bloque 2 geometria analitica en el plano · en el conjunto de vectores libres del plano al que...

APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 1

BLOQUE 2 :GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO.

Lección 1: Vectores.

1.-El conjunto R2

El conjunto R2 está formado por duplas del tipo (x,y) donde x,y son números

reales.

Dos elementos de R2 son iguales si tienen igual su primera y segunda componentes.

En R2 se definen las operaciones:

o Suma en R2: (x,y) +(x’,y’) =( x+x’,y+y’)

o Producto de un número real por un elemento de R2:a(x, y) = (ax, ay)

Los elementos de R2 se representan de forma cartesiana poniendo la 1ª coordenada

en el eje de abscisas y la 2ª coordenada en el eje de ordenadas.

2.- Vectores fijos en el plano

Def: Se llama VECTOR FIJO AB a un segmento orientado que tiene su origen en A y su

extremo en B.

Un vector fijo AB viene definido por cuatro características:

A

B

(a,b)

a

b


Módulo : Es lo que mide el vector. Se representa por | AB |

Dirección : Es la de la recta que pasa por A y B

Sentido : Es el recorrido de la recta desde A hasta B.

Origen : En este caso sería A.

Def : Se llaman vectores equipolentes a aquellos que tienen el mismo módulo, la misma

dirección y el mismo sentido.

Nota : Gráficamente dos vectores son equipolentes si al unir los extremos y los orígenes

aparece un paralelogramo.

3.- Vectores libres.

Def :Se llama vector libre a cada una de las clases de equivalencia en las que queda

clasificado el conjunto de vectores libres por la relación de equipolencia.

Nota : Un vector libre viene a ser como la flecha del ratón, es decir existe un representante

de cada vector en todos los puntos del plano.

4.- Operaciones con vectores:

En el conjunto de vectores libres del plano al que llamaremos V2 se definen las siguientes

operaciones:

1. Suma de vectores libres: Para sumar dos vectores libres se representa el primero y

con origen en el extremo de éste se dibuja el segundo. El vector suma es el que

tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del 2º.

v

u

u+v


2. Producto de un número real por un vector : El producto ku es otro vector que

tiene como:

a. Módulo: |k||u|

b. Dirección: La misma que la de u .

c. Sentido: El mismo que u si k >0 y el opuesto si k<0.

5.- Base .Base canónica .Coordenadas de un vector .

Def : Se llama BASE de V2 a dos vectores no nulos y no proporcionales. La más

importante es la base canónica { i , j} que son dos vectores perpendiculares de módulo

unidad :Sus componentes son i (1,0), j ( 0,1).

Def : Se llama COORDENADAS de un vector w respecto de una base { i , j } a los

números x, y que cumplen que w = x i + y j

u

-0,5 u

2u

X

Y

i

j

X

Y

i

j

w

xi

yj


6.-Producto escalar de dos vectores libres

Def: Se llama producto escalar de dos vectores u y v al resultado de la siguiente operación:

u v u v cos(u,v) si u ,v son no nulos

0 si u ,v son nulos .

Nota : Si la base utilizada es la canónica { i , j } el producto escalar del vector u ( x, y ) por

el vector v ( x’ , y’ ) se calcula u v = xx’ + yy’.

7.-Módulo de un vector . Ángulo de dos vectores

Ya sabemos que el módulo de un vector representa lo que dicho vector mide, pero para

calcularlo basta aplicar el teorema de Pitágoras. Es decir el módulo del vector u(x,y) se

calcula como u x2 y2

Def : Se llama vector unitario a aquel cuyo módulo es 1 .

Nota :Para conseguir un vector unitario en la dirección y sentido de otro dado basta dividir

por su módulo .

Ejemplo: Dado el vector u ( -3,4), hallar un vector en la dirección y sentido de u que sea

unitario .

Hallamos el módulo de u , u ( 3)2 42 25 5 El vector unitario es

3

5,4

5

Del mismo modo resulta sencillo calcular el ángulo de dos vectores sin más que despejar de

la definición de producto escalar .En efecto : cos(u ,v )u v

u v

Def : Dos vectores u y v se dicen ortogonales si el ángulo que forman es de 90º o

equivalentemente si su producto escalar es 0 .

