apuntes_trigonometrÍa_sin_reducir

5/9/2018 APUNTES_TRIGONOMETR A_SIN_REDUCIR - slidepdf.com

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lR i60NOMETR1A

s

~·.Angulos

"1.1. Anavlo en a t p l o . n e - ,

' i~Q§li§;~,m!p:~QI~§X~n!f .~J"1~lanQ'E)·py; . ;~n'qpl :r ;qr~g~p:q: :qrrr t1mQ;l i4tglderndic:hQ'

~:~~~~i~~~rf:~:~ri~~i~:~~~' ;%~~\Cle~eS'h&:fegibnes:d¢ft!rfuif ia; ;un'~hgqloz}O;:€s

El angulo a de la figura 1.1. queda determinado al girar la semirrectasj

que se denomina~~(mhm~.9JJ;':;:;'9rlg~(lj hasta la semirrecta'i~1 que se denomina

· ~ ~ ~ m tF S & B , ~ · ' ; ~ ,% , !~ ,n r o g l . . .

1.2. Crittrio de 0 1 ' 1 U T t o . c l o n de M e utos

, ! ~ : ~ = = = ! ! ~ = = : : ~ ~ : : ~ ~ 5 ; l = !~lJm!Rt~t~1' .Qt: t¢p,gdq·i~n"~rnt i4Q;:@gll#:1imFigura 1.2.). . "

L--r

L _ _ _ _ . . . . . . . . .· ,

f l G U R A 1.2 .

1 . 3 . S ; $ t e m o s de . m e d i d O u d e O J , a t . M O S

Existen varias formas de medir angu lo s , que dependen d e l valor que se le

asigne a un giro 0angulo completo.

" :Sistema,,·sexagesimab

~IJX~h§i§ t~_m~: !§~?, .?g~~Jr rM1.J ' i§~, :}~g~pkc .~: :qu.e . , 'Ql J i~!JgGJo" :c ;Q111ple tQtnlde ' ,X360)

g~i!~q.~t~.YX!!g~!iJm~~~§K(:?9J;t~;)i;~;Pqt~;~ri'tQ:;\;Ui)}gnigQ:$~X!lge.sifri~LG1;?J':t&mlt~ijCle

' d .. i Y i q i t j :4 t f ; W ~ i . 1 f i U l e . m ~ t 9 m p l ¢ . : t 9 : , e i ): i 3 9 0 ; p g ; tt e S ' : I g m H ~ ~ .

; : ;hJm gm gQi!~J :~} '91g~s_im ! lb§f :J ' ;;d iy .tqgj ;~m.! iOrminutos . (60~. ) ;y ic .ada ;m: t fi t itd i .' en

"§(Heg t ind6s·X60y . l ·~

,11h~;:6Q\kv:;lk~;60~~

· $ e ; d e d a C 'e i fa c i lr t1 ~ t i :t e i. q u e W ir i" a h g \ 1 1 b W e 6 ~ q ! J n ~ q . ~ i , s ~ O ? : 'Y U h d ; 1 1 ~ b , ( j i : l8 0 ~

~ ~i§lema centesimal (NO)

Si un angulo completo se divide en 400 partes, cada una de elias es un grado

centesimal (I"). Cada grado centesimal es igual a 100 minutos centesimales

(100m) y cada minuto es igual a 100 segundos centesimales (100').

P = 1 00m y 1m =1 00 '

ACT I V IDA DES ----"-.-." .- .. - "-""-'- '-" '"~ " '-- '-'--"----""-- -----. _.. "-- - '.-- . . ---._ ,,-" ._" ..

D E xp re sa e n g ra do s, m in uto s y seg un do s sexag esim ales u n an qu lo d e 34,257r.

S o l u d 6 n : 3 4" 1 5' 2 8"

D E xp re sa e n g ra do s se xa ge sim a le s e l a ng ulo de 23°57' 33':

S o l u r i o n : 23,960

0: "

F I G U R A 1 . 1 .

Recuerda:

Para transformar 36° 44' 54"

a grados se pracede:

1 '54"' 60" =0,9'

44' + 0,9' =44,9'

1 °449' '-=0 75·

, 60'. r

36° + 0,75° = 36,75°

Par tanto, 36° 44' 54" ""36,75°

Transformaciones can

l a c a l cu l a d o ra

M P a r a t ra n s f o r m e r 36° 44' 54" a grados

c o n l a c a lc u la d or a, s e p re ce d e:

36 44 54

En la p a nt alla a p a re c e:

r w 3 ' 5 ~ ~ ; H ' B 3 3 a \ h i : 1Redondeando : 36,75°

!IJ Pa ra t r an s f o rma r 27,475° e n g ra do s,

minutes y sequndos , s e h ac e:

27,415

En la p a nt alla a p a re c e:

I : " ; \ ~2 ' 0 r ~ ' ; 'U21 l i ~S ' . · 3J ; / i ~ i lEsdec i r : rr 2 8' 3 D"

-~ - R azo nes trigO nom etricas .



f l G U M 1.3 .

F IG U R A 1 .4 .

F I G U R A . 1 . 5 .

Obse rv a :

E I sis tem a de m ed id a d e a n -gulos en rad ian e s e s ad im en -

s io n al ( si n d im e n si on es ).

o

2a

O T RA S ACTIVIDADES ..

n C alcu la la m ed id a en rad ian e s

d e l os a n qu lo s rep re s en tado s en

l a f ig u ra 1.6.

F i g u r a 1 .6

2 u

Los grados sexagesimales son una unidad de medida de angulos poco practica

para algunos problemas que se plantean en las Ciencias Experimentales.

lmaginemos que un euerpo describe una trayectoria circular de radio r

y gira un a ngu l o de 3 0°. E ste cuerpo reeorre un area de circunferencia de

longitud a . En cambia, si el radio de la trayeetoria es 2r, la longitud del areo

recorrido al girar el rnismo angulo es 2 a (figura 1.3.).

:s!ii;i;iiii;ili:f~!~!~En la flgura 1.4. , si A B " '"r, entonees a = 1 radian = 1 ra d.

As t , en la f ig u ra 1 .5 .: 5 . d(Xl = 4 " = 1 ,2 ra lanes 2(Xl =' 4 = 0,5 radianes

Observando los ejemplos anteriores se puede generalizar:

ALongitud area

ngulo (en radianes) = R dl. a [0

Se observa que, si e l radio es 1, la longitud del area coincide can el valor

d el a ng u lo en r ad i ane s .

'S:~f:~~~~~i~~i~~~r~~:~~~~;~~i~fgnfrB1yng9i'·[$.R!R2N;~mHttqM~;:;.&cl?:~·5E~\·¥~a

· · · B G m . ! !l , l) t 9 ( t I ~ \. n ~ l ; ! J s % l . ! g l . } , % ; n l ! g l 2 , ! ; g ; . :E ? g , y , , , ,~ n ; R ' R ~ . h l I g ; [ c r H ~ i ! l r ~ d :

Las relaciones anteriores permiten establecer las proporciones para cambiar

un angulo de grad os a radianes y viceversa.

