beta cap 11.12 vol 7-3.11

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NDICE

Prlogo i

Captulo 11 1

El ncleo del tomo 1 11.1. El descubrimiento del neutrn 2 11.2. Las propiedades del ncleo 7

Tamao y forma del ncleo 10 Espn intrnseco 17 Momento magntico intrnseco 17

11.3. El deutern 18 Determinacin experimental de la energa de ligadura del ncleo 20 El momento magntico y el espn del deutern 22

11.4. Fuerzas en el ncleo 22 11.5. Estabilidad del ncleo 25 11.6. Estructura del ncleo 42

Modelo del gas de Fermi 43 Hiperncleo 48 El modelo de envolturas Shell 52

11.7. Leyes del decaimiento radioactivo 60 11.8. Decaimiento radioactivo de ncleos 68

Decaimiento Alfa 71 Decaimiento beta 77 Decaimiento gamma 92

11.9. Ncleos radioactivos 97 Fechado con istopos de plomo 102 Fechado con carbono 104 Fechado radioactivo de rocas 107

Referencias y lecturas sugeridas 114 Problemas 114

Captulo 12 121

Interacciones Nucleares y sus Aplicaciones 121 12.1 Reacciones Nucleares 121

Seccin transversal o seccin eficaz 127

12.2 Cinemtica de la Reacciones Nucleares 140 12.3 Mecanismos de Reaccin 145

Estadios por los que puede pasar una reaccin nuclear 146 El ncleo compuesto 148 Activacin por Neutrones. 159 Reacciones Directa 161

12.4 Fisin 162 Fisin Inducida 163 Fisin con Neutrones Termalizados 165 Reacciones en Cadena 168

12.5 Reactores de Fisin 169 Problemas con los Reactores 177 Reactores productores 178

12.6 Fusin 180 Formacin de los Elementos 180 Fusin Nuclear en la Tierra 183 Reacciones Termonucleares Controladas 187 Confinamiento magntico de un Plasma. 187 Confinamiento Inercial. 192

12.7 Aplicaciones especiales 192 Medicina 193 Arqueologa 197 Arte 198 Deteccin del Crimen 202 Deteccin de contrabando nuclear 203 Agricultura 203 Minera y Petrleo 205 Materiales 207 Industria 209 Sistemas generadores de energa de dimensiones pequeas 210 Nuevos elementos 211

Resumen 216 Referencias y lecturas sugeridas 217 Tpico especial: 217 Problemas 217

Fsica Cuntica

i

Prlogo

El objetivo de este libro es proveer un conocimiento bsico de los fundamentos y

aplicaciones de la fsica cuntica que son esenciales para un entendimiento en

007.

Fsica Cuntica

1

Captulo 11 Equation Chapter 11 Section 1

La fsica nuclear se encarga del estudio del ncleo del tomo. Los ncleos estn

involucrados en una amplia variedad de investigaciones puras y aplicadas. En

particular, la fsica nuclear comparte intereses comunes con la fsica de partculas

elementales. El principal objetivo de la fsica nuclear es entender las fuerzas entre

los nucleones, la estructura del ncleo y como los ncleos interactan entre ellos y

con otras partculas subatmicas. En este captulo se presentan los aspectos

bsicos de la fsica nuclear que deben ser tratados como parte integral del

curriculum de la fsica moderna.

El ncleo del tomo

El ncleo de un tomo es una partcula muy pequea (unas diez mil veces menor

que el tomo) con carga elctrica positiva y cuya masa es casi tan grande como la

del propio tomo. Los ncleos atmicos estn compuestos por protones y

neutrones. El protn es un ncleo de hidrgeno con carga elctrica positiva e igual

en valor absoluto a la del electrn y cuya masa es unas 1836 veces mayor que la de este ltimo. El neutrn no tiene carga elctrica y su masa es algo mayor que la

del protn (ver Tabla 11.1).

A Ernest Rutherford se le puede llamar el padre del ncleo: l propuso un

modelo de estructura atmica en el que defina el ncleo como la parte ms

pesada del tomo, situada en el centro de ste y dotada de una carga positiva.

Tambin identific los electrones como la parte ms liviana y los ubic en la

periferia del ncleo.

Alrededor de 1900, los primeros investigadores (incluyendo a Becquerel,

Rutherford y M. y P. Curie) encontraron que las emisiones radioactivas

Captulo 11: Fsica Nuclear

2

provenientes de algunos tomos se podan clasificar en tres tipos de radiacin,

denominadas (alfa), (beta) y (gamma). La radiacin alfa es la menos penetrante. sta puede ser detenida por una hoja de papel. Los rayos beta son ms

penetrantes. Ellos son muy comunes y aparecen en la emisin radioactiva de

muchos de los ncleos. La radiacin gamma es la ms penetrante y puede pasar a

travs de la mano de un ser humano. Una gran variedad de los primeros

experimentos sirvieron para establecer que los rayos alfa eran partculas positivas

doblemente cargadas. Los rayos beta eran probablemente electrones y los rayos

gamma eran elctricamente neutros. Por su parte, Rutherford mostr a travs de

un conjunto de experimentos que las partculas alfa eran ncleos de tomos de

helio.

En este captulo comenzaremos discutiendo el descubrimiento de los

constituyentes del ncleo, realizado a travs de una de las series de experimentos

ms interesantes de la ciencia. Luego estudiaremos las propiedades del ncleo y

sus constituyentes, el neutrn y el protn. Discutiremos las fuerzas en el ncleo o

fuerzas nucleares y explicaremos por qu algunos ncleos son estables y otros,

inestables (los ncleos radioactivos).

11.1. El descubrimiento del neutrn

A pesar de que en 1912 Rutherford propuso para la estructura del tomo una parte

central o ncleo que contiene la mayor parte de la masa del tomo, transcurrieron

20 aos antes de que los cientficos comenzaran a entender las partculas que se

encuentran all. Esta rea de estudio contina siendo muy activa en la actualidad

(ver Captulo 12), debido a que cuando los fsicos tratan de conseguir la esencia de

las partculas que se hallan en el ncleo, siguen encontrando an ms partculas.

Aunque Rutherford y otros pensaron que deba existir una partcula neutra similar

al neutrn y formar parte del ncleo, la existencia del neutrn se verific

experimentalmente en 1932, cuando James Chadwick lo encontr usando el primer

acelerador de partculas. En los primeros aos del siglo XX se consider,

errneamente, que el ncleo estaba formado por protones y electrones. En la

actualidad se conocen diversas razones que explican por qu el electrn no puede

existir en el ncleo de un tomo. Aqu slo mencionaremos algunas de ellas:

Fsica Cuntica

3

1. Tamao del ncleo. Hemos mostrado en el captulo 4 que para que un electrn se encuentre confinado en un espacio tan pequeo como el que

corresponde a las dimensiones del ncleo de un tomo, su energa cintica

debe ser al menos igual al definido por el principio de incertidumbre, valor

ste que es mayor que cualquier otro valor de energa cintica medido para

un electrn emitido desde un ncleo. Sin embargo, si nos preguntaos Qu

tan empaquetados se pueden encontrar los protones y neutrones en el

ncleo? Podemos lograr tener una idea, si consideramos el tamao relativo

del ncleo y del tomo de Helio, en cuyo caso se cumplen las siguientes

relaciones:

5ncleo tomo 6,4 10d d

y

13ncleo tomo 2,6 10 0,000000000026%V V

= .

2. Espn del ncleo. Los protones y los electrones tienen un espn de 1 2 . Si un deutern (nmero de masa 2A = y nmero atmico 1Z = ) consiste de protones y electrones, el deutern debe contener 2 protones y 1 electrn.

Por consiguiente, es de esperar que 3 fermiones tengan un valor de espn igual a la mitad de un nmero entero; sin embargo, el valor medido del

espn del ncleo del deutern es igual a 1.

3. Momento magntico del ncleo. El momento magntico de un electrn es

1000 veces mayor que el momento magntico de un protn. Sin embargo, los valores medidos del momento magntico de varios ncleos son del

mismo orden de magnitud que los valores del momento magntico del

protn. En el modelo del protn y del electrn podemos esperar que el

momento magntico del ncleo sea del mismo orden que el valor del

momento magntico del electrn; as, resulta difcil entender cmo un

electrn puede existir dentro del ncleo.

Ejemplo 11.1


4

Cul es el valor ms pequeo de la energa cintica de un protn en un ncleo de

mediano tamao que posee un dimetro de 158 10 m ?

Solucin: determinaremos la respuesta a esta pregunta de una manera similar a

como lo hicimos en el captulo 4, en el cual encontramos el valor ms pequeo de

energa cintica de un electrn en un ncleo. Primero, usamos el principio de

incertidumbre para hallar la incertidumbre en p .

2

p x

( )

16

15

6,58 10 eV s2 2 8 10 m

px

=

0,041 eV s mp

El momento p debe ser al menos tan grande como p ; por consiguiente, tenemos que:

( )( )8min 0,041 eV s m 3 10 m s 12 MeVp c = =

Debido a que este valor de energa es solamente alrededor del 1% del valor de la energa del protn en reposo, podemos tratar el problema sin considerar efectos

relativistas. La energa cintica de un protn en el ncleo debe ser al menos tan

grande como

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2min min

C 2

12 MeV0,08 MeV

2 2 2 938 MeVp p c

Em mc

= = = =

el cual es un valor que, desde el punto de vista experimental, es completamente

razonable.

Fsica Cuntica

5

Hemos visto que existen evidencias experimentales y tericas muy robustas que

soportan la tesis de que una partcula como el electrn no se puede encontrar en

el ncleo del tomo. A pesar de que estas evidencias no estaban disponibles para

Rutherford en 1920, l propuso que una partcula neutra, llamada neutrn, deba

de existir dentro del ncleo. Los tres argumentos aportados en contra de la

existencia del electrn dentro del ncleo no se aplican para ncleos formados por

neutrones y protones.

El descubrimiento del neutrn es un ejemplo clsico de investigacin

experimental. El 1930 los fsicos alemanes W. Bothe y H. Becker encontraron que

cuando el berilio era bombardeado con partculas alfa se produca una radiacin

muy penetrante. I. Curie y F. Joliot mostraron en 1932 que esta radiacin poda

penetrar una lmina de plomo de varios centmetros de espesor (ver Figura 11.1).

