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APUNTES

HISTORIA

MATEMTICAS Volumen I Universidad de Sonora MXICO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS TALLER EDITORIAL

Apuntes de Historia de las Matemticas

Volumen 1, Nmero 1. Enero 2002.

UNIVERSIDAD DE SONORA DIVISIN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Hermosillo, Sonora, Mxico.

Apuntes de Historia de las Matemticas

Apuntes de Historia de las Matemticas es una publicacin cuatrimestral cuyo fin es generar material en espaol sobre la Historia de las Matemticas y ponerlo al alcance de estudiantes, profesores y pblico en general. Su fuente principal es el Seminario de Historia de las Matemticas que se viene desarrollando en este Departamento desde septiembre de 1999, con dos conferencias semanales durante los semestres lectivos. Sin embargo, la publicacin est abierta a todos los interesados, a quienes se invita a ponerse en contacto con el editor de esta serie, a la direccin electrnica siguiente:

[email protected] Los trabajos debern escribirse en Word, en tipo Times New Roman de 12 puntos, en hoja tamao carta, a rengln sencillo, en una sola columna, con los mrgenes usuales del procesador: Izquierdo 3.0 cm, derecho 3.0 cm, superior 2.5 cm e inferior 2.5 cm. El ttulo se escribir con maysculas, centrado y con el tipo Times New Roman en tamao 16. Los subttulos irn en maysculas, con el mismo tipo, pero en tamao 12, justificados a la izquierda. Ttulo y subttulos irn en negritas. Inmediatamente debajo del ttulo aparecer el nombre del autor, en itlicas y negritas, justificado a la derecha. Los datos del autor se entregarn por separado para ubicarlos en otro lugar de la publicacin. Las pginas se numerarn abajo y al centro del texto, en tamao 12.

El texto estar justificado en ambos mrgenes. Cada prrafo iniciar sin sangra, pero despus de cada punto y aparte deber dejarse un rengln libre. Antes de cada subttulo debern dejarse dos renglones libres, y uno despus. La extensin mnima ser de seis cuartillas, y la mxima de catorce. Al final se incluirn las referencias, iniciando con los apellidos de los autores en negritas, colocados en orden alfabtico. Enseguida del nombre del autor o autores, se colocar entre parntesis el ao de publicacin, luego el nombre del artculo, libro o publicacin en itlicas, y finalmente los datos de edicin del libro o revista, o la direccin electrnica. El trabajo se entregar impreso y en disco de 3.5 pulgadas. Ambas versiones incluirn las ilustraciones, tal como debieran aparecer en la versin final.

Apuntes de Historia de las Matemticas Consejo Editorial

Marco Antonio Valencia Arvizu Coordinador Editorial

Guillermo Dvila Rascn Francisco C. Garca Durn Martha Guzmn Partida Eduardo Tellechea Armenta

Oscar Vega Amaya

Correspondencia: Apuntes de Historia de las Matemticas Departamento de Matemticas, Universidad de Sonora.

Boulevard Luis Encinas y Rosales. Hermosillo, Sonora, Mxico. C.P. 83000

Directorio

Universidad de Sonora

M.C. Pedro Ortega Romero Rector

Dr. Enrique Fernando Velzquez Contreras Secretario General Acadmico

Dr. Daniel Carlos Gutirrez Rohan Vicerrector Unidad Regional Centro

M.C. Carlos Alberto Robles Corbal Director de la Divisin de Ciencias Exactas y Naturales

M.O. Israel Segundo Caballero Jefe del Departamento de Matemticas

Dr. Jess Adolfo Minjrez Sosa Coordinador de la Licenciatura en Matemticas

M.C. Agustn Grijalva Monteverde Coordinador de la Maestra en Matemtica Educativa

M.C. Pedro Flores Prez Coordinador de la Licenciatura en Ciencias de la Computacin

Este nmero termin de imprimirse en diciembre del 2001,

en el taller editorial del Departamento de Matemticas. Portada impresa en los Talleres Grficos de la Universidad de Sonora.

Diseo de portada: Taller de Diseo y Serigrafa. Edicin a cargo de Marco Antonio Valencia Arvizu

Asistente editorial: Yadira Jimnez Ramos Tiraje: 300 ejemplares

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002.

C O N T E N I D O

Colaboradores de este nmero .................... 02

Presentacin .................................................. 03 Las Matemticas en el Antiguo Egipto

Lina Morales Peral ................................. 05

Tales de Mileto Jos Luis Daz Gmez ........................... 13

Apolonio, el Gemetra de la Antigedad Francisco Javier Tapia Moreno .............. 19 La Geometra Analtica de Descartes,

Fermat: Y Apolonio? Vctor Manuel Hernndez Lizrraga ...... 32 El Nacimiento del Clculo Martha Cristina Villalba y Gutirrez ....... 46 Surgimiento de la Teora Matemtica

de la Probabilidad Oscar Vega Amaya ................................ 54

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS, UNIVERSIDAD DE SONORA. HERMOSILLO, SONORA, MXICO.

COLABORADORES DE ESTE NMERO

Jos Luis Daz Gmez es profesor Titular B del Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora. Obtuvo su Licenciatura en Matemticas en la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora (1979), la Maestra en Matemtica Educativa en el CINVESTAV DEL IPN (1988) y es Doctor en Matemtica Educativa por la Universidad Autnoma del Estado de Morelos (2001); su trabajo de tesis se titula Diseo y Construccin del Sistema Tutorial Inteligente Funcin(x). Vctor Manuel Hernndez Lizrraga ha sido profesor en diversas instituciones desde 1973 y actualmente ocupa una plaza de Maestro de Tiempo Completo, Asociado C, en el Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora. Es egresado de la Licenciatura en Enseanza de las Matemticas del Programa Nacional de Formacin y Actualizacin de Profesores de Matemticas (1989) y de la Maestra en Matemtica Educativa de la Universidad de Sonora (1994), con cuyas actividades colabora. Lina Morales Peral es egresada de la licenciatura en Matemticas de la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora (1987). De 1995 a 1998 alcanz la pasanta de la Maestra en Matemtica Educativa en el propio Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora, y se encuentra elaborando su tesis de grado. Ejerce la docencia desde 1984 y actualmente es profesora Asociada de nivel C. Usualmente atiende los cursos de lgebra Lineal y Clculo de Varias Variables. Francisco Javier Tapia Moreno es profesor de tiempo completo, Asociado D, del Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora; su Licenciatura en Matemticas la obtuvo en la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora, generacin 1977-1981. De 1994 a 1997 curs los estudios y obtuvo el grado de Maestro en Optimizacin de Sistemas Productivos, en el Instituto Tecnolgico de Sonora, en Ciudad Obregn, Sonora. Oscar Vega Amaya estudi la Licenciatura en Matemticas en la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora de 1980 a 1985; de 1987 a 1990 curs la Maestra en Matemticas en la Universidad Autnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, y de 1994 a 1998, el Doctorado en Matemticas en esta misma institucin. Su trabajo de tesis fue en el rea de Control de Procesos de Markov. Es profesor del Departamento de Matemticas desde 1985, y actualmente tiene la categora de Titular, nivel A. Martha Cristina Villalba y Gutirrez curs la especialidad de Matemticas en la Escuela Normal Superior Nueva Galicia, en Guadalajara, Jalisco, de 1974 a 1979. Dentro del Programa Nacional de Formacin y Actualizacin de Profesores de Matemticas, obtuvo la licenciatura en Enseanza de las Matemticas en 1989, y en 1994 el grado de Maestra en Ciencias con especialidad en Matemtica Educativa, en el departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora. Ejerce la docencia desde 1973 y es actualmente Maestra de Tiempo Completo del Departamento de Matemticas, con nivel de Asociada D, donde colabora en el nivel de licenciatura y en el Programa de Maestra en Matemtica Educativa.

P R E S E N T A C I N La Historia de las Matemticas, adems de ser muy interesante, es una disciplina que permite asomarse a las ideas que fueron motivando la construccin esa gran estructura que es hoy la matemtica moderna y conocer las dificultades de toda ndole que fue necesario superar para llegar a su estado actual. Conocer a los hombres de carne y hueso que la fueron construyendo, saber de sus ideales y pasiones, de sus destellos geniales, de sus esfuerzos persistentes y a veces hasta heroicos, nos permite situar a las matemticas en una dimensin menos abstracta y ms humana. Tambin nos permite ubicar los descubrimientos matemticos como resultado de procesos y entornos que motivaron y sirvieron de base para que los individuos pudieran hacer sus aportaciones, pues, como deca Miguel de Unamuno, el genio es producto del hombre y de su circunstancia. Por lo que respecta al desarrollo de las ideas y conceptos, la historia, a diferencia de los libros de texto y los artculos de investigacin, nos permite seguir el camino, a veces intrincado y errtico, que hubo que recorrer para llegar a un resultado que ahora puede parecernos elemental y, posiblemente, hasta obvio. La creatividad y la imaginacin se ven ms estimuladas con el seguimiento del proceso real, que con la presentacin lgicamente ordenada que, a posteriori, lleva al resultado por la va ms corta posible. Estudiando la historia de las matemticas y observando la manera como se formaron la mayor parte de los grandes matemticos, se aprecia tambin la importancia de estudiar directamente a los clsicos, remontarse a las fuentes, a las exposiciones de los grandes pensadores, prdigas de ideas y, a la vez, bien cimentadas en razonamientos profundos. Tomando en cuenta estos conceptos y buscando construir un foro que pudiera servir de punto de confluencia, en un aglutinador de intereses matemticos, en un buen pretexto para comentar diversos tpicos de matemticas en nuestra ya crecida y heterognea comunidad, y sobre todo que fuera til a estudiantes y profesores del Departamento de Matemticas de la Universidad de

Sonora, en septiembre de 1999 iniciaron los trabajos del Seminario de Historia de las Matemticas.

En los primeros cuatro semestres del Seminario se impartieron 118 conferencias y en el semestre que est por concluir se impartirn 30 ms. Estas charlas han abordado el desarrollo histrico de diversos temas de las Matemticas, as como las biografas de un buen nmero de los personajes que han contribuido a su avance, desde la antigedad hasta nuestros das. Con algunos de los materiales surgidos de estas plticas, estamos iniciando la

publicacin de estos Apuntes de Historia de las Matemticas, con la intencin de que aparezcan tres veces por ao, en los meses de enero, mayo y septiembre.

