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Apuntes de Curso
Sucesiones RealesJuan Mayorga-Zambrano, Ph.D.Universidad Tecnologica Israel
Octubre 2012
Resumen
Se presenta una introduccion a las sucesiones reales. Se abordan los conceptos deconvergencia, divergencia y se introducen las funciones exponencial y logarıtmica.
Topicos
1. Introduccion 2
2. Acotamiento y entornos 4
3. Convergencia 5
4. Divergencia 9
5. Monotonıa 10
6. Las funciones exponencial y logarıtmica 13
7. Propiedades importantes 16
8. Equivalencia de sucesiones 19
9. Propiedades importantes (II) 20
10. Subsucesiones 23
11. Propiedades importantes (III) 25
12. Completitud de R 27
13. Criterio del cociente 29
14. Otros criterios para convergencia y divergencia 30
15. Relaciones recurrentes 32
16. Problemas 32
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1. Introduccion
Cuando se quiere resolver un problema de Ingenierıa con ayuda de un computador,se recurre habitualmente a aproximaciones discretas del modelo matematico seleccio-nado; por ello, el concepto de sucesion es fundamental en Matematica Aplicada. No esnuestra intension entrar en demasiados detalles sobre el excitante tema de las sucesio-nes, pero creemos que es una herramienta importante que debe manejar un Ingenieropues, finalmente, todas las tareas que realiza un computador son procesos contables (enun numero finito de pasos el computador presenta al usuario una solucion aproximada)es decir, truncaciones de sucesiones.
Una excelente introduccion al Analisis Matematico, en particular al estudio de sucesiones reales, es [1].El estudiante deberıa repasar la clase sobre el cuerpo de los numeros reales.
Definicion 1.1. [Sucesion]Dado A un conjunto no-vacıo, llamamos sucesion en A a toda funcion cuyo dominio esN oN∗ y cuyo codominio es A.
A una sucesion cuyo codominio es R se le denomina sucesion real.
Es claro que el rango de una sucesion1 es un conjunto discreto; por ello, a las sucesionesen un conjunto A se las suele denotar
(xn)n∈N ⊆ A, (yn)n∈N ⊆ A, (zn)n∈N ⊆ A, etc. (1.1)
o, alternativamente,
(xn)n∈N ∈ A∞, (yn)n∈N ∈ A∞, (zn)n∈N ∈ A∞, etc. (1.2)
La notacion (xn)n∈N ∈A∞ permite interpretar a una sucesion como una generalizacion de los conjuntosordenados
(x1,x2) ∈ A2, (x1,x2,x3) ∈ A3, (x1,x2,x3,x4) ∈ A4, ..., (x1,x2,x3,x4, ...,xn) ∈ An, ...
Ejemplo 1.1. A los enteros pares positivos se los puede expresar de forma ordenada mediante lasucesion
(2,4,6,8, ...) = (2n)n∈N ⊆R.
Tip de Maxima No. 1.La orden fib(n) calcula el n-esimo elemento de la serie de Fibonacci.
Tip de Maxima No. 2.La orden map(f, expr1, expr2,...,exprn) devuelve una expresion cuyo operador
principal es el mismo que aparece en las expresiones expr1, ..., exprnpero cuyas subpartes son los resultados de aplicar f a cada una de las
subpartes de las expresiones.
1En terminos mas generales, el dominio puede ser cualquier conjunto con cardinalidad ℵ0, e.g. Z.
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Ejemplo 1.2. Supongamos, que se quiere empezar un negocio de crıa de conejos. Una funcionque modela matematicamente tal fenomeno o proceso es la sucesion de Fibonacci. En la naturaleza,hay muchos elementos relacionados con la sucesion de Fibonacci: la cantidad de petalos de unaflor y la cantidad de espirales en una pina, etc. El negocio tiene perspectivas de ser rentable puesla poblacion de conejos crece a buen ritmo. En efecto, la sucesion de Fibonacci
(Fn)n∈N∗ ⊆R,
esta definida por
Fn =
0, si n = 0,1, si n = 1,Fn−1+Fn−2, si n ≥ 2.
La formula anterior nos dice que a partir de n = 2 se obtiene F(n) al sumar los dos elementosanteriores de la sucesion. Los primeros elementos de la sucesion de Fibonacci son:
(%i1) map( fib, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]);
(%o1) [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55]
Los computadores no trabajan con R, el conjunto de los numeros reales, y, de hecho,ni siquiera lo hacen con Q, el conjunto de numeros racionales. A pesar de que con cadadia que pasa la capacidad de almacenamiento de memoria que tienen los computadoresse incrementa y el tamano fısico de los dispositivos se reduce, un computador no essiquiera capaz de manejar un unico numero como
π ≈ 3.14159...
Esto equivale a decir que un computador no es capaz de manejar el rango de la sucesion(xn)n∈N∗ donde
x0 = 3,x1 = 1,x2 = 4,x3 = 1,x4 = 5,x5 = 9,...
...
Los computadores trabajan con numeros de tipo flotante, que constituyen subconjuntofinito de Q. El numero π tiene infinitas cifras decimales en tanto que la capacidad dememoria de cualquier computador es finita - ¡puede ser muy grande pero no deja de serfinita!2 Por tanto, cuando se alcanza el tope de la capacidad de memoria del computador,al ir introduciendo mas y mas cifras decimales del numero π, se recibe el mensaje deerror por underflow.
2Si no se puede introducir una cosa infinita (como el numero π) en algo finito (como la memoria de uncomputador), ¿serıa concecible que el Infinito (o sea Dios) pueda introducirse en un cuerpo finito (como el deun ser humano)?
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Si un computador no puede manejar un numero real como π, ¿como puede manejaruna funcion real de variable real? La respuesta es que no lo hace: se vale de truncacionesy procesos de aproximacion. Estas dos herramientas tienen que ver directamente con elconcepto matematico de sucesion.
Ejemplo 1.3. Consideremos un numero fijo x ∈ R. Si bien en una calculadora se puede ver elsımbolo ex, en realidad no se calcula ex. En su lugar, dado un cierto tamano de error aceptableε > 0, se escoge un n ∈N de manera que
|sn− ex| < ε,
donde la sucesion (sn)n∈N ⊆R esta definida mediante
sn =
n∑k=0
1k!
xk.
2. Acotamiento y entornos
Para el estudio de lımites y continuidad de funciones reales ası como para establecerla convergencia de sucesiones reales es indispensable el concepto de entorno.
Definicion 2.1. [ε-entorno de un punto]Sea ε > 0. Se denomina ε-entorno de x0 ∈R al conjunto de puntos que menos que ε de x0,esto es al conjunto
B(x0, ε) = (x0−ε, x0+ε)= {x ∈R/ |x−x0| < ε} . (2.3)
Al punto x0 y al numero ε en (2.3) se les refiere como el centro y el radio.
Cuando se generaliza (2.3) al cuerpo C, se refiere a B(x0, ε) como el ε-disco centrado en x0 ∈ C = R2.
Cuando se generaliza (2.3) a dimensiones n ≥ 3 se refiere a B(x0, ε) como la ε-bola centrada en x0 ∈Rn.
Se dice que una sucesion real esta acotada inferiormente (o superiormente) si surango es un conjunto acotado inferiormente (o superiormente); esto es,
i) (xn)n∈N ⊆R esta acotada inferiormente si
∃c ∈R, ∀n ∈N : xn ≥ c. (2.4)
ii) (xn)n∈N ⊆R esta acotada superiormente si
∃C ∈R, ∀n ∈N : xn ≤ C. (2.5)
Se dice que una sucesion esta acotada si esta, a la vez, acotada superior e inferiormente.
Proposicion 2.1. La sucesion (xn)n∈N ⊆R esta acotada ssi existen x∗ ∈R y r > 0 tales que
xn ∈ B(x∗,r), ∀n ∈N. (2.6)
Por tanto, una sucesion esta acotada cuando sus elementos estan contenidos en algunentorno.