Para transformar 30 ° en radianes se procede de la siguiente manera:

o 'IT rad 1T

3 0 1800 = (5 rad = 0 ,5236 ra d

Para transformar 2 ,3 rad en grados se efectua e l siguiente procedimiento:

1800

2 ,3 rad --d = 131 ,780

'IT ra

AC T I V I D AD E S

o Calcula e l va lo r en g ra do s, m inu te s y s egu n do s s exage s im ale s d e u n anqu lo d e

1 r a di an ,

S o l u d o n : 5 7" 1 7' 4 5"

o C alc u la e l va lo r en rad ian e s d e u n an g u lo d e 45· s exage s im ale s .

S o lu d o n : : ra d

D Exp r e s a 5 ; r ad i an e s e n g ra do s, m i nu to s y s eg un do s s ex ag es im a le s.

So i l /c i on : 300

0

n Exp r e s a 63· 25' 48" e n r ad i an e s .

S o l u c i o n ; 1 ,1 1 r ad

e Geometr(a y Trigonomctrfa_2,-



1.4. Reduce ;On de M e u . l o s o J prf~ : a t ( G

9,~,~~:fi;~ii~~~1t~~~~[t[~f,~~~1~:iji;:i'~:ri1:~!:::~~~':! ; I D i : M ~ i ; . ~ ~ .W , ~ ~ ; j f 1 l . m ; ~ i ~M ; e f : P 6Wq l f € ~ d e s c t l l i e 1 ! i u h a J i l i : r a y e C t o f ' i a : ' ; : i c i f c t i l a r F ? E ! l , ; f a C i ' t

. . ',~ . ,. " :' .-', .' - . . ",

'm ~ ~ . ~ M l )~ r g i N i a 6 ! . ti fi% 1 f { g t l l ~ ! & I i ~ e F ( 5 ' f! ~ g : t g O i i: i@ '1 j ii ~ ~ f f a d i [h ' e s '.

t~f i .~ 'm~~~~~:; i !~~~~:r : : :~~: :~~;~:~~:C 9 _ I D t ' l t ~ n ~ 1 U : ~ g - ; ~ l , 1 t r ~ ( Q P , i ¥ ; ! B 6 0 J J ; Y ;

1:11111:11,',.:.11l1li''''11

E n g ra d os s e xa ge s im a le s

u , Calcular In r ed uc ci6 n a l p rim e r g ir o de un angu lo de 1 9 4 0°.

Se divide la medida del a ng u lo ( 19 40 °) entre la medida d e una vuelta

completa (360°) ,

< i l l Primer procedimiento:

I 3600

5

EI cociente indica e] mirnero de vueltas completes y el resto represents

e l a n g ulo equivalente de l primer g i ro .

E s importante observar que no se debe simplificar antes de realizar la

division, pues tendrfamos un resto distinto,

(1 ) Segundoprocedimiento: 19400: 3600 = 5,389

Este resultado indica que el angulo tiene cinco vueltas cornpletas mas

una fraccion de vuelta representada par las cifras decimales,

1940° - 5 . 3600 = 1 400

El angu 10equialente a 1 9400 en e I primer giro es 1400,

En r ad i an e s : a n q u l o s e xp re sa do s c omo m u l t i p l e d e 'I T

b} Calculnr Ia red uc ci6 n a l p rim er g ir o d e u n c i n g u l a de 1 9 ' I T rad.

1 9 '1 T : 2 ' lT =9 ,5

1 9 '1 T - 9 . 2 ' I T = 'I T radianes

El angulo equlvalente a 1 9 ' I T rad en el primer giro es 'I T rad.

E n rad ian es: an gu los e xpre sad os m ed ian te u n numero dec ima l

; ::) C a lc ula r la r e ducc i6n a llJ rim e r g ir o d e U ;t dngu ! .ode 1 9,3 ra d.

1 9,3 : 2 1T =3 ,O n

1 9 ,3 - 3 · 2 7 1 " = 0 ,45 radianes

En este caso, 3 es e l mimero de vueltas y 0 ,072 representa una fraccion

de vuelta correspondienre a 0 ,45 radianes. P o r t an to , e l angulo equi-

valente a 19 ,3 rad en el primer giro es 0 ,4 5 ra d.

ACTIVIDAOES

D Reduce al primer giro los siguientes anqulos:

64 'IT d ld-7-ra lanes

3'IT12 4

0

oJ "2 rad

rlJ 123 radianes

B ' I TcJ 7ad d ) 3,62 ra d

b) 23,S'IT radianes

S o / u d o l l : oj

Prim er cu ad ra nte S eg un do cu ad ran te

T e rc e r c u ad ra n te

F I G U R A 1 . 7.

C u a rt o c u ad ra n te

B ig B e n , l o n dr e s. L a a gu j a m l n u t e r a d e u n r e l o ) d e s c r i b e

e n u na n o r a u n ~n 9u lo d e 3 60 · 0 hr r a d a n e s .

Razones t r L q o n o m e t r L c a s O·



2)

B

c sec e X = - dCCSiX.

: . : .

. : : : :

. !

~

, <1 ) o~~" '<1 . . J :o<c :os ; .< i ' p 1 . 7 D . ' * i e r c i n r l o . r Ii• • l" ." i ""

2 . ) szn 2 . 0 ( + C O S z . c x ' =. V o f . . . I D E N T iD A D ; p ir A 6 O R 1 C A

3 ) + e c X=

p e n e <c o s o (

'1 ) d + t~- 0 ( = S2C:Z. c / . . \ ) 0 < ,

5) d o + w t a Z - c i = CDSeCzr/ . ·V ~ ; , h ·

• ,.~ .U

.:c;

RA20NES TRieDNOMEn<ieAs; DE 300

J fi:l ~ Ll5°~! '

; fr ~ ~:~\.

I; ~

~ , - :\':

I r

Rawnes 0 < -=:. '300=J C . r o . . d d_ ~ ..~ .6~ : ~ r o . . d 0 < ' : :: :.G OolIT r a . d

G ! 0

se n 0 < . .1.I ss . .8:;

:t ~ ~ ,

COSo(

*A . 1 . . f

; 1 . . - ;}...

1 : t J , O C ft - - 1 \ l33 ,

S?CeX . ~ e : ~.3

ccse:»: ;0 ~ 2 rC~ o c . \f3 - 1 . i[ ,

3

1.

s e n = = sene

cos -:=: (DSenD

t c J ~ ~eoie

~= C~ef)te

s e c . =s e c a n ' l icosec = C D S e C O . . A 1 2 -



cos«

o t . d '

ftx;~) P(x,~)

C r rcu.u £ e u . n c i Cv

~.&j cos« =x 3 0niometrj~0"

se()o(:: ~ . ( ro .d l~ - = = i)

~T<f

_-' .

