BIENVENIDOS AL CURSO DE MOVIMIENTO EN

DOS DIMENSIONES

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https://www.youtube.com/watch?v=V_wXSxf4laY

https://www.youtube.com/watch?v=YfJzRX78UlM

https://www.youtube.com/watch?v=u7YsDwZ9Z6w parte 1

https://www.youtube.com/watch?v=tJSVONK0nyY parte 2

https://www.youtube.com/watch?v=KE2RZ8niQDo

MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO En la presente guía didáctica se da comienzo al estudio de los movimientos en dos dimensiones para lo cual es

conveniente tener claros algunos conceptos básicos de la cinemática, razón por la cual es importante analizar con

detenimiento la siguiente imagen.

Si analizamos con detenimiento la anterior imagen podemos observar como el coyote después de ser impulsado por el

resorte cae al precipicio describiendo una semiparábola en su trayectoria, por lo que podría indicarnos que este

movimiento se da gracias a dos circunstancias específicas.

1. El personaje se impulsa sobre la cima de la montaña produciendo sobre si mismo una velocidad horizontal.

2. Justo cuando el coyote llega al final de la montaña es sometido a la aceleración de la gravedad, obligándolo a caer

sobre el precipicio.

En este sentido decimos que el movimiento semiparabólico es un movimiento que se da en dos dimensiones ya que está

compuesto por dos movimientos:

Por un lado presenta un movimiento uniforme acelerado a razón de la gravedad en el eje vertical y. presentando en esta

dimensión un movimiento de acida libre vy=0), ya que en el instante en que el cuerpo es disparado horizontalmente la

velocidad y es nula,

En el eje horizontal x la velocidad es constante y se describe un movimiento rectilíneo uniforme. Debido a que no existe

nada en el eje horizontal que lo obligue a cambiar su velocidad.

Por un momento pensemos ¿Qué le sucedería al coyote, si no existiera la gravedad? claramente continuaría su

movimiento horizontal con velocidad constante y por ende no acelerado.

Entonces podemos concretar el pensamiento de Galileo Galilei, quien afirma:

Cuando un cuerpo es sometido simultáneamente a dos movimientos, cada uno de estos se cumple independientemente”

Actividad 1.

En su cuaderno dibujar una situación en la que se evidencia en movimiento semiparabólico.

Con sus palabras y apoyado de la lectura anterior defina movimiento semiparabolico.

Modelo matemático movimiento semiparabólico

Usando el principios de independencia de los movimientos de Galileo recordando en la lectura anterior y, comprendiendo

de antemano el movimiento uniforme y el movimiento de caída libre por separado y desde luego conociendo las

ecuaciones de estos dos movimientos, podemos deducir fácilmente las ecuaciones que componen el estudio del

movimiento semiparabólico.

Supongamos que desde una mesa de altura “y” se lanza una esfera con velocidad en el eje x y produciendo un movimiento

semiparabolico. Ahora bien evidentemente la esfera está siendo sometida a dos tipos de movimiento y como afirma

galileo: cuando esto sucede cada uno de los movimientos se cumple independientemente, lo que conlleva a definir el

desplazamiento en el eje x y lo podemos estudiar como un movimiento uniforme y el recorrido en el eje de las y lo

podemos estudiar como un movimiento de caída libre.

En este sentido las ecuaciones del movimiento semiparabólico son:

Distancia recorrida en el eje Horizontal:

Distancia recorrida en el eje Horizontal 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑦 =𝑔𝑡2

2

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑡 = √2𝑦

𝑔

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑣𝑜𝑥 = √𝑔𝑡2

2𝑦

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑣𝑓 = √(𝑣𝑥)2 + (𝑣𝑦)2

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑥 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑦 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑔𝑡

Ejemplo resuelto Desde una terraza que se encuentra a una altura de 25 metros, se lanza horizontalmente una pelota con una

velocidad de 100m/s, produciendo un movimiento semiparabólico.

a) Dibujar la situación y la trayectoria de la pelota.

b) Calcula el tiempo de vuelo de la pelota

c) El alcance horizontal

d) La velocidad con la cual la esfera llega al suelo.

Escribimos los datos del problema.

Datos.

𝒗𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒎/𝒔 Velocidad inicial en el eje x

𝒚 = 𝟐𝟓𝒎 Altura inicial de la pelota

𝒈 = 𝟏𝟎𝒎

𝒔𝟐 Valor de la gravedad en planeta tierra

𝒕 =? Tiempo de vuelo

𝒙 =? Alcance horizontal

𝒗𝒇 =? Velocidad final total

b) Tiempo de vuelo de la pelota.

Identificamos y tomamos la ecuación que se ajusta a la resolución de este interrogante, ello es:

𝑡 = √2𝑦

𝑔

Ahora, reemplazamos los valores correspondientes.

𝑡 = √2(25𝑚)

10 𝑚𝑠2

= √ 50𝑚

10 𝑚𝑠2

= √5 𝑠2 = 2,24 𝑠

La pelota demora en llegar al suelo 2,24 segundos.

c) Alcance Horizontal

El alcance horizontal significa a determinar la distancia horizontal a la cual hacer la pelota. Este se calcula a través de las

ecuaciones dadas en líneas anteriores, ello es:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡

Reemplazamos valores correspondientes.

