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©DOMINGO GONZÁLEZ GARCÍA

APUNTES EXTRAIDOS DE AULAFACIL.COM

UT 08. Préstamos

1.- INTRODUCCIÓN

El préstamo es una operación financiera en la que el Banco entrega al cliente un importe y este se compromete a devolverlo en uno o varios pagos. Los préstamos suelen ser operaciones a largo plazo.En el préstamo se puede distinguir:

C0: Importe inicial de la operación.

Ms: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando. Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota.

Ss: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún no se ha amortizado hasta el momento "s".

CA s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado hasta el momento "s".

Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones:

Cuota periódica

Ms= AMs + Is La cuota que se paga periódicamente está formada por dos componentes: AMs es la devolución de principal que se realiza en ese periodo; Is son los intereses que se pagan correspondientes a ese periodo.

Intereses del periodo

Is = Cs-1 * i * t Los intereses del periodo "s" son iguales al saldo de la operación al comienzo del periodo, por el tipo de interés y por la duración del periodo.

Capital inicial Co = AMk El capital inicial es igual a la suma de todas las amortizaciones parciales de capital que se van a realizar a lo largo de la vida de la operación.


Saldo vivo de la operación en el momento "s"

Ss= Mk (1+i)^k-s El saldo vivo de la operación en el momento "s" es igual a la suma de todas las cuotas periódicas pendientes de vencer, descontadas a esa fecha.

Ss= Co - AMk También se puede calcular restando al importe inicial de la operación las amortizaciones de capital que ya se hayan realizado.

Capital amortizado

CAs = AMk El capital amortizado

CAs = Co- Ss También se puede calcular como la diferencia entre el capital inicial y el saldo pendiente de amortizar al momento "s".

En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos particulares que estudiaremos seguidamente:

a) Préstamo con cuota de amortización constanteb) Préstamo con devolución de principal constante c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento


2.- Préstamos con cuotas de amortización constante (Método francés)

Este tipo de préstamo se caracteriza por tener cuotas de amortización constante a lo largo de la vida del préstamo. También se considera que el tipo de interés es único durante toda la operación.El flujo de capitales del préstamo será:

Periodons MS" Prestamo Cuotas de amortización

año 0 + Co año 1 - M año 2 - M

... ...

año (n-2) - M

año (n-1) - M

año (n) - M

Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de la cuota de amortización

El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a la de una renta constante, temporal, pospagable.

luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta unitaria pospagable, de duración igual a la del préstamo)luego, Co = M * (1 - (1 + i)^-n)/ i

Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de la amortización:

M = Co / Ao

Ejemplo: Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de 3.000.000€ a plazo de 5 años, con un tipo de interés del 10%.

Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta constante, pospagable, de 5 años de duración):

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,1)^-5)/ 0,1

luego, Ao = 3,7908


Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota constante

luego, M = 3.000.000 / 3,7908

luego, M = 791.392€.

Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392€.

Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que parte de misma corresponde a amortización de principal y que parte corresponde a intereses:

a ) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al primer periodo

Sabemos que I1 = Co * i * t

luego, I1 = 3.000.000 * 0,1 * 1

luego, I1 = 300.000€

Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs - Is

luego, AMs = Ms- Is

luego, AM1 = 791.392 - 300.000

luego, AM1 = 491.392€.

El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:

AMk = AM1 * (1 + i)^k-1

Por lo tanto:

Amort. de capital

AM1 491.392 491.392AM2 491.392 * (1,1) 540.531 AM3 491.392 * (1,1)^2 594.584

AM4 491.392 * (1,1)^3 654.043

AM5 491.392 * (1,1)^4 719.447

Suma 3.000.000

Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo.


El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se calcula de manera inmediata, ya que:

Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is

se despeja Is = Ms - AMs

Por lo tanto:

Periodo Ms AMs Is

1 791.392 491.392 300.000 2 791.392 540.531 250.861 3 791.392 594.584 196.808

4 791.392 654.043 137.349

5 791.392 719.447 71.945

Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el saldo vivo del préstamo en cada periodo, así como el capital ya amortizado:

Ss= Co - AMk Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento

CAs = AMk Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"

Luego:

Periodo Saldo vivo Capital amortizado

0 3.000.000 0 1 2.508.608 491.392 2 1.968.077 1.031.923

3 1.373.493 1.626.507

4 719.450 2.280.550

5 0 3.000.000


3: Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios

Ejercicio 1: Una entidad financiera concede un préstamo de 6.000.000€., por un plazo de 5 años, con cuotas de amortización semestrales y con un tipo de interés anual del 12%.