Independientemente de su origen y fuente primaria de artculos, estos

Apuntes estn abiertos a la colaboracin de todas las personas interesadas en difundir sus trabajos sobre la Historia de las Matemticas; las indicaciones generales para proponer trabajos para su publicacin, se encuentran en el interior de la portada de este ejemplar. Como lo sugiere su nombre, esta revista es primordialmente de divulgacin y por lo tanto no est dirigida a especialistas ni est escrita por especialistas en Historia de los Matemticas; en consecuencia, si se somete para publicacin algn trabajo de investigacin, su redaccin deber hacerlo accesible a un pblico amplio.

En este nmero inicial, se presentan seis artculos surgidos de exposiciones

realizadas en el Seminario de Historia de las Matemticas durante el segundo semestre de 1999; los tres primeros se ubican en la antigedad y los otros tres en los inicios de la edad moderna. En el primero de ellos, Lina Morales Peral nos habla de Las Matemticas en el Antiguo Egipto a partir de los escritos de esa cultura milenaria que han llegado hasta nuestros das. Despus Jos Luis Daz Gmez nos platica sobre la vida y obra del legendario Tales de Mileto, primer matemtico y tambin primer filsofo conocido. Enseguida Francisco Javier Tapia Moreno nos da una idea del trabajo de Apolonio: El Gemetra de la Antigedad, destacando los grandes alcances de sus ideas innovadoras. La obra de Apolonio es luego ligada por Vctor Manuel Hernndez Lizrraga al nacimiento de la geometra analtica por medio de La Geometra Analtica de Descartes, Fermat: Y Apolonio? Luego, Martha Cristina Villalba y Gutirrez nos narra cmo se dio El Nacimiento del Clculo, esa utilsima herramienta matemtica para representar el cambio y la suma de cantidades continuamente cambiantes; finalmente Oscar Vega Amaya aborda el Inicio de la Teora Matemtica de la Probabilidad, que abri una nueva rama de las matemticas y permiti todo un mundo de nuevas aplicaciones.

Esperamos que disfruten la lectura de estos artculos.

Hermosillo, Sonora, Mxico; a 26 de noviembre del 2001. EL EDITOR,

Marco Antonio Valencia Arvizu

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002

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LAS MATEMTICAS EN EL ANTIGUO EGIPTO Lina Morales Peral

INTRODUCCIN

En la Historia de las Matemticas pueden distinguirse perodos aislados, diferenciados uno

del otro por una serie de particularidades caractersticas. Podemos preguntar: En qu

momento termina la Edad de Piedra y comienza la Edad de los Metales? Es sta una

pregunta cuyas diversas respuestas estn ligadas con ms frecuencia a preocupaciones de

tipo geogrfico, cultural y econmico. Parece cierto que el Neoltico se prolonga ms en

Europa y termina antes en algunas zonas de Asia y frica.

Si convenimos en hacer coincidir el nacimiento de las civilizaciones antiguas con el

advenimiento de la Edad de los Metales, las primeras sociedades organizadas se formaron

en las orillas de los grandes ros, como el Nilo, el Eufrates, el Tigris y los principales ros

de la India y de China.

La periodizacin es necesaria para poder orientarse con mayor facilidad en toda la riqueza

de hechos que presenta el desarrollo histrico de las matemticas. Sin embargo, el papel de

tales periodizaciones es puramente auxiliar y se determina por las necesidades del objetivo

fundamental: el descubrimiento de lneas objetivas del desarrollo de las matemticas.

El proceso de formacin de los conceptos matemticos y de los procedimientos regulares

de solucin de determinadas clases de problemas elementales abarcan un gran intervalo de

tiempo. Su comienzo probablemente data de tiempos remotos, cuando el hombre pas a

utilizar instrumentos para la obtencin de medios de subsistencia y, posteriormente, al

intercambio de los productos de su trabajo. Este perodo concluye con el surgimiento de

formas cualitativamente nuevas del pensamiento matemtico, esto es, cuando el conjunto

de estos conceptos y mtodos y su contenido se hicieron lo suficientemente ricos para

constituir sistemas lgicamente relacionados, es decir, formas primarias de teoras

matemticas.

Los testimonios materiales, por los que puede estudiarse este perodo, el ms antiguo en la

historia de las matemticas, son escasos e incompletos. El balance cronolgico de las

civilizaciones de los valles del Indo y del Changijiang (Yangts) - ros que nacen en el

Tbet y se dirigen respectivamente hacia el norte de la India y hacia el este de China se apoya en crnicas cuya veracidad se pone en duda con frecuencia. Por el contrario, las

informaciones procedentes de los habitantes del valle del Nilo y del Creciente Frtil ofrecen, en las fuentes recogida hasta ahora, una mayor objetividad y una interpretacin

ms acertada de las actividades matemticas de estos pueblos.

Las formas y vas del desarrollo de los conocimientos matemticos en los diferentes

pueblos son muy diversas; sin embargo, el comn para todos los pueblos es que todos los


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conceptos bsicos de las matemticas: nmero, figura, rea, prolongacin infinita de la serie natural, etc., surgieron de la prctica y atravesaron un largo perodo de

perfeccionamiento.

ORIGEN

La civilizacin babilnica engloba un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia en

un perodo que comienza hacia el 5000 a. de C. y termina en los primeros tiempos del

cristianismo. Uno despus de otro, estos pueblos sumerios, acadios, caldeos, asirios, babilonios y otros contribuyeron a establecer las caractersticas de la civilizacin babilnica. Ms exactamente, la ciudad de Babilonia fue el centro cultural del Creciente Frtil entre los aos 2000 y 550 a. de C.

La civilizacin egipcia naci probablemente de un gran nmero de pequeas comunidades

urbanas y rurales que se unieron progresivamente en dos reinos, el Alto y el Bajo Egipto.

Egipto fue considerado durante mucho tiempo, debido al clima muy seco de la regin y al

culto que los egipcios profesaban a sus muertos, como el campo por excelencia de las

excavaciones histricas. Por esto, Egipto est lleno de construcciones de todo tipo (templos,

pirmides, obeliscos, etc.) y contienen numerosos papiros y objetos que el clima favorable

ha conservado muy bien.

FUENTES

El conocimiento actual de las matemticas babilnicas procede de excavaciones

arqueolgicas emprendidas a mediados del siglo XIX, en las cuales se recogieron casi

medio milln de tablillas de arcilla, de las cuales ms de 300 conciernen al mbito

matemtico, esencialmente. Cada tablilla de arcilla, impresa con escritura cuneiforme, tena

que ser cocida, por lo que estos documentos se conservan en bastante buen estado. Sin

embargo, hubo que esperar para apreciar verdaderamente los conocimientos matemticos

contenidos en estos documentos debido a las dificultades encontradas para descifrar estos

textos de escritura cuneiforme.

Entre estas tablillas de arcilla encontramos textos matemticos procedentes del ltimo

perodo sumerio (hacia el ao 2100 a. de C.); un nmero mayor de ellos pertenece a la

primera dinasta babilnica (poca del rey Hammurabi), y por ltimo, muchos de ellos

pueden situarse entre el ao 600 a. de C. y el 300 d. de C. Los textos matemticos contienen

esencialmente series de nmeros, relaciones geomtricas y listas de problemas. En

particular, las tablillas contienen multiplicaciones, nmeros y sus inversos, cuadrados y

cubos, y tambin algunas relaciones numricas en trminos de exponentes. El contenido

matemtico revelado por estos textos es suficientemente variado.

Mientras tanto, a los escritos egipcios les ha ido mejor que a los babilnicos en este

aspecto. Fue la expedicin de Napolen a Egipto la que confiri el impulso suficiente al

estudio cientfico de la civilizacin egipcia; fueron soldados franceses los que llevaron a

cabo el ms importante de los descubrimientos: excavando cerca de Rosetta, al este de


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Alejandra, extrajeron una piedra de basalto en la que haba una inscripcin en tres lenguas:

griego, demtico y jeroglfico. La piedra de Rosetta revelaba a los investigadores la

traduccin griega de un texto en escritura jeroglfica y en la vieja escritura popular egipcia

(demtico). Se tena la llave para descifrar los jeroglficos, pero cmo haba que utilizarla?

Esto se pudo lograr gracias al trabajo constante y minucioso.

Afortunadamente, el clima seco de Egipto favoreci la conservacin de algunos papiros.

Los principales documentos con que se cuenta en la actualidad son:

1) El papiro de Rhind. Escrito por el escriba Ahmes hacia el ao 1650 a. de C. y exhumado en Tebas en 1855, es un rollo de papiro comprado en 1858 por Henry Rhind

y conservado en el Museo Britnico de Londres que constituye una fuente importante

de la que obtenemos el conjunto de conocimientos matemticos egipcios. Contiene 85

problemas, redactados en escritura hiertica. Este texto, segn Ahmes, es una copia de

un texto ms antiguo (2000-1800), algunos de cuyos elementos proceden quiz de

perodos ms antiguos. Para su resolucin se realizan operaciones con fracciones, se

utiliza geometra (rea del rectngulo, tringulo, trapecio, crculo), clculo de

dimensiones y volmenes de pirmide. Las cinco partes del manual de Ahmes se

refieren respectivamente a la aritmtica, la estereometra, la geometra, el clculo de

pirmides y varios problemas prcticos.

2) El papiro de Mosc. Rollo de papiro comprado en Egipto en 1893 y conservado en el museo de artes de Mosc, fue escrito hacia el ao 1850 a. de C. por un escriba

desconocido. Contiene 25 problemas relacionados con la vida prctica y se parece al de

Rhind, salvo en dos problemas de particular significacin. El papiro de Mosc es, junto

con el de Rhind, una de las principales fuentes de informacin de la matemtica egipcia.