As, esta radiacin no poda ser un haz de partculas cargadas, porque las

partculas cargadas, con la energa que ellas pueden tener, no podran penetrar

siquiera una corta distancia de una lmina de plomo. Tambin asumieron, de una

manera muy natural, que se produca radiacin electromagntica (fotones) en el

bombardeo del berilio con partculas alfa. A los fotones emanados desde el ncleo

se les denomin rayos gamma. Los rayos gamma producidos en el ncleo tienen

energa del orden de los MeV , a diferencia de los fotones de rayos-x producidos por transiciones entre niveles de energa de los electrones en los tomos, que

tienen energas en el orden de keV .

Curie y Joliet realizaron varias medidas para estudiar el efecto de esta nueva

radiacin penetrante (producida por Be + ) sobre diversos materiales. Cuando la radiacin pasaba a travs de la parafina (la cual contiene hidrgeno), descubrieron

que se eyectaban protones con energa de hasta 5,7 MeV . La hiptesis ms simple consisti en postular que la radiacin, que se asuma eran rayos gamma, era

dispersada mediante los procesos Comptom ocurridos en el ncleo del hidrgeno y

que, como resultado, salan protones de la parafina. Sin embargo, la hiptesis de

la dispersin Comptom requera, para que se produjeran protones con energa de

5,7 MeV (ver Problema 11.1), que se emitieran fotones rayos gamma con

energas de al menos 50 MeV . Las energas del orden de los 50 MeV no tenan


6

un precedente en esos tiempos, pues no se conoca una reaccin que pudiese

producir rayos gamma de tan alta energa.

En 1932 James Chadwick se las arregl para que esta radiacin neutra colidiera

con tomos de hidrogeno, helio y nitrgeno, y midi la energa de recoil la

energa responsable del cambio de momentum- de estos ncleos en una cmara de

ionizacin. Chadwick dedujo de las leyes de las colisiones que la masa de las

partculas que conformaban la radiacin era muy similar a la del os protones. As,

Chadwick propuso que la nueva radiacin producida por Be + se compona de neutrones, una partcula hipottica, elctricamente neutra y que posea la masa

de un protn. Los neutrones pueden pasar a travs de cualquier material muy

fcilmente y ofrecen muy baja interaccin electromagntica debido a su momento

magntico. La fuerza en el ncleo es de muy corto alcance y un neutrn con

energa del orden de MeV tiene una probabilidad de 610 de interaccionar con el ncleo. Chadwick asumi correctamente que si en la reaccin Be + se producan neutrones con una energa cintica del orden de 5,7 MeV , stos podan colidir elsticamente con protones en la parafina, y por consiguiente se

podran explicar los protones con energa de 5,7 MeV .

Fsica Cuntica

7

Figura 11.1 Esquema ilustrativo de los eventos que condujeron al descubrimiento del neutrn. Una fuente de partculas alfa, polonio 210, emite partculas alfa que producen una radiacin desconocida al incidir sobre el berilio. Esta radiacin es tan penetrante que puede pasar a travs de una lmina de plomo. El resultado experimental sugiri que la radiacin desconocida poda ser de rayos gamma. Cuando la radiacin se hace incidir sobre la parafina, se producen protones de 5,7 MeV . Solo rayos gamma con energa superior a 50 MeV pueden hacer que se produzcan protones con esta energa y es poco probable que estos rayos gamma sean producidos por los ncleos. As, Chadwick sugiri que la radiacin desconocida era de partculas neutras con masa igual a la del protn.

11.2. Las propiedades del ncleo

Los constituyentes primarios de los ncleos son los protones y los neutrones, y la

masa del ncleo es aproximadamente igual a la suma de las masas de sus

constituyentes (la ligera diferencia surge de la energa de ligadura del ncleo). La

carga elctrica del ncleo es e+ veces el nmero ( )Z de protones

( )191,6 10 Ce = . El ncleo del helio tiene 2 protones, as 2Z = . El ncleo del


8

oxgeno tiene 8 protones, as 8Z = . El ncleo del uranio tiene 92 protones, as 92Z = .

La forma ms simple del hidrgeno tiene un protn como ncleo. Sin embargo,

sabemos que existen varias formas del hidrgeno. El deuterio, algunas veces

llamado hidrgeno pesado, tiene un neutrn y un protn en su ncleo. Otro

istopo del hidrgeno es el tritio, el cual tiene dos neutrones y un protn en su

ncleo. El ncleo del deuterio y el del tritio son llamados deutern y tritn,

respectivamente.

El nmero de masa atmico A es el nmero entero total de protones y neutrones en un ncleo. A los tomos con el mismo nmero de protones Z , pero con diferente nmero de masa A, se les llama istopos. Por ejemplo, el deuterio

( )2A = y el tritio ( )3A = son istopos del hidrgeno ( )1A = . La masa atmica M es la masa de todo el tomo (incluyendo electrones) y es medida con un espectrmetro de masas.

El ncleo atmico lo designaremos con el smbolo: AZ NX , donde Z = nmero

atmico (nmero de protones), N = nmero de neutrones, A = nmero de masa atmico ( )Z N+ , X = smbolo del elemento qumico.

A cada especie de ncleo que posee igual nmero de protones y de neutrones se le

llama nucledo. Tal como lo discutimos en el Captulo 6, cada valor de Z (nmero de protones) caracteriza a un nico elemento qumico, as como lo hace tambin

su smbolo; por ejemplo, para el aluminio ( )13Z = y su smbolo es Al , para el calcio ( )20Z = y su smbolo es Ca . Por ello generalmente incluimos el valor de Z cuando se trata de elementos con los cuales no estamos muy familiarizados, con el fin de recordar ms fcilmente su nmero de protones; mientras que en el resto

de los casos omitimos el valor de Z . El valor de A siempre se muestra, pero el

valor de N (el nmero de neutrones) frecuentemente se omite, debido a que A Z N= + . As que 168 8O ,

168O y

16 O representan indistintamente el istopo de

oxgeno ms abundante, con 8Z = , 8N = y 16A = . Otros istopos estables del

oxgeno son 17 O y 18O , los cuales difieren de 16 O slo en que poseen ms

Fsica Cuntica

9

neutrones. Los ncleos con el mismo nmero de neutrones son llamados isotones

(por ejemplo, 146 C , 157 N ,

168O y

179 F ). Ncleos con el mismo valor de A son

llamados isobars (por ejemplo, 166 C , 167 N ,

168O y

169 F ).

Las propiedades qumicas de un tomo estn determinadas por la configuracin de

sus electrones. Como en un tomo neutro el nmero de electrones es igual al

nmero de protones, sus propiedades qumicas son esencialmente determinadas

por el nmero de protones ( )Z . La dependencia de las propiedades qumicas con el nmero de neutrones ( )N es muy pequea como para ser considerada relevante.

Las masas atmicas se miden en unidades de masa atmica, la cual se expresa con

el smbolo u . Las unidades de masa atmica son definidas en trminos de la masa del istopo 12 C , cuyo valor de masa atmica es, por definicin, exactamente 12 u . La masa atmica de varios ncleos se presenta en el Apndice 10.1. La razn por la que presentamos la masa atmica y no la masa del ncleo la daremos

luego. Las unidades de trabajo de la masa atmica son

1227 2

C

11 u 1,66054 10 kg 931,494 MeV12

M c= = = (11.1)

La masa de los protones y los neutrones se presenta en la Tabla 11.1. El hecho de

que los protones y los neutrones tengan casi la misma masa no es un accidente. Tal

como veremos en el Captulo 12, ambos son llamados nucleones y estn

constituidos por otras partculas llamadas quarks. Los neutros son ligeramente ms

masivos que los protones.

Tabla 11.1 Valores de algunas propiedades de los nucleones y del electrn. ( )27 1 12 11 5,051 10 J.T 3,152 10 eV.GN = = .

Partcula Smbolo Masa ( )2MeV c Carga Masa ( )u Espn Momento magntico

Protn p 938,272 e+ 1,0072765 1 2 2,79 N Neutrn n 939,566 0 1,0086649 1 2 1,91 N


10

Electrn e 0,51100 e 45,4858 10 1 2 1,00116 N

Tamao y forma del ncleo

El tamao del ncleo ha sido determinado en diversos experimentos. Rutherford

concluy, a partir de la dispersin de partculas, que el alcance espacial de las

fuerzas nucleares debera ser menor que 1410 m , infiriendo de los datos de Geiger y Marsden que haba una desviacin o patrn de comportamiento espacial

distinto al de la ley de Coulomb (ver Seccin 2.2).

Consideremos por el momento que los ncleos son esferas de radio R . Partculas como el electrn, el protn, el neutrn y alfa se dispersan cuando se proyectan

cerca del ncleo. Los electrones no responden a las fuerzas en el ncleo pero son

dispersados por el campo electromagntico de ste. Por lo tanto, las medidas

logradas con la dispersin de electrones se refieren al radio del espacio de accin

de las cargas.

La fuerza entre nucleones en el ncleo es la ms fuerte de las tres fuerzas

conocidas (nuclear, gravitacional y electro-dbil) que ocurren a cortas distancias.

La fuerza en el ncleo o fuerza nuclear es con frecuencia llamada la fuerza fuerte,

y nosotros usaremos de manera indistinta los nombres de fuerza nuclear o fuerza

fuerte. Dado que los neutrones interaccionan solamente con la fuerza nuclear, la

dispersin de neutrones determina el radio de accin de la fuerza nuclear. Se ha

encontrado, a travs de diversos experimentos y usando haces de diferentes

partculas, que

Radio de accin de la fuerza nuclear Radio del espacio ocupado por la masa Radio del espacio ocupado por la carga

Distribucin de cargas en el ncleo

Robert Hofstadter (Premio Nobel, 1961) y sus colegas en la Universidad de Stanford

en la dcada de 1950 ejecutaron las primeras medidas precisas de la distribucin

Fsica Cuntica

11

de carga en el ncleo usando la dispersin de electrones con energa entre 100 y 500 MeV . Para poder medir la forma de muchos de los ncleos, se necesitan partculas que tengan una longitud de onda ms corta. La longitud de onda de De

Broglie de un electrn con una energa de 500 MeV es alrededor de 2,5 fm . En la actualidad se han realizado medidas con electrones con mayor energa y ms

corta longitud de onda. En la Figura 11.2 se muestra la distribucin radial de

cargas ( )rr en diversos ncleos.

Figura 11.2 Distribucin radial de cargas en diversos ncleos. Observe, que esta distribucin de cargas se puede describir aproximadamente usando la funcin distribucin de Fermi, i.e., como esferas con una superficie difusa.