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Ejercicio 2.1. Pruebe la Proposicion 2.1.
Ejemplo 2.1. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante
xn = 2n.
Puesto quexn ≥ 0, ∀n ∈N,
se tiene que (xn)n∈N ⊆R esta acotada inferiormente.
Ejemplo 2.2. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante
xn =1n.
Puesto que−1 ≤ xn ≤ 2, ∀n ∈N,
se tiene que (xn)n∈N ⊆R esta acotada.
3. Convergencia
Establezcamos los conceptos de convergencia y lımite de una sucesion.
Definicion 3.1. [Convergencia y Lımite de una sucesion]Se dice que la sucesion (xn)n∈N ⊆R es convergente ssi existe un numero x ∈R tal que
∀ε > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ |xn−x| < ε. (3.7)
En este caso se lice que x es el lımite de (xn)n∈N ⊆R y se denota
lımn→∞
xn = x (3.8)
o, alternativamente,xn
n−→ xn. (3.9)
Tenga presente que (3.7) puede escribirse
∀ε > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn ∈ B(x, ε),
de manera que cualquiera que sea el grado de cercanıa ε > 0, el entorno B(x, ε) atrapatodos los elementos de la sucesion (xn)n∈N ⊆R, salvo un numero finito de ellos.
En en marco de la Definicion 3.1 se dice que (xn)n∈N ⊆ R converge a x ∈ R por la izquierda o pordebajo si se cumple que
xn ≤ x, ∀n ∈N. (3.10)
Asimismo, se dice que (xn)n∈N ⊆R converge a x ∈R por la derecha o por encima si se cumple que
xn ≥ x, ∀n ∈N. (3.11)
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Ejemplo 3.1. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante
xn = 1+1n. (3.12)
Estudio intuitivo. Como se puede ver en la tabla, a medida que n se hace cada vez mas grande,es decir cuando n tiende a +∞, xn tiende a 1.
n 1 2 4 10 100 1000 1’000000 1×1020· · ·
xn 2 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.000001 1+1×10−20· · ·
|xn−1| 1 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.000001 1×10−20· · ·
En otras palabras, a medida que el argumento n se hace mas y mas grande, el valor xn se aproximamas y mas a 1. Intuimos entonces que
lımn−→∞
xn = 1. (3.13)
Adicionalmente, por lo expuesto en la tabla anterior parecerıa que dada cualquier distancia ε > 0- por mas que sea muy pequena - siempre se puede hallar un N = N(ε) ∈N de manera que ladistancia entre xn y 1 sea menor que ε a partir de N, es decir,
∀ε > 0, ∃N =N(ε) ∈N : n ≥N ⇒ |xn−1| < ε. (3.14)
Por ejemplo, observese que para ε1 = 0.5, se puede tomar N(ε1) = 2. Para ε2 = 0.001, funcionaN(ε2) = 1000.Estudio analıtico. Ahora probemos que (3.13) - o equivalentemente (3.14) - se cumple. Seaε > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los nuemros reales, existe un N ∈Z tal que
Nε > 1,
es decirε <
1N. (3.15)
En virtud de (3.15), si n ∈N es tal que n ≥N, se cumple que
|xn−1| =∣∣∣∣∣1+ 1
n−1
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣1n∣∣∣∣∣
=1n
≤1N
≤ ε.
Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado (3.14).
Observacion 3.1. Por lo visto en el Ejemplo 3.1 se tiene que
lımn→∞
1n= 0. (3.16)
De manera que si en un cociente se mantiene fijo el numerador y se hace tender el denominadora∞ (o a −∞), entonces el cociente tiende a cero.
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Ejercicio 3.1. Sea β ∈ (−1,1). Pruebe que
lımn→∞|β|n = 0. (3.17)
Sugerencia. Considere los casos ε ∈ (0,1) y ε ∈ [1,∞)
Teorema 3.1. [Unicidad del lımite]Si una sucesion real es convergente, su lımite es unico.
Demostracion. Sea (xn)n∈N ⊆R convergente y supongamos que
lımn→∞
xn = L1, (3.18)
lımn→∞
xn = L2, (3.19)
conL1 , L2.
Tomamosε1, ε2 ∈
(0,|L2−L1|
2
). (3.20)
Por (3.18), existe un N1 ∈N tal que
n ≥N1 ⇒ |xn−L1| < ε1. (3.21)
Por (3.19), existe un N2 ∈N tal que
n ≥N2 ⇒ |xn−L2| < ε2. (3.22)
Entonces, por (3.20), (3.21) y (3.22) se sigue, para n ≥max{N1,N2}, que
|L2−L1| = |L2−L1+xn−xn|
≤ |L2−xn|+ |L1−xn|
< ε1+ε2
<|L2−L1|
2+|L2−L1|
2= |L2−L1|
que es una contradiccion. Por tanto, L1 = L2. �
El siguiente Teorema es muy importante por sus aplicaciones.
Teorema 3.2. [Teorema Fundamental]Sea c ∈R y sea (xn)n∈N ⊆R tal que lım
n→∞xn = L. Se tiene que:
i) si L > c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn > c.
ii) si L < c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn < c.
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Demostracion. Puesto que lımn→∞
xn = L se tiene que
∀ε > 0, ∃N =N(ε) ∈N : n ≥N ⇒ L−ε < xn < L+ε. (3.23)
i) Tomamos ε = L− c y N =N(L− c) de manera que por (3.23) se tiene que
n ≥N ⇒ xn > L−ε = L− (L− c) = c.
ii) Tomamos ε = c−L y N =N(c−L) de manera que por (3.23) se tiene que
n ≥N ⇒ xn < L+ε = L+ (c−L) = c.
�
La siguiente Proposicion establece que
1) el lımite de una suma es igual a la suma de los lımites; y,2) el lımite de una sucesion multiplicada por una constante es igual a la constante
multiplicada por el lımite de la sucesion.
Proposicion 3.1. [Linealidad del lımite]Sea c ∈R. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que lım
n→∞xn = α y lım
n→∞yn = β. Entonces se
tiene que
lımn→∞
(cxn+ yn) = cα+β. (3.24)
La Proposicion 3.1 establece que la suma de sucesiones convergentes es una sucesion convergente.
Ejercicio 3.2. Pruebe la Proposicion 3.1.
Proposicion 3.2. Toda sucesion (xn)n∈N ⊆R convergente es acotada.
Demostracion. Puesto que (xn)n∈N ⊆R es convergente, para algun L ∈R se tiene que
∀ε > 0,∃N =N(ε) ∈N : n >N ⇒ |xn−L| < ε.
Tomamos ε = 1. Entonces si n >N se tiene que
|xn| = |xn+L−L| ≤ |xn−L|+ |L| < 1+ |L|.
Por tanto,|xn| < R, ∀n ∈N,
dondeR =max{1+ |L|, |x1|, |x2|, ..., |xn|}.
�
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4. Divergencia
Si una sucesion no es convergente se dice que es divergente.
Definicion 4.1. [Divergencia al infinito]Se dice que la sucesion (xn)n∈N ⊆R diverge a +∞ si se cumple que
∀K > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn > K. (4.25)
En este caso denotamoslımn→∞
xn = +∞, o xnn−→∞. (4.26)
Se dice que la sucesion (xn)n∈N ⊆R diverge a −∞ si se cumple que
∀K > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn < −K. (4.27)
En este caso denotamoslımn→∞
xn = −∞, o xnn−→−∞. (4.28)
Observacion 4.1. Tenga presente que una sucesion tiene lımite ssi es convergente. Las notaciones(4.26) y (4.28) no indican que existe un lımite sino que expresan un tipo de divergencia.
