Aritmética Es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división. Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el sentido de «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «ciencias naturales».

Símbolos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

adición más aritmética y álgebra

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

sustracción menos aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.

87 − 36 = 51

multiplicación por aritmética

7 × 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.

4 × 6 = 24   ó   4 * 6 = 24   ó   4 · 6 = 24

división entre, dividido por aritmética

 significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.

sumatoriasuma sobre ... desde ... hasta ... de

aritmética

∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

productorioproducto sobre... desde ... hasta ... de

aritmética

∏k=1n ak significa: a1a2···an

∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

SignosSuma de números con signo

Las operaciones básicas son:

|1| Todo número sumado con cero da el mismo número

Así: (+A)+0=0+(+A)=(+A) y (–A)+0=0+(-A)=(-A).

|2| La suma de un número con su opuesto da cero.

Así: (+A)+(-A)=(-A)+(+A)=0.

Resta de números con signo

Las operaciones básicas son:

|1| Restar cero a cualquier número da el mismo número.

Así: (+A)-0=(+A) y (–A)-0=(-A).

|2| Restar un número a cero invierte el signo operativo y el signo númerico del

número restado.

Así: 0-(+A)=(-A) y 0-(-A)=(+A) según la propiedad de los suma de los opuestos

donde (+A)+(-B)=0.

También tendremos que 0-(+A)=0+(-A)=(-A) y 0-(-A)=0+(+A)=(+A) pudiendo inferir:

Multiplicación de números con signo

Multiplicar es hacer cada unidad de un número, lo que el otro es con respecto a

(+1). Teniendo presente esta definición se obtendrán las siguientes propiedades:

Las propiedades básicas son:

|1| Multiplicar por cero a cualquier número da cero.

Así: (+A)x0=0x(+A)=0 y (–A)x0=0x(-A)=0

|2| Multiplicar por (+1) cualquier número da dicho número con su signo.

Entonces (+A)x(+1)=(+1)x(+A)=(+A) y (–A)x(+1)=(+1)x(-A)=(-A), el signo es el del

número ya que la unidad es positiva.

División de números con signo

Como dividir es multiplicar el dividendo por el inverso del divisor tendremos los

siguientes casos:

(+A)/(+B)=(+A)x(+1/B)=+(A/B)

(-A)/(-B)=(-A)x(-1/B)=+(A/B)

(+A)/(-B)=(+A)x(-1/B)=-(A/B)

(-A)/(+B)=(-A)x(+1/B)=-(A/B)

Formulas FraccionesNúmero mixtoPara pasar de número mixto a fracción impropia , se deja el mismo denominador  y el numerador  es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador , del número mixto.

PotenciasPotencias de exponente 0

a0 = 150 = 1

Potencias negativasPotencias de base negativaPara determinar el signo  de una potencia de base negativa   tendremos en cuenta que:1.  Las potencias de exponente par  son siempre positivas .

26 = 64(−2)6 = 64

Radicales

Un radical es una expresión de la forma   , en la que n      y a    

  ; con tal que cuando  a  sea negativo,  n  ha de ser impar.

Expresión de un radical en forma de potencia

ProporcionalidadRazón

Proporción

Constante de proporcionalidad

Propiedad de las proporciones

Sistema métrico decimalMedidas de longitud

kilómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 m

decámetro dam 10 m

metro m 1 m

decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

milímetro mm 0.001 m

Unidades inglesasMedidas de longitudPulgada  = 2.54 cm.Pie  = 12 pulgadas = 30.48 cm.Yarda  = 3 pies = 91.44 cm.Braza  = dos yardas = 1. 829 m.Milla terrestre  = 880 brazas = 1.609 kilómetros.Milla náutica = 1.853 m.

DivisibilidadUn número es divisible por :2 , si termina en cero o número par.24, 238, 1024.3 , si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.36, 564, 2040.5 , si termina en cero o cinco.45, 515, 7525.

Geometría Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Símbolos Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:

Símbolo

Significado Ejemplo En palabras

TriánguloABC tiene 3

lados igualesEl triángulo ABC tiene

tres lados iguales

ÁnguloABC mide

45°El ángulo formado por ABC mide 45 grados.

Perpendicular AB CDLa línea AB es

perpendicular a la línea CD

Paralela EF GHLa línea EF is paralela

a la línea GH

Grados360° es un

círculo completo

Ángulo recto (90°)  mide 90°Un ángulo recto mide

90 grados

Segmento de línea "AB" AB La línea entre A y B

Línea "AB"La línea infinita que

pasa por A y B

Rayo "AB"La línea que empieza

en A, pasa por B y continúa

Congruente (mismo tamaño y forma)

ABC   DEF

El triángulo ABC es congruente con el

triángulo DEF

Similar (misma forma, distinto tamaño)

DEFMNO

El triángulo DEF es similar al triángulo

MNO

Por tanto a=b   b=aa es igual que b, por tanto b es igual que a

Signos

Formulas Triángulo

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

P = 2 · (a + b)