Estas mediciones de la densidad de carga ( )rr son descritas aproximadamente para todos los ncleos por la distribucin de Fermi de la siguiente forma:

( ) ( )( )0

1 r R ar

er

r

=+

(11.2)

La forma de esta distribucin, se muestra en la Figura 11.3, donde ( )0r es la distribucin de carga en el centro del ncleo, R es la distancia a la cual la


12

densidad de carga ha descendido al 50% de su valor, y ( )4,4t a= , es el espesor de la superficie (medida desde el punto donde la densidad de carga ha descendido

al 90% y el punto donde desciende al 10% ).

Figura 11.3 La forma de la distribucin de Fermi de la densidad de carga en el ncleo descrita por la relacin en la ecuacin (11.2) y donde ( )0rr es la distribucin de carga en el centro del ncleo, R es la distancia a la cual la densidad de carga ha descendido al 50% de su valor y ( )4,4t a= es el espesor de la superficie (medida desde el punto donde la densidad de carga ha descendido al 90% y el punto donde desciende al 10% ). RECORDAR LEYENDA DE FIG ANTERIOR.

Partiendo de los resultados experimentales (ver Figura 11.2), podemos inferir que:

(1) Los ncleos no son esferas con una superficie claramente definida. En su

interior, la densidad de carga es aproximadamente constante. En la superficie la

densidad de carga decrece gradualmente en un rango amplio de distancia.

(2) La constante R es el valor del radio en el cual la densidad e carga a disminuido un 50% . Empricamente, se ha determinado que para ncleos grandes:

Fsica Cuntica

13

1,07 fmR = ; 0,54 fma = . (11.3)

(3) Partiendo de esta densidad de carga, se puede determinar la raz cuadrada del

valor medio del cuadrado del radio 1 22r , el cual para ncleos pesados es

aproximadamente igual a

1 22 1 3

0 0 ; 0,94 fmr r A r= = (11.4)

Con frecuencia el ncleo es aproximado a una esfera cargada homogneamente. El

radio R de esta esfera es referenciado como el radio nuclear. El valor de R esta

relacionado con el valor de 2r , a travs de la siguiente expresin

2 25

3R r= . (11.5)

Combinando ecuacin (11.4) y (11.5), tenemos que el radio de la esfera cargada

homogneamente es

1 30 0 fm ; 1,214 fmR R A R= = (11.6)

(4) El espesor t de la superficie se define como el espesor de la capa donde la densidad de carga decrece desde el 90% al 10% de su valor mximo.

( ) ( )( ) ( )0,1 0,90 0r r

t r rr rr r

= =

= (11.7)

Este valor es ms o menos similar para todos los ncleos pesados:

( )2 ln 9 2,40 fmt a= (11.8)


14

(5) La densidad de carga ( )0r en el centro del ncleo decrece ligeramente en la medida que incrementa el nmero de masa. Si tomamos en cuenta la presencia de

los neutrones multiplicando por A Z , podemos encontrar una densidad nuclear casi idntica en el interior del ncleo para todos los ncleos. Para ncleos

infinitamente grandes se ha encontrado que ( ) 30 0,17 nucleones fmnr r .

Esto corresponde con un valor de ( ) 1 31,12 fmR A= en la ecuacin (11.3).

(6) Algunos ncleos se desvan de la forma esfrica y poseen una forma elipsoidal.

En particular, esto ocurre con los lantnidos (elementos de las tierras raras). Su

forma exacta no se puede determinar usando dispersin elstica de electrones.

(7) Los ncleos livianos como el 6,7 Li , 9 Be y en especial el 4 He , son casos

especiales, donde no se forma la parte plana de la distribucin y la densidad de

carga llega a ser aproximadamente Gaussiana.

Ejemplo 11.2

Cul es el radio del ncleo de 40 Ca ? Cul debe ser la energa de los electrones y

protones requeridos para medir el tamao de 40 Ca si se desea medir al menos la mitad del radio?

Solucin: primero determinamos el radio usando la ecuacin (11.6). As,

determinamos que

( )131,2 fm 40 4,1 fmR = =

Para distinguir una distancia de al menos la mitad del radio, necesitamos una

longitud de onda de 2 fm . Si usamos la relacin de la longitud de onda de De

Fsica Cuntica

15

Broglie, h p = , tenemos que p h = . La energa total de la partcula sonda debe ser

( ) ( ) ( )22 222 2 2

2

h cE mc pc mc

= + = +

Para una longitud de onda de 2 fm , el ltimo trmino se hace igual a

22 2

5 22

1240 MeV fm 3,844 10 MeV2 fm

h c

= =

Ahora, si insertamos la energa en reposo de la partcula sonda a usar, podemos

determinar la energa total y la energa cintica requerida para el electrn o el

protn.

Energa del electrn

( )22 5 2

2

0,511 MeV 3,844 10 MeV620 MeV

620 MeV 0,5 MeV 620 MeV

EEK E mc

= +

=

= = =

Energa del protn

( )22 5 2

2

938,3 MeV 3,844 10 MeV1125 MeV

1125 MeV 938 MeV=187 MeV

EEK E mc

= +

=

= =

Ejemplo 11.3

Cul es el tamao relativo del 238 U con respecto al 4 He ?


16

Solucin: usamos la ecuacin (11.6) para determinar los radios:

( ) ( )( )1 3238 U 1,2 fm 238 7,4 fmR = =

( ) ( )( )1 34 He 1,2 fm 4 1,9 fmR = =

As,

( )( )

238

4

U 7,4 fm 3,91,9 fmHe

R

R= =

Aun cuando 238 U tiene 60veces el nmero de nucleones del 4 He , su radio es

solamente 4 veces mayor que el radio del 4 He .

Si aproximamos la forma del ncleo a una esfera, tenemos que 34 3V R= , o, usando la ecuacin (11.6), tenemos que

30

43

V R A= (11.9)

La densidad de masa en el ncleo ( )masa volumen se puede determinar usando

( ) uA V y es igual a 17 32,3 10 kg m . Para tener una idea, un milmetro cubico de materia nuclear puede tener un masa de 220.000 toneladas. El ncleo es

alrededor de 1410 veces ms denso que la materia ordinaria.

Fsica Cuntica

17

Espn intrnseco

El neutrn y el protn son fermiones con un nmero cuntico de espn 1 2s = . Las reglas de cuantizacin del espn son todas las que hemos presentado para el

electrn en el Captulo 5.

Momento magntico intrnseco

Los ncleos atmicos tienen tambin un momento dipolar magntico asociado a su

espn y que proviene del movimiento orbital de los protones y del propio momento

magntico del protn y del neutrn.

El momento magntico intrnseco del protn est dirigido en la misma direccin en

la que se encuentra dirigido su espn intrnseco asociado al momento angular,

puesto que la carga del protn es positiva. Esto contrasta con el electrn, cuyo

espn y momentum magntico estn dirigidos en direcciones opuestas. El momento

magntico del ncleo es medido en unidades de magnetn nuclear N , el cual se

define, en analoga con el magnetn de Bohr para el electrn, por la relacin

2N p

em

= (11.10)

Observemos que la masa del protn pm (antes que la masa del electrn) aparece

en la definicin de N , lo que hace al magnetn nuclear mil ochocientas ( )1836 veces ms pequeo que el magnetn de Bohr.

Experimentalmente, se ha registrado que el momento magntico del protn es de

2,79p N = , lo que contrasta fuertemente con el momento magntico del

electrn 1,00116e B = , y lo que resulta an ms sorprendente es que el neutrn, que es elctricamente neutro, tambin tenga un momento magntico

1,91n N = . El signo negativo indica que el vector del momento magntico est dirigido en la direccin opuesta al vector del espn del neutrn. La gran desviacin


18

del valor igual a uno ( )1 del momento magntico del protn y el hecho de que el neutrn an tiene momento magntico indican que los nucleones son

estructuralmente ms complicados que los electrones. Un valor del momento

magntico del neutrn diferente de cero implica que el neutrn posee

internamente componentes de carga negativa y positiva de diferente radio y por

consiguiente una compleja distribucin interna de cargas.

El momento magntico de los ncleos es una propiedad de sumo inters porque da

lugar al fenmeno de resonancia magntica nuclear (RMN) que tiene importantes y

diversas aplicaciones.

11.3. El deutern

Despus del protn, el ncleo ms simple es el deutern, el ncleo de 2 H . Un deutern consiste de un protn y un neutrn, y esto facilita nuestro primer estudio

de las fuerzas en el ncleo. Primero, determinemos cun fuerte se encuentran

ligados el neutrn y el protn en un deutern. La masa del deutern es

2,013553 u y la masa del tomo de deuterio es 2,014102 u . La diferencia en

masa es 2,014102 u 2,013553 u 0,000549 u = , que es exactamente la masa de

un electrn. La energa de ligadura del electrn (13,6 eV para el hidrgeno) es

tan pequea que para nuestros propsitos no importa. El ncleo del deutern est

ligado con una energa dB , la cual representa masa-energa. La masa de un deutern es entonces

2d

d p nBm m mc

= + (11.11)

La masa del deutern es menor que la suma de las masas del neutrn y el protn,

exactamente en una cantidad que es igual a la energa de ligadura dB . Si sumamos la masa del electrn a ambos lados de la ecuacin (11.11), tenemos que

2d

d e p n eBm m m m mc

+ = + + (11.12)

Fsica Cuntica

19

Pero d em m+ es la masa atmica del deuterio ( )2M H y p em m+ es la masa atmica del hidrgeno (si no consideramos la pequea cantidad debida a la energa

de ligadura del electrn). Por consiguiente, la ecuacin (11.12) se hace

( ) ( )2 1 2H H dnBM m Mc

= + (11.13)

As, podemos usar los valores de masa atmica. Puesto que la masa del electrn se

cancela en casi todas las diferencias de masa del ncleo, tal como ocurri en la

ecuacin (11.13), usaremos rutinariamente la masa atmica antes que los valores

de masa del ncleo (ver Apndice 10.1)1. Obsrvese que hemos usado la letra

mayscula M para especificar los valores de masas atmicas y la letra minscula m para especificar los valores de masas de partculas y de nucleones. La energa de

ligadura del deutern es ahora fcilmente determinada:

1,008665 unm = Masa del neutrn

( )1H 1,007825 uM = Masa del tomo de hidrgeno

( )2 H 2,014102 uM = Masa del tomo de deuterio

( ) ( )1 22 H H 0,002388 ud nB m M Mc

= + =

Convertimos esta diferencia en masa a energa usando 2u 931,5 MeV c= .

1 Lo que normalmente se referencia en las Tablas de masas es el exceso de masa , dado por M A . Esta prctica evita tener que escribir los valores de masa con muchas cifras significativas, debido a que M y A son casi iguales. En el Apndice 10.1 se han listado los valores de masa atmica M antes que el valor de para hacer que los clculos sean ms transparentes al estudiante.