Ejemplo 4.1. Consideramos la sucesion
(Sn)n∈N = (√
n)n∈N ⊆R.
Calculamos los primeros elementos de la sucesion:
n√
n n√
n1 1.000000... 7 2,645751...2 1.414213... 8 2.828427...3 1.732050... 9 3.000000...4 2.000000... 10 3.162277...5 2.236067... 11 3.316624...
6 2.449489......
...
Se puede observar que, a medida que n crece, Sn tambien crece.Probemos que
lımn→∞
Sn =∞. (4.29)
Sea K > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los numeros reales, existe N ∈N talque
N ·1 > K2.
Por tanto, si n ∈N es tal que n ≥N, se tiene que
n ≥N > K2,
es decir,Sn =
√n > K.
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Puesto que K fue elegido arbitrariamente, se ha probado que
∀K > 0,∃N ∈N : n ≥N ⇒ Sn > K,
es decir que se tiene (4.29).
Ejemplo 4.2. La sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante
xn = (−1)nπ, n ∈N,
es divergente. Esta divergencia no es hacia +∞ ni hacia −∞.
Proposicion 4.1. Sea (xn)n∈N ⊆R tal que lımn→∞
xn = +∞. Entonces se tiene que
α > 0 ⇒ lımn→∞
(αxn) = +∞; (4.30)
α < 0 ⇒ lımn→∞
(αxn) = −∞. (4.31)
Ejercicio 4.1. Pruebe la Proposicion 4.1.
Proposicion 4.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R. Se tiene que
lımn→∞
xn = +∞ ∧ lımn→∞
yn = +∞ ⇒ lımn→∞
(xn+ yn) = +∞; (4.32)
lımn→∞
xn = −∞ ∧ lımn→∞
yn = −∞ ⇒ lımn→∞
(xn+ yn) = −∞. (4.33)
Ejercicio 4.2. Pruebe la Proposicion 4.2.
Tenga presente que la Proposicion anterior considera la suma de sucesiones que convergen ambashacia +∞ o ambas hacia −∞. Con respecto a la resta no se puede afirmar nada a priori y esto lo evidenciamosen los Ejemplos 8.1 y 4.3.
Ejercicio 4.3. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R definida por la formula
xn = n2−n
Observe quelımn→∞
n2 = +∞, lımn→∞
(−n) = +∞.
Pruebe quelımn→∞
xn = +∞.
5. Monotonıa
Se dice que una sucesion (xn)n∈N ⊆R es
i) creciente sixn ≤ xn+1, ∀n ∈N; (5.34)
ii) estictamente creciente sixn < xn+1, ∀n ∈N; (5.35)
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iii) decreciente sixn ≥ xn+1, ∀n ∈N; (5.36)
iv) estictamente decreciente si
xn > xn+1, ∀n ∈N. (5.37)
Se dice que una sucesion (xn)n∈N ⊆R es monotona si es creciente o decreciente.
Tenga presente que las sucesiones constantes son, a la vez, crecientes y decrecientes.
Teorema 5.1. [Convergencia y monotonıa]Sea (xn)n∈N ⊆R monotona. Entonces (xn)n∈N ⊆R es convergente ssi es acotada.
Demostracion. En virtud de la Proposicion 3.2 basta probar que el acotamiento de(xn)n∈N ⊆R implica su convergencia.
i) Supongamos que (xn)n∈N ⊆R es creciente. Puesto que (xn)n∈N ⊆R esta acotada, existeun R > 0 tal que
−R < xn < R, ∀n ∈N,
de manera que el conjuntoU = {xn /n ∈N}
esta acotado superiormente. Entonces, por el Axioma del Supremo,
sup(U) = L ∈R. (5.38)
Entonces, por la caracterizacion del supremo, se tiene que
∀ε > 0, ∃N ∈N : L−ε < aN. (5.39)
Ahora, puesto que (xn)n∈N ⊆R es creciente y puesto que (5.38) implica que
an ≤ L, ∀n ∈N,
se sigue por (5.39) que
∀ε > 0, ∃N ∈N : n >N ⇒ L−ε < aN ≤ an ≤ L < L+ε.
Por tanto∀ε > 0, ∃N ∈N : n >N ⇒ |an−L| < ε, (5.40)
ası que (xn)n∈N ⊆R es convergente.
ii) El caso en que (xn)n∈N ⊆R es decreciente queda como ejercicio para el lector.�
Ejercicio 5.1. Sea β > 0. Pruebe que
lımn→∞
1nβ= 0. (5.41)
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Recuerde que dados n,k ∈N∗ con k ≤ n se escribe(nk
)=
n!k! · (n− k)!
. (5.42)
Observacion 5.1. [Sımbolo producto]Recuerde el sımbolo producto
n∏k=1
ak = a1 · a2 · ... · an. (5.43)
Ejercicio 5.2. Pruebe que2n−1
≤ n!, ∀n ∈N. (5.44)
Proposicion 5.1. [El numero e]La sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante
xn =(1+
1n
)n, (5.45)
es convergente y a su lımite se le denota
e = 2.718281828459045... (5.46)
Esquema de la Demostracion. Aplicamos el Teorema 5.1.i) Por el Teorema del Binomio de Newton se tiene para n ∈N:
xn =(1+
1n
)n
=
n∑k=0
(nk
)1nk
= 1+n!
(n−1)!1n+
n!(n−2)!2!
1n2 +
n!(n−3)!3!
1n3 + ...+
n!0!n!
1nn
= 2+12!
(1−
1n
)+
13!
(1−
1n
)(1−
2n
)+ ...+
1n!
(1−
1n
)(1−
2n
)· ... ·
(1−
n−1n
)= 2+
n∑k=2
1k!
k−1∏j=1
(1−
jn
). (5.47)
Aplicando (5.47) se tiene que
xn+1 = 2+n+1∑k=2
1k!
k−1∏j=1
(1−
jn+1
)
= 2+n∑
k=2
1k!
k−1∏j=1
(1−
jn+1
)+
1(n+1)n+1
. (5.48)
Puesto que
1−jn≤ 1−
jn+1
, ∀n, j ∈N,
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se sigue por (5.47) y (5.48) que
xn ≤ xn+1, ∀n ∈N,
es decir que (xn)n∈N ⊆R es creciente.
ii) Por (5.44) y (5.47) se tiene, para n ∈N, que
xn = 2+n∑
k=2
1k!
k−1∏j=1
(1−
jn
)
≤ 2+n∑
k=2
1k!
≤ 2+n−1∑k=1
12k
= 2+(1/2)n
−1(1/2)−1
−1
= 3−2 ·(1
2
)n
< 3,
ası que (xn)n∈N ⊆R esta acotada.�
Ejercicio 5.3. Calcule
L = lımn→∞
(1−
1n
)1/n
Idea. Tenga presente que (n−1n
)n=
1(1+ 1
n−1
)n−1 (1+ 1
n−1
) .6. Las funciones exponencial y logarıtmica
Se define la funcion exponencial, exp :R→R, mediante
exp(x) = lımn→∞
(1+
xn
)n, (6.49)
y se denotaexp(x) = ex, x ∈R. (6.50)
Ejercicio 6.1. Pruebe que el lımite en (6.49) existe.Idea. Para x , 0, considere el cambio de variable m = n/x.
Observe que la funcion exponencial es estrictamente creciente (y por tanto inyectiva)y que
Rg(exp) = (0,∞). (6.51)
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J.Figura 1: La funcion exponencial.
Adicionalmente se tiene que
lımn→∞
exp(n) = lımn→∞
en =∞. (6.52)
Se tiene queexp(x+ y) = exp(x) ·exp(y), ∀x, y ∈R. (6.53)
Se define la funcion logarıtmica, ln : (0,∞)→R, como la funcion inversa de la funcionR 3 x 7→ exp(x) ∈ (0,∞). Por tanto, se tiene que
ln(exp(x)) = x, ∀x ∈R; (6.54)exp(ln(x)) = x, ∀x ∈ (0,∞). (6.55)
En virtud de (6.53) se tiene que
ln(x · y) = ln(x)+ ln(y), ∀x, y ∈ (0,∞). (6.56)
Ejercicio 6.2. Pruebe (6.56).
