ayuda1 elasticidad2015 2 resuelto
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ELASTICIDAD TUTORIATRANSCRIPT
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Verónica Espinoza Carrasco
FISICA 2
Módulo: 1 Unidad: 1 Semana: 1
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INDICACIONES DEL CURSO
• Entregar el examen o trabajo académico en el plazo
correspondiente. Si lo manda fuera de hora no será aceptado.
• Colocar el procedimiento completo. Sino la nota no tendrá el
puntaje completo.
• Deben colocarse unidades a las respuestas. Sino se coloca
se le bajará medio punto por pregunta.
• Usa el valor de la aceleración de la gravedad = 9,8 m/s2
• La comunicación entre docente y alumno es importante. Si
tienen algún problema, escribir a mi correo con la debida
anticipación. Mi correo es [email protected].
• Si hay cruce debe enviar la pantalla de cruce a la
Coordinadora Ana Contreras con copia al docente del curso
• Si existe copia de exámenes o trabajos, se les colocara 00 a
todos los involucrados.
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• El examen oral es obligatorio. Sino da el oral se le colocará
NSP aun si ha dado el escrito.
• Ingresar a la sala indicando apellidos y nombres
• Debe tener funcionando el audio y la cámara antes de
ponerse en la lista de orden
• Máximo se le hará entrar a la sala (para que de su examen)
tres veces. Si el alumno se desconecta en medio del examen
se le colocará NSP.
• Retirarse de la sala después de verificar su nota en el
Campus
• El examen oral no sube nota. NO INSISTIR.
• Si existe copia de exámenes o trabajos, se les colocara 00 a
todos los involucrados.
• No preste exámenes o trabajos aun si ha pasado la fecha de
entrega
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ELASTICIDAD
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ORIENTACIONES
• El alumno debe revisar previamente la unidad
didáctica 1 del LIBRO DUED FISICA II, tema:
Elasticidad.
• Resuelva los ejercicios de las Ayudas y compare sus
respuestas con las obtenidas en clase
• Resuelva las actividades programadas como
autoevaluaciones y ejercicios de la guía.
• Resuelva el problema 1 del Trabajo académico
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CONTENIDOS TEMÁTICOS
• ELASTICIDAD
– Esfuerzo
– Ley de Hooke
– Deformación
– Módulos de Elasticidad
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DESARROLLO DE CONTENIDOS
• ELASTICIDAD
– Definición
– Esfuerzo ( ley de Hooke)
– Deformación
o Deformación longitudinal
o Deformación angular
o Deformación volumétrica
– Módulos de Elasticidad
o Modulo de Young
o Modulo de Corte
o Modelo Volumétrico
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Elasticidad:
Parte de la Física que estudia las Leyes que gobiernan las
deformaciones sufridas por un cuerpo cuando se le aplica
una fuerza externa.
Todo cuerpo sobre el que actúan fuerzas externas sufre una
deformación que depende de la naturaleza del sólido y de
las fuerzas que sobre él actúan.
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Sólidos pueden experimentar deformaciones
Mecánicas
Térmicas
Fluidos solo pueden experimentar deformaciones
volumétricas Térmicas
Si al suprimir las fuerzas que actúan sobre el sólido éste
vuelve a recobrar su estado original se dice que es
elástico.
Si el cuerpo queda permanentemente deformado al dejar de
aplicarle la fuerza se dice que el cuerpo es inelástico o
plástico.
