Luis Balbuena Cuentos del cero rase una vez un cuerdo profesor de matemticas que anhelaba captar el inters de sus alumnos y motivarles para que les resultara ms fcil el aprendizaje de su disciplina. Se involucr en mltiples experiencias de innovacin educativa all por donde pas: Huelva, Tejina y, finalmente, en su ES Viera y Clavijo de La Laguna y tambin en pases lejanos, all donde van las golondrinas. Con el paso del tiempo descubri que no existen varitas mgicas ni pcimas milagrosas capaces de sustituir el esfuerzo que un estudiante debe hacer para encontrar las soluciones de una ecuacin de segundo grado o para sumar un par de fracciones. Pero de algo s que estaba seguro: hay innumerables formas y caminos para subir al rbol de la Sabidura y, adems, cada persona tiene que hacerlo por sus propios medios, a su ritmo, segn sus inquietudes e intereses pero todos deben ser motivados, estimulados y ayudados a subir por alguien que ya est en lo alto, por un Maestro. Dicen que los buenos cuentos son un reflejo de la realidad, pero, qu es realmente un cuento? Cuntas veces nuestros padres o abuelos nos habrn contado uno? Seguro que muchas y siempre que lo hacan captaban nuestra atencin. Lo hacan slo para divertirnos y entretenernos? La verdad es que aprendamos muchas cosas que, a pesar de tenerlas ante nuestros ojos, nos pasaban desapercibidas. Los cuentos nos descubran nuevos mundos de los que luego queramos saber ms y ms y, sobre todo, nos ayudaban a superar nuestros miedos a lo desconocido o a sobrellevar los malos ratos, porque esperbamos un final feliz. As que los cuentos son un quitamiedos y, no tienen muchos de nuestros alumnos un miedo atroz a las matemticas? Los seres que pueblan los cuentos son misteriosos y a veces incomprensibles duendes, hadas, brujas y hechiceros y, qu piensan ellos de los entes matemticos? Luis Balbuena se define como un didacta eclctico y los que lo conocemos sabemos que ha utilizado recursos inimaginables para ensear, y no slo matemticas, dentro y fuera del aula. Sus alumnos han aprendido mirando al inmenso cielo o un minsculo guisante mgico; en la ciudad que transitan todos los das descubriendo tesoros ocultos; en las banderas, en las cruces, en los libros, en la radio y la televisin y siempre, siempre, descubriendo matemticas en todos ellos. Desde hace muchos aos, tenemos la suerte de contar entre nuestros amigos con este profesor de aula, Luis Balbuena Castellano; sabemos de sus inquietudes, del entusiasmo que pone en todas sus acciones y de su interes por que las buenas experiencias docentes se transmitan para que pueda beneficiarse de ellas toda la comunidad educativa. En esa lnea toma sentido el presente libro que hace valer el recurso del cuento como herramienta didctica. En Yo soy el cero recrea la historia y laimportancia de nuestro sistema de numeracin. Para adentrarnos en los razonamientos lgicos nos sorprende llevndonos de la mano de dioses mitolgicos en El rescate; o de un hidalgo que sabe ensear, en De lo que aconteci a Don Quijote... Las puertas de la geometra las abre con rectas, tringulos y esferas; la paridad y la teora de nmeros dan paso a un romance eterno. No desvelaremos sus misterios, eso queda para el lector, pero es de agradecer que con cada cuento despierte la curiosidad y d paso a un sinfn de preguntas; el docente pondr una apropiada metodologa y ningn lmite al pensamiento. Que vuelen lejos y altas las perdices si todo este derroche de imaginacin sirve para que un estudiante se acerque a las matemticas sin infundada aprensin, condicin imprescindible para que pueda tener xito en su aprendizaje. Lola de la Coba Garca Luis Cutillas Fernndez A mis alumnas de Huelva YO SOY EL CERO Gracias a la actual tecnologa puedo, al fin, expresarme como humano y contarles as parte de mi apasionante historia. Comprendern que no es sencillo, ya que me han ocurrido infinidad de cosas, aparte de todo lo que s. Si algn da me decido a escribir mis memorias, conocern ustedes detalles buenos y malos de muchos personajes de la historia. Pero no es este mi objetivo ahora. Me propongo contarles, a grandes rasgos, los momentos ms importantes de mi vida. Nac en la India hace muchos siglos. No recuerdo la fecha exacta y tampoco en aquella poca se registraba este tipo de cosas. Fjense qu atraso!, un acontecimiento tan importante como mi nacimiento que no haya sido registrado por nadie... Lo que s recuerdo es que fue un anciano venerable, delgado, con larga barba blanca, que hablaba con gran serenidad. Viva con un grupo de discpulos a los que hablaba de cosas muy bellas. stos le llamaban Maestro. Uno de los temas favoritos de sus conversaciones y discusiones ramos nosotros, los nmeros. Mis hermanos Uno, Dos, Tres, Cuatro, Cinco, Seis, Siete, Ocho y Nueve nacieron antes que yo y, segn me enter despus, sin mayor dificultad. Cuando el Maestro recorra los dedos de su mano, uno a uno y llegaba al ltimo, haca un contenido gesto de rabia porque no saba cmo designarlo. Todos los dems tenan nombre menos el ltimo. Yo me desesperaba, pues conoca la solucin y no poda comunicrsela. El ignorarme era lo que le produca todos esos problemas. El sabio maestro llevaba un tiempo sobre la pista correcta para resolverlo. l haba llegado a la conclusin de que todos los dedos formaban una unidad de orden superior a la formada por un solo dedo, pero no daba con la forma de expresarlo ni con el smbolo adecuado. Un da de primavera, despus de tomar su racin cotidiana de bambes y saltamontes, se recost bajo la sombra de un hermoso rbol que haba cerca de su cabaa. Su mente continuaba dando vueltas insistentemente al mismo problema. Saba que no tardara mucho en llegar a solucionarlo. Estaba seguro de ello y por esto su ansiedad creca da a da. En medio de estas reflexiones, de repente, se levant sobresaltado. Con un paso nervioso y ligero dio varias vueltas al rbol mientras su mano recorra insistentemente la barba de arriba abajo dicindose una y otra vez: No puede ser, no puede ser. Menos mal! me dije yo, al fin se daba cuenta de mi existencia! Ya podrn comprender lo contento que me puse. Cuando me vieron mis hermanos, me felicitaban con efusin, porque tambin ellos comprendieron que acababa de darse un paso trascendental que afectara a sus vidas y a sus valores. El Maestro convoc a sus discpulos. stos observaban con inquietud y expectacin aquella extraa luminosidad en su rostro que ya conocan de otras veces. Cayeron en la cuenta de que algo extraordinario tena que haber ocurrido. Con mucha solemnidad y lentitud, el Maestro empez a hablar relatando su hallazgo. Si me colocaba a m, deca, a la derecha de Uno, entonces apareca la ansiada unidad de orden superior que tanto haban buscado; de esta manera, a travs de ese nuevo ser que llamaron Diez o Decena, nac yo. Los discpulosadmiraron profundamente aquel magno descubrimiento felicitando entusiasmados al Maestro por haber dado con la solucin del problema que tanto le preocup en los ltimos tiempos. Durante los das que siguieron la actividad de aquel interesante grupo de hombres fue muy intensa. Tenan an que resolver los pequeos problemas que quedaban planteados. As, por ejemplo, cuando tenan diez unidades de este orden que acababa de descubrir el Maestro, cmo representar esa cantidad? Al principio hubo un poco de desnimo. El Maestro, sin embargo, estaba tranquilo porque era consciente de que este problema era ya de menor envergadura. Y, en efecto, no tard en dar con la solucin: me colocaron dos veces a la derecha de Uno. Le dieron por nombre Cien o Centena. Esto ya era demasiado para m. De ser un autntico desconocido, me convert en la pieza ms importante de aquel rompecabezas. Durante mucho tiempo no me mov de la India. El descubrimiento del Maestro se haba extendido por todos los pases que conformaban la India con gran celeridad gracias a la difusin que le dieron sus fieles discpulos. A la cabaa del Maestro llegaban cada da grupos de sabios de todos los lugares. Venan a felicitarlo y a plantearle dudas que queran resolver. A todos trataba con su ya legendaria amabilidad y sabidura. As transcurrieron varios siglos. All por el siglo VII (u VIII, no estoy muy seguro), empezaron a llegar a la India desde el poniente unos individuos que, segn decan, venan de muy lejos, en camellos y en busca de no s qu productos que llevaban a sus tierras, donde eran muy apreciados. Tanto mis hermanos como yo fuimos dados a conocer a esta extraa gente aunque al principio parece que no les impresionamos demasiado. Pero uno de ellos nos llev con l. Estuve mucho tiempo atravesando desiertos, avanzando siempre al poniente, all por donde se oculta el que luego sera mi primo por el parecido que tenemos. Despus de este fatigoso viaje (quiz el peor de los que he hecho), metido y olvidado casi, en una bolsa que adems apestaba a piel curtida que daba nuseas, llegu a una ciudad que, apenas la vi, qued prendado de ella, pues era ciertamente bella. Haba un constante movimiento de humanos y camellos sobre todo. Aqullos vestan una tnica larga y usaban turbante en la cabeza, igual que el que nos trajo hasta all. Supe que les llamaban rabes. Todo era color, esplendor y riqueza. Pero nuestro hombre nos haba olvidado a m y a mis hermanos. Le interesaban ms otras cuestiones relacionadas con las otras cosas que haba trado. Yo creo, entre nosotros, que el pobre no era capaz de captar del todo nuestro valor. Una tarde fue a ver a un amigo que luego comprob que era mucho ms instruido que l. Hablaron de cosas referentes al viaje, de lo que haba visto a lo largo del trayecto, de las rutas que haba para llegar a donde ellos llamaban el naciente y de lo que encontr en mi tierra, la India. Afortunadamente llevaba la bolsa en la que estbamos nosotros. Se acord de las cosas que llevaba all y se las mostr a su amigo. All estbamos, al fin, junto a otros objetos: un trozo de tela de no s qu tipo que al parecer le encarg antes de emprender el viaje y una joya muy llamativa. Estas cosas le interesaron ms. De nuevo seguamos marginados. Cuando los temas de conversacin parecieron agotados, nos mir atentamente y le pidi a su amigo el mercader que le explicara qu significaban aquellos garabatos que aparecan pintados en el trozo de piel. Ah estaba yo, atento a lo que estaba ocurriendo. El mercader lo hizo fatal y tem que su amigo no le entendiese. Pero ya les dije que era un hombre