Sea a > 0. Se define la funcion exponencial en base a, expa :R→R, mediante
expa(x) = ex ln(a) (6.57)
y se denotaexpa(x) = ax. (6.58)
Sea a > 0, a , 1. Se define la funcion exponencial en base a, loga : (0,∞)→R, mediante
loga(x) =ln(x)ln(a)
. (6.59)
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J.Figura 2: La funcion logarıtmica.
Proposicion 6.1. [Propiedades de la funcion exponencial]Sea a > 0. Se tiene que
ax+y = ax· ay, ∀x, y ∈R; (6.60)
expa(x) = 1 ⇔ x = 0. (6.61)
Ejercicio 6.3. Pruebe la Proposicion 6.1.
Observacion 6.1. Tenga presente que para a > 1, la funcion expa es estrictamente creciente; entanto que para 0 < a < 1, expa es estrictamente decreciente.
Proposicion 6.2. [Propiedades de la funcion logarıtmica (I)]Sea a ∈ (0,∞)\ {1}. Se tiene que
loga(x · y) = loga(x)+ loga(y), ∀x, y ∈ (0,∞); (6.62)loga(xy) = y · loga(x), ∀x > 0,∀y ∈R; (6.63)
loga(x) = 0 ⇔ x = 1. (6.64)
Ejercicio 6.4. Pruebe la Proposicion 6.2.
El siguiente resultado permite resolver inecuaciones que involucran a la funcionlogarıtmica.
15
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Proposicion 6.3. [Propiedades de la funcion logarıtmica (II)]Si a > 1, se tiene que
loga(x) > 0 ⇔ x ∈ (1,∞); (6.65)loga(x) < 0 ⇔ x ∈ (0,1). (6.66)
Si 0 < a < 1, se tiene que
loga(x) > 0 ⇔ x ∈ (0,1); (6.67)loga(x) < 0 ⇔ x ∈ (1,∞). (6.68)
7. Propiedades importantes
El siguiente resultado establece el comportamiento de una sucesion compuesta porun termino que converge y uno que diverge.
Proposicion 7.1. Sean (xn)n∈N ⊆R acotada y (yn)n∈N ⊆R divergente. Se tiene que
i) (xn+ yn)n∈N ⊆R es divergente;ii) si lım
n→∞yn = +∞, entonces lım
n→∞(xn+ yn) = +∞;
iii) si lımn→∞
yn = −∞, entonces lımn→∞
(xn+ yn) = −∞.
Ejercicio 7.1. Pruebe la Proposicion 7.1.
En la siguiente Proposicion se establece como calcular el lımite de una sucesion cuyoselementos son los inversos multiplicativos de otra sucesion.
Proposicion 7.2. [Inversion de un lımite]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que
lımn→∞
xn = L , 0.
Entonces,
lımn→∞
1xn=
1L. (7.69)
Esquema de la demostracion. i) Se prueba que
∃N∗ ∈N : n >N∗ ⇒ |xn| >|L|2. (7.70)
ii) Se tiene que∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |xn−L| < ε1.
iii) Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos
ε1 =ε|L|2
2,
16
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
y N =max{N∗,N1} de manera que∣∣∣∣∣ 1xn−
1L
∣∣∣∣∣ = |xn−L||L| · |xn|
<2ε1
|L|2= ε.
Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado (7.69).�
El siguiente resultado complementa la Proposicion 3.1; establece, a grosso modo, queel lımite de un producto se puede calcular como el producto de los lımites (cuando estosexisten).
Proposicion 7.3. [Lımites de productos y cocientes]Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que
lımn→∞
xn = α; lımn→∞
yn = β. (7.71)
Entonces se tiene que
lımn→∞
xn · yn = α ·β; (7.72)
lımn→∞
xn
yn=
αβ, si β , 0. (7.73)
Demostracion. Basta probar (7.72).i) Puesto que (xn)n∈N ⊆R es convergente, es acotada, es decir, existe un M > 0 tal que
|xn| ≤M, ∀n ∈N. (7.74)
ii) Por (7.71) se tiene que
∀ε1 > 0, ∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |xn−α| < ε1;∀ε1 > 0, ∃N2 ∈N : n >N2 ⇒ |yn−β| < ε1;
Por tanto,
∀ε1 > 0, ∃N =max{N1,N2} ∈N : n >N ⇒ |xn−α| < ε1 ∧ |yn−β| < ε1. (7.75)
iii) Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos
ε1 =ε
M+ |β|.
Entonces por (7.74) y (7.75) se tiene, para n >N, que
|xnyn−αβ| = |xnyn−xnβ+xnβ−αβ|
= |xn(yn−β)+β(xn−α)|≤ |xn| · |yn−β|+ |β| · |xn−α|
< Mε1+ |β|ε1
= ε.
17
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado (7.72).�
El siguiente resultado continua avanza las propiedades establecidas en las Proposi-ciones 3.1 y 7.3
Teorema 7.1. [Lımite de una potencia]Sea β ∈ (0,∞)\ {1}. Si lım
n→∞xn = α, entonces
lımn→∞
βxn = βα. (7.76)
Demostracion. Puesto que (xn)n∈N ⊆R converge a α, se tiene que
∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N ⇒ α−ε1 < xn < α+ε1, (7.77)
Caso β > 1. La funcion expβ es estrictamente creciente de manera que (7.77) implica que
∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N ⇒ βα−ε1 < βxn < βα+ε1 . (7.78)
Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos ε1 > 0 de manera que
βε1 = 1+εβα.
Se tiene que
βα−ε1 =βα
1+ εβα=
β2α
βα+ε>β2α−ε2
βα+ε= βα−ε. (7.79)
Asimismo se tiene que
βα+ε1 = βα(1+
εβα
)= βα+ε. (7.80)
Entonces por (7.78), (7.79)y (7.80) y por la arbitrariedad de ε, se tiene que
∀ε > 0, ∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |βxn −βα| < ε,
es decir que (7.76) se cumple.Caso 0 < β < 1. La funcion expβ es estrictamente decreciente de manera que (7.77) im-
plica que∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N ⇒ βα−ε1 > βxn > βα+ε1 . (7.81)
Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos ε1 > 0 de manera que
βε1 =βα
βα+ε.
Se tiene que
βα−ε1 =βα
βα
βα+ε
= βα+ε. (7.82)
18
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Asimismo se tiene que
βα+ε1 = βα(βα
βα+ε
)>β2α−ε2
βα+ε= βα−ε. (7.83)
Entonces por (7.81), (7.82)y (7.83) y por la arbitrariedad de ε, se tiene que
∀ε > 0, ∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |βxn −βα| < ε,
es decir que (7.76) se cumple.
�
8. Equivalencia de sucesiones
Por Analisis del Comportamiento al Infinito de una sucesion entendemos que sebusca establecer si dicha sucesion es convergente (en cuyo caso en lo posible debecalcularse su lımite) o divergente (en cuyo caso deberıa establecerse si existe divergenciahacia +∞ o −∞).
Definicion 8.1. [Equivalencia de sucesiones]Se dice que dos sucesiones (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R son equivalentes si se cumple que
lımn→∞
xn
yn= 1, (8.84)
o, equivalentemente,lımn→∞
(xn− yn
)= 0. (8.85)
Criterio de equivalencia de sucesiones.Para el analisis del comportamiento al infinito de una sucesion (rn)n∈N ⊆ R en cuyaformula aparece xn, se puede reemplazar xn por cualquier formula yn tal que (xn)n∈N ⊆
R y (yn)n∈N ⊆R sean equivalentes.
