aritm_sim_11_12

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Taller de Talento Matemático4º E.S.O.

ARITMÉTICA

SIMÉTRICAJosé María Muñoz Escolano

Antonio M. Oller Marcén

Zaragoza, 16 de diciembre de 2011

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SIMETR AS

EN LA NATURALEZA,EN LOS OBJETOS,

EN LA CIUDAD,

...

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Imágenes extraídas de la web: Matemáticas en tu mundo de José Mª Sorando

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SIMETRÍAS

oso

somosr n rradar

h h ? Adán no calla con nada

ru r r ur

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SIMETRÍAS

EN LOS NÚMEROSn úm e r o s ca p i cúa s

11, 55, 272, 80308, 456654, …

¿Cuántos números capicúas existen?

Reformulamos la cuestión:

¿Cuántos capicúas de 2 cifras existen? , , , , , , , ,

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SIMETRÍAS EN LOS NÚMEROS

¿Y de 3 cifras? ¿Y de 4 cifras?¿Y de 5 cifras? ¿Y de 6 cifras?mero

e

mero e

2 9

3 904 90

5 9006 900

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SIMETRÍAS EN LOS NÚMEROS

¿Cuántos capicúas de n cifras existen?Si n es par,

cn cn - 1 … c( n / 2 ) + 1 cn / 2 c1 c2 …

… …

n - 1

·

cn cn - 1 … ck + 1 ck c1 c2 …

ck - 1

9 10… 10 1 1 1…10

9 · 10n - 1

2

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SIMETRÍA

EN OPERACIONES ARITMÉTICAS59 + 7337 + 95 =

¿Esto pasa siempre con cualquier par de números?

,130 112

Encontrar 10 ejemplos de pares de números (dedos cifras) en los que SÍ se cumple

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SIMETRÍA EN LA SUMA

59 + 7337 + 95 =ver guar qu con c ones e en ener os paresde números (de dos cifras) para que se cumpla

ab + cd = dc + baa, , c, istintos e

ab = 10 x a + b dc = 10 x d + c cd = (10 x c) + d ba = (10 x b) + a

(10a + b) + (10c + d) = (10d + c) + (10b + a)9a + 9c = 9b + 9d

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SIMETRÍA EN LA SUMA

59 + 7337 + 95 =ver guar qu con c ones e en ener os paresde números (de dos cifras) para que se cumpla

ab + cd = dc + baa, , c, istintos e

=

, as que 1 < a, ,c, <

Elige un número de dos cifras (que no tenga 0)

Calcula qué números se suman “simétricamente”

capicúa?

Í Ó

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SIMETRÍA EN LA MULTIPLICACIÓN

44 x 3333 x 44 =32 x 6996 x 23 =

2208 2208 en los que se cumple también

Averiguar qué condiciones deben tener los paresde números (de dos cifras) para que se cumpla

ab x cd = dc x baa, b, c, d distintos de 0

, así que 1 < a,b,c,d < 9

cd = (10 x c) + d ba = (10 x b) + a

A i é di i d b t l

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Averiguar qué condiciones deben tener los paresde números de dos cifras ara ue se cum la

ab x cd = dc x baa, b, c, d distintos de 0


cd = (10 x c) + d ba = (10 x b) + a

(10a + b) x (10c + d) = (10d + c) x (10b + a)

99ac = 99bd

ac = bd a x c = x

A i é di i d b t l

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Averiguar qué condiciones deben tener los paresde números de dos cifras ara ue se cum la

ab x cd = dc x baa, b, c, d distintos de 0, así que 1 < a,b,c,d < 9

a x c = b x dElige un número de dos cifras (que no tenga 0)

“simétricamente” con número elegido

C di i d l d ú (d 2 if )

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Condiciones de los pares de números (de 2 cifras)“ ”

ab + cd = dc + baa, b, c, d distintos de 0


a c =Condiciones de los pares de números (de 2 cifras)

