apuntes_fisica industrial.pdf

7/25/2019 Apuntes_fisica industrial.pdf

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Fsica IndustrialApuntes de la asignatura

Alexandre Wagemakers

Universidad Rey Juan Carlos

Madrid, curso 2007-2008


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Indice general

1. Elementos de circuitos en corriente continua 9

1.1. La corriente electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1. Potencia en circuitos de corriente continua . . . . . . . . 111.2. Resistencias, condensadores y autoinducciones . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. El condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4. Generadores y pilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3. Sentido del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4. Circuitos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2. El teorema de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.3. Asociacion de impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.4. El teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.5. El teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5. Analisis de Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6. Resultados y formulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Circuitos de corriente alterna 452.1. Caractersticas de la corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Representacion de cantidades sinusoidales como fasores . . . . . 49

2.3. Resistencias, condensadores y inducciones en corriente alterna . . 522.3.1. Resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.2. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.3. Inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.4. Orden de fasores y representacion temporal . . . . . . . . 592.3.5. Ley general de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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4 Indice general

2.3.6. Diagrama de fasores de un circuito . . . . . . . . . . . . 61

2.4. Potencia en sistemas de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . 632.4.1. Potencia en una resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4.2. Potencia en un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4.3. Potencia en una inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.4. Potencia en una impedancia compleja . . . . . . . . . . . 68

2.4.5. Mejora del factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5. Comportamiento en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6. Resultados formulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3. Corriente alterna trifasica 853.1. Fundamentos de la corriente trifasica . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2. Conexion en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3. Conexion en triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4. Potencia en sistemas trifasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5. Resultados formulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4. Transformadores 994.1. Circuitos Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.1. Perdidas por histerisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.1.2. Perdidas por corrientes de Foucault . . . . . . . . . . . . 104

4.1.3. Modelo de un circuito magnetico alimentado en corrientea l t e r n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

4.2. Transformadores ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2.1. Potencia Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.2. Transformacion de impedancias . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3. Transformador real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4. Circuito equivalente de un transformador . . . . . . . . . . . . . 1194.5. Potencia y rendimiento de un transformador . . . . . . . . . . . 122

4.6. Hipotesis de Kapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.7. Regulacion de voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.8. Pruebas de un transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.8.1. Pruebas en corto-circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.9. Resultados formulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


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Indice general 5

5. Principios fsicos de las maquinas electricas 139

5.1. Principio del generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2. Principio del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3. Principios fsicos de motores rotativos . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4. Principios fsicos de generadores rotativos . . . . . . . . . . . . . 1515.5. Generacion de un campo giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6. Maquinas electricas 1636.1. Motores asncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.1.1. Construccion y principios de funcionamiento . . . . . . . 1636.1.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.1.3. Potencia, rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.1.4. Potencia mecanica del motor asncrono . . . . . . . . . . 171

6.2. Generadores sncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.2.1. Construccion y principios de funcionamiento . . . . . . . 1746.2.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.2.3. Potencia, rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.2.4. Motores sncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.3. Maquinas de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3.1. Construccion y principios de funcionamiento . . . . . . . 1816.3.2. Maquina con dos espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.3.3. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

A. Modelo de Drude 189

B. Recordatorio de numeros complejos 191

C. Conceptos fundamentales de electromagnetismo 195C.0.1. Introduccion al calculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 195C.0.2. Campo electrico y magnetico . . . . . . . . . . . . . . . 196C.0.3. Leyes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

C.0.4. Divergencia del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . 199


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6 Indice general


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Introduccion

La asignatura de fsica industrial tiene por ambito introducir al alumno almundo de la produccion industrial de la energa de manera transversal. Se pre-

senta la cadena de generacion de energa de desde su produccion primaria hastael usuario. La apuntes presentados aqui presente corresponde al mitad de laasignatura y recoge los procesos de produccion de la electricidad. La segundaparte de la asignatura presenta los procesos qumicos en plantas de generacionde electricidad.

En el capitulo 1 tratamos los circuitos de corrientes continua y asentamoslas basese del analisis de circuito. En el capitulo 2 introducimos los conceptosde corriente alterna y el tratamiento de los fasores. El capitulo 3 presentamosbrievemente los sistemas trifasico y las formulas basicas para manejarlos. Seestudian en el capitulo 4 los transformadores de tension alterna. Son un elemento

fundamental de la cadena de produccion de energa. En el ultimo tema se estudianlos convertidores de energa mecanica a electrica (generadores) y de energaelectrica a mecanica (motores). Se presentan los principios fsicos fundamentalesde produccion de energa y las maquinas electricas mas importantes: el motorasncrono, el generador sncrono y la maquina de corriente continua.

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8 Indice general

Agua

Vapor

Combustible

Agua fria

Condensacion

Transformador

elevador

Alta tension

138765kV

Alta tension

35138kV

Media tension

435kV

Usuario

230400V

Transformador

reductor

Transformador

reductor

Transformador

reductor

Transformador

elevador

Alta tension

138765kV

Alta tension

35138kV

Media tension

435kV

Usuario

230400V

Transformador

reductor

Transformador

reductor

Transformador

reductor

Agua

Vapor

Combustible

Agua fria

Condensacion

Figura 1: Aspecto global de una cadena de produccion de energa.


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Captulo 1

Elementos de circuitos en

corriente continua

Los elementos basicos que se manipulan en ingeniera electrotecnica son re-sistencias, inductancias, o condensadores. Estos elementos se comportan muchasveces de forma lineal, es decir que las respuestas a un estimulo son directamenteproporcionales a esta excitacion. Este comportamiento lineal nos permite poderusar de toda la teora de circuitos que proporciona potentes herramientas deanalisis de dispositivos electricos.

1.1. La corriente electrica

Aqu recordamos algunas leyes basicas utiles para el estudio de los compo-nentes electronicos. Primero, el elemento basico de estudio es la carga, esta seexpresa en Culombios y es la unidad fundamental de carga electrica. La circula-cion de cargas en un conductor crea una corriente, mas en concreto la variacionde carga define la intensidad:

I=dQ

dt

[A] (1.1)

El flujo de cargas en el conductor define la corriente. Notese que por convencionel sentido de la corriente es contraria al sentido de circulacion de los electrones,dado que la carga de los electrones es negativa de valor e =1,6 1019C. Lacorriente electrica va a ser similar al caudal de un flujo en un conducto (ver 1.2)pero en vez de medirlo en m3.s1 se mide en C.s1 (Culombios por segundos),

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10 Captulo 1. Elementos de circuitos en corriente continua

Figura 1.1:Ejemplo sencillo de circuito donde las partes del circuitos situados en mismopotencial estan marcadas con un mismo color

es decir en Amperios en el sistema SI.Otra de las cantidades fundamentales de la electricidad es el potencial electri-

co. La nocion de potencial se entiende con la energa necesaria para mover unacarga de un punto al infinito hasta un punto A en un campo electrico estatico.El trabajo del campo electrico de un punto alejado al infinito hasta un puntoAse calcula como:

WA=

A

FQ dx (1.2)

Tenemos la fuerza ejercida sobre la carga que depende del campo electrico E:FQ=QE. El trabajo se puede escribir como:

WA=Q

A

E dx= Q(VA V) (1.3)

El trabajo de la fuerza es conservativo, el camino elegido para calcular estaintegral no importa. Solo depende del punto inicial y final. Esta integral defineel potencial en el punto A (punto final) menos el potencial en el infinito. LacantidadVA es el potencial en el punto A, el potencial en un punto al infinito setoma por definicion igual a cero. En otros terminos definimos el potencial en unpunto A como :

VA=

A

E dx [V] (1.4)

Las nociones de potencial y de trabajo son muy relacionadas. Una diferencia depotencial define entonces el trabajo necesario para mover una carga unidad entre


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1.1. La corriente electrica 11

dos puntos A y B multiplicado por el valor de la carga:

WAB=QVAB=Q(VA VB) (1.5)

El potencial de referencia absoluto es a menudo la tierra o el neutro de la red dedistribucion. El potencial depende de un punto del espacio, sin embargo veremosque en los conductores ideales el potencial es identico en todo el conductor. Porlo que en general tratamos de potenciales sin referirnos al espacio. En la figura 1.1ponemos un ejemplo de circuitos con los lugares donde el potencial es identico.

De aqu en adelante nos referimos mas a diferencias de potencial o ten-siones. Para representar la tension, se suelen usar las letras para los puntosestudiados. La diferencia de potencial VA

VB se escribe como la tension VAB,

tenemosVAB=VA VB. En la figura 1.2 la tension se representa con la flechaque apunta hacia la letra A. Ademas tenemos relaciones vectoriales para las ten-siones. Por ejemplo si tenemos un conductor con tres tensiones diferentes en lospuntos A, B yC, tendremos la relacion entre las tensiones:

VAC=VA VC=VA VB+ VB VC= (VA VB) + (VB VC) =VAB+ VBC(1.6)

Podemos descompener cualquer diferencia de potencial con puntos interme-diarios. Otra relacion util para manipular las tensiones:

VAC= VCA (1.7)

1.1.1. Potencia en circuitos de corriente continua

La potencia en circuito de corriente continua puede explicarse por el trabajode los electrones sometidos a una diferencia de potencial. En un conductor comoen la figura 1.2 el trabajo necesario para llevar las cargas en este conductor es:

Wab=

ba

Q Edx (1.8)

Como el trabajo de la fuerza es conservativo (no depende del trayecto) podemosescribir directamente:

Wab=Q Vab (1.9)Tenemos la energa necesaria para llevar las cargas del punto a al punto b.La potencia es la energa por unidad de tiempo, se expresa mas a menudo en


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Va Vb

ab

q

Figura 1.2:Ilustracion de un alambre recorrido por una corriente continua, el sentido dela flecha de la diferencia de potencialVabesta opuesto al sentido del campo electrico enel alambre. Lo cual define el sentido de arrastre de los electrones. Para electrones conuna carga negativa el sentido convencional de la corriente esta opuesto al movimientoreal de las cargas. Van entonces en el sentido de la tension.