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡 = 0 + 100𝑚

𝑠 2,24𝑠 = 100

𝑚

𝑠 2,24𝑠 = 224𝑚

Una piedra lanzada horizontalmente con velocidad 100 m/s se desplaza 24 metros.

d) velocidad con la cual la esfera llega al suelo

Es importante tener en cuenta que el literal hace referencia a la velocidad total con la que llega la pelota al suelo.

Esta velocidad total es la composición de la velocidad horizontal y vertical, por eso es fundamental calcular primero

éstas dos velocidades.

Velocidad final en el eje x

𝒗𝟎𝒙 =𝟏𝟎𝟎𝒎

𝒔 = 𝒗𝒇𝒙

Velocidad final eje y

𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑔𝑡 = 𝑣𝑦 = 𝑜 + 10 𝑚

𝑠2 (2,24𝑠)

𝑣𝑦 = 22,4𝑚

𝑠

Estas dos velocidades se unen a través del teorema de Pitágoras para determinar la velocidad total final.

𝑣𝑓 = √(𝑣𝑥)2 + (𝑣𝑦)2 = 𝑣𝑓 = √(100 𝑚

𝑠)2 + (22,4

𝑚

𝑠)2 = 𝑣𝑓 = √10 000

𝑚2

𝑠2+ 501,76

𝑚2

𝑠2

𝑣𝑓 = √ 10 501. 76 𝑚2

𝑠2 = 𝑣𝑓 = 102,5

𝑚

𝑠

La esfera llega con una velocidad total de 102,5 m/s al suelo.

Practiquemos lo aprendido sobre movimiento

semiparabólico. Ejercicio 1. Desde el borde de una terraza que se encuentra a una altura de 33 metros, se lanza una pelota con una

velocidad horizontal de 8 m/s; calcular:

a. El tiempo que dura el proyectil en el aire.

b. El alcance horizontal del proyectil.

c. La velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo.

Ejercicio 2. Desde un helicóptero que viaja con una velocidad horizontal de 120 Km/h a una altura de 2,8 Km, cae un

objeto que describe en su trayectoria una semiparabóla, calcular:

a. El tiempo que dura el proyectil en el aire.

b. El alcance horizontal del proyectil.

c. La velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo.

Ejercicio 3. Desde el borde de una mesa que posee a una altura 0,83 metros, se lanza una pelota que cae a 2,8 metros

de la pata de la mesa, con estos datos determine la velocidad inicial que se le aplico a la pelota, el tiempo que tardo en

el aire y la velocidad con que llega al suelo.

Ejercicio 4. Desde el borde de una mesa que tiene una altura de 2,3 metros; es lanzado horizontalmente un cuerpo con

velocidad inicial de 42,8 m/s; calcular:

a. El tiempo que dura el proyectil en el aire.

b. El alcance horizontal del proyectil.

c. La velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo.

d. ¿Qué pasaría con el alcance horizontal y la velocidad final del objeto, si la velocidad inicial fuese de 25m/s?

Ejercicio 5. Una persona que mide 1,80m de altura, lanza una moneda a 5cm por encima de su cabeza de forma

horizontal, la cual cae a los 2,6 metros de su posición inicial, con estos datos determine la velocidad con que el hombre

arroja la moneda, el tiempo que tardo en el aire y la velocidad con que llego al suelo.

Ejercicio 6. Resuelve los ejercicios 3, 14, 15, del taller de ejercicios propuestos página 93.

Movimiento parabólico

Si se analiza con detenimiento la anterior imagen se puede observar como el coyote en uno de sus intentos por atrapar al

correcaminos, crea una catapulta usándose a sí mismo como proyectil, se nota a lo largo del recorrido nuestro jocoso

personaje describe una trayectoria faltando de nuevo en su intento por alcanzar su presa, ¿qué fue lo que fallo en los

cálculos del coyote?, ¿será el ángulo?, ¿será la velocidad inicial?, o incluso ¿será que la gravedad le jugó una mala pasada?

En este sentido notemos como el movimiento parabólico también llamado movimiento de proyectiles, está caracterizado

por poseer una velocidad inicial y formar un ángulo mayor que 0° y menor que 90° medido con respecto a la horizontal,

siendo estos dos factores claves que determinan la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo de vuelo

experimentado por el proyectil, por otro lado, el vector de aceleración de la gravedad es una característica clave que

permite la realización del movimiento, ya que se encarga de desacelerar el proyectil hasta luego llevarlo a poseer una

velocidad igual a cero, momento en el cuela el cuerpo alcanza una altura máxima e inmediatamente comienza a descender

aumentando su velocidad de nuevo gracias a la gravedad, completando de esta manera la parábola descrita por este tipo

de movimiento.

Ya que el proyectil, en nuestro caso el coyote, se desplaza tanto en sentido vertical como horizontal, el lanzamiento de

proyectiles se define como un movimiento en dos dimensiones, uno horizontal con velocidad constante y otro vertical de

caída libre.

