SECCIONES TRANSVERSALES

I. INTRODUCCINPara fines de presupuesto y pago de la obra, es preciso determinar los volmenes tanto de corte como de terrapln. Para lograr lo anterior, es necesario calcular el rea de las distintas porciones consideradas en el proyecto de la seccin de construccin.Entre los mtodos para calcular el rea veremos los siguientes: Mtodo analtico Mtodo grafico Mtodo del planmetro

II. OBJETIVOSDeterminar:a) Como se realiza el clculo de una seccin simple en corte y en curva b) Como se realiza el clculo de una seccin homognea compuesta en cortec) Como se realiza el clculo de una seccin compuesta mixtad) Como se realiza el clculo de una seccin por el Mtodo analtico e) Como se realiza el clculo de una seccin por el Mtodo grfico

III. MARCO TERICO

1. DETERMINACIN DE REAS

Las reas de las secciones transversales pueden calcularse de diferentes maneras, dependiendo de la topografa de terreno y del grado de precisin exigido. Entre otros mtodos, a continuacin se describen los ms usuales:

A. Mtodo analticoEste mtodo se basa en la descomposicin de la seccin, en las figuras rectangulares obtenidas al trazar lneas verticales por los puntos de quiebre del terreno y de la seccin de construccin. Si se considera una seccin en corte como la mostrada en la Figura 1 referida a un sistema de ejes cartesianos; el rea de la seccin es la suma de las reas de los trapecios: A23CA; C34DC y D45FD, menos la suma de las reas de los trapecios A21BA, B16EB y E65FE. Puesto que el rea de un trapecio es la semisuma de las bases por la altura, se tendr:

Figura 1: Determinacin de reas por el mtodo analtico

Desarrollando y ordenando:

Por lo que puede expresarse por la matriz:

Por su naturaleza, este mtodo es til cuando las reas de las secciones se calculan con la ayuda de una computadora. Si el clculo se hace manualmente, el mtodo puede resultar muy elaborado; sin embargo, se simplifica escogiendo un sistema de ejes adecuado y seleccionado apropiadamente los puntos que definen la seccin de construccin y el terreno natural.

B. Mtodo grafico

En la Figura 2 la seccin en terrapln mostrada ha sido dividida en trapecios y dos tringulos extremos, mediante lneas verticales a una separacin constante.

Figura 2: Determinacin de reas por el mtodo grafico

El rea de la seccin es igual a la suma de las reas parciales.

O lo que es lo mismo, siendo constante S:

O sea:

Por lo tanto:

Para que esta expresin fuera exacta se necesitara que las lneas verticales coinciden en todos los casos con los puntos de cambio de pendiente del terreno y con los ceros, hombros y centro de la lnea de la seccin, lo que no siempre sucede; el error que se origina es funcin de la equidistancia B y lgicamente ser menor conforme S sea ms pequea.

La aplicacin del mtodo grafico, basada en esta expresin, consiste en acumular las distancias aa, bb, cc, dd, marcndolas en una tirilla de papel; una vez efectuada la operacin en toda la seccin, la distancia entre las marcas extremas en la trilla, multiplicada por la equidistancia S, define el rea total de la seccin.