Watios, o en ciertos casos en Julios por segundos. La definicion de la potenciainstantanea para el conductor precedente es:

Pab=dWab

dt =

dQ

dt Vab=IVab (1.10)

Las potencias de corrientes continuas comportan unicamente una parte activa,es decir la potencia es una cantidad real. Para un circuito sometido a una tensionV y recorrido por una intensidad Ila potencia se expresa entonces como:

P =V I (1.11)

en Watios. Para obtener la energa se integra la potencia a lo largo del tiempo.Se obtiene de esta forma watios por hora. Es generalmente es esta unidad que lascompanas electricas facturan la energa. Por ejemplo, si un circuito de corrientecontinua esta alimentado por 10V, 1A durante 1h el consumo energetico es de10W.h.

1.2. Resistencias, condensadores y autoinduccio-nes

En esta seccion estudiamos algunas propiedades fundamentales de los com-ponentes pasivos mas comunes que son las resistencias, los condensadores y lasbobinas (tambien llamadas autoinducciones). Un componente pasivo es capaz de


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1.2. Resistencias, condensadores y autoinducciones 13

consumir energa pero que es no puede producir mas de lo que recibe, al opues-

to de los componentes activos que pueden aportar energa. Son componenteslineales, es decir que la respuesta a un estimulo es lineal y cuanto mas grandeel estimulo mas grande es la respuesta. Son elementos muy usados en todoslos disenos electricos y electronicos. Vamos a poder modelizar otros fenomenoslineales con estos circuitos lineales, sirven en muchos ambitos de la ingeniera.

Existen otros tipo de componentes pasivos, como los componentes nolinealessemiconductores cuales son de los mas importantes.

1.2.1. Resistencia

Una resistencia es un dipolo, tiene dos bornes conductores unidos a un ma-terial semiconductor. En cada uno de los bornes se aplica un potencial electricodistinto. Es decir que tenemos unadiferencia de potencial entre los extremosdel dipolo. Como su nombre lo indica, la resistencia impone una resistencia a lacorriente que la traviesa. El material semiconductor comporta una cierta estruc-tura que en cierto modo ralentiza el flujo de electrones que la atraviesa (veranexo I para mas detalles). Esta resistencia del medio va a limitar la corrienteque le atraviesa. Vamos a tener una relacion entre el potencial entre los bornesy la corriente que circula en el dipolo.

La relacion entre la tension que atraviesa una resistencia (un material con-

ductor en general) y su corriente que la atraviesa se puede dar por la ley de Ohmglobal:

V =Ri (1.12)

La resistenciaRse mide en(ohmios) y es una propiedad fsica del componente. Georg Simon Ohm (16de marzo,1789 - 6 dejulio,1854) Fue un fsicoaleman que contribuyo a es-tablecer la relacion entre elespesor de los cables electri-cos y la intensidad del cam-po magnetico. Establecio unley lineal que fue nombradamas tarde ley de Ohm.

Existen algunas convenciones de notaciones para representar de forma grafica laresistencia, como indicado en la figura 1.3. Primero, el sentido de la corriente seopone al sentido de la tension. Usamos la convencion receptor, lo que significa quela resistencia recibe energa. Este punto tiene su importancia, cuando hablamosde generadores o de sistemas produciendo una energa, se usa la convenciongenerador (es decir la corriente y la tension estan en el mismo sentido).

Para calcular la potencia que disipa un potencia debemos usar la definicionde la potencia encontrada antes para un circuito de corriente continua:

P =V i (1.13)

Por otro lado tenemos la ley de Ohm que relaciona la tensi on y la corriente por


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(a)

(b)

Figura 1.3: Esquema normalizado de una resistencia, el sentido de la flecha es im-portante para el voltaje. La punta de la flecha apunta a la primera letra del nombrede la tension. EntoncesVAB estara orientado deA a B. El sentido de la corrienteesta orientado en sentido contrario a la tension, es la convencion receptor. Cuando lacorriente sale del dispositivo tenemos la convencion generador. En la figura (b) tene-mos otra forma de representar las resistencias,es una de las maneras de representar las

resistencias.

lo que la potencia se expresa en funcion de la resistencia:

P =Ri2 =V2

R (1.14)

La potencia en una resistencia es proporcional al cuadrado de la corriente mul-tiplicado por la resistencia. Esta potencia limita la corriente maxima que pue-de circular por la resistencia. Es decir que si una resistencia se 10 esta di-

senada para una potencia de 10W la corriente maxima que le puede atravesares: imax =

10/10 = 1A. Se tiene que tener cuidado con las corrientes en el

momento del diseno de un sistema para no danar los componentes.La resistencia como componente se encuentra en casi todos los circuitos

electronicos, es tambien una propiedad de los cables. Estos no son ideales y tienenuna cierta resistencia que se acumula con la longitud de los cables. Tienen una


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resistencia lineica l en .m1. La resistencia de los cables no son despreciables

cuando se consideran distancias de varios kilometros. Las perdidas puedes serimportantes y se usan materiales con la menor resistencia posible. Pero a su vezel coste del conductor tiene que ser menor que las perdidas generadas por efectoJoule, por ejemplo es ilusorio usar oro o platino para transportar electricidadcuando el precio del oro o de platino vale mucho mas que la energa que setransporta. Por otra parte se usan altas tensiones en vez de bajas tensiones parael transporte de energa (Ver ejercicio 2).

Ordenes de magnitud y formulas importantesUnidades Ohmios ()Orden de magnitud 1

1M

Ley de Ohm V =RIOrden de magnitud (potencia) 1/4 varios kW

1.2.2. El condensador

El condensador es un elemento capaz de acumular cargas cuando se le ali-menta en corriente continua, y por lo tanto energa. En teora, cualquier metalescon partes enfrentadas se comporta como un condensador cuando existe unadiferencia de potencial entre ellos. En esta configuracion los metales tienen lamisma carga pero de signo opuestas. En la figura 1.4 tenemos el esquema de dos

placas paralelas sometidas a una diferencia de potencial VAB entre las placas Ay B. Entre las placas tenemos un campo electrico descendiendo los potencialessiguiendo la ley: E= gradV(x,y,z), dondeV(x,y,z)es un potencial escalarque depende del espacio. Suponiendo las placas hechas de un conductor ideal,el potencial es el mismo en toda la placa. Para placas paralelas suficientementgrandes podemos calcular el campo electrico entre las placas:

E=VAB/d (1.15)

condla distancia entre las placas (quitamos los signos al no tratarse de vectores).En la figura 1.5 podemos observar el aspecto de este campo electrico generado

por estas placas.Tenemos la relacion entre el campo electrico y el potencial que hemos fijado

en las dos placas. En la figura 1.5 tenemos el ejemplo de un campo electricoentre dos placas paralalelas cargadas con una densidad de carga opuesta entrelas dos placas. Este campo es casi uniforme entre las dos placas y disminuye muyrapidamente al alejarse de las placas.


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V

A B

AB

(a) (b)

Figura 1.4: (a) Esquema de un condensados de placas paralelas, tenemos las lineas decampo del condensador entre las dos placas. (b) Superficie de Gauss para obtener larelacion entre campo y carga.

Con el teorema de Gauss podemos obtener una expresion del campo en fun-cion de la carga. Para ello tenemos que encontrar una superficie de Gauss que seadapte a la geometra del problema (Ver anexo C para mas detalles). En la figura1.4 proponemos una superficie de Gauss que encierra una de las dos placas del

Figura 1.5: Campo electrico formado por dos placas paralelas enfrentadas. Las placasestan cargadas con una carga opuesta. Se puede observar que el campo es casi uniformeentre las placas.


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condensador la cual nos va a permitir aplicar el teorema de Gauss. Esta superficie

esta en forma de paraleleppedo y colocada de tal forma que el campo entre lasplacas sea normal a la superficie de uno de los lados. En los lados laterales elcampo es perpendicular a la superficie y por tanto el producto escalar es nulo. Enla parte trasera del condensador el campo puede considerarse nulo. Siguiendo lanotacion de la figura 1.4 aplicamos el teorema de Gauss para el volumen definido:

S

EdS=

S1

EdS1+ 2

S2

EdS2+ 2

S3

EdS3= E S= Q

(1.16)

Con Q la carga acumulada en la placa del condensador y S la superficie de laplaca. Podemos escribir esto solo considerando el campo entre las dos placas ydespreciando los efectos de borde donde el campo ya no es paralelo. En estascondiciones el campo es paralelo al elemento de superficie dSy la integracion esdirecta. Las otras contribuciones son nulas dado que el campo es perpendicular ala superficie (el producto escalar es nulo), o bien el campo es despreciable comodetras de la placa. Con esta ecuacion tenemos la cantidad de cargas en las placasen funcion del campo y de la diferencia de potencial:

Qtotal =E S= Sd

VBA (1.17)

El terminoC=S/dse llama capacidad del condensador. Hasta ahora no hemosespecificado el termino, este termino se llama permitividad depende del material

entre las placas. En general se coloca un material dielectrico que aumenta lapermitividad y por lo tanto aumenta la capacidad. La permitividad se descomponecomo el producto de la permitividad en el vacio y de la permitividad relativa deldielectrico = 0d. Con un dielectrico bueno podemos reducir la superficiedel condensados y incorporarlo en una capsula para formar los componenteselectronicos que se usan en el comercio y en la industria. La expresi on de lacarga se puede simplificar como:

Q= C V (1.18)

conV la diferencia de potencial. Esta formula se puede aplicar a cualquier otro

condensador, la carga almacenada es proporcional a la capacidad por la diferen-cia de potencial. Al principio hemos mencionado que el condensador almacenaenerga. Para calcular la cantidad de energa contenida en el espacio entre lasplacas podemos primero calcular el trabajo ejercido sobre las cargas. El trabajoelementaldWpara mover una carga dQ de una placa a otra a traves de la dife-rencia de potencialV esdW=dQV. La energa consiste en el trabajo necesario


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Figura 1.6: Esquema normalizado de un condensador.

para mover todas las cargas de una placa a otra. Sabemos de la ecuacion 1.18quedQ= C dVpor lo tanto podemos integrar el trabajo entre AyB

B

A

dW = B

A

C V dV =1

2CV2

AB

(1.19)

La energa es entonces: EC = 1/2CV2. Aqu podemos hacer una observacion

importante para el diseno de un condensador. La energa maxima almacenadadepende de la capacidad y por lo tanto del dielectrico. Para miniaturizar conden-sadores se usan dielectricos altos. Sin embargo para altas tensiones no hay otroremedio que usar voluminosos condensadores, estos son peligrosos por los riesgosde explosion.

Como parametro importante de un condensador tenemos el voltaje maximoque puede soportar. Para pequenas capacidades los condensadores son a menudode ceramica y sin polaridad. Para capacidades mas altas y potencias mas impor-

tantes los condensadores son electrolticos, es decir con unos reactores qumicospara mejorar el dielectrico. Estos condensadores tienen una polaridad debido aldielectrico. Tienen problemas de fugas de lquidos electrolticos y tienen unadispersion de valores importante.

Para usos industriales se usan condensadores llenos de aceite. Sin embargoestos condensadores tienen graves problemas practicos cuando se tratan de po-tencias importantes: se calientan, pueden tener fugas de dielectricos y no es raroque exploten cuando sobrepasa el voltaje de funcionamiento nominal o cuandoenvejecen.

Ordenes de magnitud y formulas importantesUnidades Farad (F)Orden de magnitud 1pF 100FCarga Q= C UEnerga EC= 1/2CU

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Orden de magnitud (potencia) 1/4 100KW


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1.2.3. Inductancias

Al igual que el condensador la inductancia permite almacenar energa peroesta vez se usa el campo magnetico para almacenarla. una inductancia basicaconsiste en una arrollado de cobre alrededor de un nucleo ferromagnetico quesuele acompanarle. Cuando una corriente continua circula en el alambre un campomagnetico se forma. Este campo magnetico es casi uniforme dentro de las bobinay las lineas de campo se cierran sobre si misma.

En la figura 1.8 ensenamos el esquema normalizado de una inductancia. Serepresenta tambien en convencion receptor con la corriente opuesta a la tension.Cada espira produce un campo magnetico de acuerdo con la ley de Ampere. Sianadimos varias espiras enrolladas a partir del mismo alambre podemos conside-

rar que el campo es mas o menos uniforme dentro del enrollamiento (tambienllamado devanado). Con esta hipotesis podemos aplicar el teorema de Amperecomo indicado en la figura 1.8. Para ello elegimos un contorno que incluya espirasde corriente con una parte del contorno dentro de la bobina y la otra parte fuera.Aplicamos el teorema de Ampere al contorno marcado en la figura 1.8 (ver elanexo B para mas detalles sobre la ley de Ampere):

l

B dl= N0I (1.20)

con l0 la longitud del lado mas largo del contorno y N0 el numero de espiras

encerradas por el contorno. El campo fuera del solenoide es despreciable, el campoes muy denso dentro de la bobina y muy disperso fuera. Por lo que podemosconsiderar unicamente el campo interno B0 uniforme. En los lados (AD y BC)del contorno el campo magnetico ortogonal a la contorno, el producto escalarsera nulo. Podemos descomponer la integral precedente en cuatro contribucionessiguiendo el orden ABCD:

l

B dl= BA

B dl + CB

B dl + DC

B dl + AD

B dl= . . . (1.21)

Figura 1.7: Esquema de una inductancia


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=B0l0+ 0 + 0 + 0 = B0l0 (1.22)El campo uniforme B0 es proporcional a la densidad de espira N0/l0 por

la intensidad circulando. A partir de las tres ecuaciones anteriores tenemos uncampo:

B0 = N0/l0I (1.23)

Notamos que el campo magnetico depende fuertemente de la susceptibilidadmagnetica. Para mejorar este factor se coloca un nucleo de hierro dentro de labobina.

La inductancia de un conductor se define de manera general como:

L=

I (1.24)

DondeIes la corriente que circula en el conductor y el flujo magnetico creadopor este mismo. Este coeficiente se refiere realmente a la auto-inductancia, por-que la espira este influida por su propio campo magnetico. A partir de la expresionanterior del campo magnetico el flujo en la bobina se deduce inmediatamente:

=N0B0S=SN20/l0I (1.25)

conS la superficie de una seccion de la bobina, y tenemos que contar N0 vecesel flujo creado por una espira. En este caso los flujos creados por cada espira se

suman. La inductancia en este caso es independiente de la corriente del conductor:

L= S N20/l0 (1.26)

En la figura 1.9 tenemos el ejemplo del campo creado por un solenoide. Tenemosel corte transversal de la bobina con una corriente saliente hacia la pagina en loscirculos de arriba y hacia adentro para los circulos de abajo. El campo es casiuniforme dentro del solenoide sin embargo se ven efectos importantes cerca delos conductores donde el campo no es uniforme.

La energa almacenada por la bobina se calcula calculando el trabajo necesario

para generar el campo en el espacio, daremos aqu solo el resultado del calculo:

EL=1

2LI2 (1.27)

Entonces para incrementar la energa maxima conviene aumentar el numero deespiras o cambiar el material ferromagnetico.


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Contorno

i

(a)

A B

CD

d1

d2

(b)

Figura 1.8: Esquema de una inductancia: (a) Lineas de campo en la inductancia, lalineas de campo se cierran sobre si misma. (b) Esquema del contorno elegido para elcalculo del campo magnetico, se puede aplicar facilmente el teorema de Ampere sobreeste contorno.

En realidad un modelo mas completo de la inductancia toma en cuenta laresistencia del devanado de cobre. Este puede llegar a ser importante cuando setratan de varias decenas de metros de hilo, o kil ometros incluso. Esta resistenciava a crear un calentamiento de la bobina y por lo tanto perdidas de potencia.El calentamiento puede llegar hasta la destruccion de la bobina y corte-circuitosen el devanado. En la mayora de las bobinas, los hilos estan cubierto de un


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(a)

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

(b)

Figura 1.9: Simulacion del campo creado por un solenoide. Se representa el planotransversal de la bobina donde un circulo representa un conductor atravesando elplano.

aislante electrico para evitar corte-circuitos. Este aislante tiene una duracion devida limitada y depende mucho de la temperatura. En el caso de las maquinaselectricas de alta potencia, cuales contienen muchas bobinas, se toman en cuenta

estas perdidas, pueden influir mucho en el rendimiento de un dispositivo.Este simple modelo tiene su importancia por lo que todo los devanados de los

transformadores y de las maquinas electricas se reducen a este modelo de induc-tancia. Sin embargo al trabajar en regimen de corriente alterna otros fenomenosaparecen. En ciertos casos, cuando se usan frecuencias de trabajo muy altas se to-man en cuenta la capacidad generada por los hilos. Pero esta se puede despreciaren corriente continua y en baja frecuencia.

Ordenes de magnitud y formulas importantesUnidades Henri (H)Orden de magnitud 1 10HCampo en un solenoide B=0NIInductancia de una bobina L= S N20/l0Orden de magnitud (potencia) 1/4 100KW


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(a)

V

E

I

Ideal

Real

Pendiente R

(b)

Figura 1.10: Esquema de un generador de f.e.m y caractersticas tension corriente deun generador ideal y real.(a) En esta figura tenemos el esquema normalizado de ungenerador de tension continua, el borne menos tiene generalmente una parte menosancha que el polo positivo. Tambien se representa la resistencia interna modelizadacomo una resistencia en serie con el generador. (b) Caractersticas ideal y real de ungenerador de tension continua cuando cambia la intensidad a la salida.

1.2.4. Generadores y pilas

Un generador, y mas en general una fuerza electromotriz de corriente y tensioncontinua, se representa como dibujado en la figura 1.10 (a). Un generador o unapila ideal puede producir cualquier corriente sin cambiar la tensi on entre sus dospolos. Significa que con cualquier impedancia conectada a su salida el generadores capaz de mantener la misma tension. Es decir si conectamos una resistencia Ra un generador de f.e.m E0, la corriente viene dada por la ley de Ohm E0=RI


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por lo que la corriente es inversamente proporcional a la resistencia:I=E0/R. Si

la carga es muy pequena la corriente sera muy grande, siempre que el generadormantenga la tensionE0constante entre sus bornes. Este tipo de comportamientoviene representado en la figura 1.10 donde se observa la caracterstica tensioncorriente de un generador. Tenemos en linea discontinua la caracterstica idealde un generador.

