PROBLEMA #5 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?,

RESOLUCIÓN

1. Variables de Decisión:Hallar el nº de impresos a repartir de cada clase para obtener un beneficio diario máximo

Suponemos que para obtener el beneficio diario máximo se repartirá:x = nº de impresos diarios tipo A repartidosy = nº de impresos diarios tipo B repartidos

2. Función ObjetivoMaximización de beneficios por la repartición de impresos publicitarios “x” e “y”

Maximizar = Venta de impresos diarios tipo A + Venta de impresos diarios tipo B

Max Z = 5x + 7y

3. RestriccionesLos valores de x e y están limitados por las siguientes restricciones:

Restricción 1: una bolsa para los impresos A, en la que caben 120 x = 120

Restricción 2: una bolsa para los impresos B, en la que caben 100 y <= 100

Restricción 3: cada día es capaz de repartir 150 impresos como máx. x + y <= 150

3. Restricciones de No NegatividadAdemás las opciones deben ser variables positivas x >= 0 ; y >= 0

4. Modelo MatemáticoMaximizar Z = f(x,y) = x + y

Sujeto a: x <= 120 y <= 100 x + y <= 150 x >=0 ; y >= 0

5. Gráfico de la región factible

Para el punto A: (0,100)x = 0 ; y = 0

Para el punto B: (50,100)y = 100 ; x + y = 150

Para el punto C: (120,30)x = 120 ; x + y = 150

Para el punto D: (120,0)x = 120 ; y = 0

Se adjunta Grafico

6. Solución Óptima

Reemplazando en la función objetivo: Max Z = 5x + 7y

Para los puntos:

A (0,100): Max Z = 5(0) + 7(100) = 700

B (50,100): Max Z = 5(50) + 7(100) = 950 Max.

C (120,30): Max Z = 5(120) + 7(30) = 810

D (120,0): Max Z = 5(120) + 7(0) = 600

7. Respuesta

Por lo tanto, se deberá repartir 50 impresos del “tipo A” y 100 del “tipo B” para que su beneficio diario sea máximo de 950 Bs.

PROBLEMA #6 Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs. el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 Bs. y el kg. de tipo B a 90 Bs., contestar justificando las respuestas:

a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?

b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

RESOLUCION

1. Variables de Decisión:Hallar el nº de kg. de naranjas de cada tipo que se deberá comprar para obtener el máx. beneficio.

Suponemos que para obtener el beneficio máximo se comprará:x = nº de naranjas tipo A compradosy = nº de naranjas tipo B comprados

2. Función ObjetivoMaximización de beneficios por la compra de kg. de naranjas “x” e “y”

Precio de Compra tipo A = 50 Bs.Precio de Venta tipo A = 58 Bs.

Precio de Compra tipo B = 80 Bs.Precio de Venta tipo B = 90 Bs.

Utilidad = Precio de Venta – Precio de Costo

Maximizar = (PV tipo A – PC tipo A) + (PV tipo B – PC tipo B)

Max Z = (58 - 50) x + (90 - 80) y Max Z = 8x + 10y

3. RestriccionesLos valores de x e y están limitados por las siguientes restricciones:

Restricción 1: comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs y encuentra las naranjas de tipo A a 50 Bs. el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg 50x + 80y <= 50000 5x + 8y <= 5000

Restricción 2: sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo x + y <= 700

3. Restricciones de No NegatividadAdemás las opciones deben ser variables positivas x >= 0 ; y >= 0

4. Modelo MatemáticoMaximizar Z = f(x,y) = 8x + 10y

Sujeto a: 5x + 8y <= 5000 x + y <= 700 x >=0 ; y >= 0

5. Gráfico de la región factible

Para el punto A: (0,625)x = 0 ; y = 0

Para el punto B: (200,500)5x + 8y = 5000 ; x + y = 700

Para el punto C: (700,0)x = 700 ; y = 0

Se adjunta Grafico

6. Solución Óptima

Reemplazando en la función objetivo: Max Z = 8x + 10y

Para los puntos:

A (0,625): Max Z = 8(0) + 10(625) = 6250

B (200,500): Max Z = 8(200) + 10(500) = 6600 Max.

C (700,0): Max Z = 8(700) + 10(0) = 5600

7. Respuesta

Rpta a: Por lo tanto, obtener el máximo beneficio debe comprar 200 kg. de naranjas “tipo A” y 500 de naranjas “tipo B” para obtener un beneficio máximo de 6600 pesos.

