BASES PARA EL PROGRAMA DE DISEÑO DE CALENTADORES DE JUGO.

Un programa de diseño de Calentadores de Jugo debe proveer las siguientes características:

I. Datos de entrada.

Los siguientes son los datos que deben suministrarse para el diseño:

1. Cantidad de Jugo, Toneladas por Hora.

2. Temperatura de entrada y salida de Jugo.

3. Temperatura del vapor.

4. Características de los tubos: diámetro externo, espesor, cantidad, longitud, y material.

5. Número de tubos por paso.

6. Número de pasos.

7. Área de calentamiento.

II. Datos calculados.

1. Coeficiente de transmisión de Calor.

2. Temperatura de salida del jugo en función del tiempo de trabajo.

3. Horas de operación para una temperatura dada de jugo de salida.

4. Caída de presión a través del banco de tubos.

III. Cálculos necesarios.

1. Cantidad de Vapor necesario.

Sea:

mj: Masa de Jugo, Mezclado ó Clarificado.

cp: Capacidad calórica específica: 1 – 0.007 Brix.

t2: Temperatura de salida del jugo.

t1: Temperatura de entrada del jugo.

Δt: Diferencia de temperatura: t2 - t1.

De aquí se deduce:

Cantidad de Calor ganado por el jugo = Q = mj . cp . Δt ., ( 1 )

La cantidad de vapor depende de la presión del mismo. Siempre se considera que se usa vapor saturado, de Escape ó Vapor Vegetal proveniente de alguno de los evaporadores. Cuando los calentadores reciben el jugo en paralelo la presión del vapor es la misma. Cuando el jugo entra en serie la presión de vapor es diferente y el vapor de mayor presión trabaja en la última etapa. Obsérvese que a mayor presión es menor el Calor de Condensación λ y recíprocamente. Por lo tanto, si se busca un menor consumo será necesario usar vapor de menor presión en donde la limitante será la temperatura del mismo con respecto a la temperatura de salida del jugo caliente. La diferencia entre estos dos valores es la diferencia llamada “ terminal ” que influye de manera importante en el tamaño del calentador. Usualmente esta diferencia se espera que sea de 5°C ó 9°F.

Por consiguiente, si λ es el Calor de Condensación del Vapor, la cantidad de vapor proveniente del mismo se calcula según la siguiente ecuación:

Calor cedido por vapor = mv. λ ’ mj. cp. Δt = Calor ganado por el jugo., ( 2 )

De aquí se deduce:

Cantidad de vapor = Q / λ ., ( 3 )

Valores usuales de λ son los siguientes:

|Vapor |Escape |VV I |VV II |VV III |VV IV |VV V |

|T ( °C ) |121.0 |113.9 |105.6 |95.2 |81.1 |55.0 |

|T ( ° F ) |250.0 |236.7 |221.2 |202.5 |177.1 |131.0 |

|Presión,bar |2.05 |1.61 |1.21 |0.84 |0.49 |0.16 |

|λ, ΒΤU/lb |945.7 |954.8 |964.5 |976.36 |991.94 |1019.23 |

Para el caso de un programa, es necesario usar una función que permita calcular el Calor de Condensación en términos del dato de temperatura del vapor a utilizar. Una de estas funciones es la de P.G. Wright:

2

λ ’ 2493.96 – 2.07468.Tv – 0.00296. Tv kJ/kg ., ( 4 )

Para convertir este valor a BTU/lb el factor de conversión es el siguiente:

1 kJ/kg = 0.4299 BTU/lb

Ejemplo de aplicación: Para T = 121 °C = 250.0 °F.

2

λ = 2493.96 – 2.07468 x 121 - 0.00296. ( 121 ) = 2199.59 kJ/kg

= 2199.59 x 0.4299 = 945.6 BTU/lb

Ejemplo:

Se requiere calentar jugo a razón de 240 Toneladas por Hora, con un Brix de 14.0 %, desde una temperatura de 33.0°C hasta 102.0 °C usando vapor de Escape cuya temperatura es de 121.0 °C. Calcular la cantidad de vapor necesario.

De la ec. ( 1 ):

Q = 240.0 T x 2202.5 lb/T x ( 1 – 0.007 x 15 ) BTU/lb.°F x ( 102 – 33 )°C x 1.8°F°/C

= 529.080.0 x 0.895 x 124.2 = 58.812.004 BTU.

De la ec. ( 3 ):

mv = ( 58.812.004 BTU/Hr ) / 945.6 BTU/lb = 62.195.4 lb/Hr

aplicando el cálculo de λ hecho con la ecuación ( 4 ).