20

2 2 2MeV0,002388 u 0,002388 931,5 2,224 MeVdB c c c

= = =

(11.14)

As, nuestra tesis de no considerar la energa de ligadura del electrn 13,6 eV

est bien justificada, debido a que el valor de la energa de ligadura del ncleo de

2,2 MeV es casi un milln de veces mayor a la energa de ligadura del electrn. Aun para ncleos pesados, normalmente no consideraremos la energa de ligadura

del electrn. A pesar de que al hacerse considerablemente ms pesados,

igualmente incrementan la energa de ligadura del ncleo. De cualquier manera, la

energa de ligadura del electrn se cancela en ecuaciones similares a la ecuacin

(11.13) para tomos con ms masa.

La energa de ligadura de cualquier ncleo XAZ es la energa requerida para separar el ncleo en protones y neutrones libres, y su valor puede ser determinado

usando las masas de los tomos, ( )1HM y ( )XAZM :

( ) ( ) ( )1 2X H XA AZ n ZB Nm ZM M c = + (11.15)

Determinacin experimental de la energa de ligadura del ncleo

Podemos verificar nuestro resultado de 2,22 MeV para la energa de ligadura del deutern usando una reaccin nuclear. Podemos hacer dispersar rayos gamma

(fotones) por un gas de deuterio y observar el rompimiento de un deutern en un

neutrn y un protn:

d n p + + (11.16)

A este tipo de reaccin nuclear se le llama fotodesintegracin o reaccin

fotonuclear, debido a que un fotn causa que un ncleo que sirve de blanco

cambie su forma (ver Figura 11.4).

Fsica Cuntica

21

Figura 11.4 Un rayo gamma con energa mayor que 2,22 MeV puede disociar un deutern en un protn y un neutrn. Este efecto de fotodesintegracin sirve para confirmar que la energa de ligadura del deutern es 2,22 MeV .

La relacin masa-energa correspondiente a la reaccin expresada en la ecuacin

(11.16) es

( ) ( )2 2 2 1 2H Hn n ph M c m c M c K Kn + = + + + (11.17)

En la ecuacin (11.17), hn representa la energa del fotn incidente, y nK y pK son los valores de la energa cintica del neutrn y del protn, respectivamente. Si

deseamos encontrar la energa mnima requerida para la fotodesintegracin,

hacemos 0n pK K= = , y as hallamos que

( ) ( )2 1 2 2 2min H Hn dh m c M c M c Bn = + = (11.18)

La ecuacin (11.18) no es del todo correcta, pues tambin se debe conservar el

momentum en la reaccin ( nK y pK no pueden ser iguales a cero). La relacin precisa es

( )min 2 2

12 H

dd

Bh BM c

n = +

(11.19)


22

El valor de minhn es casi exactamente igual a la energa de ligadura del deutern

dB , puesto que el aporte correspondiente al segundo trmino es muy pequeo. Los resultados experimentales han confirmado que fotones con una energa menor que

2,22 MeV no pueden disociar un deutern.

El momento magntico y el espn del deutern

Otra propiedad interesante del deutern es el valor del nmero cuntico asociado

al espn del ncleo, el cual es igual a 1. Este valor sugiere que el espn del neutrn y el del protn se encuentran alineados paralelamente el uno del otro. El momento

magntico del ncleo de un deutern es 0,86 N , valor que resulta muy similar a

la suma de los valores del protn y el neutrn libres: 2,79 1,91 0,88N N N = . Este resultado sirve para dar soporte a nuestra hiptesis de que los espines se

encuentran alineados paralelamente.

11.4. Fuerzas en el ncleo

Los protones son portadores de caraga posiva, as Cmo es posible que se

mantegan juntos tantos protones en un volumen tan pequeo con el que ocupa un

ncleo 1510 m ? La respuesta se encuentra en la fuerza nuclear fuerte, la cul es la fuerza que existe entre los nucleones (protones y neutrones). Es

extramadamente atractiva en un rango de hasta 152 10 m (aproximadamente el

diametro de dos nucleones). Esta fuerza cae a cero ms alla de 152 10 m y acta igualmente sobre protones y neutrones. En la Figura 11.5 se ilustra la fuerza

nuclear fuerte y la fuerza de Coulomb.

Fsica Cuntica

23

Figura 11.5 Ilustracin grafica de la fuerza nuclear fuerte y de Coulomb.

Para estudiar las fuerzas en el ncleo se emplean muchas tcnicas experimentales.

Las directas son las basadas en experimentos de dispersin. Aqu abordaremos las

fuerzas en el ncleo estudiando primero los sistemas ms simples. En la seccin

previa estudiamos el deutern. En la dispersin de neutrones por protones, algunas

veces se forma deutern en las reacciones nucleares:

n p d + = + (11.20)

Tambin podemos estudiar la distribucin angular de neutrones dispersados

elsticamente por protones, tal como se muestra en la Figura 11.6a. Un neutrn

ms un protn y un protn ms un protn dispersados elsticamente revelan que el

potencial en el ncleo tiene aproximadamente la forma que se muestra en la

Figura 11.6b.


24

Figura 11.6 (a) Un estudio detallado de la dispersin de un neutrn ms un protn y de un protn ms un protn revela la forma del potencial que describe la interaccin. (b) La interaccin protn protn incluye el efecto Coulomb (no se encuentra a escala).

El potencial entre los nucleones tiene una parte central dura o ncleo duro que

previene que los nucleones se aproximen ms cerca el uno del otro en menos de

0,4 fm . Un protn tiene un radio de accin de su carga de hasta 1 fm . Se cree que el neutrn es aproximadamente del mismo tamao. Dos nucleones dentro de

un espacio de radio 2 fm sienten una fuerza atractiva que trata de mantenerlos juntos. En la parte externa de este espacio, alrededor de 3 fm de su centro, la fuerza es esencialmente cero. As, denominaremos a la fuerza en el ncleo como

fuerza de corto rango o alcance, debido a que cae a cero en la medida en que la

distancia entre las partculas incrementa. Puesto que la fuerza en el ncleo es de

corto alcance, los nucleones interactan principalmente con su vecino ms

cercano. As, se dice que la fuerza en el ncleo es saturable, puesto que los

nucleones ms internos se encuentran completamente rodeados por otros

nucleones con los que interactan. Sin embargo, los nucleones en la superficie no

Fsica Cuntica

25

se encuentran completamente ligados y su fuerza nuclear no se encuentra

saturada. Por supuesto, estamos hablando desde un punto de vista clsico sobre

temas que deben ser descritos con la mecnica cuntica.

La nica diferencia entre los potenciales np y pp mostrados en la Figura 11.6b

es el potencial de Coulomb mostrado para 3 fmr en el caso de la fuerza pp .

Dentro del espacio con radio de 3 fm domina la fuerza nuclear o fuerza entre los nucleones, pero fuera de los 3 fm slo la fuerza de Coulomb es efectiva. La profundidad del potencial nuclen nuclen es alrededor de 40 MeV , siendo la profundidad del potencial np ligeramente mayor por la ausencia de fuerzas de Coulomb.

A la fuerza en el ncleo o fuerza nuclear se le conoce como dependiente del espn,

porque el estado ligado del deutern tiene los espines del neutrn y de los

protones alineados, pero no existe un estado ligado con los espines antialineados

(en otras palabras, acoplados para tener un espn total igual a cero).

El sistema neutrn neutrn es ms difcil de estudiar debido a que los neutrones

libres (no ligados al ncleo) no son estables y no sabemos todava cmo construir

un blanco que est constituido por neutrones libres. Sin embargo, evidencias

indirectas, en conjunto con el anlisis de experimentos donde neutrones que se

encuentran en movimiento son dispersados por otros neutrones tambin en

movimiento (tal como ocurre en explosiones simultneas de bombas nucleares),

indican que el potencial nn es similar al potencial np . El potencial nuclear entre dos nucleones parece ser independiente de sus cargas. Para muchos propsitos, el

neutrn y el protn pueden ser considerados estados de carga diferentes de la

misma partcula. Esta es la razn por la que usamos el trmino nuclen para

referirnos bien a los neutrones, bien a los protones.

11.5. Estabilidad del ncleo

Consideremos por el momento un ncleo de Litio con siete nucleones, tal como se

ilustra en la Figura 11.7. La fuerza nuclear y la fuerza repulsiva de Coulomb se

deben encontrar balanceadas en un ncleo estable. Cualquier cambio en la

composin del ncleo cambiar el balance de las fuerzas, alterando la energa


26

potencial dentro del ncleo. As, debido a la estructura del ncleo y al balance de

fuerzas, los nucleones ligados en un un ncleo son ms estables (tienen baja

energa) que ncleones no-ligados (libres). Cuando se ligan nucleones para formar

un ncleo, una pequea fraccion de la masa (FMP ) de cada nuclen se transforma en energa, la cual es tipicamente radiada fuera del ncleo. Esta

energa (de ligadura) debe sumarse al ncleo para remover un nuclen. As,

constituyentes ncleo resultante TotalMT M M= (11.21)

Usando la equivalencia entre masa y energa ( 2E mc= ) tenemos que la energa de ligadura es:

2contituyentes ncleo resulanteB M M c = (11.22)

Figura 11.7 Ilustracion grafica de un ncleo de Litio, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza de Coulomb.

Ejemplo 11.4

Fsica Cuntica

27

Cunta energa es liberada cuando dos protones y dos neutrones se juntan para

forma un tomo deHelio?

Solucin:

2 protones 2 1,007276 u 2,014552 u 2 neutrones 2 1,008665 u = 2,017330 uMasa total de las partculas individuales = 4,031882 u

=

Masa total de las partculas ligadas (ncleo de He) = 4,001475 u

Fraccin de masa perdida 0,030407 uFMP =

La energa liberada es:

( )( )0,030407 u 931,5 MeV u 28,3 MeV=

As, la energa de ligadura se puede interpretar como una fraccin de masa perdida

entre la masa total de las partculas individuales (no ligadas) y la masa del ncleo

que resulta de esta ligadura.

Con la ecuacin (11.15) presentamos un mtodo para determinar la energa de

ligadura de ncleos en trminos de los valores de masa de tomos o masa atmica.