Sin embargo, esta caracteristica es imposible de obtener en la realidad, sig-nificara que se puede proporcionar potencias infinitas. La potencia se expresacomo P = V I, entonces para I= con V constante, la potencia tambien esinfinita. En la practica la potencia es limitada y el generador no podra seguir estacaracteristica. En cualquier pila o generador real tenemos un resistencia en serie

con el generador de f.e.m, esta resistencia interna se debe en gran medida a lasperdidas en el propio generador. Para un generador de tension es una resistenciaen serie quien provoca una perdida de tension a la salida del generador. En elesquema de la figura 1.10 (a) tenemos una f.e.mEen serie con una resistencia Rque representa la resistencia interna. A la salida del generador tenemos la tensionVque proporciona con una corriente I. Segun la ley de Ohm tenemos:

V =E RI (1.28)

La representacion de la tensionV en funcion de la corriente se puede apreciar enla figura 1.10. Tambien existen generadores de corrientes en los que la corriente

suministrada a la fuente es independiente de la tensi on que pide la carga. Estosgeneradores proporcionan una corriente I0 constante con cualquier impedanciaconectada en sus bornes. En la figura 1.11 tenemos el esquema del generador.Si conectamos una resistencia R a un generador ideal de corriente IN, la tensionde salida sera V =RIN. La caracterstica tension/corriente de una fuente ideales una recta como se puede observar en la figura 1.11. Es la caracterstica delgenerador ideal.

En la realidad, los defectos se materializan en una resistencia de fuga enparalelo con el generador de corriente. Al igual que el generador de tensionespodemos expresar la ley que relaciona la corriente de salida con la tensi on, a

partir de la figura 1.11: I=In V /r (1.29)Existe un metodo para pasar de un generador de tensiones a un generador de

corriente equivalente. Son los equivalentes de Thevenin y Norton. Sin embargoexisten diferencias de diseno importante entre ambos dispositivos, no se construyede la mismo forma un generador de tensiones y un generador de corriente.


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1.3. Sentido del campo magnetico 25

IN

r V

I

(a)

Ideal

Real

I

IN

Pendiente 1/r

V

(b)

Figura 1.11: Esquema de un generador de corriente y caractersticas tension corriente

de un generador ideal y real. (a) En esta figura tenemos el esquema normalizadode un generador de corriente continua, el doble circulo simboliza el generador y laflecha indica el sentido de la corriente. La resistencia interna se asocia en paralelo conel generador. (b) Caractersticas ideal y real de un generador de corriente continuacuando cambia la intensidad a la salida.

1.3. Sentido del campo magnetico

Para determinar el sentido de un campo magnetico a partir de la circulacion de

una corriente en un alambre tenemos varios metodos graficos y mnemotecnicos.Por ejemplo la regla de la mano derecha consiste en seguir la corriente con elpulgar y cerrar los dedos en semicirculo. Esto determina el sentido de las lineasde campo magnetico como indicado en la figura 1.12(a).

Otro metodo mnemotecnico permite determinar el resultado de un productovectorial de la forma C = AB . En la figura 1.12(b) tenemos la regla de


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(a) Regla de la mano derecha

A

B

C

C=AxB

(b) Regla de los dedos de la mano derecha

Figura 1.12: Regla de la mano derecha para determinar el sentido del campo y el. (a)En esta figura tenemos un ejemplo de como deducir el sentido del campo creado porla circulacion de una corriente. El pulgar se pone en la direccion de la corriente y lamano cerrada indica el sentido del campo. (b) En esta figura se muestra como obtenerel sentido del producto vectorial de dos vectores ortogonales.

los tres dedos de la mano derecha. El pulgar corresponde al primer vector A, elndice al segundo vector B y el mayor indica el sentido del producto vectorial de

los dos primeros vectores. Esta regla se revela util para determinar las fuerzasdebidas a los campos magneticos como la fuerza de Lorenz o de Laplace. Podemosmencionar tambien la regla del hombrecillo de Ampere. Este hombrecillo se colocaen el sentido de la corriente (la corriente recorriendo su cuerpo de los pies haciala cabeza), el hombre mira el punto que nos interesa y tiende su brazo izquierdo.El brazo indica la direccion del campo magnetico.


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1.4. Circuitos lineales 27

1.4. Circuitos lineales

1.4.1. Leyes de KirchhoffGustav Robert Kirchhoff(12 de marzo de 1824 -17de octubre de 1887) Fsi-co Aleman famoso por sustrabajos sobre la radiaciondel cuerpo negro pero sunombre quedara asociado ala teora de circuitos y suenunciado de la conserva-cion de las corrientes en uncircuito.

Las leyes de Kirchhoff son fundamentales para poder expresar las relacionesentre las corrientes, las tensiones y los elementos de un circuito. Permiten analizarun circuito y establecer las ecuaciones que le describen.

Las leyes de Kirchhoff son una forma de la ley de conservacion aplicada acircuitos electricos. 1. La primera ley de Kirchhoff especifica que no hay acumu-lacion de cargas en ningun punto de un circuito, se traduce por el hecho que enun nudo de un circuito la suma de las corrientes algebricas es nula. Para hacer

la suma algebraica de las corrientes en un nudo se toman con un signo positivolas corrientes entrantes (con la flecha hacia el nudo) y negativas las corrientessalientes:

k nudo

ik = 0 (1.30)

Esta ley significa que no podemos tener un hilo o un nudo donde sale mascorriente de la que entra. En la figura 1.13 tenemos un ejemplo de nudo dondellegan varias corrientes a la vez. Entra en el nudo la corriente i3 e i4 y salen lascorrientesi1ei2por lo que podemos establecer la relacion entre estas corrientes:

i1+ i2 i3 i4 = 0 (1.31)La segunda ley de Kirchhoff, llamada tambien ley de las tensiones es tambien

una ley de conservacion. Es una ley de conservacion de la tension en una malla.Una malla de un circuito es una parte del circuito cerrada, como por ejemplo enla figura 1.13 (b) el circuito determinado por los puntos ABEFA. Tenemos otrosdos circuitos cerrados: ABCDEFA y BCDEB. La ley de Kirchhoff expresa que lasuma algebraica de las tensiones de estos circuitos cerrados tiene que ser nulapara que la energa se conservara.

1La ecuacion de conservacion de la carga puede deducirse a partir de la divergencia de laley de Ampere:

divrotB= div(J) + div(D

t ) = 0

porque la divergencia del rotacional es nula, por lo que combinando con la ley de Maxwell-Gauss tenemos: div(J) =

t lo que significa que la variaciones espaciales de corriente son

iguales a la variaciones temporales de la carga.


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(a) Primera ley de Kirchhoff

(b) Segunda ley de Kirchhoff

Figura 1.13: (a) Esquema de un nudo donde llegan dos corrientes positivas (i3 y i4)y dos corrientes negativas. La ley de Kirchhoff afirma que la suma algebraica de estascorrientes es nula. (b) Ilustracion de la segunda ley de Kirchhoff que afirma que lasuma de las tensiones en una malla cerrada tiene que ser nula.

La segunda ley de Kirchhoff para un circuito cerrado se enuncia de manerageneral:

k malla

Vk = 0, (1.32)

para todas las tensiones un circuito cerrado. Para la la malla ABEFA la ley de

Kirchhoff expresa: VAB+VBE+VEF +VFA = 0. Se han sumado las tensio-nes como vectores ya que tenemos una relacion de Chasles para las tensiones:VAE=VAB+ VBE.

Ahora consideramos una malla del ejemplo de circuito cualquiera de la figura1.14. En cualquier malla, la suma de los voltajes siguiendo un circuito cerrado


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Figura 1.14: Ejemplo de aplicacion de las leyes de Kirchhoff.

tiene que ser cero. Consideremos una malla del circuito, por ejemplo la malla 1.Para sumar las tensiones elegimos el sentido de rotacion horario y seguimos unamalla. Las tensiones con flechas en el sentido de rotacion (como la tension E)van sumadas con un signo positivo cuando las tensiones opuestas al sentido vancon un signo menos. Resulta de la suma:

E VR1 VR3 VR4 = 0Gracias a esta ley y la relacion entre corriente y tensiones en los componentesse pueden determinar todas las tensiones y corrientes a partir de los valores delos componentes. Cuando todos los componentes son lineales el circuito puederesolverse con un sistema de ecuaciones lineales, con las tecnicas de la algebralineal.

Ejemplo de aplicacion En el circuito de la figura 1.14 tenemos las siguientesresistencias: R1 = 3, R2 = 10,R3 = 4,R4 = 5 y la f.e.m. E = 10V.Determinar la corriente I3 as como la tensionVR2.

Solucion Para resolver el circuito podemos por ejemplo escribir las ecuacionesde las mallas 2 y 3:

E VR1 VR2= 0 (1.33)VR2 VR3 VR4= 0 (1.34)

Tenemos tambien la ley de Kirchhoff para las corrientes:

I1=I2+ I3 (1.35)


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Usando la ley de Ohm tenemos el sistema de ecuaciones:

E R1I1 R2I3= 0R2I3 R3I2 R4I2 = 0I1=I2+ I3

(1.36)

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas que podemos resolver.Depues de calculo obtenemos:

I3 = E(R3+R4)

R1R2+(R1+R2)(R3+R4)

I2 = ER2

R1R2+(R1+R2)(R3+R4)

I1 =I2+ I3

(1.37)

Aplicacion numerica:

I3 = 10(4+5)

310+(3+10)(4+5)= 0,689A

I2 = 1010

310+(3+10)(4+5)= 0,344A

I1 =I2+ I3= 1,034A

(1.38)

Por lo tanto la tensionVR2 vale:

VR2 = I3R2= 0,689 10 = 6,890V (1.39)

1.4.2. El teorema de Millman

El teorema de Millman permite calcular facilmente la expresion de una ten-sion en un circuito lineal, es decir compuesto de elementos pasivos y fuentes detensiones. Permite determinar una tension de una rama del circuito a partir detodos los elementos que lo componen. Supongamos un circuito con k ramas ydeseamos calcular la tension en una ramai. Podemos expresar la tension de estarama en funcion de los elementos de la propia rama y de los elementos de lasotrask1ramas unidas a estas. Para una tensionidel circuito podemos escribir:

Vi=

kVk/Rk+

kIk

k1/Rk+ 1/Ri(1.40)


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Figura 1.15: Ilustracion del teorema de Millman.

