Axiomas de Zermelo-Fraenkel

En lgica y matemticas, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraen-kel, son un sistema axiomtico concebido para formularla teora de conjuntos. Normalmente se abrevian comoZF o en su forma ms comn, complementados por elaxioma de eleccin (axiom of choice), como ZFC.Durante el siglo XIX algunos matemticos trataron de lle-var a cabo un proceso de formalizacin de la matemticaa partir de la teora de conjuntos. Gottlob Frege inten-t culminar este proceso creando una axiomtica de lateora de conjuntos. Lamentablemente, Bertrand Russelldescubri en 1901 una contradiccin, la llamada paradojade Russell. Consecuentemente, a principios del siglo XXse realizaron varios intentos alternativos y hoy en da ZFCse ha convertido en el estndar de las teoras axiomticasde conjuntos.

1 IntroduccinLa teora de conjuntos es una rama de la matemtica rela-tivamente moderna cuyo propsito es estudiar unas enti-dades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teoraes reconocida como los fundamentos mismos de las ma-temticas. La teora de conjuntos fue desarrollada por elmatemtico alemn Georg Cantor a nales del siglo XIXa partir de ciertas conclusiones hechas por l mismo alreexionar en unos detalles de las series trigonomtricasde Fourier. La teora de conjuntos fue expuesta por Can-tor en una serie de artculos y libros, de los cuales puedendestacarse sus Beitrge zur Begrndung der transnitenMengenlehre.El propsito de Cantor era proporcionar un mtodo pa-ra lidiar con asuntos relacionados al innito actual, unconcepto que fue rehuido y rechazado por algunos mate-mticos (Pitgoras, Gauss, Kronecker) por considerarlosin signicado. Ciertamente Cantor tuvo xito, si bien suteora deba ser precisada y sometida a un sistema axio-mtico, un proyecto que luego fue llevado a cabo princi-palmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem yAdolf Fraenkel.Cantor parti de la conviccin platonista de que era po-sible comprimir una coleccin o conjunto de objetosy considerarla como un todo (o mejor dicho, como unasola entidad), y al parecer, aceptando implcitamente lossupuestos siguientes:De este modo, Cantor pudo desarrollar su teora de unaforma que en aquel entonces pareca lo sucientemen-

te satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor eratan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios.Gottlob Frege, que ide un sistema ms preciso, inten-t fundamentar adecuadamente la teora de conjuntos (ypor tanto todas las matemticas), pero, para su desalien-to, Bertrand Russell descubri una paradoja en la teorade aqul (hoy llamada paradoja de Russell), con lo que elsistema de Frege pareca desbaratarse. A principios delsiglo XX, fue el matemtico alemn Ernst Zermelo quienpuso la teora de conjuntos sobre una base aceptable re-ducindola a un sistema axiomtico ms restringido queno permita la obtencin de la Paradoja de Russell. Lasideas de Zermelo fueron despus precisadas por ThoralfSkolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la prime-ra teora axiomtica de conjuntos, conocida como teo-ra de Zermelo-Fraenkel, aunque sera ms adecuada lla-marla teora de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teora deconjuntos que evitaba las paradojas de la teora canto-riana fue desarrollada despus, principalmente, por Johnvon Neumann, Paul Bernays y Kurt Gdel. Esta ltimaes hoy llamada, naturalmente, la teora de von Neumann-Bernays-Gdel.

2 Sobre el concepto de conjuntoEl concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan ele-mental que no es posible dar una denicin precisa delmismo. Palabras como coleccin, reunin, agrupacin, yalgunas otras de signicado similar, se usan en un inten-to de describir a los conjuntos, pero no pueden constituiruna denicin, pues son simplemente un reemplazo dela palabra conjunto. Con todo, en la teora intuitiva deconjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la exis-tencia de un universo o dominio de objetos a partir delcual se construyen los conjuntos, as como tambin per-mite tratar conjuntos como una entidad singular. No esde importancia la naturaleza de los objetos, sino el com-portamiento de un conjunto como entidad matemtica.De lo dicho anteriormente, parece natural introducir unarelacin didica de pertenencia. El smbolo usual para re-presentar esta relacin es el smbolo 2 , una versin de laletra griega (psilon). Los segundos argumentos de larelacin 2 son llamados conjuntos, y los primeros argu-mentos son llamados elementos. As, si la frmula

