PROPIEDADES Y TEOREMAS SOBRE LIacuteMITES

Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten eacutepsilon ndash delta se establecen los siguientes teoremas o propiedades

1 Unicidad del liacutemite

Dada una funcioacuten f(x) siendo L y M constantes y x tiende a h el liacutemite es uacutenico

entonces

Si el MLMxfLxf hxhx )(lim)(lim

2 Liacutemite de una constante

Si K es una constante y h un nuacutemero cualquiera entonces

KKhx lim

Ejemplo

9)9(lim 4 x

3 Liacutemite del producto de una constante por una funcioacuten

Si K es una constante y f(x) una funcioacuten real cualquiera entonces

)()(lim)(lim hfKxfKxKf hxhx

Ejemplo

18)42(3)4(lim3)4(3lim 22 xx xx

4 Liacutemite de la funcioacuten identidad (recta donde su m = 1 y 045 )

hxhx lim

Ejemplo

2lim 2 xx

5 Liacutemite de una funcioacuten lineal

Si m y b son dos constantes reales cualesquiera entonces

bmhbmxhx )(lim

Ejemplo

73)5(2)32(lim 5 xx

6 Liacutemite de una suma y diferencia algebraica

Si el

MLxgxfMxgLxf hxhxhx )()(lim)(lim)(lim

Ejemplo

63339lim6lim)6(lim 333 xxxx xxx

7 Liacutemite un producto

Si el MLxgxfMxgLxf hxhxhx )()(lim)(lim)(lim

Ejemplo

8338)(lim)5(lim)()6(lim 333 xxxx xxx

8 Liacutemite de un cociente

Si el 0)(

)(lim)(lim)(lim

M

M

L

xg

xfMxgLxf hxhxhx

Ejemplo

7

8

52

2)2(3

)5(lim

)23(lim

5

23lim

2

22

x

x

x

x

x

xx

9 Liacutemite de una potencia

Si n Z y el nn

hxhx LxfLxf )(lim)(lim

Ejemplo

144)12()1527(15)3(3153lim 2222

3 xx

10 Liacutemite de una raiacutez

nnhx

nhx Lxfxf )(lim)(lim

Ejemplo

3273)5(6)36(lim36lim 3335

35 xx xx

11 Liacutemite de una funcioacuten elevada a otra funcioacuten

Si el

Mxg

hx

xg

hxhxhx LxfxfMxgLxf hx

)(lim)()(lim)(lim)(lim)(lim

Ejemplo

1642)2(3)23(lim23lim 2)22()2(lim

2

2

2

222

2

x

x

x

xxxx

12 Teorema de estriccioacuten

El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular cierta clase de liacutemites Teorema de estriccioacuten

Demostracioacuten

CAacuteLCULO DE LIacuteMITES FINITOS

EVALUACIOacuteN DE LIacuteMITES POR SUSTITUCIOacuteN DE LA VARIABLE

En una expresioacuten dada cuando la variable tiende a un valor dado constante

para hallar el liacutemite se realizan los siguientes pasos

a) Se aplican los teoremas para hallar los liacutemites b) Se sustituye la variable por su valor en el liacutemite

EJEMPLOS Hallar el valor del liacutemite y cuando sea posible indique los teoremas del liacutemite

que se empleen

bmhbmxhx )(lim

Ejemplo

73)5(2)32(lim 5 xx

6 Liacutemite de una suma y diferencia algebraica

Si el

MLxgxfMxgLxf hxhxhx )()(lim)(lim)(lim

Ejemplo

63339lim6lim)6(lim 333 xxxx xxx

7 Liacutemite un producto

Si el MLxgxfMxgLxf hxhxhx )()(lim)(lim)(lim

Ejemplo

8338)(lim)5(lim)()6(lim 333 xxxx xxx

8 Liacutemite de un cociente

Si el 0)(

)(lim)(lim)(lim

M

M

L

xg

xfMxgLxf hxhxhx

Ejemplo

7

8

52

2)2(3

)5(lim

)23(lim

5

23lim

2

22

x

x

x

x

x

xx

9 Liacutemite de una potencia

Si n Z y el nn

hxhx LxfLxf )(lim)(lim

Ejemplo

144)12()1527(15)3(3153lim 2222

3 xx

10 Liacutemite de una raiacutez

nnhx

nhx Lxfxf )(lim)(lim

Ejemplo

3273)5(6)36(lim36lim 3335

35 xx xx

11 Liacutemite de una funcioacuten elevada a otra funcioacuten

Si el

Mxg

hx

xg

hxhxhx LxfxfMxgLxf hx

)(lim)()(lim)(lim)(lim)(lim

Ejemplo

1642)2(3)23(lim23lim 2)22()2(lim

2

2

2

222

2

x

x

x

xxxx

12 Teorema de estriccioacuten

El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular cierta clase de liacutemites Teorema de estriccioacuten

