Fí sica José Alfredo Jiménez Álvarez (Docente)

Marco Octavio Juárez Ortiz 13020023

3.1. CUERPO RÍGIDO Y PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD.  Cuerpo rígido

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de

fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no

cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios

de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las

fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.

Principio de transmisibilidad

Este principio establece condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo

rígido. Una fuerza F puede ser reemplazada por otra fuerza F0 que tenga la misma

magnitud y sentido, en un distinto punto siempre y cuando las dos fuerzas tengan

la misma línea de acción.

Figura 3.1: Principios de transmisibilidad. Otra ilustración de principio de transmisibilidad, lo tenemos cuando unas personas quieren

movilizar un vehículo descompuesto, y lo quieren desplazar hacia delante, esto se logra, ya sea

que las personas empujen el vehículo en su parte posterior, o atando una cuerda en la parte

delantera y jalar la cuerda.

3.2. MOMENTO DE UNA FUERZA. 

Como se vio anteriormente la primera condición del equilibrio llamada

equilibrio traslacional, se enunciaba de la siguiente forma: “Un cuerpo se

encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas

que actúan sobre el es igual a cero”. Cuyas ecuaciones son las siguientes:

ΣFx= 0 y ΣFy= 0.

Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin embargo

puede estar girando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas. Así por

ejemplo, la rotación del volante de un automóvil se debe a la capacidad que

tiene cada fuerza para hacerlo girar.

Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe cumplirse la

segunda condición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo esté en

equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas

que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”.

Matemáticamente esta ley se expresa con la ecuación:

ΣM=0.

Antes de proceder a resolver problemas en los que se aplica la segunda

condición del equilibrio, veamos algunos conceptos básicos relacionados con

el:

Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de

acción común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente

equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a

la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se

extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. Cuando

las líneas de acción de las fuerzas no se intersectan en un mismo punto, puede

haber rotación respecto a un punto llamado eje de rotación.

La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza se

llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una

fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si reejerce

una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda,

gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro.

Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar

un movimiento. El momento de torsión o torca M se define como la tendencia

a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunos libros se le llama

también momento de la fuerza, como ya hemos visto, el movimiento rotacional

se ve afectado tanto por la magnitud de la fuerza F como por su brazo de

palanca r, Por lo tanto definiremos el momento de torsión como el producto de

una fuerza por su brazo de palanca.

Momento de torsión = fuerza x brazo de palanca.

M = F r.

Es preciso entender que en la ecuación anterior r se mide en forma

perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de

torsión son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo Newton-metro

N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).

Cuando una fuerza tiende a girar a un objeto en el sentido de las

manecillas del reloj, se le asigna un signo negativo, y cuando tiende a

girar al objeto en el sentido contrario a las manecillas del reloj se le

asigna un signo positivo.

El momento de una fuerza cuando dicha fuerza aplicada a un objeto

también puede calcularse con la siguiente ecuación:

M = F r sen .

Se utiliza el seno del ángulo, puesto que la componente vertical de la

fuerza (Fy) es la componente por la cual el objeto tiende a girar.

3.3. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO. 

Se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento. Ocasionalmente recibe el nombre de torque a partir del término inglés (torque), derivado a su vez del latín torquere (retorcer). El momento de una fuerza

F aplicada en un punto

p con respecto de un punto

O viene dado por el producto vectorial del vector OP

por el vector fuerza; esto es: *

MO = OP

x F

= Fr

x

donde *r es el vector que va desde O a P. Por la propia definición del producto vectorial, el momento Mo *

M es un vector perpendicular al plano determinado por los vectores *

F y *r. La definición de momento se aplica a otras magnitudes vectoriales. Así, por

ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o momento lineal, *p, es el momento cinético o momento angular,

prpOPL

xx

El momento de fuerza conduce a los concepto de par, par de fuerzas, par motor, etc.

Figura 3.3: Definición de momento de una fuerza con respecto a un punto. El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto. El momento tiende a provocar una aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).

