Republica bolivariana de Venezuela

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Universidad Fermín toro

Cabudare -estado –Lara

Funciones transcendentales derivadas e integrales

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Ricardo Torrealba

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Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.1 En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Ejemplo de funciones trascendentes son:

f_1(x) = x^\pi \

f_2(x) = c^ x, \ c \ ne 0, 1

f_3(x) = x^ {x} \

f_4(x) = x ^ {\frac{1}{x}} \

f_5(x) = \log_ c x, \ c \ ne 0, 1

f_6(x) = \sin{x}

Nótese que en el caso particular de ƒ2 si a "c" se le asigna el valor e, la base del logaritmo natural, entonces resulta que ex es una función trascendente. De manera similar, si a c se le asigna el valor e en ƒ5, entonces resulta ln(x), el logaritmo natural, es una función trascendente.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

ejemplos de ejercicios resueltos :

La derivada:En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

Límite como cociente de diferencias:

La derivada de una función , es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico

de , en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto

en la línea tangente: La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número , relativamente pequeño. , representa un cambio relativamente pequeño en ,, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos

Es:

Expresión denominada «cociente de Newton».1

La derivada de f en x es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

Si la derivada de f \, existe en todos los puntos x \,, se puede definir la derivada de f \, como la función cuyo valor en cada punto x \, es la derivada de f \, en x \,.

Puesto que sustituir h \, por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h \, del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Continuidad y diferenciabilidad:Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que

Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema

de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivable en el intervalo abierto I, es continua en I.

Condición necesaria:La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo — recurrente en la literatura usual — puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto (0,0) \,. Dicha función se expresa:

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:

.

Cuando x \, vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x| es diferenciable para todo x. Hállese su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es una condición necesaria para que dicha función sea diferenciable. (Ver "Análisis matemático" de Apóstol.)

Derivada de una función:Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto a\, se define como sigue:

si este límite existe, de lo contrario, f', la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de a\,. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Ejemplo:Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así,

Tipos de derivadas: Derivadas inmediatas

Fórmulas de derivadas

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Derivadas exponenciales y logarítmicas

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función logarítmica

Derivación logarítmica

Derivadas trigonométricas

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivadas trigonométricas inversas

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Otras derivadas

Regla cadena

Derivada de la función inversa

Derivadas sucesivas

Derivación implícita

Diferencial de una función

Derivabilidad

Aplicaciones de las derivadas

Recta tangente

Recta normal

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimos

Optimización

Concavidad y convexidad

Punto de inflexión

Teoremas

Teorema de Rolle

Teorema de Lagrange

Teorema de Cauchy

Regla de L'Hôpital

Ejemplos de ejercicios :1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?

En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los

intervalos están contenidos en intervalo.

Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.

La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en R·

Teorema de Bolzano.

f(−1) = −1

f(0) = 3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 7x6 + 3

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.

Integrales:Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Tabla de integrales:a, e, k, y C son constantes; u(x) es una función y u'(x) su derivada.

En adelante, escribiremos u y u'. Entendamos que esto no es más que un abuso de notación con el fin de simplificar la misma.

integral de x

integral de una constante

integral de una potencia

integral

integral exponencial

integral exponencial

integral del seno

integral del coseno

integral de la tangente

integral de la cotangente

integral del arco seno

Si u(x) = x, u'(x) = 1, tenemos una tabla de integrales simples:

integral de una potencia

integral

integral exponencial

integral exponencial

integral del seno

integral del coseno

integral de la tangente

integral de la cotangente

integral de la seno

integral del arco tangente

Integral de una constante:

1La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de cero

Integral de una potencia

Integrales logaritmicas

Integrales exponenciales

Fórmulas trigonométricas :

Formulas trigonométricas inversas :