Demostracioacuten

CAacuteLCULO DE LIacuteMITES FINITOS

EVALUACIOacuteN DE LIacuteMITES POR SUSTITUCIOacuteN DE LA VARIABLE

En una expresioacuten dada cuando la variable tiende a un valor dado constante

para hallar el liacutemite se realizan los siguientes pasos

a) Se aplican los teoremas para hallar los liacutemites b) Se sustituye la variable por su valor en el liacutemite

EJEMPLOS Hallar el valor del liacutemite y cuando sea posible indique los teoremas del liacutemite

que se empleen

10 Liacutemite de una raiacutez

nnhx

nhx Lxfxf )(lim)(lim

Ejemplo

3273)5(6)36(lim36lim 3335

35 xx xx

11 Liacutemite de una funcioacuten elevada a otra funcioacuten

Si el

Mxg

hx

xg

hxhxhx LxfxfMxgLxf hx

)(lim)()(lim)(lim)(lim)(lim

Ejemplo

1642)2(3)23(lim23lim 2)22()2(lim

2

2

2

222

2

x

x

x

xxxx

12 Teorema de estriccioacuten

El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular cierta clase de liacutemites Teorema de estriccioacuten

Demostracioacuten

CAacuteLCULO DE LIacuteMITES FINITOS

EVALUACIOacuteN DE LIacuteMITES POR SUSTITUCIOacuteN DE LA VARIABLE

En una expresioacuten dada cuando la variable tiende a un valor dado constante

para hallar el liacutemite se realizan los siguientes pasos

a) Se aplican los teoremas para hallar los liacutemites b) Se sustituye la variable por su valor en el liacutemite

EJEMPLOS Hallar el valor del liacutemite y cuando sea posible indique los teoremas del liacutemite

que se empleen

Demostracioacuten

CAacuteLCULO DE LIacuteMITES FINITOS

EVALUACIOacuteN DE LIacuteMITES POR SUSTITUCIOacuteN DE LA VARIABLE

En una expresioacuten dada cuando la variable tiende a un valor dado constante

para hallar el liacutemite se realizan los siguientes pasos

a) Se aplican los teoremas para hallar los liacutemites b) Se sustituye la variable por su valor en el liacutemite

EJEMPLOS Hallar el valor del liacutemite y cuando sea posible indique los teoremas del liacutemite

que se empleen

Solucioacuten

Solucioacuten

Solucioacuten

Solucioacuten

En general calcular el liacutemite de una funcioacuten normal cuando x tiende a un nuacutemero real es faacutecil basta aplicar las reglas de caacutelculo indicadas sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende

No obstante en ocasiones nos podemos encontrar con sorpresas por ejemplo que la funcioacuten no esteacute definida para el valor en el que queremos calcular el liacutemite Esta situacioacuten es habitual cuando el liacutemite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito

Una funcioacuten no estaacute definida en un punto siempre que al intentar calcularla en ese punto resulte alguna de las formas siguientes

En cada caso el liacutemite en el punto en que la funcioacuten no estaacute determinada dependeraacute de los valores que la funcioacuten tome en las proximidades de dicho punto

Veamos coacutemo tratar cada una de estas indeterminaciones Los meacutetodos que se indican sirven de guiacutea en casos parecidos

INDETERMINACIOacuteN 0

0

Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso

5-

La funcioacuten no estaacute determinada para x = 1 la razoacuten es que el denominador se hace 0 Este tipo de indeterminaciones ocurre cuando en el numerador y el denominador de la funcioacuten existe alguacuten factor que se hace 0 este factor suele ser del tipo x - valor para el que queremos calcular el liacutemite Si logramos eliminar este factor del numerador y del denominador se obtiene otra funcioacuten que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestioacuten En este caso concreto el punto es x = 1 La nueva funcioacuten permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminacioacuten que son los que permiten calcular el liacutemite En el caso concreto que nos ocupa seriacutea