3) El rollo de cuero de las matemticas egipcias. Rollo de cuero comprado con el papiro Rhind y conservado en el Museo Britnico desde 1864. En 1927 se consigui, no sin

dificultad, desenrollar este documento de cuero y encontrar en l una coleccin, por

duplicado, de 26 sumas escritas en forma de fracciones unitarias, esto es, fracciones con

numeradores unitarios. Todo parece indicar que este rollo era una copia de un manual

que serva de gua prctica para un futuro trabajo, lo cual arroja mucha luz sobre el

aspecto mecnico contenido en las principales fuentes de las matemticas egipcias, de

la aritmtica, adems de proporcionar una justificacin de la supuesta existencia de

tablas tpicas de fracciones.

4) Los papiros de Kahun, Berln, Reisner, Akhmn, y algunos otros completan, en algunos puntos particulares, los conocimientos matemticos que se derivan de los tres

anteriores.

La escritura jeroglfica aparece, en general, en tumbas, monumentos y piedras, mientras que

la escritura hiertica (de forma cursiva) predomina en los papiros.


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Papiro de Rhind (Museo Britnico)

SISTEMAS DE NUMERACIN

Realmente no puede hablarse de un nico sistema de numeracin ya que, de hecho, se

encuentran dos: el sistema jeroglfico, que utiliza jeroglficos, y el hiertico (sagrado) o

sistema de los sacerdotes, que utiliza smbolos cursivos y que, en el siglo VIII a. de C.

desembocara en el sistema demtico o sistema del pueblo, cursivo y de forma abreviada.

1) Sistema jeroglfico. Sistema de base 10, no posicional, en el que el principio aditivo determina la disposicin de los smbolos. La utilizacin de este principio permite

expresar cualquier nmero; cada smbolo se repite el nmero de veces necesario. Por

ejemplo:

12.105 =

o ms bien

2) Sistema hiertico. Tambin es decimal, pero el principio de repeticin del sistema jeroglfico se sustituye por la introduccin de smbolos especiales, por lo que la

notacin hiertica es ms sencilla. Estos signos representan los nmeros de 1 a 10, as

como las potencias de 10. Los egipcios escriben de derecha a izquierda.

Generalmente, los egipcios utilizaban signos especficos para fracciones particulares como

2/3 y . En general, trabajaban con fracciones unitarias y cualquier fraccin de la forma p/q

se expresaba como una suma de fracciones unitarias. Las operaciones usuales se

efectuaban, casi en su totalidad, con ayuda del principio de adicin o por desdoblamiento.


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ARITMTICA EGIPCIA

Toda la estructura de la aritmtica egipcia se basa en dos principios operacionales: el

primero es inherente a su capacidad de multiplicar y dividir por 2 y el segundo a su

capacidad para calcular los dos tercios de cualquier nmero, entero o fraccionario. La

operacin aritmtica fundamental en Egipto fue la adicin.

La multiplicacin de dos enteros se efectuaba, generalmente, mediante operaciones

sucesivas de desdoblamiento, que dependen del hecho de que cualquier nmero puede

expresarse como una suma de potencias de 2. Por ejemplo, si se quiere efectuar la

multiplicacin 24 x 37, como 24=16+8, basta con sumar los mltiplos de 37 de estos

nmeros, como sigue:

1 37

2 74

4 148

8 296

+ __ 16 592 __ +

= 24 =888

de donde 24x37=888.


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De la misma manera, para efectuar la divisin 847 33, se busca por cunto debe

multiplicarse 33 para obtener 847: Como los productos de 33 con potencias de 2 son 1, 33,

66, 132, 264, 528, etctera, y entonces

847=528+319

=528+264+55

=528+264+33+22

Este principio de desdoblamiento, as como eliminaba la necesidad de aprender las tablas

de multiplicar y facilitaba el empleo del baco para calcular y contar rpidamente,

presentaba serias dificultades para la aplicacin de estas operaciones a las fracciones, pues

reducan todas las fracciones a sumas de fracciones unitarias a fin de simplificar las

operaciones. Esta reduccin fue posible gracias a la construccin de tablas que contenan

fracciones del tipo 2/n.

Pero tambin, el desarrollo y el tratamiento de las fracciones a un nivel alto permite

comprender mejor el arte del clculo aritmtico. La construccin de la tabla de las

fracciones 2/n, de n=3 a n=101 con n impar, supone un trabajo considerable si se tiene en

cuenta que las descomposiciones en fracciones unitarias de la tabla son generalmente las

ms sencillas que pueden obtenerse.

LGEBRA EGIPCIA

El origen de muchos de los 110 problemas contenidos en los papiros Rhind y de Mosc

est estrechamente relacionado con la vida cotidiana. Estos problemas se resuelven

generalmente con la sola ayuda de la aritmtica o utilizando ecuaciones lineales de la forma

x+ax=b o x+ax+cx=b, donde la incgnita x se llama aha.

Generalmente, la solucin de una ecuacin lineal proviene de la aplicacin del mtodo de

falsa posicin: Por ejemplo, si x + x/7 = 24 se asigna un primer valor a x y se comprueba si es vlido: sea x = 7, entonces 7 + 7/7 = 8, lo cual es falso (se esperaba que fuera 24) ;

sin embargo, 3 x 8 =24, de donde la solucin es 3x7=21, es decir, x =21.

En general, los egipcios no resolvan la ecuacin cuadrtica, pero eso no les impidi

resolver ciertas ecuaciones de segundo grado. Los egipcios utilizaban muy poco el

simbolismo en su lgebra; manipulaban con xito las progresiones aritmticas y quizs las

geomtricas y utilizaban con soltura la conmutatividad y la distributividad, y estaban

familiarizados con el inverso de un nmero.

TRIGONOMETRA Y GEOMETRA EGIPCIAS

La mayora de los problemas de geometra que aparecen en los papiros hacen referencia a

frmulas de medicin necesarias para evaluar el rea de figuras planas y de ciertos

volmenes. El rea de un tringulo issceles se obtiene multiplicando la mitad de la base

por la altura. Los egipcios parecen acostumbrados a transformaciones que comprenden la

semejanza de rectngulos con ayuda de tringulos issceles y trapecios issceles. Calculan


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tambin el volumen de cilindros y prismas, pero desconocen el Teorema de Pitgoras en su

formulacin general.

Un ejemplo: El rea de un crculo se obtena aplicando un cuadrado cuyo lado es igual a 8/9

de la longitud del dimetro. As, el valor de es 31/6. He aqu una interpretacin que

explica el origen de este valor:

3 3 3

A partir de un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, se

construye un octgono de tal manera que el rea de

cada uno de los tringulos issceles de las esquinas

sea 4 unidades.

rea del cuadrado =81.

rea del octgono = rea del cuadrado reas de cada uno de los tringulos = 81 18 = 63 (lo que es casi el rea de un cuadrado de lado 8).

Puesto que el rea del octgono difiere poco de la del crculo inscrito en este cuadrado, el

rea de un crculo ser aproximadamente igual a (8/9 d)2, o (16/9)

2 r

2 = r

2, de donde

=(16/9)2

o sea, aproximadamente, 3 1/6.

Los egipcios utilizaban una regla precisa relativa a la circunferencia: la razn entre el rea

de un crculo y su circunferencia es la misma que entre el rea del cuadrado circunscrito al

crculo y su permetro. Segn Boyer, esta relacin tiene una significacin matemtica

mucho mayor que la aproximacin a . Adems, podan calcular el rea de tringulos,

rectngulos y trapecios. La semejanza y la proporcionalidad no parecen haberles sido

desconocidas. En el siglo XIII a. de C. dos figuras similares, aunque de dimensiones

diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitacin donde se encuentra la tumba de

Seti I.

La perla de la geometra egipcia es, indiscutiblemente, el siguiente enunciado que se

encuentra en el papiro de Mosc (problema 14):

Si se os dice: una pirmide truncada de altura 6 y de bases 4 y 2; debis tomar el cuadrado

de 4 que es 16, despus doblar 4 para obtener 8, tomar el cuadrado de 2 que es 4, sumar 16,

8 y 4 para obtener 28; calcular 1/3 de 6 que es 2, multiplicar 28 por 2 que da 56; vis, es 56.

Es evidente que el escritor conoca la frmula : V = [a2

+ab +b2]h/3, que representa el

volumen de un tronco de pirmide de base cuadrada. Cmo fue descubierta? Se han dado

varias explicaciones, pero es difcil, incluso hoy, saber el mtodo empleado por los

egipcios. Los autores de estos documentos saban calcular la pendiente de los lados de una

pirmide y su volumen. Los problemas 56, 57, 58, 59 y 60 del papiro Rhind se refieren al

clculo de la razn entre la base horizontal de la pirmide y su altura, llamada seqt.

El valor de la seqt era importante para los constructores de pirmides, pues deban mantenerla constante en los sucesivos bloques de piedra. Podemos considerarlas como las

cotangentes del ngulo de inclinacin de las caras de las pirmides.


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La geometra en Egipto no se desarroll como una ciencia en el sentido griego de la

palabra, fue propiamente una aritmtica aplicada. El calculista tena conocimiento de reglas, a partir de las cuales eran realizados los clculos, pero no se ha encontrado una

derivacin sistemtica de estas reglas.

La matemtica prehelnica no contaba con nada que pudiera llamarse teorema, y menos con

una prueba tal como la entendieron los griegos; slo contaban con recetas que elevaban al

rango de verdades al verificar una y otra vez que podan realizarlas. De ah que mostraran

una total indiferencia por contar con frmulas precisas. Este plantearse de manera general

los problemas es el paso que implic tomar el camino de la generalidad y la abstraccin.

Los griegos, al tratar de convertir esa especie de ciencia experimental que heredaron del

Oriente en una ciencia basada en la deduccin, dieron un giro que desemboc en la

formalizacin, al demostrar los resultados mediante razonamientos y ya no por simple

verificacin repetitiva; as, surgen las estructuras matemticas y los mtodos de

demostracin. De aqu, puede decirse que los egipcios eran expertos en el mtodo prctico

y los griegos en el terico.

Los materiales contenidos en los papiros permiten afirmar que 20 siglos antes de nuestra

era, en Egipto existan elementos de matemticas que apenas comenzaban a separarse de

los problemas prcticos, pero ya apuntaban hacia una ciencia.

