aritmética binaria

Aritmtica binaria.sxw Luis Gonzlez. Departamento de Tecnologa

SISTEMAS DE NUMERACINUn sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten represen-

tar datos numricos. La norma principal en un sistema de numeracin posicional es queun mismo smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupe.

Sistema de numeracin decimal:

El sistema de numeracin que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compo-ne de diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor depen-diendo de la posicin que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 10, nmero que coinci-de con la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la po-sicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha.

En este sistema el nmero 528, por ejemplo, significa:5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,

510221018100=528

En el caso de nmeros con decimales, la situacin es anloga aunque, en este caso, al-gunos exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los dgitos coloca-dos a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el nmero 8245,97 se calcularacomo:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 dcimos + 7 cntimos8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

810321024101510091017102=8245,97

Sistema de numeracin binario.El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, el cero (0) y el uno (1), que

tienen distinto valor dependiendo de la posicin que ocupen. El valor de cada posicin es elde una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menosuno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la poten-cia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros.

De acuerdo con estas reglas, el nmero binario 1011 tiene un valor que se calcula as:

123022121120=8021=11

y lo escribimos as: 10112=1110

Edicin: 28 de septiembre de 2004 Pgina 1 de 11


Conversin entre nmeros decimales y binariosConvertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar di-

visiones sucesivas por 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar elnmero binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos. Porejemplo:

77 : 2 = 38Resto: 138 : 2 = 19Resto: 019 : 2 = 9 Resto: 1 9 : 2 = 4 Resto: 1 4 : 2 = 2 Resto: 0 2 : 2 = 1 Resto: 0 1 : 2 = 0 Resto: 1

7710 = 1 0 0 1 1 0 12

La cantidad de dgitos necesarios, para representar un nmero en el sistema binario,depender del valor de dicho nmero en el sistema decimal. En el caso anterior, para re-presentar el nmero 77 han hecho falta siete dgitos. Para representar nmeros superioresharn falta ms dgitos. Por ejemplo, para representar nmeros mayores de 255 se necesi-tarn ms de ocho dgitos, porque 28=256 y, por tanto, 255 es el nmero ms grandeque puede representarse con ocho dgitos.

Es importante distinguir entre los nmeros que pueden representarse con n dgitos bi-narios, que es 2n, y el mayor de esos nmeros, que es una unidad menos, es decir, 2n 1.

El proceso para convertir un nmero del sistema binario al decimal es an ms senci-llo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta que el valor de cada dgito estasociado a una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y seincrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda, tal ycomo se muestra en el siguiente ejemplo:

1010011=126025124023022121120=83

10100112 = 8310



SISTEMAS DE NUMERACIN OCTAL Y HEXADECIMALEl inconveniente de la codificacin binaria es que la representacin de algunos nme-

ros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que resul-ten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente,resulta muy fcil convertir un nmero binario a octal o a hexadecimal.

Sistema de numeracin octal

En el sistema octal, los nmeros se representan mediante ocho dgitos diferentes: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dgito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugarque ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias debase 8. La conversin de un nmero decimal a octal, y viceversa, se realiza del mismomodo que la de los nmeros binarios, aunque, lgicamente, se emplea como base el nme-ro 8 en vez del 2.

La conversin de un nmero decimal a octal se hace del mismo modo: mediante divisio-nes sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo:

122 : 8 = 15 Resto: 2 15 : 8 = 1 Resto: 7 1 : 8 = 0 Resto: 1

12210 = 1728

La conversin de un nmero octal a decimal es igualmente sencilla. Por ejemplo:

2378=282381780=128247=15910

2378 = 15910



SISTEMA DE NUMERACIN HEXADECIMALEn este sistema, los nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las can-tidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayoresque 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es lgi-co, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base 16.

Ensayemos la conversin decimal a hexadecimal del nmero 1735:

1735 : 16 = 108 Resto: 7 108 : 16 = 6 Resto: C (1210) 6 : 16 = 0 Resto: 6

173510 = 6C716

Ensayemos tambin la conversin inversa, de hexadecimal a decimal del nmero 1A3F:

1 A3F 16=1163A1623161F160=671910

1A3F16 = 671910

Conversin de nmeros binarios a octales y hexadecimalesCada dgito de un nmero octal equivale a tres dgitos en el sistema binario. Por tanto,

el modo de convertir un nmero entre estos sistemas de numeracin equivale a "expandir"cada dgito octal a tres dgitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios asu correspondiente dgito octal. Por ejemplo:

1010010112 = 5138

7508 = 1111010002

Anlogamente, la conversin entre nmeros hexadecimales y binarios se realiza "ex-pandiendo" o "contrayendo" cada dgito hexadecimal a cuatro dgitos binarios. Por ejemplo:

1010011100112 = A7316

1F616 = 0001111101102

En caso de que los dgitos binarios no formen grupos completos (de tres o cuatro dgi-tos, segn corresponda), se deben aadir ceros a la izquierda hasta completar el ltimogrupo. Por ejemplo:

1011102 = 001011102 = 2E16



ARITMTICA BINARIALa Unidad Aritmtico Lgica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operacio-

nes aritmticas, con datos numricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esasoperaciones incluyen la adicin, la sustraccin, el producto y la divisin. Las operacionesse hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistemade numeracin, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realizacinde las operaciones.

SUMA EN BINARIO

La tabla de sumar, en binario, es mucho ms sencilla que endecimal. Slo hay que recordar cuatro combinaciones posibles.Recuerda que en el sistema decimal haba que memorizar unas100 combinaciones.

Las sumas 0+0, 0+1 y 1+0 son evidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2, debe escribirseen binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastrauna unidad, que se suma a la posicin siguiente a la izquierda.