0 < oO=o r a d ' tOo =-! r o o A KO°= , r r ro .d lTd=3J[ r o d 3 fC ; 0 :::2Ifr a d).

se n 0 < . 0 1. 0 -1 0

co s 0 < . 1 0 -d. 0 - 1 .

1 : ; 8 o G 0 1 - 3 0 1 i 0

1-) -1~seno(~ 1 * -d~cos« ~:1 \ J 0 (

. 2 . ) s e n 2 . o < : +CDSZ.C<=-d V r X 4l- e cvo ..d 6n ~ de 1 0 . . T n onc : r reb1~

3 - ) ~ + t s ; z e X = s e c } - £ ) { \j e X

L - j ) -1 + c o i § 1- 0 < = ~' l -C< \ d r J .

5) + o t X : = s e n c < . c o t _ ( ) 0( - = cos t : <(J. c o s 0< J -0 s e n o l . { ' . : 3 e ( ) 0 < = d .

G ) s e n 0<. C032C e X = 1 .. <;: l=:P C D S e e c x

ccseco<=~

1 - ) ros« . secO::=d .. <=t> { c o s a - : : : : :. j _$€Co(

~o\ = - c o s ~ - : 1 . . . . . , C J < -

1) ~. ~obd <I=P ~o( '" af '{jd. j c~o< = 4 0 <-~ - -



~ Determinacion de angulos

4.1. Determfno. .cton e r o . . f ; ( A .

Dada una raz6n trlgonometrica es poslble averiguar a que angulos cortes-

ponde, Se puede comenzar resolviendo e l problema graflcamenre.II lQUe a n gu lo s e om p re nd id os e n e ll )r im e r g ir o t i enen sen a =a ?

Hay dos puntas en la figura 1.20. cuya ordenada vale a. Para hallarlos, se

dibuja la recta y =a. Los puntas de interseeci6n de la recta can la circun-

ferenda determinan los angu lo s at Y al cuyo seno vale a.

y

a) D e te nn in ar g ra fic am e nte lo s a n gu }o s

c om pr en did os e n e l p rim er g ir o

cu)'o s e n o vale -1/3.

(0,1)

F I G U R A 1 . 2 1 .

f. @ [Que angu los , en e l p rim e r g ir o, tie ne n cos e x =h ?

Hay dos puntas en la circunferencia goniomerrica euya abscisa vale b

(figura 1.22 .) . Para hallarlos se dibuja la recta x =b. Lo s puntas de inter-seeci6n de la recta con la circunferencia determinan los angu lo s a1 yl (X l

cuyo coseno vale b .

y

M D e le nn in a r g ra fic am e nte lo s a ng u lo s

c om p re nd id os e n e l p rim e r g ir o

cu )'o c os en o va le - 3/4.

(0,1)

F I G U R A 1 . 2 3 .

mi lQUe a ng t,tlo s, e n e llm m er g ir o, tie ne n tg a =c t

Los dos angulos sefialados en la figura 1.24. tienen la misma tangentc, es

decir, el cociente entre la ordenada y la abscisa es e l mismo en ambos

casos. Los dos triangulos rectangulos OAP y OP' lV son iguales y , adernas,

son sernejantes a l triangulo OBC por tener un angulo aguda igual. Par

tanto, se puede escribir:

y ctg a = - =- Tomando r = I, tg a = c

x r

x

(1,0)

x

y

F I G U R A 1 . 20 .

y

x

y

F I G U R A 1.24.

Razones trigonometricas"



Para averiguar que angulos tienen una tangente determinada c, se traza

una recta perpendicular al eje de abscisas y tangente a la circunferencia

goniometrica en el punta (1, 0). Sabre esta recta se sefiala el punta de orde-

nada c y se dibuja la recta que pasa por este punta y el origen de coordenadas.

Los puntas de interseccion de esta recta can la circunferencia determinan los

angulos al Y a2 cuya tangente vale c.

c :} D eten nin ar g ra fica mente los a ngu lo s co mp ren did os en e l primer g i ro

c uya ta ng en te va le -1,5.

y

(1,0)

x

(1, -1,5)

4.2. Determtn~do"nnumir ico . -

Del mismo modo que, utilizando la calculadora cientffica, se pueden

hallar las razones trigonometricas de un angu l o , es posible, canoe ida unara zo n tr ig o no m e tric a, a ve rig u ar a que a n g u l o , 0 angu l o s , corresponde,

Para hallar los angulos correspondientes a una razon trigonometrica dada,

pulsamos una combinacion de teclas: la que indica paso inverse y las de la

r a zon trigonometrica.

Por ejernplo, si tg a=3, pulsamos:

IIIEn la pantalla aparece el valor de uno de los angulos cuya tangente es 3.

Si deseamos calcular el otro angulo basta tener presente e l metoda grafico

de determinaci6n que hemos vista anteriormente. Por tanto, e l otro angulo

que tiene la misma tangente en e l primer giro es a + 180°, es decir:

ct'l = 71,57°

al=251,57°

Si Ia tangente es negativa, por ejemplo rg a= -3, la calculadora nos indica,

comunmente, un angulo negativo. En ese caso, buscamos el angulo positivo

correspondiente surnandole 360°.

Para determinar e l otro angulo del primer giro que tiene la misma tangente,

restarnos 1800 al resultado anterior.

En general, siempre es util tener presente la determinacion grafica de

angulos que correspond en a una raz6n dada para poder obtener el angulo que

la calculadora no nos indica.

En algunos casas, el angulo es unico. Si sen C t' = 1, entonces C t' =90°

C D Geometr(a y Trigonometr(a



td } H al/a r los a ngu lo s co mp ren did os en e l prim er giro cuya tangen te es 1 /3 .

EI lingula que se obticne can la calculadora, cuando se realizan los

pasos indicados anreriormente, es a = 18,43°

Como se ve en la figura 1.26 . , existe otro angulo en el tercel' cuadrante

can la misma tangente que es:

180° + 18.43° = 198,43°

y

x

F I G U R A 1 . 26 .

E s interesante utilizar el dibujo de angulos can la misma tangente para

resolver este tipo de ejercicios,

e J H a lla r lo s a ng ulo s c om pre nd id os en e l primer giro cuya tangen te es - 3.

La calculadora da un valor para a de -71,57°, es decir, 288 ,43° que

e s u n an gu lo del cuarto cuadrante.

Existe otro lingula en el segundo cuadrante ( fi gu ra 1 .2 7. ) can l a r nis m a

tangente que es :

2 88,4 3° - 180° = 108 ,43°

{i Ha tta r lo s a ng ulo s c om p re nd id os en e 1 1J rim e r g ir o c uy o e os en o es -0,45.