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El sistema elástico más sencillo es el resorte
Su proceso de deformación se rige mediante
La Ley de Hooke
F = - k x
F en Newton, k es la constante elástica en N/m y x es el
estiramiento o compresión en metros
Para x positiva, F es negativa
Para x negativa, F es positivas
» La fuerza elástica actúa siempre hacia la posición de
equilibrio del resorte
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x
La fuerza máxima o deformación máxima que puede
experimentar un resorte sin que se deforme
permanentemente (LÍMITE ELÁSTICO del resorte)
Mientras no se sobrepase este límite, el comportamiento
del resorte será elástico
Si se sobrepasa este límite, el comportamiento del
resorte será plástico
F
Límite de ruptura
Límite Elástico
x
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• Elasticidad en la materia
– Cuando hablamos de la deformación de los sólidos,
los líquidos y los gases ésta no necesariamente es
proporcional a la fuerza produciéndola
• La deformación de la materia puede tener diferentes
valores dependiendo de cómo una fuerza única sea
aplicada al material
–Para una persona parada sobre un área grande
= compresión pequeña en longitud
DL
DL
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– Para la misma persona parada sobre un área pequeña
– Bajo el efecto de una misma fuerza deformativa, la deformación es
inversamente proporcional al área
ΔL (compresión de
longitud grande )
Como en la deformación de la materia está envuelta el área sobre la
cual actúa la fuerza, hablamos de un esfuerzo deformativo (σ) en vez
de una fuerza deformativa
σ = F/A
– Se expresa en N/m²=Pascal, Dinas/cm² y Lbf/ft²
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Elasticidad por tracción y compresión
Esfuerzo y deformación Consideremos un cuerpo al que se
le aplican dos fuerzas exteriores iguales paralelas en sentido
contrario y perpendiculares a dos secciones
en metros
ΔL es el alargamiento o compresión
L0 es longitud inicial
Lf es longitud final
Esfuerzo
σ = F/A ( N/m2)
Si F>0 (hacia fuera del cuerpo) fuerza de tensión
Si F<0 (hacia dentro del cuerpo) fuerza de compresión
0LLL f D
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E : módulo de Young es la constante de
proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación
)(sin
0
unidades
allongitudinndeformacioL
L
D
2
2
/
/
mNE
mN
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Compresibilidad Disminución del volumen de un cuerpo
al aplicarle un esfuerzo de compresión E igual en todas
sus caras. Sucede cuando el cuerpo esta sumergido en
un fluido
Volumen inicial V0 (m3)
Volumen final Vf (m3)
variación relativa de volumen σ = - B ΔV/Vo
B módulo de volumen N/m2
Compresibilidad 1/B m2/N
El esfuerzo σ representa una variación en la presión ΔP
Volumen en m3
ΔV = Vf – V0 (m3) cambio de volumen
)(sin
0
unidades
avolumetricndeformacioV
V
D
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Elasticidad por deslizamiento o cizalladura
Es la deformación que se produce en un cuerpo al aplicarle un
par de fuerzas coplanarias a su superficie, sin que varíe su
volumen.
El sólido se deforma láminas del cuerpo se deslizan
unas sobre otras
F es paralela al área A
Deformación angular Y del cuerpo al aplicarle una fuerza
coplanaria al área como la tangente del ángulo Φ
Y = tg Φ = ΔL/Lo
ΔL F
Lo Lo
F
Φ A
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La fuerza F aplica al sólido un esfuerzo
cortante o esfuerzo de cizalladura, σ,
σT = F/A
La constante de proporcionalidad entre el
esfuerzo y la deformación angular es
η módulo de deslizamiento, módulo de
cizalladura (N/m2)
angularndeformacioteconsEsfuerzo tan
tag
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COMPARACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES
MÓDULOS
MATERIAL YOUNG
(E)
VOLUMÉTRICO
(B)
TORSIÓN
(η)
acero 20 x 10 10 Pa 14x 10 10 Pa 8 x 10 10 Pa
aluminio 7 x 10 10 Pa 7 x 10 10 Pa 2,5 x 10 10 Pa
cobre 11 x 10 10 Pa 12 x 10 10 Pa 3,8 x 10 10 Pa
hierro 21 x 10 10 Pa 12 x 10 10 Pa 6 x 10 10 Pa
Latón 9 x 10 10 Pa 8 x 10 10 Pa 3,5 x 10 10 Pa
níquel 20,4x 10 10 Pa 17 x 10 10 Pa 7,8 x 10 10 Pa
plomo 1,6 x 10 10 Pa 4,1 x 10 10 Pa 0,6 x 10 10 Pa
vidrio 6 x 10 10 Pa 5 x 10 10 Pa 2,5 x 10 10 Pa
Los módulos tienen valores extremadamente grandes ya que
representan el esfuerzo deformativo que se necesitaría para
producir una unidad de deformación relativa
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• Problema
Una viga de acero con un diámetro de 10 cm y una longitud de 2,5 m sostiene una carga de 2000 kg. Use g = 9,8 m/s2 y 1 Mega = 106. Determine:
• El esfuerzo deformativo sobre la columna
• La deformación relativa ΔL/Lo
2
22
00785,04
1,0
4
196008,92000
md
Area
NmgT
MPamNArea
TensionEsfuerzo 5,2/105,2
00785,0
19600 26
D
0
)(modL
LallongitudinndeformacioEYoungdeuloEsfuerzo
5
00
106 1025,11020105,2 D
D
L
L
L
L
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La deformación relativa longitudinal en términos de %
La longitud final de la columna
%1025,1%1001025,1%100 35
0
D
L
L
mL
LL
L
L
5
5
0
5
5
0
10125,3
5,21025,11025,1
1025,1
D
D
D
mL
LLLL
f
ff
50003125,2
5,210125,3 5
0
D
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• Problema
– Un bloque rectangular de plomo con dimensiones de 25 cm x 60
cm x 48 cm se encuentra bajo una esfuerzo deformativo de 24 900
N/m². Calcule:
• su deformación volumétrica
• La fuerza deformativa sobre la superficie mayor
D
0
)(modV
VavolumetricndeformacioBovolumetriculoEsfuerzo
7
00
10 1007,6101,424900 D
D
V
V
V
V
NF
AreaEsfuerzoFuerza
2,7171288,024900
2288,048,06,0 mmArea
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• Problema
– Un bloque de aluminio de 10 cm de largo, 20 cm de ancho y
15 cm de alto experimenta una fuerza paralela a su
superficie superior y la misma se desplaza 0,0037 cm.