Veamos algunos ejemplos:

SUMA01

001

110 + a

010101111

210510710

001101100101110010

131037105010

1011011101101010110101

9110901018110

1101110111001110111011110110

443103151075810



SUSTRACCIN EN BINARIO

Restar en binario es, nuevamente, igual que la misma opera-cin en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacinde restar en decimal para comprender la operacin binaria, quees ms sencilla. Los trminos que intervienen en la resta se lla-man minuendo, sustraendo y diferencia.

Las sumas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

0 0 = 01 0 = 11 1 = 0La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal,

tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 -1,es decir, 210 110 = 1

Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posi-cin siguiente. Veamos algunos ejemplos:

RESTA01

001 + a

110

111101010

710510210

100010101000111

17101010710

110110011010101100101110

21710171104610

111101001101101101001111100

489103651012410

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemosinteriorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecnicamente, sin detener-nos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibili-dad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los nmeros largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cmo se divideuna resta larga en tres restas cortas:

100110011101010101110010010000101011

= 100101010100

100101110010

110100101011

Utilizando el Complemento a dos



Complemento a dos

El complemento a dos de un nmero N, con n cifras, se define como C 2N=2nN .

Veamos un ejemplo: tomemos el nmero N=1011012 que tiene 6 cifras, y calculemosel complemento a dos de ese nmero:

N=4510 n=6 26=64 y, por tanto: C 2N=6445=19=0100112

Complemento a uno

El complemento a uno de un nmero N, con n cifras es, por definicin, una unidadmenor que el complemento a dos, es decir:

C1N=C 2

N1 y, por la misma razn, C 2N=C1

N1

Calculemos el complemento a uno del mismo nmero del ejemplo anterior:

C1N=C 2

N1010011000001010010

C1N=010010

Da la sensacin de que no va a ser ms sencillo restar utilizando el complemento a dos,porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es ms difcil y laborioso quela propia resta. Pero es mucho ms sencillo de lo que parece.

En realidad, el complemento a uno de un nmero binario es el nmero resultante deinvertir UNOS y CEROS.

Si N=101101

su complemento a uno es: C1N=010010

y su complemento a dos es: C 2N=C1

N1=010011

Veamos otro ejemplo de clculo de complementos:

Si N=0110110101

El complemento a uno es: C1N=1001001010 C1

N=1001001010

y el complemento a dos es: C 2N=1001001011



Restar en binario usando el complemento a dosY, por fin, vamos a ver cmo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos

nmeros puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraen-do. Veamos algunos ejemplos:

a) Hagamos la siguiente resta, 91 46 = 45, en binario:

101101101011100101101

911046104510

Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Peroesta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sus-traendo:

1011011101001010101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desbordapor la izquierda. Como el nmero resultante no puedeser ms largo que el minuendo, el bit sobrante se des-precia.

b) Hagamos esta otra resta, 219 23 = 196, utilizando el complemento a dos:

21910 = 1101101122310 = 000101112 C 2

23=111010011101101111101001111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:110001002 = 19610Qu fcil!



MULTIPLICACIN BINARIA

La multiplicacin en binario es ms fcil que en cualquierotro sistema de numeracin.

Como los factores de la multiplicacin slo pueden ser CE-ROS o UNOS, el producto slo puede ser CERO o UNO. En otraspalabras, la tabla de multiplicar es muy fcil de aprender

En un ordenador, sin embargo, la operacin de multiplicarse realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos proble-mas en la programacin porque cada suma de dos UNOS origi-na un arrastre, que se resuelven contando el nmero de UNOSy de arrastres en cada columna. Si el nmero de UNOS es par,la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para deter-minar los arrastres a la posicin superior, se cuentan las pare-jas de UNOS.

POR01

000

101

DIVISIN BINARIAIgual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en

el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

(Dividendo) 1 0 1 0 1 0 110 (Divisor)

- 1 1 0 111 (Cociente)

1 0 0 1

- 1 1 0

0 1 1 0

1 1 0

0 0 0

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismonmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisintomando un dgito ms (1001 entre 100).

Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenido una vez en eldividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado demultiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisory bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.



EJERCICIOS1. Expresa, en cdigo binario, los nmeros decimales siguientes:

c) 47d) 191e) 25f) 67g) 99h) 135i) 276.

2. Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios:a) 110111b) 111000c) 010101d) 101010e) 1111110

3. Dados dos nmeros binarios: 01001000 y 01000100 Cul de ellos es el mayor?Podras compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

4. Cuntos nmeros diferentes se pueden escribir, utilizando el sistema binario de nu-meracin, con slo 3 dgitos? Y con 16 dgitos?

5. Convierte los siguientes nmeros octales en decimales:a) 458b) 1258c) 6258

6. Convierte los siguientes nmeros decimales en octales:a) 63b) 513c) 119

7. Convierte los siguientes nmeros binarios en octales:a) 1101101b) 101110c) 11011011d) 101101011

8. Convierte los siguientes nmeros octales en binarios:a) 258b) 3728c) 27538

9. Realiza las siguientes sumas de nmeros binarios:a) 111011 + 110b) 111110111 + 111001c) 10111 + 11011 + 10111



10. Realiza las siguientes sumas de nmeros octales:a) 365 + 23b) 2732 + 1265c) 65 + 1773

11. Suma los siguientes nmeros hexadecimales:a) 17A + 3Cb) 20F5 + 31Bc) 2E70C + 1AA7F

12. Realiza las siguientes restas de nmeros binarios:a) 111011 - 110b) 111110111 - 111001c) 1010111 - 11011 10011

13. Resta los siguientes nmeros octales:a) 365 - 23b) 2732 - 1265c) 1773 65

14. Realiza las siguientes restas de nmeros hexadecimales:a) 17A - 3Cb) 20F5 - 31Bc) 2E70C - 1AA7F


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