apuntito complejos

8/2/2019 apuntito complejos

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Matemticas Avanzadas

Dr. Erick E. Luna Rojero

Facultad de IngenieraDivisin de Ciencias Bsicas

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

2009 (ver. 0.1)http://basicas.fi-c.unam.mx


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ndice generalI Variable compleja 7

1. Funciones de variable compleja y mapeos 11Nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11El plano de Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Funcin Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Funcin exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Funcin logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ejercicios en clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Funciones analticas y mapeos conformes 19Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Derivada compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Ecuaciones de Cauchy-Riemann-(DAlembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Funciones Analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Funciones armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Derivadas de funciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Funcines trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Funcin logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Mapeo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Mapeo isogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Algunos mapeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Integral de lnea de funciones de variable compleja 29Integral de lnea compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Integracin paramtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Teorema integral de Cauchy-Goursat 31Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Independencia de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Frmulas integrales de Cauchy 33Frmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Derivadas de funciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Extensin de la frmula integral de Cauchy para una anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

NDICE GENERAL 3


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6. Serie Laurent y teorema del residuo 37

Series Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Series de potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Serie de Taylor compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Serie de Laurent compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Teorema del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Clasificacin de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Ceros de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Teorema del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Residuos y polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7. Aplicacin del anlisis complejo 43Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Fenmenos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Difusin molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II Series de Fourier 47

8. Series de Fourier 49Funciones perodicas y seales fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Definicin de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Condiciones de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Aproximacin por Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Fourier en las discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Simetras (propiedades de paridad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Derivacin e Integracin de Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Funcin Heaviside y Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Derivacin en puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9. Serie de Fourier compleja y espectro de frecuencia 55Forma compleja de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Espectros de frecuencia compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Contenido de potencia y teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.Ejercicios de Serie de Fourier 57

III Transformada de Fourier 59

11.Transformada de Fourier 61Deduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Espectro de frecuencia continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Transformadas seno y coseno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Convolucin y correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 NDICE GENERAL


5/72

Uso de la computadora para transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12.Transformada Discreta de Fourier 65

13.Ejercicios de Transformada de Fourier 67

IV Apndices 69Apndice A: Tabla de transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Apndice B: Tabla de transformada seno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Apndice C: Tabla de transformada coseno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Apndice D: Referencias Bibliogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

NDICE GENERAL 5


6/72

"Dara todo lo que s, por la mitad delo que ignoro"

Ren Descartes

6 NDICE GENERAL


7/72

Parte I

Variable compleja

7


8/72


9/72

Objetivo: El alumno manejar los conceptosy los mtodos bsicos de la teora de las funcionesde variable compleja, para la resolucin de prob-lemas de matemticas e ingeniera.

9


10/72

10


11/72

Captulo 1

Funciones de variable compleja y mapeos

Nmeros complejos

DefinicinSi se postula a la unidad imaginaria como

i2 = 1se puede definir a un nmero complejo como:

z = x + iy,

en donde x y y son nmeros reales.A x se le llama parte real de z

x = Re(z)

y a y parte imaginaria de z

y = Im (z)

Igualdad: Dos nmeros complejos z = a + iby w = c + id cumplen que

z = w {a = c y b = d}Suma: La suma de dos nmeros complejos

z = a + ib y w = c + id se define como

z + w = (a + c) + i (b + d)

Multiplicacin: La multiplicacin de dos nmeroscomplejos z = a + ib y w = c + id se define como

zw = (a + ib) (c + id)

zw = (ac bd) + i (ad + bc)

Complejo conjugado: El complejo conjuga-do de z = x+iy se denota como z o z, y se definepor

z = z = x iyMdulo o magnitud: El mdulo o la mag-

nitud de un nmero complejo z = x+iy se denotacomo |z| y se define como

|z

|= x2 + y2.Cociente: El cociente de dos nmeros com-

plejos z = a + ib y w = c + id = 0 se definecomo:

z

w=

zw

ww=

zw

|w|2z

w=

ac + db

c2 + d2+ i

bc adc2 + d2

Teorema 1 Sean z y w dos nmeros complejo,entonces

zz =

|z

|2

(z + w) = z + w

(zw) = zw zw

=

z

w

Plano de Argand o complejo: Se puederepresentar geomtricamente a un nmero com-plejo en un plano de Argand o complejo, Z, steconsiste en dos ejes ortogonales, el horizontal rep-resenta a la parte real del nmero complejo y elvertical a la parte imaginaria.

Funciones de variable compleja y mapeos 11


12/72

Plano de Argand

Forma polar de un nmero complejo. Seaz = x + iy un punto en el plano de Argand.Si se define a r como la distancia del origen alpunto (x, y) y a como el ngulo que forma eleje horizontal con r (ver figura), de argumentostrigonomtricos se tiene que:

x = r cos

y = r sen

r =

x2 + y2 = |z| = tan1

yx

Representacin polar de un nmero complejo

entonces

z = x + iy = r (cos + i sen )

z = |z| ei

o en forma simblica

z = rcis ()

z = r.

De las frmulas se observa que r es la magnitudo mdulo de z. A se le nombra el argumento dez, y se denota:

= arg (z) .

Argumento principal: En general es cualquierngulo tal que = tan1 (y/x), esto es, hay unnmero infinito de argumentos de z. Para evitar

la confusin de tener una funcin multivaluada sedefine al argumento principal de z como el talque

< y se denota:

= Arg (z)

Teorema 2 Sean z y w dos nmeros complejos

|zw| = |z| |w| zw

= |z||w| slo si w = 0arg(zw) = arg (z) + arg (w)

arg z

w

= arg (z) arg(w)

arg(z) = arg (cz) si c > 0

Potencias enteras de un nmero comple-jo: Sea el nmero complejo z = r (cos + i sen )entonces

zn = rn {cos(n) + i sen(n)}donde n es un nmero entero.

Potencias fraccionarias de un nmero com-plejo: Sea el nmero complejo z = r [cos + i sen ]entonces

z1m = r

1m

cos

+ 2k

m

+ i sen

+ 2k

m

donde m 1 es un nmero entero y

k = 0, 1, 2,...,m 1.Al igual que en los nmeros reales existen m posi-bles valores para la raz m esima de z.

El nmero complejo infinito: Definimos alnmero complejo infinito como el que satisface a

z

= 0z = : z =

z

0= : z = 0

z = : z = 0z

=

: z

=

.

Esfera de Riemann: Cuando el plano de Ar-gand incluye al punto infinito, se llama plano zextendido. Para entender mejor lo que significael punto infinito se utiliza la esfera numrica deRiemann. El punto z1 es proyectado en el punto1 de la esfera de Riemann con la ayuda de unsegmento de recta que une a los puntos B y z1.El punto z = 0 de Argand es el A de la esfera deRiemann y el punto del plano de Argand es elB de la esfera de Riemann.

12 Funciones de variable compleja y mapeos


13/72

Esfera de Riemann

El plano de Argand

Para poder estudiar el clculo son necesarias

las definiciones que a continuacin se muestran:Punto: (.)

Conjunto: Una coleccin de puntos en el planocomplejo.