Solucioacuten

No es posible aplicar directamente pues se obtendriacutea la forma indeterminada

00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene

faacutecilmente el liacutemite

Solucioacuten

No es posible aplicar directamente pues se obtendriacutea la forma indeterminada

00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene

faacutecilmente el liacutemite

Solucioacuten

Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente nos dariacutea la forma

indeterminada 00 por lo que se debe factoriazar y luego simplificar la

expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6

Solucioacuten

No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no

obstante luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la

conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando

se puede hallar el liacutemite

Solucioacuten

No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no

obstante luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por el

factor de racionalizacioacuten de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y

simplificando se puede hallar el liacutemite

EJERCICIOS RESUELTOS Hallar los siguientes liacutemites

1

2

3

4

No tiene liacutemite en x = -1

5

6

7

LIacuteMITES TRIGONOMETRICOS

De manera General los liacutemites trigonomeacutetricos se pueden resolver

aplicando un liacutemite notable o una identidad trigonomeacutetrica y en algunos casos

se debe aplicar ambas operaciones Sin embargo a veces es necesario realizar

algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un nuacutemero

factorizar multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los liacutemites

Los siguientes liacutemites son considerados como CASOS NOTABLES

1) 1)(

0

x

xsenLimx

2) 1)(0

xsen

xLimx

3) 0)(0

xsenLimx

4) 1)(

0

Kx

KxsenLimx

5) 1)cos(0

xLimx

6) 0)cos(1

0

x

xLimx

7) 2

1)cos(120

x

xLimx

8) 1)tan(

0

x

xLimx

9) 1)tan(0

x

xLimx

10) 1)tan(

0

Kx

KxLimx

Algunas IDENTIDADES TRIGONOMEacuteTRICAS maacutes usadas son

Identidades Baacutesicas

ecxsenx

cos

1

xx

sec

1cos

anxx

cot

1tan

x

senxx

costan

senx

xanx

coscot

Identidades Fundamentales de la Trigonometriacutea

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

Identidades de la suma de aacutengulos

sen(xy)=sen(x) cos(y) cos(x) sen(y)

cos(xy)=cos(x) cos(y) sen(x) sen(y)

2

2cos12 xxsen

2

2cos1cos 2 x

x

Identidades de aacutengulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de aacutengulos medio

2

cos1)2(

xxsen

2

cos1)2cos(

xx

A continuacioacuten algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular

Ejemplos

1

2

3 si decimos que x-1 = y entonces tendremos

1lim0

y

seny

y

4 de igual manera

5

6 0

0

)0(3

0

3

2lim

0

sen

x

xsen

x

3

2

2

2lim2

3

12lim

3

1

3

2lim

000

x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxx

7 0

0

2cot

2cos

cot

coslim

2

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

sensenxx

xsenx

senx

x

x

xxx

8

Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x

9

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento comuacuten en algunos

liacutemites trigonomeacutetricos y que consiste en multiplicar por el

conjugado de una expresioacuten Multiplicamos por el conjugado de

que es

recordando que x

senxx

costan

10 al evaluar resulta

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos recordando la identidad

sen(xy) = senx(x) cos(y) cos(x) sen(y)

Luego

11 0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

x

x

x

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x

6

7

LIacuteMITES TRIGONOMETRICOS

De manera General los liacutemites trigonomeacutetricos se pueden resolver

aplicando un liacutemite notable o una identidad trigonomeacutetrica y en algunos casos

se debe aplicar ambas operaciones Sin embargo a veces es necesario realizar

algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un nuacutemero

factorizar multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los liacutemites

Los siguientes liacutemites son considerados como CASOS NOTABLES

1) 1)(

0

x

xsenLimx

2) 1)(0

xsen

xLimx

3) 0)(0

xsenLimx

4) 1)(

0

Kx

KxsenLimx

5) 1)cos(0

xLimx

6) 0)cos(1

0

x

xLimx

7) 2

1)cos(120

x

xLimx

8) 1)tan(

0

x

xLimx

9) 1)tan(0

x

xLimx

10) 1)tan(

0

Kx

KxLimx

Algunas IDENTIDADES TRIGONOMEacuteTRICAS maacutes usadas son

Identidades Baacutesicas

ecxsenx

cos

1

xx

sec

1cos

anxx

cot

1tan

x

senxx

costan

senx

xanx

coscot

Identidades Fundamentales de la Trigonometriacutea

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

Identidades de la suma de aacutengulos

sen(xy)=sen(x) cos(y) cos(x) sen(y)

cos(xy)=cos(x) cos(y) sen(x) sen(y)