Si la energa de ligadura B es positiva, entonces se dice que el ncleo es estable y no se descompone en neutrones y protones. En este momento, necesitamos

generalizar la ecuacin (11.15); sin embargo, debido a que un ncleo que contiene

A nucleones se considera estable si su masa es ms pequea que cualquier otra

combinacin posible de los A nucleones. La energa de ligadura de un ncleo XAZ , que se opone a la descomposicin en cualquier otra combinacin de nucleones, por

ejemplo R y S , es

( ) ( ) ( ) 2R S XAZB M M M c = + (11.23)


28

La energa requerida para remover un protn (o neutrn) de un ncleo se llama

energa de separacin del protn (o del neutrn), y la ecuacin (11.23) es til para

encontrar esta energa. Aun si B es negativa para una descomposicin particular, pueden existir otras razones por las que el ncleo es estable.

Ejemplo 11.5

Demuestre que el ncleo 8 B tiene una energa de ligadura positiva pero es inestable en el sentido de que se descompone o decae en dos partculas alfa.

Solucin: la energa de ligadura de 8 B se determina usando la ecuacin (11.15):

( ) ( ) ( )8 1 8 2B 4 4 H BenB m M M c = +

Tomamos la masa atmica de 1H y 8 B en el Apndice 10.1 y calculamos la energa de ligadura, as:

( ) ( ) ( )8 2 2931,5 MeVB 4 1,008665 u 4 1,007825 u 8,005305 u 56,5 MeV

uB c

c = + =

Calculamos la energa de ligadura del decaimiento de 8 B en dos partculas alfa, 8 B 2 , usando la ecuacin (11.23):

( ) ( ) ( )8 4 8 2B 2 2 He BeB M M c =

( ) 2 2931,5 MeV2 4,002603 u 8,005305 u

uc

c =

0,093 MeV=

Fsica Cuntica

29

Como el valor de la energa de ligadura es negativo, el 8 Be decae en dos partculas alfa y es inestable. Desde el punto de vista de la energa, no existe

razn por la cual se pueda argumentar que el ncleo de 8 Be no decaer en dos partculas alfa. Algunas veces un ncleo puede ser estable aun si otra combinacin

de A nucleones tiene una masa ms baja, si alguna ley de conservacin (tal como el momento angular asociado al espn) previene el decaimiento radioactivo. En

este caso, sin embargo, encontramos experimentalmente que el 8 Be decae de

forma espontnea en dos partculas alfa. La inestabilidad del 8 Be es tambin responsable del hecho de que las estrellas estn principalmente formadas por

hidrgeno y helio. A causa de la inestabilidad del 8 Be , es difcil para los ncleos de helio juntarse para constituir ncleos ms pesados.

En general podemos decir que si el ncleo tiene muchos protones, entonces la

fuerza de repulsin de Coulomb supera en poder a la fuerza fuerte nuclear que

como lo hemos mencionado es atractiva y de corto alcance, de manera que en esta

circunstancia el ncleo es inestable. Si el el ncleo tiene muchos neutrones, existe

una asimetra significativa entre el nmero de protones y el nmero de neutrones,

lo que crea un desbalance en los niveles de energa internos de los nucleones. El

exceso de neutrones causa que el ncleo se encuentre en un nivel de energa ms

alto que el estado de energa deseado y el ncleo es inestable. En general, se

cumple que el ncleo es estable cuando:

Nmero de Neutrones1 2Nmero de Protones

< < (11.24)


30

Figura 11.8 Ilustracin grafica de la estabilidad del ncleo en trminos de la cantidad relativa del neutrones en relacin al nmero de protones.

En la Figura 11.9, se muestran todos los ncleos estables e inestables conocidos

que tienen suficiente tiempo de vida como para ser observados (en la actualidad se

incluyen ncleos que decaen en milisegundos o menos). Tambin, se grafican en la

Figura 11.9 las lneas correspondientes a N Z= y 2N Z= , las cuales demarcan las zonas de inestabilidad caracterizadas por exceso de protones y neutrones,

respectivamente. Adems, se seala el rea donde ocurre un exceso de nucleones.

Fsica Cuntica

31

Figura 11.9 Una grfica del nmero de neutrones N versus el nmero de protones Z . Los puntos slidos representan ncleos estables y el rea sombreada representa ncleos inestables. Una lnea suave a travs de los puntos slidos representa la lnea de estabilidad.

Existen varios hechos importantes que podemos extraer de la Figura 10.5. Primero,

al parecer, para ncleos con 40A , la naturaleza prefiere que el nmero de protones y neutrones en el ncleo sea alrededor del mismo, Z N . Sin embargo, para 40A , existe una preferencia clara por N Z> . Podemos entender esta diferencia de la siguiente manera: tal como observamos al comienzo, la fortaleza

de la fuerza nuclear es independiente de cuando las partculas son nn , np o pp . Un nmero igual de protones y neutrones puede conducir a una fuerza entre


32

nucleones, que en promedio es ms atractiva, pero no debemos olvidar la fuerza

de Coulomb. En la medida en que el nmero de protones aumenta, la fuerza de

Coulomb entre todos los protones se hace ms fuerte hasta afectar

significativamente la ligadura.

La energa electrosttica requerida para contener una carga Ze esparcida uniformemente a travs de una esfera de radio R se puede calcular determinando el trabajo requerido para llevar la carga de la parte interior a la parte exterior de

la esfera a una distancia infinita (ver Problema 11.41). Se ha determinado que esta

energa es

( )2

Coulomb0

35 4

ZeE

Re = (11.25)

Para un solo protn, la ecuacin (11.25) conduce al valor de la autoenerga:

2

Coulomb0

35 4

eERe

=

Este trmino representa el trabajo realizado para ensamblar el protn en s mismo,

y nosotros no deseamos incluirlo en la autoenerga electrosttica de un ncleo

compuesto de Z protones. Por consiguiente, debemos substraer un valor de Z del total dado por la ecuacin (11.25) para conseguir la energa total de Coulomb de

repulsin en un ncleo:

( ) 2

Coulomb0

135 4Z Z e

ERe

= (11.26)

Ejemplo 11.6

Muestre que la ecuacin (11.26) se puede escribir como

Fsica Cuntica

33

( ) 1 3Coulomb 0,72 1 MeVE Z Z A = (11.27)

y use esta ecuacin para calcular la energa total de Coulomb del 23892 U .

Solucin: usamos la ecuacin (11.6) para calcular R con 0 1,2 fmr = y usamos el valor que resulta en la ecuacin (11.26) para hallar la energa, primero en Joules y

luego en MeV .

( ) ( )2219 9

Coulomb 2 15 1 3

3 m 11 1,6 10 C 9 10 N5 C 1,2 10 m

E Z ZA

=

( )13 1 3 13MeV1,15 10 1 J

1,6 10 JZ Z A

=

( ) 1 30,72 1 MeVZ Z A= .

Usamos el valor de 92Z = y 238A = en la ecuacin (11.27) para encontrar que

( )( )( ) 1 3Coulomb 0,72 92 91 238 973 MeVE = =

Es este valor pequeo o grande?

Si damos un vistazo a los valores de las masas atmicas en el Apndice 10.1,

podemos calcular la energa de ligadura total del 23892 U con respecto a su decaimiento o descomposicin en nucleones, es decir,

( ) ( ) 2Total 2931,5 MeV146 1,008665 u 92 1,007825 u 238,050783 u

u 1802 MeV

B cc

= + =


34

As, la energa total de Coulomb es una fraccin significativa de la energa de

ligadura en los ncleos grandes.

Podemos concluir que los ncleos pesados prefieren menos protones que neutrones

por la gran energa de repulsin de Coulomb. De hecho, la Figura 11.9 revela que

existen ncleos que no son estables con 83Z > , debido al gran incremento que ocurre en la fuerza de Coulomb. El ncleo estable ms pesado que se conoce es el

20983Bi . Todos los ncleos con 83Z > y 209A > eventualmente decaen de forma

espontnea en alguna combinacin de A nucleones con masas ms livianas. Sumar un protn a un ncleo pesado implica que se suma una cantidad de energa de

ligadura al ncleo, pero la fuerza de repulsin de Coulomb incrementa

aproximadamente en ( )2 2Coulomb 1 2E Z Z Z + . Como la fuerza de Coulomb es de largo alcance, el protn interacciona electromagnticamente con todos los

otros protones que ya existen en el ncleo, y debido a que la energa de repulsin

se incrementa con el valor de Z , los ncleos con valores altos de Z eventualmente se hacen inestables. Los neutrones diluyen ligeramente la

dispersin de Coulomb porque se interponen entre los protones, causando que

stos se encuentren ligeramente ms separados.

Otro hecho interesante derivado de la Figura 11.9 es que la gran mayora de

ncleos estables tienen nmeros pares como valores de Z y A. A los ncleos con esta particularidad se les denomina ncleos par par. Solamente cuatro ncleos

estables, todos livianos, tienen un valor impar de Z y de N , y se les llama

ncleos impar impar. stos son 21H , 63Li ,

105 B y

147 N . Todos los otros ncleos

estables son impar par o par impar; en otras palabras, con uno de los valores de

Z o de N igual a un nmero impar. La naturaleza, aparentemente, prefiere ncleos de protones y neutrones con nmeros pares.

Podemos entender esta observacin emprica en trminos del principio de

exclusin de Pauli. Los protones y los neutrones son fermiones distinguibles, y por

consiguiente obedecen separadamente al principio de exclusin. Slo dos

neutrones (o dos protones) pueden coexistir en el mismo estado cuntico, uno con

Fsica Cuntica

35

espn hacia arriba y el otro con espn hacia abajo. Por ello, cada nivel de energa

nuclear puede estar ocupado por dos partculas cuyos espines se apareen, haciendo

que el espn total sea igual a cero. Esta configuracin de espines opuestos es

particularmente estable debido a que al localizar el mismo nmero de partculas

en cualquier otro arreglo producir un estado (menos estable) de ms alta energa.

All radica la preferencia de nmeros pares en los valores de Z y N .

En la dcada de 1930, Niels Bohr, Carl F. von Weizscker y otros fsicos pudieron

explicar muchos fenmenos nucleares tratando los ncleos como una coleccin de

partculas que interaccionan en una gota de lquido. Este modelo de los ncleos se

conoce como el modelo de la gota de lquido. En la seccin anterior entendimos

cualitativamente la lnea en la curva de estabilidad mostrada en la Figura 11.9. En

una manera similar von Weizscker propuso en 1935 una frmula emprica de

masa, basada en el modelo de la gota de lquido.

En trminos de la energa de ligadura total, la frmula de masa emprica es

( ) ( )22

2 31 3 1 2X 4

AZ V S C a

N ZZB a A a A a aA A A

= + (11.28)

El trmino de volumen indica que la energa de ligadura es aproximadamente la

suma de todas las interacciones entre nucleones. Puesto que la fuerza nuclear es

de corto rango y cada nuclen interacciona solamente con sus vecinos cercanos,

esta interaccin es proporcional al nmero total de nucleones A.