Vecindad: Se llama vecindad (o entorno) deradio r, de un punto z0, al conjunto de puntossituados en el interior de un crculo de radio rcentrado en z0, es decir la regin |z z0| < r

|z z0| < r

Vecindad punteada: Una vecindad punteadade z0 es el conjunto de puntos tal que 0 < |z z0| 0 tal que

|f(z) L| < para todo z tal que

0 < |z z0| <

entonces decimos que

lmzz0

f(z) = L,

es decir, que f(z) tiene lmite L cuando z tiendea z0.

Lmite complejo

Es fcil notar que la definicin de lmite realy lmite complejo son muy similares, sin embar-go, existen diferencias entre ellas. Para ilustrar loanterior recuerde que en el caso real si los lmitespor la izquierda y por la derecha existen y son

iguales, entonces el lmite existe. Por otro lado,en el caso complejo, no hay slo dos direcciones,sino un nmero infinito de trayectorias por lascuales z tiende a z0, y para que el lmite exista,todos estos lmites debern existir y ser iguales.

Teorema 5 Suponga que

lmzz0

f(z) y lmzz0

g (z) existen

lmzz0

[f(z) + g (z)] = lmzz0

f(z) + lmzz0

g (z)

lmzz0

[f(z)] = lmzz0

f(z) : lmzz0

[f(z) g (z)] = lmzz0

f(z) lmzz0

g (z)

lmzz0

f(z)

g (z)

=

lmzz0 f(z)lmzz0 g (z)

si lmzz0

g (z) = 0

EjemploAnalice al siguiente lmite

lmz

0f(z) = lm

z

0x2 + x

x + y

+ iy2 + y

x + y tomemos dos trayectorias, la primera a lo largodel eje y acercndose por arriba, sobre esta trayec-toria x = 0 y el lmite

lmz0

f(z) = lmy0

i

y2 + y

y

= lm

y0[i (y + 1)] = i

la segunda a lo largo del eje x acercndose porla derecha, sobre esta trayectoria y = 0 y el lmite.

Funciones analticas y mapeos conformes 19


20/72

lmz0

f(z) = lmx0

x2 + x

x

= lm

x0[x + 1] = 1

como los lmites por diferentes trayectorias son

diferentes el lmite no existe.

El lmite no existe

Continuidad

Decimos que una funcin w = f(z) es conti-nua en z = z0 si se satisfacen las dos condicionessiguientes:

1. f(z0) est definido

2. lmzz0 f(z)

, y lmzz0 f(z) = f(z0)

Teorema 6 Sean f(z) y g (z) continuas en z0,entonces en z0

f(z) g (z) ,f(z) g (z) ,

f[g (z)] y

|f(z)|

son continuas yf(z)

g (z)

es continua si g (z0) = 0,adems si f(z) = u (x, y) + iv (x, y), entonces

u (x, y) y v (x, y)

son continuas.

EjemploEstudie la continuidad en z = i de la funcin

f(z) =

z2+1zi z = i

3i z = i

Primero se analiza si f(z0) existe, para esteproblema f(i) = 3i, lo que sigue es encontrar ellmite

lmzi

z2 + 1

z i

= lmziz2

i2

z i= lm

zi(z + i) (z i)

z i= lm

zi(z + i)

= 2i

aunque el lmite existe tenemos que,lmzi

z2 + 1

z i = 2i

= (f(i) = 3i)

por lo tanto no es continua.

Derivada compleja

Dada una funcin de variable compleja f(z),la derivada en z0, se define como:

f (z0) =df

dz

z0

= lmz0f(z0 + z)

f(z0)

z

= lmzz0

f(z) f(z0)z z0

siempre y cuando el lmite exista. La definicinanterior es muy similar al caso real, sin embargo,se debe tener cuidado ya que el lmite comple-

jo, es ms complicado de obtener. El problemade la existencia de la derivada se estudiar msadelante.

Teorema 7 Sif y g son funciones derivables enz0

(f + g)

= f + g

(f) = f

(f g) = fg + fgf

g

=

gf f gg2

: g = 0df[g (z)]

dz=

df

dg

dg

dz

Ejemplo

20 Funciones analticas y mapeos conformes


21/72

Si f(z) = zn,

dzn

dz= nzn1

EjemploSea f(z) = z, pruebe que f (i) .La definicin de la derivada es:

f (i) = lmzi

z (i)z i

f (i) = lmzi

z + i

z ipara analizar este lmite utilizaremos dos trayec-torias diferentes:

la primera sobre el eje imaginario, aqu, x = 0,entonces el lmite es

f (i) = lmzi

x iy + ix + iy

i

= lmy1

iy + iiy i

= lmy1

y 1y 1

= 1a la segunda trayectoria la definimos como la

recta horizontal y = 1, en este caso el lmite

f (i) = lmzi

x iy + ix + iy i

= lmx0

x i + ix + i

i

= lmx0

xx

= 1

como ambos lmites tienen diferentes valores, laderivada no existe.

La derivada no existe

Ecuaciones de Cauchy-Riemann-(DAlembert)

Como se mostr en ejemplos anteriores pro-bar que la derivada existe apartir de un lmite es

complicado, an en funciones sencillas. En estaseccin se estudia una manera simple de probarsi la derivada existe y cmo calcularla.

Suponga que la funcin f(z) = u(x, y)+iv(x, y)tiene derivada en z0 = x0 + iy0, es decir,

f (z0

) = lmz0

f(z0 + z)

f(z0)

z ,

en donde el incremento es z = x + iy. Sise toma el lmite por dos diferentes trayectoriascomo se muestra en la figura

Se toman dos diferentes trayectorias

para la trayectoria I, y = y0, y = 0 y z =x, entonces la derivada

f (z0) = lmx0

f(z0 + x) f(z0)x

= lmx0

u (x0 + x, y0) + iv (x0 + x, y0)u (x0, y0) iv (x0, y0)

x

= lmx0 u(x0+x,y0)u(x0,y0)x +iv(x0+x,y0)v(x0,y0)x f (z0) =

u

x+ i

v

x

x0,y0

para la trayectoria II, x = x0, x = 0 y z =iy, entonces la derivada

f (z0) = lmy0

f(z0 + iy) f(z0)iy

= lmy

0

u (x0, y0 + y) + iv (x0, y0 + y)u (x0, y0) iv (x0, y0)

iy

= lmy0

u(x0,y0+y)u(x0,y0)iy +

iv(x0,y0+y)v(x0,y0)iy

= lm

y0

u(x0,y0+y)u(x0,y0)

iy +

iv(x0,y0+y)v(x0,y0)iy

= lmy0

iu(x0,y0+y)u(x0,y0)

y+

v(x0,y0+y)v(x0,y0)y

=

i u

y+

v

y

x0,y0



22/72

Si la derivada existe los lmites son iguales:

f (z) =u

x+ i

v

x= i u

y+

v

y,

o bien,

u

x=

v

y(2.1)

v

x= u

y(2.2)

Las ecuaciones 2.1 y 2.2 se conocen como lasecuaciones de Cauchy-Riemann, si estas ecua-ciones no son vlidas en algn punto, la derivadano existe en ese punto, es decir, slo son condicinnecesaria, pero no suficiente, para que la derivadaexista.