El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad se denomina newton-metro o

newton-metro, indistintamente. Su símbolo debe escribirse como N・m o N m. (nunca mN, que indicaría milinewton).

Si bien, dimensionalmente, N・m parece equivaler al julio, no se utiliza esta unidad para medir momentos, ya que el julio conceptualmente es unidad de trabajo o energía, que son conceptualmente diferentes a un momento de fuerza. El momento de fuerza es una magnitud vectorial, mientras que la energía es una magnitud escalar. No obstante, la equivalencia dimensional de ambas magnitudes no es una mera

coincidencia. Un momento de 1 N・m aplicado a lo largo de una revolución completa

(2 π radianes) realiza un trabajo igual a 2 π julios, ya que W = M θ, donde W es el

trabajo, M es el momento y θ es el ángulo girado (en radianes). Es esta relación la que podría motivar el nombre de julios por radián para la unidad de momento, aunque no es correcto. Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales, en los que todas las fuerzas y demás magnitudes vectoriales son coplanarias, el cálculo de momentos se simplifica notablemente. Eso se debe a que los momentos serían perpendiculares al plano de coplanariedad y, por tanto, sumar momentos se reduciría a sumar tan sólo sus componentes perpendiculares al plano, que son magnitudes escalares.

Figura 3.4: Momento es igual a fuerza por su brazo.

Si se considera una fuerza aplicada en un punto P del plano de trabajo y otro punto O

sobre el mismo plano, el módulo del momento en O viene dado por:

M = F l sin θ = F b

siendo F el módulo de la fuerza, b, el brazo de momento, es decir, la distancia a la que

se encuentra el punto O (en el que tomamos momento) de la recta de aplicación de la fuerza, y θ el suplementario del ángulo que forman los dos vectores.

La dirección de un momento es paralela al eje de momento, el cual es perpendicular al

plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Para establecer la dirección se utiliza la regla de la mano derecha. La regla o ley de la mano derecha o del sacacorchos es un método para determinar direcciones vectoriales, y tiene como base los planos cartesianos. Se emplea prácticamente en dos maneras; la primera principalmente es para direcciones y movimientos vectoriales lineales, y la segunda para movimientos y direcciones rotacionales.

Figura 3.5: Determinación de la dirección de rotación mediante la regla de la mano derecha. Así, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo hacia la derecha (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo avanza, y viceversa, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo hacia la izquierda (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo retroceden.

3.4. TEOREMA DE VARIGNON.  El Teorema de Varignon fue descubierto por el matemático neerlandés Simon Stevin a

principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre

Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1687 en su tratado Nouvelle mécanicque,

como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los

matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a

la notación y al enfoque que sobre el análisis sostenía Leibniz.

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una

obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas

no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como

entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una

difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y

por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

El enunciado del Teorema de Varignon es el siguiente: El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas.

ΣM = M1 + M2 + M3 + M4

Demostración ΣM = F1 x r + F2 x r + F3 x r + F4 x r.

3.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE.  El momento de una fuerza respecto a un eje elegido es el producto de la fuerza por el

brazo del momento:

L = F.s

Siempre debe seleccionarse un eje con respecto al que los momentos de una

fuerza pueden ser medidos. El valor del momento producido por una fuerza dada

depende del eje elegido. La elección de un eje es completamente arbitraria; no necesita

ser un eje real o fulcro. En muchos casos, sin embargo, una elección adecuada del eje

respecto del cual tienen que ser calculados los momentos de las fuerzas simplifican

mucho un problema, porque puede reducir a cero el momento de una fuerza cuya

magnitud o dirección es desconocida. Ya que el momento de una fuerza es el producto

de una fuerza y una distancia, su unidad es una unidad de fuerza por una unidad de

distancia. La unidad de momento de una fuerza en el sistema mks es el metro-newton.

En el sistema cegesimal, el centimetro-dina. Combinaciones análogas de unidades de

fuerza y distancia dan unidades convenientes para el momento de una fuerza.

PROBLEMAS DE MOMENTO DE UNA FUERZA.

1. Se ejerce una fuerza de 20 Newtons sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al centro del tambor, si la fuerza se aplica en el sentido de las manecillas del reloj?.

