ayudantía nº 3
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Ayudantía Nº 3. Carola Muñoz R. Ejercicio. Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: (A B) C = A (B C ). (A B) C = A ( B C ) c --------> A B = A B c. = A ( B c C c ) --------> De Morgan. = ( A B c ) C c --------> Asociando. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Ayudantía Nº 3
Carola Muñoz R. 1
Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
a) (A B) C = A (B C )
(A B) C = A ( B C )c --------> A B = A Bc
= A ( Bc Cc ) --------> De Morgan
= ( A Bc ) Cc --------> Asociando
= ( A B ) Cc --------> A B = A Bc
= ( A B ) C --------> A B = A Bc
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Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
b) A (B C) = ( A B ) (C A)
A (B C) = A (B Cc ) --------> A B = A Bc
= ( A B ) ( A Cc ) --------> Distribución
= ( A B ) ( C Ac ) --------> Conmutatividad
= ( A B ) ( C A ) --------> A B = A Bc
= ( A B ) ( Ac C ) --------> A B = A Bc
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Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
c) A (B C) = ( A B ) (A C )
A (B C) = A (B C ) c --------> A B = A Bc
= ( A ( Bc Cc ) --------> De Morgan
= ( A B ) ( A C ) --------> A B = A Bc
= ( A Bc) ( A Cc ) --------> Distribución
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Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
d) ( A B) (B A) = ( A B ) (A B)( A B ) (A B) = ( A B ) (A B) c --> A B = A Bc
= [( A B ) Ac] [( A B ) Bc] --> Distribución
= ( A B ) (Ac Bc) --> De Morgan
= [( A Ac) (B Ac)] [( A Bc) (B Bc)] --> Distrib.
= [ (B Ac)] [( A Bc) ] --> Complemento
= ( B Ac ) ( A Bc ) --> Identidad
= ( A Bc ) (B Ac ) --> Conmutatividad
= ( A B ) ( B A ) --> A B = A Bc
Ejercicio• Usando propiedades, simplifique:
a) B [ ( A B )’ ( B A’)’ ]
= B [ ( A’ B’ ) ( B’ A) ] --------> De Morgan
= B [ ( B’ A’ ) ( B’ A) ] --------> Conmutatividad
= B [ B’ ( A’ A ) ] --------> Distribución
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= B [ B’ U ] --------> Complemento
= B B’ --------> Identidad
= --------> Complemento
Ejercicio• Usando propiedades, simplifique:
b) [( A B ) ( A B )]’
= [ ( A B’ ) ( A B) ]’ --------> A B = A B’
= [ ( A B’ )’ ( A B)’ ] --------> De Morgan
= [ ( A’ B ) ( A’ B’) ] --------> De Morgan
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= A’ [ B B’ ] --------> Distributividad
= A’ --------> Complemento
= A’ --------> Identidad
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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
a) De un total de 35 programadores entrevistados para un trabajo, 25 conocían Fortran, 28 conocían Pascal y dos no conocían ninguno de estos dos lenguajes; ¿ cuantos conocían ambos lenguajes?
|U| = 35
|F| = 25
|P| = 28
|P F|’ = 2
|P F| = ?
U
P F
2
Conocían al menos un lenguaje: |P F| = |U| – |P F|’ = 35 – 2 = 33
| P F | = | P | + | F | - | P F |
| P F | = 28 + 25 - 33
| P F | = 20
20
| P | | P F | = 28 20 = 8 | F | | P F | = 25 20 = 5
8 5
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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
b) Una encuesta a 100 músicos populares mostró que: 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes . – ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente?– ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?– ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos?
|U| = 100
|I| = 40
|D| = 39
|D I|’ = 60
|D I| = ?
|I D| = ?
|D I| = ?
UA
B
60 Usan guantes en al menos una mano -->| D I| = |U| –|D I|’ = 100 – 60 = 40
| D B| = |D| + | I | - | D I|= 39 + 40 - 40
= 39c)
39
10
U 60A
B
39
Gráficamente es |D I|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = | D| | D I | = 39 39 = 0
D = personas que usan guantes en mano derechaI = personas que usan guantes en mano izquierda
a) ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente?
| D I | = 40
| D I | = 39
| D | = 39
| I | = 40
b) ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?
Gráficamente es |I D|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = |I | | D I | = 40 39 = 1
1
c) ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos?