inteligente y enseguida se dio cuenta. Me miraba a m de una manera especial y sin poder contener su asombro, empez a exclamar: Claro, claro, esa es la solucin! Trat de hacer ver a su amigo que yo era muchsimo ms importante que toda la carga que haba trado, cosa que el mercader no comprendi porque no recibi ni una sola moneda a cambio. Me puse muy contento. Este hombre fue nuestra salvacin. Desde ese da, no hicimos ms que viajar de una ciudad a otra, siempre en medio dehombres con tnicas y turbantes y de mujeres con la cara tapada que veamos slo de vez en cuando. Aunque al principio slo me mova entre hombres sabios y estudiosos (llamaba la atencin all a donde llegaba), pronto los propios mercaderes y muchas ms personas se dieron cuenta de la utilidad que yo representaba, junto con mis hermanos, claro, para poder controlar los negocios, las edificaciones, los dineros de las casas, etc. Un da sucedi algo inesperado que ha causado muchos problemas y, sobre todo, me ha trado muchas enemistades. Resulta que, por un error supongo que involuntario, me colocaron a la izquierda de Uno y a un maldito humano, cuyo nombre he olvidado, se le ocurri decir que yo, en aquel lugar no vala nada. Realmente ellos se alegraron mucho porque al fin encontraron el smbolo adecuado para nada; es decir, que si a una persona le quitan las monedas que tiene, me toman a m para indicar que no le queda ninguna. Esto me sent fatal. Piensen que, hasta ahora, siempre me colocaban a la derecha de mis hermanos y por esto era muy apreciado pues ellos aumentaban su valor de una forma extraordinaria. A partir de la apreciacin de aquel individuo, me dejaron solo y con un significado bastante triste. Me result curioso que alguno de aquellos sabios se lamentara de lo tarde que haban empezado a utilizarme solo. Al final comprend que eso era parte de mi sino y lo acept. Pero no todo fue malo. All por el siglo XIII de la era cristiana me sucedi algo nuevo, pero esta vez s que fue trascendental en mi vida pues marc un antes y un despus. Por aquellos sitios por donde yo transitaba lleg un mercader italiano que tena un hijo llamado Leonardo de Pisa (que es una ciudad italiana de donde parece que era este personaje). Lo recuerdo bien porque, como les he dicho, l signific mucho en mi futuro a partir de aquel instante. Su manejo de la aritmtica se basaba en unos extraos smbolos que usaban los romanos y que yo nunca llegu a entender. Adems, para hacer operaciones usaba un aparato a base de piedras pequeas (clculos les llamaba l) que su padre llevaba a todas partes como quien lleva la nariz. Cuando Leonardo acudi a casa de un amigo para que le enseara cosas del saber y el sabio nos mostr a nosotros, haba que ver la cara de aquel muchacho cuando nos descubri! Y sobre todo a m. Es inenarrable. Y no me extraa despus de ver, como les he dicho, cmo contaba y operaba l. Cuando me llev a su Italia natal lo comprend mejor. Escriban los nmeros a base de unos palos, equis y otras letras. Un medio rollo. Lo grave de aquel sistema, que a pesar de todo pervive, es que los nmeros no tienen valor relativo y para escribirlos tienes que saber sumar porque los valores se van acumulando como si fuera una coleccin. Y lo peor se presentaba al sumar porque LIX y CXVIII son dos cantidades escritas en ese sistema, quin es capaz de sumarlos? Imposible! Entonces es cuando usaban aquellos aparatos con piedritas, que ahora me acuerdo que les llamaban bacos, y claro, no todo el mundo saba las cuatro reglas. Pues bien, precisamente conmigo y con mis hermanos (nos pusieron el nombre de dgitos por eso de que somos diez, como los dedos), consiguieron resolver no slo el problema de la escritura de los nmeros sino tambin lo de las cuatro reglas. Esto, como les he dicho, los indios y los rabes ya lo tenan resuelto haca tiempo. Su asombro fue impresionante cuando descubrieron que con este sistema que les trajo Leonardo, los dgitos podemos tener dos valores al mismo tiempo: uno absoluto, esto es, el que valemos por nosotros mismos y otro relativo que depende del lugar que ocupemos en el nmero que se escriba cuando nos reunimos ms de uno. As, por ejemplo, para escribir el mil tres, basta con ponerme a m dos veces entre el Uno y el Tres (estos son sus valores absolutos), de forma que el Uno representa en ese caso las unidades de mil (este es su valor relativo) y el Tres coincide con las unidades simples. Como en este caso no hay ni decenas ni centenas, se me coloca a m para indicarlo (esto es, precisamente, parte de mi gran vala). Vieron, pues, cmo escribircantidades se convirti en algo sencillsimo, que cualquier persona podra dominar con pocas explicaciones. Tanto fue as que lleg un momento en que este mecanismo se explic en las escuelas a los nios y hoy, en la mayora de los pases, rara es la persona que no nos conoce y utiliza en su vida cotidiana. Pero volviendo a mi amigo Leonardo, si su admiracin fue enorme cuando se enter de cmo escribir cantidades, imagnense cmo quedara cuando aprendi a sumar... Ahora, deca, todo es ms claro. Para hacerlo bastaba con colocar las cantidades a sumar unas debajo de otras, con la nica precaucin de que los dgitos que ocuparan la misma posicin relativa estuvieran en la misma columna; es decir, las unidades a la derecha del todo, luego las decenas, despus las centenas y as sucesivamente. En fin, qu les voy a decir a ustedes. Seguro que lo saben hacer de maravilla desde la ms tierna infancia. Por cierto, que recuerdo que mi asombrado amigo se pas todo el viaje de frica hasta Italia sin salir de su camarote casi ni para comer, de manera que al llegar dominaba la tcnica perfectamente. Escribi ms tarde un libro de mucho xito donde lo explicaba todo. Lo titul El libro del baco. Si se tiene en cuenta que la suma es la base de casi toda la matemtica, se imaginarn lo que sucedi despus. Recorrimos todos los pases en muy poco tiempo y en los distintos sitios nos reciban triunfal mente aunque, modestia aparte, yo era el ms admirado, pues como decan algunos, sin valer nada, poda llegar a valer mucho. Se haban creado unos centros de saber que llamaban universidades y all es donde ramos especialmente apreciados. Pero lo ms bonito fue el ver cmo cada vez nos utilizaba ms gente. Ya no eran slo los venerables sabios, sino que, como sucedi antes con los rabes, era el pueblo llano el que nos conoca y utilizaba casi a diario para resolver un sinfn de problemas. A partir de mi llegada a Italia mi vida se hizo muy ajetreada. Cada da me utilizaban para cosas nuevas y hasta yo mismo me asombraba de ver por dnde me metan. Esta gente de la llamada civilizacin occidental comprendi ahora por qu su matemtica se les haba quedado estancada. Los griegos de la poca clsica, que segn los datos que tengo, eran unos tipos listos, no llegaron a conocernos. Descubrieron y estudiaron muchas cosas, pero su complicado sistema de numeracin les fren considerablemente. Por eso se desviaron tanto hacia la geometra, llegando lejos en sus aportaciones. Os imaginis qu habra pasado si nos hubiesen conocido personajes como Pitgoras o Euclides? Posiblemente habramos llegado mucho antes a la Luna (aunque hay quien sigue empeado en que no se ha llegado an, si bien a m me importa poco eso). De todos modos, no crean que todos me aceptaron sin ms. Hubo alguna gente que me miraba mal, con argumentos tan peregrinos como los de unos a los que llamaban cartujos (no s si existen an), que no me aceptaban porque decan que yo era la nada y la nada no existe... Toma ya! Pero volviendo a mi historia buena, como ya les he indicado, me convert en algo imprescindible para la vida. Soy el punto de partida de todas las escalas, de todas las redes de comunicacin, de los das; incluso en la fsica me dan un nombre que se aplic a los reyes: el absoluto. Ya s que a los estudiantes no les caigo especialmente simptico, pero bueno, algn defecto habra que tener... Todos mis mritos se me han ido reconociendo poco a poco. Lo que ms me ha emocionado en este sentido ocurri en Pars, en una exposicin internacional que se celebr en 1937. En el pabelln de la matemtica haba un enorme rtulo que presida la entrada. En l estbamos escritos los cinco nmeros ms importantes sintetizados en una frmula que, aunque yo no la entiendo mucho tampoco, no me resisto a escribirla para que vean qu bien he quedado en ella. Es esta: Por cierto que en esa exposicin compart los honores con un enorme cuadro que pint un espaol llamado Picasso y que titul Guernica. No s si lo conocen...Y ya por ltimo fjense qu poesa tan bonita me han dedicado, junto a dos de mis hermanos: EL CERO, EL UNO Y EL DOS Graves autores contaron que en el pas de los ceros el uno y el dos entraron y, desde luego trataron, de medrar y hacer dinero. Pronto el uno hizo cosecha, pues a los ceros honraba con amistad muy estrecha, y, dndoles la derecha, as el valor aumentaba. Pero el dos tiene otra cuerda: Todo es orgullo maldito y con tctica tan lerda los ceros pone a la izquierda y as no medra un pito. En suma: el humilde uno lleg" a hacerse millonario mientras el dos importuno, por su orgullo cual ninguno No pas de perdulario. Al Grupo Relojes SINETA Y LA HIDRA Tras su aparicin en el Olimpo, un halo de misterio la haba rodeado durante mucho tiempo. Su figura, gil y menuda, y su sonrisa fcil y sincera le granjearon la simpata de todos desde el principio. El propio Zeus nunca lo ocult. Y ms cuando al fin supo que Sineta, que as se llamaba la joven, era hija de Atenea! Esto es imposible! dijeron muchos al enterarse. Y es que de todos era conocida la actitud fra y distante que la respetada diosa mantena en su relacin con los hombres. Pero era as. Sineta, adems, pronto se distingui por su mente clara; no hered, en cambio, el gusto de su madre por lo blico. Es ms, Zeus la reserv para misiones en las que fuese necesaria una actitud pacfica y conciliadora. Por eso, encarg a Hefesto, el divino tallador, una filigrana de oro que Sineta colgara de su cuello para persuadir a cuantos intentasen usar la violencia contra ella. Acrcate le dijo Zeus una maana. Debes ir a Lerna y calmar a una horrible bestia que tiene atemorizadas a cuantas criaturas viven a su alrededor. Slo t podrs realizar esta misin pues deseo que no haya violencia. Sineta se dirigi hacia aquel lugar situado al norte del Peloponeso y desde muy lejos escuch extraos rugidos. No te acerques a la