Datos: Fórmula: Sustitución F = -20 N M = Fr M = -20 N x 0.06 m. r = 0.06 m M = -1.20 N.m = -1.20 J M=

2. Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda de una llave de perico aplicándole una fuerza de 850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar a la tuerca. Calcular el momento de la fuerza si la llave mide 35 cm y se aplica en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Datos F = 850 N = 60° r = 35 cm = 0.35 m M = ? M = Fr sen M = (850 N) (0.35 m) (sen 60º) = (850 N) (0.35 m) (0.8660). M = 257.64 N. m

120 mm

60º

850 N

3.6. REACCIONES EN APOYOS Y CONEXIONES. 

Momento de torsión resultante.

En ocasiones los cuerpos están sometidos a 2 o más fuerzas que lo mantienen en equilibrio, por lo tanto se debe hallar un momento de torsión resultante que se obtiene al sumar los momentos de torsión de cada una de las fuerzas, que se determina con la ecuación:

MR = M1 + M2 + M3 + M4 + ….. Mn

Donde MR= Momento de torsión resultante.

M1, M2. M3, M4= Momentos de torsión de las fuerzas 1, 2, 3, 4 y n fuerzas que se aplican al cuerpo.

En este tipo de problemas se deben aplicar las 2 condiciones del equilibrio (trasnacional y rotacional), para que el cuerpo esté totalmente en equilibrio. Al aplicar la primera condición de equilibrio, las fuerzas que actúan hacia arriba se consideran positivas y las que actúan hacia abajo negativas.

Para calcular el momento de torsión resultante en un cuerpo siga los siguientes pasos:

1.- Lea el problema y luego dibuje la figura y marque los datos.

2.- Construya un diagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas, distancias y el eje de rotación. Cuando se considere el peso del cuerpo, este recaerá en el centro geométrico del mismo (a la mitad). En ocasiones hay problemas en los cuales se desprecia el peso del cuerpo, en este caso los cálculos se harán con las fuerzas que estén sobre el objeto.

3.- Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.

4.- Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.

5.- Calcule los brazos de palanca si es necesario.

6.- Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente de las otras fuerzas, asegúrese de asignar el signo apropiado (+ ó -).

7.- El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión de cada fuerza.

1. Calcula las reacciones en la viga, según nos indica el dibujo.

En el caso de R1, y R2 al ser fuerzas dirigidas hacia arriba se

toman como positivos y las fuerzas F1, F2 y F3 al estar dirigidas hacia abajo se toman como negativos.

Aplicando la primera condición de equilibrio: y = R1 + R2– F1 – F2 – F3 = 0 y = R1 + R2-6 T-4 T- 5 T= 0 y = R1+R2 -15 T= 0 despejando tenemos : y = R1 + R2 = 15 T ecuación 1. Aplicando la segunda condición de equilibrio: eligiendo el punto R1 como

para medir los brazos de palanca de las otras fuerzas tenemos: En este caso la fuerza F1 al aplicarse en el mismo punto que R1, no tiene brazo de palanca, por lo tanto no tiene momento de torsión, en el caso de F2 y F3, con respecto a R1 tenderían a rotar a la viga en el sentido de las manecillas del reloj, por lo cual se les asigna un signo negativo. R2 es una fuerza dirigida hacia arriba, tendería a rotar a la viga en el sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signo positivo.

MR1= (R2) (5 m) – (F2) (2 m) – (F3) (5 m)= 0 = (R2) (5 m)- (4 T) (2 m)- (5 T) (5 m)= 0 = (R2) (5 m)- 8 T.m- 25 T.m= 0

= (R2) (5m) – 33 T.m= 0 = (R2) (5m)= 33 T.m. Despejando R2 tenemos: R2 = 33 T.m 5 m R2 = 6.6 T Sustituyendo el valor de R2 en la ecuación 1 tenemos:

2 m 3 m

F = 4T2F = 5T3F = 6T1

R1 R2

R1 + R2 = 15 T. Por lo tanto R1 = 15 T- R2. R1= 15 T- 6.6 T = R1= 8.4 T

2.- Sobre una barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3 metros del punto de apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se debe aplicar en el otro extremo para que la barra quede en equilibrio. b) La Tensión que soporta el cable que sujeta la barra. considere despreciable el peso de la barra.