Teorema 8 Si tanto u y v como sus primerasderivadas parcialesu/x,u/y,v/x yv/y

son continuas en alguna vecindad de z0, las ecua-ciones de Cauchy-Riemann son condicin sufi-ciente para que la derivada exista. El valor de laderivada es:

f (z) =u

x+ i

v

x= i u

y+

v

y

Forma polar de las ecuaciones 2.1 y 2.2Algunas veces es ms fcil utilizar la forma

polar de una funcin compleja, en este caso lasecuaciones de Cauchy-Riemann tienen la forma:

u

r=

1

r

v

(2.3)

vr

= 1r

u

(2.4)

EjemploEn donde es diferenciable |z|2

|z|2 = x2 + y2

entonces

u = x2 + y2

v = 0

ux = 2x = vy = 0v

x= 0

=

u

y= 2y

u, v y sus derivadas son continuas en todo el

plano, y las ecuaciones de Cauchy-Riemann s-lo se cumplen en el origen, entonces la derivadaexiste nicamente en el origen y su valor es

f (0) =u

x+ i

v

x= i u

y+

v

y= 0

Teorema 9 Regla de LHopital. Si g (z0) = 0y h (z0) = 0, y si g (z) y h (z) son diferenciablesen z0 conh

(z0) = 0

lmzz0

g (z)

h (z)=

g (z0)h (z0)

.

Funciones Analticas

Decimos que una funcin f(z) es analticaen z0 si f

(z) no slo existe en z0, sino en todopunto de alguna vecindad de z0. Si la funcin esanaltica en todo el plano complejo decimos quela funcin es entera.

Si una funcin no es analtica en z0, pero esanaltica en al menos un punto de toda vecindad

de z0, decimos que z0 es una singularidad de lafuncin.

Teorema 10 Sif(z) yg (z) son funciones analti-cas en alguna regin, entonces tambin son analti-cas

f(z) g (z)f(z) g (z)f[g (z)]

f(z)

g (z)si (g (z) = 0)

para la misma regin.

EjemploUn polinomio es entero

f(z) = anzn + an1zn1 + ... + a1z1 + a0

y una funcin racional

f(z) =anz

n + an1zn1 + ... + a1z1 + a0bmzm + bm1zm1 + ... + b1z1 + b0

es analtica excepto en los puntos para los que

bmzm + bm1zm1 + ... + b1z1 + b0 = 0

Funciones armnicas

Considere el siguiente problema, dada una fun-cin real (x, y), bajo que condiciones puede ser



23/72

parte real o imaginaria de una funcin analtica?,es decir,

f(z) = (x, y) + iv (x, y)

f(z) = u (x, y) + i (x, y)

para contestar a esta pregunta considere unafuncin analtica f(z) = u (x, y) + iv (x, y). Si esanaltica, u y v satisfacen la ecuaciones de Cauchy-Riemann

u

x=

v

y(2.5)

u

y= v

x(2.6)

Si diferenciamos a la ecuacin 2.5 respecto ax y a la 2.6 respecto a y, obtenemos

2ux2

= 2vxy

2u

y2=

2v

yx

Si consideramos que la funcin v y sus derivadasson continuas, podemos invertir el orden de derivacinde los lados derechos de la ecuaciones anteriores,si sumamos ambas ecuaciones obtenemos:

2u

x2+

2u

y2= 0

2u = 0

la ecuacin anterior se conoce como la Ecuacinde Laplace

Con un procedimiento similar podemos obten-er:

2v

x2+

2v

y2= 0

2v = 0

Funcin ArmnicaDecimos que una funcin (x, y) es armnica

en un dominio, si para dicho dominio se satisface

la ecuacin de Laplace, es decir,

2

x2+

2

y2= 0 (2.7)

2 = 0

EjemploLa funcin (x, y) = x2 y2, es armnica:

2

x2= 2

+

2

y2= 2

= 0

Teorema 11 Si una funcin es analtica en cier-to dominio, su parte real y su parte imaginariason funciones armnicas en dicho dominio.

Teorema 12 Dada una funcin real (x, y) ar-mnica en un dominio simplemente conexo D, ex-iste una funcin analtica en D cuya parte real

es igual a (x, y). De manera similar existe unafuncin analtica en D cuya parte imaginaria esigual a (x, y).

Funcin Armnica ConjugadaDada una funcin armnica u (x, y), decimos

que v (x, y) es la funcin armnica conjugada deu (x, y) si u (x, y) + iv (x, y) es analtica.

Teorema 13 Sea f(z) = u (x, y) + iv (x, y) unafuncin analtica y seanC1, C2, C3,... yK1, K2, K3,...,constantes reales. La familia de curvas en el planoxy (real) para las que

u = Ci

es ortogonal a la familia de curvas tales que

v = Ki,

es decir, una curva de una de las familias inter-seca a una curva de la otra familia a 90o, salvoquiz en puntos en que f (z) = 0.

Ortogonalidad funciones armnicas conjugadas

EjemploDemuestre que = x3 3xy2 + 2y puede ser

parte real de una funcin analtica, encuentre laparte imaginaria y verifique que forman familiasortogonales.

Si es armnica puede ser parte real o imagi-

naria de una funcin analtica2

x2= 6x

+

2

y2= 6x

= 0

para encontrar la parte imaginaria utilizamos lasecuaciones Cauchy-Riemann con u = = x3 3xy2 + 2y, es decir,

u

x= 3x2 3y2 = v

y

uy

= 6xy 2 = vx



24/72

o bien,

v

y= 3x2 3y2

v

x= 6xy 2

este sistema de ecuaciones lo podemos inte-

grar, para ello tomamos la primera ecuacin, eintegramos

v =

3x2 3y2y

v = 3x2y y3 + C(x)si ahora sustuimos este resultado en la segundaecuacin

6xy +dC(x)

dx= 6xy 2

dC(x)

dx= 2

C(x) = 2x + centonces,

v = 3x2y y3 2x + c.Sean las familias de curvas

u = x3 3xy2u + 2yu = Civ = 3x2yv y3v 2x + c = Ki

si derivamos con respecto a x

3x2 3y2u 6xyudyudx

+ 2dyudx

= 0

3x2 dyvdx

+ 6xyv 3y2v dyvdx 2 = 0despejando a las derivadas

dyudx

=3y2u 3x22 6xyu

dyvdx

= 2 6xyu3y2u 3x2

es decir,

dyudx

=

dyvdx

1por lo tanto son ortogonales.

Derivadas de funciones impor-tantes

Funcin exponencialAnaliticidad de ez

La funcin ez se puede expresar como

ez = ex cos y + iex sen y

entonces

u = ex cos y

v = ex sen y

y las ecuaciones de Cauchy-Riemann

u

x=

v

y= ex cos y

u

y= v

x= ex sen y

se satisfacen para todo x y y, entonces como u y vy sus derivadas son continuas en todo el plano, lafuncin ez es analtica en todo el plano complejo,es decir, es funcin entera.

Derivada de ezLa derivada de ez la podemos obtener de

dez

dz=

u

x+ i

v

x= ex cos y + iex sen y

= ex (cos y + i sen y)

dez

dz= ez

Funcines trigonomtricas

Analiticidad de las funciones trigonomtri-casLas funciones sen(z) y cos(z) son analticas

por ser suma de funciones analticas del tipo ez.Las funciones 1.7, 1.8, 1.9 y 1.10 son analticas

si el denominados es diferente de cero.Derivadas de las funciones trigonomtri-

cas

d sen(z)

dz= cos (z)

d cos(z)

dz= sen(z)

d tan(z)dz

= sec2 (z)

d sec(z)

dz= tan (z)sec(z)

d csc(z)

dz= cot(z)csc(z)

Funcin logaritmoPodemos utilizar la forma polar de Log (z)

para estudiar su analiticidad, para ello utilizamos



25/72

las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar(ecuaciones 2.3 y 2.4).

