apunts de càlcul tema 5. nombres complexos -...

Apunts de CalculTema 5. Nombres complexos

Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematica Aplicada 4 - UPC

Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica

EETAC

Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 1 / 22

Continguts

Continguts

5.1 La unitat imaginaria

5.2 Forma binomica d’un complexDefinicioOperacions en forma binomica

5.3 El pla complex

5.4 Forma exponencial d’un complexDefinicioOperacions en forma exponencialFormules trigonometriques

5.5 Arrels n-esimes d’un complex




Conjunts de nombres

I Els conjunts numerics estudiats fins ara son N, Z, Q i R, que satisfan:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

I Cadascun d’ells completa l’anterior, en el sentit que podem feroperacions que no tenien solucio en el conjunt precedent:

I A Z podem calcular 1− 2, cosa que no podem fer a N.I A Q podem calcular (treballar amb) 3

2 , cosa que no podem fer a Z.I A R podem calcular (treballar amb)

√2, cosa que no podem fer a Q.

I Fins ara hem treballat al conjunt R.

A R no podem calcular arrels quadrades de nombres negatius!!!



Arrels quadrades de nombres negatius: la unitat imaginaria

I Observem: √−2 =

√(−1) · 2 =

√−1 ·√

2

i el mateix raonament serviria per a qualsevol altre nombre negatiu.

I Per tant, si coneixem √−1,

podem calcular l’arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu.

I Definicio. Anomenem l’arrel quadrada de −1 unitat imaginaria. Larepresentem amb la lletra j. Aixı:

j =√−1

I De la definicio es dedueix que: j2 = −1

Utilitzant j, totes les equacions de segon grau tenen solucio.



Solucions d’equacions de segon grau

Exemple

I Fins ara, l’equaciox2 − 4x+ 13 = 0

no te solucions (reals). Les solucions haurien de ser

x =4±√

16− 52

2=

4±√−36

2,

que no existeixen perque a R no existeix l’arrel d’un nombre negatiu.

I A partir d’ara, podem resoldre l’equacio (a C):

x2 − 4x+ 13 = 0⇔ x =4±√−36

2= 2± 3 ·

√−1⇒ x = 2± 3 · j



Solucions d’equacions de segon grau

Exercici 1. Resoldre les equacions seguents, usant la unitat imaginaria:

1. x2 = −1

2. x2 = −4

3. x2 + x+ 1 = 0


5.2 Forma binomica d’un complex Definicio

5.2 Forma binomica d’un complex

Un nombre complex en forma binomica es un nombre de la forma

z = a+ b · j, amb a, b ∈ R

I a es la part real de z: Re(z) = a.

I b es la part imaginaria de z: Im(z) = b.

I Si Re(z) = 0, aleshores z = b · j. Diem que z es imaginari pur.

I Si Im(z) = 0, aleshores z = a i z es real.

I Donat z = a+ b · j, el conjugat de z es

z = a− b · j

Escrivim C per designar el conjunt dels nombres complexos Es compleix

R ⊂ C


5.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica

Suma, producte i divisio

I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:

z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d) · jz1 · z2 = (ac− bd) + (ad+ bc) · j

I Es compleix z = a+ b · j⇒ z · z = (a+ b · j) · (a− b · j) = a2 + b2.

I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:

z1z2

=z1z2· z2z2

= · · · = ac+ bd

c2 + d2+bc− adc2 + d2

· j

Dividir dos nombres complexos es, en realitat, racionalitzar un trencat.

Exercici 2. Donats z1 = 2− 3j i z2 = 5 + 4j, calcular z1z2

.


5.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica

Potenciacio

I Notem que:

j0 = 1 j4 = j3 · j = −j · j = −j2 = 1 = j0

j1 = j j5 = j4 · j1 = j1 = j

j2 = −1 j6 = j4 · j2 = j2 = −1j3 = j2 · j = −1 · j = −j j7 = j4 · j3 = j3 = −j . . .

I Per tant, donat n ∈ N:jn = jr

on r es el residu de dividir n entre 4.

I El calcul de (a+ b · j)n per n petites (n = 2, 3, 4) es pot fer en formabinomica. Per a n mes grans es preferible usar una altra representaciodels complexos.

Exercici 3. Calcular:j51, (1 + 2j)2, (2− 2j)2


5.3 El pla complex

5.3 El pla complex

Representacio grafica de nombres complexos

I Els nombres reals es representen a la recta real, R.

I Al nombre complex complex z = a+ b · j li podem fer correspondre elpunt del pla de coordenades cartesianes (a, b).

I El conjunt de tots els complexos, representats com a punts del pla,rep el nom de pla complex, i s’identifica amb R2.

Exercici 4. Representar en el pla complex:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +

√3j, −3


5.3 El pla complex

Modul i argument d’un complex z = a+ b · jI |z| =

√z · z =

√a2 + b2 es el modul de z.

I arg(z) = arctan(ba

)(+π si a < 0) es l’argument de z.

I L’argument d’un complex no es unic: arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π, k ∈ Z.I L’argument principal de z es el que compleix 0 ≤ arg(z) < 2π.