Ejemplo 8.1. Sea α > 0. Consideramos la sucesion (rn)n∈N ⊆R definida por la formula
rn =√
n+α−√
n, n ∈N.
Se tiene quelımn→∞
√
n+1 = +∞, lımn→∞
(−√
n) = −∞.
Probemos que las sucesiones definidas por las formulas
xn =√
n+α, yn =√
n
son equivalentes. Para ello, probemos que
lımn→∞
(√n+α−
√n)= 0. (8.86)
19
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Sea ε > 0. Por la Propiedad Arquimediana de los numeros reales, existe un N ∈N tal que
4ε2 N > 1.
Por tanto, si n >N, se tienen que4ε2 n > 4ε2 N > 1. (8.87)
Por (8.87) se tiene que∣∣∣√n+α−√
n∣∣∣ = √
n+α−√
n
=
(√n+α−
√n)(√
n+α+√
n)
√n+α+
√n
=α
√n+α+
√n
<α
2√
n< ε.
Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se sigue que
∀ε > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ |√
n+α−√
n| < ε,
de manera que se tiene (8.86) y, por tanto,
lımn→∞
√n+α√
n= 1.
Proposicion 8.1. Sean α > 0 y β1, ...,βk ∈ (−∞,α). Se tiene que
lımn→∞
nα
nα+nβ1 + ...+nβk= 1. (8.88)
9. Propiedades importantes (II)
Recuerde que la funcion real mas importante es la funcion valor absoluto. El siguienteresultado establece, a grosso modo, que el lımite de un valor absoluto es igual al valorabsoluto del lımite.
Proposicion 9.1. [Convergencia absoluta]Si la sucesion (xn)n∈N ⊆ R es convergente, entonces (|xn|)n∈N tambien es convergente y secumple que
lımn→∞|xn| =
∣∣∣∣ lımn→∞
xn
∣∣∣∣ . (9.89)
Ejercicio 9.1. Pruebe la Proposicion 9.1.
Ejemplo 9.1. El recıproco de la Proposicion 9.1 no es verdadero. considere e.g. la sucesiondefinida por la formula
xn = (−1)nπ, n ∈N.
20
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Los siguientes dos resultados son importantes para estudiar el comportamiento deuna sucesion al infinito.
Teorema 9.1. Sea (xn)n∈N ⊆R una sucesion convergente. Entonces,
(∀n ∈N : xn ≥ 0) ⇒ L = lımn→∞
xn ≥ 0. (9.90)
Demostracion. Supongamos que L < 0. Se tiene que
∀ε, ∃N ∈N : n >N ⇒ −ε < xn−L < ε. (9.91)
Ahora, tomando ε = −L en (9.91) se sigue, para n >N, que
xn−L < −L,
de manera quexn < 0, n >N.
En particular,∃n ∈N : xn < 0.
�
Corolario 9.1. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R convergentes. Entonces,
(∀n ∈N : xn ≤ yn) ⇒ lımn→∞
xn ≤ lımn→∞
yn. (9.92)
Ejercicio 9.2. Pruebe el Corolario 9.1.
Teorema 9.2. [Teorema del Sanduche]Sean (xn)n∈N ⊆R, (yn)n∈N ⊆R y (wn)n∈N ⊆R tales que
xn ≤ wn ≤ yn, ∀n ∈N. (9.93)
Se tiene quelımn→∞
xn = lımn→∞
yn = L ⇒ lımn→∞
wn = L.
Ejercicio 9.3. Pruebe el Teorema 9.2.
Corolario 9.2. Sea (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que
lımn→∞|xn| = 0 ⇒ lım
n→∞xn = 0. (9.94)
Ejercicio 9.4. Pruebe el Corolario 9.2.
Ejercicio 9.5. Sea θ ∈R. Pruebe que
lımn→∞
sen(nθ)n
= 0.
El siguiente resultado establece, a grosso modo, que el lımite de un logaritmo es ellogaritmo del lımite de una sucesion.
21
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Teorema 9.3. [Lımite de la funcion logarıtmica]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que
xn > 0, ∀n ∈N; (9.95)lımn→∞
xn > 0. (9.96)
Entonces,lımn→∞
ln(xn) = ln(
lımn→∞
xn
). (9.97)
Para probar el Teorema 9.3 necesitamos el Teorema Fundamental.
Teorema 9.4. [Teorema Fundamental]Sea c ∈R y sea (xn)n∈N ⊆R tal que lım
n→∞xn = L. Se tiene que:
i) si L > c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn > c.
ii) si L < c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn < c.
Demostracion del Teorema 9.3. Sea ε > 0, cualquiera. Denotemos β = lımn→∞
xn. Tenemos que
lımn→∞
xn
β= 1. (9.98)
Puesto que0 < e−ε < 1 ∧ eε > 1
se sigue, por (9.98) y el Teorema Fundamental, que existe un N ∈N tal que
n >N ⇒ e−ε <xn
β< eε
y, puesto que la funcion ln es estrictamente creciente,
−ε < ln(
xn
β
)< ε,
o, equivalentemente,| ln(xn)− ln(β)| < ε.
�
Corolario 9.3. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R sucesiones convergentes tales que
lımn→∞
xn = α > 0, lımn→∞
yn = β ∈R. (9.99)
Entonces,lımn→∞
xynn = α
β. (9.100)
22
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Ejercicio 9.6. Justifique los pasos siguientes que demuestran el Corolario 9.3:
lımn→∞
xynn = lım
n→∞eyn·ln(xn)
= elım(yn·ln(xn))
= elım yn·lımln(xn)
= eβ·ln(α)
= αβ.
Ejercicio 9.7. [Un lımite fundamental]Sea a ∈R \ {0}. Pruebe que
lımn→∞
n · sen(1
n
)= 1. (9.101)
Idea. Puede usar el hecho que
lımn→∞
cos(1
n
)= 1. (9.102)
Ejercicio 9.8. [Un lımite fundamental]Pruebe que
lımn→∞
[n · ln
(1+
1n
)]= 1. (9.103)
Ejercicio 9.9. Sea α > 0. Pruebe que
lımn→∞
αn
n!= 0. (9.104)
Idea 1. Pruebe que la sucesion definida por xn =αn
n!decreciente y acotada inferiormente.
Idea 2. Descomponga, para n >N, xn = xN · g(n,N) y aplique el Teorema del Sanduche.
Proposicion 9.2. Sea (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que
0 < lımn→∞
xn < 1 ⇒ lımn→∞
(xn)n = 0. (9.105)
Ejercicio 9.10. Pruebe la Proposicion 9.2.
10. Subsucesiones
Consideramos una sucesion (xn)n∈N ⊆R. Se denomina subsucesion de (xn)n∈N ⊆R atoda sucesion de la forma
(xnm )m∈N ⊆R, (10.106)
donde la indexacion(nm)m∈N ⊆N,
es estrictamente creciente.
Observacion 10.1. Tenga presente que
nm ≤m, ∀m ∈N. (10.107)
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Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Toda sucesion es subsucesion de sı misma.
Ejemplo 10.1. Consideramos la sucesion real
(xn)n∈N =(1
n
)n∈N= (x1,x2,x3,x4, ...) =
(1,
12,13,14, ...
).
La indexacion definida por la formulanm = 2m
define la siguiente subsucesion de (xn)n∈N ⊆R:
(xnm )m∈R =( 1
2m
)m∈R= (x2,x4,x6, ...) =
(12,14,16, ...
).
La indexacion definida por la formulank = k2
define la siguiente subsucesion de (xn)n∈N ⊆R:
(xnk )k∈R =( 1
k2
)k∈R= (x1,x4,x9,x16, ...) =
(1,
14,19,
116, ...
).
