ASIGNATURA: Matemática.

CURSO: 3° Año

DOCENTES A CARGO: Popridkin, Cecilia - Druetta, Eliana

EJE 2: TEOREMA DE PITÁGORAS

Criterios de Valoración:

Los criterios que se enuncian a continuación, no son criterios de evaluación, porque durante este periodo

no serán evaluados mediante una nota, sino que se tendrán en cuenta diferentes criterios sobre los que

realizaremos nuestra valoración y devolución de sus trabajos. Es importante durante esta cuarentena, que

nos mantengamos comunicados y manteniendo el esfuerzo y dedicación en la resolución de las tareas

propuestas. En estos momentos, la responsabilidad y el compromiso son más necesarios que nunca, y nos

van a ayudar a salir adelante entre todos. Todos aquellos aprendizajes que consideramos fundamentales

serán retomados cuando volvamos a clases.

Se tendrán en cuenta, en el momento de corregir y devolver sus trabajos prácticos, los siguientes criterios:

El estudiante:

- Comprende la consigna.

- Cumple con la realización de la tarea en forma completa y prolija.

- Completa cada actividad usando un procedimiento apropiado:

Reconoce en que situaciones aplicar el teorema de Pitágoras.

Plantea el teorema de Pitágoras.

Opera correctamente.

Identifica y escribe la respuesta a cada situación presentada.

- Revisa y mejora sus producciones a partir de las correcciones.

- Trabaja colaborativamente: actitud de solidaridad con sus compañeros al comunicar

cualquier novedad al resto del curso, para que todos los estudiantes estén informados y

puedan realizar las actividades. Así mismo, tener la voluntad de enviar trabajos de otros

cuando éstos no tengan los medios para hacerlo.

- Honestidad en la presentación de los trabajos: es importante el compromiso con su propio

aprendizaje en estos tiempos, que resuelvan, dentro de sus propias posibilidades, cada uno

su tarea.

- Conocimientos previos y capacidades adquiridas en años anteriores: Es importante utilizar

la carpeta de años anteriores como material de consulta.

En esta propuesta de trabajo abordaremos los temas “triángulos rectángulos” y “Teorema de Pitágoras”.

En la primera parte, revisaremos conceptos estudiados años anteriores y posteriormente, definiremos el

teorema que vamos a estudiar y trabajaremos con algunas aplicaciones.

Les sugerimos leer detenidamente el material teórico, los ejemplos y mirar los videos. A medida que

avancen con la lectura, si les surgen dudas, anótenlas en la carpeta para poder consultarlas en la clase

virtual y/o en el aula virtual.

TRIÁNGULOS

Elementos de un triángulo

A continuación, les presentamos un triángulo a partir del cual recordaremos el nombre de sus

elementos.

a

b

g

a

b

ca

b

c

Vértices: a, b y c

Lados: 𝑎𝑏̅̅ ̅, 𝑏𝑐̅̅ ̅ 𝑦 𝑐𝑎̅̅ ̅

Ángulos interiores: �̂�, �̂� 𝑦 �̂�

Ángulos exteriores: �̂�, �̂� 𝑦 𝛾

Lados opuestos a ángulos:

�̂� 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏𝑐̅̅ ̅; �̂� 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎̅̅ ̅ 𝑦 �̂� 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑏̅̅ ̅

Algunas propiedades de los triángulos

En todo triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es igual a 180°.

Teniendo en cuenta el triángulo presentado en el punto anterior, en símbolos, podemos

escribir:

�̂� + �̂� + �̂� = 𝟏𝟖𝟎°

En todo triángulo, al mayor de los lados se opone el mayor de los ángulos y a lados iguales

se oponen ángulos iguales.

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Clasificación de los triángulos.

Los triángulos pueden clasificarse según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos

interiores.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Como vimos en el apartado anterior, un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior recto, es

decir, un ángulo cuya medida es 90°. Estos triángulos son muy útiles para resolver diferentes situaciones de

la vida cotidiana.

Observemos el siguiente triángulo rectángulo.

Como podemos ver cada uno de los lados del triángulo rectángulo recibe un nombre y además están

indicados los tres ángulos interiores.

Lado 𝑎𝑐 : Cateto

Lado 𝑐𝑏: Cateto

Lado 𝑎𝑏: Hipotenusa

Ángulos agudos: �̂� , �̂�

TEOREMA DE PITÁGORAS

I. Introducción

El Teorema de Pitágoras nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es

de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es

rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

El teorema de Pitágoras lleva ese nombre porque recae en la escuela Pitagórica. Esta escuela fue fundada

por Pitágoras, un matemático y filósofo griego del siglo VI a. C.

Este teorema les sirvió a los egipcios en la antigüedad para poder trazar ángulos rectos cuando no

existían las escuadras y poder así trabajar sobre mediciones en las

crecientes del río Nilo.

Actualmente el teorema de Pitágoras sirve para resolver una gran

cantidad de problemas prácticos. Por ejemplo, si se tiene que construir

una escalera, podemos calcular el largo de la misma sabiendo las

dimensiones del lugar donde hay que instalarla.

También podemos usarlo para el cálculo de distancias en el plano, en los

mapas, en la realidad.