Log (z) = ln r + i,

es decir,

u = ln r

v = y

u

r=

1

r

=

1

r

v

=

1

r

v

r= 0

=

1

r

u

= 0

por lo tanto se satisfacen las ecuaciones de

Cauchy-Reimann en todo el plano complejo ex-cluyendo al origen. Por otro lado, las funciones u,v y sus derivadas, son continuas en todo el planoexcepto sobre la parte negativa del eje imaginario,la razn de ello es que existe un salto de alcruzar esta parte del eje, si nos acercamos porabajo de l la funcin tiende a , y por arribaa , esto es, hay una discontinuidad de tamao2. Finalmente, podemos concluir que la reginde analiticidad de Log (z), es la zona del planocomplejo que excluye al origen y a la parte nega-tiva del eje real.

Regin de analiticidad de Log(z)

Derivada de Log (z): Para calcular la deriva-da de Log (z), partimos de

z = ew

dz

dz=

dew

dw

dw

dz

1 = ewdw

dzdw

dz= ew

dLog (z)

dz= eLog(z)

d

dz[Log (z)] = eLog(

1z )

d

dz[Log (z)] =

1

z

entonces la derivada del logaritmo complejo existeen su regin de analiticidad y su valor es

d

dz[Log (z)] =

1

z(2.8)

Mapeo conforme

Sea la funcin analtica f(z) = u (x, y)+iv (x, y)que define una correspondencia entre los puntosde los espacios Z(plano (x, y)) y W (plano (u, v)).Suponga que el punto (u0, v0) es la imagen del

punto (x0, y0), suponga adems que las curvasC1 (x, y) y C2 (x, y) se intersecan en (x0, y0) ytienen curvas imgen K1 (u, v) y K2 (u, v) respec-tivamente (las cuales se cortan en (u0, v0) en elespacio imagen). Entonces se dice que el mapeoes conforme en (x0, y0) si el ngulo entre C1 (x, y)y C2 (x, y) es igual tanto en direccin como ensentido al ngulo entre K1 (u, v) y K2 (u, v).

Mapeo isogonalCuando en un mapeo las curvas K1 (u, v) y

K2 (u, v) slo conservan la magnitud pero no elngulo de C1 (x, y) y C2 (x, y) se dice que el mapeoes isogonal.

Algunos mapeosTraslacin: Un mapeo de este tipo desplazao traslada a la regin mapeada en direccin :

w = z +

Ejemplo: f(z) = z + i+13

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

10.50-0.5

1

0.5

0

-0.5

x

y

x

y

Rotacin: Con este mapeo la regin en elplano Z gira un ngulo 0 :

w = ei0z

Ejemplo: f(z) = zei4

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y



26/72

Alargamiento: Con esta transformacin lasfiguras en el plano Z se alargan (a > 1) o contraen(a < 1):

w = az

Ejemplo: f(z) = z2

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Inversin:

w =1

z

Ejemplo: f(z) = 1z

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

2.50-2.5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

Transformacin lineal: Es una combinacinde traslacin, rotacin y alargamiento, dependi-endo de los valores de y :

w = z +

Ejemplo: f(z) = zei 4

2 +i+13

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Transformacin fraccional: Una combinacinde traslacin, rotacin, alargamiento e inversin:

w =z +

z + con = 0.

Ejemplo:

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

6420-2

6

4

2

0

-2

x

y

x

y

Tarea1. Es la siguiente funcin continua en z = 3i?

f(z) =

z2 + 9

/ (z 3i) , z = 3i

6i, z = 3i

2. Sea f(z) = u (x, y) + iv (x, y) . Suponga queexiste la segunda derivada f (z) . Compruebeque

f (z) =2u

x2+ i

2v

x2

y

f (z) = 2u

y2 i2v

y2

3. En que regiones del plano son analticas lassiguientes funciones?. Si existe la derivadaencuentre su valor.

f(z) = 2z2 + 3

f(z) = z + z1

f(z) = xy + i2

x2 y2

f(z) =z2

excosy + iexseny

4. En donde es analtica la funcin:

f(z) = r cos + ir

5. Para cules valores de n la funcin xnynes armnica?

6. Cules de las siguientes funciones son ar-mnicas?,En qu dominio?

= x + y

=y

x2 + y2

= ex2y2

7. Determinar la regin de analiticidad de lafuncin

f(z) = cos(z)

8. Sea = 6x2y2 x4 y4 + y x + 1. Com-pruebe que podra ser parte real o imagi-naria de alguna funcin analtica. Si es laparte real de f(z) encuentre la parte imag-inaria. Si es la parte imaginaria de f(z)encuentre la parte real.

9. Seaf(z) = ez

2+1

demostrar que es entera y encontrar su deriva-da.

10. Sea f(z) una funcin entera. Si

f(z) =

6x2 6y2 2x + 3+i (12xy 2y)con f(0) = 2 i. Encuentre f(z). Calcularf(2 i).



27/72

11. Suponga que f(z) = u + iv es analtica yque g (z) = v + iu tambin lo es. Demuestreque u y v deben ser constantes.

12. Suponga que f(z) = u + iv es analtica yque f(z) = u iv tambin lo es. Demuestreque u y v deben ser constantes.

13. Encuentre a una funcin armnica conjuga-da de

ex cos y + ey cos x + xy

14. Demostrar que la funcin

f(z) = cos x cosh y i sin x sinh y

es analtica en todo el plano complejo y que

f (z) = f(z)

15. Para la funcin f(z) = (z + i)2 , demostrarque

(u, v)

(x, y)= |f (z)|2

en donde este ltimo es el jacobiano de latransformacin

u = u(x, y)v = v(x, y)



28/72



29/72

Captulo 3

Integral de lnea de funciones de variablecompleja

Integral de lnea compleja

La clase de integral que aparece con ms fre-cuencia en variable compleja es la integral de lneacompleja.

Curva suave a trozosUna curva suave a trozos es una trayectoria

formada por un nmero finito de arcos suaves con-catenados.

Definicin

Sea la curva suave C, que va de A hasta B en

el plano complejo, se divide la curva en n arcoscomo se muestra en la figura, los puntos de unintiene coordenadas (x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn). Endonde la variable compleja toma los valores z1, z2,...,zn.Los incrementos en z se relacionan con x y y.

zk = xk + iyk

si n , zk 0

Curva suave sobre la que se integra f(z)

Definimos la integral de lnea como

C

f(z) dz =

BA

f(z) dz = lmn

nk=1

f(zk) zk

(3.1)Para evaluar esta integral de lnea compleja

tenemos que:

z = x + iy

dz = dx + idy

y adems

f(z) = u (x, y) + iv (x, y)

Integral de lnea de funciones de variable compleja 29


30/72

sustituyendo en la integral 3.1BA

f(z) dz =

C

[u (x, y) + iv (x, y)] (dx + idy)

=

C

udx C

vdy + (3.2)

iC

udy + C

vdxes decir, a la integral de lnea compleja la con-

vertimos cuatro integrales de lnea reales.