bestia! le decan una y otra vez. Por qu?, cmo es? pregunt Sineta a un anciano que tambin le aconsejaba regresar a su tierra. Es horrible!, mi tierna amiga. Su cuerpo es parecido al de un perro pero tiene nueve cuellos largos y escamosos que acaban en feroces cabezas de serpiente. Gritan a todas horas y dicen que son tan venenosas que con slo el aliento causan la muerte. Huye que an ests a tiempo! Sabras decirme, venerable anciano, si ese fiero monstruo tiene capacidad para razonar? pregunt Sineta. Segn he odo le contest el anciano una de las nueve cabezas esinmortal, habla y razona. Las otras hacen lo que sta dicta. Sineta, aunque preocupada, saba que si el monstruo razonaba tena posibilidades de salir triunfante de su misin. Se dirigi entonces con decisin hacia el lugar de donde provenan los rugidos que no cesaban. Por el camino comprob cuanto le haban dicho: slo vea desolacin y soledad. A Sineta le salv el talismn de su pecho pues al verlo, la hidra aplac su fiereza. La cabeza pensante se dirigi a ella preguntndole quin era y qu quera. Soy Sineta, hija de Atenea y vengo para hablar contigo y no para luchar le contest con calma. No hablo con nadie que no me demuestre ser merecedor de ello le indic la hidra con brusquedad. Qu debo hacer? pregunt Sineta. Escucha, joven intrusa: te propondr un enigma. Si pasado un da no lo resuelves no dudar en devorarte. Atiende: Cuatro paredes, sin puertas con seis filos las hars y ten adems en cuenta que el ms sencillo de cinco es. Retrate y vuelve maana. Sineta se alej pensativa. Las horas pasaban y no lograba desentraar el enigma. Logr dormirse con un alto grado de excitacin. En medio de un sueo vio acercarse a la figura solemne de su madre. Cuando se acercaba a ella sac algo que traa oculto bajo su purprea capa y, antes de desaparecer, hizo un guio a su hija. Cuando Sineta despert se acerc al sitio donde haba visto a su madre y encontr un perfecto tetraedro hecho con seis alambres de oro. Mirando al Olimpo, gui el ojo y corri en busca de la hidra. Veo que mereces ser escuchada le dijo al ver en su mano la figura. Atiende ahora t le indic Sineta . Tienes atemorizadas a todas las criaturas: perros, pjaros... hasta los peces han huido. Te dejar una prueba y permanecers en tu guarida hasta que la resuelvas. Escucha: Nueve copas dejar cinco boca arriba estn las restantes al revs. Dos cada vez cogers y la vuelta les dars. Tu mente quiero retar pues el juego acabars si consiguieras pensar cmo cuatro boca arriba terminaras por dejar. Y para que dispongas de tiempo para pensar, te impongo una condicin ms: slo movers las copas una vez al da: justo cuando Helio con su gran carro cruce la cuarta esfera y se oculte por el poniente. Sineta se alej de aquel desolador lugar pero permaneci con el anciano para comprobar que la hidra dejaba de gritar y atemorizar. Las flores, asustadas hasta entonces, surgieron por doquier; los pjaros animaron de nuevo con sus trinos y sus colores. La comarca recuper su pulso perdido. Sineta, la hija secreta de Atenea, haba hecho slo lo que los dioses le reservaron como destino. A mis alumnos y alumnas de Tejina TENIA QUE HACERLO! Tena que hacerlo! Tena que hacerlo!... repeta una y otra vez el anciano Pitgoras cuando Sineta, la de la mente clara, vino a visitarle. De acuerdo, Oh venerable anciano! pero has de saber que los dioses estn furiosos contigo le indicaba Sineta. Es igual,aceptar el castigo que crean que merezco, pues tena que hacerlo! insista Pitgoras. Pero, por qu lo hiciste?, por qu osaste atravesar lo que est reservado slo a los dioses? Durante toda mi vida explic el anciano de noble figura he pensado que las cosas podan explicarse a travs de los nmeros. "El nmero es todo", ha sido siempre el lema de mi escuela. Y todo pareca funcionar. Hemos encontrado la belleza y la proporcin en los nmeros. La msica, arte sublime donde los haya!, tambin est regida por relaciones entre nmeros enteros. Sineta escuchaba sin perder palabra; haba odo hablar mucho del anciano que estaba ante ella, de sus teoras y de su misteriosa escuela. Un buen da prosigui el anciano reflejando ansiedad en su rostro nos tropezamos con algo que, al principio, tratamos de explicar con los mismos procedimientos que habamos utilizado hasta ahora: buscando relaciones entre nmeros enteros que nos lo explicaran. Poco a poco me fui dando cuenta de que eso era imposible. Se produjo en mi espritu una gran zozobra y durante das pens y pens hasta el punto de creer que perdera la razn. Una maana decid dar el paso: reun a todos los miembros de mi escuela y les comuniqu mi descubrimiento. Hubo un gran revuelo. Opiniones de todo tipo. Desde entonces he estado sometido a muchas presiones, a persecuciones diablicas que no me dejan tranquilo, pero tena que hacerlo! El anciano concluy con un resignado suspiro. Te veo muy abatido coment Sineta. Tratando de ayudar a tan venerable figura y queriendo indagar cul era el fondo de tan terrible descubrimiento le dijo con voz suave: Comprendo, excelso maestro, que si durante tanto tiempo pensabas que la naturaleza era de una forma aparentemente definitiva y ahora descubres que no, percibes que ha surgido una grieta imposible de contener, parece lgico que tu mundo se destruya. En cualquier caso prosigui Sineta he de comentarte que los dioses siempre han visto tu trabajo con un cierto recelo, como si temieran que algn da fueras a sobrepasar la barrera de pensamiento que Zeus ha concebido para el hombre y te acercaras osadamente a la zona exclusiva de los dioses... Yo no tengo la culpa! interrumpi brusca y nerviosamente Pitgoras. Cuando Zeus permite que se nos ponga en la Tierra y nos concede la capacidad de razonar, nosotros estamos obligados a llegar hasta donde podamos. l no puede limitar mi pensamiento. Y si as lo piensa, que nos destruya y se quede slo con los que no piensan. Tranquilzate, oh venerable anciano! le indic Sineta con suavidad y dulzura. Estoy aqu para tratar de ayudarte a resolver el conflicto. Mi doble condicin de hija de la diosa Atenea por una parte y de humana por otra, me ayudar a comprender tu situacin. Quisiera, oh gran maestro!, que me explicaras en qu consiste tu descubrimiento. El anciano recobr la tranquilidad y mirando fijamente a la joven le dijo: Para que te sea ms comprensible, te lo explicar con unos ejemplos. Hasta ahora, si tenemos dos nmeros enteros (o cuantos quisieras...) por ejemplo el 8 y el 30, podemos encontrar otro nmero entero, el 120 en este caso, que contiene a ambos un nmero entero de veces. Observa: El 8 est contenido 15 veces en el 120 El 30 est contenido 4 veces en el 120 [1] Pero no slo eso, si quisiramos medir magnitudes de longitudes 8 y 30, podras tomar una unidad de tamao 2 [2]y entonces con cuatro de ellas cubriras el 8 y con 15 de ellas cubriras el 30, es decir: 4 veces esa unidad (el 2) es el 8. 15 veces esa unidad (el 2) es el 30. Ya ves, todos los nmeros son enteros. Con ellos todo va muy bien. Y qu es lo que pas entonces? Pues algo tan fuerte y fuera de lo que ha sido normal como lo siguiente: Considera un cuadrado. Ahora fjate en su lado y en su diagonal. Evidentemente, son dos magnitudes. Hasta aqu todo va normal. El problema surge cuando ahora quieres hacer con estas magnitudes lo mismo que hice antes con el 8 y el 30. Es imposible! No podremos encontrar ninguna cantidad entera que contenga a esas magnitudes un nmero tambin entero de veces. Son por tanto nmerosininteligibles para nosotros. Nunca habamos visto nada igual. Pero lo has intentado de todas las formas posibles? le pregunt Sineta. S. Esto fue lo que comuniqu a mis discpulos: he llegado a la conclusin de que la diagonal del cuadrado no es conmensurable con el lado. Es decir, ningn nmero entero de veces la diagonal es igual a algn nmero entero de veces el lado. Quiere ello decir que, adems de los nmeros enteros y de los fraccionarios, los hay de otro tipo? pregunt Sineta, que haba entendido a Pitgoras. En efecto, mi joven amiga contest el anciano con voz relajada. Y ese es el motivo del enojo de los dioses. Al parecer ese nuevo nmero lo queran ellos en exclusiva. La situacin es preocupante seal Sineta. No resulta fcil prever qu va a pasar pues ya sabes, oh docto anciano!, cmo reaccionan los dioses cuando se les desobedece o los humanos intentan invadir lo que ellos consideran que es suyo en exclusiva. Alto ah!, mi tierna amiga cort Pitgoras con energa. Nadie me haba dicho que no deba entrar en ese campo. Nadie ha puesto lmite a mi capacidad de razonamiento. Est bien le calm Sineta. Eso que dices es cierto. Qu piensas hacer con tu descubrimiento? Seguirs avanzando en ese abismo que has empezado? De momento he indicado a todos los miembros de mi escuela que no lo divulguen. Trataremos de mantenerlo en secreto. Mucho me ha impresionado tu relato! le dijo Sineta admirada por lo que haba odo. Tratar de hablar y convencer de la bondad de tus intenciones a mi excelsa madre, Atenea. De que no has penetrado en su mundo como consecuencia de un acto de soberbia sino como consecuencia de la perfeccin que Zeus dio a lo que hizo en su da. Sineta, la de la mente clara, estuvo varios das escuchando las discusiones de los miembros de la Escuela. Ellos la admitan como a uno ms y escuchaban con respeto las intervenciones de la joven. A Sineta le pareca que sera sencilla su labor mediadora entre Pitgoras y los dioses. Por qu los dioses se han irritado tanto? se preguntaba una y otra vez. No entenda del todo dnde poda estar la gravedad del paso dado por el anciano. El da que fue a despedirse, le plante esa duda a Pitgoras y esto fue lo que le dijo: Claro, oh joven de mente despierta! Mi descubrimiento no es como los que el hombre ha hecho hasta ahora. En mi juventud estuve en Egipto. All conoc a muchos sabios. Todo lo aprendan a base de experimentacin. Es la naturaleza la que les marca las pautas del saber. Pero mi descubrimiento da un salto de lo tangible a lo mental, de lo emprico a la abstraccin: Es slo mi mente la que interviene! Esto es lo que parece que enoja a los dioses. No conciben que nosotros, los mortales hijos de Prometeo, podamos llegar al conocimiento, a la sabidura, a travs de la razn! Ya te lo he dicho muchas veces y seguir dicindolo a pesar de los dioses: Tena que hacerlo! A ngeles de la Concha, mtica EL RESCATE Haba odo hablar a su divina madre Atenea de la tragedia de Orfeo, el