a 2 X

se cumple, se dice que a es un elemento del conjunto X

1

2 4 LOS AXIOMAS DE ZERMELO-FRAENKEL

. Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los pri-meros y segundos argumentos de 2 pertenecen al mismodominio.La negacin de a 2 X se escribe a /2 X .Bajo estos supuestos puede desarrollarse un poco la teo-ra de conjuntos. Sin embargo, la concepcin intuitivade conjuntos no permite llegar tan lejos como pudieradesearse, pues llega un momento en que, como sucedeen otras reas de las matemticas, la intuicin es de po-ca o ninguna ayuda (por ejemplo como pasa al hablar dela hiptesis del continuo, de espacios de dimensin ma-yor que tres, etc.). Es en momentos como ese en que sehace evidente la necesidad de axiomatizar y formalizarla teora de conjuntos para poder llegar a resultados msprofundos. Esto implica renunciar a una denicin intui-tiva de conjunto, y en su lugar postular una serie de prin-cipios que determinen el comportamiento de ste, de talforma que los resultados obtenidos no son ya consecuen-cia de razonamientos intuitivos ojos, sino que se obtie-nen a partir de tales principios.

3 La necesidad de axiomatizar lateora de conjuntos

En la teora de Cantor, es posible formar un conjuntoa partir de una propiedad determinada que debencumplir sus elementos. En otras palabras, dada cualquierpropiedad P , existe un conjunto X cuyos elementosson precisamente los objetos que verican P (a) . Ensmbolos, este conjunto se representa por

fa j P (a)g:

As, por ejemplo, considerando la frmula a = a , seobtiene el conjunto

V = fa j a = ag;

que claramente lo contiene todo. A este conjunto no sele puede aplicar alguno de los resultados de Cantor, yaque esto conduce a ciertas paradojas.Como otro ejemplo ms claro de conjuntos contradicto-rios debido a su 'gran tamao', est el que da lugar a laparadoja de Russell. Consideremos el conjunto X cuyoselementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen as mismos. Esto es, el conjunto

X = fa j a /2 ag:

La paradoja de Russell surge al preguntarse: es x unelemento de s mismo? Si lo es, es decir, si x 2 x ,entonces x no satisface la condicin x /2 x , lo que es

una contradiccin. Si x /2 x , entonces x satisface lacondicin para ser uno de sus elementos, y as x 2 x ,de nuevo una contradiccin. As, x no puede ni ser unelemento de s mismo ni no serlo.En un intento de eliminar esta paradoja, Russell y Whi-tehead desarrollaron la teora de tipos y la expusieronen un libro titulado Principia Mathematica. Si bienesta teora eliminaba la paradoja de Russell, resultabademasiado complicada como para poseer inters. Lateora de conjuntos de Zermelo, mucho ms simplea nivel lgico, lograba eliminar tanto la paradoja deRussell como todas las dems que surgan en el sistemade Cantor y en el de Frege.

4 Los axiomas de Zermelo-Fraenkel

La teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel toma comoprimitivos los conceptos de conjunto y de pertenencia yconsta de los diez axiomas siguientes:1. Axioma de extensionalidad. Dos conjuntos X e Yson iguales (lo que se representa porX = Y ) nicamentesi contienen los mismos elementos. Ms formalmente, yen la simbologa usual,

8a(a 2 X $ a 2 Y ) $ X = Y

2. Axioma del conjunto vaco. Existe un conjunto (re-presentado por ) sin elementos. Esto es,

9;8a(a /2 ;)

3. Axioma de pares. Dados cualesquiera conjuntos x ey , existe otro conjunto, representado por fx; yg , cuyoselementos son nicamente x e y . Esto es,

8x; y9z8a(a 2 z $ a = x _ a = y):

4. Axioma de la unin.Dada cualquier coleccin de con-juntos C , existe un conjunto, representado por SC yllamado unin de C , que contiene todos los elementosde cada conjunto de C . Esto es,

8x9y8a(a 2 y $ 9z(z 2 x ^ a 2 z)):