Integracin paramtricaOtro mtodo para calcular la integral es uti-

lizar tcnicas de integracin paramtrica. Sea Cla curva sobre la que hay que integrar, usamos alparmetro t para describir a la curva

x = x (t) y y = y (t) con ta t tb (3.3)entonces sobre la curva

z (t) = x (t) + iy (t) (3.4)

yf(z) = f[z (t)] (3.5)

y el diferencial dz en trminos de dt

dz =dz

dtdt (3.6)

entonces la integral complejaC

f(z) dz =

tbta

f[z (t)]dz

dtdt, (3.7)

se convierte en una integral real simple de la vari-able t.

En general existen diferentes formas de elegira 3.3, la facilidad de hacer la integral depende engran medida de tal eleccin.

30 Integral de lnea de funciones de variable compleja


31/72

Captulo 4

Teorema integral de Cauchy-Goursat

Sea f(z) analtica en un dominio simplementeconexo D. Si C es cualquier curva cerrada simpleen D

C

f(z) dz = 0 (4.1)

D es un dominio simplemente conexo y C D.

Demostracin: Para demostrar lo anteriorse hace uso del teorema de Green en dos dimen-siones, el cual slo se enuncia a continuacin:

Teorema de Green (2). Si C es una curvacerrada simple que encierra a una regin A en elplano y P(x, y) y Q (x, y) son funciones contin-uas con derivadas parciales continuas, entonces:

C

(P dx + Qdy) =

A

Q

x P

y

dxdy.

Por otro lado, sea la integral compleja

C

f(z) dz =

C

(u + iv) (dx + idy)

=

C

(udx + (v) dy)

+i

C

(vdx + udy)

aplicando el teorema de Green a las dos integralesse tiene que:

C

f(z) dz =

A

v

x u

y

dxdy

+i

A

u

x v

y

dxdy

Si la funcin es analtica sobre y dentro de C, paratodo el dominio de integracin A se satisfacen las

ecuaciones de Cauchy-Riemannux =

vy y

uy =v

x. Entonces en la ltima integral se tiene que

C

f(z) dz =

A

0dxdy + i

A

0dxdy

o bien C

f(z) dz = 0

Teorema integral de Cauchy-Goursat 31


32/72

Corolarios

Independencia de la trayectoriaSea f(z) analtica en un dominio simplemente

conexo D y que z0 y z1 D. Sean C1 y C2 curvasdesde z0 a z1 en D

C1

f(z) dz =

C2

f(z) dz, (4.2)

es decir,

f(z) dz es independiente de la trayec-toria por lo que podemos escoger la trayectoriams fcil de integrar.

Independencia de la trayectoria

AntiderivadaSea f(z) analtica en un dominio simplemente

conexo D. existe una funcin F(z) que es analti-ca en D, tal que para z D

dF(z)

dz= f(z) (4.3)

con este resultado,z2z1

f(z) dz =

z2z1

dF(z)

dzdz

=

z2z1

dF

= F(z2) F(z1)

DeformacinDecimos que dos curvas C y K son homotpi-

cas si podemos deformar a C hasta llegar a K (oK hasta llegar a C) de manera continua, es decir,sin pasar por puntos no analticos.

Sea f(z) analtica en un dominio simplementeconexo D excepto en z0, sean C y K dos curvashomotpicas que encierran a z0

C

f(z) dz =

K

f(z) dz (4.4)

Teorema de la deformacin

32 Teorema integral de Cauchy-Goursat


33/72

Captulo 5

Frmulas integrales de Cauchy

Un corolario adicional al teorema integral deCauchy se conoce como la frmula integral deCauchy. Dicho corolario es tan importante queenuncia de manera separada.

Frmula integral de CauchySea f(z) analtica en un dominio simplemente

conexo D. Sea z0 cualquier punto de D y sea Ccualquier curva cerrada simple en D que encierraa z0. Entonces

f(z0) =1

2i

C

f(z)

z z0 dz

es decir, la funcin en z0, esta relacionada con

la funcin en C, este es un resultado muy impor-tante en variable compleja. Se puede utilizar esteresultado para calcular integrales si lo ponemoscomo

C

f(z)

z z0 dz = 2if(z0) (5.1)

La ecuacin 5.1 se conoce como la frmula inte-gral de Cauchy y es una herramienta muy poderosapara calcular integrales.

El punto z0 est dentro de C

No se aplica la frmula de Cauchy

Derivadas de funciones analticasSea f(z) analtica en un dominio simplemente

conexo D. Sea z0 cualquier punto de D y sea Ccualquier curva cerrada simple en D que encierraa z0. Entonces

f(n) (z0) =n!

2i

C

f(z)

(z z0)n+1dz

es decir, no slo la funcin en z0, esta rela-

Frmulas integrales de Cauchy 33


34/72

cionada con la funcin en C, sino sus derivadas.Este resultado se puede utilizar para calcular in-tegrales si lo reordenamos

C

f(z)

(z z0)n+1dz =

2i

n!f(n) (z0) (5.2)

La ecuacin 5.2 se conoce como la frmula in-tegral de Cauchy para derivadas superiores y esuna herramienta muy poderosa para calcular in-tegrales.

Extensin de la frmula integral de Cauchypara una anillo

Un anillo con centro en w es un dominio aco-tado D, de zs que satisfacen a

r < |z w| < R

Sea Cr la circunferencia |z w| = r, y seaCR la circunferencia |z w| = R orientadas ensentido antihorario. Si f(z) es analtica en D, Cry CR para cualquier z0 D

f(z0) =1

2i

CR

f(z)

z z0 dz 1

2i

Cr

f(z)

z z0 dz(5.3)

Frmula de Cauchy para una anillo.

Ejercicios de Tarea

1. Evale a:

1

i

zdz

sobre las trayectorias

a) C : x + y = 1

b) C : y = (1 x)2

2. Evale a: ezdz

a) de z = 0 a z = 1 por y = 0, b) de z = 1a z = 1 + i por x = 1

3. Integre 11

1

zdz

por C : medio crculo unitario con centro enel origen, en el semiplano superior

4. Integre i1

z4dz

por C : crculo unitario con centro en elorigen, en el primer cuadrante.

5. A cul de las siguientes integrales se aplicadirectamente el teorema de Cauchy-Goursat?Por qu?

a) |z|=1

cos z

z + 2dz

b) |z+2|=2

cos z

z + 2dz

c) |z1|=4

cos z

z + 2dz

d) |z+i|=1

log zdz

e)

|z1i|=1 log zdzf)

|z|=

1

1 + ezdz

g) |z|=3

1

1 ez dz

6. Demuestre que

|z3|=2log z

(z + 1) (z

3)

dz =

|z3|=2log z

4 (z

3)

dz

7. Evale las siguientes integrales a lo largo dela curva y =

x

a) 9+3i1+i

e2zdz

b) 9+3i1+i

z cos zdz

34 Frmulas integrales de Cauchy


35/72

8. Cul es el error en:1+i0

zdz =z2

2

1+i0

= i ?

9. Evale las integrales:

a) dz

ez (z 2)alrededor de

x2

9+

y2

16= 1

b)1

2i

cos z + sin z

(z2 + 25) (z + 1)dz

alrededor de

x2

9+

y2

16= 1

c) cosh z

z2 + z + 1dz

alrededor de

(x 1)2 + (y 1)2 = 1

d)

sin(ez + cos z)

(z 1)2 (z + 3) dzalrededor de

x2

2+ y2 = 1

10. *Calcular 2i2

dz

z

por el arco de circunferencia con radio 2 ycentro en el origen, en sentido horario.

