Artificios de Integracin

2.5 Integral de las potencias del seno y/o coseno.Primer caso.

Cuando la integral tiene la forma o bien pueden integrarse inmediatamente usando .Problema propuesto

Segundo caso.

Cuando la integral tiene la forma o bien con n impar (Ntese que la funcin trigonomtrica no est multiplicado por su diferencial). En este caso, deber descomponerse en factores de la siguiente manera: o bien y enseguida hacer las sustituciones y operaciones necesarias, tal como o bien Problema propuesto

Tercer caso.

Cuando la integral tiene la forma o bien , con n par. (Ntese que de nueva cuenta la funcin trigonomtrica no est multiplicada por su diferencial). En este caso deben usarse las siguientes identidades trigonomtricas: segn sea el caso y enseguida realizar las operaciones necesarias. Problema propuesto

Cuarto caso

Cuando la integral tiene la forma se usa la identidad .Problema propuesto

Quinto casoCuando los ngulos sean de diferentes variables, se aplicara segn corresponda alguna de las siguientes identidades.

Problema propuesto

2.6 Integral de la tangente y/o cotangente de una variable, cuando la funcin trigonomtrica esta elevada a la n potenciaPrimer caso

Cuando la integral tiene la forma o bien , se integra aplicando Problema propuesto

Segundo caso

Cuando la integral tiene la forma o bien , con , se siguen los siguientes pasos para su integracin:

Problema propuesto

3.1 Integracin mediante sustituciones trigonomtricasLas expresiones irracionales de la suma o diferencia de una cantidad variable y una constante se pueden transformar para su integracin en otra expresin mediante funciones trigonomtricas de una nueva variable. Esta nueva variable que usaremos ser z y en funcin de ella se harn los cambios necesarios teniendo en cuenta las relaciones pitagricas que se pueden establecer en las expresiones:

, , De la siguiente manera:

Problema propuesto

3.2 Integracin por partesCuando se desea integrar el producto de dos funciones, siendo estas funciones diferenciales de la misma variable, es necesario recurrir a la integracin por partes cuando a dicho producto no se le pueda integrar de otra manera, as tenemos entonces que si:

; Luego

, y entonces:

La cual se llama formula de integracin por partes. Para aplicar la formula, debe descomponerse el integrando en dos factores que son: u y dv. Debe aclararse que no hay una regla fija para determinar cul de los factores es u y cual dv, por lo que solamente cabe hacer las siguientes indicaciones:1.- El factor dv debe ser fcilmente integrable.

2.- debe ser ms sencillo que Problema propuesto

3.3 Integracin por sustituciones algebraicasAlgunas integrales que no son inmediatas pueden resolverse fcilmente si se hacen algunas sustituciones algebraicas convenientes.Problema propuesto

3.4 Integracin por fracciones parciales

Si y son polinomios, entonces a la expresin se le denomina fraccin racional. Si el grado de es menor que el grado de entonces a la fraccin se le llama propia. Es impropia cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.

Toda fraccin propia puede escribirse como la suma de las fracciones elementales de la forma .Ejemplos:

; Las fracciones propias pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fraccin dada y los numeradores no son conocidos y solo bastara investigar cual es el numerador de cada una de ellas. Tomando los anteriores ejemplos, faltando por determinar cul es el valor de A y B.Para integrar una fraccin propia se procedera as:

Luego, para encontrar los valores A y B, se igualan los dos integrandos y se resuelve la ecuacin tal como se muestra a continuacin.

; multiplicando cada trmino por ():

A continuacin, para encontrar el valor de A se anula B haciendo en la ecuacin 1 e igualmente para encontrar el valor de B se anula A haciendo en la ecuacin 2.

Para Para

Estos valores se sustituyen en la expresin original, obtenindose de esta manera:

Problema propuesto

Para Para

3.5 Integracin por fracciones parciales con denominadores cuadrticos

Cuando los denominadores de las fracciones parciales son factores cuadrticos, los numeradores debern de tener la forma , siendo A y B constantes a determinar.Problema propuesto

Para Para Para Para

Resolviendo el sistema de ecuaciones nos quedara:

Referencias: http://docentes2.uacj.mx/flopez/CURSOS_BAK/CALCULO2/Unidades/default.htmLibro de Calculo II del Mtro. Francisco Lpez de la Universidad Autnoma de Cd. Jurez