5. Axioma del conjunto potencia Para cualquier con-junto x existe otro conjunto, representado porP(x) , quecontiene todos los subconjuntos de x . En smbolos,

8x9y8z(z 2 y $ 8a(a 2 z ! a 2 x))

6. Esquema axiomtico de especicacin. Sea (v)una frmula de un lenguaje de primer orden que contengauna variable libre v . Entonces, para cualquier conjuntox existe un conjunto y cuyos elementos son aquellos ele-mentos a de x que cumplen (a) . Formalmente,

4.1 Sobre los axiomas y algunas deniciones en ZF 3

8x9y8a(a 2 y $ a 2 x ^ (a))

7. Esquema axiomtico de reemplazo. Si(a; b) es unasentencia tal que para cualquier elemento a de un conjun-to x el conjunto y = fb j (a; b)g existe, entonces existeuna funcin f:xy tal que f(a)=y. Formalmente, si

8x8y8z9v(x 2 v ^ (x; y)^ ((x; z)!y = z))

entonces

9w8y(y 2 w $ 9x(x 2 v ^ (x; y)))

8. Axioma de innitud. Existe un conjunto x tal que; 2 x y tal que si y 2 x , entonces y [ fyg 2 x . Ensmbolos,

9x(; 2 x ^ 8y(y 2 x! y [ fyg 2 x)) .

9. Axioma de regularidad. Para todo conjunto no vacox existe un conjunto y 2 x tal que x \ y = ; . Esto es,en trminos formales,

8x(x 6= ; ! 9y(y 2 x ^ 8z(z 2 y !z /2 x)))

10. Lema de Zorn. Todo conjunto inductivo no vacotiene elemento maximalEn un principio Zermelo trat de probar el Lema deZorn a partir de los otros nueve axiomas, pero no lo con-sigui, adems, posteriormente los Teoremas de Incom-pletitud de Gdel probaron que el Lema de Zorn no erademostrable a partir de los restantes axiomas. Por lo tantose aadi como dcimo axioma de la teora.Es equivalente aAxioma de eleccin. Dada una familia de conjuntos novacos podemos coger un elemento de cada conjunto. Esteaxioma puede expresarse de manera equivalente a, dadoun conjunto cualquiera x, existe una funcin f que eligeun elemento de cada conjunto no vaco de x:

8x9f : x ! [x; 8a(a 2 x ^ a 6= ; !f(a) 2 a)

4.1 Sobre los axiomas y algunas denicio-nes en ZF

4.1.1 El axioma de extensionalidad

El axioma de extensionalidad dice que dos conjuntos soniguales si y solo si tienen los mismos elementos. En otraspalabras, arma que un conjunto est determinado por suextensin (todos sus elementos). Una relacinms general

que la igualdad es la inclusin ( ), que se dene comosigue:A diferencia del signo de la igualdad, el smbolo no -gura dentro del lenguaje de primer orden con el que seconstruye la teora ZF, pues la denicin antes dada de-bera en ese caso ser introducida como un axioma queestablezca el empleo de , cosa que no se ha hecho aqu.En su lugar, la simbologa x y se emplea simplemen-te para representar la frmula 8a(a 2 x ! a 2 y) dellenguaje de la teora de conjuntos.En vista del axioma de extensionalidad y de la denicinanterior, resulta que puede probarse que dos conjuntos xe y son iguales si puede probarse que x y e y x .

4.1.2 El axioma del conjunto vaco

El axioma del conjunto vaco nos da un conjunto sin ele-mentos. Este axioma se present usando el smbolo ; .Esto est justicado, pues el axioma de extensionalidadnos dice que este conjunto es nico.El axioma del conjunto vaco puede deducirse de otroaxioma ms dbil, que arma la existencia de un con-junto, digamos x , y del esquema de especicacin conla frmula a 6= a aplicada a este conjunto x . As, el con-junto vaco es el conjunto

fa 2 x j a 6= ag;

con el trmino a 2 x j a 6= a una descripcin impropia.