Proposicion 10.1. [Convergencia de subsucesiones]Sea (xnm )m∈N ⊆R una subsucesion de (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que
lımn→∞
xn = L ⇒ lımm→∞
xnm = L. (10.108)
Ejercicio 10.1. Pruebe la Proposicion 10.1.
Observacion 10.2. [Criterio para establecer la divergencia de una sucesion]La Proposicion 10.1 establece que todas las subsucesiones de una sucesion convergente sonconvergentes y tienden al mismo lımite. Por tanto, cada una de las siguientes condiciones sonsuficientes para establecer que una sucesion (xn)n∈N ⊆R es divergente.
1) Existe alguna subsucesion (xnm )m∈N ⊆R divergente.2) Existen dos subsucesiones (xnm )m∈N ⊆R y (xnk )k∈N ⊆R tales que
lımm→∞
xnm , lımk→∞
xnk .
Ejemplo 10.2. Consideramos la sucesion definida por la formula
xn =
1+ sen(π2 +nπ
)n
n
.
La subsucesion definida por la indexacion
nm = 2m, m ∈N,
verificalım
m→∞xnm = e. (10.109)
24
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
La subsucesion definida por la indexacion
nk = 2k+1, k ∈N,
verificalımk→∞
xnk = e−1. (10.110)
Por (10.109) y (10.110) se sigue que (xn)n∈N ⊆R es divergente.
Recordemos que una sucesion convergente es necesariamente acotada. Por otro lado,como ya hemos visto en ejemplos, una sucesion acotada puede ser divergente. Sinemabrgo se tiene el siguiente resultado importante.
Teorema 10.1. [Teorema de Bolzano-Weierstrass]Una sucesion acotada tiene una subsucesion convergente.
Para una demostracion del Teorema de Bolzano-Weierstrass vease e.g. [1].
11. Propiedades importantes (III)
Proposicion 11.1. Sea r > 1. Se tiene que
lımn→∞
rn = +∞. (11.111)
Demostracion. Sea K > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los numerosreales, existe un N ∈N tal que
N ≥ logr(K). (11.112)
Por tanto, para n >N, se tiene por (11.112) y que
rn > rN > K,
pues la funcion expr es estrictamente creciente. Entonces, puesto que K fue elegidoarbitrariamente se tiene que
∀K > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ rn > K,
es decir que sem tiene (11.1).�
Teorema 11.1. Sea (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que
lımn→∞|xn| = +∞ ⇔ lım
n→∞
1xn= 0. (11.113)
Ejercicio 11.1. Pruebe el Teorema 11.1.
Como consecuencia del Teorema 11.1 se tiene el siguiente resultado.
25
Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Corolario 11.1. Sea (xn)n∈N ⊆R tal que lımn→∞
xn = 0. Se tiene que
i) si∃N ∈N, ∀n >N : xn > 0,
entonces lımn→∞
1xn= +∞;
ii) si∃N ∈N, ∀n >N : xn < 0,
entonces lımn→∞
1xn= −∞.
Proposicion 11.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que
lımn→∞
xn = +∞, (11.114)
∃N ∈N, ∀n >N : yn ≥ c > 0. (11.115)
Entonces,lımn→∞
xn · yn = +∞.
Ejercicio 11.2. Pruebe la Proposicion 11.2.
Ejercicio 11.3. Sea β > 0. Pruebe que
lımn→∞
nβ = +∞. (11.116)
Teorema 11.2. [Lımite y equivalencia de un polinomio]Sea m ∈N y p ∈ Pm definido mediante
p(x) = amxm+ am−1xm−1+ ...+ a2x2+ a1x+ a0.
Se tiene quelımn→∞
p(n) =∞. (11.117)
Asimismo,
lımn→∞
p(n)am nm = 1. (11.118)
Ejercicio 11.4. Pruebe el Teorema 11.2.
Proposicion 11.3. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R. Se tiene que
i) si lımn→∞
xn =∞ y∃N ∈N, ∀n >N : xn ≤ yn,
entonces lımn→∞
yn = +∞;
ii) si lımn→∞
xn = −∞ y∃N ∈N, ∀n >N : yn ≤ xn,
entonces lımn→∞
yn = −∞.
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Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Ejercicio 11.5. Pruebe la Proposicion 11.3.
Ejercicio 11.6. Sea α > 0. Pruebe que
lımn→∞
(1+α)n = +∞.
Observacion 11.1. Tenga presente que una sucesion creciente que no esta acotada superiormentediverge a +∞. Analogamente, una sucesion decreciente que no esta acotada inferiormente divergea −∞.
El siguiente resultado es muy util para calcular lımites de la forma 1∞.
Teorema 11.3. [Indeterminacion 1∞]Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que
lımn→∞
yn = β , 0, (11.119)
lımn→∞
xn = +∞. (11.120)
Entonceslımn→∞
(1+
yn
xn
)xn= eβ. (11.121)
Para una demostracion de este Teorema vease e.g. [2].
Ejercicio 11.7. Calcule
L = lımn→∞
(n2+1+ n√n
n2+1
)3n2+n−1
.
Ejercicio 11.8. [Un lımite fundamental]Sean a,b ∈R+ \ {1}. Pruebe que
lımn→∞
[n ·
(a1/n− b1/n
)]= ln
(ab
). (11.122)
Ejercicio 11.9. Pruebe que
0 < lımn→∞
xn < 1 ⇒ lımn→∞
(xn)n = 0.
Ejercicio 11.10. Pruebe que
lımn→∞
xn > 1 ⇒ lımn→∞
(xn)n = +∞.
12. Completitud de R
En esta seccion establecemos que toda sucesion que cumple el criterio de Cauchy esconvergente; esta propiedad es referida como la completitud de R. Mas adelante en susestudios el estudiante tendra la oportunidad de encontrarse con otros conjuntos que soncompletos, e.g. C,R3,Rn, etc.
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Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Definicion 12.1. [Sucesion de Cauchy]Se dice que (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy si
∀ε > 0,∃N ∈N : n.m >N ⇒ |xn−xm| < ε. (12.123)
Observe que en la definicion anterior se compara la distancia entre elementos de lasucesion; por otro lado, en la definicion de convergencia se compara la distancia entre loselementos de la sucesion y un elemento externo, su lımite. Por esta razon, el siguienteresultado establece un mecanismo para establecer la convergencia (o divergencia) deuna sucesion sin conocer a priori un candidato a ser su lımite.
Teorema 12.1. [Criterio de Cauchy]Una sucesion (xn)n∈N ⊆R es convergente ssi es de Cauchy.
Demostracion. i) Supongamos que (xn)n∈N ⊆R es convergente. Existe entonces L ∈R talque
∀ε1 > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ |xn−L| < ε1. (12.124)
Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos
ε1 =ε2
en (12.124) de manera que si n,m >N se cumple que
|xn−xm| = |xn−xm+L−L|≤ |xn−L|+ |xm−L|
<ε2+ε2
= ε.
Puesto que ε fue elegido arbitrariamente se ha probado que (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy.
ii) Supongamos ahora que (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy. Entonces
∀ε1 > 0,∃N ∈N : m,n >N ⇒ |xn−xm| < ε1. (12.125)
Tomando ε1 = 1 y m =N+1 en (12.125) se sigue que
|xn| − |xN+1| ≤ |xn−xN+1| < 1, ∀n >N,
es decir,|xn| ≤ 1+ |xN+1|, ∀n >N. (12.126)
Ahora, tomandoR =max{1+ |xN+1|, |x1|, |x2|, ..., |xN |}
se tiene por (12.126) que|xn| ≤ R, ∀n ∈N,
es decir que (xn)n∈N ⊆R es acotada. Por el Teorema de bolzano-Weierstrass existe enton-ces una subsucesion (xnm )m∈N que converge a algun L ∈R, es decir que
∀ε2 > 0,∃N ∈N : m >N ⇒ |xnm −L| < ε2. (12.127)
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Mayor
ga-Z
ambr
ano,
J.