B

A

R RR 1 2k

BA Rk

R1

R2

...

Figura 1.16: Ilustracion de asociacion de impedancias en serie y en paralelo.

con las tensiones Vk de todas las ramas conectadas a la rama i, las resistenciasRk equivalente de cada rama y Ri la resistencia de la propia rama i.

Tomamos como ejemplo el circuito de la figura 1.15, se puede determinarmediante el teorema de Millman:

VR1 = E1/R3+I2

1/R1+ 1/R2+ 1/R3(1.41)

la tensionVR1 es la suma de las corrientes equivalentes de las ramas partido porla suma de todas las conductancias. Se puede obtener el mismo resultado conlas leyes de Kirchhoff, es simplemente una manera mas rapida de calcular unatension cuando conocemos muchos elementos del circuito.


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1.4.3. Asociacion de impedancias

Podemos reducir la complejidad de muchos circuitos lineales considerando laasociacion de resistencias en serie o en paralelo. Podemos incluso generalizarlo atodo tipo de impedancias (es decir tambien a los condensadores e inductancia).La impedancia equivalente de una asociacion en serie es sencillamente la sumade las impedancias:

Req =k

Rk (1.42)

Para una asociacion de componentes en paralelo podemos calcular a partir de lasreglas de Kirchhoff la resistencia equivalente como:

1/Req =k

1/Rk (1.43)

Es la suma de las admitencias, es decir el inverso de la impedancia equivalente esla suma de la inversa de las resistencias. Con estas dos reglas sencillas podemosreducir los circuitos a expresiones mas sencillas.

Este esquema es valido para resistencias y impedancias, la asociacion deimpedancias tambien sigue esta ley. Para los condensadores hay que hacer loscalculos de nuevo, la capacidad generada por dos condensadores en serie no es lasuma de las capacidades individuales. Se puede demostrar que para condensadoresasociados en serie:

1/Ceq=

1/Ck (1.44)Y para condensadores asociados en paralelo tenemos:

Ceq =

Ck (1.45)

Lo que es opuesto a la asociacion de resistencias.No tratamos aqu la asociacion de inductancias dado que en continuo no

tiene mucho sentido.

1.4.4. El teorema de TheveninLeon Charles Thevenin (30

mars 1857 en Meaux - 21septembre 1926 en Paris)Ingeniero Frances que des-cubrio el teorema que llevasu nombre estudiando las le-yes de Kirchhoff y las leyesde Ohm.

El teorema de Thevenin permite reducir cualquier circuito lineal a una simplefuente asociada a una resistencia. Se pueden efectuar sucesivas transformacioneshasta llegar a la forma de un generador asociado a una resistencia. El circuitovisto de desde dos puntos tiene un voltaje Vth y una resistencia Rth. La mejorforma de aplicar el teorema es coger un ejemplo como en la figura 1.17. Se puedeanalizar el circuito en dos pasos:


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R

Eth

th

A

B

R1

E1

R2

R

R3

4

B

A

Figura 1.17: Ilustracion del teorema de Thevenin. Consiste en transformar un circuitolineal visto desde dos puntos A y B en su equivalente de generador con una resistenciainterna.

Para calcular la resistencia de TheveninRth de cortocircuito las fuentes detensiones y de abren la fuentes de corrientes, se calcula de esta forma laresistencia equivalente entre los puntos A y B.

El voltaje de Thevenin Vth se obtiene midiendo el voltaje entre Ay B sincarga a la salida.

Podemos ejercer sucesivos calculos hasta llegar a la forma del generador de The-venin. Dejamos la sucesivas etapas del desarrollo como ejercicio. Se tienen que

usar las reglas de Kirchhoff para llevarlo a cabo. El resultado nos da:

Vth= R1R2E1

(R1R2+ R3+ R4)(R1+ R2) (1.46)

Rth= R1R2(R3+ R4)

(R1(R2+ R3+ R4) + R2(R3+ R4) (1.47)

1.4.5. El teorema de Norton

El teorema de Norton es el equivalente del teorema de Thevenin para unafuente de corriente. Cualquier red lineal se puede modelizar con una fuente de

corriente y una resistencia en equivalente en paralelo. Se puede pasar de una formade Thevenin a una forma de Norton con las siguientes formulas de equivalencia:

IN= VthRth

(1.48)

RN=Rth (1.49)


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Figura 1.18: Ilustracion del teorema de Norton

Con estas formulas podemos transformar circuitos lineales de forma sencilla,podemos reducir una red lineal a un simple generador asociado a su resistenciainterna. En la figura 1.18 ensenamos la relacion entre un generador de Norton yun generador de Thevenin.

1.5. Analisis de Transitorios

En los circuitos activos el establecimiento de regimen permanente pasa poruna fase llamada transitorio. En esta seccion daremos los ejemplo practicos mascomunes que consisten en la carga de un condensador y la magnetizacion deuna bobina. Estos dos ejemplos se encuentran con frecuencia en las maquinaselectricas y permite estimar la dinamica de ciertos sistemas.

El primer circuito que vamos a analizar es la asociacion de una resistencia conun condensador lo cual esta conectado a un generador de continuo. El circuito se

puede ver en la figura 1.19. No hemos hablado de dinamica en el condensador,para obtener la relacion existente entre la corriente que atraviesa un condensadorcon la tension en sus bornes tomamos primero la expresion de la carga:Q = C Vc.Si derivamos esta expresion frente al tiempo obtenemos la siguiente ecuacion:

dQ

dt =C

dVcdt

=I (1.50)


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1.5. Analisis de Transitorios 35

R

VcE

(a)

0 0,004 0,008 0,012t (s)

0

2

4

6

8

10

VC

(V)

(b)

Figura 1.19: Carga de un circuito RC. (a) Circuito RC con los parametros siguientes:

R = 1k, C = 1F y E=10V. (b) Voltaje del condensador cuando se conecta a lafuente.

Es decir que la corriente es la derivada de la tension en un condensador. Con esoya podemos estudiar el comportamiento dinamico de un condensador.

Se puede deducir facilmente la ecuacion diferencial del circuito de la figura1.19 aplicando las leyes de Kirchhoff:

ERI Vc= 0 (1.51)

ERCdVcdt Vc= 0 (1.52)

RCdVcdt

=E Vc (1.53)

Si consideramos el condensador descargado al inicio es decir Vc = 0 podemosdeducir directamente la expresion matematica de la carga del condensador:

Vc= E(1 et/RC) (1.54)

Llamamos la constante de integracion del condensador el valor = RC lo cualtiene unidad de tiempo y corresponde al tiempo de 63 % de la carga final. Pode-mos ver la evolucion temporal para una resistencia de 1Ky un condensador de1F conectados a una fuente de 10V en la figura 1.19. Tenemos dos conclusionesimportantes para el analisis de los circuitos en con condensadores:

1. La primera es que no hay discontinuidades de tension en un condensador,la derivada de la tension no puede ser infinita.


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2. La tension media sobre un periodo en regimen oscilatorio es nula. Esta

segunda ley tiene su importancia en regmenes de corriente alterna comoestudiaremos en la segunda parte.

La magnetizacion de una inductancia es tambien muy similar a la carga deun condensador para un circuito similar a la figura 1.19 con una inductancia envez del condensador. Podemos deducir facilmente la ecuacion diferencial corres-pondiente:

Ldi

dt=E/R (1.55)

y la corriente crece exponencialmente como:

i= E/R(1 et/RL) (1.56)lo cual es la misma dinamica que el caso del condensador pero con la intensidad.

En general muchos sistemas resultan de la combinacion de varios de estoselementos. La respuestas del sistema o los transitorios pueden ser regidos porecuaciones de segundo orden o mas. Estos transitorios pueden ser importantesen varios casos. Por ejemplo en un sistema del primer orden si se buscan unarespuesta rapida se tiende a reducir este tiempo de arranque. En sistemas delsegundo orden se hace generalmente un compromiso entre la velocidad y la forma

del transitorio. Pero esto sale del marco de esta introduccion.


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1.6. Resultados y formulas importantes 37

1.6. Resultados y formulas importantes

Ordenes de magnitud y formulas importantes

Ley de Ohm V =RI

Primera ley de Kirchhoff suma algebrica de las corrientes en un

nodo es nula:

kik = 0

Segunda ley de Kirchhoff la suma de las tensiones en una malla deun circuito es nula:

malla Vk

Teorema de Millman La tension en un punto del circui-to depende de todas las ranas: V =P

Vk/Rk+P

IkP1/Rk+

P1/Ri

Potencia activa P =V I

Asociacion de resistencias en serie Req =

Rk

Asociacion de resistencias en paralelo 1/Req =

1/Rk

Capacidad de un condensador de placas C=S/d

Inductancia de una bobina con nucleo L= S N20 /l0


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1.7. Ejercicios

1. Una resistencia que puede disipar como maximo 100 W se proyecta parafuncionar con una diferencia de potencial de 220 V, calculad:

a) Cuanto vale la resistencia y que intensidad circula por ella.

b) Que potencia disipa la resistencia si se alimenta a 125 V.

