automatización del proceso de corte de planchas de vidrio con un robot cartesiano
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Automatización del proceso de corte
de planchas de vidrio con un robot
cartesiano de 3 grados de libertad Sandoval Monzón, Héctor D. [email protected]
Cueva Olivos, John Paul [email protected]
Calle Anchayhua, Edison [email protected]
RESUMEN
En este trabajo presentamos el modelado de la cinemática y la dinámica de un robot cartesiano (xyz), así como también los diferentes tipos de control de seguimiento de trayectoria por torque computado de este con el fin de llevarlos a la realidad en una aplicación física de “Automatización de proceso de corte de planchas de vidrio”. En el desarrollo del presente documento podemos observar cómo responde el sistema a los diferentes tipos de control utilizando como herramienta de simulación inicialmente el software simmechanics de Matlab. Posteriormente haremos la simulación utilizando las ecuaciones dinámicas del robot, esto por motivo de que serán estas últimas las que podrán ser implementadas en el microcontrolador, microprocesador o DSP que controlará al robot real. Palabras clave: Robot cartesiano, control PID, Torque computado, Control Optimo LQR
INTRODUCCION
El avance de la tecnología y los requerimientos en la actual industria de maquinarias más precisas y eficientes (en cuanto a alta velocidad y por ende producción se refiere), nos conlleva a realizar el estudio del robot cartesiano de 3 grados de libertad que se encargue en este caso particular del proceso automático de corte de planchas de vidrio. La aplicación de este mismo robot luego podrá ser extendida al corte de piezas metálicas, entre otras miles de aplicaciones en las que se requiera del posicionamiento exacto de de una herramienta de corte, tallado o perforado. En este artículo empezaremos hallando la cinemática del robot cartesiano utilizando el algoritmo de Denavit- Hartemberg y luego conseguiremos las ecuaciones dinámicas del mismo aplicando la formulación de LaGrange.
Inicialmente haremos la simulación de los diferentes tipos de control en un modelo de robot que previamente hemos diseñado en “solidworks” y mediante la herramienta “simmechanics” hemos importado al matlab para hacer que este responda de modo muy aproximado al robot real. Esto solo con fines de ayudarnos en una primera etapa a tener una simulación con una visualización agradable del robot y la manera en que responde al seguimiento de trayectoria. Posteriormente este modelo será reemplazado las ecuaciones dinámicas del robot, ya que serán estas las que finalmente serán implementadas en el microcontrolador, microprocesador o DSP que realizara el control del robot real. También se muestran en cada caso los diagramas de bloques de control, las graficas correspondientes a las posiciones de entrada deseadas, a las posiciones obtenidas a la salida y a las coordenadas articulares.
ROBOT CARTESIANO
El siguiente es el modelo de robot cartesiano que utilizaremos y del cual plantearemos las ecuaciones cinemáticas y dinámicas.
MODELO CINEMÁTICO Basándonos en el modelo presentado arriba, podemos colocar en cada eslabón los sistemas cartesianos utilizando el algoritmo de Denavit-Hartemberg.
Obteniendo los siguientes parámetros DH:
Elemento
1
2
3
Con estos parámetros, podremos hallar las matrices de transformación para cada eslabón.
Con la última podremos plantear las ecuaciones cinemáticas:
De las cuales derivando obtenemos:
Y podemos deducir que el Jacobiano y su inversa son:
;
MODELO DINÁMICO
A continuación se procede a hallar la dinámica utilizando la formulación de LaGrange que requiere del cálculo de la Energía cinética y Potencial del robot. Para ello previamente debemos hacer otros cálculos que son: Calculo de los tensores inerciales : Hallando el tensor inercial del k-ésimo elemento con respecto a un sistema ubicado en su centro de masa.
Calculo de los tensores inerciales : Hallando los tensores inerciales con respecto al sistema referencial .
Centros de masa
Hallando las posiciones de los centros de masa
del k-ésimo elemento respecto al k-ésimo sistema de referencia .
Centros de masa Hallando las posiciones de los centros de masa del k-ésimo elemento respecto al referencial .
Cálculo de los Jacobianos Lineales
Cálculo de los Jacobianos angulares
Cálculo de las matrices
Calculo de
Cálculo de la Energía Cinética
Calculo de la Energía Potencial
Calculo de la dinámica Sabiendo que el Lagrangiano es:
Finalmente podremos usar la formulación de LaGrange:
Con lo que obtendremos la dinámica:
Datos:
SIMULACION EN SIMULINK
A continuación se usara como herramienta
el matlab para diseñar el control del robot
cartesiano.
Fig. Robot de solidworks y simmechanics en simulink
incluyendo Sensores, Actuadores y Condición inicial
El grafico del robot con matrices las matrices
C, H, G en el matlab será el siguiente:
Encerrando todo en un subsistema nuestro
robot quedara con la siguiente forma
Donde será la fuerza controlada por
tratarse de un robot cartesiano
SIMULACION DEL CONTROL
CONTROL EN LAZO ABIERTO
Grafico del robot en lazo abierto:
Para una fuerza arbitraria tipo escalón la
respuesta esta represente por la siguiente
grafica:
Fig. En la grafica que observa que es necesario
un control por realimentación para poder
controlar el robot cartesiano.
