art - construcción, necesidad e intuición de esencias en geometria

Construccin, necesidad e intuicinde esencias en geometra

lvaro Julio Pelez Cedrs

resumenEn este artculo considero el antiguo problema de la dependencia de la geometra sinttica de los diagramasy la demanda de necesidad y universalidad para sus resultados. Defiendo que la fuente de esa necesidadno puede ser sino a priori, constituyendo una clase especial de intuicin que, paralelamente a la intuicinemprica ordinaria, restringida a la aprehensin de las caractersticas particulares de los objetos, pasade stas a la captacin de las propiedades esenciales compartida por una cierta clase de objetos. Intenta-r sugerir que la postulacin de esta clase de intuicin no es un mero artificio filosfico, sino que en-cuentra evidencia en la propia prctica de la geometra, especialmente en el desarrollo que esta discipli-na tuvo en el siglo xix de la mano de Poncelet y Klein, entre otros.

Palabras-clave Geometra sinttica. Construccin. Esquemas. Invariancias. A priori.

La geometra se jacta de producirtanto con tan poco tomado de fuera

(Isaac Newton, 1999 [1687], Prefacio).

Introduccin

La geometra con la que estamos familiarizados desde nuestra temprana niez, la geo-metra euclidiana, as como la extensa tradicin a la que ella dio origen, descansa en laefectuacin real de construcciones. Una parte fundamental de la demostracin de unteorema en el sistema de Euclides, la ekqsij (cuya traduccin latina fue expositio),indica la manera en que es posible construir, por as decirlo, un ejemplar de la figuraque se enuncia en la prtasij. De acuerdo con Euclides, la fuerza y conclusividad deuna prueba consiste en la posibilidad de exhibir la figura en cuestin.1

scienti zudia, So Paulo, v. 7, n. 4, p. 595-617, 2009

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1 Este principio fue adoptado y generalizado a la totalidad de las matemticas por filosfos como Kant y Peirce. Esteltimo dice en 1902: [en matemticas] es necesario hacer algo. En geometra, se dibujan lneas auxiliares. En

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Como es bien sabido, esta apelacin a la construccin de diagramas2 con finesdemostrativos dio lugar a un problema filosfico que dura hasta nuestros das, a saber,cmo se pretende que conclusiones matemticas con un pretendido valor de necesi-dad y universalidad, descansen en el trazado de figuras particulares? Las posibles res-puestas a esta pregunta incluyen las siguientes: (1) los diagramas constituyen merasherramientas heursticas, es decir, ayudas para hacer ms fcil la comprensin de unargumento expresado en enunciados, lugar desde donde genuinamente surge la prue-ba; (2) que el alcance del diagrama est determinado por las intenciones de un sujeto,extendiendo las condiciones del diagrama original a otros posibles; (3) que el alcancedel diagrama est determinado por el procedimiento de construccin especificado enel texto del argumento.

En este artculo, deseo defender una variante de (2). Es claramente una variantedado que parto del reconocimiento de que tal como est el criterio es abiertamenteinsuficiente, pues las intenciones que determinaran el alcance del diagrama puedenvariar de sujeto a sujeto, lo que conducira al mismo problema con el que comenzamos.Lo que necesitamos es que la extensin de la validez de las propiedades dadas en eldiagrama particular sea algo independiente de condiciones subjetivas, de modo tal aobtener la universalidad y necesidad requeridas en el orden de las propiedades mate-mticas atribuibles a una clase de objetos geomtricos. Esta fuente de necesidad nopuede ser sino a priori, constituyendo una clase especial de intuicin que, paralela-mente a la intuicin emprica ordinaria, restringida a la aprehensin de las caracte-rsticas particulares de los objetos, pase de stas a la captacin de las propiedades esen-ciales compartida por una cierta clase de objetos.

Esta idea de una intuicin de esencias o intuicin sofisticada, como tambin lallamar siguiendo una terminologa propuesta por Felix Klein , que acompaa la in-tuicin emprica y que est dirigida a las propiedades universales y necesarias que ha-cen que una representacin particular sea lo que es, no es nueva por supuesto. Se re-monta al menos a Platn y a la fundamentacin filosfica de la geometra euclidianapor parte del neoplatnico Proclo en el siglo v d.C. Est tambin en Kant y se articulaabiertamente en la filosofa de Husserl.

lgebra se practican transformaciones permitidas. A continuacin entran en juego las facultades de observacin(Peirce, 1974 [1902], p. 4). La idea fundamental de Peirce es que las matemticas no proceden nicamente siguiendocadenas estrictamente deductivas, lo que l llama pensamiento corolario, sino realizando construcciones e inves-tigando las propiedades de las mismas, lo que llama pensamiento teoremtico.2 Uso diagrama para referirme a las figuras geomtricas trazadas en el papel por cualquiera implicado en la prcticageomtrica. As, tambin utilizo simplemente el trmino figura para mentar lo mismo.

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Construccin, necesidad e intuicin de esencias en geometra


Dado que la versin de esta idea que defender aqu se nutre especialmente delas perspectivas de estos dos ltimos filsofos,3 mi proceder ser histrico-filosfico.Expondr parte de la historia de esta nocin al mismo tiempo que argumentar a sufavor. Intentar sugerir que la postulacin de esa clase de intuicin no es un mero ar-tificio filosfico, sino que encuentra evidencia en la propia prctica de la geometra.

1 La FANTASIA en el conocimiento geomtrico antiguo

En la geometra, hay una antigua distincin entre dos tipos de mtodos de demostra-cin. Por un lado, est el mtodo que consiste en suponer un resultado deseado que sepuede alcanzar, por ejemplo, en suponer que hemos tenido xito en hacer una ciertaconstruccin, en el sentido corriente de construccin. Luego, a partir de estas supo-siciones se argumenta hacia atrs, por as decirlo, hacia las condiciones a partir delas cuales la construccin es posible y hacia las maneras en las que se puede realizar.Este mtodo se llama analtico. A veces fue atribuido a Platn, pero no se emple engran escala, explcita y sistemticamente, hasta la geometra analtica de Descartes,cuyo mismo nombre se deriva del mtodo analtico en cuestin. El otro mtodo erael mtodo sinttico. Su aplicacin consiste en tratar de producir el resultado deseadomediante la efectuacin real de construcciones, y lo que es ms importante, que dichaconstruccin procede desde elementos simples a partir de un conjunto fijo de reglas.Aquello que distingue a los dos mtodos, por lo tanto, es de manera general el hecho deque en el mtodo analtico no se hacen construcciones mientras que el mtodo sint-tico se basa en el empleo de construcciones reales de acuerdo con reglas fijas.4

El paradigma clsico de la utilizacin del mtodo sinttico en geometra se en-cuentra en los Elementos de Euclides. Estos comienzan con 23 definiciones, en las cua-les se definen la mayora de los trminos bsicos, cinco postulados y cinco nocionescomunes. Los postulados posibilitan que se realicen ciertas construcciones geom-tricas: unir dos puntos con una lnea, trazar un crculo con cualquier radio y con centroen cualquier punto etc. Las nociones comunes son deducciones permisibles o reglasde inferencia aplicables fuera de las matemticas: dos cosas que son iguales a una ter-

3 Tambin en Peirce, en la forma en que concibe los diagramas como una subclase especial de los signos, hay algosemejante a esta capacidad de intuir relaciones esenciales. Por razones de espacio, slo considerar aqu lasaportaciones de Kant y Husserl y dejar a Peirce para otra oportunidad.4 Para aclarar aun ms la diferencia entre los mtodos sinttico y analtico en geometra, podra utilizarse laterminologa de causas y efectos. En el razonamiento sinttico, se procede desde las causas a sus efectos, en el ana-ltico de los efectos a sus causas.