celestial msico. Desde que Sineta conoci la historia, sinti deseos de ir en busca de su protagonista para escucharla de su propia voz. "Las tragedias slo las cuenta bien el que las sufre", oy decir en ms de una ocasin a su maestro Quirn, aquel famoso centauro que renunci a la inmortalidad. Sineta saba que iba a encontrarse con alguien pacfico como ella y amante de la msica. Tambin saba que el camino hasta la Tracia estaba plagado de peligros. Pero para ser fiel a su destino, tena que ir. Por eso colg de su cuello el talismn que le haba fabricado su to Hefesto, el cojo prodigioso y orfebre insuperable. El talismn ahuyentara a todos los que intentaran agredirla o tratarla con violencia durante el largo viaje que le esperaba. Y la proteccin de los dioses en especial la de su abuelo Zeus, que contemplaba gozoso todas sus aventuras surti efecto. Lleg a la lejana Tracia y no tard en localizar a Orfeo. Tal era la fama que haba adquirido en toda la comarca. Despus de su desgarradora separacin de Eurdice, se haba convertido en una especie de monje alservicio de Zeus y de Dionisos, el ms alegre de los dioses, quiz buscando as equilibrar su tristeza. Vesta con una tnica de un blanco inmaculado. Hablaba reposadamente. Sus mensajes eran profundos y escuchados. Pero, sin duda, lo que ms cautivaba de este personaje segua siendo la msica que sala de la famosa lira de siete cuerdas, regalo de Apolo, el del Orculo de Delfos. Todos cuantos le oan recordaran para siempre la armona de sus sonidos y la melancola que su espritu transmita ahora a travs de la msica. Cuando lleg hasta donde l estaba y le vio por primera vez, lo encontr rodeado de un grupo de jvenes a los que deca: La felicidad del hombre no la encontraris en esta vida. No creis que la felicidad se obtiene con el goce del cuerpo. Debis tener claro que todos estamos posedos de un halo divino, puro como todo lo divino e inmortal como ellos. Este halo se sustenta en un cuerpo material, terrenal, impuro y, sobre todo, perecedero. Yo os digo que la felicidad llegar cuando nos unamos al gran halo divino ms all de la muerte. He tenido ocasin de contemplarlo. Sineta, la de la mente clara, qued impresionada tanto por lo que acababa de or como por la sublime sensacin que le produjo la figura de Orfeo. No pens que existieran humanos capaces de defender ideas como aquellas y sinti deseos de conocerlas ms profundamente. Tmidamente se acerc a aquella figura resplandeciente como la luz del alba y le dijo: Oh, gran Orfeo!, soy Sineta, hija de Atenea. Tus palabras me han impresionado y lo que s de tu historia me conmueve. Pero quisiera orla contar de tu voz. Oh, joven Sineta!, traes un rayo de alegra a mi apesadumbrado corazn y a mi desesperada existencia. No soy merecedor de que una enviada divina como t, escuche mi larga y densa historia, de final tan desdichado. He venido para eso le contest Sineta quiero or tus glorias y tus tristezas. Sea empez Orfeo. He vivido intensamente episodios importantes. Los dioses me dotaron de una especial habilidad para la msica, para la armona y para el disfrute de la belleza. Apolo, el de la equilibrada hermosura, cuando conoci mis virtudes me regal esta lira de siete cuerdas que se afina sola, a la que yo he aadido dos cuerdas ms y de la que no me he separado desde entonces. Ha sido mi mejor amiga. Nunca me ha fallado. Ni siquiera cuando tuve que enfrentarme a monstruos tan horribles como aquel pestilente dragn que custodiaba el Vellocino de Oro, all, en la recndita Clquide. Fueron momentos de gloria. Pero seguro que has escuchado de los dioses que desde hace algn tiempo mi vida est sumida en una insuperable tristeza que se refleja tambin en las notas de mi lira. Mis dedos no pueden deslizarse por notas alegres mientras en mi corazn se albergue la tristeza. Cuando regres de ese memorable viaje con Jasn y los dems argonautas, me cas con la ms hermosa de todas las ninfas: Eurdice, ese era su nombre. Su presencia llenaba toda mi vida. La lira participaba de esa alegra. Animales, rocas, rboles y ros venan junto a nosotros para escucharla y compartir nuestra felicidad. Pero un aciago da la mordi una vil serpiente venenosa. Su agona fue horrible y todo lo que hice para salvarla fue intil. Recurr a todos los sabios mdicos. Rogu a los dioses. Hice sacrificios. Todo fue intil. Se acab. Muri en mis brazos impotentes. Mi dolor y el estado de desesperacin fueron tales que me atrev a pedir, a suplicar al magnnimo Zeus que me permitiera bajar al tenebroso mundo de Hades para rescatarla y traerla de nuevo conmigo. Su muerte tena que ser un error del destino. Y Zeus, infinitamente bondadoso, me lo concedi. Aqu empez, oh joven protegida de los dioses!, mi experiencia ms trgica. Acompaado de mi inseparable lira segu el sendero que me iban marcando. Caronte me cruz en su odiosa barca por la fatdica laguna Estigia hasta llegar a las puertas de las eternas tinieblas donde el fiero y famoso perro de Hades, Cerbero, me esperaba. Ya puedes imaginar, oh Sineta!, mi espanto ante ese monstruo de tres horribles cabezas. Haba odo hablar de l, pero jams pens que el horror pudiese llegar atal grado. Haba cruzado la laguna de Estigia pulsando las cuerdas de mi lira con la mayor suavidad que poda. Mi voz aunque temblorosa era clara y melodiosa. Cuando llegu a la orilla, vi cmo las cabezas de Cerbero se estiraron bruscamente. Las serpientes que bullen en su cuello quedaron quietas y yo, sin parar de tocar y cantar, pas junto a l. Segu caminando hacia la puerta de los infiernos, la que se cruza para no volver y not que, aunque Cerbero me segua, no tena intencin de impedirme el paso. Pero si mi alma estaba encogida por el detestable perro, cuando atraves la puerta, el escalofro fue irresistible. Vi sombras que vagaban desordenadamente. Algunas se acercaban a m y pareca que queran impedirme avanzar. Mi canto y mi msica se haban parado por el espanto. No me era posible emitir una nota ante espectculo tan sobrecogedor. Intentaba, no obstante, mantener la calma mientras miraba a todos lados buscando ansiosamente la sombra de mi amada, que sin duda, estaba all. Tan fuerte era la impresin que casi me arrepiento de haber tomado aquella desesperada decisin. Y en esa situacin tan dramtica, vi, de repente, que una brillante luz se situ frente a m. Me sent deslumbrado y tap mis ojos con la mano. No te asustes, Orfeo, me dijo una femenina y apaciguadora voz, soy Persfone, esposa de Hades. Tu historia me conmueve y ms an tu valenta al venir hasta aqu. Mereces mi ayuda. Te guiar ante mi esposo e interceder por ti. Como puedes suponer, aquella aparicin me caus una profunda alegra y compens todos los peligros y miedos que haba pasado hasta llegar all. Aquella voz amiga y comprensiva en aquel lugar tan horroroso era lo mejor que me poda ocurrir. Y as fue. Hades escuch a su esposa y el resto de la historia ya lo conoces. Jams olvidar cmo se alej de m la sombra de Eurdice cuando, slo a un paso del final tuve la debilidad de mirar hacia atrs para ver si me segua. Ese ha sido el momento ms trgico de mi vida y el que ha marcado mi existencia desde entonces. Imagnate querer abrazar a tu amada para que no se escape y que sta se convierta de repente en una niebla que irremisiblemente se disipa! Sineta, la hija de Atenea, haba escuchado el relato con gran atencin y emocin. En efecto, le haba impresionado or contar a Orfeo su propia tragedia. Estar a punto de recuperar al ser amado y perderlo para siempre por algo tan intrascendente como mirar hacia atrs tena que ser un tremendo golpe para un espritu tan sensible como el que Orfeo haba demostrado tener. Sineta continu en Tracia junto a Orfeo algunos das ms. Ello le permiti tener un mayor conocimiento de las teoras que Orfeo predicaba a quienes le queran escuchar. Contemplar el arpa de Orfeo fue ocasin propicia para recordar lo que haba aprendido de su maestro Quirn: la relacin casi mgica que existe entre la msica y los nmeros. El arpa de Apolo me dijo tiene slo siete cuerdas. Por tanto, hay que elegir siete sonidos que sean melodiosos (es decir, que al hacerlos sonar uno tras otro, resulte agradable) y armoniosos (esto es, que al hacer sonar varios a la vez produzcan un sonido que no lo rechace tu odo). Cules son por tanto esos sonidos? Sineta haba experimentado con su maestro cmo tomando una cuerda y mediante proporciones sencillas de la cuerda (mitad, terceras partes...) se generaban, tensndolas, sonidos melodiosos y armnicamente superponibles. Cuando se despidi, sin decirle nada a l, tom la decisin de interceder ante los dioses para ir a los infiernos en busca de Eurdice. Tena que intentarlo. Era parte de su destino. No le fue difcil conseguir el permiso de su abuelo Zeus; al fin y al cabo era su nieta preferida y a l le gustaba el inters de Sineta por este tipo de misiones. Tambin su complacida madre Atenea, aunque no mantena buenas relaciones con Hades, le prometi proteccin. El sagrado talismn de su pecho le ayud a abrir caminos y puertas. Cuando estuvo en presencia de Hades y tras reconocerle le dijo: Conozco tus propsitos, Sineta, prodigiosa hija de Atenea y tratar de ayudarte. Pero he de decirte que la sombra de Eurdice desde que le sucedi aquelladesgracia vaga incansable, sin rumbo y sin importarle nada de lo que acontezca. Gracias, oh Hades, esposo de Persfone! Si mi opinin puede servir, sugiero que probemos su capacidad para razonar. Si tuviese alguna, encontrarse de nuevo con Orfeo la curara, pues su mal le proviene del amor. Es su sentimiento el que est enfermo. Sea. Proponme la forma de hacerlo le respondi Hades. Te ruego que me des algn tiempo para pensar cmo hacer esta comprometida comprobacin. De acuerdo. Pasa a los Campos Elseos y tmate el tiempo que necesites, pero recuerda la implacable ley del destino: no debes probar nada, pues de lo contrario quedars aqu para siempre. Sineta medit profundamente para tratar de construir una prueba acorde con la situacin; tena que hacer el esfuerzo necesario pues Orfeo y su sublime amor merecan esta ayuda. Pasado un da se acerc a Hades y le dijo: Oh, soberano de las profundidades! Tu divina generosidad concedindome este tiempo de reflexin me ha permitido encontrar la prueba que nos indicar lo que necesitamos. Me alegra or lo que dices le coment Hades-cuntamela. Necesito tres manzanas de oro y dos de plata. Hades orden que las trajeran al