Nota : Para hallar un vector ortogonal o perpendicular a uno dado basta cambiar las dos

componentes de orden y a una de ellas cambiarla de signo .

Ejemplo : Hallar un vector perpendicular a u ( 2,3 ) . Sería (-3,2)

u(x,y)

x

y


2.- Ecuación de la recta

1.Sistemas de referencia .Vector de Posición

Def : Se llama SISTEMA DE REFERENCIA al conjunto

formado por { P, u, v} donde P es un punto y {u , v } es una

base de V2.

Nota : En nuestro caso el sistema de referencia estará

formado por {O, i

, j

} donde O (0,0) i

(1,0) , j

( 0,1 )

Def : Se llama VECTOR DE POSICIÓN del punto X a

x

que es el vector que une el origen con X .

Nota : Las componentes del vector x

coinciden con las

coordenadas del punto X .

2.Componentes de un vector dados por dos puntos

Sabemos dos puntos A y B ( que supondremos

distintos de O)

1) Trazamos los vectores de posición a

y b

2) De la figura se deduce que :

a AB b AB b a

3) Entonces si A(x1, y1) , B ( x2,y2 ) entonces a

(x1,

y1) , b

( x2,y2 ).Sustituyendo : AB = (x2-x1,y2-y1)

Nota : Nos referiremos a esta fórmula como extremo – origen .

Ejemplo : Hallar el vector determinado por los puntos A( 1,3) y B( 2, -6)

AB = ( 2,-6) – ( 1,3) = ( 1,-9)

3.-Coordenadas del punto medio

Suponiendo que sabemos las coordenadas de los extremos de un segmento A(x1, y1) , B(

x2,y2 ) vamos a hallar las coordenadas del punto medio M(xm, ym)

Las coordenadas de M serán las mismas que

las del vector m

O

X

x

a

b

A

B

a

b

A

B M

m


Del dibujo : m a AM

Pero como: AM

1

2AB

Pasamos a coordenadas : (xm, ym)=( x1, y1)+ 1

2( x2-x1,y2-y1)

Con lo que queda tras operar e igualar componente a componente

: xm

x1 x2

2,ym

y1 y2

2

Ejemplo : Dados A(3,-6) ,B(5,8) ,hallar las coordenadas del punto medio del

segmento AB

M

3 5

2,-6 8

24,1

Nota: Para hallar otro punto notable de un segmento ,por ejemplo los que dividen

en tres partes iguales P y Q , lo que habría que hacer es repetir este mismo proceso

cambiando que AP

1

3AB y

AQ

2

3AB

4. Ecuación de la recta en forma vectorial ,paramétrica,

continua , implícita y explícita

Def : Se llama DETERMINACIÓN LINEAL de una recta al conjunto formado por a y u

donde A es un punto de la recta y u es un vector que tiene la misma dirección que la recta.

Entonces :

X r si AX = tu

X r si AX tu

Del dibujo deducimos que :

x a AX SUST a tu y de aquí

aparece la llamada ECUACIÓN

VECTORIAL x a tu con t R

Si tomamos la base canónica :A(x1, y1) , X ( x,y ) entonces a

(x1, y1) , x ( x,y ) y

u (a,b), sustituyendo (x,y) = (x1, y1)+t(a,b). Multiplicando , sumamos , igualamos y

queda :

x x1 ta

y y1 tb ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

Ahora despejamos la t en ambas ecuaciones e igualamos :

A

X

u

a x


tx x1

a

ty y1

b

x x1

a

y y1

b ECUACIÓN CONTINUA

Ahora vamos a obtener la ecuación implícita .Para ello multiplicamos en cruz y pasamos

todo al primer miembro.

bx –bx1 = ay –ay1 bx –ay + ay1-bx1 .Llamamos b =A , -a = B , ay1-bx1 = C quedándonos

Ax +By +C =0 ECUACIÓN GENERAL o IMPLÍCITA.

De la implícita se pasa a la explícita despejando la y .