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cera, son iguales entre s; si cantidades iguales se agregan a cantidades iguales, los re-sultados son iguales etc.

Cul es la estructura de una proposicin en la geometra de Euclides? Primerohay una enunciacin de una proposicin general. Por ejemplo, en la proposicin 20 delos Elementos, dice: en todo tringulo dos lados tomados juntos de cualquier manerason mayores que el restante (Euclides, 2000, p. 43). Esta parte de la proposicin fuellamada prtasij. Pero Euclides jams procede nicamente sobre la base de la enun-ciacin. En cada proposicin, indica a continuacin la manera en que es posible cons-truir, por as decir, un ejemplar de la figura que se enuncia en la prtasij. Estaconstruccin equivale a una verdadera demostracin de la proposicin en cuestin.Dice a continuacin de la proposicin 20: pues, sea ABG un tringulo. Digo que doslados del tringulo ABG tomados juntos de cualquier manera son mayores que el res-tante, los lados BA, AG (mayores que) BG, los lados AB, BG (mayores que) A, y loslados BG, GA (mayores que) AB (Euclides, 2000, p. 43). Esta parte de una proposi-cin euclidiana era llamada ekqsij o exposicin.

La exposicin o ekqsij est estrechamente ligada con la parte que sigue, o ter-cera parte, de una proposicin euclidiana, la construccin auxiliar. Esta parte era a me-nudo llamada de preparacin u organizacin (kaqaskeuh). Consista en declarar que lafigura construida en la exposicin tena que ser completada mediante el trazado dealgunas lneas, puntos y crculos adicionales. En nuestro ejemplo, la preparacin diceas: Prolnguese por el otro lado BA hasta el punto D, y hgase AD igual a GA y tr-cese DG (Euclides, 2000, p. 43).

La construccin era seguida por la apodeixij o prueba propiamente dicha. Enesta no se realizaban ms construcciones. All tena lugar una serie de inferencias queconcernan a la figura que haba sido introducida en la exposicin y completada en laconstruccin auxiliar. Estas inferencias hacan uso de axiomas, proposiciones ante-riores y de las propiedades de la figura que se seguan del modo en que la figura esta-ba construida.

Despus de haber alcanzado la conclusin deseada acerca de la figura particular,Euclides regresaba otra vez a la enunciacin general, diciendo, por ejemplo, por con-siguiente, en todo tringulo dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayo-res que el restante (2000, p. 44).

Como mencion en la introduccin, el mtodo de la geometra sinttica antigua,que acabo de exponer, heredado a sus desarrollos posteriores, presentaba una carac-terstica peculiar: por un lado, se reconoca la fundamental importancia que las cons-trucciones jugaban en el establecimiento de las verdades geomtricas y, por el otro, secrey firmemente que sus resultados carecan de la ambigedad y falta de determina-

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cin caracterstica del conocimiento sensible, es decir, que sus resultados se seguancon necesidad y certeza absolutas.

Los primeros que reflexionaron acerca de este problema fueron Platn y Aris-tteles. De la consideracin de esos dos aspectos del conocimiento geomtrico, Platnderiv una concepcin que sostena que las proposiciones de la geometra tratan acer-ca de objetos de un mundo inmaterial y eterno, y cuyo conocimiento se obtena a travsde de una facultad que, utilizando las representaciones sensibles, se concentraba enlas propiedades esenciales de las mismas. As, dice en un pasaje de Repblica:

Sabes, por consiguiente, que se sirven de figuras visibles y hacen discursos acer-ca de ellas, aunque no pensando en stas sino en aquellas cosas a las cuales stasse parecen, discurriendo en vista al cuadrado en s y a la diagonal en s, y no envista de la que dibujan, y as con lo dems. De las cosas mismas que configuran ydibujan hay sombras e imgenes en el agua, y de estas cosas que dibujan se sirvencomo imgenes, buscando divisar aquellas cosas en s que no podran divisar deotro modo que con el pensamiento (Platn, 1986, p. 336).

Es decir, bajo la influencia del desarrrollo que el mtodo sinttico haba tenidodesde Tales y Pitgoras hasta el siglo v a.C., el cual poda ser visto como un desarrolloprogresivo de la capacidad operativa de construir figuras, Platn no dudaba que sobreesas construcciones descansaba la naturaleza del procedimiento geomtrico mismo,pero al mismo tiempo crea que las verdades geomtricas no podian serlo de un mundode apariencias cambiantes, por lo que postula esa mirada del pensamiento que atiendea los modelos o ideas puras que esas construcciones sensibles se encuentran repre-sentando. Lo que interesa sealar es que este ver con los ojos de la mente no equivale auna mera contemplacin de verdades ya hechas, sino a una construccin de las mis-mas siguiendo un procedimiento estrictamente deductivo.

Desde el punto de vista de Aristteles, en tanto, las construcciones son esencia-les para el conocimiento geomtrico, porque todo conocer es en acto, implica la actua-lizacin de una serie de propiedades que no existen ms que potencialmente en unasituacin dada. En la Metafsica, dice:

El acto tambin nos revela los teoremas geomtricos, ya que estos se hallan divi-diendo. Si se presentaran como divisiones ya hechas, los veramos inmediata-mente, pero slo se dan en potencia. Por qu los ngulos del tringulo equiva-len a dos rectos? Porque los ngulos formados alrededor de un solo punto soniguales a dos ngulos rectos. Por lo tanto, si se trazara la lnea paralela respecto a

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un lado, con un simple vistazo resultara obvio el teorema. As pues, es evidenteque las figuras en potencia se revelan ante nuestros ojos cuando las hacemos pa-sar al acto. La causa de ello es que su actualizacin es el pensamiento; por lo tan-to, el acto procede de la potencia y, por eso, el conocimiento se adquiere constru-yendo (Aristteles, 2008a, p. 289-90).

Pero, desde el punto de vista de Aristteles, sobre qu versa el conocimientogeomtrico? En su opinin, los objetos matemticos son cosas que surgen por, en o atravs de un proceso de eliminacin. En el captulo v de libro 1 de los Analticos segun-dos (2008b), Aristteles comienza con una figura geomtrica perceptible particular.Lo que es eliminado es su particularidad misma y todo lo que viene con ella, incluyen-do su ser perceptible. Lo que queda es un universal de alguna clase.

Mucho se ha discutido acerca de si el resultado de ese proceso de abstraccinconstituye una entidad de alguna clase, o se trata simplemente de la misma entidadoriginal aunque considerada desde otro punto de vista, a saber, desde el punto de vistade la expresin de propiedades universales. Esta ltima interpretacin es la que pare-ce ser ms plausible. Parece que Aristteles estaba concibiendo este pensar por eli-minacin como una facultad especial que considera a las propiedades particulares deuna figura como incidentales, como meros accidentes. De acuerdo con Heath (1949),para Aristteles, el trmino grfein significa tambin probar y, por lo tanto, noslo trazar una figura. El arte de trazar figuras est esencialmente conectado con unmovimiento inferencial de carcter descriptivo que implica una prueba intelectual conalcance universal, pues el proceso mismo de descubrimiento o construccin est acom-paado por uno de eliminacin de las propiedades accidentales.

Pero quien llev a cabo una fundamentacin filosfica detallada del procedimien-to constructivo de Euclides en el mundo antiguo fue Proclo, a quien quiero referirme acontinuacin.