Calcule:
• su ángulo de torsión
• El esfuerzo deformativo sobre el bloque
• La fuerza deformativa
41046,215
0037,0 tag
27410 /1017,61046,2105,2 mNtagEsfuerzo
NAreaEsfuerzoF 97 1009,3)2,01,0/(1017,6/
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Una viga vertical de acero de un edificio soporta una carga de 6 x 104 N.
Si la longitud de la viga es de 4 m y su área de sección transversal es de
8 x 10-3 m2, calcule la distancia que se comprime a lo largo
Solución:
Dato Yacero = 20x1010 N/m2
mxl
mNxmx
mNx
AY
Fll
lA
FlY
o
o
4
21023
4
105,1
)/1020)(108(
)4)(106(
D
D
D
![Page 28: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/28.jpg)
Se deja caer en el océano, hasta una profundidad donde la presión
aumenta en 2 x 107 Pa a una esfera de plomo sólido cuyo volumen es 0,5
m3. El plomo tiene un módulo volumétrico de 7,7x109 Pa. ¿Cuál es el
cambio de volumen de la esfera?
3332
9
73
103,11013,0
107,7
)102)(5,0(
/
mxmxV
Pax
Paxm
B
PVV
VV
PB
D
D
D
D
D
![Page 29: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/29.jpg)
Un peso de 5 N cuelga de un alambre de acero vertical de 60 cm de longitud y
0,625 mm2 de sección transversal. Se cuelga de la parte inferior del peso un
alambre análogo que soporta un peso de 2,5 N. Calcular a) la deformación
unitaria longitudinal, b) el alargamiento de cada alambre. Yacero=20x1010Pa
Área = 0,625x10-6 m2
El alambre inferior carga un peso de 2,5 N
a) La deformacion unitaria es dada por
4
41026
102,0
105,12
5,2
)1020(10625,0
5,2
D
D
xl
l
xPaxmx
N
AY
F
l
l
o
o
b) El alargamiento es
mxmxlxl 44
0
4 1012,0)6,0(102,0102,0 D
![Page 30: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/30.jpg)
Un peso de 5 N cuelga de un alambre de acero vertical de 60 cm de longitud y
0,625 mm2 de sección transversal. Se cuelga de la parte inferior del peso un
alambre análogo que soporta un peso de 2,5 N. Calcular a) la deformación
unitaria longitudinal, b) el alargamiento de cada alambre. Yacero=20x1010Pa
Area = 0,625x10-6 m2, lo = 60cm = 0,6m
El alambre superior carga un peso de 7,5 N
a) La deformacion unitaria es dada por
4
41026
106,0
105,12
5,7
)1020(10625,0
5,7
D
D
xl
l
xPaxmx
N
AY
F
l
l
o
o
b) El alargamiento es
mxmxlxl 44
0
4 1036,0)6,0(106,0106,0 D
![Page 31: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/31.jpg)
Problema
Un alambre de cobre de 8 m de longitud y un alambre de acero de 4m de
longitud, cada uno con una sección transversal de 62,5 mm2 se sujetan por los
extremos y se someten a tensiones de 50 N a) ¿Cuál es la variación de
longitud de cada alambre?, b) ¿Cuál es la energía potencial elástica?
1
2
Cu
Cu
acero
acero
Fll
AE
Fll
AE
D
D
![Page 32: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/32.jpg)
Un alambre de cobre de 8 m de longitud y un alambre de acero de 4m de
longitud, cada uno con una sección transversal de 62,5 mm2 se sujetan por
los extremos y se someten a una tensión de 50 N a) ¿Cuál es la
variación de longitud de cada alambre?, b) ¿Cuál es la energía
potencial elástica?
Área = 62,5x10-6 m2 YCu = 11x1010 Pa y Yacero = 20x1010 Pa
a) Para el cobre (Cu)
mmmxx
l
mNxmx
mN
AY
Fll
Cu
Cu
058,01058,05,687
10400
)/1011)(105,62(
)8(50
44
21026
0
D
D
![Page 33: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/33.jpg)
Un alambre de cobre de 8 m de longitud y un alambre de acero de 4m de
longitud, cada uno con una sección transversal de 62,5 mm2 se sujetan por los
extremos y se someten a una tensión de 50 N a) ¿Cuál es la variación de
longitud de cada alambre?, b) ¿Cuál es la energía potencial elástica?
