CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

INGENIERA INDUSTRIAL

PROBABILIDAD Y ESTADISTICANRC: 4151

TEOREMA DE BAYES

17 / ABRIL / 2012

ALEJANDRO ACEVEDO ID:000087629

TEOREMA DE BAYES

El autor R.L. Mills (5) hace una interesante introducción al Teorema de Bayes, citando a su vez al libro de Will Durant: “La Epoca de Voltaire”. Leemos lo siguiente: ‘Describe W. Durant el periodo entre 1715 y 1789 de la siguiente manera:

"La ciencia estaba ofreciendo una nueva revelación ..Dos sacerdocios se enfrentaban en conflicto: el uno dedicado al moldeamiento del carácter mediante la religion, el otro a la educación del intelecto mediante la ciencia."

El Reverendo Thomas Bayes estaba dividido en ese conflicto. Como sacerdote y como matemático, estaba afectado por las relaciones causa - efecto. Tanto el teorema que lleva su nombre como el concepto de "probabilidad subjetiva" de él derivado han producido una revolución en nuestro tiempo.'

La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas que una modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha ocurrido.

Para aclarar estos conceptos, observemos a continuación la diferencia entre

el planteo de probabilidad condicional realizado hasta este momento y el de

Bayes. Cuando nosotros escribimos:

P(B|A)

decimos que esto es

- la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso A, ocurra B. Probabilidad condicional.

El planteo que hace la Regla de Bayes es:

- el suceso B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que provenga de A. Que A sea causa de B. O sea debo hallar P(A|B).

De una manera mas general podemos decir : El evento B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que haya sido generado por el suceso A1, el A2, etc.; causas posibles y excluyentes entre si.

Sabemos que P(B|A1) = P(B ^ A1)/P(A1)

y P(A1|B) = P(B ^ A1)/P(B ) De lo que se deduce,

P(A1|B).P(B) = P(B|A1).P(A1)

Despejando P(A1|B) ,

(ii) P(A1|B) = P(B|A1).P(A1)/P(B)

Para calcular P(B), supongamos que hay N eventos (A1,A2,A3,..An) mutuamente excluyentes entre si que podrían causar el evento B(efecto). El efecto B debería ser generado por una de esas causas; entonces la probabilidad de que B ocurra puede estar dada por:

P(B) = P[(A1^B) U (A2^B) U (A3 ^ B) U...U (An^B)]

Como los sucesos Ai son mutuamente excluyentes, entonces: (Ai^B) y (Aj^B) deben serlo para todo i distinto de j. Por la regla de adición obtenemos:

P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) +...+ P(An).P(B|An)

Reemplazando este resultado en la ecuación (ii) obtenemos la

REGLA DE BAYES

P(A1|B) = P(A1).P(B|A1) / { P(A1).P(B|A1)+....+P(An)P(B|An) }

De un modo más general:

P(Ai|B) = P(Ai).P(B|Ai) / { P(Ak).P(B|Ak) } para i=1...n

Repasemos el significado de estos términos:

P(Ai|B) = Dado que ya ocurrió el evento B(efecto), probabilidad de que lo causara Ai.

P(Ai) = Probabilidad de ocurrencia del evento Ai ; probabilidad “a priori” o sin corregir.

P(B|Ai) = Probabilidad del evento B dado que Ai ocurre.

EJEMPLO:

Analicemos el siguiente ejemplo:

Supongamos que la probabilidad de encontrar una mujer morocha en Sudamérica sea P(m|s)=0.7. En Centroamérica P(m|c)= 0.9 y en América del Norte P(m|n)=0.4.

Ahora bien; se realiza un concurso de belleza para elegir Mis América. De las participantes el 30% son sudamericanas, el 20% de Centroamérica y el 50% restante del norte.

De golpe a Ud. le presentan una morocha. Apostaría de que parte del continente proviene?

Extractamos la información y observamos las siguientes probabilidades "a priori" de hallar una mujer de c/u de las regiones del continente del total de las participantes del concurso:

P(s) = 0.3

P(c) = 0.2

P(n) = 0.5

A su vez la probabilidad de hallar una morocha según la región continental será:

P(m|s) = 0.7

P(m|c) = 0.9

P(m|n) = 0.4

Aplicando la regla de Bayes debemos hallar P(s|m), P(c|m) , y P(n|m); bajo la certeza que ocurrió el suceso : {MOROCHA}

Resulta:

P(s|m) = P(m|s) x P(s) / (P(m|s).P(s)+P(m|c).P(c)+P(m|n).P(n))

P(s|m) = 0.7 x 0.3 / (0.7x0.3 + 0.9x0.2 + 0.4x0.5)

Generando una tabla de doble entrada como vimos en otra nota anterior, nos queda:

sud. cent. nort. P (tez)

m. mor. 0.21 0.18 0.20 0.59

m. no mor. 0.09 0.02 0.30 0.41

P (origen) 0.30 0.20 0.50 1

Así las probabilidades marginales nos informan de la probabilidad del color de tez independientemente del origen geográfico y viceversa P(origen), sin tomar en cuenta el tipo de tez.

Usando los valores de tabla podemos hallar las probabilidades a posteriori :

P(s|m) = 0.21 / 0.59 = 0.36

P(c|m) = 0.18 / 0.59 = 0.31

P(n|m) = 0.20 / 0.59 = 0.33

De donde se induce que lo más probable es que se trate de una sudamericana.

Los demás valores de tabla fueron calculados como la probabilidad de una intersección de sucesos o probabilidad conjunta como se vio anteriormente (iii, y jjj),

P(A^B)=P(A|B) x P(B),

numerador en la regla de Bayes).

BIBLIOGRAFIA

1) CANAVOS G.C.

Probabilidad y Estadística, aplicaciones y métodos. Mc Graw-Hill - 1988

2) KALBFLEISCH J.C.

Probabilidad e inferencia estadística. Editorial AC - Madrid - 1984

3) MEYER P.L.

Probabilidades y aplicaciones estadísticas. Fondo Educativo

Interamericano - 1973

4) MILLER I. y FREUND J.E.(*)

Probabilidad y estadistica para ingenieros. Prentice Hall - 1986

5) MILLS R.L.

Estadística para la economía y la administración. Mc Graw-Hill – 1977