By =-Ax –C y

A

Bx

C

B.Renombramos y llamamos a

A

B= m PENDIENTE

C

Bn ORDENADA EN EL ORIGEN

y = mx+n. ECUACIÓN EXPLÍCITA

5. Interpretación geométrica de la pendiente (m) y de la

ordenada en el origen (n)

Def : Se llama PENDIENTE de una recta a

la tangente del ángulo que forma dicha recta

con el eje OX.

m=tg =

A

B=

b

a

Def : Se llama ORDENADA EN EL

ORIGEN a la altura a la que la recta (si lo

hace) corta al eje OY.

En efecto si x= 0 ,entonces y = m*0 *n = n

6.Otras ecuaciones de la recta

1) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR

DOS PUNTOS

r

n

r

Mediante el vector director

Mediante el

vector normal

A

B


Dos puntos determinan una recta cuya

determinación lineal sería

Punto A ó B

Vector AB

Entonces si A(x1, y1) , B ( x2,y2 ) , AB = (x2-x1,y2-y1),sustituyendo en la ecuación

continua

x x1

x2 x1

y y1

y2 y1

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS

PUNTOS

2) ECUACIÓN SEGMENTARIA ó CANÓNICA

Esta ecuación es útil para problemas de triángulos :si

conocemos los puntos de corte de una recta con los

ejes A(a,0) y B(0,b) ,aplicando la ecuación de la recta

que pasa por dos puntos quedaría :

x a

0 a

y 0

b 0

x a

a

y

b

x

a

y

b1

3)ECUACIÓN EN FORMA PUNTO PENDIENTE

Partiendo de la ecuación continua

x x1

a

y y1

b ,pasamos b al primer miembro: (y

– y1)=

b

a(x- x1) si recordamos que

b

a=m nos queda : (y – y1)= m(x- x1)

7.Ecuación normal de la recta

Def: Se llama DETERMINACIÓN NORMAL de la recta al conjunto formado por A y n

Donde A es un punto de la recta y n es un vector perpendicular a la misma que se llama

vector normal.

Entonces

X r si AX n

X r si AX no es n .

AX n equivale a decir que

AX n = 0 (x - a ) n = 0

Si tomamos la base canónica :A(x1,

y1) , X ( x,y ) entonces a

(x1, y1) , x (

x,y ) y n (a,b), nos queda

A

B

A

X

n

a x


(x-x1, y- y1)(A,B)=0 es decir A(x-x1)

+ B(y-y1)=0

Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2) y es

perpendicular al vector n ( 3, 4 ) .

La ecuación sería 3x+4y +K =0 , sustituyendo el punto A: 3*1 +4*2 +K =0 , K = -

11 y la recta es : 3x+4y-11=0 .

8. Haces de rectas

A.-HAZ DE RECTAS SECANTES :Es el conjunto de infinitas rectas que pasan por un

punto .Su ecuación es : (y – y1)= m(x- x1)

Ejemplo : Escribir la ecuación de todas las rectas que pasan por A(4,3) .

(y – 3)= m(x- 4)

B.-HAZ DE RECTAS PARALELAS: Es el conjunto de infinitas rectas paralelas a una

dada .Si la recta es Ax+By+C=0 , su ecuación es Ax+By +K = 0 con K C.

Ejemplo : Hallar la ecuación de todas las rectas paralelas a 2x+5y -119 =0 .

La ecuación es 2x + 5y + K =0 con K -119.

9.- Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Dos rectas en el plano pueden ocupar tres posiciones:

La posición relativa de dos rectas se puede averiguar mediante :

A.-SISTEMAS DE ECUACIONES :

Según el nº de soluciones los sistemas se clasifican en

1) Compatibles determinados: (S.C.D) 1 solución Rectas secantes

r

s

r , s

r

s

Secantes (1 pto en común)

(mr ms)

Coincidentes (∞ ptos en común) (mr=ms), (nr=ns)

Paralelas (0 ptos en común)

(mr=ms), (nr ns)


Ejemplo:

r : 2x y 5

s : x y 3 .La única solución es x=2, y=1.

2) Compatibles indeterminados:(S.C.I) ∞ soluciones Rectas coincidentes.

Ejemplo:

r : 2x 2y 6

s : x y 3 . Soluciones x=3, y=0. x=2,y=1. x=1,y=2………

3)Incompatibles : (S.I) 0 soluciones Rectas paralelas.