A = b · hTrapecio

Polígono

A = T   1  + T   2  + T   3  + T   4

Polígono regular

Longitud de la circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Círculo

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del tr iángulo AOB

Problemas y ejercicios resueltos de áreas

AlgebraEs la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Símbolos Simbología de Conjuntos14

Símbolo Descripción{} conjunto∈ Es un elemento del conjunto o pertenece

al conjunto.∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.⎜ Tal que.

n (C) Cardinalidad del conjunto C.U Conjunto Universo.Φ Conjunto Vacío.⊆ Subconjunto de.⊂ Subconjunto propio de.⊄ No es subconjunto propio de.> Mayor que.< Menor que.≥ Mayor o igual que.≤ Menor o igual que.∩ Intersección de conjuntos.∪ Unión de Conjuntos.A' Complemento del conjunto A.= Símbolo de igualdad.≠ No es igual a.... El conjunto continúa.⇔ Si y sólo si.¬ (en algunos ocasiones ∼)

No, negación lógica (es falso que).∧ Y∨ OSignosSignos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.

Signos de relaciónSe emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de agrupaciónLos signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅ d} indica que al resultado de la suma de a + b debe restarse c y el resultado de esto multiplicarse por d.

Signos y símbolos

Expresión Uso

+Además de expresar adición también es usada para expresaroperaciones binarias

c o k Expresan términos constantes

Primeras letras del abecedarioa, b, c,...

Se utilizan para expresar cantidades conocidas

Últimas letras del abecedario..., x, y, z

Se utilizan para expresar incógnitas

n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)

Exponentes y subíndices Expresar cantidades de la misma especie, de d

Formulas Monomios

axn + bxn = (a + b)bxn

axn − bxn = (a − b)bxn

axn · bxm = (a · b)bxn + m

axn : bxm = (a : b)bxn − m

(axn)m = amxn · m

Productos notables

Binomios al cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b 2

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b 2

Binomios al cubo

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 − b3

Binomio de Newton

Diferencia de cuadrados

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

Diferencia cuarta

a4 − b4 = (a + b) · (a − b)  · (a2 + b2)

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Cocientes notables

Factorización

Factor común

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Doble extracción de factor común

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x −

b)

Trinomio de segundo grado

a x2 + bx +c = a · (x -x 1  ) · (x -x2  )

Ecuaciones

Ecuación de segundo grado

ax2 + bx +c = 0

Ecuación bicuadrada

ax4 + bx2 + c = 0

Lógica matemáticaLa lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras

áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica. Símbolos Lógica proposicional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

implicación material o en un solo sentido

implica; si .. entonces; por lo tanto

lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A.→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.

x = 2  ⇒  x² = 4 es verdadera, pero 4 = x²   ⇒  x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)

doble implicaciónsi y sólo si; sii, syss1 lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y

conjunción lógica o intersección en unareja

ylógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.

n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3 cuando n es un número natural

disyunción lógica o unión en una reja

o, ólógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

negación lógica no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S  ⇔  ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados

Símbolo Nombre se lee como Categoría

cuantificador universal para todos; para cualquier; para cada

lógica de predicados

∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x∀ n ∈ N: n² ≥ n

cuantificador existencialexiste por lo menos un/os

lógica de predicados∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

cuantificador existencial con marca de unicidad

existe un/os único/slógica de predicados∃!  x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.∃!  n ∈ N: n + 1 = 2

reluz tal quelógica de predicados∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Signos

Código Símbolo lógico

\lnot ¬ (megación)

\neg ¬ (negación)

\sim ∼ (negación)

\wedge ∧ (conjunción)

\land ∧ (conjunción)

\& & (conjunción)

\lor ∨ (disyunción inclus.)

\vee ∨ (disyunción inclus.)

\veebar ⊻ (disy. exclusiva)

\supset ⊃ (implicación)

\to → (implicación)

\subset ⊂ (es implicado por)

\gets ← (es implicado por)

\equiv ≡ (equivalencia)

\Leftrightarrow ⇔ (equivalencia)

\leftrightarrow ↔ (equivalencia)

\iff ⟺ (equivalencia)

\forall ∀ (para todo)

\exists ∃ (existe)

\prod ∏ (producto)

\sum ∑ (suma)

= = (es lo mismo que)

\ne ≠ (es distinto de)

\neq ≠ (es distinto de)

\top ⊤ (tautología)

\bot ⊥ (contradicción)

\vdash ⊢ (es consecuencia sintáctica)

\models ⊨ (es consecuencia semántica)

( ( (abre paréntesis)

) ) (cierra paréntesis)

\{ { (abre llave)

\} } (cierra llave)

\lbrack [ (abre corchete)

\rbrack ] (cierra corchete)

\lbrace { (abre llave)

\rbrace } (cierra llave)

\langle ⟨ (abre paréntesis angular)

\rangle ⟩ (cierra paréntesis angular)