El segundo trmino rinde cuentas del efecto de la superficie y es simplemente una

correccin al primer trmino (similar a la tensin superficial), debido a que los

nucleones en la superficie del ncleo no se encuentran completamente rodeados

por otros nucleones. Los nucleones en la superficie no tienen sus interacciones

saturadas, y debe hacerse una correccin proporcional a la superficie de la gota de

lquido 24 R . Puesto que 1 3R A , la correccin es proporcional a 2 3A .

El tercer trmino es la energa de Coulomb, discutida y presentada en la

Ecuaciones (11.25) y (11.26). Esta es proporcional a 2 1 3Z A .


36

El cuarto trmino se debe a la asimetra, tambin discutido previamente. En la

ausencia de fuerzas de Coulomb, los ncleos prefieren tener N Z= . Este trmino tiene un origen mecnico cuntico, dependiendo del principio de exclusin.

Observemos que el signo del cuarto trmino es independiente del signo de N Z .

El ltimo trmino se debe a la energa de apareamiento y refleja el hecho de que

el ncleo es ms estable en casos par - par. Nosotros determinaremos el valor de

este trmino empricamente.

Un conjunto de valores para los parmetros de la ecuacin (11.28) es:

15,75 MeVVa = Volumen

17,8 MeVSa = Superficie

0,711 MeVCa = Coulomb

94,8 MeVaa = Asimetra

Apareamiento

ncleos par - par 0 ncleos con par (par - impar, impar - par)

ncleos impar - impar A

+=

11,2 MeV = .

En la Figura 11.10 se ilustran las diferentes contribuciones y sus efectos a la

energa de ligadura en la frmula de von Weizscker.

Fsica Cuntica

37

Figura 11.10 Contribuciones a la energa de ligadura por nuclen como una funcin del nmero de masa A . La lnea horizontal a 16 MeV representa la contribucin del volumen. Esta es reducida por los efectos de la superficie, la simetra y la energa de Coulomb. Observe que las contribuciones debidas al trmino de Coulomb y de asimetra incrementan rpidamente con A , mientras que la contribucin debida al efecto de la superficie decrece.

La tabla completa de istopos estables se puede entender aplicando frmula de

von Weizscker. En la naturaleza no se han encontrado ncleos ms pesados que el

23892 U . Tales ncleos, si los hubo, posiblemente decayeron tan rpidamente que ya

no existen en cantidades suficientes. Muchos de los ncleos entre el 20983Bi y el 23892 U siguen encontrndose en la naturaleza, ya sea porque decaen lentamente y

no han decado lo suficiente desde que se formaron en el interior de estrellas o

porque son producidos continuamente por el decaimiento radioactivo de otros

ncleos.

Si calculamos la energa de ligadura de cada ncleo conocido y la dividimos entre

su nmero de masa, obtenemos la grfica que se muestra en la Figura 11.11.


38

Figura 11.11. La energa de ligadura por nuclen versus el nmero de masa. Ntense los picos a 4 He , 12 C y 16 O .

Podemos observar, en el caso de los ncleos ms pesados, que la energa de

ligadura promedio por nuclen alcanza su valor mximo alrededor de 56A = y luego desciende lentamente. En el caso de los ncleos livianos la curva incrementa

rpidamente desde el hidrgeno hasta que todos los nucleones son rodeados por

otros nucleones. Esta curva sirve como evidencia del efecto de saturacin de las

fuerzas en el ncleo. Despus de los ncleos ms livianos ( 20A < ), la curva es razonablemente plana a 8 MeV nuclen . Existe un pico agudo para los ncleos

par par 4 He , 12 C y 16 O , los cuales se encuentran fuertemente ligados.

Ejemplo 11.7

Fsica Cuntica

39

Use la ecuacin (11.28) para calcular la energa de ligadura del ncleo de 56 Fe . Cul es la energa de ligadura por nuclen?

Solucin: El hierro tiene 26 protones y 30 neutrones. As, 26Z = , 30N = y 56A = .

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 22 356

26 1 3 1 2

26 30 26Fe 56 56

4 5656 56V S C aB a a a a

= +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )

22 356

26 1 3

2

1 2

26Fe 15,75 56 17,8 56 0,711

56

30 26 11,2 94,88

4 56 56

B =

+

( )5626 Fe 490,55 MeVB =

La energa de ligadura por nuclen es

( )5620 Fe 8,76 MeV nuclen

56 nucleonesB

=

Ejemplo 11.8

Calcule la energa de ligadura por nuclen para el 2010 Ne , 5626 Fe y

23892 U .


40

Solucin: primero hallamos la energa de ligadura usando la ecuacin (11.15) para

cada uno de estos ncleos y luego dividimos entre el nmero de masa para obtener

la energa de ligadura por nuclen.

( ) ( ) ( )20 1 20 210 10Ne 10 10 H NenB m M M c = +

( ) ( ) 2 2931,5 MeV10 1,008665 u 10 1,007825 u 19,992440 u

uc

c = +

160,6 MeV=

( )2010 Ne 8,03 MeV nuclen

20 nucleonesB

=

( ) ( ) ( )20 1 56 210 26Fe 30 26 H FenB m M M c = +

( ) ( ) 2 2931,5 MeV30 1,008665 u 26 1,007825 u 55,934942 u

uc

c = +

492 MeV=

( )5620 Fe 8,79 MeV nuclen

56 nucleonesB

=

( ) ( ) ( )238 1 238 292 92U 146 92 H UnB m M M c = +

Fsica Cuntica

41

( ) ( ) 2 2931,5 MeV146 1,008665 u 92 1,007825 u 238,050783 u

uc

c = +

1802 MeV=

( )23892 U 7,57 MeV nuclen

238 nucleonesB

=

Todos los tres ncleos tienen energa de ligadura por nuclen cercanamente igual a

8 MeV , y el 56 Fe tiene la energa de ligadura ms grande por nuclen.

La naturaleza siempre forzara a que un ncleo inestable decaiga en uno ms

estable. Existen tres mecanismos para que un ncleo se estabilice: (1) El ncleo se

fragmenta en partes. (2) El ncleo emite un nuclen. (3) Ocurre el cambio de un

neutrn a protn o viceversa, lo que usualmente va acompaado de la emisin de

una partcula. (4) El ncleo emite el exceso de energa en la fora de fotones gama.

(Ver Figura 11.12). En el decaimeinto nuclear se debe conservar la masa, carga,

energa total y el espn.


42

Figura 11.12 Mecanismo de estabilizacin de un ncleo. (a) el ncleo se fragmenta en partes. (b) El nuclo emite un nuclen. (c) Ocurre el cambio de un neutrn a protn o

viceversa. (d) El exceso de energa es emitido en la forma de fotones gama.

11.6. Estructura del ncleo

Los modelos de la estructura del ncleo generalmente caen en una de las

siguientes dos categoras:

1. Modelos que consideran a los nucleones como partculas independientes, segn los cuales los nucleones se mueven casi independientemente en un

potencial nuclear comn. El modelo del gas de Fermi, hiperncleo y el

modelo de envolturas (shells).

2. Modelos que consideran que los nucleones se encuentran fuertemente acoplados. El modelo de la gota de lquido, discutido en secciones previas,

es el ms caracterstico de esta categora y ha sido exitoso explicando las

masas de los ncleos (ver la frmula de von Weizscker), as como la fisin

nuclear (ver Captulo 12).

Los ncleos que se encuentran en su estado basal o ligeramente excitados son

ejemplos de gases de Fermi degenerados. En el ncleo la densidad es determinada

por la interaccin nuclen-nuclen, esencialmente por una repulsin fuerte a

cortas distancias y una atraccin dbil entre nucleones que se encuentran bastante

separados. Ya hemos visto que los nucleones no se encuentran localizados de una

manera estacionaria dentro del ncleo y que ms bien ellos se encuentran

movindose con un momentum (relativamente grande) del orden de 250 MeV c .

Fsica Cuntica

43

Esta movilidad es una consecuencia del hecho de que los enlaces entre nucleones

en el ncleo son dbiles y la distancia promedio entre nucleones es mucho ms

grande que el radio de la parte central (core) del nuclen.

Modelo del gas de Fermi

Los protones y neutrones que en conjunto integran el ncleo se visualizan en el

modelo del gas de Fermi como dos sistemas independientes de nucleones. Ya

veremos que la distribucin de los momenta de los nucleones que se obtiene en

experimentos de dispersin casi-elstica electrn-ncleos y las energas de ligadura

se pueden entender en trminos del modelo del gas de Fermi, y an ms, los

trminos principales de la ecuacin emprica de von Weizscker emergen de este

modelo. Como los nucleones tienen un valor de espn de 1 2 , ellos obedecen la estadstica de Fermi-Dirac. En este modelo se asume que los nucleones se pueden

mover libremente dentro del volumen completo del ncleo.

El potencial que cada nuclen siente es una sobreposicin de los potenciales de los

otros nucleones. En este modelo se asume que este potencial tienen la forma de un

pozo, i.e., permanece constante dentro del ncleo y se detienen abruptamente en

sus lados, tal como se ilustra en la Figura 11.13. Debido a la interaccin de

Coulomb, la forma y profundidad del potencial del protn es diferente a la del

neutrn. Por ejemplo, las profundidades tpicas para un neutrn son de 43 MeV , pero es solamente 37 MeV para los protones. Tambin se muestran en la Figura 11.13, dentro del potencial, los niveles de energa que representan estados que

pueden ser ocupados por nucleones. Observemos que los ncleos tienen un nivel de

Fermi, tal como lo tienen los tomos, representado por el nivel ms alto que se

encuentra lleno u ocupado por nucleones. Un nivel de energa de Fermi tpico tiene

una profundidad de alrededor de 8 MeV . En el estado basal (ground state) de un ncleo todos los niveles de energa por debajo del nivel de Fermi se encuentran

llenos u ocupados, pero cuando el ncleo es excitado uno o ms de los nucleones

es promovido a uno de los niveles siguientes que se encuentra desocupado, por

arriba del nivel de Fermi.


44

Figura 11.13. Diagrama del pozo de potencial nuclear experimentado por neutrones y protones. Los neutrones se encuentran ms fuertemente ligados que los protones debido al potencial de Coulomb. Todos los niveles por debajo del nivel de Fermi se encuentran llenos u ocupados.