4.1.3 El axioma de pares

EL axioma de pares, un axioma de la teora de Zermelo-Fraenkel, establece que, dados cualesquiera dos conjuntosx e y , existe otro conjunto, representado por fx; yg ,cuyos elementos son nicamente x e y . Esto es,

(3) 8x; y9z8a(a 2 z $ a = x_a = y):

Del axioma de pares se tiene, a partir de dos conjuntosX e Y , el conjunto { x; y }. Este conjunto se llamapar desordenado de X e Y . Si se aplica el axioma depares a un solo conjunto X , se obtiene el par { x; x }cuyo nico elemento es, obviamente, x , y por ello puederepresentarse como fxg . A este ltimo conjunto puedeaplicrsele de nuevo el axioma de pares, dando lugar alconjunto {{ x }}, conjunto al cual puede aplicarse tam-bin el axioma de pares, obtenindose el conjunto {{{ x}}}, y as sucesivamente. Este proceso de construccin deconjuntos puede aplicarse al nico conjunto dado y co-nocido explcitamente, ; , obtenindose una serie innitade conjuntos

;; f;g; ff;gg; : : :

4 4 LOS AXIOMAS DE ZERMELO-FRAENKEL

4.1.4 El axioma de unin

Si A es una coleccin de conjuntos, entonces la uninSA contiene aquellos y solo aquellos elementos que es-

tn en algn conjunto de A . Si A = fx1; x2 : : : xng , unconjunto con n elementos, entonces es comn escribir

x1 [ x2 [ [ xn

para representar la unin de los conjuntos de A . Es fcilver que

a 2 x [ y $ a 2 x _ a 2 y;

de modo que el axioma de unin y el axioma de paresgarantizan la existencia del conjunto x [ y = fa j a 2x _ a 2 yg para cualesquiera conjuntos x e y , un hechoque no puede deducirse simplemente del esquema de es-pecicacin junto con los axiomas restantes. A diferenciade la unin, la interseccin de conjuntos es deducible apartir del axioma de pares y el esquema de especicacin.Efectivamente, pues se dene el conjunto x\ y mediante

a 2 x \ y $ a 2 x ^ a 2 y;

y por tanto x\y existe. Ms general, se dene el conjuntoTA = fa j 8y(y 2 A ! a 2 yg:

4.1.5 El axioma del conjunto potencia

El axioma del conjunto potencia nos da un conjunto quecontiene a todos los subconjuntos de cualquier conjunto.Por tanto, P(;) = f;g . Puesto que x 2 P(x) paracualquiera que sea el conjunto x , puede hacerse uso delesquema de especicacin para obtener el conjunto

fxg = fa 2 P(x) j a = xg;

Si y es otro conjunto, similarmente se obtiene al conjuntofyg como un subconjunto de P(y) . Luego

fxg [ fyg = fx; yg;

de manera que el axioma de pares puede deducirse delaxioma del conjunto potencia, el esquema de especica-cin y el axioma de unin. As pues, no todos los axiomasde ZF son independientes.

4.1.6 El esquema axiomtico de especicacin

El esquema de especicacin resulta ser una versin limi-tada o dbil del axioma de Frege. Para este ltimo, era po-sible tener un conjunto cuyos elementos satisfacan ciertapropiedad. Con ello Frege garantizaba demasiado y daba

lugar en su sistema a paradojas como la de Russell, entreotras. Por otra parte, el esquema de especicacin va deacuerdo con una doctrina de reduccin del tamao. Per-mite obtener conjuntos a partir de otros, y cuyo tamaoes menor que el de aquellos de los que han sido obte-nidos. Esto implica que, necesariamente, contemos conconjuntos previamente dados. Por tanto, nunca es posi-ble pensar en la frmula x 2 x , pues el conjunto x nopuede ser obtenido sin ms que s mismo. La paradojade Russell surge precisamente de considerar que conjun-tos muy grandes pueden ser obtenidos de forma gratuitasin ms que especicar cuales son sus elementos. Otrasparadojas que tienen que ver con el gran tamao de losconjuntos, quedan excluidas de ZF mediante el esquemade especicacin. Ahora bien, el calicativo de esquemase debe a que no es un nico axioma, sino que este ar-ma (metamatemticamente) que cualquier expresin dela forma

8x9y8a(a 2 y $ a 2 x ^ (a))

donde (a) es una frmula del lenguaje de la teora deconjuntos es un axioma de ZF. As, si consideramos laexistencia de un conjunto x como un axioma, el conjun-to vaco sera tambin un axioma resultante de aplicar elesquema de especicacin al conjunto x con la frmulaa 6= a .El esquema de especicacin no es independiente en ZF,pues se deduce del esquema de reemplazo, introducidopor Fraenkel y Skolem el mismo ao y de forma inde-pendiente.