Sea ε > 0, cualquiera. Tomando ε1 =ε2 en (12.125) y ε2 =
ε2 en (12.127) se sigue, para
n,m >N, que
|xn−L| = |xn−L+xnm −xnm |
≤ |xn−xnm |+ |xnm −L|
<ε2+ε2
= ε.
Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado que
lımn→∞
xn = L.
Ejercicio 12.1. Pruebe que la sucesion (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy.
xn =1
n2+1;
xn = rn, si 0 < r < 1.
�
13. Criterio del cociente
Tenga presente que en el siguiente resultado no se establece nada respecto al casoL = 1.
Teorema 13.1. [Criterio de Cociente (I)]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que
lımn→∞
∣∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣∣ = L < 1.
Entonceslımn→∞
xn = 0.
Demostracion. Se tiene que
∀ε > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ L−ε <∣∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣∣ < L+ε. (13.128)
Ahora, puesto que 0 < L < 1, tomamos r ∈ (L,1) y ε = r−L > 0. Entonces por (13.128) setiene que ∣∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣∣ < r, ∀n >N. (13.129)
Pero entonces se tiene, para m ∈N, que
0 ≤∣∣∣∣∣xn+m
xn
∣∣∣∣∣ < rm, ∀n >N. (13.130)
Puesto que lımm→∞
rm = 0, se tiene que
lımm→∞
xn+m = 0.
�
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Teorema 13.2. [Criterio de Cociente (II)]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que
lımn→∞
xn+1
xn= L > 1,
y∃N ∈N, ∀n >N : xn > 0.
Entonceslımn→∞
xn = +∞.
Ejercicio 13.1. Analice el comportamiento al infinito de la sucesion definida por la formula
xn =2n
n!.
14. Otros criterios para convergencia y divergencia
En esta seccion se presentan algunos criterios adicionales para convergencia o diver-gencia de sucesiones reales.
Proposicion 14.1. [Media aritmetica]Se tiene
lımn→∞
xn = L ⇒ lımn→∞
1n
n∑k=1
xn = L. (14.131)
Ejercicio 14.1. Usando la definicion de lımite pruebe la Proposicion 14.1.
Ejercicio 14.2. Pruebe que
lımn→∞
(xn+1−xn) = L ⇒ lımn→∞
xn
n= L.
Idea. Estudie la sucesion definida por yn = xn+1−xn.
Teorema 14.1. [Media geometrica]Sea (xn)n∈N ⊆R
+. Entonces,
lımn→∞
xn = L ⇒ lımn→∞
n
√√ n∏k=1
ak = L. (14.132)
Como una consecuencia del Teorema 14.1 se tiene el siguiente resultado.
Corolario 14.1. [Criterio de D’Alambert]Sea (xn)n∈N ⊆R
+. Entonces,
lımn→∞
xn+1
xn= L ⇒ lım
n→∞n√an = L. (14.133)
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Ejercicio 14.3. Pruebe el Corolario 14.1.Idea. Considere la sucesion definida mediante
bn =
a1, si n = 1,an
an−1, si n ≥ 2.
Proposicion 14.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que
lımn→∞
Xn = α, lımn→∞
Yn = β, (14.134)
donde
Xn =
n∑k=1
xn, Yn =
n∑k=1
yn
Suponga que existe un K > 0 tal que
n∑k=1
|yn| < K, ∀n ∈N.
Entonces se tiene que
lımn→∞
n∑k=1
Xk · yn−k+1 = αβ. (14.135)
Teorema 14.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R+ tales que
lımn→∞
xn = α, (14.136)
lımn→∞
n∑k=1
yk = +∞. (14.137)
Entonces,
lımn→∞
n∑k=1
xkyk
n∑k=1
yk
= α. (14.138)
Como consecuencia del Teorema 14.2 se tiene el siguiente resultado.
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Corolario 14.2. [Criterio de Stolz]Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R
+ tales que
lımn→∞
xn
yn= α, (14.139)
lımn→∞
n∑k=1
yk = +∞. (14.140)
Entonces,
lımn→∞
n∑k=1
xk
n∑k=1
yk
= α. (14.141)
15. Relaciones recurrentes
Dada una sucesion (xn)n∈N ⊆R se dice que tiene una forma recurrente de orden k ∈Nsi existe una funcion f :Rk
→R tal que
xn = f (xn−1,xn−2, ...,xn−k), n > k. (15.142)
Ejemplo 15.1. La sucesion de Fibonacci se expresa en forma recurrente de orden 2:F1 = 0,F2 = 1,Fn = Fn−1+Fn−2, n > 2.
Ejemplo 15.2. [Progresion geometrica]Sean c,r ∈R. La progresion geometrica
(xn)n∈N = (crn−1)n∈N
se puede escribir con una forma recurrente de orden 1:x1 = c,xn = rxn−1, n > 1.
16. Problemas
16.1. Usando la definicion de lımite pruebe que
lımn→∞
5n= 0, (16.143)
lımn→∞
n2+1n2 = 1, (16.144)
lımn→∞
15n2n+3
=152. (16.145)
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16.2. Usando la definicion de lımite pruebe que
lımn→∞
βn·n = 0, si β ∈ (−1,1), (16.146)
lımn→∞
1−2nn+3
= −2, (16.147)
lımn→∞
(n2
n−1−
n2
n+1
)= 2. (16.148)
16.3. Usando la definicion de lımite pruebe que
lımn→∞
a1/n = 1, a > 0, (16.149)
lımn→∞
ln(1+ a1/n
)= ln(2). (16.150)
Sugerencia. Puede ser util considerar primero a = e.
16.4. ¿Que problema puede presentarse si en las hipotesis del Teorema 7.1 no se asume queβ , 1?
16.5. Sea (xn)n∈N ⊆R tal que lımn→∞
xn = L. Pruebe que lımn→∞
x2n = L2.
16.6. Analice el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆R.
xn =6n+27n−3
; (16.151)
xn =(−2)n+3n
(−2)n+1+3n+1; (16.152)
xn =
n−1∑i=1
in2 ; (16.153)
xn =
n−1∑i=1
i2
n3 . (16.154)
16.7. Sea (xn)n∈N ⊆R una sucesion convergente, entonces se cumple la propiedad telescopica:
lımn→∞
n∑i=1
(xi−xi+1) = x1− lımn→∞
xn. (16.155)
Use la propiedad telescopica para calcular los siguientes lımites
L1 = lımn→∞
n∑i=1
1(2i−1)(2i+1)
,
L2 = lımn→∞
n∑i=1
(−1)i−1(2i+1)i(i+1)
.
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16.8. Verifique si los siguientes lımites son correctos.
lımn→∞
n∑i=1
12i = 1;
lımn→∞
n∑i=0
ri =1
1− r, si |r| < 1;
lımn→∞
n∑i=1
in2 =
12
;
lımn→∞
n∑i=1
i(i+1)n3 =
13.
16.9. Verifique si los siguientes lımites son correctos.
lımn→∞
n∑i=1
(2i−1)3i
n ·3n = 3;
lımn→∞
n∑i=1
3i−2n2 =
32
;
lımn→∞
n∑i=1
1i(i+1)(i+2)
=14
;
lımn→∞
∣∣∣∣∣∣∣n∑
i=1
(−1)i· i2
n2
∣∣∣∣∣∣∣ = 12.
16.10. Verifique si los siguientes lımites son correctos.
lımn→∞
n∑i=1
3i
3n =12
;
lımn→∞
n∑i=1
1(a+ i−1)(a+ i)
=1a, si a , 0;
lımn→∞
n2
n∏i=2
(1−
1i
)=
12
;
lımn→∞
n∏i=2
(1−
1i2
)=
12.