REFERENCIAS

[1] Boyer, Carl P. (1968). A history of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. New York.

[2] Collette, Jean-Paul (1986). Historia de las Matemticas, tomo 1. Siglo Veintiuno Editores, S.A. de C.V. Mxico, D.F.

[3] Chvez Rivera, Hctor (1995). Bosquejo histrico de la geometra griega hasta la poca de Euclides. Departamento de Matemtica Educativa del CINVESTAV- IPN. Mxico, D.F.

[4] Newman, James R. (1983). El mundo de las matemticas. Coleccin Sigma, tomo 1.

Ediciones Grijalbo, S.A. Mxico, D.F.

[5] Rbnikov, K. (1991). Historia de las Matemticas. Editorial Mir, Mosc.


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TALES DE MILETO

Jos Luis Daz Gmez

El espacio es la ms grande de todas las cosas,

porque contiene todo lo que ha sido creado.

Tales de Mileto

INTRODUCCIN

Tales, filsofo, astrnomo y matemtico griego naci en Mileto en el ao 624 a. de C. de

acuerdo con el pensador griego Apolodoro, y muri a la edad de 78 aos durante la

quincuagsima octava olimpada (548-545 a. de C) segn el historiador en filosofa griega

Digenes Laertes. Tales es el padre tradicional de la matemtica griega y aunque su

imagen completa es legendaria, subsiste por algo eminentemente real. Simboliza las

circunstancias bajo las cuales los fundamentos, no solamente de la matemtica moderna,

sino tambin de la ciencia y de la filosofa, fueron establecidas [7].

No hay escritos de Tales disponibles, as como tampoco hay fuentes contemporneas a las

que se pueda recurrir como referencia. Esto hace extraordinariamente difcil el poder

contabilizar lo logrado por Tales. La labor se hace an ms difcil por cuanto se sabe que en

la antigua Grecia haba la prctica de atribuirle muchos descubrimientos a personas

reconocidas como sabios sin que ellos hubieran tenido parte en ellos. La inclusin del

nombre de Tales en el canon de los legendarios Siete Hombres Sabios condujo a su

idealizacin y despus a la leyenda que le acompaa. De esos siete hombres se le consider

el primer filsofo, as como tambin un discpulo de los egipcios y caldeos, suposicin

de muy buen fundamento por los viajes de Tales a Egipto y Mesopotamia.

Para informacin respecto al trabajo de Tales y en general del desarrollo inicial de la

matemtica griega, deberemos confiar enteramente en pequeos fragmentos transmitidos

por autores posteriores y en observaciones dispersas de filsofos y de otros autores no

estrictamente matemticos [7].

Tales era un hombre esencialmente prctico: comerciante, hbil en ingeniera, astrnomo,

filsofo, estadista, gemetra.

TALES EL COMERCIANTE

Fue mercader en su juventud, y tuvo mucho xito como hombre de negocios; sus tareas

como mercader le llevaron a muchos pases y su ingenio natural le permiti aprender las

novedades que vea. Muchas leyendas y ancdotas se renen en torno a su nombre. Una de

las ancdotas que se cuentan de su vida es cuando estuvo encargado de unas mulas


14

cargadas con sacos de sal; en su camino, al cruzar el ro, una mula resbal; la sal se disolvi

y su carga se aliger. El animal entonces se sumerga maosamente cada vez que tena que

cruzar un ro. Tales encontr la solucin para darle una leccin a la mula: la carg con un

saco de esponjas. Otra ancdota -narrada por Aristteles- es que en otra ocasin se apoder

de todas las cosechas de olivas y al tener el "monopolio", como dueo del mercado, les

demostr lo negativo que esto podra ser y despus vendi todo a un precio tan razonable

que horrorizara a un capitalista de hoy en da. Como mercader acumul riqueza suficiente

para consagrarse al estudio durante los aos de su edad madura [6].

TALES EL INGENIERO

Como lo que ahora llamaramos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidrulicas y se dice que

desvi el curso del ro Halis mediante la construccin de diques.

TALES EL ASTRNOMO

Como astrnomo fue ms clebre, lo espectacular fue la prediccin del eclipse solar que

detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares el 28 de mayo del ao 585 a. de C. Expertos

modernos en la materia estn convencidos de que Tales careca del conocimiento para

predecir con precisin la localidad donde el eclipse se poda observar o el carcter del

mismo y sus estimaciones debieron ser aproximadas. Es probable que el hecho de que el

eclipse fuera total y la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante

contribuyera enormemente a la reputacin de Tales como astrnomo.

El estudioso griego Calmaco registra que Tales descubri la constelacin de la Osa Menor

y recomend a los navegantes guiarse por ella en lugar de la Osa Mayor. Fue el primero en

comparar la magnitud del sol con la de la luna y encontr que sta era 700 veces menor que

el sol. Tambin se cree que conoci el recorrido del sol de un trpico a otro. Adems,

explic los eclipses de sol y de luna y delimit las estaciones del ao y asign a ste 365

das. Sus resultados astronmicos sustituyen lo que era poco ms que una elaboracin de

catlogos de estrellas por una ciencia autntica.

Tambin se cree que fue el primero en estudiar el fenmeno magntico (nombre dado por

Magnesia, lugar del hallazgo de la piedra imn), as como de trabajar en la propiedad

elctrica del mbar.

TALES EL ESTADISTA

Segn el historiador griego Herodoto, Tales fue un estadista prctico que estaba en favor de

la federacin de ciudades jnicas de Grecia.


15

TALES EL FILSOFO

Se ve en la figura de Tales de Mileto al Padre de la Filosofa. Fund en Mileto una escuela

de matemticas y filosofa, llamada escuela jnica; en esta escuela aporta un enfoque

diferente: racional y objetivo, para abordar los cuestionamientos a las preguntas sobre el

sentido ltimo de la existencia, que hasta ese momento slo se haban tratado desde un

enfoque mitolgico.

Tales busca el fundamento natural de las cosas y en su afn por la abstraccin, que

consideraba ms valiosa que la intuicin o la sensibilidad cree, al respecto, que el principio

originario, la sustancia primordial de todas las cosas es el agua, que en diversos grados de

condensacin da lugar a todos los elementos y estados y es una fuerza eterna, activa,

susceptible de dar existencia [4].

Esta afirmacin nos puede parecer ingenua pero l reconoca el estado hmedo en los

animales y las plantas, observaba que la tierra "flota sobre el agua". Quiz la respuesta no

sea apropiada pero debemos enfocar nuestro inters a la pregunta: por primera vez se

pregunta el hombre sobre el origen de todo lo que existe.

La importancia del intento de Tales no radica en su eleccin del agua como substancia

fundamental sino en tratar de explicar el comportamiento de la naturaleza a travs de la

simplificacin de los fenmenos y en buscar las causas de los mismos dentro de la misma

naturaleza ms que en los caprichos de dioses antropomrficos. A este respecto Aristteles

dice que para Tales la pregunta fundamental no es, qu es lo que sabemos, sino cmo lo

sabemos.

Tales pues, en su cosmologa, pensaba que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a

la Tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre la cual existira una burbuja

hemisfrica de aire, nuestra atmsfera, sumergida en la masa lquida. La superficie convexa

de la burbuja sera nuestro cielo y los astros, segn expresin de Tales, "navegaran por las aguas de arriba".

TALES EL GEMETRA

En esa poca las culturas como la babilnica y la egipcia, resolvan problemas geomtricos

en forma eminentemente emprica ya que no utilizaban un sistema lgico deductivo. De

acuerdo con el historiador O. Neugebauer [5] la matemtica prehelnica no contaba con

nada que pudiera llamarse un teorema y por lo tanto una prueba tal como lo entendieron los

griegos. Se tenan conocimientos de ndole intuitiva y para probarlos les bastaba el hecho

de que tales resultados, cada vez que eran utilizados en la prctica, llevaban a conclusiones

que no contradecan lo que la experiencia haba recogido de la realidad [2].

Lo que puede decirse es que se haba alcanzado un alto grado de desarrollo de la habilidad

operatoria, para abordar todo tipo de problemas de la vida prctica; problemas que iban

desde la reparticin de una herencia y el clculo de inters compuesto, hasta los problemas

ligados a lo que despus llamaramos Geometra.


16

El mayor mrito de los sabios griegos fue el transformar la geometra al cambiar el enfoque

de la misma de emprico a deductivo. Se menciona que uno de los protagonistas de esta

transformacin fue tambin Tales de Mileto, a quien se le reconocen los primeros intentos

para transformar la geometra en una ciencia racional al abstraer, de las cosas perceptibles,

las lneas, ngulos y superficies que las determinan.

Un estudiante de Aristteles, llamado Eudemo de Rodas (ao 320 a. de C.), hace referencia

a Tales en su Historia de las Matemticas. Este documento, que fue una historia completa

de la geometra griega que cubra el perodo anterior a 335 a. de C., se perdi y antes de que

esto ocurriera, lleg a existir un resumen del mismo que posteriormente desapareci

tambin. Informacin relacionada con este resumen aparece en el Sumario de Eudemo,

escrito por el historiador Proclo en el siglo V d. de C. Este resumen contiene un

Comentario sobre el Primer libro de los elementos de Euclides, y es un esbozo muy

breve del desarrollo de la geometra griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides [3].

All, despus de referirse a los orgenes de la geometra en Egipto y pasar a hablar sobre

Tales, Proclo dice:

...primero fue a Egipto y despus introdujo este estudio en Grecia. Descubri muchas de

las proposiciones por s mismo e instruy a sus seguidores en los principios que subyacen

en muchas otras, siendo su mtodo de ataque ms general en algunos casos, ms emprico

en otros.

Ms adelante en su Comentario y citando a Eudemo, Proclo afirma que Tales estableci

cuatro teoremas:

1. El crculo se bisecta por su dimetro.

2. Los ngulos de la base de un tringulo con dos lados iguales son iguales.

3. Los ngulos opuestos de lneas rectas que se intersectan, son iguales.

4. Si dos tringulos son tales que dos ngulos y un lado de uno son iguales a dos ngulos y un lado del otro, entonces los tringulos son congruentes.