instante. Ahora, oh, divino Hades!, necesito que utilices tus poderes para que traigas a nuestra presencia a Cerbero, el guardin de tu puerta. Despus instalars la sombra de Eurdice en una de sus cabezas, la de Ulises en otra y la de Aquiles en la tercera. As lo hizo Hades. La expectacin haba crecido. Persfone y Hades no ocultaban su ansiedad por conocer el desenlace de lo que all estaba ocurriendo. Una vez que las sombras indicadas ocuparon las cabezas del can, Sineta, con gran seguridad, se acerc a la ahora dcil fiera y dijo: Esta bolsa que llevo contiene cinco manzanas; tres son de oro y dos de plata. Voy a colocar una sobre cada cabeza. Extrajo una manzana de la bolsa y asegurndose de que Eurdice no la viese la coloc sobre la cabeza que ocupaba. Hizo lo mismo con Ulises y lo mismo con Aquiles. Al final, cada cabeza tena encima una manzana que no haba visto aunque s poda ver las manzanas que estaban encima de las otras dos cabezas. Y ahora dijo Sineta, la de la mente clara, con gran solemnidad y rompiendo el espeso silencio que all exista ha llegado el momento trascendental: quiero que me diga cada uno de qu es la manzana que lleva sobre su cabeza: de oro o de plata. De nuevo se reanuda el silencio angustioso. Todas las sombras se haban parado. El matrimonio de las Tinieblas miraba fijamente la cabeza de Eurdice. sta, en poco tiempo hizo mover la boca del monstruoso can para articular esta frase: Hay una manzana de oro sobre la cabeza que ocupo. Un prolongado oh! reson en todo el Hades. Era cierto!, su manzana era de oro! Hades orden a la sombra de Eurdice que se situase junto a l. Quiero que me expliques cmo has sabido que tu manzana era de oro. La voz de Eurdice son suave y segura. Esto fue lo que le dijo: Es claro que no hay dos manzanas de plata sobre nuestras cabezas porque si fuese as, la cabeza que las viese sabra inmediatamente que la suya era de oro y esto no lo ha dicho ninguna de las otras dos cabezas. Por tanto tan slo podra haber una de plata. Si la ma fuese de plata, cualquiera de ellos al ver una de oro y otra de plata (la ma), sabra que la suya es de oro porque si tambin fuese de plata la cabeza que tiene la manzana de oro habra hablado inmediatamente y esto no ocurri. Como ninguna de las otras cabezas habl, he deducido que la que corresponde a la ma es de oro. Hades y Persfone no pudieron ocultar su alegra por lo acontecido e inmediatamente dieron rdenes para que ambas, Sineta y Eurdice, pudieran abandonar su tenebroso reino y as Eurdice volviese junto a su amado Orfeo. Y Sineta continu en los brazos de su destino. A Emma Garca Mora, curiosa, viajera y amiga EL TRIANGULO SOY YO Hola! Cuando te diga quin soy, s que vas a decir que me conoces de casi toda la vida, que me has tratado en muchas ocasiones. Pero yo no estoy tan seguro de que realmentesepas mucho sobre m aunque te pueda dar esa impresin. Soy el tringulo; s, en efecto, esa figura plana de tres lados que entr en tu vida hace muchos aos... Primero me conociste "de vista" pues jugabas conmigo cuando eras pequeo pero no supiste mi nombre hasta que fuiste a la escuela y all te lo dijeron. O quizs fueron tus padres? Te has preguntado alguna vez por qu me dedican tanto espacio en los libros? Haz un poco de memoria y recuerda que de las dems figuras casi no se deca nada y sin embargo de m haba pginas y pginas. Eso quiere decir, sencillamente, que soy importante pero t sabes por qu? Por si acaso no lo sabes, tratar de explicrtelo dndote algunos datos de mi vida. No te los dar todos porque no deseo cansarte con mis cosas aunque quiero que sepas que mi vida es larga en el tiempo y que est llena de muchos episodios, tantos que si algn da me decido a escribir mis memorias tendr para una larga obra. Quiero que compruebes si lo que te voy a contar ya lo sabas o slo tenas alguna vaga idea. Mi partida de nacimiento no existe porque cuando nac no se haca ese tipo de registros, y adems la poca es tan remotaque dudo mucho de que el dato se haya conservado hasta hoy. De mi infancia ms tierna conservo algunos recuerdos. As, por ejemplo, en el Egipto de los faraones conoc a un escriba que se llamaba Ahmes (o Ahmosis, no recuerdo bien). Era un tipo realmente curioso. Le gustaba hablar con los mayores a los que escuchaba con respeto. Precisamente de uno de ellos recibi unas enseanzas que a su vez haba odo a sus antecesores. Ahmes, en los ratos libres que le dejaba su trabajo como agrimensor del faran, fue pasando aquellas ideas a un papiro. Como sabes, este era un material sobre el que se escriba en Egipto. No era malo y adems ste del que te hablo ha llegado hasta hoy y se le conoce como el papiro de Rhind, se conserva en el Museo Britnico. En l vers que Ahmes me hizo varios retratos, muy buenos por cierto, lo cual no es de extraar teniendo en cuenta lo curioso que era. Como bien conoces, dispongo de una gama infinita de trajes. A m me gustan todos por igual pero reconozco que hay modelos que algunos prefieren por encima de otros. En una ocasin me vi sorprendido porque nada menos que Dios me escogi vestido de equiltero, puso su ojo dentro y me utiliz a partir de entonces como uno de sus smbolos. Desde luego es un traje que me queda muy bien. Resulta equilibrado con los tres ngulos y los tres lados iguales. Con ese traje me puedes ver en la bandera deNicaragua. Tambin debes saber que soy de los pocos polgonos regulares que teselamos el suelo, es decir, que utilizndome de forma reiterada soy capaz de recubrir cualquier superficie porque, como mi ngulo vale 60, si nos reunimos seis conseguimos los 360 y no dejamos huecos libres. Esto lo pueden hacer tambin el cuadrado y el hexgono regular pero ningn polgono ms de los llamados regulares. Conocido traje mo es el rectngulo. No creo que haya estudiante, por flojo que sea, que no me conozca con este modelo. Y es que estoy relacionado con el, posiblemente, ms popular de los teoremas; el teorema de Pitgoras que dice aquello de: "En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados delos catetos". Ten cuidado, porque algunos dicen "es igual a la suma de los catetos al cuadrado", y esto es otra cosa, no? Uno de los mayores xitos de mi vida lo obtuve cuando alguien nunca he podido saber quin fue se dio cuenta de que soy el polgono ms estable. Me explico. Si con algn tipo de varilla construyes un polgono cualquiera que no sea como yo, podrs comprobar con facilidad que es una forma endeble. Si empujas un poco por algn vrtice se deforma. Sin embargo, conmigo eso no ocurre porque mi estructura es firme como un roble. Tengo tanta personalidad que para cambiarme tienen que destruirme. Por esta razn, cuando a un cuadrado o a cualquier otra estructura se le quiere hacer fuerte y segura, acuden a m para conseguirlo. Fjate, por ejemplo, en los torreones de la luz. Son una autntica sinfona detringulos. Si a partir de ahora te fijas un poco, me vers en casi todas partes. Pero, donde realmente se nota mi vala, es en la medida de la superficie de las reas poligonales. Todo empez cuando en la antigua Grecia un hombre, que recuerdo bien y al que nunca podr agradecer suficientemente su descubrimiento, obtuvo una frmula que permite conocer el valor de mi rea sabiendo cunto miden mis lados. La frmula lleva el nombre de ese ilustre griego: Hern. Es muy sencilla, sobre todo hoy con la ayuda de lascalculadoras. Te la voy a explicar: Si mis lados miden a, b y c unidades, sabes que entonces mi permetro es P = a + b + c. Pues bien, la mitad de P es mi semipermetro, p = (a + b + c)/2 y la frmula de Hern establece que mi rea es: as que todo se reduce a sencillas operaciones. Fjate ahora qu aplicaciones ms interesantes e importantes se logran con eso. Considerando un polgono cualquiera, te puedes colocar en un vrtice M y desde all divides el polgono en tringulos (es lo que se llama proceso de triangulacin) y basta con ir midiendolas longitudes de los distintos lados de los tringulos que resulten y aplicar la frmula de Hern para calcular su rea en cada caso. Cuando las sumes todas tendrs el valor ms o menos exacto (depende de lo que te hayas esmerado) del rea del polgono. Ten en cuenta que prcticamente todos los terrenos, solares, fincas, parcelas... tienen formas poligonales con lo que ya puedes percatarte de mi importancia en estos negocios inmobiliarios... Claro que tal vez t conozcas otra frmula para calcular mi rea: aquella de base por altura partido por dos. Es la que se suele explicar a los estudiantes. Surge de los hechos siguientes: 1) El rea de un paralelogramo cualquiera es base por altura. 2) Un tringulo es siempre la mitad de un paralelogramo. Esta segundapropiedad es muy fcil de comprobar. Teniendo en cuenta las dos propiedades, surge esta popular frmula: At=b.a/2 De todos modos, conviene que sepas que la de Hern es ms til y no entiendo bien por qu ya casi ni aparece en los libros de matemticas. En fin, si quieres saber algo ms de mi vida puedes preguntar a tu profesor o profesora de matemticas. Seguro que gustosamente te contar muchas ms cosas sobre m. Un fuerte abrazo, El Tringulo A Ricardo Lorenzo, maestro de vocacin que se fue demasiado pronto HOLA!, SOY LA ESFERA! Parece mentira que viviendo los terrcolas en una esfera (bueno, casi), sin embargo, me conozcan tan poco. An no he llegado a entender bien por qu Euclides, tan sabio como fue, dedic tanto esfuerzo a que la gente conociera la geometra plana y abandonara a mi familia, las esferas. Es posible que no tuviera asumido del todo que l viva en una esfera, lo cual resulta un poco raro puesto que vivi en el siglo III a.C. y en esa poca ya ramos conocidas pues Aristteles hizo un modelo de Universo con esferas y ms esferas. Lo cierto es que Euclides consigui con su famosa obra conocida como los Elementos que la mente de las personas se cuadriculara de tal forma que la mayora no ve ms all de lo que ocurre en el plano. No conciben, por ejemplo, que puedan existir modelos de geometras en las que se puedan construir tringulos tales que si se suma el valor de sus ngulos el resultado no sea 180. Y no digamos nada si se les dice que esa suma ni siquiera tiene un valor fijo sinoque oscila entre dos valores. Pues bien, si quieres hacer una pequea incursin por ese aparentemente extrao mundo y conocer una geometra distinta de la que conoces de toda la vida, sigue leyendo y espero que sepas sorprenderte por lo que te voy a contar