C. Mtodo del planmetroPor la rapidez en su operacin y por la precisin que proporciona, el planmetro es el instrumento que ms se presta para la determinacin de reas. De los distintos tipos existentes, el polar de brazo ajustable es el ms empleado y se describe a continuacin:El instrumento (Figura 3) se apoya en la mesa en cuatro puntos: tres de ellos pertenecen al brazo trazador (1) y son: la rueda de deslizamiento (13), la gua trazadora (5) con la que se sigue el contorno de la figura por reas y el tambor (11), que esta graduado con 100 partes y es en el que se toman la lectura de unidades; tiene junto un nonio (12) que aproxima al decimo. El cuarto punto de apoyo en la mesa es el polo (3) que queda fijo a ella por una punta de aguja y corresponde al brazo polar (2). Ambos brazos se unen a travs de una articulacin (15) en el soporte (14). Este soporte lleva el tambor, el nonio y un disco graduado (10) que marca el nmero completo de vueltas del tambor. El brazo trazador esta graduado para que se pueda poner el ndice (9) del soporte frente al valor debido, valor que depender de la escala a que este el dibujo; hay tambin ciertos valores, constantes del aparato, para dar v.gr. centmetros cuadrados en las unidades del tambor. Para que el ndice quede en la posicin exacta, primero se mueve a mano el soporte sobre el brazo graduado hasta que el ndice quede aproximadamente frente al valor debido; se aprieta uno de los tornillos para fijar el soporte al brazo; despus se mueve el ndice girando el tornillo sinfn del soporte y apreciando, con ayuda del nonio, la lectura en la graduacin; estando ya en la correcta, se aprieta el segundo tornillo para mantener fijo el soporte.Teniendo en cuenta que la escala del papel milimtrico puede no corresponder a las dimensiones nominales, sea por una impresin defectuosa o por condiciones climatolgicas, es norma practica, antes de efectuar las mediciones de reas, ajustar el planmetro para obtener las reas correctas.Para determinar el rea, se fija el polo en el punto conveniente y se coloca la gua trazadora en un cerco de la seccin, se toma la lectura inicial y se sigue el permetro de la figura con la gua hasta volver al punto de partida, hacindose una nueva lectura; la diferencia de estas lecturas multiplicada por una constante, ser el rea buscada; para comprobar el dato obtenido se repite la operacin, debiendo estar la diferencia entre ambos resultados dentro de la tolerancia establecida. Cuando el polo se coloca fuera de la seccin y el permetro de esta es recorrido por la gua trazadora en el sentido de las manecillas del reloj, la lectura final ser mayor que la inicial y el numero de vueltas que da el tambor ser positivo, o sea que el tambor gira hacia adelante; si el permetro se recorre en sentido opuesto, la lectura final ser mayor que la inicial.Una demostracin geomtrica de la teora matemtica se basa el planmetro puede encontrarse, entre otros, en el Tratado de Topografa, cuarta edicin ao 1964, de los autores Davis y Foote.

Figura 3: Planmetro Polar

2. REA DE UNA SECCIN HOMOGNEA SIMPLE EN CURVAEn la seccin transversal donde el ancho de banca B ya ha sido calculado previamente para la recta. En este caso adicionalmente a los elementos anteriores, aparecen el peralte m y el sobre ancho S, aplicados a una determinada seccin transversal. El rea se puede calcular por cualquiera de los siguientes mtodos:Mtodo grafico:En las secciones en curva, para tener en cuenta la inclinacin de la banca que facilite el peralte de la calzada, se adoptan como planos horizontales de referencia los que pasan por cada uno de los extremos de la banca la Figura 3 muestra una seccin de terrapln simple en una curva horizontal izquierda, a la cual se le ha aplicado un peralte m y un sobre ancho S en su interior. Tal seccin se ha dividido en cuatro tringulos de bases y alturas conocidas, as:

Figura 3: rea seccin homogenea simple en curva, metodo grafico

Al calcular las reas de esta manera, se puede ver que:El rea abca se calculo dos veces, el rea dbfd no se calculo, el rea fghf tampoco se calculo y el rea igji se calculo por fuera. Por compensacin puede decirse que las reas calculadas adicionalmente abca y igji, son aproximadamente iguales a las que se dejaron de calcular dbfd y fghf. De esta manera, el rea total del terrapln At es:

Mtodo de la cartera de chaflanes:De acuerdo con la Figura 3 anterior, la cota del plano horizontal de referencia, para situar el chafln de la derecha, con respecto a la cota de trabajo Y en el eje, esta a una altura fi por encima; a la cual se le llama cota nominal de trabajo. Para el chafln de la izquierda la altura es fc por debajo. Por lo tanto, para este caso: Para el chafln derecho:

Para el chafln izquierdo:

En la parte superior de la Figura 4, se ha dispuesto la cartera de chaflanes correspondiente a los datos de la Figura 3 anterior. El mtodo de clculo del rea por chaflanes, denominado regla de las cruces, utiliza la cartera de chaflanes artificialmente colocando un (0) en el denominador del quebrado del centro, y adicionando un par de quebrados extremos de numerador cero (0) y denominador el valor de la semi-banca (B/2 + S y B/2 respectivamente).