Segn Proclo, los objetos matemticos no son objetos intelectuales puros, sinoque ocupan una posicin intermedia entre aqullos, los cuales tienen el atributo de lasimplicidad absoluta, y los objetos sensibles. Son inferiores a los primeros en la me-dida en que poseen una clase de extensin y pluralidad, pero son superiores a los se-gundos en tanto que son ms precisos y reflejan ms cuidadosamente el mundo inte-lectual. En virtud de su pluralidad y extensin, poseen un aspecto sensible, pero, entanto carentes de materialidad, constituyen imgenes que imitan en su forma dividi-da lo indivisible y, en su naturaleza multiforme, los patrones uniformes del ser (Proclo,1970, p. 4). Esto excluye, desde el punto de vista de Proclo, cualquier posibilidad deque dichos objetos sean derivados de los sentidos, por alguna clase de proceso de abs-traccin o induccin.

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Los dos principales argumentos que Proclo esgrime contra la posibilidad de quelos objetos matemticos provengan de los sentidos son, en primer lugar, la notoriaprecisin, estabilidad y falta de ambigedad de las formas matemticas como opuestoal carcter cambiante, impreciso e indeterminado de los objetos sensibles; en segun-do lugar, y de mayor importancia para nuestro asunto, el carcter general de las formasmatemticas, que posibilita extraer de ellas en los razonamientos conclusiones tam-bin de carcter general, en tanto opuesto a la particularidad de los objetos sensibles.Proclo encuentra ininteligible pensar que las pruebas matemticas no posean un al-cance universal, lo cual quedara excluido si se considera, en sus premisas, objetossensibles particulares. Dice sobre esto:

Si un hombre demuestra que el tringulo issceles tiene la suma de sus ngulosigual a la de dos ngulos rectos, y que lo mismo es cierto de los tringulos escalenosy equilteros, l no comprende propiamente esas proposiciones; antes bien, esl quien demuestra acerca de cualquier tringulo, sin calificacin, lo que sabe enel sentido estricto del trmino (Proclo, 1970, p. 12).

Ahora bien, si los objetos matemticos no derivan de los sentidos, de dnde lohacen? Responde Proclo: Si las formas matemticas no existen por abstraccin decosas materiales o por la reunin de caracteres comunes a los particulares, ni naceny son derivadas de objetos sensibles, por necesidad el alma debe obtenerlas o bien des mismas o del nous, o de ambas mediante una clase de inteligencia superior (1970,p. 13).

Dado que, desde su punto de vista, los objetos matemticos exhiben una estruc-tura normativa, estos no pueden surgir nicamente del entendimiento, sino que el nousdebe participar en su generacin. Asimismo, debido a que las formas encerradas en elnous poseen esa naturaleza normativa, lo que significa que ofician como patrones paratodas las cosas, existe una necesidad constitutiva mediante la cual las formas en el nousse actualizan en los objetos matemticos. Existe, en opinin de Proclo, una relacinprofunda entre entendimiento y nous segn la cual este ltimo siempre determina elcontenido del primero. El entendimiento reproduce en sus propios trminos, esto es,de manera discursiva, el contenido intelectual del nous.

En el caso especfico de la geometra, Proclo mobiliza el rol jugado por la imagi-nacin. Esta se vuelve necesaria debido a que ocupa una posicin intermedia entre lasformas de conocimiento superiores y las inferiores, esto es, entre el conocimiento in-telectual y la percepcin sensorial. Dado que, segn Proclo, los objetos matemticosen su aspecto puro se encuentran, por as decirlo, encerrados en la inteligencia, esnecesario, para volverlos manifiestos y verdaderos objetos de conocimiento, una fa-

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cultad que les provea de una forma sensible pero que, a la vez, capture las propiedadesformales puras de dichos objetos. Esa facultad es la facultad de imaginacin, que escapaz de producir esas representaciones en virtud de su naturaleza hbrida. Dice Proclo:

Cuando traza sus objetos desde el centro indivisible de su vida, los expresa en elmedio de la divisin, extensin y figura. Por esta razn, todo lo que concibe esuna imagen o una forma de su pensamiento. Concibe al crculo como extenso, yaunque este crculo es libre de materia externa, posee una materia inteligible su-ministrada por la imaginacin misma. Esta es la razn por la que hay ms de uncrculo en la imaginacin, como hay ms de un crculo en el mundo sensible;porque con la extensin tambin aparecen diferencias en medida y nmero en-tre crculos y tringulos. Si, entonces, en los crculos sensibles hay un universalque hace a cada uno de ellos un crculo y a todos semejantes entre si debido a quese conforman a una idea simple, difiriendo, sin embargo, en la medida y en suobjeto subyacente, del mismo modo, en los crculos imaginarios hay un elemen-to comn en el cual ellos participan y en virtud del cual todos tienen la mismaforma (1970, p. 42).

La imaginacin, entonces, debe poseer, de acuerdo con Proclo, un elemento in-telectual normativo, dado que produce esa clase de representaciones que, aunque concaracteres particulares, exhiben un rasgo comn que las hace pertenecer a una clase deobjetos. El razonamiento geomtrico, basado en la imaginacin o en esa clase de in-tuicin sofisticada, facilita que los conceptos encerrados en la inteligencia sean des-plegados para ser conocidos. Esto justifica tambin el uso de los diagramas. Dice Proclo:y esto es por lo que usamos diagramas para ilustrar la estructura y construccin defiguras, sus divisiones, posiciones y yuxtaposiciones (1970, p. 45).

As, para Proclo, los objetos matemticos poseen, por un lado, en virtud de suevidente pluralidad, un aspecto sensible aunque no material y, por el otro, en virtud deque se encuentran determinados por las formas puras provenientes del nous, uno in-telectual. Esto garantiza que las demostraciones que se llevan a cabo en dicha discipli-na tengan un alcance universal.

2 Intuicin pura, imaginacin y esquemasen la filosofa de la geometra de Kant

En esta seccin deseo sugerir una interpretacin de la filosofa de la geometra de Kantque abogar a favor de mi tesis original acerca de la necesidad de pensar una facultad

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especial de intuicin como fuente de necesidad del conocimiento geomtrico. Comohe dicho antes, dado que mi inters consiste en mostrar cmo dicho requerimiento seexplica en funcin de la produccin de una clase especfica de conocimiento geom-trico, comenzar con una breve exposicin sobre el estado de la investigacin en dichadisciplina en el siglo xviii.

Al comienzo de la seccin anterior caracterizamos el mtodo de la geometra sin-ttica como aqul que parte de ciertos elementos primitivos y se eleva, mediante elrecurso a las construcciones reales, hacia el establecimiento de ciertas verdades sobreun determinado dominio de figuras geomtricas. Asimismo, sealamos all que esterecurso a las construcciones, aunado a la creencia de que los resultados all obtenidostenan un estatus no emprico, condujo a labores de fundamentacin filosfica que echa-ron mano del recurso a la postulacin de una clase de facultad que explicara, tanto laapelacin al trazado de los diagramas, como el estatus de necesidad de sus resultados.

Ahora bien, ulteriores problemas surgieron cuando los gemetras se percataronde que esta dependencia de las construcciones literales, es decir, de los particularesque se construyen con regla y comps en el encerado, conduca a dos hechos inacepta-bles prima facie, a saber, que aquellas cosas que manifestaban caractersticas visiblesdiferentes no pudieran ser subsumidas bajo un concepto simple; y la carencia de uni-dad en los principios constructivos de la geometra.