de m, la esfera. Con el fin de entendernos mejor, te recordar lo que conoces del plano y tratar de explicarte cmo se traduce ese concepto sobre mi superficie. En la figura 1 te muestro que en el plano la distancia ms corta entre dos puntos A y B la marca el trozo de recta que pasa por ellos que, como sabes, es lo que se denomina segmento AB. Pues bien, sobre m no existen trozos rectos ya que todos son curvos. Primera gran diferencia!Ahora fijemos la atencin en dos puntos P y Q sobre mi superficie. Como puedes ver en la figura 2, para ir de uno a otro tengo muchas posibilidades pero cul es la lnea que da la mnima distancia?Figura 2 Imagnate que haces pasar un elstico por P y luego, una vez que lo tensas, lo haces pasar por Q. La lnea que buscamos es la que forma el elstico. Por lo tanto, ese trozo de lnea curva que va de P a Q es equivalente a lo que Euclides llama segmento en el plano. Sobre mi superficie lo llamamos segmento esfrico. Pero si deseamos mantener la traduccin, la lnea que marca el elstico en la figura 3, que es sobre la que se encuentra el segmento esfrico, es la equivalente a la recta eucldea, as que la llamaremos recta esfrica. Y una pregunta fundamental surge en este momento: cmo es la recta esfrica? Existen muchos modos de ir de P a Q.Figura 3 Ya ves que se construye prolongando a un lado y a otro el segmento esfrico PQ. Si lo haces con el elstico sobre una esfera comprobars que la recta esfrica es lo que muchos de mis bigrafos llaman circunferencia mxima porque, en efecto, se trata de la mayor circunferencia que se puede trazar sobre mi superficie, bueno, una de las infinitas que hay. Como ves se trata de algo interesante y que va a jugar un papel importante en lo que te contar a continuacin. Por eso lo destaco:las circunferencias mximas en la esfera hacen las veces de las rectas en el plano. Por si acaso puede parecerte que falta algo as como una definicin de circunferencia mxima, te propongo la siguiente: llamaremos circunferencia mxima a la lnea que resulta de la interseccin de la superficie esfrica con un plano que pasa por el centro de la esfera. Te ser fcil comprobar que por dos puntos cualesquiera de mi superficie pasa una y slo una circunferencia mxima, resultado equivalente al que en el plano dice que por dos puntos cualesquiera pasa una y slo una recta. Para continuar, te recuerdo la idea de rectas paralelas en el plano. Lo son cuando por mucho que se prolonguen nunca llegan a encontrarse. En la geometra eucldea existe un famoso postulado (el V) que dice, en esencia, que por un punto exterior a una recta r pasa una y slo una paralela a r. Quin se atreve a discutirlo? Dibuja t mismo una recta y un punto que no est sobre ella y comprobars fcilmente que Euclides tiene razn. Pero ahora aparezco yo y te planteo el problema en la figura 4: observa que el punto P no est sobre la circunferencia mxima y surge la inquietante pregunta: se mantiene que por P pasa una y slo una paralela a esa circunferencia mxima? Tmate un tiempo para pensarlo.Por un punto exterior a una recta esfrica, cuntasparalelas pasan? No te esfuerces ms porque la respuesta es: no pasa ninguna. Por mucho que lo intentes, comprobars que est donde est el punto P, cualquier circunferencia mxima que pase por P cortar a la representada por el elstico en la figura 4 y, por tanto, no son paralelas segn la definicin de paralelismo que hemos admitido. Es un sorprendente resultado que a veces cuesta entender porque no estamos acostumbrados a que sucedan estas cosas en la geometra eucldea. En la figura 5 se plantea y resuelve un sencillo problema eucldeo: dada la recta r, se trazan dos perpendiculares s y t. Qu se puede decir de las rectas s y t? Efectivamente, que son paralelas, de ah el dicho: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre s. Te atreveras a afirmar que algo parecido ocurre sobre la superficie esfrica? Supongo que a estas alturas al menos tendrs un cierto grado de desconfianza de que eso pueda suceder.Pero antes de analizar la situacin creo que es necesario que diga cmo se mide el ngulo que forman dos lneas sobre mi superficie. Esas dos lneas se cortan en un punto y cada una de ellas tiene una recta tangente en ese punto (en este caso las rectas que nombro son eucldeas). Pues bien, el ngulo que forman esas rectas es el que forman las lneas sobre mi superficie. Es como si le pidiera prestado esto a Euclides... Segn esta definicin, dos circunferencias mximas sern perpendiculares cuando el ngulo que formen las tangentes en el punto de interseccin sea de 90. Con el ejemplo que te propongo ahora espero que quede clara esta idea: si se considera como circunferencia mxima el ecuador de la Tierra, cualquier circunferencia mxima que pase por los polos formar un ngulo recto en el punto en el que corte al ecuador, como puedesapreciar en la figura 6. Ecuador cortado por una circunferencia mxima que pasa por los polos N y S. Volvamos al problema planteado: se cumple sobre la esfera que dos perpendiculares a una tercera son paralelas entre s? La figura 7 pone de manifiesto que un resultado tan evidente en el plano eucldeo no se verifica sobre la superficie esfrica ya que las rectas d y f queson perpendiculares a c no son paralelas. Pero las sorpresas mayores estn an por llegar. Qu mentalidad eucldea no se escandalizara si oyera hablar de un bingulo? Eso es imposible!, dir. Y lo cierto es que en su geometra lo es, ya que no es posible dibujar una figura cerrada que slo tenga dos lados; cualquier trozo del plano limitado por segmentos ha de tener como mnimo tres lados. En mi superficie, en cambio, es bien sencillo formar un bingulo y espero que no te escandalices por la existencia de esa extraa posibilidad. La figura 8 representa un bingulo y si deseas entretenerte te propongo que trates de averiguar cunto vale la suma de los ngulos de unade estas figuras. En la figura 9 est reproducida la venerada demostracin de que la suma de los ngulos de un tringulo plano es igual a 180.Es una bella demostracin visual imposible de rebatir. En la figura 10 se presenta un tringulo esfrico. Tiene un vrtice en el polo y los otros dos en el ecuador. Si lo observas con atencin comprobars enseguida que es un tringulo birrectngulo, pues los dos ngulos sealados son rectos. Si ahora te pregunto: suman 180 los ngulos de este tringulo?, la respuesta es inmediata: no. Slo los dos ngulos rectos ya suman esa cantidad. Por tanto, la suma de los ngulos de un tringulo esfrico noes 180. Y ahora una pregunta ms fuerte an: cunto suman? La respuesta no es inmediata porque supongo que te dars cuenta de que no es una cantidad fija sino que oscila entre dos valores que debes averiguar. Lo importante de esta situacin es que una vez ms se vulnera un principio inquebrantable de la geometra eucldea: la suma de los ngulos deun tringulo puede no ser igual a 180. Tringulo birrectngulo Veamos una singularidad ms y ya acabo porque creo que me estoy poniendo un poco pesada con mis cosas. T sabes que en el plano eucldeo, por dos puntos pasa una y slo una recta. Pero fjate en la figura 11. Si sobre mi superficie considero dos puntos diametral-mente opuestos (por ejemplo los polos Norte y Sur de la Tierra), comprobars fcilmente que por esos dos puntos pasan infinitas circunferencias mximas! Y, por lotanto, de nuevo se rompe el frreo esquema eucldeo. Infinitas circunferencias mximas Creo que con lo que te he relatado es suficiente para que puedas llegar a la conclusin de que la geometra guarda muchas sorpresas. En este caso has podido comprobar que existen geometras distintas de la que se maneja y estudia habitualmente. Son las llamadas geometras no eucldeas, de las que se habl por primera vez 2000 aos despus de Euclides. Lo hizo en 1733 el jesuita Girolamo Saccheri, en una obra titulada Euclides ab omni naevo vindicatus. Sin embargo, el mrito del descubrimiento se suele adjudicar ex aequo al ruso Lobachevski, al hngaro Bolyai y al alemn Gauss. Te propongo a continuacin dos curiosos problemas para que te entretengas resolvindolos y comprobando, una vez ms, las singularidades de mi superficie. 1. Una persona sale de su casa y se traslada 200 km hacia el Sur. En ese momento cambia el rumbo y se desplaza 200 km hacia el Este. Llegado a este lugar, cambia de nuevo el rumbo y se dirige hacia elNorte. Cuando recorre 200 km en esta direccin observa que llega de nuevo a su casa. La desconcertante pregunta del problema es: cul puede ser la singular situacin de esa casa? Por si acaso das con una solucin, te dir que realmente puede estar en infinitos puntos de la Tierra. T debes localizarlos. 2. Seguimos con desplazamientos. Un avin sale del aeropuerto de Tenerife-Norte y recorre 3000 km hacia el Norte. All cambia el rumbo y hace 3000 km hacia el Este. Ahora se dirige hacia el Sur y vuela otros 3000 Km. Finalmente cambia de nuevo el rumbo, ahora hacia el Oeste y recorre 3000 Km. Tras ese largo viaje, se pregunta. Llegar de nuevo al aeropuerto de Tenerife-Norte? Te sugiero que hagas un simulacro en alguna esfera que tengas a mano y as podrs dar una primera respuesta visual al problema. Si deseas entretenerte un poco ms, trata de demostrarlo numricamente. Por si necesitas el dato, te dir que el aeropuerto mencionado est a 28s de latitud Norte. Y ahora s que me despido con la esperanza de que estos retazos que te he contado de mi vida hayan sido bien transcritos por mi bigrafo, el profesor... A mis alumnas y alumnos del "Viera" ROMANCE DE LA DERIVADA CON EL ARCO TANGENTE Lo que voy a relatarles es un Romance. Pero no de aquellos que escriban los trovadores en verso y cantaban de pueblo en pueblo. Es un Romance porque se trata de una historia de amor. Un romance apasionado entre dos entes, digno de figurar entre las grandes historias de amor como son las de Romeo y Julieta o Eur-dice y Orfeo. Todo empez all en Alemania, hace muchos aos. Dicen que fue en 1684 cuando la Derivada naci, despus de un largo y doloroso embarazo. Lo hizo en el seno de una familia humilde que, desde luego, no poda prever la importancia que llegara a alcanzar aquella tierna criatura. Su infancia fue normal. Sin grandes sobresaltos. Poco a poco fue creciendo y siendo conocida cada vez por ms gente. Alguno de ellos empez a vislumbrar la grandeza que llegara a alcanzar. Por eso se preocuparon de dotarla de buenos y distinguidos vestidos, trataron de