4.1.7 Esquema axiomtico de reemplazo

El esquema axiomtico de reemplazo dice que si v es unconjunto y es una frmula con dos variables libres x ey , tales que para cada x 2 v existe un nico y tal que(x; y) se cumple, entonces existe un conjunto w tal quey 2 w si y solo si (x; y) .Para mostrar como el esquema de especicacin se de-duce del esquema de reemplazo, se considera la frmula

(x; y) ((x) ^ x = y);

donde x cualquier elemento de un conjunto v . Si (x) ,entonces ciertamente existe un nico y tal que (x)^x =y (pues es x mismo), por lo que la hiptesis del esquemade reemplazo se cumple, con lo que existe un conjunto wtal que

y 2 w $ 9x(x 2 v ^ (x) ^ x = y);

lo que es lgicamente equivalente a que existe un conjuntow tal que

x 2 w $ x 2 v ^ (x):

4.1 Sobre los axiomas y algunas deniciones en ZF 5

La formulacin que se ha dado del axioma de reemplazofue introducida por primera vez por Fraenkel [1929], yapareci tambin en los trabajos de Church [1942]. Unaforma ms dbil de este esquema axiomtico a parece enlos trabajos de Tarski [1948]. La formulacin original,dada por Fraenkel [1921/22 y 1927] y Skolem [1922/23y 1929], es en esencia como sigue:

Para todo conjunto s y cualquier funcin f denidaen s , existe un conjunto t tal que f(x) 2 t para todox 2 s .

El esquema de reemplazo fue introducido por Fraenkel ySkolem con la nalidad de extender la fuerza del esquemade especicacin, as como tambin posibilitar el conteode nmeros ordinalesms all de lo que permite el axiomade innitud.

4.1.8 Axioma de innitud

El axioma de innitud, introducido (aunque no en la for-ma en que se ha presentado aqu) por Zermelo 1908, per-mite la obtencin de los nmeros naturales como conjun-tos dentro de ZF. En trminos generales, este axioma daun conjunto innito segn Dedekind, pues garantiza laexistencia de un conjuntoX sobre el cual existe al menosuna funcin f : X ! X inyectiva y no sobreyectiva (queclaramente no existe para un conjunto nito). Es decir, lafuncin f es tal que Df = X y Rf X , por lo que elrango de f es un subconjunto propio de su dominio, X .Pero, en ese caso, la aplicacin

g : X ! R(f)

dada por g(x) = f(x) , es biyectiva. La conclusin es queexiste una biyeccin entre X y uno de sus subconjuntospropios. Ahora bien, el conjunto X cuya existencia ga-rantiza el axioma de innitud, cumple:

i); 2 Xii)x 2 X ! x [ fxg 2 X

Pero es posible que subconjuntos deX cumplan esto mis-mo (un subconjunto as de X se denomina conjunto in-ductivo). Si Y es el conjunto de todos los subconjuntosinductivos deX , Y es no vaco, puesX 2 Y . As, pue-de formarse la interseccin

TY = fx 2 X j 8y(y 2 Y ! x 2 y)g

de todos los conjuntos inductivos. Este conjunto es cla-ramente inductivo, y sus elementos son

;; f;g; f;; f;gg; : : :

mismos que pueden ser considerados los nmeros natu-rales en ZF, y puede llamarse TY = N . Se observaque, de este modo, un nmero natural es un conjunto quecontiene a todos los nmeros naturales anteriores a l. Elconjunto de nmeros naturales queda de esta forma bienordenado por la inclusin. Cualquier nmero natural dela forma n[fng para algn n 2 N se llama sucesor de n, y se representa por n+ o por s(n) . Mediante esta de-nicin de N pueden probarse los axiomas de Peano, conlo que en ZF estos se convierten en teoremas (ms exac-tamente, cuatro teoremas y un metateorema) sencillos:

; 2 N

8n(n 2 N! s(n) 2 N)

8n(n 2 N! ; 6= s(n))

8m;n(s(m) = s(n)! m = n)

8n(; 2 S ^ n 2 S ! s(n) 2 S) implica S = N .