Área = 62,5x10-6 m2 YCu = 11x1010 Pa y Yacero = 20x1010 Pa
a) Para el acero
mxx
l
mNxmx
mN
AY
Fll
Cu
acero
44
21026
0
1016,01250
10200
)/1020)(105,62(
)4(50
D
D
![Page 34: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/34.jpg)
Un alambre de cobre de 8 m de longitud y un alambre de acero de 4m de
longitud, cada uno con una sección transversal de 62,5 mm2 se sujetan por los
extremos y se someten a una tensión de 50 N a) ¿Cuál es la variación de
longitud de cada alambre?, b) ¿Cuál es la energía potencial elástica?
Área = 62,5x10-6 m2 YCu = 11x1010 Pa y Yacero = 20x1010 Pa
b) Energia potencial elástica
22 )(2
1
2
1lkkxE pe D
De la ecuación
(1)
l
FklkkxF
DD )( (2)
(2) en (1) )(2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1 2
aceroaceroCuCupe lFlFlFll
FE DDDD
D
JxE
xxxE
pe
pe
4
444
105,18
)16,058,0(1025)1016,0(50)1058,0(502
1
![Page 35: Ayuda1 ELASTICIDAD2015 2 Resuelto](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081722/563db7d6550346aa9a8e6b18/html5/thumbnails/35.jpg)
Problema
Una barra rígida horizontal de 1,20 m de longitud, de sección constante y que
pesa 50 N, está sostenida por dos alambres verticales, uno de acero y otro de
cobre. Cada alambre tiene 1,5 m de longitud y 3 mm2 de sección. El alambre de
cobre está sujeto a un extremo de la barra y el alambre de acero a una distancia
x de este extremo, tal que ambos alambres se alarguen la misma cantidad.
Calcular a) la tensión de cada alambre, b) la distancia x.
acero Cu
a a Cu Cu
a a Cu Cu
l l
T l T l
A E A E
D D
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Una barra rígida horizontal de 1,20 m de longitud, de sección constante y que pesa 50
N, está sostenida por dos alambres verticales, uno de acero y otro de cobre. Cada
alambre tiene 1,5 m de longitud y 3 mm2 de sección. El alambre de cobre está
sujeto a un extremo de la barra y el alambre de acero a una distancia x de este
extremo, tal que ambos alambres se alarguen la misma cantidad. Calcular a) la
tensión de cada alambre, b) la distancia x.
)(condicionll
AreaArea
ll
aCu
aCu
aCu
DD
aCu
a
a
CuaCu
CuCu
CuCu
aa
aa
Cuacero
TT
x
Tx
Y
YTT
YA
lT
YA
lT
ll
55,0
1020
101110
10
DD
(1)
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NT
NT
TTT
PTTF
Cu
a
aaa
aCuy
73,17)25,32(55,0
25,32
5055,15055,0
0
Condiciones de equilibrio
0 Respecto al punto A
mxxTa 93,025,32
)6,0(500)6,0(50
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Problema
Un peso de 16 N sujeto al extremo de un alambre de acero cuya longitud normal
es de 60 cm da vueltas, describiendo una circunferencia vertical con una
velocidad angular en el punto inferior de la circunferencia de 2 r.p.s. La sección
transversal del alambre es 6,25 mm2. Calcular el alargamiento del alambre
cuando el peso se encuentra en el punto inferior de la trayectoria.
10 220 10 /aceroE x N m
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Un peso de 16 N sujeto al extremo de un alambre de acero cuya longitud normal
es de 60 cm da vueltas, describiendo una circunferencia vertical con una
velocidad angular en el punto inferior de la circunferencia de 2 r.p.s. La sección
transversal del alambre es 6,25 mm2. Calcular el alargamiento del alambre
cuando el peso se encuentra en el punto inferior de la trayectoria.
Longitud inicial = 0,6 m, velocidad angular =2 revoluciones / segundo
En el punto mas bajo ( punto B)
NmgRmwT
lmwRmwR
vmmamgT c
2016)6,0()2)(6,1( 22
0
222
wRv Donde se ha usado
El alargamiento Δl es
mxl
mNxmx
mN
AY
Tll
acero
5
21026
0
1095,0
)/1020)(1025,6(
)6,0(20
D
D
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CONCLUSIONES – Siempre y cuando el objeto no se deforme permanentemente podemos aplicar la Ley de Hooke
“El esfuerzo deformativo (ED) es proporcional a la deformación relativa (DR)” – Para deformaciones longitudinales
– Para deformaciones volumétricas
– El esfuerzo E es la variación de presión ΔP
– Para torsiones
F es paralela al área A es proporcional
/E
L Lo
D
/ /
PB
V Vo V Vo
D
D D
/L LoD
/V VoD
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GRACIAS