α−2π

α+2π

α


5.3 El pla complex

Propietats

I z i z son simetrics respecte de l’eix real:

|z| = |z| i arg (z) = − arg(z)

I z i −z son simetrics respecte de l’origen de coordenades:

| − z| = |z| i arg (−z) = arg(z) + π


5.3 El pla complex

Exercicis

I Exercici 5. Trobar el modul i l’argument de:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +

√3j, −3

I Exercici 6. Expressar en forma binomica, representar graficament itrobar el modul i l’argument:

1 + j

1− j,

2− j√

3

1 + j,

(1 + j)2

1− j, (1− j)4


5.4 Forma exponencial d’un complex Definicio

Formula d’Euler i forma exponencial

I Formula d’Euler. Nombre complex de modul 1 i argument α:

eαj = cosα+ j · sinα

I Forma exponencial d’un nombre complexSi z = a+ b · j, amb |z| = R i arg(z) = α:

z = a+ b · j = R · (cosα+ j · sinα) = R · eαj

Forma binomica Forma exponencial

a+ b · j → R =√a2 + b2

α = arctanb

a(+π, si a < 0)

a = R · cosα ← R · eαjb = R · sinα


5.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial

Producte, divisio i potenciacio

I Producte i divisio

z1 = R1 · eα1j, z2 = R2 · eα2j ⇒

z1 · z2 = R1 ·R2 · e(α1+α2)j

z1z2

=R1

R2· e(α1−α2)j

I Potenciacioz = R · eαj ⇒ zn = Rn · enαj

Es dedueix directament de les propietats de l’exponencial!!!


5.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial

Exercicis

I Exercici 7. Demostrar que ejπ + 1 = 0.

I Exercici 8. Representar graficament i trobar el modul i l’argument:

ejπ2 , ej

π2 , −jej

π3 , −2ej

π3

I Exercici 9. Donar el resultat en forma binomica i en formaexponencial:

5j23 + 2j13, (1 + j)53,1 + 2j

2− j· e

π3j,

2e−π3j(1− j)2

(1 + j)eπ6j


5.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques

Forma exponencial i relacions trigonometriquesA partir de la forma exponencial del nombres complexos i de les propietatsde les potencies, es poden deduir analıticament diferents relacionstrigonometriques

I e(α+β)j = eαj · eβj ⇒

cos(α+ β) + j sin(α+ β) = (cosα+ j sinα) · (cosβ + j sinβ) =

= cosα cosβ − sinα sinβ + j(sinα cosβ + cosα sinβ)

I enαj = (eαj)n ⇒

cosnα+ j sinnα = (cosα+ j sinα)n

I eαj = cosα+ j sinα, e−αj = cosα− j sinα⇒

cosα =1

2

(eαj + e−αj

), sinα =

1

2j

(eαj − e−αj

)Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 17 / 22

5.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques

Exercicis

I Exercici 10. Demostrar:

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θsin 2θ = 2 sin θ cos θ

I Exercici 11. Utilitzant l’exercici anterior i les raons trigonometriquesde l’angle π

6 , trobeu les raons trigonometriques de l’angle π12 .



5.5 Arrels n-esimes d’un complexSi z = R · eαj, volem calcular n

√z, amb n ∈ N, n 6= 0.

I Volem trobar els nombres complexos w = S · eβj que compleixenw = n

√z, es a dir, wn = z.

I Observem:

w = n√z ⇐⇒ wn = z ⇐⇒ (S ·eαj)n = R ·eαj ⇐⇒ Sn ·enβj = R ·eαj

I A mes: α = arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π = α+ k · 2π, k ∈ Z.I Aixı,

w = n√z ⇐⇒ Sn · enβkj = R · e(α+k·2π)j

I Per tant, les arrels buscades son els nombres complexos S · eβj talsque

Sn = R⇐⇒ S =n√R

nβk = α+ k · 2π ⇐⇒ βk =α+ k · 2π

n, k ∈ Z

Hi ha un nombre infinit de possibles valors per a k!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 19 / 22


ObservacioFem variar k en Z per a trobar tots els possibles valors de βk.

I Per a k = 0, . . . , n− 1, tots els βk donen valors de w diferents:

β0 =α

n

β1 =α+ 2π

n=α

n+

2π

n. . .

βn−1 =α+ (n− 1) · 2π

n=α

n+

(n− 1) · 2πn

I Altres valors de k donen βk diferents pero no nous valors de w.

βn =α+ n · 2π

n=α

n+ 2π = β0 + 2π

βn+1 =α+ (n+ 1) · 2π

n=α

n+

2π

n+ 2π = β1 + 2π

. . .

Nomes 0 ≤ k < n donen valors de l’arrel diferents!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 20 / 22


Calcul d’arrels n-esimes

Si z = R · eαj, n ∈ N, n 6= 0, aleshores

wn = z ⇒ w =n√R · e

α+k·2πn

j, k = 0, 1, . . . , n− 1

I Si z 6= 0, z te n arrels n-esimes diferents.

I Escrivim:

n√z =

{n√R · e

α+k·2πn

j}k=0,1,...,n−1

=

w0 = n

√R · e

αnj

w1 = n√R · e

α+2πn

j

. . .

wn−1 = n√R · e

α+(n−1)2πn

j



Propietats

n√Reαj =

n√Re

α+k·2πn

j, k = 0, 1, . . . , n− 1

I Totes les arrels tenen el mateix modul, n√R.

I La diferencia angular entre dues arrels consecutives es constant:

βk − βk−1 =2π

n

I Les arrels n-esimes d’un nombre complex es troben en els vertexs d’unpolıgon regular de n costats, amb centre a l’origen de coordenades.

Exercici 12. Calcular i representar graficament:6√

1, 4

√−8 + 8

√3j

Exercici 13. Doneu en forma binomica i exponencial les arrels cubiques de1 +√

2j

1−√

2j


apunts de càlcul tema 5. nombres complexos -...

Documents