Rpta b: Siendo el beneficio máximo de 6600 Bs.

PROBLEMA #7 Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

RESOLUCIÓN

1. Variables de Decisión:Calcular el nº de trajes y vestidos que se debe confeccionar para maximizar los beneficios con la condición que ambos se vendan al mismo precio

Suponemos que para obtener el beneficio máximo se confeccionara:x = nº de trajesy = nº de vestidosA = Precio común del traje y vestido

2. Función ObjetivoMaximización de beneficios por la confección de trajes y vestidos a un mismo precio de “x” e “y”

Maximizar = Confección x * A + Confección y * A

Max Z = Ax + Ay

3. RestriccionesLos valores de x e y están limitados por las siguientes restricciones:

Restricción 1: Un traje requiere 1 m2 de algodón y un vestido de mujer requiere 2 m2 de tela x + 2y <= 80

Restricción 2: Un traje requiere 3 m2 de lana y un vestido de mujer requiere 2m2 de tela 3x + 2y <= 120

3. Restricciones de No NegatividadAdemás las opciones deben ser variables positivas x >= 0 ; y >= 0

4. Modelo MatemáticoMaximizar Z = f(x,y) = Ax + Ay

Sujeto a: x + 2y <= 80 3x + 2y <= 120 x >=0 ; y >= 0

5. Gráfico de la región factible

Para el punto A: (0,40)x = 0 ; y = 0

Para el punto B: (20,30)x + 2y = 80 ; 3x + 2y = 120

Para el punto C: (40,0)x = 40 ; y = 0

Se adjunta Grafico

6. Solución Óptima

Reemplazando en la función objetivo: Max Z = Ax + Ay

Para los puntos:

A (0,40): Max Z = A(0) + A(40) = 40A

B (20,30): Max Z = A(20) + A(30) = 50A Max.

C (40,0): Max Z = A(40) + A(0) = 40A

7. Respuesta

Por lo tanto, el máximo beneficio lo obtendrá el sastre fabricando 20 trajes y 30 vestidos vendiéndolos a un mismo precio.

PROBLEMA #8 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

RESOLUCIÓN

1. Variables de Decisión:Hallar el nº de casas de cada tipo que se debe construir para obtener beneficio máximo

Suponemos que para obtener el beneficio máximo se construirá:x = nº de viviendas construidas tipo Ay = nº de viviendas construidas tipo B

2. Función ObjetivoMaximización de beneficios por la construcción de casas de “x” e “y”

Precio de Compra tipo A = 13 millonesPrecio de Venta tipo A = 16 millones

Precio de Compra tipo B = 8 millonesPrecio de Venta tipo B = 9 millones

Utilidad = Precio de Venta – Precio de Costo

Maximizar = (PV tipo A – PC tipo A) + (PV tipo B – PC tipo B)

Max Z = (16 – 13) x + (9 – 8) y Max Z = 3x + y

3. RestriccionesLos valores de x e y están limitados por las siguientes restricciones:

Restricción 1: Dispone de 600 millones de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B 13x + 8y <= 600

Restricción 2: El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total x >= (x + y)*40 / 100 3x – 2y >= 0

Restricción 3: El número de casas de tipo B ha de ser 20% por los menos y >= (x + y)*20 / 100 x – 4y <= 0

3. Restricciones de No NegatividadAdemás las opciones deben ser variables positivas x >= 0 ; y >= 0

4. Modelo MatemáticoMaximizar Z = f(x,y) = 3x + y

Sujeto a: 13x + 8y <= 600 3x - 2y >= 0 x – 4y <= 0 x >=0 ; y >= 0

5. Gráfico de la región factible

Para el punto A: (24,36)13x + 8y = 600 ; 3x - 2y = 0

Para el punto B: (40,10)13x + 8y = 600 ; x - 4y = 0

Para el punto C: (0,0)x = 0 ; y = 0

Se adjunta Grafico

6. Solución Óptima

Reemplazando en la función objetivo: Max Z = 3x + y

Para los puntos:

A (24,36): Max Z = 3(24) + 36 = 108

B (40,10): Max Z = 3(40) + 10 = 130 Max.

C (0,0): Max Z = 3(0) + 0 = 0

7. Respuesta

Por lo tanto, para obtener un beneficio máximo de 130 millones debe construir 40 viviendas del “tipo A” y 10 del “tipo B”.