CARTERA DE CHAFLANESIzquierdoCentroDerecho

REGLA DE LAS CRUCES

Figura 4: rea seccin simple homognea en curva, por chaflanes.

Si se efectan los productos en diagonal, de tal manera que a los productos de las lneas continuas se le resten los de las lneas discontinuas, se obtendrn al doble del rea. Por lo tanto:

Mtodo de las coordenadas de los vrtices La Figura 4 presenta la seccin transversal bajo el sistema de coordenadas (x,y)

Figura 5: rea seccin simple homognea en curva, por coordenadas de los vrtices.

Organizando las coordenadas de los vrtices, segn la Figura 6 se tiene

TIPO DE AREAVERTICECOORDENADAS

YX

Terrapln1

2

3

4

5

1

Figura 6: rea de la seccin homognea simple en curvas

Organizando los terminos, resulta:

Esta expresion da el area exacta de la seccion transversal. Observese que la primera parte de ella, es el area dada por los dos mtodos anteriores . De alli que, la segunda parte representa correccion, que para efectos practicos es muy pequea, mostrando as la aplicabilidad de ellos. Sin embargo, todas las veces que se quiera el rea precisa, debera considerarse expresiones como la dada por la ecuacion de coordenadas de los vertices.NOTA: SE REALIZA EL MISMO PROCEDIMIENTO PARA SECCIONES EN CORTE.

3. REA DE UNA SECCIN HOMOGNEA COMPUESTA EN CORTE

Se denomina homognea si se trata de solo corte o solo terrapln, y es compuesta si el perfil del terreno natural no es uniforme.

Mtodo de la cartera de chaflanes:

El mtodo de clculo del rea por chaflanes, denominado regla de las cruces, utiliza la cartera de chaflanes artificialmente colocando un (0) en el denominador del quebrado del centro, y adicionando un par de quebrados extremos de numerador cero (0) y denominador el valor de la semi-banca.

Se realizara solo este mtodo debido a su simplicidad, el rea de la seccin para el clculo se la puede observar en la Figura 13.CARTERA DE CHAFLANESIzquierdoCentroDerecho

-Y

REGLA DE LAS CRUCES

Figura 13: rea de una seccin homognea compuesta en corte

4. REA DE UNA SECCIN MIXTA COMPUESTA EN CURVASe denomina compuesta debido a que el perfil transversal del terreno es irregular, por lo que para precisar mejor su rea es necesario acotar diferentes puntos, exactamente donde el terreno cambia. Como se vio anteriormente, cualquiera de los cuatro mtodos tiene aplicacin en el clculo del rea. Por esta razn, para este caso, se usara solamente el de la regla de las cruces basado en la cartera de chaflanes, tomando en cuenta como modelo de una seccin mixta en curva derecha con un cero lateral izquierdo como lo ilustramos en la siguiente Figura 11.Los datos correspondientes a esta seccin se muestran en la Figura 12, en la cartera de chaflanes y la regla de las cruces, para lo cual:CARTERA DE CHAFLANESIZQUIERDOCENTRODERECHO

Figura 11: rea de una seccin mixta compuesta en curva

Regla de las cruces

CorteTerrapln

Figura 12: Area seccion compuesta mixta en curva, por chaflanes

NOTA: PARA UNA SECCIN EN RECTA S=0REAS EXTRA

5. REA DE UNA SECCIN HOMOGNEA SIMPLE EN RECTASe denomina homognea si se trata de solo corte o solo terrapln, y es simple si el perfil del terreno natural es ms o menos uniforme.Con el avance tecnolgico, hoy en da para determinar el rea de las secciones transversales, se utilizan tcnicas de computador, como por ejemplo el Autocad. Sin embargo, existen varios mtodos manuales, que eventualmente pueden ser usados, y que son la base analtica de las tcnicas computacionales. En la medida de su aplicabilidad, se expondrn aqu las bases tericas sobre las cuales se fundamenta cada uno de ellos.Mtodo del planmetroEn este caso la seccin transversal debe estar dibujada a una sola escala dada, tal que se pueda recorrer su contorno con el planmetro.Mtodo de las figuras geomtricasLa seccin transversal se divide en figuras geomtricas conocidas, generalmente tringulos, rectngulos y trapecios, para as calcular el rea de cada una de ellas separadamente, como se muestra en la Figura 7 para una seccin en corte.

