apuntes variable comp

NERI DAVILA DIDIER ANIBAL APUNTES: VARIABLE COMPLEJAORTIZ HERNANDEZ ALMA GPO: 3CM8

Números Complejos:

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Los números complejos son una amplificación de los números reales. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que ∈. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que se indica con la letra i), o en forma polar.

arg ( z )=Arg ( z )+2kπ ; KϵZ= {O±1 , ±2 ,±3 ,…} Senθ= yr→ y=rSenθ

Z=rCosθ+irSenθ Cosθ= xr→ x=rCosθ

Z=r (Cosθ+iSenθ )=|z|e iθ

Z=|z|e iθ

Ejemplo: Encontrar la forma polar de:

Z= 1+ i1−i

=(1+i )(1+i)(1−i)(1+i)

=(1+i)2

2=1+2i−1

2=2 i2

=i

|1+i|=√12+12=√2

ϴ= π4

√2ei π4

√2ei 7π4

=ei [ π4−7π4 ]

GPO: 3CM8 NERI DAVILA DIDIER ANIBAL

ORTIZ HERNANDEZ ALMA

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Representaci.C3.B3n_polar

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real


UNIDAD I:

Los conjuntos especiales del plano complejo:

Se define a una vecindad del punto Zo, denotada por Vr(Zo) como: la vecindad en Zo de radio r.

Vr (Zo )={z∈ ∁|Z−Zo|<r }

Definimos una vecindad con un hueco del punto Zo, que se denota por Vr(Zo) como:

V o r (Zo )={z∈∁ /0<|Z−Zo|<r

Ejemplo: Represente gráficamente los siguientes conjuntos

a) A {z∈∁ /|Z−i|<1} ; Zo=i

Como :Z=x+iy

∴|Z−i|=|x+ iy−i|=|x+i( y−1)|

→|Z−i|<1es :√ x2+( y−1)2<1

∴ x2+( y−1)2<12∴C 1={z∈∁ /|Z−(1+i)|<1}

TIPOS DE CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO:

Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto (bidimensional) de puntos y cada punto es un miembro o elemento del conjunto.

PUNTOS LÍMITES:

Un punto Zo se llama punto de acumulación de un conjunto S si cada vecindad (δ ) reducida de Zo contiene puntos de S.

VECINDADES:

Una vecindad de radio delta (δ ) de un punto Zo es el conjunto de todos los puntos Z tales que |Z−Zo|<δ .

CONJUNTOS ACOTADOS:



r=1


Se dice que un conjunto es acotado si se puede encontrar una constante M tal que: |Z|<M para cada punto Z en S. Compacto.

CONJUNTOS CERRADOS:

Se dice que un conjunto es cerrado si cada punto límite de S pertenece a S, si S tiene todos los puntos límites

PUNTOS, INTERIOR, EXTERIOR Y FRONTERA:

Sea un punto Zo de un conjunto S donde se encuentre una vecindad de Zo cuyos puntos pertenecen todos a S, se conoce como punto interior. Si cada vecindad de Zo contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S,k entonces se conoce como: punto frontera. Si no es ninguno de los anteriores, entonces es exterior.

CONJUNTOS ABIERTOS:

Conjunto con únicamente puntos interiores por ejemplo: |Z|<1

CONJUNTOS CONEXOS:

Conjunto abierto que permite unir mediante un camino formado por segmentos de recta, cualquier par de puntos (camino poligonal) contenido en S.

Ejemplo:

A={z∈ ∁ /|Z−2+i|>1 }

A :|( x−2 )+i( y+1)|>1

A :√ ( x−2 )2+( y+1)2>1

A : ( x−2 )2+( y+1)2>1 * Conjunto abierto, *Es conexo, *No es acotado,

FUNCIONES:

Definición: Si Z puede representar a cualquier complejo o valor complejo, esta variable se llama una variable compleja.

Si a un valor complejo de la variable compleja Z. se le hace corresponder uno y solo un valor complejo de otra variable W, esta correspondencia es a la que se le llama función de variable compleja.

El valor ωoΩ, o la imagen de Z(que la función f hace corresponder a Z lo escribimos así):

ω=f (Z )

Al conjunto de todos los números complejos que la variable Z puede tomar, se le llama el dominio de la función f y esta se llama el plano Z.




Al conjunto de todos los valores de la variable W correspondientes a estos Z´s, se le conoce con el nombre del recorrido, rango o imagen de la función f.