Algunos de estos resultados deban ser conocidos desde bastante antes; de algunos,

solamente se dice que fueron enunciados por l; lo importante aqu es la creencia de que

Tales usaba razonamientos lgicos para hacer ver que eran ciertos y no lo haca por medio

de la intuicin, la experimentacin y la comprobacin repetida, como en esas pocas se

haba hecho. Lo hiciera Tales o no, lo que s es cierto es que los Pitagricos desarrollaban

la matemtica de una manera deductiva.

Hay un quinto teorema que tradicionalmente se incorpora a la lista anterior y que dice:

5. El ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo recto.

Actualmente se piensa que este teorema pudo tener su verdadero origen en Babilonia y

posteriormente ser introducido por Tales en Grecia.


17

Segn el historiador Heath [3], si Tales hubiera sabido que el ngulo en un semicrculo es

un ngulo recto, podra haber demostrado que;

6. La suma de los tres ngulos interiores de un tringulo rectngulo es igual a dos rectos.

Pero tambin es posible demostrar la proposicin 5) conociendo 6).

Tenemos aqu un caso de equivalencias de dos resultados. Si conocemos 5), podemos

probar 6). Si sabemos 6), podemos probar 5). Si Tales demostr 5). Cmo lo hizo? Habr

usado 6)? Hay referencias, Eudemo a travs de Proclo , que indican que 6) no solo fue

demostrado por los Pitagricos, sino que incluso fue descubierto por ellos. Y por tanto se

cree que Tales quiz demostr 5), a partir del conocimiento de 6), pero que no daba una

demostracin general; solo aceptndolo como cierto a travs de demostraciones de orden

particular y de carcter ms experimental e intuitivo, que las que ya aparecen en los

Elementos de Euclides.

Entre los resultados ms conocidos de Tales se encuentra el teorema que lleva su nombre,

relativo a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un

sistema de paralelas.

Teorema de Tales:

Si dos rectas r y r se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de interseccin sobre una de ellas son

proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra.

Parte de la leyenda atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de geometra para medir

las dimensiones de las pirmides de Egipto y calcular la distancia a la costa de barcos en

alta mar. Digenes Laertes, junto con Plinio y Plutarco sealan que la medida de la altura

de las pirmides se llev a cabo a travs de la determinacin de la longitud de la sombra

que ellas producan cuando una vara clavada verticalmente en el suelo produca una sombra

igual a su altura. Para medir la distancia de los barcos en alta mar a la costa, la leyenda dice

que Tales fue el primero en emplear la proporcionalidad de los lados de tringulos

semejantes. Hay dudas muy grandes con respecto a esto, ya que estas ideas se haban

manejado con mucha anterioridad en Egipto y Mesopotamia, donde Tales invirti una parte

de su vida. Queda entonces planteada la interrogante de si Tales fue el primer hombre en la

historia en introducir estructuras lgicas en la geometra. Es muy posible que el verdadero

papel que haya jugado no sea tanto el de creador y est ms relacionado con el de un

intrprete, organizador y recopilador inteligente de esas estructuras lgicas.

A MANERA DE REFLEXIN

La mayora de los profesores y estudiantes de Matemticas piensan que la Matemtica es

una ciencia formal y exacta que poco, o mejor casi nada, tiene que ver con la Filosofa.

Pareciera entonces que la Filosofa y la Matemtica estuvieran en posicin irreconciliable


18

una frente a la otra. Muchos de quienes estudian Matemticas, ven como una prdida de

tiempo el cuestionarse sobre el sentido de la existencia, o sobre el origen del conocimiento.

Al estudiar el trabajo realizado por Tales se observa la relacin que existe entre la Filosofa

y la Matemtica, relacin que se da desde los mismos orgenes de ambas, y nos demuestra

que entre ellas hay mucho ms en comn que lo que uno podra esperar.

Se pueden estudiar otros ejemplos de grandes matemticos que a su vez han sido grandes

filsofos como Descartes y Leibniz y en ellos vemos la posibilidad y hasta la necesidad de

reconciliar estas dos disciplinas. Debemos ver con profundo respeto a los hombres que en

su tiempo se plantearon las grandes preguntas sobre el misterio de la existencia y el

conocimiento. En muchas ocasiones habr que resaltar que la principal aportacin que ellos

hicieron no son las respuestas, sino las preguntas mismas.

REFERENCIAS

[1] Eves, Howard (1969). Estudio de las geometras. Vol. I. Unin Tipogrfica editorial Hispano Americana. Pgs. 9-11.

[2] Filloy Y., Eugenio (1976). La geometra y el mtodo axiomtico. Revista Matemtica.

Matemticas y Enseanza. Sociedad Matemtica Mexicana. Nmeros 3,4,5,6.

[3] Heath, T. (1921). A History of Greek Mathematics. Oxford University Press.

[4] Maras, Julin (1994). Historia de la filosofa. Alianza Universidad Textos. Pg. 13.

[5] Neugebauer, O. (1957). The Exact Sciences in Antiquity. Brown University Press.

[6] Newman, J. R. (1969). Sigma. El Mundo de las matemticas. Ediciones Grijalbo S. A.

Octava Edicin. Volumen I, Pgs. 9 12.

[7] Struik, D. J. (1980). Historia concisa de las matemticas. Serie Ciencia y Tcnica. Instituto Politcnico Nacional. Pgs. 53-54.

[8] Wentworth, J. y Smith, D. J. (1981). Geometra Plana y del Espacio. Editorial Porra,

S. A. Dcima Edicin.


19

APOLONIO, EL GEMETRA DE LA ANTIGEDAD

Francisco Javier Tapia Moreno

INTRODUCCIN

De los tres grandes matemticos del helenismo: Euclides, Arqumedes y Apolonio, este

ltimo ha sido el menos conocido a lo largo de los siglos. Aunque del personaje Euclides

no sabemos casi nada, su obra fue pronto el paradigma de la sistematizacin del saber

matemtico, la obra de los fundamentos, y conserv este halo por siempre. Arqumedes, por

su genio polifactico y por las leyendas creadas alrededor de su persona, coronadas con la

historia de su muerte, es sin duda, de entre los tres, la figura ms conocida universalmente.

Apolonio representa la grandeza tcnica especializada, el virtuosismo geomtrico por

excelencia. Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de l se haba escrito en el

campo de su mayor brillantez, las cnicas, pero por su carcter tan especializado y tan

difcil, ni siquiera esta obra maestra, Las Cnicas, se conoce hoy en su integridad y ms de

la mitad de ella permaneci oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por

Edmond Halley en 1710.

Los tres genios griegos de la matemtica representan una nueva era y son verdaderos hijos

de su poca histrica. El helenismo significa, tanto en poltica como en filosofa, una

autntica fragmentacin. En poltica, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos ms o

menos pequeos que compiten en ser dignos herederos de la tradicin del siglo de oro

helnico. En filosofa se produce tambin una fragmentacin del saber unificado al que

Platn y Aristteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagrica, aspiraron. El saber

orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la esttica, tica, religin,

poltica,... cede el paso al saber especializado que en matemticas viene a ser representado

por Euclides, Arqumedes y Apolonio, y muy particularmente por este ltimo.

EL ENTORNO DE APOLONIO

Los datos de la vida de Apolonio son ciertamente escasos y casi todos ellos provienen de

algunas noticias que aparecen en las introducciones de los diferentes libros de Las Cnicas.

Apolonio naci a mediados del siglo III a. de C. en Perga (ver figura 1), ciudad situada en

Panfilia, segn Heath hacia el 262 a. de C., segn otros entre 246 y 221. Fue probablemente

unos veinte aos ms joven que Arqumedes. Parece que estudi o pas largo tiempo en

Alejandra, cuyo Museo y Biblioteca constituan en aquel tiempo el centro del saber

occidental.


20

Parece extrao que, a pesar de esto, Apolonio no dedicara alguno de los libros de su gran

obra, Las Cnicas, a ninguno de los reyes de Alejandra, Tolomeo III Euergetes (246-222)

Tolomeo IV Filopator (222-205), ... sino a personajes de Prgamo, Eudemo (libros I, II, III)

y Atalo (tal vez el rey Atalo I de Prgamo, 241-197, libros IV-VIII). Sarton se pregunta si

Figura 1

pudo ser debido a problemas que surgieran entre Apolonio y las autoridades del Museo.

Apolonio pas algn tiempo tambin en Prgamo y en Efeso.

Las Cnicas fueron con certeza una obra de madurez, compuestas en Alejandra, pues enva

el segundo libro a Eudemo, en Prgamo, a travs de su hijo Apolonio. Parece ser que el

perodo de mximo florecimiento de Apolonio tiene lugar en el reinado de Tolomeo

Filopator (222-205). De su muerte no se sabe nada en absoluto, ni dnde, ni cundo, ni

cmo.

De entre los personajes nombrados en los prlogos de los libros de Las Cnicas se pueden

identificar Eudemo y Filnides. Filnides fue matemtico y filsofo epicreo conocido

personalmente por el rey selecida Antoco IV Epifanes ( 175-163) y por Demetrio Sotero

(163-150). Eudemo parece haber sido el primer maestro de Filnides. As, la presentacin

por Apolonio a Eudemo del joven Filnides tuvo lugar probablemente a comienzos del

siglo II. Las Cnicas debieron ser escritas por entonces y estas fechas casan bien con la

evidencia interna de la dependencia de Apolonio en otras obras con respecto a Arqumedes,

que muri ya anciano en 212.

CNICAS PRECEDENTES A LAS DE APOLONIO

El trabajo ms importante de Apolonio se refiere a las secciones cnicas. La cuestin previa

interesante que en este apartado examinaremos es la siguiente: qu se saba sobre cnicas

antes de Apolonio?


21

Debido precisamente a la perfeccin de la obra de Apolonio, los tratados que sobre cnicas

fueron escritos antes que el suyo, no han sido conservados. Se conocen noticias aisladas

que se pueden encontrar en los escritores que describen el desarrollo de la geometra.