Esta situacin comenz a revertirse con el trabajo de Descartes, quien plantede una manera explcita el principio de que todas las expresiones particulares del pen-samiento han de presentar un orden y conexin definida. No es el contenido de unpensamiento dado lo que determina su valor cognoscitivo, sino la necesidad mediantela cual se deduce desde primeros principios en una secuencia ininterrumpida. La pri-mera regla de todo el conocimiento racional es, entonces, que las cogniciones seanordenadas formando una serie autocontenida dentro de la cual no hay transiciones no-mediadas. Ningn miembro puede ser introducido como un elemento enteramentenuevo, sino que cada uno ha de surgir paso a paso desde miembros anteriores de acuerdocon una regla.

Este pensamiento fundamental de Descartes demand y condicion una nuevaconcepcin de la geometra. El conocimiento geomtrico, en sentido estricto, no seencuentra donde los particulares son estudiados como objetos aislados, sino slo dondela totalidad de esos objetos puede ser constructivamente generada de acuerdo a un pro-ceso dado. La geometra sinttica antigua viola este postulado, porque su objeto es lafigura espacial aislada cuyas propiedades se aprehenden en la intuicin sensible in-mediata, pero cuya conexin sistemtica con otras figuras nunca puede ser represen-tada completamente. En este punto, de acuerdo con Descartes, la geometra slo pue-de ser completada a travs de su determinacin por medios aritmticos. El fin del

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mtodo filosfico consiste en concebir a todos los objetos con la misma conexin sis-temtica que poseen los objetos aritmticos.

Ahora bien, en el desarrollo posterior, la geometra nunca se iba a apartar deeste principio cartesiano fundamental. Sin embargo, s lo hara en relacin a otro puntode fundamental importancia, a saber, la algebrizacin cartesiana de la geometra, conla consiguiente restauracin del papel de la intuicin en las cuestiones propiamentegeomtricas. Ya Leibniz haba criticado a la geometra analtica por introducir un ele-mento arbitrario en la determinacin de las figuras espaciales, a saber, los diferentessistemas de coordenadas y sus diferentes ecuaciones, orientando su propia investiga-cin al campo de lo propiamente geomtrico.5 Desde el punto de vista de la que luegose llamara, en el siglo xix, geometra de la posicin o proyectiva, y que en el siglo xviino se distingua nominalmente de la geometra euclidiana, lugar desde donde se operla divergencia con la geometra analtica, no es cuando limitamos la intuicin y busca-mos reemplazarla por meras operaciones de clculo que obtenemos las verdaderasconstrucciones lgica y estrictamente deductivas de la ciencia del espacio, sino cuan-do colocamos a la intuicin en su completo alcance e independencia.

El problema fundamental al cual se enfrentaron los gemetras del siglo xvii, pro-blema que, por otra parte, ya haba sido planteado por Alberti, fue: qu propiedadesgeomtricas tienen en comn dos secciones de la misma proyeccin de una figura ac-tual? El primero que dio una respuesta a esta pregunta en trminos sistemticos fueGirard Desargues (1591-1661).

Un aspecto importante de su sistema geomtrico fue la introduccin de elemen-tos imaginarios6 en el plano euclidiano. Esto fue posible por su tratamiento de las l-neas paralelas, las cuales concibi como un caso de lneas que se intersecan en un puntoen comn, el punto de interseccin, el cual era trasladado al infinito. A su vez, esto locondujo a uno de sus resultados ms conocidos, el ahora llamado teorema de Desar-gues. A este deben agregarse, entre otros resultados, el concepto de involucin (quehaba sido introducido por Papo de Alejandra), y el de conjunto armnico de puntos.

En mi opinin, la cuestin acerca de la introduccin de elementos imaginariosen el sistema geomtrico no tiene nicamente una importancia fundamental desde elpunto de vista de la historia de las matemticas, sino tambin desde un punto de vista

5 En una carta a Christian Huygens, de 1679, Leibniz dice: [] pero, a pesar de los progresos que he hecho en esasmaterias, no estoy todava satisfecho con el lgebra, debido a que no provee con los mtodos ms breves o lasconstrucciones ms bellas de la geometra. Esto es por lo que creo que, en la medida en que la geometra est implicada,necesitamos otro anlisis que sea distintivamente geomtrico o lineal y que exprese la posicin (sytus) directamenteal igual que el lgebra expresa directamente la magnitud (Leibniz, 1970, p. 249). Su propia aportacin al campo seencuentra en el proyecto de un Analysis situs. Cfr. el ensayo del mismo nombre en (1970).6 El concepto de puntos al infinito haba sido introducido explcitamente por primera vez por Kepler en su obra de1604, La parte ptica de la astronoma.

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epistemolgico. Dicha importancia radica en que revolucion el modo de entender lacuestin de la naturaleza de las representaciones geomtricas. Por ejemplo, si consi-deramos un crculo y una lnea recta que lo interseca, podemos transformar este siste-ma geomtrico mediante desplazamientos continuos de una manera tal que finalmen-te la lnea recta queda completamente fuera del crculo, de modo que las interseccionesy las direcciones de los radios que corresponden a ellas han de ser expresadas por va-lores imaginarios. La coordinacin de la figura deducida con la original ya no conectaelementos que son actualmente presentes y observables, sino elementos meramenteintelectuales; se ha resuelto en una correlacin ideal. En esta visin, el objeto real de lainvestigacin geomtrica no es la forma individual en su existencia sensorial, sino lasdiversas clases de dependencia que pueden subsistir entre las formas.

Con este contexto en mente, veamos ahora algunas ideas de Kant acerca de lafuente y justificacin del conocimiento geomtrico. De acuerdo con la distincin en-tre los usos de la razn que Kant establece en la Doctrina transcendental del mtodo, elconocimiento filosfico es conocimiento racional derivado de conceptos, mientras queel conocimiento matemtico lo es por construccin de conceptos.7 Veamos un poco msde cerca qu nos dice Kant acerca de esas construcciones. Dice:

Para construir un concepto hace falta, pues, una intuicin no emprica que,consiguientemente, es, en cuanto intuicin, un objeto singular, a pesar de lo cual,en cuanto construccin de un concepto (representacin universal), tiene que ex-presar en su representacin una validez universal en relacin con todas las posi-bles intuiciones pertenecientes al mismo concepto (Kant, 1988, A714-B742).

De acuerdo con un presupuesto fundamental de la filosofa kantiana, a todo con-cepto debe corresponderle una intuicin, la cual, por supuesto, viene suministradapor la sensibilidad. En el caso de las matemticas, que procede constructivamente enrelacin a todos sus conceptos, sus intuiciones han de proveerse a priori. Dado que lamisma constituye el objeto que otorga significado al concepto y as el objeto al que esterefiere, esta no puede ser una mera representacin particular, sino, como dice Kant,una que exprese las propiedades compartidas por todas las intuiciones pertenecientesal mismo concepto. Al hablar de propiedades compartidas, aclara Kant unas lneas msabajo, no nos referimos a las propiedades prescindibles de una cierta clase de objetos,

7 Jaakko Hintikka ha afirmado correctamente que Kant recibi una inspiracin directa del proceder de la geometrasinttica no slo para articular su elucidacin del conocimiento matemtico, sino tambin de su modelo epistemo-lgico en general. No obstante, como se notar a continuacin, discrepo con su interpretacin de Kant, la cual hacenfasis en que Kant est pensando en particulares cuando habla de construcciones en la intuicin pura. Para unadiscusin ms detallada del punto de vista de Hintikka, vase Cedrs, 2008.

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como seran, en un tringulo, la magnitud de los lados y de los ngulos, sino a las pro-piedades universales y necesarias de los mismos. Esta intuicin, segn l, apuntasiempre al simple acto de construir el concepto (A714-B742), esto es, constituye unarepresentacin cuyo fin es la expresin de un concepto. Por ello no puede ser mera-mente particular.