El nmero de estados posibles para un nuclen dentro de un volumen V y en un intervalo infinitesimal de momentum dp est dado por

( )

2

34

2p dpdn V

=

(11.29)

A una temperatura igual a cero Kelvin, i.e., en su estado basal (fundamental), los

estados de ms baja energa sern todos ocupados hasta un valor mximo de

momentum que denominamos el momentum de Fermi Fp . El nmero de estaos estado se puede encontrar si integramos la ecuacin (11.29),

3F

2 26Vpn

=

(11.30)

Fsica Cuntica

45

Ya que cada estado puede albergar dos fermiones de la misma especie, el nmero

de neutrones N y de protones P es,

( )3nF

2 33V p

N

=

y ( )3pF

2 33V p

P

=

(11.31)

donde nFp y pFp representan a los momenta de Fermi para los neutrones y

protones, respectivamente. Podemos estimar los momenta de Fermi, si

consideramos que el ncleo es completamente esfrico y su volumen es,

3 3

04 43 3

V R R A = = (11.32)

De experimentos de dispersin de electrones se ha encontrado que 0 1,21 fmR = . Si se asume que el pozo de potencial del protn y del neutrn tienen el mismo

radio, podemos encontrar que para un ncleo con 2Z N A= = el momento de Fermi es,

1 3

n pF F F

0

9 250 MeV8

p p p cR

= = =

. (11.33)

Lo que sugiere, que los nucleones se mueven libremente dentro del ncleo con un

gran momentum.

Experimentos de dispersin casi-elstica de electrn-ncleo han conducido a

valores para el momentum de Fermi que se encuentran en muy buena

correspondencia con lo predicho en la ecuacin (11.33). Sin embargo, para ncleos

livianos, Fp tiende a ser ms pequeo de lo predicho y el modelo del gas de Fermi no es muy bueno en estos casos.

Le energa de Fermi FE , la energa del estados ms alto que se encuentra ocupado cuando el ncleo se encuentra en su estado basal, es,


46

2F

F 33 MeV2pEM

= , (11.34)

donde M representa la masa del nuclen. La diferencia B entre el tope del pozo y el nivel de Fermi es constante para mucho de los ncleos y es la energa de

ligadura promedio por nuclen 7 a 8 MeVB A = . La profundidad del pozo de potencial y la energa de Fermi son en buena medida independientes del nmero

de masa A:

0 F 40 MeVV E B= + . (11.35)

Similar a lo que ocurre en el caso del gas de electrones en metales, la energa

cintica del gas de nucleones en el ncleo es comparable a la profundidad del pozo

de potencial. Esto, resulta ser otra evidencia de que los ncleos son sistemas

ligados dbilmente.

En general los ncleos pesados tienen un exceso de neutrones y como el nivel de

Fermi de los protones y neutrones en ncleos estables debe ser igual2, esto implica

que la profundidad del pozo de potencial que es experimentado por el gas de

neutrones tiene que ser mayor que la del potencial experimentado por el gas de

protones, ver Figura 11.13. As, los protones se encuentran, en promedio, menos

fuertemente ligados en el ncleo que los neutrones. Esto se puede entender como

una consecuencia de la repulsin de Coulomb de los protones cargados, lo que

introduce un trmino adicional en el potencial, el cual est dado por

( )C 1cV Z

R

=

(11.36)

donde 2 04 1 137e c e= y 200 MeV fmc .

2 De otra manera los ncleos pueden ir a un estado energtico ms favorable a travs de

decaimiento beta.

Fsica Cuntica

47

La dependencia de la energa de ligadura con el exceso de neutrones se puede

calcular usando el modelo del gas de Fermi. Primero debemos encontrar la energa

cintica promedio por nuclen,

F

F

2 20 F

2

0

3 20 MeV5 2

p

kk p

E p dp pEMp dp

= =

(11.37)

La energa cintica total del ncleo es por consiguiente

( ) ( ) ( )( )2 2n pn p F F3, 10KE N Z N E Z E N p Z pM= + = + (11.38) Podemos rescribir la ecuacin (11.38) usando las expresiones en ecuacin (11.32) y

(11.31), as

( )2 32 5 3 5 3

2 5 30

3 9,10 4K

N ZE N ZM R A

+ =

(11.39)

Note, que nosotros hemos una vez ms asumido que los radios de los pozos de

potencial del protn y del neutrn son iguales. La energa cintica promedio tiene

un mnimo cuando N Z= , para un valor fijo del nmero de masa A, pero donde puede variar N o equivalentemente Z . Si expandimos la ecuacin (11.39) en trminos de ( N Z ) obtenemos la ecuacin (11.40), la cual representa la dependencia funcional de la energa con el exceso de neutrones.

( ) ( )22 32

20

3 9 5, ...10 4 9K

N ZE N Z A

M R A = + +

(11.40)

El primer trmino en la ecuacin (11.40) corresponde con el trmino que da cuenta

de la contribucin del volumen en la ecuacin emprica de von Weizscker,

mientras que el segundo trmino, describe la correccin que hay que hacer debido


48

a que N Z . Este trmino denominado energa asimtrica crece con el cuadrado del exceso de neutrones y la energa de ligadura decrece en correspondencia con

este exceso. Para reproducir con una precisin razonable el trmino asimtrico en

la ecuacin emprica de von Weizscker se hace necesario considerar el cambio en

el potencial debido a que N Z . Esta ltima correccin es tan importante como el cambio en la energa cintica. As, vemos que le modelo del gas de Fermi

reproduce los trminos de volumen y asimetra en la ecuacin emprica de von

Weizscker.

Hiperncleo

El uso del modelo del gas de Fermi es ms apropiado en sistemas de gran escala y

donde la cuantizacin del momentum angular se puede no considerar. En sistemas,

tales como, electrones de conduccin en metales, nucleones en estrellas de

neutrones, electrones en enanas blancas, y otros. El sistema de nucleones dentro

del ncleo es tan pequeo que este posee niveles de energa discretos con distinto

momentum angular. De hecho, si calculamos los niveles de energa en un potencial

esfrico, podemos encontrar estados con momentum angular { }0,1,2,....= .

A una temperatura de cero Kelvin, todos los estados ms bajos de energa se

encuentran ocupados. La interaccin entre nucleones puede causar que los

nucleones intercambien su lugar en el espectro de niveles de energa. Como esto

no cambia la energa total de los nucleones, este intercambio es inobservable. Esta

es la razn por la que preferimos hablar como si cada nuclen se encuentra en un

estado definido de energa y momentum angular. La funcin de onda que describe

cada estado es la funcin de onda de una-partcula. La funcin de onda nuclear es

el producto de todas las funciones de onda de una-partcula.

Una manera elegante de investigar los niveles de energa de los nucleones

individuales es introduciendo una partcula hipern como una sonda de prueba

dentro del ncleo, idealmente la partcula . El ncleo que resulta recibe el nombre de hiperncleo. En 1970 en el CERN se construy un equipo para generar y

producir hiperncleos.

Fsica Cuntica

49

Los hiperncleos son eficientemente producidos en la reaccin de intercambio de

la extraeza

K A A + + (11.41)

donde el subndice indica que un neutrn en el ncleo se ha trasformado en una

partcula hipern por intermedio de la reaccin

K n + + (11.42)

Si el neutrn permanece ligado dentro del ncleo y tambin permanece dentro

del ncleo, entonces la diferencia de energa entre K y conduce a la diferencia de energa entre la energa de ligadura del neutrn nB y la de la

partcula , B . As,

( ) 2n nK "recoil"B B E E M M c = + + + (11.43)

En la Figura 11.14 se muestra el conteo de piones para la reaccin

12 12K C C + + , como una funcin de la energa de ligadura B . El valor

experimental de la energa necesaria para sacar un neutrn del ncleo de 12 C se tom como el valor de nB . En esta figura se pueden observar un pico alrededor de

0B = y un segundo pico, ms pequeo, con un mximo alrededor de 11 MeV . Esto se puede explicar as, el principio de exclusin de Pauli previene a los

protones y neutrones en el ncleo ocupar niveles ms bajos de energa que de

hecho ya se encuentran ocupados, sin embargo, cuando un neutrn cambia a una

partcula , entonces sta si puede ocupar cualquier estado en el ncleo. La partcula no experimenta la presencia individual de nucleones, pero si el potencial que ellos crean. Este potencial es menos profundo que el que los

nucleones experimentan. Esta es la razn del porque la interaccin -nuclen es ms dbil que la que ocurre entre nucleones. Esto tambin se puede observar por

la ausencia de la formacin de estados ligados -nuclen. Ahora, el espectro en la

Figura 11.14 se puede interpretar as, los protones y neutrones en ncleo de 12 C


50

ocupan los niveles de energa 1s y 1p , y uno de los neutrones en estado 1p es transformado a . La partcula puede ocupar un estado 1p , en cuyo caso su energa de ligadura sera muy cerca de cero. Alternativamente, la partcula

puede ocupar un estado 1s y entonces tienen una energa de ligadura alrededor de 11 MeVB . Este pico se puede interpretar como que la transformacin de un

neutrn en una partcula deja libre algo de energa que le es dada al pion. Esta energa solo puede venir de la energa de ligadura nuclear.

Figura 11.14 Espectro de piones para la reaccin 12 12K C C + + para un momentum del kan igual a 720 MeV c . Las cuentas de piones por unidad de tiempo se grafican como una funcin de la energa transferida B , la cual, se interpretar como la energa de ligadura del kan dentro del ncleo. EL pico nmero uno corresponde con la energa de ligadura 0B = y el pico nmero dos, corresponde con

el estado basal de 12 C , el cual tiene un energa de ligadura de 11 MeV . Datos tomados de B. Povh., Prog. Part. Nucl. Phys., 5 (1981) 245.

Fsica Cuntica

51

Los estados de una-partcula se pueden ver ms claramente en ncleos pesados. Investigaciones sistemticas, basadas en la reaccin expresada en la ecuacin

(11.44), han permitido conocer la energa de ligadura de los estados 1s y an ms de los estados excitados p , d y f , de varios ncleos, tal como se muestra en la Figura 11.15. Esta muestra la dependencia de la energa de ligadura de los

nucleones con el nmero de masa A del ncleo.

A A K + ++ + (11.44)

Figura 11.15 Energa de ligadura de partculas como una funcin del nmero de masa A . Los smbolos d , p y s se refieren a los estados de las partculas en el ncleo. Los simbolos llenos conectados con lneas corresponden con predicciones tericas. Datos tomados de R.E. Chrien, C.B. Dover., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 39 (1989) 113.