Menecmo, hacia 350 a. de C., se ocupa del problema clsico de la duplicacin del cubo

(construir un cubo de doble volumen que otro dado), en cuya motivacin y descripcin no

entraremos aqu. Redujo el problema al de la construccin de las dos medias proporcionales

entre 2 y 1. En nuestro lenguaje, si encontramos x e y, tales que

2:x = x:y = y:1

entonces ,,2 22 xyyx y as 33 2yx , es decir, el cubo de lado x es de volumen

doble que el de lado y .

En general, el problema de las dos medias proporcionales entre a y b consiste en

hallar x e y , tales que

a:x = x:y = y:b

su resolucin se reduce a hallar la interseccin de la curva ayx2 con la curva abxy y

es as como aparecen lo que nosotros llamamos parbola e hiprbola equiltera.

Menecmo introduce estas curvas como secciones de un cono circular recto por un plano

perpendicular a una generatriz. Por eso la parbola fue llamada, y con esta terminologa

aparece todava en Arqumedes, seccin de cono rectngulo (es decir, seccin de un cono

cuyo ngulo de apertura es recto, cortado por un plano perpendicular a una generatriz). La

elipse era la seccin de cono acutngulo y la hiprbola (hasta Apolonio, slo se consider

una rama de ella) la seccin de cono obtusngulo.

El desarrollo de la teora de las cnicas debi ser muy rpido pues ya hacia fines del siglo

IV a. de C. existieron dos obras importantes. La primera es de Aristeo, el Libro de los

lugares slidos (lugares planos eran los que daban lugar a rectas y crculos; lugares

slidos, aquellos en los que aparecen las cnicas por interseccin de cilindros y conos con

planos; lugares lineales eran otras curvas de orden superior no reducibles a las anteriores,

como la cuadratriz o la concoide). La segunda obra de inters, tambin perdida, fue de

Euclides, en cuatro libros, cuyo contenido debi ser, en sus lneas fundamentales, el que se

encuentra en los cuatro primeros libros de Las Cnicas de Apolonio, si bien menos general

y menos sistemtico.

De este modo, al final del siglo IV, ya eran bien conocidas propiedades tales como la de la

ordenada (ver figura 2) y tambin la de las asntotas de la hiprbola (ver figura 3).


22

Figura 2. Figura 3.

Ahora, he aqu la forma sencilla como Menecmo pudo llegar a la propiedad que hoy

expresamos como pxy 22 para la seccin del cono rectngulo (parbola, ver figura 4).

Figura 4.

Arqumedes se especializ en propiedades de la parbola. Muchas de las que cita en sus

obras las propone como del dominio pblico en su tiempo. As la de la subnormal y el

hecho de que si PV es un dimetro que biseca la cuerda QQ (ver figura 5) y si la tangente

en Q interseca el dimetro en T entonces

PTPV .

L


23

Figura 5

LAS CNICAS DE APOLONIO

Las circunstancias de la composicin de la obra de Apolonio estn explicadas por l mismo

en su primer libro. Apolonio saba mucho ms de lo que hasta entonces se conoca y de un

modo mucho mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. l mismo, en este prlogo

al libro primero, explica el contenido de la obra bien claramente. Los cuatro primeros libros

constituyen una introduccin elemental. Deban constituir materia probablemente ya

sabida, pero no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro V se exponen los

hallazgos ms importantes del mismo Apolonio.

Su ndice se puede proponer ms o menos as:

I. Modos de obtencin y propiedades fundamentales de las cnicas. II. Dimetros, ejes y asntotas. III. Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos. IV. Nmero de puntos de interseccin de cnicas. V. Segmentos de mxima y mnima distancia a las cnicas. Normal, evoluta, centro de

curvatura.

VI. Igualdad y semejanza de las secciones cnicas. Problema inverso: dada la cnica, hallar el cono.

VII. Relaciones mtricas sobre dimetros. VIII. Se desconoce su contenido. Tal vez teoremas y/o problemas sobre dimetros

conjugados.

A continuacin examinaremos someramente algunos de los detalles ms importantes de los

diferentes libros, adelantando solamente que se considera, de modo unnime, el libro V

como el mejor y ms original de todos.


24

El libro I comienza con la generacin del cono circular oblicuo de dos hojas que,

seccionado por un plano, dar lugar a los diferentes tipos de cnicas. Apolonio haba

captado cmo esta consideracin de un solo cono permite la obtencin de las tres cnicas

segn la inclinacin diversa del plano y adems identificar la hiprbola como una curva

con dos ramas. En estos puntos importantes se aparta de sus antecesores en el campo,

logrando una visin ms unitaria y mejor sistematizada del tema. Estudia las secciones

circulares del cono, paralelas y antiparalelas a la base; introduce el parmetro p = 2b2/a,

que llama lado recto; establece las propiedades de ordenada y abscisa de las cnicas;

considera el centro, ejes, dimetros conjugados, tangentes, ... y ataca el problema de la

construccin de la cnica dados diversos elementos suyos.

El libro II estudia fundamentalmente las propiedades de las asntotas de la hiprbola.

Caracteriza la asntota OM por la distancia PM sobre la tangente, en funcin de OP y el

parmetro correspondiente (ver figura 6). Estudia al final el problema importante siguiente:

Trazar una tangente que forme un ngulo dado con el dimetro que pasa por el punto de

contacto.

El lenguaje de Apolonio es un lenguaje sinttico, que utiliza a la perfeccin los viejos

procedimientos pitagricos de la aplicacin de reas. Los resultados, sin embargo, son

fcilmente traducibles al lenguaje de la geometra analtica. Lo que resulta profundamente

sorprendente y llamativo es que Apolonio sea capaz de llegar tan lejos sin asomo de

utilizacin de los mtodos avanzados de la geometra y del clculo de los que nosotros

disponemos.

Figura 6.

El libro III se dedica primero a estudiar las relaciones de tringulos y cuadrilteros

determinados por tangentes y dimetros conjugados. Obtiene la relacin armnica sobre los

cuatro puntos determinados en una secante a la cnica que pasa por un punto, su polar y los

dos de interseccin de la secante con la cnica.


25

En la proposicin 41 se establece cmo tres tangentes a la parbola se cortan en la misma

razn y as resulta la parbola como envolvente de las rectas con esta propiedad.

En la proposicin 43 aparece la hiprbola como lugar de puntos tales que ,constantexy

siendo x e y abscisa y ordenada respecto a los ejes constituidos por las asntotas.

Desde la proposicin 45 hasta la 52 aparecen propiedades interesantes sobre los focos.

En la proposicin 45 se establece cmo desde un foco F se ve bajo un ngulo recto

MFM el segmento determinado por una tangente cualquiera entre las tangentes en A y A (ver figura 7).

Figura 7

El libro IV es de bastante menos valor. En l estudia el nmero de puntos de interseccin de

las cnicas. Es interesante desde un punto de vista lgico que de sus 57 proposiciones, las

23 primeras se demuestran por reduccin al absurdo.

El libro V, que consta de 77 proposiciones es, con gran diferencia, el ms sorprendente de

todos. Se puede decir que en l Apolonio, 20 siglos antes que Huygens (en su Horologium

Oscillatorium, de 1673), introduce ya, a su modo, con instrumentos puramente sintticos,

nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc,.. y que logra

obtener estos elementos para las cnicas de la manera ms rigurosa.

La normal desde un punto exterior viene definida a travs de la propiedad de mxima o

mnima distancia desde el punto a la curva. Apolonio comienza por considerar el punto E

sobre el eje principal tal que AE = p/2 (ver figura 8). Demuestra entonces que para

cualquier punto P sobre la elipse se verifica 222 ANAEPE y as est a distancia de E

mayor que A . Por tanto AE es para E el segmento de distancia mnima desde E a la

elipse. Considera luego E en situaciones ms generales y anlogamente determina la

normal desde E .

Las proposiciones ms llamativas de toda la obra son ciertamente la 51 y 52 de este libro

quinto. En ellas consigue, por procedimientos puramente sintticos!, obtener la evoluta de

las cnicas, es decir, el lugar geomtrico de los centros de curvatura, mediante la

determinacin del nmero de normales distintas desde cada punto. Esto equivale a describir

La proposicin 49 afirma esencialmente

que la podaria del foco es el crculo de

dimetro AA en la elipse e hiprbola. La

52 contiene lo que hoy solemos tomar a

veces como definicin de elipse

aFPPF 2 . Los focos, en

Apolonio, son

es decir, "los

puntos que surgen de la aplicacin" de

reas.


26

sintticamente las curvas que en el lenguaje de nuestra geometra analtica tendran por

Figura 8

ecuacin

3

2

21627

pxpy (parbola)

3

23

23

2 22 babyax (elipse, hiprbola)

En las proposiciones 6355 obtiene las normales desde un punto exterior, reduciendo el

problema a la determinacin del pie de la normal sobre la cnica por interseccin de sta

con una hiprbola equiltera asociada al punto exterior.

En el libro VI, dedicado fundamentalmente a la igualdad y semejanza de cnicas, aparece el

problema interesante siguiente: dada la cnica y dado un cono circular recto, hallar una

seccin del cono que sea igual a la cnica dada. Es llamativa la elegancia de la resolucin

de este problema.

Las proposiciones del libro VII, nuevas en su mayor parte, como Apolonio mismo seala,

contienen numerosas relaciones mtricas entre dimetros conjugados, reas, etc...

OTRAS OBRAS DE APOLONIO

Apolonio escribi unas cuantas obras ms que se difundieron bastante en su entorno, una

buena parte relativa a geometra, otras a campos de la fsica donde sus profundos

conocimientos geomtricos ms pudieron aportar, como es el caso del estudio de la

reflexin sobre espejos curvos; otras de astronoma, campo en el que Apolonio ejerci una

notable influencia, siendo citado explcitamente por Tolomeo, autor del Almagesto

(alrededor del ao 140 d. de C.), como responsable de un importante teorema en la teora de

epiciclos. Pero parece cierto que las otras obras matemticas de las que nos han llegado


27

noticias fueron de inters ms bien puntual, a juzgar por el tipo de problemas que trataban.

He aqu una descripcin sucinta de cada una de ellas.