Esta representacin intuitiva pero determinada conceptualmente, la cual cons-tituye el objeto del concepto, y es construida, en palabras de Kant sin tomar el modelode una experiencia (A714-B742), es el esquema del concepto. As lo expresa Kant enel mismo apartado: Por ello, as como este singular se halla determinado por ciertascondiciones universales de la construccin, as tambin el objeto del concepto, al quedicho singular corresponde como su mero esquema, tiene que concebirse como uni-versalmente determinado (A714-B742).

Desde el punto de vista de los desarrollos en geometra proyectiva que comen-tamos anteriormente, esto tiene pleno sentido. En tanto objetos concretos, las figu-ras geomtricas son diferentes, pero a nivel abstracto son las mismas. Por ejemplo, elcubo y el octaedro son objetos intuitivamente diferentes. No obstante, sus respectivosgrupos de automorfismos tienen la misma estructura algebraica, por lo que decimosque uno es el dual del otro. Y lo mismo ocurre con el dodecaedro y el icosaedro. Cons-tituyen, al igual que los puntos al infinito que mencionamos antes, objetos imagina-rios, ideales, constructos abstractos que expresan propiedades universales determi-nadas conceptualmente.

Por ello, tambin es natural que Kant considere el papel de la imaginacin en laconstruccin de los objetos matemticos. En las Observaciones generales sobre la estti-ca trascendental, Kant se pregunta acerca de las proposiciones de la geometra: dednde sacamos semejantes proposiciones y en qu se apoya nuestro entendimientopara llegar a tales verdades absolutamente necesarias y universalmente vlidas? (B64-A47). Y la respuesta es que un conocimiento de ese tipo slo podra obtenerse de dosfuentes, a saber, intuiciones o conceptos. Una vez que ambos estn dados a priori o aposteriori, debemos considerar cada una de estas opciones. Es claro que, si como Kantparece creer (y nadie en el siglo xviii creera lo contrario),8 la geometra es una disci-plina constituida por verdades universales y necesarias, no podra derivar sus propo-siciones de conceptos empricos y de sus intuiciones correspondientes, pues dicha cosaconvertira a la geometra en una disciplina irremediablemente emprica. Slo que-

8 En el siglo xix en cambio, el surgimiento de las geometras no-euclideanas hizo pensar a algunos que la geometrapodra ser emprica. Lobachevsky llev a cabo un experimento con datos astronmicos para determinar la constantede su geometra. Us un tringulo formado por Sirio, Rigel y la estrella 29, pero el defecto era demasiado pequeopara ser significativo. Sobre ese punto, Cfr. Torretti (1978), p. 63-4.

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dan las opciones de que el conocimiento geomtrico se derive o bien de conceptos obien de intuiciones a priori. Lo primero es desechado apelando a la definicin de ana-liticidad y a la imposibilidad de explicar un juicio de la geometra en base a dicha idea.Entonces, la nica opcin que queda es considerar que las proposiciones de la geome-tra se derivan de intuiciones puras. Pero aqu Kant plantea una distincin, dice: Pero,de qu clase de intuicin pura se trata: a priori o emprica? (A48-B65). En mi opi-nin, una intuicin pura emprica sera una representacin inmediata de un momen-to particular del tiempo o un espacio particular no actual, por ejemplo, la representa-cin que puedo tener en el momento en que escribo este trabajo de las turbias aguasdel Ro de la Plata. Se trata de una representacin independiente de la experiencia delcaso, pero no independiente de toda experiencia. Y es posible por la intervencin de lafacultad de imaginacin, aunque de una imaginacin puramente reproductiva. Asi-mismo, se tratara de una representacin que no es universalmente vlida, sino de unaque tiene una validez puramente subjetiva. Por otro lado, una intuicin pura a priorisera una representacin que surge como una necesidad de la forma pura de la sensibi-lidad, independientemente de los caracteres sensibles pasados o actuales, aunque nocompletamente independiente de toda clase de representacin sensible. La facultadque interviene en esta construccin es tambin la imaginacin, aunque en este caso sunaturaleza es esencialmente productiva. Dice Kant: en esta sntesis sucesiva de laimaginacin productiva se basan, para producir las figuras, las matemticas de la ex-tensin (geometra) con sus axiomas (B204). Es decir, la geometra procede desdeciertos elementos bsicos o primitivos, regida por sus axiomas, para producir objetosimaginarios, ideales, representaciones que aprehenden las propiedades universalesde una clase de figuras. Construye, para volver nuevamente a la terminologa especfi-ca kantiana, esquemas. Veamos un ejemplo de Kant que ilustra, tanto su nfasis en lanecesidad de las construcciones, como el carcter universal del resultado obtenido.

El ejemplo es extrado de la Doctrina trascendental del mtodo, de su discusinsobre la diferencia entre mtodo filosfico y mtodo matemtico. All dice:

Demos al filsofo el concepto de tringulo y dejmosle que halle a su manera larelacin existente entre la suma de sus ngulos y un ngulo recto. [] Dejmosque sea ahora el gemetra el que se ocupe de esta cuestin. Comienza por cons-truir en seguida un tringulo. Como sabe que la suma de dos ngulos rectos equi-vale a la de todos los ngulos adyacentes que pueden trazarse desde un punto sobreuna lnea recta, prolonga un lado del tringulo y obtiene dos ngulos adyacentesque, sumados, valen dos rectos. De estos dos ngulos divide el externo trazandouna paralela al lado opuesto del tringulo y ve que surge de este modo un nguloadyacente externo igual a uno interno; y as sucesivamente (A717-B745).

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Lo que Kant est describiendo aqu es la siguiente construccin:

E

A

B C D

E

A

B C D

Dado un tringulo ABC, se prolonga el lado BC a D y luego se traza CE paralela aAB. Entonces uno nota que a = a y b = b, de modo que a + b + g = a+ b + g = dos rectos.Luego agrega Kant: A travs de una cadena de inferencias y guiado siempre por la in-tuicin, el gemetra consigue as una solucin evidente y, a la vez, universal del pro-blema (A717-B745).

Permtaseme, para terminar mi argumento acerca del carcter no particular delas representaciones asociadas con las construcciones en geometra, considerar algu-nas de las observaciones de Kant sobre la naturaleza de dichos esquemas. En la seccinsobre el esquematismo de los conceptos puros del entendimiento de la Crtica de larazn pura, Kant parte del reconocimiento de que los esquemas son producto de la ima-ginacin, pero enfatiza de inmediato que, dado que la imaginacin tiene aqu la fun-cin de sintetizar una multiplicidad de intuiciones, su resultado no puede ser una in-tuicin particular. As, un esquema ha de ser distinguido cuidadosamente de unaimagen, la cual en sentido estricto lo es siempre de un objeto particular. En el ejemploque proporciona Kant, los cinco puntos . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . constituyen una imagen, una re-presentacin sensible del numero cinco, lo que no quiere decir que constituya, desdesu punto de vista, la intuicin relacionada con el concepto de cinco. A favor de ello,alega Kant que dicha representacin particular nunca podra ser comparada con el con-cepto. Es decir, nunca podra constituir el objeto genuino de referencia del concepto.Y ejemplifica una vez ms con un caso tomado de la geometra:

Ninguna imagen de un tringulo se adecuara jams al concepto de tringulo engeneral. En efecto, la imagen no alcanzara la universalidad conceptual que haceque el concepto sea vlido en relacin con todos los tringulos, sean rectngulos,oblicungulos, etc., sino que siempre estara limitada a una sola parte de esa es-fera. El esquema del tringulo no puede existir ms que en el pensamiento, y

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significa una regla de sntesis de la imaginacin respecto de figuras puras en elespacio (A141-B180).