Si: Z=x+ iy

También tiene parte real y parte imaginaria de la función f(Z), donde la parte real de f(Z).

u=ℜ[ f (Z )] parte real de f(Z)

v=ℑ[ f (Z )] parte imaginaria de f(Z)

u , v :R2→R

Ejemplos de funciones :

u , v :R2→R:

a¿ω=f (Z )=Z

Como: Z=x+ iy

→Z=x−iy

u+iv=f (Z )=x−iy

u ( x , y )= x

v ( x , y )=− y

b¿ f (Z )=|Z|2=Z ∙ Z

u+iv=f (Z )=x2− y2+2 ixy

u ( x , y )= x2− y2

v ( x , y )=2xy

OPERACIONES ENTRE FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA:

Sean f & g dos funciones con dominio dom ( f )∧dom (g )

Sus dominios respectivos, entonces:

a) dom [ f (Z )±g (Z ) ]=dom( f )∩dom(g)




b) dom [ f (Z ) ∙ g (Z ) ]=dom( f )∩dom(g)

c) dom [ f (Z )g (Z ) ]={dom ( f )∩dom (g ) ¿∈ ∁∨g (Z )=0 }

Ejemplos:

1) f (Z )=|Z|2

dom ( f )=∁ = ∁

2) f (Z )= z−1z

dom ( f )=dom ( f 1 )∩dom ( f 2 ) \{Z∈ ∁∨f (Z )=0 } ¿∁∩∁ {Z∈ ∁|z=0 }¿∁ ¿0 }

3) g (Z )= 1

Z4+1

dom (g )=∁ ¿¿ Z4+1=0 }

Como: θ=π+2kπ4

; k = 0,1,2,3,4,…, y ω0=Cosθ+iSenθ

ω0=√22

+i √22

ω1=−√22

+i √22

ω2=−√22

−i √22

ω3=√22

−i √22

∴Z1=(−1)14

∴Z2=(−1)34




∴Z3=(−1)54

∴Z4=(−1)74

FUNCIONES COMPLEJAS:

a) Definimos un polinomio complejo al que tiene la forma:

P (Z )=anZn+an−1Z

n−1+…+a1Z1+a0

Donde: an , an−1,…,a1 , a0 Son números complejos conocidos.

b) Definimos un polinomio racional al que tiene la forma:

f (Z )= P(Z )Q(Z)

Donde: P (Z )=anZn+an−1Z

n−1+…+a1Z1+a0

&

Q (Z )=bmZm+bm−1Z

m−1+…+b1Z1+b0

Con: an , an−1,…,a1 , a0 ,bm , bm−1 ,…,b1 , b0 Son números complejos conocidos.

Ejemplo: g (Z )=Zn

¿ Z ∙Z ∙Z ∙…∙Z

dom (g )=dom (g1 )∩dom (g1 )∩dom (gn )

¿∁∩∁∩∁…∩∁

=∁

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

Como: g ( f )≈ {(Z , f (Z ) )|Z∈Ω }∁ ¿ R2 X ¿R2≅ ¿R4

f :Ω∈ ∁→∁




Para graficar funciones de una variable compleja, se requieren 4 dimensiones:

2 dimensiones para la variable Z y 2 para la variable W.

Una solución para esto es representar a los elementos del dominio de la función f, sobre un plano llamado plano Z y a los elementos del rango sobre otro plano llamado plano W.

De esta manera podemos decir que una función de una variable compleja, establece la relación entre puntos del plano Z y puntos del plano W.

Una forma de caracterizar geométricamente a estas funciones, es a través de la representación de las transformaciones que produce a curvas y conjuntos, de un plano a otro. Os cuales son útiles para resolver problemas físicos de campos y potenciales.

Ejemplo:

Si: f (Z )=(1+i )Z

En que transforma f:

a) Al triángulo con vértices (0,0) , (1,1) , (-1,1)b) Al cuadrado con vértices (1,1) , (-1, 1), (1,-1) , (-1,-1)

a=1+i

|a|=√2 ; Arg (a )=π4

a)

f (0,0 )=0

f (1,1 )=(1+ i ) (1+i )=1+2 i−1=2 i

f (−1,1 )=(−1+i ) (−1+i )=−1−1=−2



Im(z)

Re(Z)

Plano Z

Im[f(z)]

Re[f(z)]

Plano W

f

-1+i 1+i

Plano Z

-2

2i

Plano w

ROTA: π/4


TRASLACIÓN:

Si: f (Z )=Z+Bcon B∈∁ \{0 }

dom ( f )=∁

Si: Z=x+ iy

B=b1+ ib2

∴ f (Z )=(x+b1)+ i( y+b¿¿2)¿

Ejemplo:

Si: f (Z )=Z+2−i

2i

i i

4

f (1+i )=1+i+2−1=3

f (2+i )=2+ i+2−i

f (2+2 i )=2+2 i+2−i=4+i

f (1+2 i )=1+2 i+2−i? 3+i

LÍMITES Y CONTINUIDAD:



Im(z)

Re(Z)

Plano Z

Im[f(z)]

Re[f(z)]

Plano W

f

Plano Z Plano W


Recordemos de cálculo diferencial e integral:

Sea:

2 x+1 si x ≤0

f ( X )=¿

x2−x si x > 0

dom ( f )=(−∞ ,0 ]∪(0 ,+∞)

limx→o−¿¿ lim

x→ o−¿f (x )=lim

x→ o[2x+1 ]=1¿¿

¿

limx→o+¿ ¿ lim

x →o+¿f ( x )=lim

x→o[ x2−x]=0¿¿

¿

¿Existe el límite?