Calcular:a) Cuota constante de amortizaciónb) Importe que corresponde a la amortización de capital y a los interesesc) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado

SOLUCION

1.- Cuota constante de amortización

Primero se calcula el tipo semestral equivalente:

(1 + i) = (1 + i2)^2

luego, i2 = 5,83%

Una vez conocido el tipo semestral, pasamos a calcular el valor de Ao (valor actual de una renta unitaria, pospagable, de 10 semestre de duración, con un tipo de interés semestral del 5,83%)

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,0,583)^-10)/ 0,0583

luego, Ao = 7,4197

A continuación se calcula el valor de la cuota constante

luego, M = 6.000.000 / 7,4197

luego, M = 808.655€.

Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 808.655€


2.- Parte de la cuota correspondiente a amortización de principal y a intereses:

Comenzamos calculando la amortización de capital correspondiente al primer periodo

Sabemos que I1 = Co * i * t

luego, I1 = 6.000.000 * 0,0583 * 1

luego, I1 = 349.800€

Ya podemos despejar AM1 de la fórmula AM1 = M1 - I1

luego, AM1 = 808.655 - 349.800

luego, AM1 = 458.855€

El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:

AMk = AM1 * (1 + i)^k-1

También vamos a calcular el importe que representan los intereses dentro de cada cuota:

Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is

se despeja Is = Ms - AMs

Periodo Amort. de capital Intereses

1º semestre 458.855 349.800

2º semestre 485.606 323.049

3º semestre 513.917 294.738

4º semestre 543.878 264.777

5º semestre 575.587 233.068

6º semestre 199.512

7º semestre 644.656 163.999

8º semestre 682.240 126.415

9º semestre 722.014 86.641


10º semestre 764.108 44.547

Suma 6.000.000

La suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo. Por otra parte, la suma en cada periodo de la parte de amortización de capital y de los intereses coincide con el importe de la cuota constante.

3.- Saldo vivo del préstamo y capital ya amortizado en cada periodo:

Se aplican las fórmulas:

Ss= Co - Ak

CAs = Ak


Periodo 0 6.000.000 0 1º semestre 5.541.145 458.855 2º semestre 5.055.539 944.461 3º semestre 4.541.622 1.458.378

4º semestre 3.997.744 2.002.256

5º semestre 3.422.157 2.577.843

6º semestre 2.813.014 3.186.986 7º semestre 2.168.358 3.831.642 8º semestre 1.486.118 4.513.882

9º semestre 764.108 5.235.896

10º semestre 0 6.000.000


4: Préstamos con amortización de capital constante (sistema Alemán)

Este tipo de préstamo se caracteriza porque la amortización de capital es constante en todas las cuotas del préstamo. También, y a efectos de simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante toda la operación, aunque este requisito no es necesario.

En este tipo de préstamo se calcula fácilmente el importe de la amortización de capital constante, basta con dividir el importe del préstamo por el número de periodos.

AMs = Co / n

(Siendo "Co" el importe del préstamo y "n" el número de periodos)

Una vez conocido el importe de la amortización constante de capital, se puede conocer como evoluciona el saldo vivo del préstamo, así como el capital amortizado:

Ss= Co - AMk Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento

CAs = AMk Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"

Para calcular la cuota periódica del préstamo partimos de la fórmula:Ms = AMs + Is

(Siendo "Ms" la cuota correspondiente al periodo "s" y "Is" el importe de los intereses de dicho periodo)

Como ya conocemos AMs, sólo nos falta calcular el importe de los intereses para poder conocer el importe de la cuota periódica. El importe de los intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Is = Ss-1 * i * t

(Siendo "Is" los intereses del periodo "s", "Ss-1" el saldo vivo al final del periodo anterior; "i" el tipo de interés aplicado y "t" la duración del periodo)

Las cuotas periódicas de este tipo de préstamo son decrecientes, ya que mientras que la parte correspondiente a amortización de capital es constante, los intereses van disminuyendo, ya que el saldo vivo se va reduciendo.