CONTROL DE POSICION
1. Control Proporcional con
realimentación de velocidad
2. Control PD
3. Control PD con compensación de
gravedad
4. Control PID
En todos los casos controlaremos una
misma posición deseada con los mismos
controladores para comparar las
respuestas obtenidas.
Condiciones Iniciales: qo = [-0.4 0.3 0.3] m
Posición Deseada: qd = [-0.1 0 0.1]
Controlador
Kp = 75 Kv =100
Control Proporcional con Realimentación
de Velocidad
Salida del robot en simmechanics:
Salida del robot HCG
Control PD
Salida del robot en simmechanics:
Salida del robot HCG
Control PD con compensación de
gravedad
Salida del robot HCG
Control PID
Para los controladores PID
Kp = 100 Kv =200 Ki=2
Salida del robot en simmechanics:
Salida del robot HCG
Control PID en el espacio xyz
Entrada de referencia:
Salida del Robot En simmechanics
Salida del Robot HCG
Es necesario diseñar el controlador para el
optimizar la respuesta.
TORQUE COMOPUTADO
Encerrando todo en un subsistema
tendremos:
SEGUIMIENTO DE UNA TRAYECTORIA
CON TORQUE COMPUTADO
Para ello utilizaremos el bloque de simulink
Function Block Parameter que nos
permitirán ingresar funciones como
entradas.
Fig. Control de trayectoria con torque computado
Funciones de Trayectorias deseadas:
Entrada de Trayectoria deseada
Salida para el Robot HCG
Salida para el robot en simmechanics
CONTROL LQR
Para este caso será necesario encontrar un controlador LQR que optimice la salida de la planta y el la ley de control.
y el índice de desempeño asociado a ser minimizado es:
Grafica de la planta:
Ecuaciones de estado: Las ecuaciones que definen nuestro sistemas son la siguientes:
Para este caso nuestro sistema es un sistema lineal y sus estados están desacoplados. Nuestro sistema lineal estará representado por la siguiente ecuación:
METODOS PARA CALCULAR EL LQR:
ECUACIONES DE RICATTI METODO DEL AUTOVECTOR (MATRIZ
HAMILTONIANA) USANDO LOS TOOLS DE MATLAB:
Función: k=lqr(A,B,Q,R); Para nuestro sistema: A=[0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0];
B=[0 0 0;0 0 0;0 0 0;
1/(m1+m2+m3) 0 0;
0 1/(m2+m3) 0;
0 0 1/m3];
C=eye(6);
D=zeros(6,3);
Se observa que la matriz C es la identidad porque la salida de nuestra planta son los estados y la matriz D es nula. Por la regla de Bryson podemos generar las matrices P y Q que minimicen el error y la ley de control: Q=1000000*eye(6);
% Matriz de ganancia Q=I
R=1*eye(3);
% Matriz de ganancia R=I
Donde se obtiene el siguiente controlador: k=lqr(A,B,Q,R);
Representación del modelo en Simulink
Fig. Representación del Robot lineal en simulink
Seguimiento de trayectoria (MODELO LINEAL)
Aplicando el mismo controlador para nuestro modelo importado de siemmechanics:
Seguimiento de trayectoria (Siemmechanics)
Grafica del error con el controlador PID
Grafica del error con el LQR
Grafica de la fuerza en el control LQR
CONCLUSIONES
El robot cartesiano es muy apropiado para el uso de corte de planchas de vidrio por la facilidad de poderse desplazar en cualquier trayectoria sobre un plano. Estas trayectorias pueden apreciarse con ayuda del matlab.
Las respuestas obtenidas para el robot obtenido por simmechanics y el robot obtenido por la dinámica son muy aproximados. Esto nos demuestra que la dinámica es la correcta.
El control LQR es muy útil debido a su robustez. En nuestro caso calculamos el LQR para una planta lineal, sin embargo este funciona muy bien aun cuando se cambia la planta por una ligeramente diferente (Modelo no lineal - SIMMECHANICS)
Se logro el control de trayectoria usando el control lineal cuadrático ( LQR) lográndose un error menor que el logrado con el PID.
BIBLIOGRAFIA
[1] Separatas de clase: Dinámica de sistemas multicuerpo. Ing. José Machuca Mines. Facultad de Ingeniería Mecánica. Universidad Nacional de Ingeniería Escuela profesional de Ingeniería mecatronica.
[2] Apuntes de clase: Análisis y control de Robots. Ing. Cesar Anchayhua Arestegui. Facultad de Ingeniería Mecánica. Universidad Nacional de Ingeniería Escuela profesional de Ingeniería mecatronica.
[3] Fundamentos de Robótica A. Barrientos, L. F. Peñin, C. Balaguer, R. Aracil Mc Graw Hill, 1997
[4]Dynamics of multibody systems Ahmed A. Shabana Cambridge University Press