A~B A B (espacio en blanco)

\ldots … (puntos suspensivos entre texto)

\cdots ⋯ (puntos suspensivos en ecuación)

\dagger † (daga)

\colon : (dos puntos—se define como)

Código Carácter griego. Mayúscula

\Gamma Γ (gama)

\Delta Δ (delta)

\Theta Θ (theta)

\Lambda

Λ (lambda)

\Xi Ξ (ji)

O O (ómicron)

\Pi Π (pi)

\Sigma Σ (sigma)

\Upsilon Υ (úpsilon)

\Phi Φ (fi)

\Psi Ψ (psi)

\Omega Ω (omega)

Formulas A. Incorporadas dentro de líneas de textoPara emplear expresiones lógicas en medio de texto normal (dentro de oraciones) marca la cadena de caracteres con estas etiquetas [[$ ... $]]. Puedes aplicarlas fácilmente si seleccionas toda la cadena de caracteres de tu ecuación y luego pulsas el ante-ante-penúltimo botón del panel de formato.

EjemploPara obtener:La conjunción de las proposiciones atómicas A y B puede escribirse [A∧B] o también así (A&B)Debes escribir:La conjunción de las proposiciones atómicas A y B puede escribirse [[$ \lbrack A \wedge B \rbrack $]] o también así [[$ ( A \& B ) $]]B. En una línea propia y etiquetada (con un número).

Para poner una expresión lógica fuera del texto normal, y en una línea aparte o como parte de una lista de fórmulas encierra tu(s) cadena(s) de códigos matemáticos entre estas dos líneas [[math]] y [[/math]]. Puedes aplicarlas fácilmente si seleccionas las líneas de código matemático y luego pulsas el ante-ante-ante-penúltimo botón del panel de formato (cinco botones desde el final).EjemploPara decir:

Toda fórmula que sea una tautología en el lenguaje L, como por ejemplo la fórmula (1):(1)⊨[(A⊃B)&¬B]⊃¬Aes un teorema en el sistema de reglas S de Simpson, como establece la fórmula (2):(2)⊢[(A⊃B)&¬B]⊃¬ADebes escribir:Toda fórmula que sea una tautología en el lenguaje [[$ L $]], como por ejemplo la fórmula [[$ (1) $]]:[[math label1]]\models \lbrack ( A \supset B ) \& \lnot B \rbrack \supset \lnot A[[/math]]es un teorema en el sistema de reglas [[$ S $]] de Simpson, como establece la fórmula [[$ (2) $]]:[[math label2]]\vdash \lbrack ( A \supset B ) \& \lnot B \rbrack \supset \lnot A[[/math]]

Referencias a fórmulas etiquetas (numeradas) anteriormente en el mismo texto:Para referirte a un fórmula etiquetada simplemente utiliza Prop. [[eref label1]], o ([[eref label2]] para obtener un simple número, lo que te dará respectivamente:En un sistema completo cada Prop. 1 tiene su correspondiente.C. Secuencias de fórmulas en varias líneas etiquetadas (con un número)

Primer método, usando el entorno eqnarray* de LaTeXPara alinear fórmulas en una columna, Wikidot utiliza el entorno de ecuaciones en serie con tabulador (equation array environment with tab). El tabulador es un signo ampersand (&) colocado en el punto horizontal en el que se deben alinear todas las expresiones. Para usar dicho entorno, debe establecerse antes de escribir las fórmulas. Eso puede hacerse de dos maneras equivalentes:

[[math type="eqnarray*"]]\frac{ (A \supset \sim B) }{ (B \supset \sim A) }[[/math]](3)(A⊃∼B)(B⊃∼A)[[math]]\begin{eqnarray*}\frac{ (A \supset \sim B) }{ (B \supset \sim A) }\end{eqnarray*}[[/math]](4)(A⊃∼B)(B⊃∼A)

Nota: Para producir la pleca característica de un argumento, utilizamos el comando usado para escribir fracciones /frac{ }{ }, ya que Wikidot y su intérprete de texto matemático, MathJax no tienen la capacidad de generar tablas o plecas.Segundo método: utilizando tablas avanzadas de Wikidot.

Este código:[[table]][[row]][[cell style="border: 0px solid black;"]]1.[[/cell]][[cell style="border: 0px solid black"]][[$ (A \supset \lnot B) $]][[/cell]][[/row]][[row]][[cell style="border: 0px solid black"]]2.[[/cell]][[cell style="border-top: 1px solid black;"]][[$ (B \supset \lnot A) $]][[/cell]][[/row]][[/table]]produce esta tabla:1. (A⊃¬B)2. (B⊃¬A)

D. Texto dentro de fórmulas.Text can be embedded in displayed equations (in LaTeX) by using \mbox{embedded text}. For example, para obtener:

(5)M⊥={f∈V′:f(m)=0 para ningún m∈M}.Uno escribe:M^\bot = \{ f \in V' : f(m) = 0 \mbox{ para ningún } m \in M \}.