ARMADURA PLANA

Determinar la distribucin de esfuerzos de una armadura plana, la cual es sometida a cargas en ciertos nodos, desprecindose los efectos de temperatura y de peso de cada viga de la armadura plana. Se tiene que el Mdulo de Elasticidad del material de cada viga es , as como el dimetro de la seccin constante de cada viga es.

DATOS DEL PROBLEMA:Mdulo de Elasticidad:Dimetro de la seccin constante de cada viga:Carga en el nodo 11:1000 N.Carga en el nodo 16:1000 N.SOLUCIN:1. Anlisis (Mtodo por elementos finitos)

2. Tabla de Conectividad:

3. Matriz de Rigidez de los elementos

Debido a que la deformacin en:

Operando, obtenemos las deformaciones:

4. Calculando las reacciones:

Calculando, slo se obtienen reacciones en:

5. Calculando los esfuerzos en cada elemento:

Para el elemento 1:

De igual manera se calcula para todos los elementos:

FUERZAS INTERNAS

ESFUERZOS

6. Diagrama de flujo del programa:

INICIOLeer datos de entrada.Para i=1 hasta N de nodosIngresar coordenadas de los nodos.Calcular rea, N de filas de cond_contorno(CC1)Para i=1 hasta 2veces N de nodosCont=0Para j=1 hasta N de filas de cond_contorno(CC1)123

12Si i=CC(i,1)Cont=1, C2=CC1(i,2)C1=CC1(i,1)SISi cont=1CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C23SINOCC(i,1)=0;CC(i,2)=0Para i=1 hasta N elementosCalcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.4

4Para i=1 hasta 2veces N elementos.Si i=CC(i,1)Q(i,1)=CC(i,2)Acumulamos fuerzas(FC=[FC;F(i)])SINOPara j=1;2*NnodosSi jCC(j,1)acuh=[acuh,Kij(i,j)]acumula filasSIacuv=[acuv;acuh];acumula columnasCalcula los desplazamientos generalesQ1=acuv\FC;5

5Para i=1;2N nodosSi i==CC(i,1)Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];Para i=1 hasta N de elementosCalcula esfuerzosImprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos

7. Digitacin del programa en MATLAB

%ARMADURAS PLANASformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=');D=input('INGRESE EL DIMETRO DE LAS SECCIONES(mm)=');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]ni=[];for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');endF=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posicin valor]=');lm=[];A=pi/4*D^2;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; endendfor i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd);endfor i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[];endQ1=acuv\FC;for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end endendfor i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; endendESF=[];for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];endformat shortdisp('=============');disp('RESULTADOS');disp('=============');disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');disp(Q);disp('LAS REACIONES');disp('REACCIN POSICIN');disp(R);disp('LOS ESFUERZOS');disp(ESF');

8. Conclusiones: El mtodo por elementos finitos para el clculo de armaduras en el plano tiene una tiene una aproximacin casi exacta, slo se comete error por las cifras significativas que trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analtica con la de elementos finitos el error del clculo es cero.

El mtodo de elementos finitos es aplicable a cualquier estructura en el plano, para ello tenemos que ingresar la tabla de conectividad, que resultara tedioso si la estructura consta de muchos elementos. La ventaja de este mtodo es la facilidad de clculo por medio del MATLAB, en nuestro caso, ya que se sigue una rutina y es de fcil clculo para un nmero de elementos muy grade, que resultara casi imposible de resolverlo analticamente.

Al resolver un problema distinto que el dado por el profesor de clase (problema resuelto en el libro de CHANDRUPATLA), se obtuvo resultados similares, la diferencia de estos resultados se debe a que se utilizaron diferentes cifras significativas, con esto demostramos que el programa hecho por el autor es aplicable a cualquier estructura en el plano, para ello tan solo se debe ingresar la conectividad de los nodos, dimensiones, material y las condiciones de contorno.