Ejemplo:

r : x y 6

s : x y 3 . Dos números no pueden sumar a la vez 3 y 6 .

B.- LA PENDIENTE Y LA ORDENADA EN EL ORIGEN

Dadas dos rectas r : Ax +By +C =0 mr

A

B,nr

C

B

s: A’x +B’y +C’ =0 B’

C’n,

B’

A’m ss Entonces :

1.- Dos rectas son secantes, entonces: B’

B

A’

Amm sr

Demo : mr m s

-A

B

-A'

B'

-A

-A'

B

B'

A

A'

B

B'

Ejemplo:

r : 2x y 5

s : x y 3

2

1

1

1Rectas secantes.

2.- Dos rectas son paralelas entonces:

mr m s

nr n s

A

A'

B

B'

C

C'

Demo : mr m s igual

A

A'

B

B'

nr ns igual

B

B'

C

C'

Ejemplo:

r : x y 5

s : x y 3

1

1

1

1

5

3Rectas paralelas

3.- Dos rectas son coincidentes. entonces:

mr m s

nr n s

A

A'

B

B'

C

C'

Demo : mr m s igual

A

A'

B

B'

nr ns igual

B

B'

C

C'


Ejemplo:

r : 2x 2y 6

s : x y 3

2

1

2

1

6

3Rectas coincidentes.


3.Problemas métricos

1.-Nota previa

Todos los conceptos relacionados con distancias , ángulos .. se denominan EUCLIDEOS y

tienen como germen la existencia de un producto escalar

Así mediremos ángulos con:

Y distancias con la definición de módulo:

2.-Ángulo de dos rectas

DEF :Se llama ángulo de dos rectas secantes al menor de los ángulos que se forman

NOTA :Si las rectas son paralelas o coincidentes , el ángulo es 0.

CONSECUENCIA : El ángulo de dos rectas secantes puede variar entre 0 y 90 ( 0 y /2

rad)

Podemos calcularlo de tres maneras:

1) MEDIANTE LOS VECTORES DIRECTORES

2) MEDIANTE LOS VECTORES NORMALES .Para ello basta pensar en como pasar de

un vector director a uno normal

3) MEDIANTE LAS PENDIENTES


El ángulo que forman las dos rectas es a-b pero como mr=tg y ms= tg queda:

sr

sr

mm

mm

tgtg

tgtgtg

11

CONSECUENCIAS : Si dos rectas son paralelas , su ángulo es 0 , por tanto el numerador

debe ser 0 . ( esto ya lo sabiamos) .

Si dos rectas son perpendiculares , como la

tg90º=

3.-Distancia entre dos puntos

Def: Se llama distancia entre dos puntos A y B al módulo del vector .Por tanto

:

4.-Distancia de un punto a una recta


Def: La distancia de un punto a una recta es la existente entre dicho punto y su proyección

ortogonal. Es decir, d(A,r) = d(A,A´)= ´AA

Esta distancia se puede obtener calculando el punto

A´ , pero la fórmula que la permite calcular es :

D(A,r ) = 22

11

BA

CByAx

CONSECUENCIAS:

1. Cálculo de simétricos respecto de una recta

a. Calculamos el punto A´ ( proyección ortogonal de A sobre r

b. A´es el punto medio entre A y su simétrico A ´´

2. Distancia entre dos rectas paralelas:

a. Es la distancia de un punto de una de ellas a la otra .Es decir

d(r,s) = d( Ar ,s) = d(As,r).

b. Existe una fórmula que calcula directamente la distancia pero

sólo se puede usar si los coeficientes A y A´ y B y B´ son

IGUALES . Dicha fórmula es d(r,s)= 22

´

BA

CC

5.- Triángulos

En cualquier triángulo hay cuatro rectas notables:

ALTURA: Parte del vértice y es perpendicular al lado

opuesta .Se cortan en el ORTOCENTRO.

BISECTRIZ: Divide al ángulo en dos partes iguales .Se

cortan en el INCENTRO .