Utiltzando la calculadora se obtiene a=116,74°

Existe otro angulo en e l tercer cuadrante can el mismo coseno que,

par simetrfa, es 243,26°.

t}J Ha lla r lo s a ng ulo s c om p re nd id os en e l prim er giro cuya cos eca nte va le 5 .

La cosecante es la razon inversa del seno, par tanto, sen a=0,2

EI angula que se obtiene can la calculadora para este seno es 11,54°.

S u lingula suplementario tiene el misrno seno:

1800

-11,54° = 168,46°

A C T I V ID A D ES '~ " '~ -"~ " '~ "~ -.- ..~ - ..- ..~ - .~ ·· h···.. ~ ~·" ~.

III A verigu a to do s lo s anqu lo s d e l p r im er g iro cu ya co tan gen te es -0 ,0 3; es d ed r,

r es u el ve c o tg a= -0 ,03

S o / u d o n : C t' " " 271,72'; C t' =: 9',72°

o R es ue lve s ec o = -3,78

S o l u d o n : C t' " " 105 ,34· ; C t' =254 ,66·

D R e s ue lv e c o s a =0,32

S o l u c l O n : Ct '=71 ,34° ; a= 288 ,66°o R e s u el ve c o se c C t' = - 5

S o {u c lo n : a = 191,54°; C t' =348 , 46 '

y

F I G U R A 1 . 27 .

x

Razones trigonometrlcas"



y P-angu[oa(x,y) - (c o s a , se n a )

F I G U R A 1 .2 6 , .

y

F l G U R A 1 , 2 9 ,

y

f lGUAA 1.30,

~Relaci6n entre las razones

trigonometricas de angulos de

diferente cuadrante

x

E s interesante saber relacionar las razones trigonornetricas de angulos dedistinto cuadrante, ya que, mediante el procedimiento de reducir los angulos

al primer cuadrante, se simplifican los calculos necesarios para Ia resoluci6n

de problemas.

Para ella se debe recordar c6mo se han definido las razones trigonornetricas

de un angulo cualquiera (figura 1.28,)

IPrimer cuadrante , I" Rsones trigonometricas de angulos complementarios

'IT

Dos angulos son complementarios cuando suman 90° a 2radianes.

Los t r i a ngu lo s OAP y OPiP ' de la Figura 1 .29 . son i gua l e s ya que tienen

iguales la hipotenusa y dos angulos, par eso se puede afirmar que AP es igual a

A'P' y OA es igual a OA',

,Par 1 0 tanto:

AP=sena OA = cos a

P i P' =cos (; - a )Yentonces:

xs en ( ; - a ) =co s a

co s ( ; - a ) = = s en (l'

tg (; - (l') = = cotg (l'

co se c (; - a ) = s e c (l'

s e c (; _ , a ) =co se c (l'

co tg (; - (l') = tg a

Es t a s relaciones ya s e han deducido, en un apartado anterior, para angulos

de 30° y 60° y , tambien, para el angu lo de 45°,

'Segundo cuadrante f

" Razones trigonometricas de angulos que difieren f radiancs

Los triangulos OAP y ON P' de la Figura 1.30. son iguales, ya que tienen

igual la hipotenusa y dos angulos, par ella podemos afirmar que AP es igual a

A'P' y OA es igual a ON.

Dado que en el segundo cuadrante de la circunferencia goniornetrica la

abscisa tiene un valor negative, se deduce:

xsen (; -1 - (l') ::::co s (X

c os ( ; -1 - (l') = - sen (X

tg (; - 1 - a ) =-co t g a

c o se c ( ; - 1 - a ) : :: :s e c (X

s ec (; -f - a ) =- co se c ac otg (; -f - a ) = - tg CI '

• Oeometrra y Trigonometr(a



. . Ra zg u e s tr ig o n om etr ica s d e a n g u lo s s u p lem en ta r io s

Dos angulos son suplernentarios si suman 180° 0 'I T radianes,

Dado un angulo agudo a, su supiementario ( ' I T - a) se encuentra en e l

segundo cuadrante. En Ia f i gu ra 1.31. se observa que los triangulos OPA y

OP'A' son iguales par la misma razon que en los apartados anteriores y , par

tanto:

se n (rr - q) '" sen 0:

co s (n - 0:) = - c o s 0:

tg ( 'I T - a) '" -tg a

co s e c ( ' I T - a) =co s e c a

se c ( 'I T - a)= - s ec a

cotg ( ' I T - a) "" -cotg a

ITercer cuadrante I_ Ra zo ne s tr ig on m ne tr ic as de a ng ulo s qu e d ifie r e n 1800 0 'I T r a d i a n e s

Los triangulos OAP y O~P' de la figura 1.32. son iguales y , par tanto, es

fad! deducir:

sen ( ' I T + a l = - s en a

cos ( ' I T + 0:) ese -cos a

tg ( ' I T + a) "" tg a

co s e c ( ' I T + a) '" - co s e c a

s ec ( ' 1 T + a) = - se c 0:

co tg ( ' 1 T + a l = co tg a

JCuarto cuadrante ,

.. Ratones t r i gonom8r i ca s de a n g u lo s qu e s um an un a n ffU lo c om ple to

. 0 qu e s o n a ngu lo s o pu es to ,~

Los trlangulos OAP y OA'P' de la figura 1.33. son iguales y , par tanto,

es fad! relacionar las razones trigonometricas de los angulos a y (- a) a

(2 'lT - a).

sen ( 2 'I T - a):::: sen (-a) = - s en a

co s ( 2 1 1 ' - a)::: co s (-a) = co s a

tg ( 2'I T - a):::: tg (-a) = -tg a

co s e c ( 2 1 T - a) = c os ec ( - a) = - c o s e c a

se c ( 2 1 T - a) = se c (-a) = se c a

cotg ( 2 '1 1 " - a):::: cotg (-a) = -cotg a

(1 1 C a lc ula r s en 1 50 °, c os 240° y tg 330°.

sen 1500"" sen (1800

- 30° ) =sen 300=1 /2

cos 2400=cos (180° + 60°) =+cos 600

= -1/2

tg 3 3 0 ° =tg (3 6 0 ° - 30°) = -tg 300=-W/3

ACT IV IDADES

o C a l cu l a l as r az o n e s trlqonornetrkas d e lo s s ig u ie nte s a ng u lo s:

a) 1 2 0 " c} 2 1 0 " e} 3 0 0 "

b) 135" dl 225" f} -45·

Safuc i6n:aJ sen 12 00

::: 0/2; co s 120": : : : -1/2; tg 12 00

= -0

b J sen 1350::: 0/2; co s 135""" - V2/2; tg 13S·= -1

1 ' : ) sen 2 1 0 ° .ee -1/2; co s 2 1 0 ·:::: - v3/2; tg 2 1 0 0 : :: v3/3

d) sen 225"= -1/0; cos 225"= -11V2; tg 225· "" 1

~ ) sen 30 00

"" - v3/2; cos 300 0 = '/2; tg 3 00 ":::: - v3f) sen -450

=-0/2; c os - 45 · = Vi/2; t9 -450::: -1

y

F I G U R ~ 1 . 31 .

y

x

F I G U R A 1.32 .

y

x

F I G U R A 1 . 3 3 ,

-10 --Razones trigOnometricas"



6 Resoluci6n de triangulosrectangulos

Resolver un r r l angu lo rectangulo es haUar todos sus elementos desconocidos.