Veamos un ejemplo:

Un banco concede un préstamo de 7.000.000€., a un plazo de 7 años, con un tipo de interés constante del 10%. En las cuotas periódicas, la amortización de capital es constante durante toda la vida de la operación.Calcular:a) Importe de la amortización de capital constanteb) Evolución del saldo vivo y del capital amortizadoc) Importe de los interesesd) Cuota de amortización


SOLUCION

a ) Importe correspondiente a la devolución de principal:

Aplicamos la fórmula AMs = Co / n

luego, AMs = 7.000.000 / 7

luego, AMs = 1.000.000

Por lo tanto, la amortización de capital en cada periodo, durante toda la operación, es de 1.000.000€

b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:


0 7.000.000 0 1 6.000.000 1.000.000

2 5.000.000 2.000.000

3 4.000.000 3.000.000

4 3.000.000 4.000.000

5 2.000.000 5.000.000

6 1.000.000 6.000.000

7 0 7.000.000

c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:

Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t

Periodo Intereses

1 700.000 2 600.000

3 500.000

4 400.000

5 300.000

6 200.000


7 100.000

d ) Cuotas periódicas:

Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is

Periodo Cuota

1 1.700.000 2 1.600.000

3 1.500.000

4 1.400.000

5 1.300.000

6 1.200.000

7 1.100.000


5: Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio

EJERCICIO

Un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a 4 años, con cuotas semestrales, y con un tipo de interés anual del 12%. La amortización de capital es constante durante toda la vida del préstamo.Calcular:

a) El importe constante de la amortización de capitalb) Evolución del saldo vivo y del capital amortizadoc) Importe de los intereses en cada periodod) Importe de la cuota en cada periodo

SOLUCION

a ) Importe constante de la amortización de capital:

Aplicamos la fórmula AMs = Co / n

luego, AMs = 10.000.000 / 8 (el plazo lo ponemos en base semestral)

luego, AMs = 1.250.000

Por lo tanto, la amortización de capital en cada semestre es de 1.250.000€

b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:


0 10.000.000 0 1 8.750.000 1.250.000

2 7.500.000 2.500.000

3 6.250.000 3.750.000

4 5.000.000 5.000.000

5 3.750.000 6.250.000

6 2.500.000 7.500.000

7 1.250.000 8.750.000

8 0 10.000.000


c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:


Pero, primero, tenemos que calcular el tipo semestral equivalente:

Aplicamos la fórmula 1 + i = (1 + i2)^2

luego, i2 = 5,83%

Periodo Intereses

1 583.000 2 510.125

3 437.250

4 364.375

5 291.500

6 218.625

7 145.750

8 72.875

d ) Cuotas periódicas:

Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is

Periodo Cuota

1 1.833.000

2 1.760.125

3 1.687.250

4 1.614.375

5 1.541.500

6 1.468.625

7 1.395.750

8 1.322.875


6: Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano simple)

Este tipo de préstamos se caracteriza por:a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo.b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo.

En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n-1) serán:

Ms = Is

Los intereses de cada periodo se calculan:

Is = Ss-1 * i * t

(Siendo Ss-1 el saldo vivo al final del periodo anterior)

La última cuota de amortización será:

Mn = Co + In

(Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del último periodo)

Ejemplo:

Un banco concede un préstamo de 3.000.000€., según el método americano simple, con un tipo de interés del 15% y a un plazo de 5 años:Calcular:a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica.b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo.

SOLUCION

a ) Importe de los intereses y de la cuota periódica:


Periodo Intereses Amortización

capital Cuota

1 450.000 0 450.000

2 450.000 0 450.000

3 450.000 0 450.000

4 450.000 0 450.000

5 450.000 3.000.000 3.450.000


b ) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:


0 3.000.000 0 1 3.000.000 0

2 3.000.000 0

3 3.000.000 0

4 3.000.000 0

5 0 3.000.000

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