1 + 1 = 1 Charles Dodgson

Na Inglaterra do século XIX, viviu Charles Dodgson, un matemático, un home serio, que escribiu un dos relatos infantís máis disparatados e imaxinativos da historia: Alicia no País das Marabillas.

versus Lewis Carroll

Nesa Inglaterra da raíña Vitoria, tamén viviu un fotógrafo contacontos chamado Lewis Carroll, que publicou importantes tratados de Lóxica, Álxebra e Xeometría.

Charles Dodgson + Lewis Carroll = unha persoa

2 = 1 Nonsense

Absurdo

Que a descabecen!

O absurdo nas Matemáticas. Reductio ad absurdum é unha expresión latina que significa literalmente redución ao absurdo.

A demostración por redución ao absurdo é un tipo de argumento moi empregado nas demostracións matemáticas. Consiste en demostrar que unha proposición matemática é verdadeira probando que, se non o fose, conduciría a unha contradición.

Tamén podemos chegar a unha contradición cando no razoamento hai un erro, intencionado ou non. En Lóxica chámase unha falacia, un argumento que parece válido pero non o é. De

feito, podemos “demostrar” de forma sinxela que 2 = 1, usando unha falacia*:

2 2 2 2

*2 2 1a b a ab a b ab b a b a b b a b a b b b b b b b

Os políticos, os publicistas e os avogados usan falacias todos os días. Os argumentos que conteñen falacias lóxicas non son válidos. O desafío é atopar a premisa falsa, a que fai que as conclusións sexan equivocadas.

Falacia post hoc vel cum hoc, ergo procter hoc → (despois disto = a causa disto) )

A influencia de Dodgson en Carroll. Atopamos frases dos personaxes do País das Marabillas en moitos libros de Matemáticas, libros serios, escritos por homes tan “serios” como eses libros.

Sen interferencias da realidade, sigamos ao profesor Dodgson, o noso coello branco:

Polo eixe 0Y, ao País das Marabillas: E baixa, e baixa, e baixa. ¿Non remataría nunca de caer?.

Polo eixe 0X, atravesando o Espello: Nun instante Alicia pasara para o outro lado do vidro, e dun salto lixeiro foi parar no cuarto do Espello.

Tamén acompañaremos a unha tripulación improbable, na caza do Carbairán, un animal imposible (con probabilidade de existir igual a cero), inexistente fóra da nosa mente, como as propias Matemáticas.

“Seguir ao coello branco” é unha expresión que significa seguir a alguén cegamente.

Só un consello antes de continuar: se algunha vez, seguindo a un coello branco, atopas un frasquiño que di BÉBEME, mira antes de beber se non di tamén VELENO, porque como ben dixo Alicia: é case seguro que máis tarde ou máis cedo non che vai facer ben.

Alicia é unha nena... ...moi ben educada, capaz de falarlle cortesmente ás criaturas máis disparatadas, que non

terían ningún interese en xustificar os seus actos, se non fose pola presenza dela.

Alicia é inocente e curiosa. Esa inocencia, que nun adulto é ignorancia, permítelle a un neno

ollar o mundo sen interferencias, sen prexuízos. Alicia non é ignorante, é unha nena sabia, que

ás veces se equivoca. Pero rectifica axiña, e sabe pedir desculpas.

Alicia é valente. Enfróntase, sen perder o tino, á estúpida Raíña que descabeza aos que lle

levan a contraria. Outros personaxes, cartas da baralla como a propia Raíña, humíllanse para

congraciarse con ela, sen entender que tamén eles acabarán descabezados.

...como estaban botados no chan coa cara para abaixo, e o debuxo que levaban era igual ó das outras cartas, non podía saber se eran xardineiros, ou soldados, ou cortesáns, ou tres dos seus fillos.

Alicia ten moitas dimensións, moitas lecturas. Non é como as cartas dunha baralla que, se lles

damos a volta, son todas iguais.

-¿E furarei a Terra dun lado a outro?

Alicia no País da Física.

Alicia precipítase en caída libre polo tobo dun coello. Colle un tarro baleiro dun andel, e Non o quería soltar, por medo se cadra a matar a calquera que andase por baixo, e conseguiu pousalo nun dos chineiros mentres segue descendendo. O erro está en que, como os dous están caendo

libremente, se o solta caerían á mesma velocidade, e a nena tamén podería matar a alguén,

con máis razón, porque pesa máis.