La forma en que se ha presentado el axioma de inni-tud se debe a Fraenkel, y permite la construccin de losnmeros naturales como nmeros ordinales en el senti-do de von Neumann. En esta forma fue utilizado por R.M. Robinson en su The thory of classes [1937] (en dondepresenta una modicacin del sistema de von Neumann),as como tambin por Bernays [1942].Zermelo introdujo el axioma de innitud [1908] de formaesencialmente similar a la siguiente:

Existe un conjunto X tal que

( i ) ; 2 X( ii ) x 2 X ! fxg 2 XAs, puede obtenerse el conjunto de nmeros naturalescuyos elementos son

;; f;g; ff;gg; : : :

El orden que se establece entre estos elementos es el dela inclusin.Este axioma de innitud de Zermelo no tiene las ventajasque tiene el axioma de innitud de Fraenkel.

4.1.9 Axioma de regularidad o de fundacin

El axioma de regularidad dado aqu se debe a Zermelo[1930], si bien von Neumann present uno equivalente[1929], aunque ms complicado. Este axioma prohbe laexistencia de conjuntos extraos, tales como conjuntosque cumplan: xx; o un par de conjuntos con xy yx;as como tambin la existencia de cadenas descendientesinnitas:

6 6 VASE TAMBIN

: : : 2 x2 2 x1 2 x0:

Existen teoras de conjuntos donde se excluye este axio-ma. La teora que resulta de aadir un contrario del axio-ma de regularidad se conoce como teora de conjuntosno bien fundados.

4.1.10 Axioma de eleccin

A diferencia de los axiomas de ZF, el axioma de eleccines un axioma no constructivo, en el sentido de que nodetermina un conjunto nico a partir de su informacin.Adems, como puede observarse, carece de la obviedadque (aunque la complejidad notacional de estos haga enalgunos casos pensar lo contrario) caracteriza a todos losotros axiomas. Esto llev a algunos matemticos al in-tento de probar el axioma de eleccin a partir de los de-ms axiomas, cosa en lo que todos ellos fracasaron. Estosintentos vanos de probar el axioma de eleccin despusde grandes esfuerzos, y ciertas peculiaridades del mismo,algunos matemticos pensaban ya en la posible indepen-dencia del axioma de eleccin respecto de los axiomas deZF, aunque no saban en que direccin se encontraba laprueba de ello. Gdel prob [1930/1940] que el axiomade eleccin era consistente con los axiomas de ZF, por loque poda emplearse junto con ellos sin temor de obtenercontradicciones.El axioma de eleccin fue presentado por Russell en 1906de manera esencialmente similar a la siguiente:

Para todo conjuntoX no vaco de conjuntos disjun-tos tal que ; /2 X , el producto cartesiano de X esno vaco.

Russell llam a este principio Axioma multiplicativo. Elnombre de Axioma de eleccin (Auswahlaxiom) fue dadopor Zermelo al principio ms general que el de Russell:

Para todo conjunto no vacoX tal que ; /2 X , existeuna funcin f cuyos argumentos X son elementosde X , tal que f(x) 2 x .

El nombre del axioma se debe al hecho de que la funcinf elige un elemento de cada elemento (conjunto) x deX.Zermelo introdujo el axioma de eleccin para probar elteorema de buena ordenacin que arma que todo con-junto puede ser bien ordenado. Mostr tambin que ellema de Kuratowski-Zorn se deduce del axioma de elec-cin. En realidad, el axioma de eleccin es equivalentetanto al teorema de buena ordenacin como al lema deKuratowski-Zorn (la mayora de las veces simplementellamado Lema de Zorn). La siguiente lista enumera algu-nos principios equivalentes en ZF al axioma de eleccin:

Teorema de buena ordenacin.

Lema de Kuratowski-Zorn. Ley de tricotoma de cardinales. Principio del maximal de Hausdor. Lema de Teichmler-Tukey.