Desde mi punto de vista, aunque Kant se muestre ciertamente pesimista en tor-no a la cuestin de qu sean esos esquemas y cual sea la clave de su comprensin, elenunciado final del prrafo citado es profundamente significativo. En mi opinin, noslo explica algunos de los avances, aunque incipientes, en el desarrollo de la geome-tra de su poca, sino que dicha explicacin puede aplicarse a desarrollos posterioresen la misma lnea.

3 El desarrollo de la geometra proyectiva en el siglo xixy el concepto de Wesenerschauung de Husserl

Permtaseme retomar la historia que inici en las secciones anteriores. Los siguientesnombres de importancia en el desarrollo de la geometra de la posicin o proyectivafueron los de Poncelet, Plcker, Gergonne, Grassman y von Staudt; el problema al quese enfrentaron, el mismo que haba preocupado a Desarges y Pascal, la justificacin delos elementos imaginarios. Por mor de la brevedad, slo considerar al primero dedichos nombres. Poncelet hizo esfuerzos importantes por justificar la introduccin delos elementos imaginarios en los sistemas geomtricos, pero problematiz al mismotiempo la dependencia de la geometra sinttica de los diagramas explcitamente tra-zados. Reconociendo la superioridad de los mtodos algebraicos en el tratamiento delos problemas geomtricos, pero interesado al mismo tiempo por retornar al ideal delo geomtrico como la teora de lo propiamente espacial, se pregunt si la geometrasinttica no podra incorporar mtodos tan potentes y efectivos como los del lgebra,embarcndose en una reinterpretacin de los contenidos de la geometra.

El primer rasgo importante que Poncelet observ en el lgebra es que esta operacon signos abstractos. Dice al respecto:

El lgebra emplea signos abstractos, representa magnitudes absolutas mediantecaracteres que no tienen valor en s mismos, y que permiten a dichas magnitudestoda la indeterminacin posible; por consiguiente, operan y razonan forzosamentetanto sobre signos de no-existencia como sobre cantidades absolutas y reales: ay b, por ejemplo, representan dos cantidades cualesquiera, y es imposible enel curso del clculo, recordar y reconocer cul es el orden de sus magnitudesnumricas; a pesar de ello, somos llevados a razonar sobre las expresiones

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a b, ba etc., como si se trataran de cantidades siempre absolutas y reales.Los resultados deben, por consiguiente, participar de esta generalidad, y se ex-tiende a todos los casos posibles, a todos los valores de las letras que se introdu-cen; de esta manera, son estas formas extraordinarias, estos seres de razn, queparecen ser la posesin exclusiva del lgebra (Poncelet, 1822, p. xx-xxi).

Poncelet agrega que todas las disciplinas que empleen este mismo tipo de signosabstractos estarn en situacin de explotar las ventajas del anlisis algebraico y, si nolo han hecho, como la geometra sinttica, es porque se ha estado aferrado dogmti-camente al uso y significado de los diagramas. Sin embargo, no se trata finalmente deborrar la frontera entre geometra sinttica y analtica, sino de reinterpretar el uso y lasignificacin de los diagramas empleados en la primera.9 El paso dado por Ponceletconsiste en no tomar a un diagrama particular dado como el objeto de estudio de lageometra, sino antes bien como un signo complejo cuyos componentes pueden seroperados sin tomar en cuenta las particularidades que se siguen de sus caracteresvisualizables, y de all obtener propiedades generales de las figuras. Ms especfica-mente, Poncelet argument que en los casos en los cuales una forma persiste, pero elobjeto que la acompaa se desvanece, se deben postular nuevos elementos de acuerdoal principio general de persistencia de la forma, el cual podra parafrasearse de la si-guiente manera: si suponemos que una figura dada cambia su posicin al sufrir cadauno de sus puntos un movimiento continuo sin violar las condiciones que inicialmentese sostienen entre ellos, las propiedades que se sostienen para la primera posicin dela figura, se sostienen todava en una forma generalizada para todas las figuras derivadas.

La fuerza y conclusividad de toda prueba geomtrica descansa en los invariantesdel sistema, no en lo que es peculiar a los miembros individuales como tales. El nicopostulado que est implicado puede ser formulado diciendo que es posible mantenerla validez de ciertas relaciones, definidas de una vez y para siempre, a pesar del cambioen el contenido de los trminos particulares. Comenzamos considerando a la figura enuna conexin general, y no la analizamos al comienzo en sus partes individuales, sinoque permitimos ciertos cambios dentro de una cierta esfera definida por las condicio-nes del sistema. Si esos cambios proceden continuamente desde un punto de partidadefinido, las propiedades sistemticas que hemos descubierto en una figura serntransferibles a cada fase sucesiva, de modo que las determinaciones finales que se

9 Uno de los primeros que vieron la necesidad de reformular el sentido de lo que se entenda por intuicin fueJacob Steiner, quien sostuvo que el significado de la intuicin no es la adherencia a una figura sensorialmente dada,sino que es la libre generacin constructiva de figuras de acuerdo a un principio unitario. Los diferentes casos defiguras sensorialmente dadas no son, como en la geometra antigua, individualmente concebidos y estudiados, sinoque todo el inters se concentra en la manera en la cual ellas proceden mutuamente unas de otras.

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encuentran en un caso individual, pueden ser progresivamente extendidas a todos losmiembros sucesivos. Como Poncelet enfatiza, nunca son las meras propiedades parti-culares de una figura desde las cuales comienza el tratamiento proyectivo, sino desdelas propiedades de un gnero, donde gnero significa nada ms que una conexinde condiciones mediante las cuales todo lo individual es ordenado. Todas las formasque pueden surgir una de otra en esta forma son consideradas como una unidad indi-visible, son expresiones diferentes de uno y el mismo concepto. Obviamente, perte-necer a un concepto no significa aqu el que los particulares compartan ciertas seme-janzas genricas, sino la presuposicin de un cierto principio de transformacin quese mantiene idntico.

Ahora bien, esta aportacin original de Poncelet fue desarrollada por nombrestan importantes como el de von Staudt y Plcker. El primero, a travs de la introduc-cin de la idea de concepto-objeto para entender los elementos imaginarios; el se-gundo, con su teora de los duales. Pero, desde mi punto de vista, el paso decisivo haciauna formulacin completa del concepto geomtrico en tanto que estructura que per-siste a travs de los cambios en sus aplicaciones particulares lo fue la introduccin dela teora de grupos10 en la geometra debida a F. Klein. En el concepto de grupo se ob-tiene un principio general de clasificacin mediante el cual los diferentes tipos de geo-metras pueden ser unificados bajo un punto de vista simple. Si planteamos la pregun-ta acerca de qu debemos considerar como una geometra, la respuesta es: aquellaspropiedades que permanecen invariantes a travs de ciertas transformaciones es-paciales. Es decir, aquellas estructuras que persisten cuando variamos la posicinabsoluta de esta estructura en el espacio, cuando aumentamos o disminuimos propor-cionalmente la magnitud absoluta de sus partes, o cuando finalmente revertimos laordenacin de las partes individuales, como cuando sustituimos la figura original porotra que se relaciona con ella como con su imagen en un espejo. As, por ejemplo, lageometra euclideana es el estudio de las propiedades invariantes bajo el grupo de losas llamados movimientos rgidos, a saber, traslacin, rotacin y reflexin. La propie-dad esencial preservada por este grupo de movimientos es la distancia, es decir, la ca-racterstica de la isometra.11

De este modo, los verdaderos objetos de consideracin e importancia para elgemetra no son los particulares, sino las propiedades que, a travs de ciertos gruposde transformaciones, permanecen invariantes. Esto no significa que los gemetras

10 Un grupo se define como un conjunto G no vaco junto con una operacin binaria (*), tal que: para cualesquierag1 y g2 de G, g1* g2 es un elemento de G; la operacin es asociativa; el grupo contiene el elemento de identidad; y paracada elemento existe un inverso.11 Una transformacin f es una isometra de A sobre B si preserva las distancias. Para cualesquiera dos puntos P1, P2de A, la distancia desde P1 a P2 es igual a la distancia desde f (P1) a f (P2).