As, los hiperones ocupan niveles discretos de energa cuyas energas de ligadura incrementa con el nmero de masa. Las curvas mostradas son el resultado


52

de asumir que el pozo de potencial tiene un profundidad uniforma 0 30 MeVV y

que el radio nuclear incrementa siguiendo la expresin 1 30R R A= . As, la escala 2 3A corresponde con 2R y se escogi as porque 2B R permanece casi

constante en estados con los mismos nmeros cuntico.

As, la partcula se mueve como una partcula libre en el pozo de potencial a pesar de que el ncleo est compuesto de materia densamente empacada.

El modelo de envolturas Shell

Los resultados logrados con la espectroscopa de hiperncleos se pueden aplicar a

nucleones. De manera que podemos asumir que cada nuclen ocupa un nivel de

energa bien definido. La existencia de estos niveles discretos de energa para los

nucleones en el ncleo es una evocacin de la nube de electrones en el tomo, ver

Figura 11.16. Los electrones se mueven en el tomo en un potencial Coulombiano

central que emana de los ncleos atmicos. En el caso de los nucleones, por otro

lado, los nucleones se mueven experimentado un potencial (campo promedio)

producido por otros nucleones. En ambos casos surgen niveles discretos de energa

que son ocupados en concordancia con el principio de exclusin de Pauli.

En el caso de los tomos, los electrones se ordenan en envolturas, las cuales se

deben de entender como varios niveles de energa que se encuentran muy cerca el

uno del otro y que adems se encuentran claramente separados de otros estados.

Por ejemplo, en los gases nobles, todas las envolturas se encuentran

completamente ocupadas (cerradas - no hay espacio para albergar otro electrn y

sus espines se encuentran apareados).

En el caso de los ncleos, se ha observado experimentalmente, que ncleos con

ciertos nmeros de protones y/o neutrones son excepcionalmente estables. Estos

nmeros se han denominado nmeros mgicos y ellos son el 2 , 8 , 20 , 28, 50 , 82 y 126 .

Fsica Cuntica

53

Figura 11.16 Estructura de envolturas en tomos y ncleos. Adaptado de Kate J. Jones y Witold Nazarewicz, The Physics Teacher, 48, 381 (2010).

Los ncleos con un nmero mgico de protones o neutrones decaen en un inusual y

gran nmero de ncleos estables o que poseen un tiempo largo de vida. Si un

ncleo posee un nmero mgico de neutrones, entonces se requiere una gran

cantidad de energa para extraerle un neutrn; mientras que si incrementamos el

nmero de neutrones en uno la energa necesaria para extraer un neutrn es

mucho ms pequea. Lo mismo es verdad para los protones. Tambin se ha

encontrado que se requiere una gran cantidad de energa para excitar estos

ncleos. Este salto en la excitacin y la energa de separacin de nucleones

individuales evocan la qumica de los gases nobles y en particular la de los metales

alcalinos, los cuales poseen un electrn en su envoltura ms externa y despliegan

una baja energa de ionizacin.

Los ncleos doblemente mgicos son aquellos con un nmero mgico de protones y

neutrones. Estos ncleos son excepcionalmente estables y corresponden con los


54

siguientes elementos: 4 16 40 2082 2 8 8 20 20 82 126He , O ; Ca ; Pb . La existencia de estos nmeros mgicos se puede explicar en trminos del denominado modelo de

envolturas y para hacer esto, necesitamos introducir un potencial global

apropiado.

En 1950, Mara Goeppert-Mayer y Hans Jansen mostraron que estos nmeros

mgicos pueden ser derivados de las soluciones de una ecuacin de Schrdinger

apropiada. Para el logro de esta ecuacin asumieron un sistema de nucleones

gobernados por un potencial de una sola partcula y acoplado con una

interaccin fuertes espn-rbita. Las soluciones de esta ecuacin sirvieron para

predecir muchas otras propiedades nucleares, en particular los valores de energas

observadas de los estados excitados y sus nmeros cunticos. En este, el primer

modelo de envolturas, los nmeros mgicos representan puntos muy particulares

de estabilidad que son obtenidos cuando una envoltura contiene todos los

nucleones que puede albergar (se encuentra completamente llena). A Goeppert-

Mayer y Jensen se les otorg el premio Nobel de Fsica en 1963 por sus

contribuciones al entendimiento del ncleo

Auto-estados del potencial nuclear

La funcin de onda delas partculas en el potencial nuclear se puede dividir en dos

partes: una radial ( )nR r que solo depende del radio y una parte ( ),mY

que

depende solamente de la orientacin. Esta separacin es posible para todos los

potenciales con simetra esfrica, como por ejemplo en el tomo. Emplearemos la

nomenclatura espectroscpica para especificar alternativamente los valores de los

nmeros cunticos n , con n representando el nmero de nodos ms uno y siendo el nmero cuntico asociado al momentum angular del orbital.

{ }{ }1,2,3,4,....

, , , , , ,...

n

s p d f g h

=

=

La energa es independiente del nmero cuntico m , el cual puede asumir valores enteros que se encuentren entre . Ya que los nucleones tienen dos posibles

Fsica Cuntica

55

direcciones de espn, los niveles n se encuentran de hecho ( )2 2 1+ veces degenerados. La paridad de la funcin de onda es determinada por las funciones de

onda esfricas mY

y es exactamente ( )1 . Recordemos que bajo la inversin del sistema de coordenadas, los armnicos esfricos se transforman siguiendo la

relacin

( ) ( ) ( ) ( ), , 1 ,m m mY Y Y + =

(11.45)

As la paridad de ( ),mY

es por consiguiente ( )1 .

Como la fuerza fuerte es de corto alcance, la forma del potencial debe estar en

correspondencia con la distribucin de nucleones dentro del ncleo. Para tomos

livianos ( 7A ) la afirmacin anterior puede significar una distribucin Gaussiana. As, el potencial se puede aproximar con el de un oscilador armnico

tridimensional. Este simple caso, la ecuacin de Schrdinger se puede resolver

analticamente. La energa depende de la suma N de los cuantas en las tres direcciones, as,

OAS3 32 2x y z

E N N N N = + = + + +

, (11.46)

donde N se encuentra relacionado a n y a travs de la siguiente expresin,

( )2 1N n= + . (11.47)

As que, los estados con un valor de N par tienen una paridad positiva y aquellos con N impar tienen paridad negativa.

Potencial de Woods-Saxon

La distribucin de densidad en ncleos pesados se puede describir con una

distribucin de Fermi-Dirac. El potencial de Woods-Saxon es convenientemente

ajustado a sta distribucin de densidad. As,


56

( ) ( )01n r R aVV re

=+

(11.48)

Con este potencial, los estados con el mismo valor de N pero diferentes valores de

n no se encuentran degenerados. Aquellos estados con valores pequeos de n y valores grandes de son de alguna manera ms bajos. Los tres nmeros mgicos (

2 , 8 y 20 ) se pueden entender como el nmero de nucleones que llenan completamente las envolturas:

N 0 1 2 2 3 3 4 4 4 n 1s 1p 1d 2s 1 f 2p 1g 2d 3s

Degeneracidad 2 6 10 2 14 6 18 10 2 Estados con nE E 2 8 18 20 34 40 58 68 70 ..

Obviamente, este modelo no trabaja bien con los nmeros mgicos ms altos. Para

ello, necesitamos incluir el efecto del acoplamiento espn-rbita, la cual disociar

las envolturas n .

Acoplamiento espn-rbita

Introduciremos este acoplamiento de la misma manera como se hizo para el tomo

(interaccin electromagntica). Por consiguiente se introduce un trmino adicional

s en el potencial, as,

( ) ( ) 2n ss

V r V r V= +

. (11.49)

La combinacin del momentum angular de orbital y el espn s del nuclen, conduce a un momentum angular total 2j = y ya que los valores esperados de

( ) ( ) ( )( )2

2 para todo 1 21 1 11 2 para todo 1 2 2

js j j s sj= ++ + +

= = + =

(11.50)

Fsica Cuntica

57

Esto conduce a una energa de disociacin sE que incrementa linealmente con el momentum angular,

( )2 12s s

E V r+ =

(11.51)

Experimentalmente se ha encontrado que sV es negativo, lo que significa que

1 2j = + es siempre por debajo de 1 2j = , exactamente lo opuesto, es lo que ocurre en el caso atmico.

Usualmente, el nmero cuntico del momentum angular total 1 2j = + de los

nucleones es denotado por ndice extra. As, por ejemplo, el estado 1 f es

disociado en un estado 7 21 f y un estado 5 21 f . El nivel jn se encuentra ( )2 1j + veces degenerado.

La Figura 11.17 ilustra los estados obtenidos cuando usamos la ecuacin (11.49). La

disociacin debida al acoplamiento espn-rbita es ajustada separadamente a los

datos para cada envoltura n . Las envolturas ms bajas, i.e., 0N = , 1N = y

2N = forman los niveles ms bajos y se encuentran bien separados el uno del otro. Estos, como se espera, corresponden a los nmeros mgicos 2 , 8 y 20 . Sin

embargo, para la envoltura 1 f , la disociacin debida al acoplamiento espn-rbita

es tan grande que surge una gran brecha de energa por arriba de 7 21 f . Esto a su

vez, es responsable por el valor del nmero mgico 28 . Los otros nmeros mgicos se pueden entender de una manera similar.

Existe una gran diferencia entre el efecto del acoplamiento espn-rbita en los

ncleos y en la nube atmica. El acoplamiento s en el tomo genera una

correccin pequea en la estructura fina que es del orden de 2 , pero, este acoplamiento, en el potencial nuclear conduce a una gran separacin entre los

estados de energa, separacin que de hecho es comparables con las brechas entre

envolturas n .


58

Figura 11.17 Niveles de energa de los nucleones en las envolturas ms externas, calculados usando la ecuacin (11.49). Observe que los nmeros mgicos surgen cuando la brecha entre niveles sucesivos es grande. Tomado de P.F.A. Klingenberg, Rev. Mod. Phys., 24 (1952) 63.

El modelo de envoltura del ncleo toma ventaja del efecto de apareamiento y

localiza slo dos protones y dos neutrones en cada envoltura (o nivel de energa).

El ordenamiento de los niveles de energa es establecido por las reglas del

momento angular, las cuales acoplan el espn de los nucleones en una manera

Fsica Cuntica

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prescrita muy similar a la ya discutida para el acoplamiento jj , discutido previamente. As, los ncleos se forman por una coleccin de nucleones. Los

nucleones se arreglan ellos mismos en los niveles ms bajos de ener

beta cap 11.12 vol 7-3.11

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