2. Cálculo del Area de Transferencia de Calor.

La cantidad de Calor ganado por el jugo se transfiere a través de un Area A conformada por los tubos del calentador. Esta área corresponde a la suma de las áreas laterales de todos los tubos del calentador, calculada con el diámetro interno. Para calcular el número de tubos totales, Nt, se requiere tomar el flujo de jugo a través de un paso manteniendo una velocidad que se encuentre entre 6 y 9 pies por segundo ( 1.80 a 2.70 m/seg ). Esto asegura que la vida del calentador será la mayor en las condiciones de operación. La cantidad de área necesaria se calcula según la siguiente ecuación:

Q ganado por el Jugo = U. A. Δ tm log.

En esta ecuación, U es el coeficiente Total de Transferencia de Calor, que se expresa como BTU/ Hr. Ft2. °F, A es el área en ft2 y Δ tm log es el promedio logarítmico en base e de la diferencia de temperatura entre el vapor y las temperaturas de entrada, t1 y salida t2 del jugo.

Q

A = ---------------- ., ( 6 )

U. Δ tm

El coeficiente U se puede calcular por medio de algunas ecuaciones. Sin embargo tomaremos la de P/ G. Wright porque permite evaluar el efecto del tiempo transcurrido desde la última limpieza en el valor de U. Esta fórmula se expresa como la ecuación ( 7 ) para el caso particular de acero inoxidable, horizontal.

Ec. ( 7 ):

0.25

1 d 1 0.8 10.763 1

------ = ------- + -------- + 0.0035 . t . ( 1 + ---------- ) + ( -------------------------------- )

U 4.35 13.5 3 -0.2 0.8 0.467

v 0.282 . d . v tm

en donde:

U: Coeficiente Total de Transmisión de Calor en kW / ( m2.°K ).

d: Diámetro interior de los tubos, m.

t: Tiempo transcurrido desde la última limpieza, Horas.

v: Velocidad del jugo, m/s.

tm: Temperatura promedia el jugo en el Calentador, igual a la semisuma

de la temperatura t1 y t2.

Ejemplo:

La cantidad de calor transferido es 58’812.004 BTU/Hr. Las temperaturas del jugo y del vapor son las siguientes:

Tv: 121.0 °C.

t1: 33.0 °C.

t2: 102.0 °C

( 33.0 + 102.0 )

La temperatura media del Jugo es: tm = ------------------- = 67.5°C = 153.5°F

2

El cálculo de U es el siguiente:

Tomaremos las siguientes especificaciones:

Diámetro externo de los tubos: de: 1 ½” = 38.1 mm = 0.0381 m

Material: Acero Inoxidable.

Espesor: δ: 1.2 mm = 0.0012 m

Tiempo desde la limpieza: t = 0.

Velocidad, m/s = 2.25 m/s ( promedio entre 1.8 y 2.7 m/s ).

Diámetro interno de los tubos, d = 0.0381 – 2 x 0.0012 = 0.0357 m

Aplicando los valores correspondientes a la ec. ( 7 ) se calcula el valor de U igual a 3.266 Kw/m2.°K. para un tiempo igual a 0. El valor correspondiente en BTU/Hr. Ft2. °F es 575.2. Para el caso de 170 Horas, equivalente a una semana de trabajo, el valor es igual a 1.398 Kw/ m2. °K, equivalente a 246.24 BTU/Hr.ft2.°F. Para un tiempo de 200 horas el valor de U es de 1.295 kW/Hr. °K, equivalente a 228.13 BTU/Hr.ft2.°F. Para calcular la media logarítmica entre las diferencias de temperatura del jugo a la entrada y salida y la temperatura del vapor se procede de la siguiente manera:

Δtm log = {( 250.0 – 91.4 ) – ( 250.0 – 215.6 )}/ ln {( 250.0 – 91.4)/(250.0 –215.6)}

Δ tm log = 81.24 °F

Con este último valor se calcula en Area del Calentador para manejar un amplio margen de seguridad. Por consiguiente, aplicando los valores calculados a la ec.( 6 ):

Area = ( 58’812.004 BTU/Hr ) / ( 81.24°F x 246.24 BTU/Hr.ft2.°F ) = 2939.9 ft2.

= 273.2 m2.