Figura 7: rea seccin homognea simple en recta, por figura geomtricas y coordenadas.En este caso el rea de corte Ac, se puede plantear mediante el rea de las siguientes figuras geomtricas as:

Desarrollando:

Factorizando, se llega a:

Donde,

Mtodo de las coordenadas de los vrtices:Se utiliza un sistema de coordenadas (x,y), de origen de la cota roja en el eje de la va, tal como se aprecia en la Figura 7 anterior, para la cual las coordenadas de los vrtices son:

En la Figura 8, se han organizado las coordenadas (x,y) de los vrtices, de tal manera que la suma de los productos y por x de las lneas continuas, menos la suma de los productos y por x de las lneas discontinuas, arrojan como resultado el doble del rea, esto es 2AC.VERTICECOORDENADAS

YX

000

1-h-(c+b+gc)

2-(h+d)-B/2

3Yi-(h+d)-Xi

4Y0

5Yd-(h+d)Xd

6-(h+d)B/2

7-h-(c+b+gc)

000

Figura 8: rea seccin homognea simple en recta, por las coordenadas de los vrtices.

Desarrollando y factorizando, se obtiene:

Por lo tanto:

6. REA DE UNA SECCIN MIXTA SIMPLE EN RECTASe denomina mixta si se trata de corte y terrapln, y es simple si el perfil del terreno natural es ms o menos uniforme.Al igual que en el caso anterior, para el clculo del rea, se puede emplear cualquiera de los mtodos descritos, a saber:

Mtodo de las coordenadas de los vrticesEn la Figura 9 se muestran todos todos los elementos geomtricos de una seccin transversal mixta simple en recta, referidos al sistema de coordenadas (x,y), de rigen la cota roja en el de la va. Como se desarrollo anteriormente, estos elementos se calculan como:

Figura 9: rea seccin mixta simple en recta por las coordenadas de los vrtices

De igual manera, en la Figura 10, se han organizado las coordenadas (x,y) de los diferentes vrtices.TIPO DE REAVRTICECOORDENADAS

YX

Terrapln000

1-mXodXod

2-Y0

3-(Yi+h)-Xi

4-h-(c+b+gt)

00q0

Corte1-mXodaXod

5Yd-(h+d)Xd

6-(h+d)B-( c+b+gt)

7-h(c+b+gc)

1-mXodXod

Figura 10: rea seccin mixta por las coordenadas de los vrtices.Aplicando la suma de los productos de las lneas continuas menos los productos de las discontinuas, se tiene que el doble del rea del terrapln At es:

Por lo tanto:

Igualmente, el doble del rea de corte Ac es:

Por lo tanto, desarrollando y factorizando, se llega a:

IV. CONCLUSIONESEntre los mtodos para calcular el rea se vieron los siguientes: Mtodo analtico: El mtodo analtico ofrece mayor precisin en los clculos por cuanto toma en cuenta valores de coordenadas localizados en los planos verticales y conformados por cotas y distancias (c/d). La distancias consideradas para este clculo se refiere a las magnitudes que separan cada uno de los puntos levantados en el terreno natural y las distancias adicionales que surgen de la superposicin de la seccin tpica sobre el perfil transversal. Mtodo grafico: el terrapln o corte se divide en reas de las cuales se obtiene el resultado y la sumatoria de estas dan el resultado final. Mtodo del planmetro: El planmetro es un instrumento que sirve para medir el rea de una figura recorriendo su contorno con una determinada parte del instrumento. De los distintos tipos de planmetros existentes, el ms recomendado es el llamado planmetro polar. Actualmente existen planmetros digitales que ofrecen mayor precisin para el clculo de reas.

V. BIBLIOGRAFA

Diseo geomtrico de carreteras de James Crdenas Grisales Manual de proyecto geomtrico de carreteras de Secretaria de comunicaciones y transportes (Mxico)