11SAN MARCOS REGULAR 2014 II ARITMTICA TEMA 1

SNII2A1

ARITMTICATEMA 1

RAZONES Y PROPORCIONES

DESARROLLO DEL TEMA

I. INTRODUCCIN Entre los aos 550 a 450 a.C. se establece la era pitagrica.

Pitgoras de Samos, personaje semilegendario creador de un gran movimiento metafsico, moral, religioso y cientfico. El saber geomtrico de los pitagricos estaba en la geometra elemental, donde destaca el famoso Teorema de Pitgoras, el cual fue establecido por su escuela y donde la tradicin de los pitagricos llev a atriburselo a su maestro. Con respecto a la aritmtica actual el saber de los pitagricos era enorme. Fueron los primeros en analizar la nocin de nmero y establecer las relaciones de correspondencia entre la aritmtica y la geometra. Definieron los nmeros primos, algunas progresiones y precisaron la teora de las proporciones. Los pitagricos propagaban de que todo poda expresarse por medio de nmeros, pero luego tuvieron que aceptar que la diagonal de un cuadrado era inconmensurable con el lado del cuadrado.

II. APLICACIN Las razones y proporciones, tienen una gran aplicacin en

diversas disciplinas; por ejemplo en ingeniera se emplean las escalas para realizar pequeas maquetas; en el rea contable, para realizar movimientos financieros y en la vida diaria, para efectuar ciertos operaciones aritmticas.

III. RAZN Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la

otra nos preguntamos en cuntas unidades es mayor? o cuntas veces contiene la mayor o la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por divisin respectivamente.

Recordar:Razn es la comparacin de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operacin de diferencia o divisin.

Clases de razn1. Razn Aritmtica

Es la comparacin de dos cantidades mediante la diferencia. Dicha diferencia determina en cuntas unidades excede una magnitud a la otra.Ejemplo:En 5. ao del colegio Pamer asisten 25 varones y 18 mujeres. Cul es la razn aritmtica?Comparando:25 18 = 7En general:

Razn

ConsecuenteAntecedente

a b = r

2. Razn GeomtricaEs la comparacin de dos cantidades por medio del cociente o divisin.Ejemplo:La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 aos respectivamente.Comparando:Padre:Hijo:

40 aos5 aos

= = 8

Interpretacin: La edad del padre es 8 veces la edad del hijo. La edad del hijo es la octava parte de la edad

del padre.

En general: ab = k

Donde:a: antecedenteb: consecuentek: valor de la razn geomtrica

RAZONES Y PROPORCIONES

22 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIARTIMTICATEMA 1

PROBLEMAS RESUELTOS

III. PROPORCIN Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases:

A. Proporcin aritmtica(EQUI - DIFERENCIA)Igualdad de dos o ms razones aritmticos.

medios

extremos

a b = c d

PropiedadSuma de medios igual a suma de extremos

a + d = b + c

Las proporciones aritmticas se dividen en dos tipos:

1. Proporcin Aritmtica DiscretaCuando se cumple que sus cuatro trminos son diferentes entre s.

a b = c d

Observacin:Al ltimo trmino (d) se le denota Cuarta diferencial de a, b y c.

2. Proporcin Aritmtica ContinuaCuando los trminos medios son iguales

a b = b c

Observacin:A cada trmino igual (b) se le denomina Media diferencial de a y c; y a cada trmino distinto se le llama Tercera Diferencial.

B. Proporcin geomtrica(EQUI - COCIENTE)Igualdad de dos o ms razones geomtricas

ab =

cd

o tambin: a : b :: c : dDonde:a y d son trminos extremos.b y c son trminos medios.

PropiedadProducto de medios igual a producto de extremos.

a . b = c . d

Las proporciones geomtricas se dividen en dos tipos:1. Proporcin Geomtrica Discreta

Cuando se cumple que sus cuatro trminos son diferentes entre s.

ab =

cd

Observacin:Al ltimo trmino (d) se le denota Cuarta proporcional de a, b y c.

2. Proporcin Geomtrica ContinuaCuando los trminos medios son iguales

ab

=bc

Observacin:A cada trmino igual (b) se le denomina Media Geomtrica o Media Proporcional de a y c; y a cada trmino distinto se le llama Tercera Proporcional.