La ecuación ( 7 ) se presenta de una manera general:

0.25

1 X1 1 0.8 10.763 1

--- = ------ + ------ + X4 . t . ( 1 + ---------- ) + -----------------------------------

U X2 X3 3 - 0.2 0.8 0.467

V X5 . D . V . t

| |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |

|a. Primario, horizontal, bronce. |D |3.8 |64 |0.0035 |0.295 |

|b. Primario, horizontal, acero inox. |D |3.8 |13.5 |0.0035 |0.295 |

|c. Secundario, horizontal, bronce |D |4.35 |64 |0.0035 |0.283 |

|d. Secundario, horizontal, acero inox. |D |4.35 |13.5 |0.0035 |0.283 |

| |

|e. Primario, vertical, bronce |L |4.91 |14 |0.0035 |0.295 |

|f. Primario, vertical, acero inox. |L |4.91 |13.5 |0.0035 |0.295 |

|g. Secundario, vertical, bronce |L |5.63 |64 |0.0035 |0.283 |

|h. Secundario, vertical, acero inox. |L |5.63 |13.5 |0.0035 |0.283 |

3. Cálculo del Número de tubos.

Debido a que la incrustación se presenta por dentro de los tubos, la mayor resistencia al flujo de calor se encuentra en el lado del jugo y por esta razón es usual diseñar la superficie de calentamiento con base en la pared interna de los tubos. Para una superficie de calentamiento A ( m2 ), con tubos que tengan un diámetro externo de ( mm ) con un espesor δ ( mm ) y una longitud l ( mm ), el número de tubos Nt es igual a:

6

A . 10

Nt = ------------------------- ., ( 8 )

π . ( de - 2 δ ) . l

Obviamente, si se dan las medidas en unidades inglesas se obtienen los mismos datos.

273.2 m2 x 1000000

Para el caso anterior: Nt = --------------------------------------- = 406

π . ( 38.1 – 2 x 1.2 ) x 6000

4. Cálculo del Número de tubos por paso.

Para calcular el Número de Tubos por paso, Nt/p, se debe usar la ecuación de continuidad y calcular la velocidad lineal del jugo de tal manera que se mantenga dentro de los límites aceptados para lograr una caída de presión conveniente y una rata de ensuciamiento razonable. Esta velocidad se ha estimado que debe estar entre 6 y 9 pies por segundo ( 1.80 a 2.70 m/s ). El valor Nt/p se calcula según la siguiente ecuación:

mj

Nt/p = ----------------------------------------------- ., ( 9 )

2

ρ jugo x 3.1416 x ( de – 2 δ ) x v

2

en donde: mj: cantidad de jugo, en libras/segundo

ρ jugo: densidad del jugo en libras/ft3.

de : diámetro externo en ft.

δ : espesor del tubo en ft

v: velocidad del jugo en ft/s.

Para el caso considerado, mj es igual a 240.0 T/H = 147.0 libras/segundo, la densidad del jugo ρ es igual a 65.55 libras/ft3, el diámetro externo de los tubos es de 1.5 ” ( 0.125 ft ) y el espesor de un tubo de acero inoxidable es de 1.2 mm, equivalente a 0.0472 ” ( 0.00393 ft ). La velocidad se toma igual a 7.5 fps, promedio entre 6.0 y 9.0 fps. Aplicando estos valores, se calcula el Número de Tubos por paso, Nt/p igual a 29.9. Aproximando a 30 tubos por paso y siendo el Número total de tubos igual a 422, el Número de Pasos, Np, será igual a:

Nt

Np = ---------- ., ( 10 )

Nt/p

Np = 422 / 30 = 14.0

5. Diseño definitivo:

En razón a los ajustes de aproximación entre los cuales se encuentra el Número de Tubos por paso, Nt/p, el Número de pasos, Np y el Número Total de tubos, Nt, es necesario recalcular el área y comprobar la velocidad.

El diseño definitivo queda como sigue:

|Nt |392 |

|Nt/p |28 |

|Np |14 |

|Velocidad, fps |7.47 |

|Area, m2 |2838 |

Area total = 392 tubos x 7.24 ft2/tubo = 2838 ft2 = 263.8 m2.

6. Cálculo de la temperatura final t2 en función del Coeficiente de Transferencia de Calor U.

A medida que transcurre el tiempo la resistencia del lado del jugo aumenta. Por consiguiente, el valor del coeficiente U disminuye, ocasionando una reducción en la vida útil del calentador.

Combinando las ecuaciones ( 1 ) y ( 6 ) se tiene:

( Tv – t1 ) – ( Tv – t2 )

mj . cp . ( t2 – t1 ) = U. A . Δ tm = U. A. ------------------------------

( Tv – t1 )

Ln ---------------

( Tv – t2 )

1

mj. Cp . = U . A. -------------------

( Tv – t1 )

Ln -------------

( Tv – t2 )

( Tv – t1 ) U . A

Ln -------------- = -----------

( Tv – t2 ) mj . cp

o sea:

( U. A / mj. cp )

( Tv – t1 ) = ( Tv – t2 ) . e

( U . A / mj . cp )

t2 = Tv - ( Tv – t1 ) / e ., ( 11 )

La ecuación ( 7 ) se aplica cambiando el valor de t para cambiar el valor de U hasta llegar a una temperatura t2 tal que sea inferior a la especificada. Para el caso del ejemplo que se presenta, el valor de U debe ser igual a 246.24 BTU/Hr.ft2.°F en cuyo caso el tiempo transcurrido es de 170 horas. Si el tiempo se eleva a 200 horas, el coeficiente es 228.13 BTU/Hr.ft2.°F y la temperatura de salida del Jugo es 99.72°C.