MEDIANA: Une el vértice con el punto medio del lado opuesto

.Se cortan en el BARICENTRO. G3

,3

321321 yyyxxx

MEDIATRIZ: es la perpendicular en el punto medio de

cada lado. se cortan en el CIRCUNCENTRO

Nota : El resto de puntos notables se calculan obteniendo dos de ellos y resolviendo el

sistema

Modo de cálculo :

ALTURA : Se halla el vector perpendicular al lado AB y se calcula la ecuación de la

recta que pasa por el punto C

BISECTRIZ : se calculan los puntos que cumplen que d(P,r)= d(P,s)

MEDIANA: Hallamos el punto medio de AB (M) y hallamos la recta que pasa por

M y C

MEDIATRIZ : Hallamos el punto medio y calculamos la recta perpendicular al

lado AB que pasa por ese punto medio


4.-Lugares geométricos.

Cónicas

1.- Lugares geométricos

Def : Se llama LUGAR GEOMÉTRICO aun conjunto de puntos que cumplen una

determinada condición

Ejemplos : El lugar geométrico de los puntos del plano cuya

Distancia a A sea igual a B →mediatriz

Distancia al punto C sea r →circunferencia de centro C y radio r

Distancia a la recta r sea igual a la recta s →Bisectriz

Nota : Aplicando esta definición podemos obtener la ecuación

Ejemplo : Conjunto de puntos cuya distancia a A(2,1) sea igual que la distancia a B(6,4)

Sea P(x,y) →d(P,A)=d(P,B)

→

047y6x8y816yx1236x

y21yx44xy816yx1236x

y21yx44x4y6x1y2x

22

2222

222222

miembroprimer al todo Pasamos

cuadradoal Elevando

Que es la ecuación de la recta mediatriz de AB

2.- Cónicas

Def : Es el corte de un plano con una superficie cónica

Def: Una superficie cónica es el resultado de girar una recta móvil llamada generatriz

en torno a una fija llamada eje

NOTA : Si el plano no pasa por el vértice aparecen las llamadas cónicas no

degeneradas que son :

1. Circunferencia

2. Elipse

3. Hipérbola

4. Parábola


3. La circunferencia Def :Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto llamado

CENTRO es constante e igual a r

Es decir, se cumple : d( P,C)=r → cuadradoal elevandorbyax22

222rbyax

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(2,3) y radio 5

222532 yx

Expresión analítica :

Si desarrollamos 022

22

22222

22222222

rbabyaxyx

rbybyaxaxrbyax

22 rb2aF-2b,E-2a,D LLAMAMOS

022 FEyDxyx

¿Cómo pasar de una ecuación a otra?

Hemos visto que : D=-2a , E = -2 b , por tanto a= -D/2 , b = -E/2 . Es decir el centro es

C( -D/2 , - E/2)

También que 22 rb2aF , con lo que r

= FEDFED

Fba 42

1

44

2222

22

Def: Se llama potencia de un punto respecto de una

circunferencia al producto escalar PBPA siendo A

y B los puntos en los que la recta corta a la

circunferencia

Propiedad : PotC(P)=

PBPA == ´´ PBPA = '''' PBPA =CTE

Expresión analítica

Sea la circunferencia de centro C( a, b) y radio r y

P(x0,y0) un punto cualquiera .Trazamos una secante

que pase por C y P

Entonces Pot C(P) = PA PB = ( d-r)( d+r) = d2-r2 =


(x0 –a)2 + ( y0 – b)2 – r 2

Conclusión : Para calcular la potencia de un punto se sustituye el punto en la

circunferencia

Ejemplo : Halla la potencia del punto P(5,1) respecto de la circunferencia C : x2 + y2 -

3x+5y-3=0

Pot C(P) = 25+1-15+5-3= 13>0

Nota : La potencia indica si el punto está dentro , en o fuera de la circunferencia

Si Pot C(P) >0 →Punto exterior a C

Si Pot C(P) =0 →Punto pert a C

Si Pot C(P) <0 →Punto interior a C

Def : Se llama Eje radical al conjunto de puntos con igual potencia de dos circunferencias

Es decir : Pot C(P) = Pot C’ (P) .Se calcula restando las ecuaciones de las dos circunferencias