11. *Calcular C

cos z(z )

si C encierra a .12. *Calcular la integral

1

2i

C

ez

z (1 z)3 dz

si C a) no encierra a z = 1; b) no encierraa z = 0; c) encierra a ambos.

13. *Evale C

(2z + z) dz

C : el segmento de recta que va de 1 + i a3 + 3i.

14. *Calcular a la integral real20

3

5 4cos d

usando el cambio de variable z = ei

15. *Calcular|z|=2

sin z

z3 3iz2 3z + i dz

16. *Calcular

Cdz

z2 + 9

con C : a) |z 3i| = 1; b) |z + 3i| = 1; c)|z 3i| + |z + 3i| = 10.

Frmulas integrales de Cauchy 35


36/72

36 Frmulas integrales de Cauchy


37/72

Captulo 6

Serie Laurent y teorema del residuo

Series Complejas

Sucesin: Una regla que asigna a cada enteropositivo n un nmero complejo. Al n-simo trmi-no de la sucesin lo denotamos zn, y a la sucesin{zn}.

Suma parcial: Sea {zn} una sucesin com-pleja. Definimos las n-sima suma parcial Sn co-mo la suma de los primeros n-trminos de la suce-sin {zn}:

Sn =n

j=1

zj.

A su vez {Sn} es una sucesin compleja. Si estasucesin de sumas parciales converge decimos quela serie infinita:

j=1

zj

converge.

Teorema: Sea zn = xn + iyn =1. )

j=1 zj converge

j=1 xj y

j=1 yj

convergen.

2. )

j=1 xj a y

j=1 yj b

j=1 zj a + ib.

Teorema: Si

j=1 zj converge = {zn} 0.

Este resultado se utiliza para saber si la se-rie diverge, es decir, si {zn} L = 0,

j=1 zj

diverge, pero si {zn} 0, el teorema no da infor-macin.

Ejemplo.-

in

0 pero n=1 in diverge.Convergencia absoluta: Si la serie real

j=1 |zj|

converge, se dice que la serie

j=1 zj convergeabsolutamente.

Adems si

j=1 |zj| converge =

j=1 zj

tambin converge.

Criterio de la razn: Sea zn = 0 para cadan, y suponga que

lmn

zn+1zn = q =

1.

n=1 zn converge si 0 q < 1.2.

n=1 zn diverge si q > 1.

Series de potencias complejas

Sean z0, a0, a1, a2,... nmeros complejos da-dos. Una serie

n=0

an (z z0)n = a0+a1 (z z0)+a2 (z z0)2+...

se llama una serie de potencias con centro en z0 ysecesin de coeficientes {an} . La serie empieza enla potencia 0 para permitir el trmino constante.La serie converge en z0 a a0.

Serie Laurent y teorema del residuo 37


38/72

Teorema: Suponga que

n=0 an (z z0)n con-verge para z1 = z0. Entonces la serie convergepara toda z tal que |z z0| < |z1 z0|.

Disco de Convergencia

El mximo valor de R se llama radio de con-vergencia, y el disco que forma, disco de conver-gencia. Existen tres posibilidades para el radio deconvergencia R.

1. R

2. R = 0

3. 0 < R <

Teorema: Dada la serie de potencias

n=0 an (z z0)n, que converge para algn z1 = z0, existe R (posi-blemente R ), tal que la serie converge abso-lutamente si |z z0| < R, y diverge si |z z0| >R.

Teorema: Suponga quen=0 an (z z0)n tieneradio de convergencia R, con R = 0. Para |z z0| 0

Delta de Dirac,

La delta de Dirac es una regla de seleccin (noes funcin) que se define como:

(t) =

para t = 00 para t = 0

Algunas propiedades de la delta de Dirac son:

f(t) H(t a) dt =a

f(t) dt

(t) dt = 1

(t) f(t) dt = f(0)

(t a) f(t) dt = f(a)

dH(t)dt

= (t)

Derivacin en puntos singularesConsidere a la funcin f(t) que tiene discon-

tinuidades sbitas a1, a2, a3,... en t1, t2, t3,... , yla funcin f (t) que esta definida en todo t ex-cepto en las discontinuidades.

Definimos a la funcin

g (t) = f(t)

kakH(t tk)

La funcin g (t) es continua en todas partes y suderivada es

g (t) = f (t) k

ak(t tk)

o bien,

f (t) = g (t) +k

ak(t tk)

lo anterior se conoce como la derivada generaliza-da de una funcin continua por tramos.

Series de Fourier 53


54/72

54 Series de Fourier


55/72

Captulo 9

Serie de Fourier compleja y espectro de fre-cuencia

Forma compleja de las series deFourier

Dada la serie de Fourier

f(t) =1

2a0 +

n=1 [an cos(n0t) + bn sen(n0t)]podemos representar al seno y coseno en trminosde la exponencial compleja:

cos(n0t) =einot + einot

2

sen(n0t) =einot einot

2i

lo anterior dar el siguiente resultado:

f(t) =

n=cne

inot (9.1)

en donde

cn =1

T

T/2T/2

f(t) einotdt (9.2)

adems

c0 =1

2a0, cn = |cn| ein y cn = |cn| ein

en donde:

|cn| = 12

a2n + b

2n

y

n = tan1

bnan

a |cn| le llamaremos amplitud y a n ngulode fase.

Espectros de frecuencia comple-ja

En realidad cn es una funcin de n = n0. Ala grfica discreta de |cn| contra n se le denom-ina espectro de amplitud, esta funcin especificaa la funcin peridica f () en el espacio de lasfrecuencias, al igual que f(t) lo hace en el espaciodel tiempo.

De igual forma a la grfica de n contra n sele denomina espectro de fase.

Serie de Fourier compleja y espectro de frecuencia 55


56/72

Contenido de potencia y teore-ma de Parseval

Para cualquier seal peridica se define a lapotencia promedio como:

1

T

T/2T/2

[f(t)]2 dt

el teorema de Parseval para el caso complejorelaciona a la potencia promedio con las

amplitudes de la onda

1

T

T/2T/2

[f(t)]2 dt =

n=|cn|2 (9.3)

Ejemplo

Encontrar los espectros de frecuencia para lafuncin:

f(t) =

A para 12d < t < 12d0 para 12T < t < 12d : 12d < t < 12T

para calcular cn utilizamos:

cn =1

T

T/2T/2

f(t) ein0tdt

=A

T d/2

d/2

ein0tdt

=A

T

1

in0 ein0t

d/2d/2

=A

T

1

in0

ein0d/2 ein0d/2

=

A

T

2

n0

ein0d/2 ein0d/2

2i

=

A

T

2

n0sen

n0d

2

=

Ad

T

senn0d2

n0d2

y |cn|

|cn| =AdT sen

n0d2

n0d2

si hacemos d = 1/20, A = 5 y T = 1/4, 0 =

8

|cn| =sen

n5

n5

302520151050

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

nn

Espectro de amplitud

56 Serie de Fourier compleja y espectro de frecuencia


57/72

Captulo 10

Ejercicios de Serie de Fourier

1. Desarrolle en serie de Fourier real a la fun-cin f(t) = |t| para (, ) y f(t) = f(t +2).

2. Grafique a la funcin

f(t) =

0 1 < t < 0t2 0 > t > 1

f(t) = f(t + 2)

encuentre su desarrollo en serie de Fourierreal.