En un triangulo hay que determinar seis elementos: los tres angulos A, B

y C y los tres lados a, by c.

P a t a - ' r e s d I % r un rriangulo rectangulo se pueden utilizar:

!iii La p rop iedad que indica que la suma de los tres an gu lo s d e u n tr ian g u lo e s

180°. En el caso de triangulos rectangulos, si el angulo A es recto,

B+C=90°.

W~ EI teorema de Pitagoras.

~ Las definiciones de las razones trigoncmetricas.

Para resolver un triangulo rectangulo hay que conocer un minimo de dos

elementos del triangulo, ademas del angulo recto, teniendo en cuenta que

estos dos elementos no pueden ser los dos angulos agudos, ya que conocer uno

de e l l o s equivale a conocer los dos.

E s aconsejable buscar los elementos desconocidos a partir de los daros que

proporciona el enunciado del ejercido. As! se evita que el error cometida en

el calculo de uno de los elementos invalide los resultados obtenidos a partir

de e l.

'IT

t Y S ) D ad o u n tria ng ulo re ctd ng ulo e n e l qu e B =6 " rad y a = 10 em, ca lcu la

lo s o t r o s e lem e nt os d e l tr ia n gu lo .

B 'IT 'IT 'ITC=---=-rad

Z 6 3

b =a sen B'I T

b =10 . sen - =5 em6

rf 30~

II C

tr'I T

C = 10 . cos - =8 66 em6 '

c =a' cos B

c r A

b

F ~ U A A 1 . 3 4 .

t~} Da d o u n t ri ci ng u lo r ec td n gu lo e n e l qu e B =25° y b = 7 em , c a lc u la l os

o tr os e le m en to s d el tr ia ng ulo .

C=900- 25° '" 65°

ba=--

sen B

7a = 25 0 =16,56em

sen

bc=--

tg B

7c = tg 250 = 15,01em

c

boo7a

c

F IGU llA1. 3 5 •

• Geomettfa y Trigonometr(a



() D ado un tr id n gu lo r ec td n gu lo e n e l que a = 1 2 em y b =6 em, calcula

l os o tr o s e lem e nt os d e l t r i i inguio.

cc=Y a l

- b I=Y 1 2 2

- 6 2 = 10,39 em

b 6senB=-=-

a 12

B=30°Q =12

b= 6b 6

eosC=-=-a 12

A'------------__:::"Bc

F I G U R A 1.36.

d} Dado u n tria ng u!o recw ng uw en e l qu e b = 5 em y c := : 3 em , c a lc u la l os

o tr os e le m en to s d el tr id n gu lo .

B

a= Y b 2+ c

2= YS2 + 3

2= S,83 em

b Stg B =-=- B =59,04°

c 3

c 3tg C=- =- C=30,96°

b 5

c= 3

C£--------------------~Ab "" 5 .

F I G U R A l .3 7 .

~ ~} E l a ng ui o de e le va ci6 n d el S ol s abre e l h orizo nte es d e 35°. C alc u/a r la

som bra qu e p ro yecta ra un a per so na de 1,75 me t ros d e e s t atu m .

350 . 1,75 mtg =longitud de la sombra

1,75 mLongitud de la sombra= S o =2,5 m

tg 3

ACT I V I DAD E S····· ..'_' - ". ..---" ~---,.

iii D ado e l tr la n q u lo re c ta n q u lo e u y o an q u lo re c to e s A, c alc ula lo s e le m en to s

d e s c o n o cid o s e n c ad a u n o d e lo s s ig u ie n te s ca s o s :

0) b"'- ' 10 em b) C = 26 ° c ) b= .7 em ti) 8" ' - '38° (1 ) 8=27°

a = 1 5 em c = em c = 1 4 em a = 2 0 em C =6 3 ·

S o / u d o n : (Ij c= l1 ,1 8em ; 8= 41 ,81 °; C = 4 8 , 1 9 "

M 8 = 64° ; a = 6 ,84 em ; b = 6 ,1 5 em

() a=1 5,65 em ; 8 = 2 6 ,57" ; C "" 63 , 4 3 ·

tI) C=52° ; b= 12 ,3 1 cm ; c= 1 5,76 cm

e) Ex i st e n i n fi n it o s trlanqulcs sem eja n te s c o n e s to s a n g ulo s

f) C aku la la a ltu ra a q u e lIe g a u n a e sc a le ra d e 4 ,5 m etro s a p o y ad a en u n a p a re d

fo rm and o u n an g u lo d e 67" co n e l s u e l o .

S o f u c i 6 n : 4 ,14 m

D C alc u la la s re zo n e s tr lq o n om etr lc a s d e u n tr ian g u lo re c ta n q u lo en e J q u e Ja

h ip o te n u s a e s e l t r ip le q u e u n o de lo s catetos. • r:. 1 2v2 1

S O / U ( [ o n ' s en 8 =_, c o s 8 := -_. tg B :=- -, 3 3 ' 20.

se n C = 2Vi . c o s C:=..!.·tg C:= 2 ' ' 23 t 3' VL

,1

-0-/1

F I G U R A 1.38.

R az o n e s tr ig O nom e tr ic a s "

.



_ 7. RES OLU CIO N D E TRIANG U LO S CU ALES gU IERA

TEOR EM A DEL S EN O

Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los angulos opuestos.

A

abc--" :;::--"::::--"sen A sen B sen C

a

T EO REMA D EL C OS ENO

En todo trlangulo el cuadrado de un lade es iguaJa la suma de los cuadrados de los otros dos lades menos el doble del

producto de estos lados por el coseno del angulo comprendido entre ellos.