Obviando a resistencia do aire e a incomodidade da temperatura no centro da Terra, Alicia por

aí anda, porque leva percorrido ...catro mil millas de fondo, coido eu..., é dicir, uns 6400 km. E,

xa sabía Galileo no século XVI que, a velocidade vai aumentando e a aceleración (forza da

gravidade) diminuíndo ata chegar ao centro da Terra; ao cruzalo, a aceleración invértese, pero

séguese de largo diminuíndo a velocidade ata chegar ao outro lado. E, volta a empezar, como

nun bambán xigantesco...

A milla anglosaxona, ou statute mile equivale exactamente a 1.609’04 metros. O radio da Terra

oscila entre 6357 km (nos Polos) e 6368 km (no Ecuador)..

A ver: Catro por cinco, doce, catro por seis, trece e catro por sete... ¡non, isto non ten xeito ningún! ¡Así non chega nunca a vinte!

A Aritmética de Carroll.xxxxx Martin Gardner dá unha explicación sinxela á progresión absurda de Alicia, tendo en conta que na escola inglesa a táboa de multiplicar remata no 12, ao seguir así: ... 4x11=18, 4x12=19; e, efectivamente, non se chega a 20.

A.L. Taylor, outro estudoso de Carroll, di que, comezando en base 18 e aumentando a base de 3

en 3, funciona o cálculo de Alicia ata chegar á base 42, na que 4 por 13 non son 20:

(18 (21 (39 (424 5 12 1 18 2, 4x6=13 1 21 3,...,4 12 19 1 39 9. Pero: 4x13 20 2 42 84x x x x x x

O País das Marabillas ten a súa Aritmética, distinta á nosa, pero mantén unha orde lóxica.

Proba disto é o xuízo á Sota de Corazóns, cando o Rei inventa o artigo 42 -É o artigo más vello do código para evitar que Alicia declare. A nena respóndelle: -Daquela tería que ser o artigo Número un.

Por certo, o artigo 42 do Código Naval en vigor para a caza de Carbairáns di que: Ninguén pode falar con Temoeiro. Por iso, o barco navega cara atrás.

Medir no País das Marabillas.

No País das Marabillas, cámbiase de tamaño constantemente, e os seus habitantes son conscientes diso. Se a Eiruga non soubese de escalas, non consideraría ofensiva a observación de Alicia sobre a medida de ambas: ...¡tres polgadas é unha altura tan ruín!.

Máis adiante, ao aplicar o artigo 42 , a Raíña non quere deixar declarar a Alicia porque mide

máis de quilómetro e medio -Se non son tres.

Dous antigos compañeiros de pupitre, a Tartaruga de Imitación e o Grifón falan do seu horario: o primeiro día son dez horas, o segundo nove (chámase dar clase porque cantas máis dás menos quedan, e cada día son menos). O undécimo día non hai clase, e pregunta Alicia: -¿E que pasará no duodécimo día?.

E, cambian de tema, porque no País das Marabillas aínda non inventaron os números negativos.

A Lóxica duns tolos merendando.

O Sombreireiro interrompe a Alicia para dicir cousas que non teñen nada que ver. Pero, a verdade é que non está tan tolo, porque o que di é coherente. Corrixe á nena, que pensa erroneamente que querer dicir o que di é o mesmo que dicir o que quere: -¡Que vai ser! –dixo o Sombreireiro-. Daquela tamén sería igual dicir “eu vexo o que como” que “eu como o que vexo”.

A Lebre de Marzo e o Leirón poñen exemplos igual de válidos que o do Sombreireiro, para

explicarlle a Alicia que non todas as relacións son simétricas.

Unha relación binaria é simétrica cando, se un elemento está relacionado con outro, o segundo tamén o está co primeiro.

Os tres comensais non queren ter compañía: -Pois non foi moi delicado que te sentaras sen que te convidaran –dixo a Lebre de Marzo. A pesar de que a mesa está posta para máis xente que tres.

O libro de Xeometría máis famoso de Lewis Carroll é unha crítica ás “Matemáticas Modernas” fronte á Xeometría de Euclides. Alicia pode ser a cuarta dimensión, que chegou sen ser convidada; e aínda hai sitio para máis: a quinta, a sexta...