3. Desarrolle en serie de Fourier real a la fun-cin f(t) = cos (t), 1 t 1.

4. Desarrolle en serie de Fourier real a la fun-cin f(t) = e2t/2, 1 t 1.

5. Grafique a la funcin

f(t) =

0 1 < t < 0et 0 > t > 1

f(t) = f(t + 2)

encuentre su desarrollo en serie de Fouriercompleja. Grafique al espectro de frecuen-cia.

6. Encuentre la serie de Fourier compleja y elespectro de frecuencia (al menos unos de suspuntos) para:

a) f(t) = t2 : 0 t < 2 : f(t + 2) = f(t)

b) f(t) =

t, 0 < t < 20, 2 < t < 3

: f(t +3) =

f(t)

Ejercicios de Serie de Fourier 57


58/72

58 Ejercicios de Serie de Fourier


59/72

Parte III

Transformada de Fourier

59


60/72


61/72

Captulo 11

Transformada de Fourier

Las series de Fourier son muy tiles para es-tudiar funciones peridicas, por lo tanto, es nat-ural querer extrapolar esta teora para el caso decualquier funcin.

DeduccinSea la serie de Fourier

f(t) =

n=

cneinot

con

cn =1

T

T/2T/2

f(t) einotdt y T =2

o

combinando ambas

f(t) =

n=

1

T

T/2T/2

f(x) einoxdx

einot

f(t) =

n= 12 T/2

T/2 f(x) einox

dxoeinotsi hacemos T , o = d 0 y no

. Obtenemos la identidad de Fourier.

f(t) =

1

2

f(x) eixdx

eitd

si definimos

F() =

f(t) eitdt (11.1)

obtenemos,

f(t) =1

2

F() eitd (11.2)

Transformada de FourierLa ecuacin 11.1 sirve para definir a la trans-

formada de Fourier F:

F(f(t)) = F() (11.3)y la 11.2 a la antitransformada de Fourier F1

:F1 (F()) = f(t) (11.4)

En general la funcin F() es compleja y con-tiene la misma informacin que f(t) .

F() = |F()| ei()

Integral de FourierUtilizando el hecho de que eit = cos t +

i sen t las ecuaciones 11.1 y 11.2 se pueden es-cribir como:

f(t) =1

0

[A ()cos(t) + B ()sen(t)] d

donde

A () =

f(t)cos(t) dt

B () =

f(t)sen(t) dt

Transformada de Fourier 61


62/72

(en esta forma reciben el nombre de intergral deFourier) esta forma recuerda a la serie real deFourier.

Espectro de frecuencia continuoA la grfica de

|F()

|contra se le llama

espectro continuo de frecuencia. En esta grficase pueden observar si existen frecuencias prefer-enciales o caractersticas en la seal.

Transformadas seno y coseno de FourierSi la funcin f(t) esta definida slo en el inter-

valo t [0, ) definimos a la transformada senode Fourier como

Fs (f(t)) = F() =0

f(t)sen(t) dt(11.5)

F1s (F()) = f(t) =2

0 F()sen(t) d(11.6)y a la transformada coseno

Fc (f(t)) = F() =0

f(t)cos(t) dt(11.7)

F1c (F()) = f(t) =2

0

F()cos(t) d(11.8)

Convolucin y correlacinSean f1 (t) y f2 (t) dos funciones dadas. La

convolucin de f1 (t) y f2 (t), esta definida por

f(t) = f1 (t) f2 (t) =

f1 () f2 (t ) d(11.9)

La funcin f(t) se conoce como la funcin decorrelacin entre las funciones f1 (t) y f2 (t) . Lacorrelacin es una medida de la similitud o inter-dependencia de f1 (t) y f2 (t) como funcin de unparmetro . La autocorrelacin se define comof1 (t) f1 (t).

Propiedades

f1 (t) f2 (t) = f2 (t) f1 (t)[f1 (t) f2 (t)] f3 (t) = f1 (t) [f2 (t) f3 (t)]

f(t t1) (t t2) = f(t t1 t2)

Teorema de convolucin

Si F(f1 (t)) = F1 () y F(f2 (t)) = F2 ()entonces

f1 (t) f2 (t) = F1 [F1 () F2 ()] (11.10)

F1 () F2 () = 2F[f1 (t) f2 (t)] (11.11)

EjemplosTransformada de Fourier

1) EncontrarFteat2 y graficar su espectrode frecuencia si a = 1.

sabemos que F

eat2

=

ae

2/4a y queF(tf(t)) = iF ()

entonces:

F

teat2

= id

d

ae

2/4a

F

teat2

= i2a

ae

2/4a

El espectro de frecuencia

|F()| =i2 e2/4

|F()| = ||2

e

2/4

2) Encontrar F(t 1) ea(t1)H(t 1)(t 1) e(t1) Heaviside (t 1)

107.552.50-2.5-5

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

x

y

x

y

62 Transformada de Fourier


63/72

F

(t 2) ea(t2)H(t 2)

= e2iF

(t) ea(t)H(t)

= e2i1

(i + a)2e2i 1(i+1)2

5037.52512.5

0.5

0.375

0.25

0.125

0

x

y

x

y

3) Encontrar Fea|3t|F

es|3t|

=1

|3|F

es|t|

=3

= 1|3| 2s

s2 + 2=

3

=1

|3|

2s

s2 + 2

9

Transformada inversa de Fourier

1) Obtener F1

522+3i

5F1

1

(2 + i) (1 + i)

= 5F1 1

1 + i 1

2 + i

= 5

F1

1

1 + i

F1

1

2 + i

= 5

etH(t) e2tH(t)

= 5H(t)

et e2tConvolucin

1) Calcular F1

522+3i

utilizando el teo-

rema de convolucin

F1

5

2 2 + 3i

= 5F1

1

2 + i

1

1 + i

= 5F

1 FH(t) e2tFH(t) et= 5

H(t) e2t H(t) et

= 5

H() e2H(t )e(t)d

= 5

eteH() H(t )d

= 5et

eH() H(t )d

pero

H() H(t

) =

0 si < 0 > t1 si 0 < < t

de aqu si t < 0 la segunda condicin nunca secumple, por lo tanto H() H(t ) = 0. Y parat > 0 H() H(t) = 1 en el intervalo 0 < < t.

entonces

= 5et

eH() H(t )d

=

0 si t < 0

5ett0

ed si t > 0

=

0 si t < 05et [1 et] si t > 0

= H(t)5et 1 et= 5H(t)

et e2t

Ecuaciones diferenciales1) Resolver a la ecuacin diferencial

y 4y = H(t) e4t < t <

graficar su espectro de frecuenciasaplicando la transformada de Fourier a toda

la ecuacin obtenemos

Fy 4y = H(t) e4tiY () 4Y () = 1

i + 4

Y () =1

(i 4) (i + 4)Y () =

1(4 i) (4 + i)

Y () =1

(42 + 2)

Transformada de Fourier 63


64/72

1(42+2)

1007550250

0.0625

0.05

0.0375

0.025

0.0125

x

y

x

y

Y () ya es la solucin a la ecuacin diferencialen el espacio de frecuencias, si queremos regresaral espacio del tiempo aplicamos la transformada

inversa de Fourier.

y = F1 [Y ()]= F1

1

(42 + 2)