2

2cos12 xxsen

2

2cos1cos 2 x

x

Identidades de aacutengulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de aacutengulos medio

2

cos1)2(

xxsen

2

cos1)2cos(

xx

A continuacioacuten algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular

Ejemplos

1

2

3 si decimos que x-1 = y entonces tendremos

1lim0

y

seny

y

4 de igual manera

5

6 0

0

)0(3

0

3

2lim

0

sen

x

xsen

x

3

2

2

2lim2

3

12lim

3

1

3

2lim

000

x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxx

7 0

0

2cot

2cos

cot

coslim

2

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

sensenxx

xsenx

senx

x

x

xxx

8

Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x

9

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento comuacuten en algunos

liacutemites trigonomeacutetricos y que consiste en multiplicar por el

conjugado de una expresioacuten Multiplicamos por el conjugado de

que es

recordando que x

senxx

costan

10 al evaluar resulta

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos recordando la identidad

sen(xy) = senx(x) cos(y) cos(x) sen(y)

Luego

11 0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

x

x

x

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x

se debe aplicar ambas operaciones Sin embargo a veces es necesario realizar

algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un nuacutemero

factorizar multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los liacutemites

Los siguientes liacutemites son considerados como CASOS NOTABLES

1) 1)(

0

x

xsenLimx

2) 1)(0

xsen

xLimx

3) 0)(0

xsenLimx

4) 1)(

0

Kx

KxsenLimx

5) 1)cos(0

xLimx

6) 0)cos(1

0

x

xLimx

7) 2

1)cos(120

x

xLimx

8) 1)tan(

0

x

xLimx

9) 1)tan(0

x

xLimx

10) 1)tan(

0

Kx

KxLimx

Algunas IDENTIDADES TRIGONOMEacuteTRICAS maacutes usadas son

Identidades Baacutesicas

ecxsenx

cos

1

xx

sec

1cos

anxx

cot

1tan

x

senxx

costan

senx

xanx

coscot

Identidades Fundamentales de la Trigonometriacutea

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

Identidades de la suma de aacutengulos

sen(xy)=sen(x) cos(y) cos(x) sen(y)

cos(xy)=cos(x) cos(y) sen(x) sen(y)

2

2cos12 xxsen

2

2cos1cos 2 x

x

Identidades de aacutengulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de aacutengulos medio

2

cos1)2(

xxsen

2

cos1)2cos(

xx

A continuacioacuten algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular

Ejemplos

1

2

3 si decimos que x-1 = y entonces tendremos

1lim0

y

seny

y

4 de igual manera

5

6 0

0

)0(3

0

3

2lim

0

sen

x

xsen

x

3

2

2

2lim2

3

12lim

3

1

3

2lim

000

x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxx

7 0

0

2cot

2cos

cot

coslim

2

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

sensenxx

xsenx

senx

x

x

xxx

8

Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x

9

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento comuacuten en algunos

liacutemites trigonomeacutetricos y que consiste en multiplicar por el

conjugado de una expresioacuten Multiplicamos por el conjugado de

que es

recordando que x

senxx

costan

10 al evaluar resulta

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos recordando la identidad

sen(xy) = senx(x) cos(y) cos(x) sen(y)

Luego

11 0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

x

x

x

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x

Ejemplos

1

2

3 si decimos que x-1 = y entonces tendremos

1lim0

y

seny

y

4 de igual manera

5

6 0

0

)0(3

0

3

2lim

0

sen

x

xsen

x

3

2

2

2lim2

3

12lim

3

1

3

2lim

000

x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxx

7 0

0

2cot

2cos

cot

coslim

2

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

sensenxx

xsenx

senx

x

x

xxx

8

Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x

9

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento comuacuten en algunos

liacutemites trigonomeacutetricos y que consiste en multiplicar por el

conjugado de una expresioacuten Multiplicamos por el conjugado de

que es

recordando que x

senxx

costan

10 al evaluar resulta

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos recordando la identidad

sen(xy) = senx(x) cos(y) cos(x) sen(y)

Luego

11 0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

x

x

x

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x

recordando que x

senxx

costan

10 al evaluar resulta

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos recordando la identidad

sen(xy) = senx(x) cos(y) cos(x) sen(y)

Luego

11 0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

x

x

x

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x

12 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x