buscar un smbolo fcil de recordar y que sirviera para identificarla en cualquier lugar de la Tierra y, sobre todo, empezaron a escribir relatos sobre sus extraordinarias virtudes con el fin de darlas a conocer a todas las personas, especialmente a los estudiosos de la ciencia y la tecnologa. Cuando lleg a la edad adecuada y se convirti en una moza de esplndida presencia, sucedi lo que tena que suceder. Un buen da conoci a un muchacho que, aunque algo ms viejo que ella, haba adquirido haca poco una magnfica representacin grfica que le daba una belleza tal, que atrajo la mirada curiosa de la Derivada. Tan buena moza tampoco le pas desapercibida al Arco Tangente, que as se llamaba el galn. Ese inicial amor platnico se convirti al poco tiempo en un amor apasionado. Pronto notaron que la atraccin mutua se deba a coincidencias que van ms all de las casualidades y que son capaces de ligar a dos seres para siempre. La primera prueba de ello la tuvieron cuando se citaron en el punto (x0, y0 de la curva y = f(x) (figura 1). Cuando la Derivada f'(x) lleg al punto no pudo contener su emocin al comprobar su sintona con Arco Tangente. Para comprobar que no era una casualidad, cambiaron varias veces el lugar de la cita y lasintona continuaba, lo que acentuaba el atractivo.Mientras iban de un punto a otro, Cupido complet su faena y enseguida empezaron a prometerse fidelidad eterna al tiempo que se intercambiaban mil y un teoremas de apasionado amor. As, por ejemplo, comprobaron que ambos se anulaban en puntos de la curva como (x1,f(x1)) o (x2, f(x2)) de la figura 2. Tambin sirvi para acrecentar su atraccin el comprobar que cuando Derivada creca al pasar del punto (x3, f(x3) al (x4, f(x4), entonces Arco Tangente experimentaba asimismo un evidente crecimiento.Todos se alegraban de aquel romance que prometa ser largo y profundo. De amor tan puro tendran que nacer frutos hermosos. Y as fue. Un da les invitaron a dar un largo paseo. Era el ms largo que jams haban hecho (figura 3). Cogidos amorosamente de la mano aceptaron la invitacin y caminaron hacia arriba por una curva que, sin mala intencin, haban preparado los hermanos Ejes Cartesianos (de nombres Horizontal y Vertical, aunque hay quien les llama tambin Abscisa y Ordenada),recientes amigos de nuestra enamorada pareja. Pronto se dieron cuenta de que algo extrao suceda. Al alejarse del Hermano Horizontal notaron que, mientras la Derivada sufra un exagerado crecimiento, Arco Tangente lo haca lentamente acercndose a 90. Valor que, tras ese paseo, descubrieron que no era propicio a su relacin. Por eso, a partir de ese momento, trataron de evitar esos asintticos paseos. Tampoco lo pasaron bien otro da que sus amigos los Ejes Cartesianos les invitaron a pasear por otra curva (figura 4). Al principio, cuando Vertical los despidi, todo transcurri como siempre. Cogidos por la cintura caminaban embebidos en su compenetracin, nada les perturbaba cuando, de repente, al llegar a cierto punto x0, perdieron el equilibrio y quedaron totalmente desorientados. Se llevaron un susto de muerte pues, aunque slo fue un punto, a ellos, enamorados como estaban, les pareci una eternidad. Tan pronto salieron de l, volvieron a encontrarse y abrazarse como si salieran de una desagradable pesadilla. Su amigo Horizontal les dijo que aquellos puntos, llamados de retroceso, eran muy raros, que ahora les llaman disruptivos y que tambin causaban problemas a otros entes. Losenamorados trataron de evitarlos a partir de entonces. Sin embargo la vida les fue dando ms y ms alegras. All donde hubiese alguna cosa que variase en funcin de otra, all estaban ellos para tratar de explicarlo todo: crecimiento, decrecimiento, mximos, mnimos, concavidades, etc. La ilustre pareja es invitada con mucha frecuencia a fiestas que organizan casi todas las funciones conocidas como la extensa tribu de Polinmicas, la altanera familia de las Racionales que ms de un susto proporcion a nuestros enamorados, la corta pero prolija familia de las Trigonomtricas cuyos miembros son parientes cercanos del novio, las humildes Exponenciales y tambin sus primos los Logaritmos. Aprovechando esos encuentros se dedican, entre otras cosas, a buscar los puntos singulares de la funcin. Cuando los tienen, empiezan a trabajar todos y pueden llegar con facilidad a construirse una casa-grfica en la interminable finca de los hermanos Ejes Cartesianos (figura 5). Cierto da ella sinti un poco de angustia e inquietud ante la posibilidad de que l pudiese desaparecer, tal y como alguna vez haba pensado que haba. l la tranquiliz. Le dijo que ahora tena un domicilio que le gustaba y del que slo sala cuando le llamaban. Le tom delicadamente su mano, escribi en la palma su actual direccin donde, segn le dijo, le podra encontrar siempre: shift tan1.Tras ese noviazgo ms o menos largo y seguros como estaban de lo slido de su amor, decidieron casarse. Si el destino les deparaba alguna desgracia posterior, querran vivirla juntos. Comunicaron su deseo y todas las familias recibieron la noticia con gran regocijo. Para el da que decidieran celebrar la boda, los hermanos Ejes Cartesianos les ofrecieron su nico punto comn, el Origen, para celebrar la ceremonia. La pareja acept el ofrecimiento por considerarlo un lugar que todos conocan. No pusieron lista de bodas pero las distintas familias les ofrecieron originales regalos de bodas. As, la funcin y = sen x, pariente del novio, se ofreci a llevarles hasta el lugar elegido a travs de un recorrido lleno de suaves ondulaciones. Tambin lo ofrecieron sus hermanas y = sen(x/2) e y = sen(x/3). Con ellas las ondulaciones seran an ms suaves. Cuando llegaron, se encontraron que el punto estaba lleno de curiosos. Todas las funciones polinmicas se desprendieron ese da de su trmino independiente para no perderse lo que all iba a acontecer. Otras, como la noble funcin y = ex, se haban puesto a rgimen para restarse un kilo y as poder pasar ese da por el origen como las otras funciones. Todas las que pudieron adelgazaron para no faltar a la cita. Es lo que hizo, por ejemplo, otra parientedel novio, y = cos x que toda la vida haba visto el origen all a lo lejos, a un kilmetro de distancia y ahora se estaba sometiendo a un rgimen que le permitiera estar ese da en el punto escogido. Los Ejes Cartesianos actuaron en esta historia como organizadores del evento. Enviaron sendas tarjetas de boda a los padres de la novia, Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. No podan faltar. Los hermanos no pudieron evitar la tentacin de invitar tambin a Ren Descartes, su padre; al fin y al cabo, gracias a l fue como se conoci la pareja. Cuando todo estuvo dispuesto, se celebr el magno acontecimiento; la amplia familia matemtica no lo olvidar. Los frutos de ese matrimonio han sido tantos que posiblemente sea uno de los matrimonios ms felices de cuantos existen. A Claudi Alsina, repartidor de ilusiones y esperanzas DOS PUNTOS Y UN DESTINO? b: Pss! Hola! Cmo te llamas? a: Yo me llamo a, y t? b: Pues yo me llamo b. a: Hace tiempo que estoy queriendo hablar con alguien semejante a m, y me parece que por fin lo he conseguido. Gracias por llamarme. b: Yo tambin tena ese deseo. Hay cosas que me gustara que alguien me las aclarase y tal vez t puedas. Tienes aspecto de punto listo... a: Depende de lo que me preguntes. Yo tambin tengo dudas y preguntas sin respuesta. b: T puedes salirte alguna vez del sitio en el que te mueves? Yo tendra unas ganas locas de salir de esta recta que me limita muchsimo los movimientos. a: No!, b, ni lo intentes! Esta es una cuestin que tengo clara, slo nos podemos mover en dos sentidos y siempre sobre la recta en la que estamos. Si te ests moviendo en uno de los sentidos, slo te caben dos posibilidades ms: pararte o moverte en el sentido contrario. b: Yo he odo alguna vez que slo existe la direccin, y que uno se mueve en una direccin o en la contraria. a: Yo tambin lo he odo y creo que deberamos clarificarlo. La direccin es el lugar donde nosotros vivimos y nos movemos, es decir, la recta que nos cobija. Resulta raro hablar de "recta contraria" pues eso sera lo que, en definitiva, significa "direccin contraria". Otra cosa son los sentidos sobre esta recta en la que vivimos. Tanto t como yo tenemos la posibilidad de movernos en dos sentidos, como ya te dije; si te mueves en uno de los sentidos, puedes parar y a continuacin moverte en el contrario. b: Ah!, as que la direccin la marca la recta en la que vivo y en cada recta hay dos sentidos. Est bien. a: Pero todava hay ms: en tu recta no existe un punto que est fijo que se toma como referencia? En la ma hay un punto, al que llamamos O, que tiene una vida bastante aburrida y sedentaria, ya que nunca se mueve; pero es un punto respetado y todos nos referimos a O indicando si estamos a un lado o al otro de l. b: No me he tropezado nunca con un punto as. a: Entonces es que siempre te has movido por uno de sus lados. b: Y qu podra hacer para ir a saludarlo? a: Es difcil decirlo con certeza. Si te mueves en un sentido y est en el otro, jams te tropezars con l. b: Por qu no te vienes a mi recta? a: Eso es imposible. b: No lo veo yo tan imposible; mira en el mismo sentido que yo, no ves ms all, al final, que nuestras rectas se unen? a: Yo no lo he hecho nunca, pero he odo que si nos movisemos hacia all, esa es siempre la impresin, pero nunca jams nos llegaremos a unir. b: Me parece un poco raro eso, por qu no lo intentamos? a: Bien; yo tampoco tengo nada que hacer, pero antes de partir se me ocurre una idea: vamos a medir la distancia a la que estamos t y yo. De vez en cuando nos pararemos y comprobaremos si esa distancia ha sufrido alguna variacin. Creo que esta es una buena pista para confirmar si nos uniremos o no "all, lejos" como t dices. b: De acuerdo. Dnde me coloco para medir esa distancia? a: Tendr que ser donde sea menor. Voy a mirar hacia tu recta perpendicularmente. Muvete hasta que yo te avise, pues mientras no te coloques en ese punto preciso no tendremos la menor distancia entre nuestras rectas. Ya est! b: Ahora que ya sabemos a qu distancia estamos, vmonos. a: Ya ha pasado un rato. Prate y midamos de nuevo ladistancia entre nosotros. b: Es la misma! Y mira que nos hemos movido una buena distancia de donde partimos! a: Claro! Eso sucede porque nos movimos en dos rectas que son paralelas. Si esa distancia hubiese