Bases Matemáticas para la Educación Primaria

Guía de Estudio

Tema 3: Números racionales

Parte I: Fracciones y razones Números racionales

1

ANÁLISIS DE CONOCIMIENTOS PUESTOS EN JUEGO EN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA Y POSIBLES GENERALIZACIONES

Situación introductoria

Fracciones y racionales 2

Enunciado

(1) Resolver el siguiente problema tomado de un libro de primaria:

• “De las 25 personas de la clase de Laura 3/5 son niñas. ¿Cuántos niños hay?

(2) Explicar la solución utilizando alguna representación gráfica.

(3) Completar la siguiente tabla indicando los “conocimientos” que se ponen en juego en el enunciado y solución de este problema.

Fracciones y racionales 3

Relación de conocimientos puestos en juego

Fracciones y racionales 4

Tipos de objetos que intervienen

Objetos /conocimientos

LENGUAJES

3/5, …

CONCEPTOS

Fracción tres quintos, …

PROPIEDADES

1) “suma del número de niños y niñas es 25” 2) …

PROCEDIMIENTOS

Multiplicar, …

ARGUMENTOS

1) …

Variantes del enunciado

• Resolver el anterior enunciado suponiendo que entre las personas una de ellas es adulta (el profesor)

• ¿Cuál es la razón de niños a niñas? • ¿Y de niñas a niños? • ¿Qué porcentaje de niños hay en la clase? ¿Qué

porcentaje de niñas?

Fracciones y racionales 5

Fracciones y racionales 6

Las fracciones en un libro de texto de primaria

Fracciones y racionales 7

Cantidades fraccionarias • La cantidad continua X es una parte de otra cantidad Y:

decimos que es una cantidad fraccionaria.

Fracciones y racionales 8

Y

X Z

d n

Tomando Z como unidad, X = 2Z; Y = 3Z; Tomando X como unidad, Z = X Y = X

21

32

31

Tomando Y como unidad: Z = Y; X = Y

23

Fracciones

• Son las expresiones numéricas (n/d )usadas para representar cantidades fraccionarias.

• d, denominador, número de partes iguales en que se divide la cantidad Y de referencia (todo unitario) para obtener una unidad Z con la que se pueda medir X de manera exacta.

• n, numerador, medida de X usando Z como nueva unidad.

• Se aplica la función cociente (división) dos veces: – La d se obtiene aplicando a Y el sentido de partición – La n se obtiene aplicando a X el sentido de extracción (cuotición)

Fracciones y racionales 9

Fracciones impropias

Fracciones y racionales 10

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=11

Fracciones y racionales 11

Números racionales • Los números racionales se introducen en las matemáticas

para que las ecuaciones del tipo, y × r = x, con y, x números enteros, tengan siempre solución, ya que cuando y no es un divisor de x el cociente x ÷ y no es un número entero.

• Los cocientes indicados r = (fracciones, entendidas como

pares de números enteros con y ≠0) se pueden organizar de tal manera que tengan “propiedades numéricas”.

• Para ello se consideran como equivalentes los pares que cumplen la condición: <x, y> ≡ <z, w> si y solo si, x × z = y × w

Fracciones y racionales 12

yx

• El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de equivalencia”, cada una de ellas formada por todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se dice que es un número racional; y el conjunto de todas las clases, el conjunto de los números racionales Q (incluyendo los números positivos y negativos).

• Esta descripción abstracta se puede interpretar desde un punto de vista más intuitivo:

• El número racional [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificamos con la

fracción 2/3 cuando es usada como representante de cualquier otro miembro de la clase de fracciones equivalentes a 2/3.

Fracciones y racionales 13

• Las distintas fracciones de una misma clase de fracciones equivalentes son todas ellas diferentes unas de otras. Cuando se escribe:

• estas tres fracciones, en tanto que tales fracciones, no son iguales entre sí, sino equivalentes (se puede sustituir una por otra en determinados usos y circunstancias).

• Pero todas estas fracciones representan la misma clase de equivalencia, el mismo número racional. Por ello usamos el símbolo de igualdad.