-Falar podemos –dixo o Lirio Tigrino- o caso é termos con quen pague a pena.

Flores que falan. Exemplos e contraexemplos.

Despois de atravesar o Espello, Alicia atópase con flores que falan, das que ata ese intre

ignoraba a súa existencia: ...Eu teño estado en moitos xardíns e, das flores, ningunha podía falar.

A nena comete o mesmo erro do que acusaban os racionalistas aos empiristas: que as flores

non falen hoxe, non quere dicir que non o poidan facer mañá. Para invalidar a tese: “As flores

non poden falar” chega con atopar un contraexemplo, é dicir, unha flor que fale.

En Lóxica, un contraexemplo é unha excepción á regra xeral proposta.

Alicia naceu noutro século, porque senón coñecería (como coñecen os nenos e os maiores que lembran cando o foron) outro exemplo de flor que sabe falar: a Rosa do Principiño de Antoine de Saint-Exupéry.

O Principiño e os libros de Alicia son clásicos da literatura infantil, que algúns adultos len, e volven ler.

...Víanse moitos regos que o cruzaban de parte a parte e o terreo estaba dividido en cadros por sebes baixiñas e verdes que chegaban de rego a rego.

... empezas no Segundo Cadro; e ó chegares ó Oitavo Cadro, es unha Raíña...

O Xadrez do Espello.

Alicia do outro lado do espello é unha partida de xadrez que, segundo explicou Lewis Carroll

máis tarde, no tocante a movementos, foi correctamente pensado. Alicia é o Peón da Raíña Branca,

que se move da segunda fila á oitava para converterse tamén en Raíña. As arestas horizontais

dos cadros son os regos que atravesa no seu camiño, as verticais son as sebes que ve.

Esta historia é un exemplo do que puido ter sido e non foi, porque Dodgson-Carroll foi un

apaixonado do xadrez. A secuencia de xogadas é imperfecta, porque non alterna as quendas

de brancas e negras, obvia varias veces un xaque mate, e incluso, fai un movemento ilegal.

Chámase Xadrez de Alicia a unha variante do xadrez que se xoga con dous taboleiros, postos un ao lado doutro.

No País do Espello, o que vai despois faise primeiro e o que vai primeiro faise despois. Un pastel

repártese primeiro e córtase despois: ...Váinolos pasando primeiro e logo pártelos...

Unha función é simétrica respecto ao eixe 0Y, se: ( ) ( ),f x f x x

O mapa perfecto para cazar Carbairáns.

A caza do Carbairán é un poema épico que narra a fazaña da caza dun animal imposible. Este

poema é un encantador disparate, que Carroll empezou a escribir comezando polo último verso

da última estrofa.

O mapa que guiaba á tripulación era perfecto, representa o mar como ningún:

“Outros mapas con golfos, con esteiros confunden ós honrados tripulantes.xx Os nosos mariñeiros xxxxxxxxxxxxxxx non temen trampulladas semellantes, que o Capitán mercounos nun estanco un mapa que é completamente branco”.

Toda referencia, necesaria ou non, foi eliminada en prol da orde e a simplicidade.

Para que, tantos signos convencionais que dificultan a súa lectura e confunden aos tripulantes? O resultado é un mapa baleiro, unha xoia do minimalismo cartográfico!

Contos e contas.

Dodgson-Carroll foi matemático, reverendo, inventor de xogos, afeccionado ao teatro e ao

xadrez, fotógrafo; e tamén lle contou un conto a Alicia, que despois escribiu, converténdose

nun mestre da Literatura do Nonsense, nun xenio do absurdo.

Os coñecementos do creador inflúen na creación, e a Alicia creouna un matemático. Pero, a súa obra literaria non ten porque someterse a outra lóxica que a propia dunha obra de ficción, dunha historia inventada.

O autor de Alicia anotada, Martin Gardner, o filósofo matemago que non era nin matemático nin mago, escribiu: A vida, observada racionalmente e sen ilusión, parece un disparate contado por un matemático idiota. (E non se pode

dicir que non existen, despois de explicar o que é un contraexemplo).

Para rematar, outra vez Os Simpsom, filósofos do absurdo nos nosos tempos:

Isto é para ti, que como Alicia, escoitas a quen conta ben.