En general, el Teorema de Pitágoras se puede utilizar para encontrar

longitudes en donde intervienen triángulos rectángulos. Es una de las relaciones matemáticas más

importantes por sus diversas aplicaciones en la determinación de distancias, alturas y áreas de terrenos

y/o superficies.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, es el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto; cada

cateto se opone a un ángulo agudo.

Además, la suma de los dos ángulos agudos es igual a 90°. Es decir �̂� y �̂� son ángulos

complementarios.

II. Definición y demostración del teorema

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Gráficamente:

En este teorema, cada uno de los términos de la igualdad representa el área de un cuadrado de lados

c, a y b, respectivamente. Por lo tanto, la expresión anterior se puede plantear en términos de áreas

de la forma siguiente:

“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma

de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”. Gráficamente:

Ahora observemos el ejemplo que les presentamos para poder comprender lo expresado anteriormente:

III. Ejemplos de aplicación

Recordemos, como dijimos anteriormente, que el teorema de Pitágoras permite relacionar los tres

lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos

y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es

rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplir con dicho teorema.

EJEMPLO 1

A partir del triángulo rectángulo que se propone, calcular la medida

del cateto desconocido.

Hipotenusa 𝒂𝒃̅̅ ̅̅ : 10 cm

Cateto 𝒄𝒃̅̅̅̅ : 8 cm

Cateto 𝒂𝒄̅̅̅̅ : x

Te proponemos mirar los siguientes videos, en los que se muestra también la demostración sencilla de este teorema.

https://drive.google.com/file/d/1U3JhMFEfFSoehaXogQ7C4p

wOypfcRSLQ/view?usp=sharing

https://youtu.be/CAkMUdeB06o

a

bcm

n

or

s

t

v

w

j

I) II) III) IV)

10cm

8cm

x

x

30cm

34cm3cm

4cm

15cmx x

8cm

Planteamos el teorema de Pitágoras, luego remplazamos por los datos que se presentan en el

triángulo y resolvemos la ecuación que nos queda planteada.

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝟏𝟎𝟐 = 𝟖𝟐 + 𝒙𝟐

𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟒 + 𝒙𝟐

𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒 = 𝒙𝟐

𝟑𝟔 = 𝒙𝟐

√𝟑𝟔 = 𝒙

𝟔 = 𝒙 El cateto desconocido mide 6 cm.

EJEMPLO 2

Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir el cable? Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos un triángulo rectángulo:

Llamando “x” a la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:

𝒙𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 𝒙𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒

𝒙𝟐 = 𝟏𝟔𝟗

𝒙 = √𝟏𝟔𝟗 𝒙 = 𝟏𝟑

Por lo tanto, el cable debe medir 13 metros.

IV. Videos

Te proponemos mirar el siguiente video, en los que se muestran

algunos ejemplos de aplicación del Teorema de Pitágoras con los

pasos a seguir en su resolución:

https://youtu.be/BhHgMtjlebc

Actividades Propuestas

Les presentamos las actividades que tendrán que resolver en esta propuesta.

Algunas cosas para tener en cuenta:

Leer la consigna de cada actividad. Si hay algo que no comprenden, anotarlo en la carpeta para

poder consultarlo en la clase virtual o por el aula virtual.

Resolver en forma completa, ordenada y prolija en la carpeta cada una de las actividades.

Sacar las fotos al finalizar todas las actividades y subirlas al aula virtual a la parte de TAREAS o

ASIGNACIÓN de la propuesta correspondiente. Por favor escriban con lapicera, pongan nombre a

todas las hojas y saquen las fotos nítidas, luego las pegan todas en un Word o PDF y suben el

archivo.

Actividad 1

Determina si cada uno de los triángulos es o no un triángulo rectángulo, a partir de las medidas de sus

lados. Para ello realiza el planteo correspondiente, resuelve y completa la tabla con la palabra “SI” (en caso

de que se trate de un triángulo rectángulo) y con la palabra “NO” (en caso de que no se trate de un triángulo

rectángulo). Recuerda que, en todo triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras.

Medidas de sus lados

¿Es un triángulo rectángulo?

TRIÁNGULO 1

24 cm

25 cm

7 cm

TRIÁNGULO 2

12 cm

4 cm

14 cm

TRIÁNGULO 3

30 cm

34 cm

16 cm

Actividad 2

En cada uno de los triángulos rectángulos que se presentan, calcula la medida del lado desconocido. Para

ello, realiza el planteo correspondiente, resuelve y escribe la respuesta.

1) 2)

5cm13cm27cm

45cm6cm

20cm

48cm

xa

bcm

n

or

s

t

v

w

j

I) II) III) IV)

8cm

xx

x

5cm13cm27cm

45cm6cm

20cm

48cm

xa

bcm

n

or

s

t

v

w

j

I) II) III) IV)

8cm

xx

x

Actividad 3

Para cada una de las situaciones problemáticas que se presentan:

- Realiza un gráfico de la situación presentada.

- Escribe los datos y la incógnita en el gráfico.

- Realiza el planteo usando el teorema correspondiente.

- Resuelve.

- Escribe la respuesta.

1. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. ¿A qué distancia de la pared habrá

que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura

de 52 dm?

2. El campo de fútbol Santiago Bernabeu tiene unas dimensiones de 105 metros de largo y 68 metros

de ancho. ¿Cuál es la medida de la diagonal de ese campo de fútbol?