Fracciones y racionales 14

159

106

53 ==

Fracciones y números racionales

• Con las fracciones se definen operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, pero en cuanto interviene la equivalencia de fracciones se debe entender que tales operaciones se están realizando sobre los números racionales representados por dichas fracciones.

• Los números racionales, por medio de sus representantes, las fracciones, se utilizan para expresar cantidades fraccionarias, y en general, en los procesos de medida de cantidades X mediante un sistema de unidades fraccionarias de una cantidad de referencia Y (p.e., metros, decímetros, centímetros).

Fracciones y racionales 15

Razones • Razón: Comparación multiplicativa de las medidas de dos

cantidades de una misma o distintas magnitudes. • Ejemplo: La razón entre el número de chicos y chicas en una

clase es de 2 a 3 (2 chicos por cada 3 chicas) • La fracción que expresa el número de chicos respecto de

todos los estudiantes de la clase sería 2/(2+3), o sea, 2/5. • Si en otra clase la razón de chicos a chicas es de 3 a 5, ¿Cuál es

la razón de chicos a chicas en el conjunto de las dos clases juntas?

• Las razones se operan como las pendientes de un vector, no como la suma de fracciones ordinarias (no se deben considerar como representantes de números racionales).

Fracciones y racionales 16

Razones ≠ Fracciones

Se operan de manera diferente: Las fracciones siguen las reglas de los números racionales; las razones se operan como pendientes de vectores binarios.

En las razones: – Las medidas pueden ser números reales (Razón de la

longitud de la circunferencia al diámetro) – La segunda componente puede ser 0. (La razón de bolas

rojas a verdes en una bolsa puede ser de 5 a 0) – Las razones se pueden expresar con símbolos diferentes a

las fracciones: (4:7; 4 a 7; 4 → 7)

Fracciones y racionales 17

Tasas

• Una tasa es una razón entre una cantidad y un periodo de tiempo.

Ejemplos: • Tasa de natalidad (número de nacimientos por año) • Velocidad (distancia recorrida por unidad de tiempo)

Fracciones y racionales 18

Proporción

• Sentido matemático: Igualdad entre dos razones. • Sentido ordinario: Comparación multiplicativa de una parte

con relación a un todo en que está incluida. • “Si hay 4 chicos en una clase de 12 estudiantes la proporción

de chicos es de 4/12” • En este uso de la notación fraccionaria el denominador 12 no

supone ninguna división en partes iguales. • Si en la clase A la proporción de chicos es 10/30 y en la clase B

es de 15/30, la proporción de chicos en las dos clases juntas es de 25/60 (se operan como razones)

Fracciones y racionales 19

La fracción como operador • La escritura fraccionaria “a/b” se usa también para simbolizar

una clase particular de funciones compuestas: primero se multiplica y después se divide (o al revés)

• a/b ≡ def a× (x÷ b) = (a × x) ÷ b Donde a y b son constantes y x es una expresión numérica de

alguna cantidad. • Puesto que los parámetros a y b son constantes, la función

compuesta (a × x) ÷ b se puede interpretar como un operador unitario que convierte un valor x en otro x’.

• La función mutiplicación y la división se interpretan como cambios en una única cantidad, esto es, como operadores escalares.

Fracciones y racionales 20

Fracciones y racionales 21

OPERACIONES CON FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS

• Puesto que un número racional viene representado por una infinidad de fracciones equivalentes, para operar con dos números racionales x e y, basta operar con alguna de las fracciones que representan a x y a y.

• La clase de equivalencia representada por el resultado de la operación es un número racional, resultado de operar con los números racionales x e y.

• Usualmente lo que hacemos es elegir la representación más simple posible, es decir la fracción irreducible que representa a ese número racional.

Fracciones y racionales 22

Fracciones y racionales 23

Suma de fracciones

Fracciones y racionales 24

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_106_g_2_t_1.html

Suma y resta de números racionales

La suma o resta de dos racionales será el racional definido por la suma o resta de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea sumar o restar.

