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CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
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CONJUNTOS
Un conjunto esta constituido por una serie de elementos que
poseen una característica o condición especial.
Estos elementos se denotan con letras minúsculas (a,b,..) y se
encierran entre corchetes {} o círculos , los conjuntos se
identifican por ser denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…).
El Conjunto Universal es un conjunto que posee todos loselementos, y se denota (U).
Ejemplo
•El conjunto de los Números Reales (R), cuyos elementos son todos los números Naturales, Cero, Enteros negativos,
Fraccionarios, Racionales, Irracionales.
R= {-∞…,-2,-1,0,1,2,..∞}
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DETERMINAR UN CONJUNTO
1. Por EXTENCION
Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno.
Ejemplo A={z, w ,x} y D={8,17,25}
2. Por COMPRENCION
Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una funcióndeterminada, la cual esta expresada.
Ejemplo F = {nє N/ n divide a 7} Lo que quiere decir que Fson todos los números divisibles entre tres.
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SUBCONJUNTOS
Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple
ambos conjuntos.
Ejemplo
T es el conjunto formado por todos los Carros Turbo queexisten, mientras que C es el conjunto formado por todos los tipos decarros que existen, entonces decimos claramente que T es unSUBCONJUNTO de C y se denota
T ⊂ C , ya que los Carros Turbo pertenecen al subconjunto T pero al
mismo tiempo pertenecen al conjunto C porque son carros.
Diremos que T es subconjunto Propio de C , si se cumple = (T ⊂ C) y
( T≠C)Lo que quiere decir que TODOS los elementos de T (carros Turbo)están dentro del conjunto C, pero que no todos los elementos de C(TODOS los carros) esta dentro del conjunto T.
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CONJUNTO ES VACIO
Cuando no posee elementos y se denota ᵩA
ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya queno existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y comoes x ≠ x , quiere decir que no hay).
CONJUNTO POTENCIA
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo.se denota S(P) o 2S
Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {C} (son todos los carros),{T}(carros de tipo Turbo), {A} (carros de tipo Aspirados), {I} (carros de tipo Inyeccion)Decimos que: 2S {C} ={{T},{A},{I},{T,A}{T,I}{A,I},{T,A,I}}
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IGUALDAD DE CONJUNTOS
Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES.Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que:
A = B A C B ^ B C AA es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.
UNION de ConjuntosConsiderando J y W dos conjuntos.
{G}= {3,6,9} y {P} = {1,5,7}
la unión de {G} y{P}, se denota A U B = {xє U / x є J ᵩ x є W }
Entonces:
G U P = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en G o en P.
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Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B :
1. A U A= A2. A U U= U3. A U ᵩA = A4. A U B = B U A
INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B
Significa que algunos elementos de A están presentes en B.
Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B:1. A I A = A , ∀ A
2. A I U = A , donde U es el conjunto universal3. A I ᵩA = ᵩA4. A I B = B I A
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Diferencia de Conjuntos
Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no enel conjunto BEjemploSean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60}Entonces
A-B ={20,40,50} yB-A = {15,25,45}Diferencia SimétricaSe denota como ADB y ADB= (A-B U B-A)Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia
Simétrica es
ADB= {20,40,50,15,25,45}
Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
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Complemento de un Conjunto
El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para para llegar a ser igual a U.
Se define C(F) = {xÎ U/ xÏ F}Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.
Ejemplo Si U = {1,10,100,1000} y G = {10,100}
entonces C(G) = {1,1000}
Teorema: Considerando A y B dos conjuntos
1. A - B = AI C(B)2. C(C(A)) = A 3. AUC(A) = U 4. AI C(A) = f 5. C(U) = f 6. C(f ) = U 7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)
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TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN (para Conjuntos)
1. C(AUB) = C(A) I C(B) 2. C(AIB) = C(A) U C(B)
Ejemplo
Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.
C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que: C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
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ALGEBRA DE PRODUCTOS
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación
Leyes de idempotentes
Leyes asociativas
Leyes conmutativas
Leyes distributivas
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Leyes de completacion
Leyes de Morgan
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Conjunto Producto o Producto Cartesiano
Consideramos los conjuntos A y B dos conjuntos, A x B = { (a,b) / aÎ BÙ bÎ B}
Ejemplo
Si G = {a, b} y P = {2,3,4}
entonces G x P = {(a,2), (a,3), (a,4), (b,2), (b,3), (b,4)} y G x P = {(2,a), (2,b), (3,a), (3,b),
(4,a),(4,b)}Notamos que GxP ¹ Px G
Teorema Si A,B,C son tres conjuntos entonces
1. A x B = F Û A = F Ú B = F2. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) 3. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) 4. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)
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Operaciones Generalizadas
Familia Indizada de Productos
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia deconjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjuntoh Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; ylo denotaremos {Ai}iÎ I.
Las familias de conjuntos pueden ser finitas sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .
ParticiónSea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I
es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.
EjemploSi F={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.
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TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOS
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. EjemploEl conjunto {f,g,m,p,s} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos.
Definimos A un conjunto finito, si: 1. El cardinal de A es 0 si A = f2. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos
EjemploSi F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6
Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos.
Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple1. B - A) = #B - #(AI B) 2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B)
Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).