= 1

2(4)F1

2(4)

(42 + 2)

y = 1

8e4|t|

18

e4|t|

52.50-2.5-5

0

-0.025

-0.05

-0.075

-0.1

-0.125

-0.15

x

y

x

y

Note que al resolver la ecuacin diferencial nose utilizaron constantes arbitrarias, lo anterior esporque implcitamente existen dos condiciones ex-tras:

1. |f(t)| dt <

2. f(t) es continua

Su espectro de frecuencia es:

|Y ()| = 1(42 + 2)

=

1

(42 + 2)

2512.50-12.5-25

0.05

0.0375

0.025

0.0125

ww

Uso de la computadora para transformadade Laplace

x2ex

, Fourier transform is: 2 Dirac (w i, 2)

eaw

, Is Fourier transform of Dirac (ia x)

64 Transformada de Fourier


65/72

Captulo 12

Transformada Discreta de Fourier

Los datos discretos son de uso comn en in-geniera. Se obtienen cuando se mide una sealen el tiempo o el espacio. En estos datos no esposible utilizar la transformada de Fourier direc-tamente, por ello se define la transformada disc-reta de Fourier. Con esta transformada es posibleobtener informacin de las frecuencias de la seal.

Suponga al conjunto de valores {y0, y1,...,ym,...,yN1}de una funcin muestreados en los tiempos {t0, t1, ...tm,...,tN1}

respectivamente. Donde tm = mt para m =0 N 1, t0 = 0, tN1 = T y t = TN1 .La trasformada discreta

Yk (fk) =N1m=0

ym (tm) e2i km

N (12.1)

se puede utilizar para generar el conjunto de val-ores {Y0, Y1,...,Yk,...,YN1} para cada frecuencia{f0, f1,...,fk,...,fN1} donde fk = kf dondef = fs

Ndonde fs =

1T

se define como la frecuen-cia de muestreo. La transformada inversa es:

ym (tm) = 1N

N1k=0

Yke2imk/N (12.2)

La frecuencia de Nyquist se define como 12t

eindica cual es la ms alta frecuencia que puedeser detectada con el perido de muestreo t.

Transformada Discreta de Fourier 65


66/72

66 Transformada Discreta de Fourier


67/72

Captulo 13

Ejercicios de Transformada de Fourier

1. Encuentre la transformada de Fourier y grafiquea la funcin en el espacio de frecuenciaspara:

a) ec(t4) sen(b(t 4)) H(t 4)b) 5 cos(0t)

4+t2+ 2

c) eat2

ei0t

d) d

dt e3t2e) (t 3) e4tH(t 3)f) 5e

3it

t24t+13

2. Encuentre la antitransformada de Fourierpara

a) ai22b) a

i(1)2(1)2

3. Encuentre una solucin acotada y continuapara

a)d2y

dt2+ 3

dy

dt+ 2y = H(t)

b)d2y

dt2+ 3

dy

dt+ 2y = 3(t)

Ejercicios de Transformada de Fourier 67


68/72

68 Ejercicios de Transformada de Fourier


69/72

Parte IV

Apndices

69


70/72


71/72

Apndice A: Tabla de trans-

formada de Fourier

f(t)

F() (a1)

a1f1 (t) + a2f2 (t) a1F1 () + a2F2 () (a2)

f(at) 1|a|F

a

(a3)

f(t) F() (a4)f(t t0) F() eit0 (a5)f(t) ei0t F( 0) (a6)

f(t)cos(0t) 12

F( 0) + 12

F( + 0)

(a7)

f(t)sin(0t)

1

2i

F(

0)

1

2i

F( + 0)

(a8)F(t) 2f() (a9)

f(n) (t) (i)n F() (a10)t

f(x) dx 1i

F() + F (0) () (a11)

(it)n f(t) F(n) () (a12)f1 (t) f2 (t) F1 () F2 () (a13)

f1 (t) f2 (t) 12

F1 () F2 () (a14)

eat

H(t) 1

i + a (a15)

ea|t| 2aa2 + 2

(a16)

eat2

ae

2

4a (a17)

pa (t) =

1 |t| < a20 |t| > a2

asina2

a2

(a18)sin(at)

t p2a () (a19)

teatH(t)

1

(i + a)2(a20)

tn1

(n 1)! eatH(t) 1

(i + a)n(a21)

eat sin(bt) H(t) b(i + a)2 + b2

(a22)

eat cos(bt) H(t) i + a(i + a)2 + b2

(a23)

1

a2 + t2

aea|| (a24)

cos(bt)

a2 + t2

2a

ea|b| + ea|+b|

(a25)

sin(bt)

a2 + t2

2ai

ea|b| ea|+b|

(a26)

(t)

1 (a27)

(t t0) eit0 (a28)

(n) (t) (i)n (a29)

H(t) () + 1i

(a30)

H(t t0) () + 1i

eit0 (a31)

1 2() (a32)

tn 2in(n) () (a33)

ei0t 2( 0) (a34)

cos(0t) [( 0) + ( + 0)] (a35)

sin(0t) i [( 0) ( + 0)] (a36)

H(t)sin(0t) (a37)

020 2

+

2i[( 0) ( + 0)]

H(t)cos(0t) (a38)

i020 2

+

2i[( 0) + ( + 0)]

tH(t) i () 12

(a39)

1

tn (i)

n1

(n 1)! [i 2iH()] (a40)

f1 (t) f2 (t) dt = 12

F1 () F2 () d(a41)

|f(t)|2 dt = 1

2

|F()|2 d (a42)

f(t) G (t) dt =

F() g () d (a43)

sgn (t) 2i

(a44)

71


72/72

Apndice B: Tabla de trans-

formada seno de Fourier

f(t)

FS() (S1)

1t

H() 2

(S2)

tr1 (r) r sinr

2

: r (0, 1) (S3)

1t

2(S4)

eat a2 + 2

: (a > 0) (S5)

teat 2a(a2 + 2)2

: (a > 0) (S6)

tea2t2

4a3 e2/4a2

: (a > 0) (S7)

eat

t tan1

a

: (a > 0) (S8)

t

a2 + t2

2ea : (a > 0) (S9)

t

(a2 + t2)2 23/2 e

a

a: (a > 0) (S10)

1

t (a2 + t2)

2

(1 ea)a2

: (a > 0) (S11)

et/2 sin

t

2

1 + 4

(S12)

2

tan1

at

1 e

a

: (a > 0) (S13)

4

t

4 + t4 e sin (S14)

Apndice C: Tabla de trans-

formada coseno de Fourier

1

a2 + t2

2aea : (a > 0) (C6)

1

(a2 + t2)2

4

ea (1 + a)a3

: (a > 0) (C7)

cos

x2

2

2 cos

2

2 + sin

2

2 (C8)sin

x2

2

2

cos

2

2

sin

2

2

(C8)

Apndice D: Referencias Bib-

liogrficas

A. David Wunsch, Variable compleja conaplicaciones, Addison-Wesley Iberoamericana,1997.

Hwei P. Hsu, Anlisis de Fourier, Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.

Peter V. ONeil, Matemticas Avanzadas paraIngeniera, Volumen II, CECSA, 1998.

T. W. Korner, Fourier Analysis, Cambridge,1995.

G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathemat-ical Methods for Physicists, Miami Univer-sity, 2000, 5e.

apuntito complejos

Documents