La nica obra, aparte de Las Cnicas, que ha sobrevivido hasta nuestros tiempos, tiene por

ttulo Sobre la seccin de la razn ( ) que fue conservada en rabe y

traducida por Halley al latn en 1706. Halley haba hecho el esfuerzo de aprender rabe a

fin de ser capaz de leer esta obra de Apolonio. El problema principal se puede indicar de la

forma siguiente (ver figura 9):

Figura 9

Dado el punto ,A los puntos ,, NM las dos rectas r y s que pasan respectivamente por

M y N y dado el nmero trazar por A una recta t tal que PQPM / .

Es fcil para nosotros, mediante nuestra geometra analtica, ver cmo este problema se

puede reducir a uno acerca de interseccin de cnicas y as es sencillo imaginar cmo pudo

proceder Apolonio en ste y otros problemas semejantes con suma facilidad, gracias a sus

conocimientos sobre cnicas.

Otra obra, sta perdida, se titula Sobre la seccin del rea ( . El

problema tratado era como el anterior, salvo que ahora debera ser NQMP .

El tratado sobre la Seccin determinada ( ) consista en lo siguiente (ver

figura 10): Dados cuatro puntos sobre la recta CBA ,, y D , y el nmero ,

determinar otro punto P sobre la misma recta tal que

Figura 10

A


28

La obra titulada Tangencias (E ) se hizo especialmente famosa a lo largo de la

historia por contener lo que se vino a llamar el Problema de Apolonio. Dados tres

elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, se

pide hallar una circunferencia que sea tangente a ellos (pase por ellos en el caso de

puntos). El caso ms complicado, dadas tres circunferencias hallar otra tangente a las tres,

es el mencionado problema de Apolonio. No conocindose exactamente la solucin de

Apolonio, esta cuestin interes vivamente a muchos matemticos famosos, entre ellos

Vieta, Descartes, Newton, Euler, Poncelet,... El problema tratado en la obra sobre

Inclinaciones ( ) se puede proponer en general como sigue (ver figura 11): Dado

un punto A, dos curvas r y s , y la longitud p , hallar una recta t que pase por A tal que

pMN .

Figura 11

El tratado sobre Lugares planos ( ) estudia condiciones que conducen a

rectas y crculos como lugares geomtricos.

De estos tratados, se conocen algunas referencias sobre su contenido a travs de las noticias

que proporciona Pappus (siglo IV d. de C.), quien debi tener ante sus ojos las obras de

Apolonio o al menos algn catlogo ms extenso. Hay an otras obras que menciona cuyo

contenido es ms oscuro. Una especie de Arenario, al estilo del de Arqumedes, con

tcnicas para manejar nmeros grandes. Un tratado Sobre la hlice, otro Sobre el

dodecaedro y el icosaedro, en el que aparece la igualdad de las apotemas de los dos

poliedros regulares inscritos en la misma esfera, lo que conduce de modo directo a una fcil

comparacin de volmenes (mayor para el dodecaedro, contra lo que una primera intuicin

podra sospechar).

Pappus menciona tambin un Tratado general ( ) en el que podra

haber observaciones sistemticas de tipo axiomtico relativas a los fundamentos de la

geometra. Existe tambin una oscura alusin a un tratado Sobre los irracionales

desordenados ( ) que tal vez podra consistir en

consideraciones que extendan, no se sabe bien en qu direccin, el contenido del libro X

de los Elementos de Euclides.


29

Pappus cita tambin un trabajo sobre Clculo rpido ( ) que debiera referirse al

clculo aproximado de . Tambin se nombran en el catlogo de Pappus dos trabajos de

ptica, Sobre el espejo custico ( ) y A los catrpticos ( s s

) en los que sin duda los conocimientos geomtricos de Apolonio se ponan

en accin con gran ventaja.

LA HUELLA DE APOLONIO

La influencia de Apolonio en los gemetras griegos y rabes fue muy profunda. No en vano

Apolonio fue llamado El Gemetra de la Antigedad. Sobre porciones ms o menos

extensas de su obra escribieron comentarios Pappus (s. IV d. de C.) Serenus Antissensis

(IV), Hyppathia (V), Eutoquio (VI), Abalphat de Ispahan (X), Abdomelek de Chiraz

(XIII),...

La obra de Apolonio comienza a filtrarse lentamente hacia Occidente por va de la

matemtica rabe. Vitelio, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de

ptica, que en el fondo es un comentario al tratado de ptica del rabe Al-Hazen, que

residi en la pennsula ibrica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas

proposiciones geomtricas de Apolonio.

El primer texto griego de Las Cnicas que aparece en Occidente es el que Francisco Filelfo,

nacido en Tolentino en 1398, se trajo de Constantinopla a Venecia en 1427.

La primera versin al latn de los cuatro primeros libros de Las Cnicas fue realizada por el

matemtico Juan Bautista Memo, en Venecia. Revela grandes lagunas en el conocimiento

del griego, pero a pesar de ello, al morir Juan Bautista, un sobrino suyo, Juan Mara Memo,

edit la obra en 1537.

En 1566, en Bolonia, Federico Commandino publica una segunda traduccin, mucho

mejor, de los cuatro primeros libros, basada sobre los textos griegos, y acompaada de los

lemas de Pappus, del comentario de Eutoquio y de dos libros sobre cnicas de Serenus

Antissensis. Una segunda edicin de esta obra fue impresa en Pars en 1626.

En 1655 aparece publicado un exponente de lo que constitua el ejercicio de moda en ese

tiempo, la reconstruccin conjetural de las obras perdidas de los clsicos. El Padre Claude

Richard publica en Amberes un comentario de los cuatro primeros libros sobre las cnicas

de Apolonio, basado en los textos de Memo y Commandino, seguido de otros cuatro libros

que, a juicio del P. Richard, pretendan reconstruir el contenido de los cuatro libros de

Apolonio desconocidos entonces en Occidente.

En 1675 Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge, public en Londres un manual

de geometra en que condensaba los cuatro primeros libros de Apolonio, adems de otras

obras de Arqumedes y de Teodosio.


30

A partir de 1629 comienzan a conocerse en Occidente los primeros manuscritos rabes de

la obra de Apolonio, que contenan ms libros que los hasta entonces conocidos, a travs de

Golius, profesor de lenguas orientales en Leyden. El Padre Mersenne se hace eco de ello en

una obra en 1644. Golius los trajo consigo a Holanda, despus de un viaje por el Pronio, y

en principio plane traducirlos y publicarlos. No se sabe bien por qu no llev a cabo su

proyecto ni por qu su coleccin se dispers despus de su muerte.

Mientras el gemetra Viviani, en 1658, se ocupaba de reconstruir conjeturalmente el

contenido de los cuatro libros desconocidos de Apolonio, otro gemetra italiano, Borelli,

encontr en la biblioteca de los Mdicis, en Florencia, un manuscrito rabe, probablemente

de la coleccin de Golius, que contena los libros V, VI y VII de Las Cnicas, en una

versin resumida y ms o menos retocada por el matemtico persa Abalphat de Ispahan, en

994. Viviani logr que Borelli no publicase tal hallazgo sino despus de que l hubiese

publicado su reconstruccin, lo que hizo en 1659. Como se pudo ver despus, la

reconstruccin del libro V de Viviani fue de un acierto sorprendente y extenda el campo de

Apolonio considerablemente.

Borelli por su parte hizo traducir el libro de Abalphat al latn y lo public con numerosos

comentarios en Florencia en 1661.

Otro manuscrito rabe que contena una versin abreviada de los mismos libros de Las

Cnicas, comentada por el gemetra persa Abdolmelek de Chiraz en 1250, fue adquirida en

1641 por el orientalista alemn Christian Rau. Este lo tradujo al latn y lo public en Kiel

en 1669.

La primera versin completa en rabe de los libros V, VI, VII, aparece pblicamente en

Occidente al comienzo del siglo XVII en Irlanda, en un manuscrito que los herederos de

Golius haban vendido al obispo de Armach (Codex Armachanus). Se trataba de una

traduccin del griego al rabe realizada en el siglo IX por Thabit ben Kurra, en Bagdad.

La edicin prncipe de Las Cnicas se debe al entusiasmo de Edmond Halley (1656-1742),

el gran impulsor del trabajo de Newton, a quien convenci para que escribiese los Principia

que posteriormente l mismo hizo imprimir con los costos a su cargo, en 1687.

En 1704 Halley sustituy a Gregory como profesor de geometra en Oxford. Gregory haba

traducido los Elementos de Euclides y en 1703 los haba publicado en latn y griego. l y

Halley se haban propuesto traducir y publicar los siete libros de las Cnicas de Apolonio.

Con tal fin Halley decidi aprender rabe. En 1706 publica Halley el tratado de Apolonio

sobre la seccin de la razn. Muerto Gregory, Halley emprende en solitario la conclusin

de la publicacin de los siete libros conservados de las Cnicas y en 1710 aparece la obra

en una impecable presentacin. Se compone de tres partes.

La primera contiene el texto griego de los cuatro primeros libros, publicado (en griego) por

vez primera, junto con la versin latina de Commandino ms o menos corregida, con los

textos griegos de los lemas de Pappus y con el comentario de Eutoquio, todos los textos

griegos acompaados de sus versiones en latn.


31

La segunda parte comprende la traduccin latina de los libros V, VI, VII, basada sobre la

versin rabe de Thabit ben Kurra, seguida del texto griego de los lemas de Pappus

relativos a estos tres libros y una reconstruccin conjetural del libro VIII hecha por Halley

mismo.

La tercera parte contena el texto griego y una versin latina de los dos libros de Serenus

Antissensis sobre la seccin del cilindro y del cono.

En 1893 apareci la edicin crtica del texto griego de los cuatro primeros libros realizada

por Heiberg en Copenhague.

La nica traduccin completa de Las Cnicas a una lengua romance, el francs, fue

publicada en Brujas en 1923, realizada por Paul Ver Eecke. Tal versin est precedida por

un extenso comentario sobre lo que acerca de Apolonio se conoce hoy da, as como sobre

la huella de su obra a lo largo de la historia.

REFERENCIAS

[1] Boyer, Carl P. (1968). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. New York.