Diagrama de cuerpo libre.

a) Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos que: ΣF = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1) ΣMo =0 = Mp1 + (-Mp2) = 0…. (2) Sustituyendo en la ecuación 1 : ΣF = T- 60 N-P2= 0 T = 60 N+ P2.

P2 = ¿

T = ¿

r1 = 3 m r2 = 2 m

O

60 N ¿

P1 = 60 N

b) Para calcular el valor de la tensión debemos conocer el peso que equilibrará al sistema, de donde al sustituir en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos en el punto O es igual a: ΣMo= P1r1-P2r2= 0 P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos: P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 N r2 2 m Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la tensión del cable es: T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N 3.- Una viga uniforme de peso despreciable soporta 2 cargas como se ve en la figura. Calcular a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción R que se ejerce para equilibrar la viga? b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción respecto al punto A?.

Diagrama de cuerpo libre:

C2 = 400 N R

6 m A

C1 = 300 N

B

Solución: Para que el cuerpo esté en equilibrio: ΣF = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 …. (1) ΣMA = 0 = R rR + (-C2r2)…. (2) Sustituyendo en 1: ΣF = R – 300 N- 400 N= 0 R = 700 N b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos respecto al punto A: ΣMA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0 ΣMA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0 ΣMA = 700 N (rR) = 24400 N.m despejando rR tenemos: rR = 2400 N.m = 3.43 m 700 N por lo tanto, la reacción tiene un valor de 700 N, que equivale a la suma de las dos cargas y queda colocada a 3.43 m del punto A.

6 m

r R = ¿

A

C2 = 400 N

C1 = 300 N

R = ¿

B

4.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas, una de 200 N y otra de 400 N como se ve en la figura. Determinar los esfuerzos de reacción a que se encuentran sujetos los apoyos, considere despreciable el peso de la viga.

Diagrama de cuerpo libre:

Para que la viga esté en equilibrio de traslación y de rotación tenemos que: Aplicando la primera condición de equilibrio tenemos: ΣF = 0 = RA + RB + (-F1)+ (-F2)= 0…….. (1) ΣF = 0= RA + RB = F1 + F2 ΣF = RA + RB = 200 N + 400 N

200 N400 N

1 m2 m

1 m

200 N400 N

1 m 2 m 1 m

A B

RA RB

ΣF = RA + RB = 600 N ecuación 1. Aplicando la segunda condición de equilibrio y eligiendo el soporte A tenemos: ΣMA= RB (4 m)- 400 N (3 m) – 200 N (1 m) = 0 ΣMA= RB (4 m)- 1200 N.m-200 N.m = 0 ΣMA= RB (4 m)- 1400 N.m= 0 ΣMA= RB (4 m)= 1400 N.m. despejando RB tenemos: RB = 1400 N.m = 350 N 4 m Sustituyendo el valor de RB en la ecuación 1 para hallar RA tenemos: RA = 600 N - RB

RA = 600 N – 350 N = 250 N

3.7. CENTROIDES DE GRAVEDAD DE LÍNEAS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUADROS COMPUESTOS UTILIZANDO TABLAS.  Cada partícula que existe en la Tierra, tiene al menos una fuerza en

común con cualquier otra partícula: su peso. En el caso de un cuerpo formado

por múltiples partículas, éstas fuerzas son esencialmente paralelas y dirigidas

hacia el centro de la Tierra. Independientemente de la forma y tamaño del

cuerpo, existe un punto en el que se puede considerar que está concentrado

todo el peso del cuerpo. Por supuesto, el peso no actúa de hecho en éste

punto, pero podemos calcular el mismo tipo de momento de torsión respecto a

un eje dado si consideramos que todo el peso actúa en este punto.