Actividad: Después de analizar la lectura anterior, describir pasó a paso el fenómeno físico descrito en la siguiente imagen.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

Cuando un proyectil es lanzado con una velocidad inicial 𝑉0 , formado un ángulo 𝜃 con la horizontal, esta velocidad se

debe descomponer tanto para la componente horizontal 𝑉0𝑥 ,como para la componente vertical 𝑉0𝑦, así:

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑉𝑜𝑥 = 𝑉0 cos 𝜃

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑉𝑜𝑦 = 𝑉0 Sin 𝜃

Si deseamos determinar la velocidad del proyectil en un momento diferente al inicial debemos saber que en el eje

horizontal la velocidad es la misma porque se describe un movimiento rectilíneo uniforme, mientras que en el eje

vertical se experimenta un movimiento con velocidad constantemente variable, las ecuaciones son las siguientes:

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑉𝑓𝑥 = 𝑉𝑜𝑥 = 𝑉0 cos 𝜃

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑉𝑓𝑦 = 𝑉0 sin 𝜃 + 𝑔𝑡

ALTURA MAXIMA

Es la posición vertical mayor del movimiento, es el alcance que tiene el proyectil en el eje y.

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = (−𝑉0

2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝑔)

Tiempo de subida

Es el tiempo empleado para llegar a la altura máxima.

𝑡𝑠 = (−𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑔)

Tiempo de vuelo: teniendo en cuenta que el proyectil demora lo mismo en subir que en bajar, se debe multiplicar el

tiempo de subida por 2

𝑡𝑣 = (−2𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑔)

Alcance horizontal máximo.

Es el punto horizontal que alcanza el proyectil

𝑥𝑚á𝑥 = (−𝑣0

2𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑔)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

En una práctica de tiro, se dispara un cañon con un ángulo de 60° respecto a la horizontal y una velocidad inicial de 20

m/s. Determinar:

a) la altura máxima

b) tiempo de vuelo

c) alcance horizontal

Solución.

Para dar respuesta al problema siempre se debe hacer un esquema grafico de la situación con el fin de mostrar lo que

se ha entendido del problema.

Datos de la situación:

á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝜃 = 60°

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑣0 = 20 𝑚

𝑠

𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑔 = 10 𝑚

𝑠2

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = ?

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑡𝑠 = ?

𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑥 =?

Ahora vamos a determinar cada uno de los interrogantes apoyándonos de las ecuaciones expresadas en el texto.

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = (−𝑉0

2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝑔)

Reemplazando tenemos

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = (−(20

𝑚

𝑠)2𝑠𝑖𝑛260°

2(−10 𝑚

𝑠2)) Asumimos la aceleración negativa porque es contraria al movimiento del

proyectil, en el momento de ascenso.

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = (−400

𝑚2

𝑠2 𝑠𝑖𝑛260

−20 𝑚𝑠2

)

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = (−400

𝑚2

𝑠2 (0,75)

−20 𝑚𝑠2

)

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = (−300

𝑚2

𝑠2

−20 𝑚𝑠2

)

𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑦 = 15𝑚

Ahora determinados el tiempo de vuelo:

𝑡𝑣 = (−2𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑔)

𝑡𝑣 = (−2 (20

𝑚𝑠

) 𝑠𝑖𝑛60°

10 𝑚𝑠2

)

𝑡𝑣 = 3,5 𝑠

Alcance máximo horizontal.

𝑥𝑚á𝑥 = (−𝑣0

2𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑔)

𝑥𝑚á𝑥 = (−(20

𝑚𝑠

)2 sin 120 °

−10 𝑚𝑠2

)

𝑥𝑚á𝑥 = 35 𝑚

Apliquemos lo aprendido del movimiento

parabólico Ejercicio 1. Desde la base de un armamento se dispara un proyectil con un ángulo de 75° con la horizontal y con

velocidad de 25 m/s. Determinar:

a. la altura máxima b. el tiempo de vuelo c. el alcance horizontal.

Ejercicio 2. Un balón se dispara con velocidad de 15 m/s formando con la horizontal un ángulo de 37°

a. Calcular el tiempo en alcanzar la altura máxima.

b. Determinar la altura máxima

c. Cuál es la distancia horizontal que alcanza el balón

Ejercicio 3. Copa en tu cuaderno los ejercicios de los enlaces.

Ejercicio 4. Ingresa al siguiente simulador, luego sigue las instrucciones y responde las preguntas.

https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_es.html

a) para una rapidez inicial de 20 m/s y sin resistencia del aire, activar el cañón para los ángulos: 25, 35, 45, 55 y 70,

luego responde:

¿Qué sucede con la altura máxima y el alcance horizontal de un proyectil cuando aumenta el ángulo de disparo?

justifique.

b. Para una rapidez de 20 m/s y con ángulo de 50°, haga lanzamientos cambiando varias veces la masa.

¿Qué sucede con la altura máxima y el alcance horizontal de un proyectil cuando aumenta la masa del

proyectil? justifique.

Test evaluativo. Presenta un test de evaluación al finalizar esta guía.