2 2 2 "a :;:: +c - 2 .b . c .cos A

2 2 2 "b = a + c - 2 .a . c .cos B

2 2 2 "C :;::a + b - 2 .a . b . cos C



8. IDENT IDADES TR IGONO METR ICAS

R AZ ON ES TR IG ONO METR ICAS DE LA SU MA DE DO S ANG UlO S

sen(a+ f J ) = sena-cce Ii+ccea-senti

cos(a +{J),;;:;.cosa.cosfJ-sena· senfJ

i ( ': / 3 ) tga + tgfJtg a+ ::::-=-_---=.:...._I-tga· tgfJ

R AZ ON ES TR IG ON OM ETR ICAS DE L A RES T A DE DO S ANG UL OS

sen(a - fJ) = sena .cosj3 - cosa- senfJ

cos(a - fJ) =cosa .cosj3+ sena .senj3

tga tgfJtg(a+/3):::: -

I+ tg a ·tg j3

R AZ ON ES TRIG ON OM ETRICAS DEl AN GU LO DO BLE

sen 2a = 2 .sena .co s a2tga

tg 2a ::::_=-::-_I-tg

2a

R AZ ON ES TR IG ON OM ETR ICAS DEL AN GU LO M ITAD

TRANSFORM ACI6N DE LA SUM A DE DOS RAZO NES TR IGONOM ETRICAS EN PRODUCTOS

A+B A-Bsen A + sen B = 2·sen--· cos--2 2

A+B A-Bsen A - sen B ::::2· cos--' sen--

2 2

A+B A-BcosA +cosB =2· cos--· cos--

2 2

A+B A-BcosA-cosB:::: -2·sen--·sen--22TRANSFO RM ACI6N DEl PRODUCTO DE DOS RAZONES TR IGONOM ETR ICAS EN SUM AS

sen A· cosB::::.![sen(A-B)+sen(A +B)]2

sen A· sen B ::::_ [cos(A - B)- cos(A +B ) ]2

1cosA· cosB = -[cos(A - B)+cos(A +B)]

2

I-cosa

l+cosa



EJERCICIOSDE TRIGONOMETRlA

I, Halla, sin u t i l i zer la calculadora, las razones tr ig on o m etric as d e los s ig u ie n te s a n g u lo s :

a ) 1500 7 1 C , g ) '2400

b) 1200 d) (5 radianes h) -120°

c ) 3150

e ) -4950 I ') 1 3 1 C di .--ra lanes

f) 2250 3

j)

k) 720°'

I)

m )

3.

Si sen a =-~ y 1800< a < 2700, calcula las d em a s razones t r i gonornet r i cas de a .

5

S i cosa = 1 . . y 2700< a < 36 00, cal cu l a las d em a s razones t r i gonome t r i c a s de a .

4

S · 5 3 1 C I I I d ' .,. d1 cosec a = - - y 1 C < a < - , ca cu a as emas razones tngonometncas ea.

4 2

2.

4.

5. S ab i e n d o que sena ;::: y que a es un angu l o del primer cuadrante, calcuia:4

a) sen (1800-a) d) sen (1800+a)h) cos e : -a)

b) cosec (-a) e) cos (360°-a)

c) tge; +a)t) sec (1800-a) i) cotg(-a)

g) cosec a

6. Simplifica las expresiones t r i g onome t r i c a s siguientes:

a) cos (1 C +a) - sen (1 C /2 - a)

sen ( 3 1 C 1 2 + a) + cos (1 C -a)

i)

b )cos

2a

l-t sen a

t g ( % + a } t g { - a )c ot g(1 l' - a ) . t g { 1 l' - a )

c ) (22 ) (sen

4a-cos

4a)

+cosec a : 2

sen a

j)

d )tg ( - ff - a) . t g (1 l ' - a). 2 .

e )

1 C 1 Csen-+tg-

4 6

k) s e { ; - a ) -cos e

ff 3Jl'sen--cos-

3 2I)

s e n { 7 l ' +a ) . C OS (1Z ' - a )

s en (1 Z ' - a ) · COS ( f f + a)

f) sen 4a+ sen 2a.cos 2 a

g )cos3 a +casa· sen2a

sen3a + cos2 a, sen a

Sen2(f f-a).co{%-a)

sena.(1-cos2 a)h)

7. Demuestra, de forma razonada, las siguientes igualdades:

sec2 a 2 2 cosec aa) --·(I-sen a·osec a=---

cotga COSad )

cos4a-sen4a ""I-tg

2a

sen a .cosa tg a

2 1 1+cos2a

b) (1- sen a)·-- . .tga= sen aCa s a 2 - sen2a

(sena+ cosa ye) (1+ tga) .(1+cotga) =-'------'--sen a· eosa

f) sena = tga- cos a



g)s ena + co t go :

k)l+ tg o : .

= sen 0: •co t go : . = s eno : + co so :tg 0:+ coseco: s e co :

h) sec20: + co s e c 20: = sec

20:' co s e c

20: 1)

sec 0: - coso:~tla

cosec 0: +sena

i) cosec/« - cotg20: ;::;:;

s en20: + s en a- co so : +cos

2a

m) 1+tga+tg2a =j) s en 2a -cos

2a;::;:;en 40: -cos4 a cos

2 a

2 0 .

C alc u la e l lin g ula d e e leva c io n d el s o l s a b re e l h or iz o n te , s a b ie n d o qu e u na e s ta tu a p ro y ec ta u n a som b ra q ue m id e tre s ve c e s s u

al t u r a .

9 . Un g ru p o d e b om be ro s in te n ta , c o n m uch a p r is a y c an u n a e s c a le ra d e 5 m d e lo n g itu d , l legar a u n a ven ta n a s itu a d a a 4 m d e l

s u elo d e u n ed if ic io , d e d ond e s a le u n h um o so sp ech oso d e q ue a lg o s e q u em a. "A q ue d is ta n c ia d e la p are d d el e d if ic io h a b ran d e

c o lo ca r e t p ie d e la e s c a le ra p ara p od er e n tra r p ar la ve n ta n a c o n fac i lid ad a n te s d e q u e s ea ta rd e? l,Q ue an gu lo fo rm a la e sc a le ra

co n e t s u elo ?

Ca lcu l a lo s angu lo s d e u n rom bo s ab i endo q u e la lo n g i tu d d e su s lad o s e s 5 cm y q ue su s d ia g on ale s m id en 6 y 8 cm .

D esd e u n h e lico p te ro q u e vu e la a 30 0 m d e a ltu ra s e o b s e rva u n p u e b lo , b a jo u n a ng u lo d e d e p re s io n d e 25° . C a l ou la la d is ta n cia

d e l h e li co p t er o a 1 p ue blo , m e did a s ob re la h or iz on ta l.

E I a ng u lo de s ig ua l d e u n tr ia n g ulo is o sc e le s e s d e 25°. L os la d o s ig ua le s m id en 7 cm . ca d a UllO. C a lc u la e l a re a d el tr ia ng u lo .

C a lcu la e l a re a d e Ull o cto go no re gu la r in sc rito e n u na c irc un fe re nc ia d e 5 m d e ra dio .

Un c lu b n a u tico d is p o ne d e u n a ram pa p a ra e fe c tu a r s a lto s d e e sq u i acu atic o . E sta ram pa tien e u na lo ng itu d d e 8 m y su pu n to

m as e leva d o e s ta a 2 m so b re e l n ive l d e l m ar . S e p re ten d e q u e e l e sq u ia d o r s a lg a d e sd e u n pu n to s itu a d o a 2 ,5 m d e a l tu r a .l .C u a nto s m e tro s h ay q ue a la rg ar la ra m pa s in c am b ia r e l a ng ulo d e in clin ac io n?