El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme,

un cubo, una varilla o una viga, se localiza en su centro geométrico. Aún

cuando el centro de gravedad es un punto fijo, no necesariamente tiene que

estar dentro del cuerpo. Por ejemplo, una esfera hueca, un aro circular y un

neumático tienen su centro de gravedad fuera del material del cuerpo.

A partir de la definición de centro de gravedad, se acepta que cualquier

cuerpo suspendido desde este punto está en equilibrio. Esto es verdad, ya que

el vector peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre

cada parte del cuerpo, tienen un brazo de palanca igual a cero. Por lo tanto, es

posible calcular el centro de gravedad de un cuerpo, determinando el punto en

el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional.

Problema de centro de gravedad.

1. Calcule el centro de gravedad de las dos esferas que se presentan en la

figura siguiente. La masa M es de 16 libras y la masa m es de 8 libras, la

distancia entre los dos objetos es de 30 pulgadas

Solución: Primero se dibuja un vector hacia arriba que indique la fuerza en el

centro de gravedad que equilibraría el sistema. Suponga que se elige para

ubicar a este vector a una cierta distancia del centro de la esfera de 16 libras.

La distancia x puede trazarse y marcarse sobre la figura. Puesto que la fuerza

ascendente debe de ser igual a la suma de las fuerzas descendentes, la

primera condición del equilibrio nos lleva a plantear lo siguiente:

F = 16 lb+ 8 lb = 24 lb.

Ahora elegimos el eje de rotación del centro de la esfera de 16 lb. Esta es la

mejor elección, puesto que la distancia x se mide a partir de este punto. La

segunda condición del equilibrio, se aplica en la forma siguiente:

M = 24 lb (x) -8 lb (30 inches) = 0

M = 24 lb (x)-240 lb.in = 0

M = 24 lb (x) = 240 lb.in.

M = x = 240 lb.in/24lb = 10 inches.

2. Una barra de material uniforme tiene una longitud de 6 metros y pesa 30 Newtons. De su extremo izquierdo pende una pesa de 6 Newtons y se aplica una fuerza de 20 Newtons en su extremo derecho. ¿A qué distancia del extremo izquierdo se deberá aplica una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio?

Aplicando la primera condición del equilibrio: ΣFy = F-(50 N+30 N + 20 N) = 0 ΣFy = F – (100 N) = 0 ΣFy = F – 100 N = 0 ΣFy = F = 100 N. Aplicando La segunda condición del equilíbrio y calculando momentos de fuerza respecto al peso de 60 Newtons, es decir del extremo izquierdo: ΣM 50 N = F (r) – 30 N (3 m)- 20 N (6 m) = 0 ΣM 50 N = 100 N (r) – 90 N.m- 120 N.m = 0 ΣM 50 N = 100 N (r) – 210 N.m = 0 ΣM 50 N = 100 N (r) = 210 N.m

Despejando La distancia r: .1.2100

.210metros

N

mN

50 N 20 N30 N

3 m 3 m

F = ¿

r = ¿

3. Pesas de 2, 5, 8 y 10 Newtons penden de una varilla ligera de 10 metros de longitud a distancias de 2, 4, 6 y 8 metros del extremo izquierdo respectivamente. ¿A qué distancia del extremo izquierdo está el centro de gravedad?

Aplicando la primera condición del equilibrio, tenemos: Σ F y = F – 2 N, - 5 N- 8 N-10 N = 0 Σ F y = F-25 N = 0 F = 25 N. Aplicando la segunda condición del equilíbrio y calculado momentos de fuerza respecto al extremo izquierdo de la varilla. Σ M = 25 N (r)- 2 N(2 m)- 5 N(4 m) – 8 N (6 m) – 10 N (8 m) = 0. Σ M = 25 N (r) – 4 N.m – 20 N.m – 48 N. m- 80 N. m = 0. Σ M = 25 N (r) -152 N.m = 0 Σ M = 25 N (r)= 152 N.m Despejando El valor de r tenemos:

Σ M = r = .08.625

.152metros

N

mN

2 N

5 N

8 N 10 N

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m