Ejemplo : Hallar el eje radical de C1 : x2 + y2 +3x-y-2=0 y C2: x

2 + y2 -2x+5y-3=0

Pot C(P) = Pot C’ (P) x2 + y2 +3x-y-2=x2 + y2 -2x+5y-3→5x-6y+1=0

Def : Se llama centro radical al punto que tiene igual potencia de tres circunferencias

Se calculan primero dos ejes radicales y luego se obtiene su punto de corte

POSICIONES RELATIVAS

1) DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA


2) DE DOS

CIRCUNFERENCIAS


4.-La elipse : Def : Es el lugar geométrico de los puntos del plano

cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos

es constante e igual a 2a

d(P.F) + d(P,F’ ) = 2a

A la distancia entre los focos se llama

distancia focal y se designa por 2c

Al eje focal (mayor) se le designa 2a

Al eje no focal (menor) , 2b

La excentricidad : e = 1a

c


Suponiendo el eje focal horizontal y el centro de la elipse en (0,0)

d(P.F) + d(P,F’ ) = 2a aycxycx 22222 .Elevando dos veces al

cuadrado y dividiendo entre a2b2 se obtiene la ecuación

de la elipse , que es : 12

2

2

2

b

y

a

x

Relaciones entre los elementos

Se cumple que : a2 = b2 +c2

OTROS CASOS DE LA ECUACIÓN DE LA

ELIPSE

Eje focal horizontal y centro en ( , ) :

12

2

2

2

b

y

a

x

Eje focal vertical y centro en (0,0) : 12

2

2

2

b

x

a

y

Eje focal vertical y centro en ( , ) :

12

2

2

2

b

x

a

y


5.-La hipérbola : Def : Es el lugar geométrico de los puntos del plano

cuya resta de distancias a dos puntos llamados focos es

constante e igual a 2a

|d(P.F) - d(P,F’ ) |= 2a

A la distancia entre los focos se llama distancia

focal y se designa por 2c

Al eje focal se le designa 2a

Al eje no focal , 2b

La excentricidad : e = 1a

c

La ecuación de las asíntotas de la hipérbola es y = xa

b


Suponiendo el eje focal horizontal y el centro de la elipse en (0,0)

d(P.F) - d(P,F’ ) = 2a aycxycx 22222 .Elevando dos veces al

cuadrado y dividiendo entre a2b2 se obtiene la ecuación de la hipérbola , que es :

12

2

2

2

b

y

a

x

Relaciones entre los elementos

Se cumple que : c2 = a2 +b2

OTROS CASOS DE LA ECUACIÓN DE LA

HIPÉRBOLA

Eje focal horizontal y centro en ( , ) : 12

2

2

2

b

y

a

x

Eje focal vertical y centro en (0,0) : 12

2

2

2

b

x

a

y


Eje focal vertical y centro en ( , ) : 12

2

2

2

b

x

a

y

CASO PARTICULAR Si a = b , la hipérbola se llama EQUILÁTERA (

suponiendo eje focal vertical y centro C(0,0) ) , la

ecuación queda : 222

2

2

2

2

1 ayxa

y

a

x

Si tomamos como ejes a las asíntotas ( en este caso

y= x ), la ecuación se transforma en xy= 2

2a o lo que

es lo mismo xy=k

6.- La parábola Def : Es el lugar geométrico de los puntos del que

equidistan de un punto fijo llamado FOCO y de una recta

DIRECTRIZ .Es decir d(P,F)= d(P,dir)

A la distancia del foco a la directriz se designa por p y se

llama parámetro

La perpendicular a la directriz que pasa por el foco se

llama EJE

El corte del eje con la parábola es el VÉRTICE


Suponiendo la directriz en el eje OX y el vértice en (0,0) y el centro de la elipse en (0,0)

p=d(F,d) con lo que el foco es (0,p/2) y la directriz es y = -p/2

Por la definición de parábola d(P,F)= d(P,dir)

py

pyp

ypyp

yp

yp

yx

2

4422

22

22

2

2

2

2

xndoSimplifica

x cuadradoal elevando

OTROS CASOS


Si el eje es paralelo a OY y el vértice en ( , ) :( x- )2=2p(y- )

Si el eje es paralelo a OX y el vértice en ( , ) :y 2=2px

Si el eje es paralelo a OX y el vértice en ( , ) :( y- )2=2p(x- )

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