E I ra d io R d e la T ie rra m id e a p ro x im ad am en te 6 370 Km . lC ua l e s la lo n g itu d a p ro x im ad a d e l p a ra le lo te r re s t re q u e p a s a p o r

S e vi lla ? (L ati tu d d e S e villa : 3 7° 2 0') .

D esd e d o s p u n to s d is tan te s e n tre s i 3 Km, s e o b s e rva u n g lo b o so n d a . E I a n g u lo d e e le vac io n d e sd e u n o d e lo s p u n to s d e

o bs e rva cio n (A ) e s 2 4° y d esd e e l o tro (B ) 3 6°. " ,C u al e s e l p un to m as p ro xim o a l g lo be ? " ,C u al e s su a ltu ra ?

E l A ng ulo d e e leva c io n d e l s o l s o bre e l h or iz o nta l e s d e 48°. C alcu la la lo ng itu d d e la s o mb ra q u e p ro yec ta ra u na e s ta ca c la va d a

ve r t ic a lm en te e n e l s u elo s i s u lo n gitu d e s d e 1 ,3 m . l,C ua l s e r ia la lo ng i tu d d e la s o mb ra d e la e s tac a s i e s ta e s tu vie ra in clin ad a 5°

re sp ec to d e la v er tic al?

S e o bs e rva la c im a d e u n a m on ta n a b a jo u n an gu lo d e e le va c io n d e 6 7°. No s a le jam o s 3 0 0 m y en to nc e s e l a n gu lo d e e leva c io n e s

d e 2 7°. Ca lcu l a la a ltu ra d e la mon t a n a .

1 9 . D esd e u n cier to p u n to s e o b s e rva la c o p a d e u n a r bo l b ajo u n angu l o d e 4 0°. D esd e e l m ism o p u n ta y a u n a a l tu ra d e 2 m se

ob s e r va la c op a d el m ism o a rb ol b ajo u n angu lo d e 2 0°. C a lc ula la a ltu ra d el a rbo l y a q ue d is ta n cia n o s e n c o ntr am o s d e 61 .

Un a p e rs o n a d ivis a e l p u n to m as a l to d e u n a to rre d e sd e d e te rm in a d o p u n to d e l c am in o b a jo u n a ng u lo d e e le va c io n d e 6 00•

Ale j ando s e 1 00 m y su b ie n do u n es c a lo n ve r tic a l d e 1 m d e a ltu ra divisa e 1 mi smo p un to b ajo u n angu lo d e e levac ion d e s 61 0 4 5°.

lC ua l e s la a ltu ra d e la t o r r e? lA q ue d is tan cia d el p ie d e la to rre s e e nc ue ntr a d ic ha p ers on a e n c ad a u na d e la s o bs erva cio ne s?

D esd e e l rn a s til d e u n b a rc o , s itu a d o a 24 m so b re e l n ive l d e l m ar , u n m arin e ro ab s e rva q u e e l an g u lo d e e le vac io n h as ta e l

e x trem a su p e r io r d e u n fa ro e s d e 3 0 ° y q u e e l angu lo d e d ep re si6 n h as ta la b as e d e l mis rno e s d e 4 5°. C a lc ula r la a ltu ra d el

e xtrem o su pe rio r d el f a ro s a bre e l n ive l d el m a r.

L as re c ta s tan gen te s a u n a c irc u nfe re n cia d e 50 m d e lo ng itu d , tra z ad as d e sd e u n p un to ex te r io r a e l la , f o rm an u n ang ulo d e 45°.

C a lc ula r la d is ta nc ia d e e ste p un to a t c e ntr o d e la c ir cu n fe re n cia .

E n la s d o s ve r tien te s d e u n a m on ta n a h ay se n das e s tac io ne s d e sky , A y B . D esd e u n va lle c e rca n o, C , u n e sq uiad or d ivisa am b as

e s ta c io n e s . L a s d is tan c ia s d e sd e su p o s ic io n h as ta e lla s s o n d e 30 0 m y 520 m re sp ec t ivam en te y LACB = 4 3 ° l .Q u e d is ta nc ia

s ep ara la s d o s e sta cio n es ?

S · 3 31Z ' 2 b 4 1Z ' b a t I1 cosa=- c o n -<a< 1Z ' y tg =-- c o n -< <1Z', c c u a :

5 2 3 2

10.11.

8,

1 2 .

1 3 .

14 .

1 5.

16.

17.

18.

2l.

2 2 .

23.

24.

a) s e n (2a + 2b)t)

c a{~ )i) t ~3 ; -a)

b ) tg(1800-b)

c ) s e n (a-b)g ) t

g ( % ) j) c o s e c ( 3 ; + b )d ) tg2a

e ) tg(%-2b) h ) cO { ~+ 9 0 0 )

k) tg3a

25. D em u es tra la s ig u ald a de s:

2 ( X ) l - co s2x

( co s3 a )a) s e n - '" co s r z+

2 4C O S 2 (~ )c)

3( s en 3a) = tg3a

s e n a -

cos(a+b)-cos(a-b) b 3b) =- tg

d )s en 3 x+ s en x 2

s en (a +b) + se n (a - b)s en 3 x -s en x I - tg 2x

2 6. S im p lif ic a la s e xp re sio n es tr ig o no m e tr ic as s ig u ie n te s:



1 ) !(c o s a + co sb Y + ! ( sen a+ se n bf - c o s (a - b)2 2( s en a + co s a) ( sen b + cosb)

co s(a - b ) -i-sen (a + b )

5)c o s8a + cos2a + cos5a

s e n S a

s e n a + se n S a + sen 3 a

cosa + cos5a + c os 3a

c o s2 3 x · s e n 4x + sen 4x · s en 23 x

se n 5x - s en 3x - c o s 4x

s en a . s e n (b - c) + sen b . s en (c - a) + sen c . s en (a - b )

2) 6)

3)2 s en a 1 + co s a

l-cosa c o s a

co s (a - b ) - c o s (a +b)

s en (a + b ) + se n (a - b )

7)

8 )4)

27 . Ca l cu l a :

a )co s105° - co s15°

co s105°+co s I 5°

b )s e n 70o + se n 50 °

c o s 70 0 + co s 50 °

c )s en 1 00 o+ se n 4 0°

c os 10 0° - co s 40 °

d ) c o s 5 2 ,5 °· c o s 7 ,5 °

e)s e n 4 00+ sen 2 00

c os 4 0° + c os 2 00

t)se n 1 1O o+ s en 5 00

c o s I 1 0 0 - c o s SOo

g ) co s7So · co s I 5°

h) s e n 7 5°· co s IS "