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16.11. analizar el comportamiento al infinito de las sucesion (xn)n∈N ⊆R.
xn =
(n3−2n2+1
n3+8n2+n+3
)n
;
xn =
(n3−2n2+1
n3+8n2+n+3
)n2
;
xn =
(n3−2n2+1
n3−2n2+n+3
)n
;
xn =
√
2n2+5n+1−√
n2+1n
.
16.12. Halle el dominio de definicion de la formula f (x).
f (x) = ln(2+x
2−x
);
f (x) = ln(x4+5x3
−13x2−53x+60
);
f (x) = ln(x2−1
).
16.13. Considere la funcion definida por la formula
f (x) =(1+x
1−x
).
1) Halle el dominio de definicion de f (x).2) Resuelva la ecuacion
f (x) = 0, x ∈R.
3) Halle el conjunto
I ={
(x, y)R2 : f (x)+ f (y) = f(
x+ y1+xy
)}.
16.14. Las funciones seno hiperbolico, denotada sinh, y coseno hiperbolico, denotada cosh,se definen mediante
sinh(x) =12
(ex− e−x), (16.156)
cosh(x) =12
(ex+ e−x). (16.157)
1) Halle Dom(sinh) y Dom(cosh).2) Resuelva la ecuacion
sinh(x) = 0, x ∈R.
3) Resuelva la ecuacioncosh(x) = 0, x ∈R.
4) Pruebe quecosh2(x)− senh2(x) = 1, ∀x ∈R. (16.158)
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5) Pruebe que
senh(x) · cosh(x) =12
senh(2x), ∀x ∈R. (16.159)
16.15. Considere la funcion definida por la formula f (x) = ln(ln(x)).
1) Halle Dom( f ).2) Resuelva la ecuacion
f (x) = 0, x ∈R.
3) Resuelva la inecuacionf (x− a) > 0,
donde a ∈R.Solucion: CS =]a+ e,∞[.
16.16. Considere la funcion definida por la formula f (x) = ln(5x−3) · ln(2x+3).
1) Halle Dom( f ).2) Resuelva la ecuacion
f (x) = 0, x ∈R.
3) Resuelva la inecuacionf (x) > 0.
Solucion: CS =]4/5,∞[.
16.17. Sea β ∈ (0,∞)\ {1}. Pruebe que
lımn→∞
xn > 0 ⇒ lımn→∞
(logβ(xn)
)= logβ
(lımn→∞
xn
).
Idea. Considere los casos 0 < β < 1 y β > 1.
16.18. Sea α > 0. Pruebe quelımn→∞
n√α = 1. (16.160)
Idea. Considere los casos α ∈ (0,1), α = 1 y α ∈ (1,∞).
16.19. Pruebe los siguientes lımites
lımn→∞
n1/n = 1; (16.161)
lımn→∞
ln(n)n= 0. (16.162)
Idea. a) Para probar (16.162), use (16.161). b) Para probar (16.161) aplique el Teorema delBinomio de Newton a (1+xn)n, donde xn = n1/n
−1. Luego aplique el Teorema del Sanduche paraprobar que lım
n→∞bn = 0.
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16.20. Calcule el lımite de la sucesion (xn)n∈N ⊆R:
xn =(2n+1
3n+5
)n;
xn =
√
1−n1−2n
3n+54−5n
;
xn =(50n+1
n2+1
)n;
xn =(2n+1)3
− (2n−1)3
3n2+1;
xn =−n3+
(n+√
2n)3
n2−2n5/2.
16.21. Verifique si el lımite es correcto.
lımn→∞
ln(1+ ean)ln(1+ ebn)
=ab, a,b > 0;
lımn→∞
log2
(n−√
n2−n)= −1;
lımn→∞
n+ cos(nπ/3)2n+3
=12
;
lımn→∞
(√n2−3n−
√
n2−1)= −
32
;
lımn→∞
[(n2−2n)1/2
−n]= −1;
lımn→∞
( 3√
n+1− 3√n)= 0;
lımn→∞
[(n3−2n2)1/3
−n]= −
23
;
lımn→∞
(−4)n− (−3)n
(−4)n+1+3n+1= −
14.
16.22. Pruebe que la sucesion definida por
xn =nn
en n!, n ∈N,
es convergente.Idea. Pruebe que (xn)n∈N ⊆R es decreciente y acotada inferiormente.
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16.23. Calcule el lımite de la sucesion (xn)n∈N ⊆R:
xn =
(n2+1
n2
)n
;
xn =(4n−1
4n
) 3n2+54−5n
;
xn =(1+
1n−
2n2
)n;
xn =(n+5)n
− (n+3)n
(n+4)n− (n+2)n ;
xn =(n3−2n2
−n+2)n
n3n .
16.24. Sea 0 < r < 1. Pruebe que la sucesion definida por la formula
xn =(r+ sen
(π2+nπ
))n
es divergente.
16.25. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.
xn = (−1)nπ;
xn =(−1)n
n;
xn =(3−2n
2n
)n.
16.26. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.
xn = 1+n
n+1cos
(nπ2
);
xn =(1−n
n
)n;
xn =(−n2+4n−3)n
n2n .
16.27. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.
xn =1−n
n+
nn−3
cos(nπ
2
);
xn =2−5n
n−
5n+7n2+1
sen(nπ
2
);
xn =
(5−n2
n2
)n2+n+1
.
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16.28. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.
xn =n
en · (n2+1);
xn = n · rn, |r| < 1;
xn =
(αn
αn+1+βn+1+
βn
αn+1+βn+1
), |α| < |β|.
16.29. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.
xn =(n!)2
(2n)!;
xn =3n
5+3n ;
xn =nn
an ·n!, a ∈R \ {0}, |a| , e;
xn =
n∏k=1
(2k−1)
n! ·2n .
16.30. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.
xn =n√n;
xn =n√
n!.
16.31. Encuentre la forma recurrente de la sucesion dada por la formula
xn = n2, n ∈N.
16.32. Verifique si lımn→∞ xn = L.xn+1 =xn+xn−1
2 , n > 1,x1,x2 ∈R,
L =2x2+x1
3;xn =
√6+xn−1, n > 1,
x1 =√
6 ∈R,L = 3;xn =
√2+xn−1, n > 1,
x1 > 0 ∈R,L = 2;
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16.33. Pruebe que (xn)n∈N ⊆R es convergente y trate de calcular su lımite.xn =√
1+√
xn−1, n > 1,
x1 = 1 ∈R.xn =3(1+xn−1)
3+xn−1, n > 1,
x1 = 3 ∈R.xn = 1−√
1−xn−1, n > 1,0 < x1 < 1.xn =√
c+xn−1, n > 1, c ≥ 0,x1 =
√c.
(16.163)
16.34. Sean α > 0 y x1 >√α. Pruebe que lım
n→∞xn =
√α donde
xn =12
(xn−1+
αxn−1
), n > 1.
16.35. Calcule el lımite de la sucesion (xn)n∈N ⊆R tal que
x1 =√
2, x2 =
√2√
2, x3 =
√2√
2√
2, x4 =
√2
√2√
2√
2, ...
16.36. Calcule los siguientes lımites
lımn→∞
(12+
14+
18+ ...+
12n
); (16.164)
lımn→∞
(1−
13+
19−
127+ ...+
(−1)n−1
3n−1
); (16.165)
lımn→∞
nsen(n!)n2+1
. (16.166)
16.37. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R, definida mediantex1 = x2 = 1,xn = 3(xn−1+xn−2)+1, n ≥ 3.
Pruebe que para cada n ∈N,
1) x3n+2−1 es divisible por 2;2) 3x3n+1+5 es divisible por 8;3) x3n+x3n+1 es divisible por 32.
Referencias
[1] E. Gaughan, Introduccion al analisis, Editorial Alhambra, Madrid, 1972.
[2] J. Toro, Sucesiones, Escuela Politecnica Nacional, Ecuador, 1992.
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