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implicados en estos desarrollos consideraran que los diagramas deban ser completa-mente desechados del campo de lo geomtrico. Con lo que lucharon, antes bien, fuecon la actitud antigua de restringirse a un nico conjunto de representaciones diagra-mticas para expresar el contenido de lo geomtrico. Esto es, rechazaron el punto devista de que cuando hablamos de puntos, rectas o planos, asociemos un nico conjuntode representaciones intuitivas. En lugar de ello, podemos usar diversos diagramas pararepresentar una relacin abstracta, siendo la nica condicin que los mismos satisfa-gan dichas condiciones. Es ms, tanto en el principio de continuidad de Poncelet, comoen la teora de los invariantes de Klein, la presencia de una variedad cambiante de fi-guras resulta esencial, dado que de all es que emergen las propiedades compartidaspor las mismas y que las caracterizan a todas como pertenecientes a una clase.

Entonces, si, como parecen proponer los gemetras, un diagrama particular esun signo complejo que expresa un conjunto de determinaciones abstractas, vlidas parauna clase de objetos, cabe preguntarse, necesitamos algn tipo de facultad en orden aabstraer las condiciones particulares expresadas en el diagrama y leer las propiedadesestructurales que el diagrama expresa? La respuesta, desde mi punto de vista, es si.Necesitamos pensar una clase de intuicin que, al lado de la intuicin meramente em-prica, restringida a la aprehensin de las propiedades meramente incidentales de losdiagramas, se oriente hacia las propiedades abstractas que los diagramas se encuen-tran instanciando. Cmo podramos caracterizar esta clase de intuicin sofisticada?En este contexto, asumir como mas algunas ideas de Husserl, aunque intentar, almismo tiempo, darles un sentido ms claro relacionndolas con parte de la prcticageomtrica a la que he referido hace un momento.

Segn este autor, a toda ciencia le corresponde un dominio de objetos como cam-po de sus investigaciones, y a los conocimientos de esos objetos, esto es, a los juiciosque se forman sobre ellos les corresponden, como fuente de su validez, ciertas intui-ciones en las que esos objetos se dan de manera inmediata. En todas las ciencias em-pricas, el modo mediante el cual los objetos se dan es la percepcin. Y en la percep-cin los objetos aparecen individualizados desde el punto de vista espacio-temporal.En este darse espacio-temporal se manifiesta, para Husserl, la contingencia del serindividual, es decir, el hecho de que los objetos aparecen en determinadas relaciones ysin embargo podran hacerlo de otras. Por ejemplo, un objeto que se da en determina-do punto del tiempo podra muy bien darse en cualquier otro. Si bien podemos afirmarla validez de ciertas leyes naturales, estas no expresan ms que ciertas regularidadesfcticas que podran ser enteramente de otra forma. Sin embargo, afirma Husserl, de-trs de esta contingencia de los hechos naturales, existe un tipo de necesidad esencialque remite a una universalidad esencial. Esta necesidad no tiene que ver con las relacio-nes meramente empricas en las que los objetos aparecen, sino con el conjunto de pro-

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piedades esenciales que definen a cada existente y que permanecen invariantes a tra-vs de los diferentes modos de aparecer los objetos. Dice Husserl:

Un objeto individual no es meramente individual; un eso que est all, un obje-to que slo se da una vez, tiene, en cuanto constituido en s mismo de tal o cualmanera, su ndole peculiar, su dosis de predicables esenciales que necesitan con-venirle (en cuanto es tal como es en s mismo) para que puedan convenirleotras determinaciones secundarias y relativas (Husserl, 1949, p. 19).

Es decir, que cada individuo posee un sustrato de propiedades esenciales comna muchos otros individuos y en virtud de las cuales pertenece a una determinada re-gin o categora de objetos. Por ejemplo, toda cosa material individual tiene su propiaforma esencial que consiste en la cosa material en general, con una determinacintemporal, una figura y una materialidad en general.

De acuerdo con Husserl, al igual que los individuos y sus relaciones pueden seraprehendidos en la intuicin emprica, esto es, en la percepcin, podemos tambin,partiendo de esa misma intuicin emprica, aprehender los rasgos esenciales que do-minan los hechos mediante un tipo de intuicin de esencias (Wesenerschauung). En IdeasHusserl es ciertamente crptico a la hora de caracterizar el proceso de intuicin eidti-ca o ideacin, utilizando principalmente analogas con la intuicin emprica. Sin em-bargo, desde trabajos posteriores podemos hacernos una idea ms cabal de lo que te-na en mente.

En la seccin 9 de Psicologa fenomenolgica (1977) y en el captulo 2 de la terceraparte de Experiencia y juicio (1973), el proceso de ideacin es descrito como compuestode los siguientes momentos: (1) comenzamos con un ejemplo o modelo; (2) se reco-rren activamente a una multiplicidad de variaciones del ejemplo; (3) se encuentra queocurre un traslape como una unidad sinttica a travs de las variaciones; y (4) seidentifica activamente esta unidad sinttica como un invariante a travs de las varia-ciones. Es en este estadio del proceso en el que hay una conciencia de una esencia,siendo esta aquello que todas las variaciones tienen en comn, es decir, aquello quepermanece invariante a travs de las variaciones.

Tratemos de darle sentido a estas ideas de Husserl con un ejemplo sencillo queinvolucra puntos y lneas en la geometra euclidiana. Obsrvese los puntos sobre unalnea numrica en la siguiente figura:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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Podemos expresar las transformaciones de los puntos Px sobre esta lnea en tr-minos de sus coordenadas ya que existe un isomorfismo entre los puntos y sus coorde-nadas. Ahora imagnese la siguiente transformacin: muvase cada punto 4 unidades ala derecha. Bajo esta variacin (tcnicamente conocida como traslacin) todos los pun-tos son cambiados. -2 se vuelve 2, -1 se vuelve 3, 0 se vuelve 4, 1 se vuelve 5, 2 se vuelve6 etc. Qu es lo que todos estos cambios tienen en comn? Podramos escribir unapequea ecuacin para expresarlo: la coordenada x del punto correspondiente al pun-to Px se relaciona a la coordenada x mediante la ecuacin x= x + 4. Bajo esta transfor-macin no hay puntos invariantes. Si queremos podramos generalizar desde esta base:cada ecuacin de la forma x= x + a representa una traslacin de los puntos Px a los pun-tos Px= Px + a. Pero ahora podemos preguntar, hay algo que permanezca invariantebajo esta transformacin? La respuesta es si. La distancia permanece invariante, puesx1 - x2 = x1 - x2 dado que vemos que esta ltima ecuacin se sostiene aunque todos lospuntos cambien de acuerdo a la frmula x= x + a.