= | D I | = 39
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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
c) De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres,
60 estudian comunicación y 60 son mujeres que no estudian comunicación.– ¿ cuántas mujeres estudian comunicación? – ¿ cuántos hombres no estudian comunicación?– ¿ cuántas hombres estudian comunicación?
|U| = 200
|M| = 98
|C| = 60
|M C|= 60
|M C|= ?
|M C|’ = ?
|C M|= ?
U M
C
60
|M C|= |M| |M C| = 98 60 = 38
38|C M|= |C| |M C| =60 38 = 22
22
|M C|= |M| + |C| |M C| = 98 + 60 – 38 =120|M C|’ = |U| |M C| = 200 120 = 80 80
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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
c) En un estudio de 120 consumidores, 80 consumidores indicaron que compran la marca A, 68 compran la marca B, y 42 adquieren ambas. – ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? – ¿Cuántos compran exactamente una de estas marcas?– ¿Cuántos compran sólo la marca A? – ¿Cuántos compran ninguna de estas marcas?
|U| = 120
|A| = 80
|B| = 68
|A B| = 42|A B| = ?
|A B| = ?
|A B| = ?
|A B|’ = ?
UA
B
42
|A B| = |A| + |B| |A B| = 80 + 68 42 = 106
|A B| = |A| |A B| = 80 42 = 38
38 |A B| = (|A B| + |B A|) = 38 + ( 68 42) = 64
26
|A B|’ = |U| |A B| = 120 106 = 1414
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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
d) De 3000 alumnos de una Universidad 368 utilizan solo su automóvil, 548 usan el transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan solo el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar
y 1438 no usan ningún medio de transporte.
|U| = 3000
|A| |T E| = 368
|E| = 548|T A| = 274
|A| = 714|E| |T A| = 184
|T A| |T A E| = 156
|T A E|’ = 1438
U
AT
E
368
184
156
1438
a) Solo el transporte urbano
b) Su automóvil o transporte escolar pero no transporte urbano
c) Solo uno de los tres medios de transporte
d) Los tres medios de transporte
U
AT
E
368
184
156
1438
|T A| 156 = 274 156 = 118
118
|A| 368 156 118 = 714 368 156 118 = 72
72
|E| 184 72 118 = 548 184 72 118 = 174
174
|A T E| = |U| |A T E|’ = 3000 1438 = 15621562 368 156 118 72 174 184 = 490
490
118
368 + 72 + 184 = 624
368 + 490 + 184 = 1042
490
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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
e) Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año.
De ellos, 860 cursan matemáticas,
664 física,
388 redacción,
480 física y matemáticas,
270 redacción y matemáticas,
210 física y redacción
y todos llevan al menos una de las tres asignaturas
|U| = 1050
|M| = 860
|F| = 664
|R| = 388
|F M| = 480
|R M| = 270
|F R| = 210
|M F R| = 1050
Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
e) Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas, entonces cuántos alumnos cursan:
a) Física y matemáticas pero no redacción
b) Solo matemáticas
Datos:
|U| = 1050 |F M| = 480|M|= 860 |R M| = 270 |F| = 664 |F R| = 210|R| = 388 |M F R| = 1050 M = cursan matemáticas
F = cursan físicaR = cursan redacción
UM R
F
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Datos:
|U| = 1050 |F M| = 480|M|= 860 |R M| = 270 |F| = 664 |F R| = 210|R| = 388 |M F R| = 1050
M = cursan matemáticasF = cursan físicaR = cursan redacción
UM R
F
Por propiedades algebraicas se sabe que:
|M F R| = |M| + |F| + |R| |F R| |M F| |M R| + |M F R|
|M F R| = |M F R| |M| |F| |R| + |F R|+ |M F| + |M R|
= 1050 860 664 388 + 210 + 480 + 270 = 98
98
|M R| 98 = 270 98 = 172
172
|F R| 98 = 210 98 = 112
112
|F M| 98 = 480 98 = 382
382
|M| 172 98 382 = 860 172 98 382 = 208
208
|R| 172 98 112 = 388 172 98 112 = 6
6
|F| 382 98 112 = 664 382 98 112 = 72
72
18
UM R
F
98
172
112382
208 6
72
a) Física y matemáticas pero no redacción 382
b) Solo matemáticas 208