“ ”

ab x cd = dc x ba

a, b, c, d distintos de 0, así que 1 < a,b,c,d < 9

a x c = b x d

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To os estos resu ta os

úé

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Núm. de 3 cifrasSuma simétrica¿Cómo sería una suma simétrica con nº de 3 cifras?

que sirvan como ejemplo

v r u r u r rde números (de tres cifras) para que se cumpla

a c + e = e + c a

abc = 100xa + 10xb + ca, ,c, ,e,

fed = 100xf + 10xe + d

def = 100xd + 10xe + f

cba = 100xc + 10xb + aa+ +c+ + e+ = + e+ + c+ +a

+ = f +a + d = c + f

ú d 3 ifS i é i

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Núm. de 3 cifrasSuma simétricaCondiciones de los pares de números (de 3 cifras)

para la suma “simétrica”

abc + def = fed + cba

1 < a,b,c,d,e,f < 9

a + d = c + f Condiciones de los pares de números (de 2 cifras)


ab + cd = dc + ba1 < a,b,c,d,e,f < 9

a + c = b + d

Nú d 3 ifS i ét i

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Núm. de 3 cifrasSuma simétricaCondiciones de los pares de números (de 3 cifras)


abc + def = fed + cba

1 < a,b,c,d,e,f < 9

a + d = c + f Condiciones de los pares de números (de 2 cifras)


ab + cd = dc + ba1 < a,b,c,d,e,f < 9

a + c = b + d

C di ti t ú d if

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Con distinto número de cifras:

casos fácilesNúmeros de 1 cifra con

números de 2 cifras

números de 3 cifras

Suma simétrica

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Suma simétrica

m. e c ras y n m. e c rasAveriguar qué condiciones deben tener los paresde números (de 3 y 2 cifras) para que se cumpla

1 < a b c d e f < 9abc = 100xa + 10xb + c

=

ed = 10xe + d

=

=

99a + 9d = 99c + 9e a = c e y a ora qu

11a – 11c = e – d11(a – c) = e – d

Suma simétrica

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Suma simétrica

m. e c ras y n m. e c rasAveriguar qué condiciones deben tener los paresde números (de 3 y 2 cifras) para que se cumpla

1 < a b c d e f < 9

11(a – c) = e – d¿ Qué valores puede tener e–d ? -8 < e – d < 8

¿ u va ores pue e tener 11 a–c

– -solo puede

11(a–c) < -11 si a-c es negativo

cuando

- =11(a–c) = 0 si a-c = 0 e-d = 0

Suma simétrica

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Suma simétrica

m. e c ras y n m. e c rasCondiciones de los pares de números (de 3 y 2cifras) para que se cumpla la suma simétrica

1 < a,b,c,d,e,f < 9

abc es capicúa de es capicúa

La conjetura capicúa

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La conjetura capicúaPara obtener un número capicúa a partir de otro número se invierte

el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido.s e proceso se con n a as veces que sean necesar as as aobtener un capicúa.Por e em lo: Partiendo del 78.

78 + 87 = 165165 + 561 = 726

=1353 + 3531 = 4884

CAPICÚA

La con etura ca icúa dice:

“ Aplicando el proceso anterior a un número cualquiera,se obtiene ca icúa en un número finito de asos”

No se sabe todavía si es cierta o no(por eso se llama conjetura)

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89

=187 + 781 = 968

8813200023188

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En los primeros 10.000 números,

solo 251 números no generan un

ca icúa en menos de 23 asos

Los números Lychrel

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Los números Lychrel

no cumplirían la conjetura capicúaUn buen candidato a ser nº. Lychrel: 196

,(2008) después de realizar 724.756.966 pasos

con el 196 no obtuvo ningún capicúa.

El último número que alcanzó tenía

Si se establecen los márgenes de 0,8 cm. en cada folio, entoncesse necesitan más de 50.420 páginas para imprimirlo.

,se necesitarían más de 52 horas y media para imprimirlo.

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Muchas racias

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