Husserl dice que intuir un universal o esencia, que es una clase de conciencia dems alto nivel, debe relacionarse a una multiplicidad de variaciones. Si hay concienciade una esencia debe darse una coincidencia entre las variaciones, la cual surge del actode recorrer dichas variaciones en tanto tales. x1 - x2 = x1 - x2 (la distancia) surge comoinvariante para nosotros una vez que vemos, en el caso donde x = x + 4 que hay unacoincidencia entre las variaciones 4 - 2 y 8 - 6, 2 - 1 y 6 - 5, etc. Hay algo que esosdiferentes pares de expresiones tienen en comn aunque seamos conscientes de ellasen diferentes momentos. Contra este trasfondo de variaciones x1 - x2 = x1 - x2 emergecomo una unidad sinttica. Lo que tenemos aqu, en palabras de Husserl, es una sn-tesis de identidad. La identidad es sinttica en el sentido en que surge o puede produ-cirse desde actividades mentales que estn teniendo lugar en momentos diferentes.Debido a que esas actividades mentales tienen duracin temporal y ocurren en dife-rentes momentos, debe haber alguna funcin cognitiva sintetizadora que est tenien-do lugar a travs de ellas. Husserl agrega que debe haber una identificacin activa deesta unidad sinttica como un invariante a travs de las variaciones.

Conclusiones

A lo largo de estas pginas he intentado defender la compatibilidad entre el uso dediagramas en geometra y el carcter necesario de las pruebas basadas en los mismos,apelando a una clase especial de intuicin. Esta intuicin sofisticada, como la llamFelix Klein,12 no se concentra en las caractersticas particulares de los diagramasgeomtricos, sino en las propiedades esenciales que ellos se encuentran instanciando.

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Mi argumento ha procedido a travs del recurso al propio desarrollo de la geo-metra. Como hemos visto, esta se ha conducido hacia niveles siempre crecientes deabstraccin aunque sin abandonar el recurso a los diagramas. La introduccin de ele-mentos imaginarios, entidades de razn, como las llam Poncelet, objetos represen-tados por una variedad de diagramas particulares que exhiben una regla de conexinque los unifica conceptualmente, as como los invariantes exhibidos a travs de lastransformaciones, habla a las claras del uso extendido de los diagramas en la propiaprctica geomtrica.13 No obstante, como ya se haban planteado los antiguos, este re-curso a las construcciones trae consigo el problema no menor de explicar cmo es po-sible que las pruebas obtenidas mediante ellas sean vlidas universalmente. Es decir,cmo extender el campo de validez del resultado obtenido mediante cierta construc-cin geomtrica al campo total al que esa construccin pertenece? Aqu es donde entrala idea de una facultad especial de intuicin que extiende la validez del resultado obte-nido a travs del diagrama particular a la clase completa de dichos objetos. Este diagra-ma particular, como representante de una clase, expresa las propiedades definitoriasde la misma, las cuales son aprehendidas mediante una intuicin que, por supuesto,no puede ser emprica. A su vez, este carcter no emprico de la intuicin de esenciases lo que hace que la posible vaguedad de los diagramas no sea un obstculo para laaprehensin de dichas propiedades, pues aun en la percepcin ordinaria, podemos,mediante el recurso a la imaginacin o an en un estado de alucinacin, reconocer laspropiedades empricas que posibilitan identificar un objeto. Por supuesto, habr con-diciones mnimas que un diagrama deber cumplir en orden a ser considerado unainstancia de una clase. La vaguedad del diagrama no puede ser tal que violente la reglacontenida en el concepto del cual emana. En este sentido, los diagramas pueden serdiversos, pues no hay una nica forma de instanciar un concepto. Como dijimos antescomentando la posicin de Poncelet, diferentes figuras, desde el punto de vista sensi-ble, pueden expresar un mismo concepto. Cuando vemos, mediante un grupo de trans-formaciones contnuas definidas a priori que una figura se convierte en otra pero queen esta ltima se preservan ciertos relaciones estructurales entre sus elementos queestaban en la primera, entonces decimos que ambas figuras expresan las propiedadesde una misma clase. Para volver a mi ejemplo anterior, si somos capaces de compren-der, a travs de la apelacin a los diagramas, que la distancia se preserva a travs detraslaciones continuas, entonces en ese acto hemos aprehendido una esencia.

12 La expresin est tomada de su 1996 [1911].13 Ha habido una interpretacin generalizada de la obra de Hilbert, la cual proviene de la lectura de algunos empiristaslgicos, que afirma que desde el punto de vista del eminente matemtico, la geometra hace completa abstraccin detodo contenido intuitivo. Como ha mostrado cierta reciente revisin de la obra de Hilbert esta lectura es completa-mente infundada. Cfr. especialmente Majer (1995).

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Agradecimientos. Agradezco al rbitro annimo de Scientiae Studia por los valiosos comentarios realizados a la ver-sin anterior de este trabajo.

lvaro Julio Pelez CedrsProfesor de Filosofa del Departamento de Humanidades,

Universidad Autnoma Metropolitana,

Unidad Cuajimalpa, Mxico.

[email protected]

abstractIn this paper I consider the ancient problem of the dependence of synthetic geometry of the diagramsand the demand of necessity and universality for its results. I defend that the source of this necessity is apriori, a special kind of intuition that, in analogy to ordinary empirical intuition, restricted to the appre-hension of the particular features of the objects, pass trough those to the apprehension of the shared pro-perties of a class of objects. I will try to suggest that the postulation of that kind of intuition is not a merephilosophical device, but that it find evidence in the geometrical practice, especially in the developmentthis discipline suffered in the nineteenth century, in hands of Poncelet and Klein, between others.

Keywords Synthetic geometry. Construction. Schemata. Invariances. A priori.

referencias bibliogrficas

Aristteles. Metafsica. Madrid: Alianza Editorial, 2008a._____. Analticos segundos. Madrid: Gredos, 2008b.Cedrs, A. J. P. A. Geometra, esquemas, e idealizacin: una mdica defensa de la filosofa de la geometra

de Kant. Revista de Filosofa, 64, p. 65-77, 2008.Euclides. Elementos de geometra. Madrid: Gredos, 2000.Ewald, W. (Ed.). From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford: Clarendon

Press, 1996.Heath, T. L. Mathematics in Aristotle. Oxford: Clarendon Press, 1949.Husserl, E. Ideas relativas a una fenomenologa pura y una filosofa fenomenolgica. Mxico: FCE, 1949._____. Experience and judgment. Evanston: Northwestern University Press, 1973._____. Phenomenological psychology. Haag: Nijhoff, 1977.Kant, I. Crtica de la razn pura. Madrid: Alfaguara, 1988.Klein, F. On the mathematical character of space-intuition and the relation of pure mathematics to the

applied sciences. In: Ewald, W. (Ed.). From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathe-matics. Oxford: Clarendon Press, 1996 [1911]. p. 958-65.

Leibniz, G. W. Philosophical papers and letters. Dordrecht: Reidel, 1970.Majer, U. Geometry, intuition and experience: from Kant to Husserl. Erkenntnis, 42, p. 261-85, 1995.Newman, J. R. (Ed.). La forma del pensamiento matemtico. Grijalbo: Barcelona, 1974 [1902].

617



Newton, I. Mathematical principles of natural philosophy. Berkeley: University of California Press, 1999[1687].

Peirce, C. S. La esencia de las matemticas. Traduccin M. Sacristn. In: Newman, J. R. (Ed.). La formadel pensamiento matemtico. Grijalbo: Barcelona, 1974 [1902]. p. 30-46.

Poncelet, J. V. Trait de propriets projectives des figures. Paris: Bachelier, 1822.Platn. Repblica. Madrid: Grdos, 1986.Proclo. A commentary on the first book of Euclids Elements. Princeton: Princeton University Press, 1970.Torretti, R. Philosophy of geometry from Riemann to Poincar. Dordrecht: Reidel, 1978.

art - construcción, necesidad e intuición de esencias en geometria

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