Respuesta: a) 484 y 0.45 A; 32.28 W

2. Una batera con una f.e.m. de 12 V tiene una diferencia de potencial en

sus extremos de 11.4 V cuando la intensidad subministrada a un motor esde 20 A. Calculad:

a) Cual es la resistencia interna de la batera.

b) Que potencia subministra.

c) De la potencia subministrada, cuanta se pierde dentro de la propiabatera.

d) Si en lugar de alimentar el motor, alimenta una resistencia de 2 oh-mios, Cual es la diferencia de potencial en bornes de la batera?

Respuesta: a) 0.03 b) 240 W; c) 12 W; d) 11.82 V

Figura del ejercicio 3

3. Encuentra la resistencia equivalente del circuito de la figura.Respuesta: 4.1


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1.7. Ejercicios 39


4. Demuestra que la resistencia equivalente entre los puntos A y B de la figu-ra es R. Que pasara si anadimos una resistencia R entre los puntos C y D?


5. En el circuito de la figura, la intensidad que circula por R1 vale 0.5 A,calculad:

a) La intensidad que circula por R2.

b) La diferencia de potencial entre A y B.

c) La resistencia equivalente entre A y B.

d) La intensidad que circula por R3 y la total del circuito.

Respuesta: a) 0.25 A; b) 15 V; c) 10 d) 1 A; e) 1.5 A


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1.7. Ejercicios 41

8. Que diferencia de tension aporta la fuente Ux para que la diferencia de

potencial entre los puntos A y B sea de 90 V? Resolver con las leyes deKirchhoff y despues con el teorema de Millman aplicado en el centro.Respuesta: a) 30V / -540 V]


9. En el circuito de la figura, calcula la intensidad que circula por la resistenciade 3.33 ohmios y la potencia que disipa.Respuesta: a) 1 A; b) 3.33 W


10. En el circuito de la figura, calcula la diferencia de potencial entre los ex-tremos de la resistencia de 15 ohmios.Respuesta: a) 15 V

11. Un condensador de 6F esta cargado inicialmente a 100 V. A continuacionse unen sus armaduras mediante una resistencia de 500 Calculad:


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a) Cual es la carga inicial del condensador?

b) Cual es la corriente inicial despues de conectar el condensador a laresistencia?

c) Cual es la constante de tiempo de este circuito?

d) Cual es la carga del condensador despues de 6 ms?

Respuesta: a) 6x10-4 C; b) 0.2 A; c) 3 ms; d) 8.1x10-5 C

12. Un condensador de 1.6 F, inicialmente descargado, se conecta en seriecon una resistencia de 10 k y una batera de 5.0 V. Calculad:

a) La carga en el condensador despues de un tiempo muy largo.b) Cuanto tarda el condensador en alcanzar el 99 %de su carga final.

Respuesta: a) 8x10-6 C; b) 0.074 s

13. Un condensador de 1 F se encuentra inicialmente descargado. Se carga acontinuacion durante 10 ms con una corriente constante de 1 mA. Cuales la tension en el condensador despues del proceso de carga?Respuesta: 10 V

Problemas sin la solucion:

1. Considera un circuito RC en serie con una resistencia R= 10 y un con-densador C= 1F. En el instante inicial se conecta a un generador de 10V. Si inicialmente el condensador estaba cargado, cual es la intensidad alcabo de 2ms?

2. Consideramos una fuente de tension con una resistencia interna r, conec-tamos esta fuente a una resistencia de valor R. Encontrar el valor de Roptimo para que la potencia disipada en la resistencia sea maxima.

3. Tenemos una fuente de corriente continua de 1 mA y queremos cargarun condensador de 10 F para tener 100V en sus bornes. Cuanto tiempotenemos que dejar conectado el condensado? Sabiendo que el voltaje maxi-mo del condensador es de 300V, al cabo de cuanto tiempo el condensadorpuede explotar? Cuanta energa esta almacenada en el condensador?


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1.7. Ejercicios 43

4. Conectamos un condensador1F a una fuente de tension continua de 10V.

Una vez cargado desconectamos el generador y asociamos al condensadorotro condensador descargado de 10F. Cual es la tension final del dispo-sitivo?


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Captulo 2

Circuitos de corriente alterna

En el dominio de la electrotecnia la mayora de las tensiones que se generanson alternas, es decir que varan de forma sinusoidal con el tiempo. Las funcionestrigonometricas son unas viejas conocidas en matematicas y existe un formalismoy herramientas muy potentes para manejarles. Estos formalismos matematicosson esenciales para el analisis de los circuitos.

El uso de corriente alterna a tardado algun tiempo antes de imponerse comoestandar en la industria. En los principios de la era industrial en estados uni-dos la compana electrica Edisson (fundada por el famoso inventor del mismo

nombre) apostaba por la corriente continua para la distribucion de energa. Sinembargo, el transporte de energa con este metodo se revelo ineficiente. La co-rriente alterna ofreca un mejor rendimiento para el transporte por la existenciade transformadores de tension. El desarrollo posterior de las maquinas asncronasy sncronas han establecido de una vez por todas el uso de la corriente alternaen las industrias. Sin embargo muchos aparatos domesticos funcionan con unacorriente continua, especialmente los componentes electronicos de baja tension.Existen numerosos transformadores de corriente alterna a continua y una granparte de la electronica de potencia se dedica a transformar la energa de unaforma a la otra.

La siguiente tabla recoge las principales ventajas y inconvenientes de la co-rriente alterna y continua:

En este capitulo presentamos las herramientas que permiten el estudio de loscircuitos de corriente alterna. Hablaremos de su generacion en captulos poste-riores.

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46 Captulo 2. Circuitos de corriente alterna

Tipo Ventajas DesventajasCorriente conti-

nua1. Distribucion con dos o un solo con-

ductor, utilizando la tierra comoconductor de retorno.

2. Mejor utilizacion de los aparatos,que pueden soportar una tensionmas elevada.

3. Control simple y flexible de las ma-quinas electricas.

4. Calculos mucho mas simples, al nodepender del tiempo.

5. Posibilidad de almacenamiento deesta energa en grandes cantidades.

6. Resulta cuatro veces menos peligro-sa que la corriente alterna.

1. Imposibilidad de empleo de transfor-madores, lo que dificulta el cambiode nivel de tension.

2. La interrupcion de corriente conti-nua presenta mas problemas que lade corriente alterna.

3. La circulacion de corriente continuapor tierra provoca corrosion galvani-ca en objetos enterrados.

Corriente alter-na monofasica

1. Distribucion con dos o un solo con-ductor.

2. Facilidad de interrupcion de la co-rriente.

3. Facilidad de transformacion paraadaptar el nivel de tension.

1. Un corriente monofasica no permitecrear un campo magnetico giratorio.

2. La potencia generada transportadaen regimen permanente no es cons-tante.

3. El par de una maquina rotativa no

es unidireccional.

4. La regulacion de maquinas rotativases dif cil.

5. La potencia AC monofasica es untercio la potencia AC trifasica.

Corriente alter-na trifasica.

1. Permite crear un campo magneticogiratorio

2. La potencia electrica generada otransportada en regimen permanen-te es constante.

3. Permite el empleo de la tension fase-fase o de la tension fase-neutro.

4. La potencia transportada represen-tada el triple de la transportada enmonofasico.

5. El uso de transformadores permi-te elevar la tension para realizar eltransporte a grandes distancias.

1. Distribucion con tres o mas conduc-tores.

2. La interrupcion de corriente requie-re tres interruptores (uno en cadafase).

3. La regulacion de velocidad de ma-quinas rotativas no es tan simple co-mo en las de corriente continua.

4. Mas peligrosa que la corriente con-tinua.

5. Mas dificultad a la hora de realizarcalculos.

Cuadro 2.1: Tabla resumiendo las ventajas y desventajas del uso de la corriente con-

tinua, alterna y alterna trifasica. Fuente: R. M. Mujal Rosas, Tecnologa Electrica,edicion UPC 2000.


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2.1. Caractersticas de la corriente alterna 47

2.1. Caractersticas de la corriente alterna

La corriente alterna tiene distintos parametros importantes. Primero es unafuncion periodica con una cierta frecuencia f0, hablamos tambien de pulsacion,o de frecuencia angular:

0= 2f0=2

T0(2.1)

conT0 el periodo de la onda. La representacion de esta onda se encuentra en lafigura 2.1. La expresion matematica mas sencilla es:

V(t) =A sin(0t + 0) (2.2)

Donde0

es la fase inicial de la onda y Asu amplitud, es decir el valor maximoque puede alcanzar. La fase de la precedente expresion se escribe como:

(t) =0t + 0 (2.3)

De forma general la frecuencia angular (o pulsacion) se define como:

=d

dt (2.4)

Se expresa en rad.s1, la frecuencia de la onda se relaciona con la frecuenciaangular como: f = /2 en Hz. Para terminar con los parametros temporales,definimos el periodo de un ciclo completo de la onda, es el tiempo que tarda el

fenomeno en repetirse:T =

1

f (2.5)

Como podemos ver en la figura 2.1 la senal sinusoidal puede representarse enel circulo unidad como la parte real de una senal compleja:

f(t) = {Aej(0t+0)} = {A(cos(0t + 0) +j sin(0t + 0))} (2.6)Esta notacion tiene ventajas para el calculo infinitesimal, por ejemplo cuando sederivan y se integran estas senales:

df(t)

dt =

d

dt{Aej(0t+0)

} = {Aj0ej(0t+0)

} (2.7)es decir que una derivacion temporal es equivalente a multiplicar la senal complejaporj0, de la misma manera podemos integrar la senal: t

f(x)dx=

t

{Aej(0x+0)}dx= { 1j0

Aej(0x+0) + K} (2.8)


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(a)

(b)

Figura 2.1: Representacion de una funcion sinusoidal con sus distintos parametros:periodoT0, amplitudA, fase inicial0. En la figura (b) presentamos un ejemplo deinterpretacion de la onda sinusoidal en el circulo unidad. En el dominio temporal, laposicion en el instantet1corresponde a un angulo en el circulo trigonometrico. Estafase es: = 0t1+ 0

lo que equivale a dividir por j0 la senal compleja. Como veremos con el trata-miento de circuitos de alterna estas operaciones en regimen harmonico simplificangrandemente los calculos de funciones de transferencia.