[2] Diccionario Enciclopdico Quillet (1976). Juan Santiere, Apolonio, Cnicas,

Parbola. Cumbre S.A. Mxico D.F. 6a Ed.

[3] Enciclopedia Universal Ilustrada Europeo-Americana (1981). Apolonio. Espasa-

Calpe, S.A. Madrid

SITIOS EN LA RED

[4] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Apollonius.html

[5] http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/apollonius.html

[6] http://library.thinkquest.org/22584/temh3031.htm#top


32

LA GEOMETRA ANALTICA

DE DESCARTES Y FERMAT: Y APOLONIO?

Vctor M. Hernndez L.

Resumen

En este escrito se retoman algunos antecedentes histricos y prehistricos de

la Geometra Analtica como tal, con el propsito de mostrar cierta evidencia

de que, sin importar la magnitud y lo novedoso de un aspecto o rama de la

matemtica, el reconocimiento social de su autora es ms bien: una

asignacin que reconoce las aportaciones que sintetizan la convergencia, en

una poca determinada, de diversas corrientes y recursos del pensamiento

matemtico, que el desconocimiento o negacin de aquellos precursores,

cercanos y lejanos, que le dieron lugar.

El que Apolonio, el ms grande gemetra de la antigedad, fallara en desarrollar la geometra analtica fue probablemente ms el producto de la

inexperiencia de la cultura antigua en una diversidad de curvas (se conocan

escasamente unas doce) y de la pesada herramienta retrica de que se

dispona; en cambio, las aportaciones modernas a la Geometra Analtica tuvieron a su disposicin toda el lgebra renacentista.

INTRODUCCIN

Sin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectos o ramas de las matemticas

pueden asignarse al trabajo de un nico individuo. La Geometra Analtica de Descartes y Fermat no fue la excepcin a esto, es decir, no fue un producto exclusivo de sus investigaciones, sino ms bien, la sntesis de varias tendencias matemticas convergentes

en los siglos XVI y XVII. Entre los autores que contribuyeron a las tendencias citadas

pueden contarse Apolonio, Oresme, Vieta y muchos otros matemticos.

Resulta de particular inters, por su magnitud e importancia, el trabajo de Apolonio (262 190 a. de C.), Las Cnicas

1, en el que ya se advierten, respecto al uso de coordenadas,

muchos aspectos tan similares a los acercamientos modernos, tanto que, en algunas

ocasiones, es juzgado como una geometra analtica que se anticip a aquella de Descartes

y Fermat por 1800 aos, en la que se identifican formas retricas de las ecuaciones de las

curvas establecidas por Apolonio como relaciones entre las abscisas y las ordenadas. Las

abscisas y las ordenadas de la poca eran aplicaciones de lneas de referencia en general, y

de un dimetro y una tangente en sus extremos en particular, lo que no hace diferencias

esenciales con un marco coordenado rectangular, o ms generalmente, oblicuo. En este

sistema de referencia, las distancias medidas a lo largo del dimetro desde el punto de

tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e intersecados entre el

eje y la curva son las ordenadas. Sin embargo, el lgebra geomtrica Griega no tena

1 Para una referencia ms extensa ver: Boyer, Carl B., A History of Mathematics. Segunda Edicin. Cap. 9. John Wiley &

Sons. USA. 1991.


33

magnitudes negativas y, an ms, el sistema coordenado en cada caso era construido a

posteriori con el fin de estudiar las propiedades de una curva dada y no a priori para

propsitos de representacin grfica de una ecuacin o relacin expresada, ya fuera

retrica o simblicamente.

LA GEOMETRA ANALTICA DE DESCARTES Y FERMAT2

El paso final en la preparacin para las nuevas matemticas infinitesimales, y aquel que

tuvo ms posibilidades para la investigacin, fue el desarrollo de la geometra por Ren

Descartes (1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). La Geometra de Descartes fue

publicada en 1637 como uno de tres apndices de su Discurso del Mtodo / para conducir

bien la razn, y buscar / la Verdad en las ciencias. / Adems / La Diptica / Los Meteoros /

y / la Geometra / que son ensayos de este Mtodo "3.

En el mismo ao, Fermat envi a sus corresponsales en Pars su Introduccin a los Lugares

Planos y Slidos. Estos dos ensayos establecieron los fundamentos para la geometra

analtica. Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue ms sistemtico en algunos

aspectos, no fue publicado de hecho sino hasta 1679, despus de su muerte, y por esta razn

hoy hablamos de la geometra cartesiana en lugar de la geometra fermatiana.

La idea central de la geometra analtica es la correspondencia entre una ecuacin

0),( yxf y el lugar (generalmente una curva) consistente de todos aquellos puntos cuyas

coordenadas ),( yx relativas a dos ejes fijos perpendiculares satisfacen la ecuacin. De

hecho, ni Descartes ni Fermat usaron sistemticamente dos ejes de coordenadas en la forma

estndar actual. Lo ms cercano a ello viene indicado en el

principio gua de Fermat:

Cuando encontremos dos cantidades conocidas

en una ecuacin, tenemos un lugar geomtrico,

la extremidad de una de stas describe una

lnea, recta o curva.

Para Fermat (tanto como para Descartes) las dos cantidades

desconocidas en una ecuacin eran segmentos lineales ms

que nmeros. Uno de stos era medido a la derecha desde un punto de referencia sobre un

eje horizontal, y el segundo era localizado con una ordenada vertical sobre el extremo del

primero. El principio de Fermat afirma entonces que el punto terminal de la ordenada

describe la curva correspondiente a la ecuacin dada. La prctica general de Descartes fue

similar, de tal manera que ambos, de hecho, dieron con la "geometra ordenada" en lugar de

la geometra co-ordenada.Fermat se adhiri a la notacin algebraica de Vieta, y design a

sus variables como A y E en lugar de x y y. Sin embargo, Descartes us totalmente la

notacin estndar actual (o, ms precisamente, nosotros usamos la notacin de Descartes),

con la simple excepcin de que l escriba en lugar de = para la igualdad. Estandariz 2 Tomado de: Edwards, C.H., The Historical Development of Calculus. Pp. 95-97. Springer-Verlag. 1979.USA.

3 Este es el ttulo que dan las traducciones espaolas. Quizs fuera mejor "nuestra razn" en vez de "la razn", pues

Descartes dice "... pour bien conduire sa raison" y no "la raison".


34

la notacin exponencial para las potencias e inici la prctica comn de usar letras cerca del

inicio del alfabeto para los parmetros y aquellas cerca del final para las variables.

La intencin de ambos, Descartes y Fermat, fue aplicar los mtodos del lgebra renacentista

a la solucin de los problemas en geometra. Descartes establece el plan como sigue4:

Si entonces, deseamos resolver algn problema, primero suponemos que ya disponemos del problema y damos nombre a todas las lneas que parecen ser necesarias para su construccin, tanto a aquellas que son desconocidas como a las conocidas. Entonces, sin hacer distincin entre las lneas conocidas y desconocidas debemos desembrollar la dificultad en cualquier manera que muestre ms naturalmente las relaciones entre esas lneas, hasta que nos sea posible expresar una cantidad de dos formas. Esto constituir una ecuacin, ya que los trminos de una de esas dos expresiones es en conjunto igual a los trminos de la otra.

Descartes empez con un problema geomtrico, que comnmente involucraba una curva

dada, y la defina tanto como un lugar geomtrico esttico a la manera de los griegos como

en trminos de un movimiento continuo uniforme (como la espiral de Arqumedes). Su

procedimiento fue trasladar un problema geomtrico al lenguaje de una ecuacin

algebraica, luego simplificarla y finalmente resolver esta ecuacin.

La primera referencia del Mtodo de Descartes se encuentra en una carta de Constantino

Huygens a Descartes, de octubre de 1635, donde aqul le manifiesta su satisfaccin por

haberse decidido a publicar la Diptrica y le aconseja sobre la mejor manera de hacer la

figura y de imprimirla.

En la portada de su libro: Discurso del Mtodo / para conducir bien la razn, y buscar / la

Verdad en las ciencias. / Adems / La Diptica / Los Meteoros / y / la Geometra / que son

ensayos de este Mtodo " no figura el nombre del autor, omisin voluntaria que obedeca al

propsito, como despus dijo el propio Descartes, de conocer mejor las opiniones y las

crticas.

La parte menos discutida en su poca fue la Geometra, sin duda porque, como dice el autor

no ignorarlo, ella tendra un pequeo nmero de lectores, pues deban ser personas que no

solamente estuviesen al corriente de todo lo que se saba de Geometra y de lgebra, sino

que deban ser, adems, "laboriosos, ingeniosos et attentos".

LA GEOMETRA DE DESCARTES

El Libro Primero de la Geometra5 trata de los Problemas que pueden resolverse sin

emplear ms que crculos y lneas rectas.

4 D.E. Smith y M.L. Latham, The Geometry of Rene Descartes. Chicago: Open Court, 1925 (Dover reprint).

5 La Geometra est formada por tres libros y es algo ms breve que los otros dos agregados al Discurso; abarca en la

edicin original 120 pginas, con 48 figuras, aunque son diferentes 30, pues se repite la impresin cuando vuelve a referirse a una de ellas.


35

El Libro Segundo se titula De la naturaleza de las lneas curvas. Trata especialmente de las

de grado superior y, sobre todo, de la construccin y propiedades de tangentes y normales,

lneas stas cuya importancia deriva de los problemas de la reflexin de la luz sobre las

superficies curvas.

El Libro Tercero est dedicado a los problemas slidos o superslidos, lo cual lo lleva al

estudio de la resolucin de ecuaciones, discusin de sus races, y relaciones entre los

coeficientes. Muestra que una ecuacin puede tener tantas races como dimensiones tiene el

grado, y da luego su famosa regla de los signos. Por ltimo, trata los clebres problemas de

3er grado: la triseccin del ngulo y la duplicacin del cubo y seala que a ellos puede

reducirse cualquier otro problema de 3er grado.

En su Libro Primero, Descartes escribe6:

LIBRO PRIMERO

De los problemas que se pueden construir sin

emplear ms que crculos y l

apuntes+de+historia+de++las+matematicas+volumen+1

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