Wacaw Sierpiski prob en 1947 que la hiptesis delcontinuo (un principio ad hoc que debe ser aceptado co-mo axioma de la teora de conjuntos) implica el axiomade eleccin, si bien lo recproco no es cierto. Otro prin-cipio que implica el axioma de eleccin es el axioma deconjuntos inaccesibles de Tarski [1938/1939].El sistema axiomtico de ZFC admite las demostracionespor reduccin al absurdo como mtodo para demostrarteoremas. Dado un (presunto) conjunto nos basta con lle-gar a una contradiccin con el resto de la teora despusde haber supuesto su existencia para demostrar que noexiste tal conjunto. un ejemplo tpico es la no existenciadel conjunto de todos los conjuntos.@X; (8u : (u 2 X))De existir este conjunto V podramos denir el conjuntoY = fx 2 V jx /2 xg , lo que irremisiblemente lleva a laParadoja de Russell, por lo cual V no es un conjunto.Procedimiento igual nos llevar a demostrar la no existen-cia de conjunto conjugado(conjunto de los elementos nopertenecientes al conjunto) dado un conjunto cualquiera,ya que de ser as existira su unin, por el axioma de launin, y esta sera igual a V.

5 Otras propiedades de ZFCKurt Gdel prob que la consistencia lgica de los axio-mas de ZFC es indemostrable. A lo sumo se pueden de-mostrar armaciones como si ZFC es consistente, enton-ces T tambin lo es, es decir la consistencia relativa. Encuanto a la completitud, el propio Gdel en sus teoremasde incompletitud demostr que si un sistema axiomticoes lo sucientemente fuerte como para construir una arit-mtica recursiva, dicho sistema no puede ser completo yconsistente.

6 Vase tambin Axioma Teora de conjuntos de Morse-Kelley Teora de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gdel

Lenguaje formal Lgica matemtica

7 Nocin primitiva Sistema formal Teora de conjuntos

7 Bibliografa Cameron, Peter J. Sets, Logic and Categories, Sprin-ger, New York.

Devlin, Keith. The Joy of Sets (Fundamentals ofContemporary Set Theory), Springer, New York.

Halmos, Paul R. Naive Set Theory, Springer, NewYork.

Henle, JamesM.An Outline of Set Theory, Springer,New Oyrk.

Suppes, Patrick.Axiomatic Set theory, Van NostrandCompany, New York.

8 8 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

8 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias8.1 Texto

Axiomas de Zermelo-Fraenkel Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel?oldid=81063214 Colaboradores:Lourdes Cardenal, Vivero, Elwikipedista, Tano4595, Cinabrium, Toad32767, Chobot, Paradoja, Yrbot, Vitamine, YurikBot, Echani, We-we, KnightRider, Otto ter Haar, Jos., Folkvanger, Erufailon, Axxgreazz, Kn, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Laura Fiorucci, IgnacioIcke, Davius, Antur, Thijs!bot, Tortillovsky, Isha, Egaida, JAnDbot, Alephcero~eswiki, Netito777, Herufra, Raystorm, Irus, Argentina-tor, AlleborgoBot, Muro Bot, Peregring-lk, Numbo3, Sam10rc, MacaBot, HUB, Farisori, Neodop, Juan Mayordomo, Sobolev, Raulshc,Kadellar, AVBOT, LucienBOT, MarcoAurelio, Ezarate, Lu Tup, Kismalac, Agussell, Halfdrag, Haminb, Tesla91, MerlIwBot, Invadibot,Acratta, Mariana Ancarola, Agusavior, Eyetheunlord, Addbot, JacobRodrigues y Annimos: 53

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Introduccin Sobre el concepto de conjunto La necesidad de axiomatizar la teora de conjuntos Los axiomas de Zermelo-Fraenkel Sobre los axiomas y algunas definiciones en ZF El axioma de extensionalidad El axioma del conjunto vaco El axioma de pares El axioma de unin El axioma del conjunto potencia El esquema axiomtico de especificacin Esquema axiomtico de reemplazo Axioma de infinitud Axioma de regularidad o de fundacin Axioma de eleccin

Otras propiedades de ZFC Vase tambin Bibliografa Texto e imgenes de origen, colaboradores y licenciasTextoImgenesLicencia de contenido