Otro parametro importante relativo a la amplitud de una onda periodica es laamplitud cuadratica media. Se define la amplitud cuadratica media de una onda


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2.2. Representacion de cantidades sinusoidales como fasores 49

como:

Veff= 1/T T0

V(t)2dt (2.9)

para una onda sinusoidal de amplitudVcomo expresado anteriormente tenemos:

Veff= V

2. (2.10)

2.2. Representacion de cantidades sinusoidalescomo fasores

Vimos justo antes que una senal periodica poda representarse como la partereal de una senal compleja. Esta notacion tiene ventajas cuando todas las senalesde un circuito oscilan con la misma frecuencia. En estas condiciones se puedeignorar la informacion de la frecuencia. Lo que nos interesa entonces en lascantidades sinusoidales son la amplitud y la fase inicial. Los fasores se han usadoen analisis de circuitos de desde el final del siglo XIX. El manejo de fasoressimplifica en muchos casos el calculo de funciones trigonometricas complicadas.Ademas existen herramientas de analisis en el dominio de los numeros complejosmuy eficientes.

En definitiva una senal sinusoidal se define con su amplitud, su fase y sufrecuencia:

f(t) =Acos(0t+ 0) (2.11)

Hemos visto anteriormente que se poda escribir como la parte real de un unnumero complejo:

f(t) = {Aej(0t+0)} = {Aej0ej0t} (2.12)

El fasor, va a definir la parte correspondiente a la amplitud A y a la fase 0. Elfasor se define con la amplitud compleja A:

A= Aej0 (2.13)

se guardan unicamente las informaciones de amplitud y de fase de la senal.El numero complejo A se llama un fasor, tiene un modulo y una direccion (unangulo). Esta notacion es unicamente valida cuando se tratan de senales alternas,


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es decir que solo podemos definir un fasor en el dominio armonico. Otra notacion

muy usada en electrotecnia es la siguiente:

A= A0 (2.14)

Para anotar el modulo y el angulo del fasor.1

Podemos destacar algunas propiedades importantes de los fasores, por ejem-plo permite sumar facilmente senales, suponemos la suma de las dos funcionessinusoidales siguientes:

f(t) =Acos(0t) (2.15)

g(t) =Bcos(0t +2

) (2.16)

con los fasores correspondientes:

A= A (2.17)

B =Bej2 (2.18)

La suma de los dos se escribe como:

C= A+ B= A + Bej2 =A0 + B

2

(2.19)

Podemos visualizar facilmente la suma en la figura 2.2 en la cual el fasor resultantees la suma de los vectores A y B. Para obtener una expresion analtica de estefasor conviene sumar las componentes complejas:

C=A+jB =

A2 + B2tan1 A/B (2.20)

Recordamos aqu que no se pueden sumar fasores de senales con frecuenciasdistintas.

Con los fasores el calculo de derivadas resulta simple. Como hemos visto

antes podemos definir facilmente las operaciones de derivacion y integracion deun fasor considerando la forma compleja f(t) = {Aej0ej0t}:

1En algunos libros de electrotecnia, la amplitud del fasor se define con el valor eficaz. Estaconvencion permite simplificar algunos calculos de potencia. Sin embargo esta convencion nose acuerda con la definicion de modulo y fase de un numero complejo. Para ser consistentecon esta notacion seguimos usandola en todo el documento.


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2.2. Representacion de cantidades sinusoidales como fasores 51

A

BA+B

Figura 2.2: Suma de dos fasores

ddt

A= Aj0ej0 =A00+ /2dt A= A 1

j0ej0 = A

00 /2

Otra forma de describir una senal periodica se hace usando las formulas deEuler:

f(t) =Asin(0t) =1

2(Aej(0t+0) + Aej(0t+0)) (2.21)

y por lo tanto:

f(t) =1

2(Aej0t + Aej0t) (2.22)

Cuando se trabaja con fasores un fasor importante es el fasor de referencia olo que llamamos tambien la referencia de fase. Una de las cantidades del circuitotiene que servir de referencia para todos los otros fasores del sistema. Se elige elmas de comodo para tratar los otros o bien el que nos interesa ser la referencia.Es importante definir este fasor al principio para poder dar una referencia a lasfases sin ambiguedad a continuacion.


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2.3. Resistencias, condensadores y inducciones

en corriente alterna

Hemos visto las caractersticas fsicas de los componentes pero solo hemosestudiado su comportamiento en regimen estatico, es decir cuando las tensionesy las corrientes eran constantes. Ahora vamos a estudiar como se comportan loscomponentes cuando una corriente alterna les atraviesa, el comportamiento va aser distinto segun el componente pero como veremos todos se van a modelizarcomo una impedancia compleja.

2.3.1. ResistenciasLa relacion entre tension y corriente en un resistencia es identica a la relacion

con tensiones continuas, es decir que la ley de Ohm se sigue cumpliendo. Larelacion tension corriente es lineal:

V =RI (2.23)

Este elemento no produce ningun desfase entre la tension y la corriente. Lapotencia es siempre real.

2.3.2. CondensadoresHemos visto en el primer capitulo como se comportaba el condensador en

regimen estatico, hemos deducido tambien las relaciones fundamentales del con-densador como por ejemplo la relacion entre la carga y la diferencia de potencial.Por otro lado, la relacion entre tension y corriente en un condensador se puedecalcular facilmente a partir de la relacion entre la carga y la tension aplicada alcondensador:

Q= C V (2.24)

Para tener el comportamiento dinamico de la carga podemos tomar las variacio-

nes temporales de la carga. As, una variacion de carga en el condensador provocauna corriente:

dQ

dt =I=C

dV

dt (2.25)

Esta formula traduce el hecho de que la corriente que atraviesa un condensadores la derivada de la tension entre sus polos. Una consecuencia interesante es que


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integrador de corriente:

V(t) = 1C

t

I(x)dx (2.26)

cuando la corriente que atraviesa el condensador es alterna de pulsacion 0 po-demos representar la tension y la intensidad por sus respectivos fasores:

I=I ej0 (2.27)

V = 1

jC 0Iej0 =

1

C0Iej(0

2) =

1

C0I0

2 (2.28)

Al integrar la corriente en el condensador, el fasor de tension correspondiente se

divide entre j0. Al nivel de fasores el condensador provoca un desfase de /2radianes entre la tension y la corriente, este desfase se puede observar en la figura2.3. Se dice que la tension va detras de la corriente.

Tiene consecuencias importante al nivel de potencia. La potencia del conden-sador es totalmente reactiva como veremos mas adelante. Podemos considerarde esta forma los condensadores como una resistencia compleja. La impedanciaen regimen harmonico se define como:

ZC= 1

j0C (2.29)

La reactancia del condensador se define como:

XC= 1

0C (2.30)

Tenemos entonces:

ZC= jXC (2.31)Insistimos en que esta impedancia es unicamente valida en regimen armonico.

En otros casos tenemos que volver a las ecuaciones diferenciales o bien usar otrosformalismos.

Ejemplo Tenemos el circuito de la figura 2.4 alimentado por una fuente decorriente alterna de frecuencia f= 150Hz. Expresar la corriente y la tension Vcdel condensador en forma de fasores. Datos del problema: R= 1k, C= 1F,V0= 100 V yf= 150Hz.


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Podemos ahora dibujar el diagrama de fasores as como la series temporales de

cada senal. Tomamos como referencia de fase la tension V0. La figura 2.5

2.3.3. Inductancias

Al igual que el condensador, hemos estudiado las propiedades estaticas de lasbobinas, es decir el comportamiento en corriente continua. Ahora estudiamos laspeculiaridades de las bobinas cuando se les alimentan con una tension electricaalterna.

La relacion entre la corriente y la tension en una inductancia se deduce apartir del campo magnetico en la bobina, hemos visto anteriormente que esta seexpresa como:

B0 = N0/l0I (2.36)

El flujo en la bobina se expresa entonces facilmente multiplicando por la superficiede una espira y por el numero de espiras:

=SN20/l0I (2.37)

con S la superficie de la bobina y N0 la densidad de espira por metro de labobina yl0su longitud. El coeficienteva a depender esencialmente del materialferromagnetico que se introduce dentro de la bobina. Al tener una corrientealterna en la bobina, el flujo creado auto-induce una fuerza contra-electromotrizque se opone a la causa que le ha dado lugar (ley de Lenz). Esta fuerza contraelectromotriz se expresa con la ley de induccion de Faraday (ver el anexo B paramas informacion sobre la ley de Faraday):

E= ddt

(2.38)

Cuando la inductancia esta conectada a una fuente de corriente alterna la fuerzacontra-electromotriz iguala la tension de la fuente. En la figura 2.6 podemosescribir ver que la tension VL iguala la tension de la fuente V por lo que latensionVL es igual a la fuerza contra-electromotriz:

VL=

d

dt =SN

2

0/l0

dI

dt =L

dI

dt (2.39)La inductancia de la bobina L se expresa en funcion de los parametros de la bobinaL = SN20/l0. Si la corriente es alterna de pulsacion 0 entonces podemosescribir sencillamente con las amplitudes complejas:

VL= Lj0Iej0 =L0I0+

2 (2.40)


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2.3. Resistencias, condensadores y inducciones en corriente alterna 57

i

VL

V

Figura 2.6: Inductancia conectada a una fuente de corriente alterna.

