque es de 40 litros. Si se representa con y la cantidad de litros en el tanque y con x los kilómetros recorridos, ¿qué expresión relaciona x y y a partir del tanque lleno?

a) x = 40 − 112y b) y = 40 − 1

12x c) y = 40x d) y = 112x

9 En la tabla se registra la longitud de un resorte al que se le cuelgan distintos pesos.

Peso (kg) 1 2 3 4Longitud (cm) 13 16 19 21

Si l representa la longitud del resorte y p, el peso, ¿cuál es la fórmula que relaciona am-bas cantidades?

a) l = 3p b) p = 3l c) l = 3p + 10 d) p = 3l + 10

10 Un profesor de Matemáticas califica con un examen, tareas y una exposición. Elena obtuvo 4 en el examen, 9 en tareas y 10 en la exposición. Si obtuvo 5.5 de promedio, ¿qué afirmación es cierta?

a) La exposición tiene menos peso que los otros dos aspectos.

b) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos.

c) El examen tiene más peso que los otros dos aspectos juntos.

d) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos juntos.

I

II III

IV

X

Y


bloque 4

Education