Propiedades: De las propiedades de la suma de fracciones, se deducen las

siguientes propiedades para la adición de números racionales: • Es una operación binaria e interna en el conjunto Q; • Es asociativa; • Es conmutativa; • Tiene elemento neutro (el 0); • Todo elemento tiene simétrico (el opuesto).

Fracciones y racionales 25

Producto y cociente de fracciones y números racionales positivos

• A diferencia de lo que sucede en la suma, el sentido del producto de racionales cambia respecto al producto de naturales.

• En estos últimos un producto significa, ante todo, una suma

repetida; sin embargo, en el caso de las fracciones y racionales no es posible interpretar el producto como el resultado de sumar 1/5 repetidas veces porque el número de veces no puede ser fraccionario.

RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICIO:

Fracciones y racionales 26

• “De las 25 personas de la clase de Laura 3/5 son niñas. La tercera parte de las niñas son de origen extranjero, mientras que en el caso de los niños la quinta parte son de origen extranjero.

a) ¿Cuál es la fracción de personas de origen extranjero en la clase de Laura?

b) ¿Qué porcentaje de personas inmigrantes hay en la clase de Laura (en el supuesto del enunciado anterior).

c) ¿Cuál ha sido el porcentaje de incremento del número de inmigrantes en la clase si este año, respecto del anterior, se han incorporado cinco nuevos estudiantes de origen extranjero?

Fracciones y racionales 27

Fracciones y racionales 28

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_194_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.html

• En general, se comprueba que a/b de c/d de cualquier cantidad es lo mismo que de esa misma cantidad.

Por tanto, el producto de dos fracciones se define de la manera siguiente:

•

y su sentido es el de una fracción de fracción. • El producto de dos racionales será el racional definido por el

producto de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea multiplicar.

Fracciones y racionales 29

xx

a c axcb d b d

=

acbd

División de fracciones y racionales

Ejercicio: • Se tiene un bidón con 15 litros y medio de limonada. Si se

quiere dar a cada persona un vaso de 3/5 de litro, ¿para cuántas personas se tiene limonada?

• Resolver el ejercicio usando tres procedimientos: a) Cambiando las unidades de medida para evitar el uso de

fracciones b) Usando números decimales c) Operando con fracciones

Fracciones y racionales 30

Fracciones y racionales 31

Orden de fracciones y racionales positivos

• Para comparar entre sí dos números racionales comparemos dos fracciones representantes de cada uno de los dos números racionales que se desea comparar.

Dadas dos fracciones con el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador; si las fracciones tienen igual numerador será menor la que tenga el mayor denominador; si no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se reduce a común numerador o denominador y se aplica una de las reglas anteriores.

• Ejercicio: Hallar un número racional que sea mayor que ½ y

menor que ¾. ¿Cuántos números racionales hay que cumplan esta condición?

Fracciones y racionales 32

El conjunto Q es denso • Una propiedad muy importante del orden de racionales es

que dados dos racionales, por muy próximos que los elijamos, siempre podemos encontrar tantos racionales como queramos que sean mayores que uno de ellos y menores que el otro.

• Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos números racionales distintos existen siempre infinitos racionales.

• También se dice que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso.

• En los números racionales, a diferencia de lo que sucede en los naturales, deja de tener sentido el concepto de número ‘siguiente’ o ‘anterior’ ya que nunca podremos encontrar dos racionales que no tengan otros racionales entre ellos. Fracciones y racionales 33

Estudio personal: • Estudiar las secciones 2, 3, 4, y 5 (págs, 318 a 329) del libro:

• Godino, J. D. (Director) (2004). Matemáticas para maestros.

Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. (Recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino/)

• Realizar las actividades del Cuaderno de Prácticas en la sesión

de Seminario. • Resolver personalmente y comprobar posteriormente los

ejercicios resueltos disponibles en el Tablón de Docencia.

34

Trabajo en equipo:

• Realizar las actividades programadas en el Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo)

• Las actividades deberán terminarse durante la semana y se entregará el Cuaderno cumplimentado al comienzo de la siguiente sesión del Seminario.

35