Podemos definir entonces la impedancia compleja de la inductancia como:

ZL= Lj0 (2.41)

La inductancia se comporta como una resistencia de valor complejo. Po-demos ver la relacion entre la tension y la corriente en la figura 2.7 donde latension adelanta la corriente. Aqu tambien tenemos una potencia compleja para

la inductancia como lo demostraremos mas adelante.

Ejemplo Tenemos el circuito de la figura 2.8 con una resistencia en serie conuna inductancia alimentado por una fuente de corriente alterna de frecuenciaf = 1000Hz. Expresar la corriente y la tension VL del condensador en formade fasores. Datos del problema: R = 100, L = 10mH, V0 = 100 V y f =1000Hz.

Solucion Para obtenerVL conviene primero calcular la corriente Ique circulaen el circuito. Aplicando la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff en el circuito

obtenemos una relacion entre las tensiones y la corriente:

V0 RIVL (2.42)Tenemos la ley de Ohm para la inductancia:

VL=jLI (2.43)


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0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1

t (s)

Amplitud(arb)

TensionCorriente

(a)

I

Re

Im

V

(b)

Figura 2.7:Representacion de la corriente y de la tension en una inductancia alimentadoen corriente alterna. (a) En esta figura tenemos la corriente detras de la tension conun desfase de/2. (b) Tenemos aqu los fasores correspondientes a la corriente y latension en una inductancia pura. Si elegimos como referencia de fase la corriente, latension estara orientada hacia arriba debido a la relacion:V =jL0.

con= 2f. Despejamos la corriente a partir de las dos ecuaciones anteriores:

I=V0

R+jL=

10

100 +j21000 10 103)= 8,4 10332,1oA (2.44)

La tensionVL tiene entonces la siguiente expresion:

VL=j LI= 62,8 8,4 10332,1 + 90o = 5,357,9oV (2.45)


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Figura 2.8: Circuito del ejemplo 2.3.3

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

Corriente(A)

I

0 0,001 0,002t (s)

-10

-5

0

5

10

Tension(V)

V0

VL

VR

Figura 2.9: Diagrama de fasores y senales temporales del ejemplo 2.3.3.

Podemos ahora dibujar el diagrama de fasores tal como representado en lafigura 2.9. Como podemos constatarlo en el diagrama de fasores la corriente vienedetras de la tension en el tiempo, esta en atraso. Este fenomeno es caracteristicode los circuitos inductivos.

2.3.4. Orden de fasores y representacion temporal

Describimos aqu brevemente como determinar si una tension esta en atrasoo en adelante frente a otra tension o corriente. Para empezar nos fijamos en eldiagrama fasorial del sistema. Primero dibujamos los dos fasores que nos interesanen el plano complejo. Por ejemplo podemos tomar el diagrama de fasores de uncondensador y representamos con tension como referencia de fase. La corrientese expresa:

Ic=j0CVc (2.46)

Representamos estos dos fasores en la figura 2.10 (a) e imaginamos que estos


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(a)

(b)

Figura 2.10: Determinacion del sentido de dos cantidades de sinusoidales. Para deter-

minar el sentido de las tensiones en el tiempo, nos fijamos por ejemplo en el eje real delplano complejo y colocamos nuestro ojo. los vectores al girar pasan delante de nuestroojo. Si la corriente en azul pasa primero entonces esta en adelanto sobre la tension.Podemos verlo de otra forma en la representacion temporal de las formas de onda. Lacorriente cruza el eje cero subiendo en el tiempot1 y la tension en el tiempot2. Sit1 es inferior a t2 entonces la corriente adelanta la tension.

dos fasores van girando a una velocidad de0radianes por segundos en el sentidodirecto. En el dominio temporal las tensiones correspondientes pueden ver se en

la grafica 2.10 (b). Para determinar el orden de las tensiones en el tiempo, nosfijamos por ejemplo en el eje real del plano complejo donde colocamos nuestroojo. los vectores al girar pasan delante de nuestro ojo. Si la corriente en azulpasa primero entonces esta en adelantosobre la tension. Podemos verlo de otraforma en la representacion temporal de las formas de onda. La corriente cruzael eje temporal subiendo en el tiempo t1 y la tension en el tiempo t2. Si t1 es


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Vi Z

Figura 2.11:En esta figura representamos un circuito con una impedancia Z compleja,representada por su modulo y su fase.

inferior at2entonces la corriente adelanta la tension. Tambien podemos decir quela tension esta en atraso comparando con la corriente. Ampliamos esta nociona cualquier tipo de fasores.

2.3.5. Ley general de Ohm

La ley de Ohm se generaliza de forma muy comoda en circuitos de corrientesalterna, la ley de Ohm para cualquier impedancia se escribe como:

V =Z I (2.47)

Con Z la impedancia compleja dependiente del componente en cuestion. Si setrata de una resistencia, la impedancia sera real. Para los condensadores y lasinductancias la impedancia sera una impedancia compleja. Se puede generalizartodava mas a esta ley de Ohm considerando que cualquier circuito formado decomponentes lineales se pueden considerar como una sola resistencia complejaZ formada por los elementos. En la figura 2.11 tenemos la representacion de talcircuito donde Z puede representar cualquier circuito.

2.3.6. Diagrama de fasores de un circuito

El diagrama de fasores de un circuito es una herramienta util para visualizarlas relaciones entre la distintas tensiones y fasores. Para construir el diagrama defasores, primero hay que elegir un fasor de referencia. Los fasores relacionadosse van sumando sobre el fasor precedente. Sin embargo es necesario calcular laexpresion de los fasores.


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(a)

(b)

Figura 2.12: (b) Ejemplos de diagrama fasores del circuito de la figura (a).

Como ejemplo de aplicacion vamos a construir el diagrama de fasores de lafigura 2.12. La expresion de la corriente de esta figura es:

I= VR+jL + 1/(jC )

(2.48)

Cogemos como referencia de fase la tension V y tiene la siguiente expresion:V =|V|0 V. Para dibujar nuestro diagrama cogemos unos valores numericos:|V| = 110V,C= 50F,R= 100,L = 100mH, f=50Hz. Tenemos la expresionde I:

I= 0,99 +j0,32 = 1,0417A (2.49)

En el diagrama se dibuja primero V y luego el fasor de I, aqu no importa la

escala sino el angulo. Podemos construir por ejemplo el vector V sumandoVR,VLyVC. El fasor sera paralelo al fasor Icon un modulo de 94 V. Se repite el mismoproceso con VL y VCEl resultado de esta suma se puede observar en la figura2.12 (b).

El diagram de fasores puede ser tambien una herramienta de calulo muy util.Podemos determinar las cantidades de forma geometrica.


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2.4. Potencia en sistemas de corriente alterna 63

2.4. Potencia en sistemas de corriente alterna

Uno de las nociones mas importantes de la electrotecnia es la de potencia.El entendimiento de las consecuencias de una potencia oscilante en el tiempo esfundamental para las aplicaciones practicas. En concreto, la aparicion de desfasesentre la corriente y la tension origina potencias con una parte negativa. Es decirque la potencia va a viajar de la fuente hacia la carga y de la carga hacia lafuente. Siendo la potencia en este caso una cantidad oscilante, vamos a poderrepresentarla tambien en forma de fasores con una parte real y una parte compleja.Primero vamos a tratar el fenomeno en el dominio temporal.

Estudiamos un caso concreto de potencia en un sistema de corriente alternacon una tension y su corriente desfasada de con respeto a la tension. En generalcuando en un componente tenemos la tension y la corriente expresadas como:

V(t) = {Vmej(0t)} = Vm2{ej0t + ej0t} (2.50)

I(t) = {Imej(0ti)} = Im2{ej(0ti) + ej(0ti)} (2.51)

conVm e Im las corrientes maximas. Si queremos expresar las en funcion de lastensiones y corrientes eficaces pondremos Vm =

2Vf. La potencia instantanea

se calcula multiplicando el voltaje y la intensidad:

p(t) =V(t)I(t) =Vm

2{ej0t + ej0t

}Im

2{ej(0ti) + ej(0ti)

} (2.52)

p(t) =VmIm

2 {cos(i) + cos(20t i)} (2.53)

Podemos observa en esta ultima ecuacion que la potencia se expresa como unacomponente continua mas una componente oscilante que tiene el doble de fre-cuencia. Podemos seguir los calculos hasta obtener dos componentes:

p(t) =VmIm

2 {cos(i)(1 + cos(20t)) + sin(i) sin(20t)} (2.54)

Si examinamos en detalle esta expresion notamos dos terminos importante. Elprimer termino dependiendo de cos(i) tiene una media temporal constante y

oscila en el tiempo. Es la parte de la potencia real o potencia media del sistemaestudiado. Esta potencia pulsa en el tiempo pero tiene una componente mediaigualVmImcos(i)/2. Ademas, esta componente esta en fase con la tension dealimentacion. Se define la potencia real como:

P =VmIm

2 cos() (2.55)


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Q

P

S

Figura 2.13: Potencia activa y reactiva de un circuito. Esta figura se llama triangulode potencia, se puede apreciar la importancia re

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