Propiedades

Si: ab =

cd

1. a . d = b . c 2. a+bb =

c+dd

3. abb =

cdd

4. a+bab =

c+dcd

5. a+cb+d =

ab

cd=

6. an

bncn

dn=

7. ab

n

ncd

n

n=

Problema 1La suma de dos nmeros excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto del mayor como 3 es a 8, el nmero mayor es:A) 48 B) 40 C) 32D) 16 E) 56

UNMSM 2004-I

NIVEL FCIL

Resolucin:

(a+b)(ab)=36 b=18

b3 =

a8

183 =

a8

a=48

Respuesta: 48

RAZONES Y PROPORCIONES

33SAN MARCOS REGULAR 2014 II ARITMTICA TEMA 1

Problema 2Si dos personas tienen 40 y 30 aos. Dentro de cuntos aos la relacin de sus edades ser de 6 a 5? A) 10 B) 15 C) 20D) 22 E) 30

UNMSM 2006-II

NIVEL FCIL

Resolucin:Sea x el nmero de aos40+x

6 =30+x

5 x = 20

Respuesta: 20

Problema 3 Antes que empiece una asamblea haba 690 personas y por cada 8 varones haba 15 damas. Iniciada la asamblea llegaron 30 damas. Hallar la nueva relacin de los varones con respecto a las damas.A) 24/25 B) 1/2 C) 1/3 D) 8/45 E) 7/16

UNMSM 2008-II

NIVEL FCIL

Resolucin:Sea: H:cantidad de hombresM: cantidad de mujeres

M15

H8 =

H+M8+15 =

M15

H8 =

Si llegan 30 mujeres:

M=450+30=480

H=240

Entonces la nueva relacin ser:

240480 =

12

HM =

Respuesta: 1/2

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIN

1. Dos nmeros estn en la relacin de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor.A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

2. Dos nmeros estn en la relacin de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. Hallar el menor.A) 60 B) 120 C) 180 D) 250 E) 280

3. Dos nmeros son entre s como 5 es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor.A) 60 B) 75 C) 36 D) 48 E) 45

4. La suma de dos nmeros es 980 y su razn es 5/9. Hallar el menor.A) 300 B) 320 C) 340 D) 350 E) 360

5. La suma de dos nmeros es 320 y su razn geomtrica es 3/7. Hallar el nmero mayor.A) 336 B) 224 C) 188 D) 163 E) 218

PROFUNDIZACIN

6. Las edades de Pamela y Vanesa estn en la relacin de 9 a 8, dentro de 12 aos estarn en relacin de 13 a 12. Calcula la suma de las edades que tenan hace 7 aos.A) 40 B) 60 C) 37D) 80 E) 50

7. El peso de un tanque es al peso del agua que contiene (w) como 3 es a 4. Qu cantidad de agua hay que agregarle para que la relacin sea de 1 a 2?A) 2w B) w C) w/2D) w/4 E) w/3

8. En una fbrica trabajan 120 hombres y 50 mujeres. Determine cuntas mujeres debern ser contratadas para que por cada 4 hombres haya tres mujeres.A) 40 B) 30 C) 25D) 45 E) 50

9. La media proporcional de a y 27 es b y adems a es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar (a b).A) 81 B) 162 C) 243D) 54 E) 30

SISTEMATIZACIN

10. Si se tiene: p2

12q2

27=r2

48=s2

147=

y (p + s) (q + r) = 36 Hallar: (p + q + r + s)

A) 152 B) 175 C) 216D) 288 E) 300

11. Si se cumple:

Aa =

Bb =

Cc =

Dd (1)

A + B + C + D = 45 (2) a + b + c + d = 125 (3) Hallar:

23

+ + +Aa Bb Cc Dd( )E=

A) 50 B) 60 C) 40D) 80 E) 100

12. Se han extrado 12 litros de un barril lleno de alcohol y despus se ha llenado con agua. De esta mezcla se han sacado otros 15 litros y luego el barril es llenado nuevamente con agua. Si la cantidad de alcohol que queda en el barril es a la cantidad de agua que hay en el mismo como 3 es a 7. Qu capacidad tiene el barril?A) 32 L B) 40 L C) 30 LD) 50 L E) 31 L