28 . R esu elve lo s tr ia ng ulo s d e lo s s ig uien te s c aso s:

a ) a= 10 em b =7 em c := 13 em

b ) A '" 4 5° a =8 em b = 1 0 emc ) A ""35° B = 4 8° a = 1 1 c m

d ) A = 30 ° B =10 0° C =SO "

e ) A = 35" B = = 4 8° c = 1 1 e m

t) a =5cm b =4em c=7cm

g) a= lO cm b =7em B=30 °h ) a = IO em b =7cm C= 8 0 °

i) a = 1 0cm B =30 " C= 8 0 °

29. R e su elve la s s ig u ie nte s e eu ac io n es tr ig o no m e tr ic as :

J 3 20 ) s e n 9 x+ sen 5x+ 2 se n 2x ==11) s e n 2 x= -

21 ) c o s2 x+ 5co sx+ 3 = 12

2 )1 22 ) tg 2~ = 1

c os3 x = =-2 2

tg ( 1 ) = 1

23 ) cos x+cos Zx+cos Ix+cos-tx = = 0

3) 24 ) c o s 3 x ==s e n 3 0 ·

.[i 2S )1 1

s e n x --- ==---4 ) cosx =--- s e n x 2 ./3

2 ','

S ) s en 2 x = e o s x 26 ) tg x- s ec x :=;Ji

6 )1

27)I

s en x . c o s x ==- cos (4x- ; r )==- -2 2

7) c os Z x » e n x 28 ) s e n x + 2 ""3 c os 2 x

8) s en 2x - c o s2 x == ! _ 29 )s en 2 x 2

l = - - +co s x2 2

9 ) s en x + co s2 X = ~30 ) c o s 2 x+5c o s x+3 = 0

4 31 ) 2 s e n 4 x - 7 e o s2 x + 3 = 01 0 ) tgx;= 2 s e nx

s e n x - c o sx ==

J f32 )

1 1 ) c o s x = = - -2

se n22 x 2

12 )1 33 ) -- -+ co s x = = 1

s e n 3 x = = - - 22

1 3 ) c o s 2x - 3 s en 2x=034 ) 6 c o s 2 x+ co s2 x ==5

1 4 ) c o s 2 x = = 1+ 4 se n x35 ) c o s 2 x + s e n x ==0

1 5) s en 6 x+ - se n 2 x = = 2 s en 4x36 ) s e n 2 x == g x

1 6 ) tg 2 x - 3 tg x+-2 = = 037) c o s 2 x+ c o s x = 0

38) s e n x + s e n 2 x + sen 3 x ==017) s en 8x + s e n 2 x ==0

18) co s3 x - co s4 x = = 0

19 ) co s2 x+ co s x = se n x + se n 2 x

3 0 . D esd e u n pu n to A s e d ivisa n o tro s d o s p un to s B y C b a jo u n a ng u lo d e 52 " 29'. S e s a b e q u e By C d is tan 450 m y q u e A y B

d is ta n 500 m . A verig ua la d is tan cia e ntre A y C .

3 1 . S e s ab e q u e , d e sd e u n p u n ta d e l s u e lo , s itu ad o a u n a c ie r ta d is ta n c ia d e u n a e s ta tu a , s e ve e l ex trem a d e e s t a c o n u n an gu lo d e

e le va cio n d e 3 5" . lCual s era e l a ng ulo d e e le va cio n d es de u na d is ta nc ia tr ip le ?



32 . Un a ram p a d e 4 0 m de lo n g itu d y 1 0 ° d e in c lin ac io n co n du ce a l p ie d e u n a e s ta tu a . C alcu la la a ltu ra d e e s ta s ab ie n d o qu e , e n e l

in ic io d e la ram p a , e l A ng ulo d e e le va c io n d el p u nto m as a l to d e la e s ta tu a e s d e 15°.

3 3 . Un an gu lo d e u n rom b o m id e 75° y su d ia g o na l m ay or 1 0 em ., c a lc u la s u p e r im e tro .

3 4 . E n u n e ire u lo d e 10 em . d e rad io , d ib u jam o s u n a cu e rd a q u e u n e lo s e x trem o s d e u n a re o q u e ab a rea u n A ngu lo d e 80°. C aleu la la

lo ng itu d d e la e ue rd a.

3 5. Un b a rco B e s ta s itu ad o a 45 Km . a l s u r-e s te d e u n b a rc o A . Un b a rco C es ta a 57 Km al su r d e A .

"Q ue d is ta n c ia s e p a ra lo s b arc o s B y C ?

"Q ue ru mb o d eb e r ia tom ar e l b arco C p a ra ar r iba r a l p u nto d o nd e e s ta an elad o B ?

3 6 . C alc u la e l a re a d e u n tr ia n g ulo is o sce le s d e la d o d es ig u al2 0 cm ., in sc r ito e n u n e ire u lo d e 30 em . d e rad io .

3 7 . Un g olf is ta g olp e a la p e lo ta d e m od o q ue su la n zam ie n to a lc a n z a u na lo n gitu d d e 12 9 m . S i la d is ta n c ia d e l g o lf is ta a l h oy o e s d e

I S O m y la p e lo ta q u ed a a u n a d is ta n c ia d e 4 0 m de l h o y o , e a lc u la e l a n g u lo q u e fo rm a la lin e a d e u n io n d e l g o lf is ta ca n e l h o y oy la d ir ec c io n d e lla n zam i en to .

38 . C a1 cu la e l lin gu la q ue fo rm a n la s d os tan gen te s eo m un es a do s c irc un fe ren cia s ta ng en te s e xte r io re s d e rad io s 1 0 y 1 8 e m .

39 . D os o b s e rvad o re s , s i tu ad o s e n la co s ta y se pa ra do s 1 00 0 m , o bs e rvan u na p la ta fo rm a p etro life ra y qu ie re n d ete rm in a r a q u e

d is ta nc ia d e t ie r r a s e e nc ue ntra . L os o bs e rva do re s d ir ig en vis u ale s d esd e su s p os ic io ne s a fa p la ta fo rm a y m id en e l a n gu lo q ue

fo rm an e s ta s vis u a le s c a n la lin e a im ag in a r ia q u e lo s u n e . E s to s a n g u lo s s o n 63 ° y 83 °. C alc u la la d is tan c ia q u e s ep a ra Ia

p la ta fo rm a d e la c os ta .

4 0 . D esd e u n d e te rm in ad o p un to d e l s u elo u na p e rs o n a o b se rva e l e x tr em a su pe r io r d e u n ed if ic io b ajo u n a n gu lo d e e leva c io n d e 70 0 .

D esp la zan do se 1 00 m e n d ire cc i6 n su r e l a ng ulo d e e le va ci6 n e s a ha ra d e 50 °. l,Q u e a ltu ra tie ne e l e dif ic io ?

apuntes_trigonometrÍa_sin_reducir

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