disminuido, aunque fuese un peln, seguro que nos encontraramos alguna vez; pero mientras estemos en estas rectas, por mucho que nos movamos a un lado o a otro seguiremos a la misma distancia. b: No s. Yo quisiera seguir un poco ms, pues a m me sigue pareciendo que nos hemos de encontrar. a: Bueno, b, espera!; estoy viendo a otro punto. Psst! Oye, cmo te llamas? c: Me llamo c. b: Mi amigo a y yo estamos movindonos hacia all, por qu no te vienes con nosotros? c: No tengo dnde moverme, no ves que estoy aqu aislado? b: Esprate que voy a consultar con a. Es un punto que sabe mucho, l no te puede ver porque est mi recta en medio. Oye, a!, cmo podemos hacer para que c nos acompae en el viaje? a: Es muy fcil, dile a ese punto c que se fije en las infinitas rectas que pasan por l. Pues bien, que escoja la nica que es paralela a las nuestras. No tiene prdida. Avsame cuando la haya localizado. c: Ya est. b: Oh! Fjate!, ahora estoy ms convencido que antes de que nos encontraremos, pues me parece que las tres rectas se unen all lejos. a: Eres un poco cabezota! Vamos, dile a c que nos acompae y caminemos hacia dnde dices. b: Espera un poco y aclrame otra cuestin. Dices que tu recta y la ma son paralelas porque permanecen siempre a la misma distancia. Si ahora la de c es paralela a la ma, es tambin paralela a la tuya? a: Claro, punto b! No has odo nunca lo que dice el refrn?: "dos paralelas a una tercera lo son entre s". Y adems, se puede aplicar a ms de tres rectas paralelas. b: Qu interesante y cunto sabes!, yo siempre movindome en una recta y sin saber esas propiedades de las que son paralelas a la ma. a: Nos podemos ir ya? b: S, pero a partir de ahora no hablar, y caminar sin parar hasta que nos encontremos. a: Vas listo!... A Da Nelly Vzquez de Tapia, de La Mancha a La Pampa venciendo a los mismos gigantes DE LO QUE ACONTECI A DON QUIJOTE CON EL JOVEN GONDOMAR Y SU JUSTICIA NUMRICAMENTE CORRECTA Cuando don Quijote y Sancho llegaron, oyeron voces altas en medio de una discusin. No podan distinguir de qu se trataba porque todos hablaban al mismo tiempo. Escucha, Sancho; he aqu un ejemplo de lo que te he dicho que no se debe hacer. No es bueno que todos hablen alto y, adems, al mismo tiempo porque todos hablan y ninguno escucha y sin escuchar no se puede responder. Sin duda alguna estamos ante una aventura; a los caballeros nos est encomendado poner paz donde reine la diablica Discordia. Es cierto, seor, mas espero que de esta nueva aventura no acabe molido y con alguna costilla astillada como suele ser costumbre respondi Sancho. Se acercaron a donde estaba el grupo y vieron que eran tres. Dos llevaban ropas de pastor mientras que el tercero, el ms joven, quiz de menos de veinte, pareca de alta condicin. Don Quijote se coloc en medio y les dijo alzando la voz: Qu es lo que os hace discutir con tanto acaloramiento? Os ruego que me expliquis las razones para dar la solucin que me inspire la Ley de la Caballera que profeso. Honorable caballero contest el joven, me llamo Gondomar de Sotomayor, hijo del conde del Encinar. Ayer sal de cacera con mis amigos. Al atardecer divis el ms hermoso ejemplar de jabal que jams haba visto. No me lo pens dos veces y sal tras de l, solo y con el deseo de darle pronta cacera. Pero el animal desapareci a pesar de mi frentica persecucin. Me di por vencido y decid regresar. Ya era tarde y el negro manto de la noche tapaba hasta los rboles que estaban cerca porque la Luna no le acompaaba. Estuve vagando toda la noche dando gritos por si me escuchaba alguien. Todo en vano. En algn momento deb de quedarme dormido porque lo siguiente que recuerdo es el instante en que estos dos pastores me despertaron bien entrada lamaana. Seor Sotomayor! le interrumpi don Quijote, ahrrese tantas explicaciones y dgame cul es el motivo por el que antes chillaban, para yo poder actuar. A eso iba ahora y espero que vuestra merced me ayude a traer la paz que exista entre estos dos hermanos, y que, al parecer, yo he interrumpido. Les pregunt dnde estaba y qu tendra que hacer para volver a mi casa. Me dijeron que estaba muy lejos, que tardara mucho tiempo en regresar y me aconsejaron que permaneciese con ellos hoy y que maana, al alba, partiera hacia el castillo de mi padre que ellos conocen. Le insisto: abrevie y cuente la razn de la disputa reclam don Quijote ligeramente molesto por tantas explicaciones que l consideraba innecesarias. Sancho segua el relato con inters e intrigado por conocer tambin qu haba pasado all. El joven continu: Voy a explicrselo a usted inmediatamente, mi improvisado juez. Es el caso que ped a los hermanos algo para comer porque estaba ciertamente hambriento con tantas horas sin llevarme nada a la boca. Uno de ellos, Mercenio, me dijo, despus de mirar su morral, que le quedaban cinco panes y el otro, Blasn, que tres. Estupendo, les dije, hay suficiente para todos. Se pusieron los panes sobre una piel de cordero y empezamos a comer mientras yo les contaba lo que me haba pasado. Cuando acabamos me di cuenta de que deba ser generoso con estos hermanos que tan bien me haban acogido y les dije: Amigos, no he puesto nada para comer y como me siento tan agradecido, voy a repartir entre ustedes los ocho escudos que llevo en mi bolsa. Y as lo hice, a Blasn le di un escudo y a Mercenio, siete. Pero eso es una barbaridad y una injusticia! interrumpi Sancho de manera impulsiva y acalorada. Menos mal que mi seor intervendr! Yo no s leer ni mucho de cuentas pero es evidente que si Mercenio puso cinco panes, entonces le corresponden cinco escudos, mientras que a Blasn le debe dar vuestra merced los tres escudos restantes porque ese es el nmero de panes que aport a la comida. Cmo se le ocurre ese reparto tan injusto? Esa es, seor escudero y seor caballero dijo Gon-domar la razn de esta discusin que mantenamos porque no consideran justo este criterio mo de reparto. Sancho, amigo intervino don Quijote, la justicia est muy relacionada con los nmeros. Has de saber que un reparto equitativo siempre ser justo porque la equidad es una base de la justicia. Son los hombres que hacen las leyes los que a veces favorecen a quien no deben porque olvidan ese principio. Si un reparto se hace de acuerdo con las leyes que emanan de los nmeros, ningn juez debe violentarlo porque no har justicia. Creo que debemos escuchar a este joven para que nos explique cul es la suprema razn que le ha llevado a hacer este reparto tan descompensado en apariencia antes de yo decidir si debo apoyar o no su decisin. Con mucho gusto empez Gondomar y agradezco a vuestra merced que me escuche antes de actuar porque es de juez sabio y equilibrado obrar as. Imaginen ustedes que los ocho panes los dividimos en tres trozos iguales cada uno. Cuntos trozos son en total? Son veinticuatro contest rpidamente Sancho. Para no saber de cuentas, seor escudero dijo Gondomar, habis contestado muy rpido. Pues bien, cuntos trozos de esos veinticuatro nos hemos comido cada uno? Ocho volvi a contestar Sancho con la misma rapidez, al tiempo que don Quijote se asombraba de la habilidad de su escudero, al que tena por ms cerrado de mollera. En efecto, ocho comi Mercenio, ocho comi Blasn y ocho com yo. Pero contsteme, seor escudero, y no yerre la respuesta porque es muy importante: cuntos trozos de esos veinticuatro puso Mercenio y cuntos puso Blasn? Sancho se llev una mano a la barbilla mientras con la otra se rascaba sus revueltos pelos de la cabeza en un ademn de gran concentracin. Don Quijote saba la respuesta pero esperaba a ver qu deca su escudero. Ya lo tengo! contest al fin con gran seguridad-quince puso Mercenio y nueve Blasn. Ha dado unarespuesta correcta le dijo Gondomar. Y dgame ahora, y est atento a la respuesta: cuntos trozos me dio Mercenio para yo comer y cuntos me dio Blasn? Sancho volvi a su posicin tpica de esfuerzo intelectual aunque esta vez las manos las utilizaba para hacer unas cuentas que ya le parecan ms difciles. Por eso miraba a su seor como pidiendo ayuda. Pero don Quijote no quera hacerlo y le contestaba con una leve sonrisa. Finalmente, Sancho se decidi a hacer pblico su razonamiento ante la expectacin de los dos pastores que, igual que l, saban poco de cuentas, y sin dejar de mirar a don Quijote esperando su aprobacin, les dijo: Creo, seor Gondomar, que si no me he equivocado en el manejo de estos dedos mos, Mercenio le dio a vuestra merced siete trozos de los quince que tena mientras que Blasn, que tena nueve, le pas slo uno. Has razonado con inteligencia, Sancho dijo don Quijote con una larga sonrisa de satisfaccin pues ese es el reparto que aqu se ha hecho de los panes: siete trozos aport Mercenio y slo uno Blasn y justo es que esa sea la forma de distribuir los ocho escudos de Gondomar: siete para Mercenio y uno para Blasn. Fjate, oh sagaz escudero!, que son las leyes de los nmeros las que han sentenciado este espinoso asunto y nos han marcado cul es aqu el reparto justo. Un caballero andante como yo, puesto por Dios en el mundo para evitar las injusticias, bendice el reparto hecho por este joven e insta a los dos hermanos a que as lo reconozcan. No tuvieron inconveniente los dos hermanos en aceptar el veredicto dado por don Quijote y se repartieron los escudos segn la sentencia dictada. Restablecida la paz entre los tres protagonistas de esta historia sin molimientos esta vez para Sancho, don Quijote decidi seguir su camino, por el que se fue tambin su escudero pero despus de pedir a los pastores que le diesen, al menos, un queso por la acertada intervencin de la autoridad de su seor. [1] 120 es el menor mltiplo comn de 8 y 30; es decir: Mltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128... Mltiplos de 30: 30, 60, 90,120, 150... Obsrvese que 120 es el primero y ms pequeo de los mltiplos de ambos. [2] 2 es el mayor divisor comn de 8 y 30. Es decir: Divisores de 8: 1,2,4,8 Divisores de 30: 1,2,3,5,6,10,15,30 El 2 es, como puede observarse, el mayor de los divisores comunes. This file was created with BookDesigner program bookdesigner@the-ebook.org 17/08/2010 Table of Contents Luis Balbuena Cuentos del cero YO SOY EL CERO SINETA Y LA HIDRA TENIA QUE HACERLO! EL RESCATE EL TRIANGULO SOY YO HOLA!, SOY LA ESFERA! ROMANCE DE LA DERIVADA CON EL ARCO TANGENTE DOS PUNTOS Y UN DESTINO? DE LO QUE ACONTECI A DON QUIJOTE CON EL JOVEN GONDOMAR Y SU JUSTICIA NUMRICAMENTE CORRECTA