Es necesario tener en cuenta que las unidades de U deben ser correspondientes. Para U se usan las siguientes unidades:

U: Kilocalorías/ m2. min. °C.

M: Flujo en kilos.

Cp: Kilocalorías/kilo x °C.

A: Metros cuadrados.

ΔT: °C.

T: °C.

7. Caída de presión en el banco de tubos. La caída de presión en el jugo está compuesta por varias pérdidas parciales:

Existen varias relaciones, entre las cuales tenemos:

- La pérdida de presión a la entrada de jugo en los tubos:

2

Δ Pe = ξe . ρ . v / 2

ξ depende de la forma del canto a la entrada de los tubos. Sus valores son:

ξ: { 0.5 esquinas agudas., 0.25 esquinas quebradas., 0.06 esquinas redondas }

En la industria azucarera se usa ξ = 0.50 pues los bordes de los tubos se montan sin maquinar.

- La pérdida de presión en el tramo inicial que tiene una longitud de 10 a 30 veces el diámetro del tubo. Para flujo turbulento se tiene:

2

Δ Pin = 0.065 . ρ . v / 2

- La pérdida por fricción es:

2

Δ Pf = ξr . ( L/di ) . ρ . v /2

ξ depende del Número de Reynolds y de la aspereza de la superficie del tubo. Para los calentadores de la industria azucarera se puede usar ξ ’ 0.025.

- La pérdida de presión del jugo en la cámara deflectora es igual a:

Δ Pa = ρ . v / 2

La caída total, Δ P, para un tubo está dada por:

2

Caída Total = ρ . v /2 . ( ξ + 0.065 + f . ( L/di ) + 1 ) ., ( Pa ) ./, ( 12 )

Para ξe = 0.5., ξr = 0.025, se tiene para un tubo:

2

P = ρ. v /2 . ( 1.565 + 0.025 . L / di ) ., ( Pa ) ., ( 13 )

en esta ecuación:

La Caída Total en el Calentador es igual a la Caída de Presión en un tubo multiplicada por el número de pasos n puesto que el paso es en serie.

2

Caída Presión Total = ΔP = n. ρ . v /2 ( 1.565 + 0.025 . L/di ) ., ( Pa )., (14)

Si se mide la caída de presión en metros de agua H, se tiene:

2

H = n. v / 2g ( 1.565 + 0.025 . L/di ) ., ( 15 )

en esta ecuación:

Densidad: ρ: kg.m3.

Velocidad: v: m/s.

Longitud:L: m.

Diámetro interno: di: m.

2

Caída Presión = 14 x 1050 x ( 2.27 ) /2 . ( 1.565 + 0.025 x 14 / 0.03413 ) = 482.78 Kpa

= 69.90 psig.

La Energía necesaria para el bombeo se calcula de la siguiente manera:

2

E = n. v /2 . ( 1.565 + 0.025 . L /di )., ( joules/ kg )., ( 15 )

La Energía en joules/kg es igual a:

Energía = Caída de Presión / densidad

2

Energía = 14 . ( 2.27 ) / 2 . ( 1.565 + 0.025 x 14.0/0.03413 ) = 426.35 joules/kg

Para 240.000 kilos de jugo:

Energía = 426.35 joules /kg x 240.000 kg / 3600 s = 28.423.3 joules/s

= 28.4233 kW x 1.3410 HP/kW = 38.11 HP.

Con una eficiencia de 75 %, la potencia real es:

Potencia real = 38.11 HP / 0.75 = 50.80 HP.

Una fórmula que se usa también para calcular la caída de presión es la que aparece en Hugot:

2

Caída de presión = 0.05 . ( 1050/2 . 9.80 ) v . n. ( L + 3di )/di ., ( 16 )

2

` = 2.5 . v . n . ( L + 3 di ) / di ., kg/m2

en donde:

v: velocidad del jugo en m/s

n: número de pasos.

L: longitud de los tubos en m.

di: diámetro interno de los tubos en m.

Para el ejemplo anterior:

2

Caída de presión = 2.5 . ( 2.27) . 14 . ( 6 + 3 x 0.03413 ) / 0.03413 = 1246.27 kg/m2

Ing.Jesus Araujo Ledezma

Abril 05, 2010