R= No

Definición: sea f

Un función definida en todos los puntos Z´s de una vecindad agujereada de Zo. Diremos que el límite de f cuando Z tiende a Zo, el cual se simboliza

limZ→Zo

f (Z )=Wo

Si se puede hacer que el punto W=f(Z), esté tan cerca de Ω0, tanto como se quiera eligiendo el punto Z, lo suficientemente cerca a Zo. Pero que sea diferente de él.

limZ→Zo

f (Z )=Wo

De forma precisa uno significa lo siguiente:

Para todo o para cadaϵ>0, existe un número δ>0, tal que:

∀ ϵ>0existe unnúmeroδ>0 tal que :

|f (Z )−Wo|<ε siempre y cuando0<|Z−Zo|<δ

Geométricamente esto nos dice:

Para toda vecindad de Wo




|f (Z )−Wo|<ε Existeunavecindad agujereada :0<|Z−Zo|<δ

De tal forma que todo punto Z, en el tiene una imagen W que está en la vecindad.

Si el límite de una función existe en el punto Zo, el valor de este límite es único.

UNICIDAD DEL LÍMITE:

Supongamos que hay 2 límites:

limZ→Zo

f (Z )=w1∧ limZ→Zo

f (Z )=w2

Entonces:

∀ ϵ>0 , existendos númeroδ 1>0∧δ2>0 tal que :

|f (Z )−W 1|<ε SIEMPREY CUAN DO :0<|Z−Zo|<δ1

& |f (Z )−W 2|<ε SIEMPREY CUANDO :0<|Z−Zo|<δ2

SI: 0<|Z−Zo|<δ2 ; donde δ es el mínimo de δ 1∧δ 2

& |W 1−W 2|=|f (Z )−W 2+W 1−f (Z )|

|W 1−W 2|=|f (Z )−W 2+(−f (Z )+W 1)|<ε+ε=2 ε

0<|W 1−W 2|<2 ε

0<|W 1−W 2|<0

W 1−W 2=0




W 1=W 2

ALGEBRA DE LÍMITES:

Supongamos que: limZ→Zo

f (Z )=Wo∧ limZ→Zo

g (Z )=W 1

Entonces:

1) limZ→Zo

[( f ± g)(Z)]= limZ→Zo

[ f (Z )±g (Z )]= limZ→Zo

f (Z )± limZ→Zo

g (Z )=Wo±W 1

2) limZ→Zo

[( f ∙ g)(Z)]= limZ→Zo

[ f (Z ) ∙ g (Z )]= limZ→Zo

f (Z ) ∙ limZ→Zo

g (Z )=Wo∙W 1

3) limZ→Zo

[( fg)(Z)]= lim

Z→Zo[f (Z )g(Z )

]=limZ→Zo

f (Z )

limZ→Zo

g (Z )=WoW 1

FUNCIONES ELEMENTALES.

1) FUNCIÓN COMPLEJA.

Definición: Dada Z∈C definimos las funcione exponencial denotada por e2por:

f ( z )=ez=ex+iy

f ( z )=ex∗e iy

f ( z )=ex{cos ( y )+isen( y )}

excos ( y )u

+i ex sen ( y )

v ∴u :R2→R=dom (u )=R2∈C

v :R2→R=dom (u )=R2∈C

dom ( f )=dom (u )∩dom (v )=C∩c=C

Teorema: si z1, z2 ϵ C entonces:




a) ℮z 1∗℮z2=℮z1+z2

b) ∀Z∈C ,℮ z≠0c) ℮z=1↔Z=2kπi conk ϵ Zd) ℮z 1=℮z2↔z1=z2=2kπi conk ϵ Z

Comprobación de a:

Como w=f (z )∧f ( z )=℮ z

|w|=|℮x cos ( y )+i℮ xsin ( y)|

|w|=¿

|w|=|℮x|

Comprobación de b:

Supongamos que ℮z=1

Como: ℮z=℮x {cos ( y )+isen( y)}

¿℮x cos ( y )+i ℮x sen( y)

& sabemos ℮x cos ( y )+i ℮x sen( y)=1+0∗i

{℮x cos ( y )=1… (1)℮x sen ( y )=2… (2)

De (2) sen (y)=0 y=nconn∈Z




Sustituyendo y=nπ en℮x cos ( y )=1 tenemos :

℮x cos (nπ )=1

℮x cos (−1 )n=1↔x=0∧n=2k con k∈ z

Como

z=x+iy

z=o+i(nπ )

z=o+i(2kπ )

z=2kπi conk∈ z

Supongamos que z=2kπi calculemos:

℮z=℮2kπ

℮z=cos (2kπ )+ isen (2kπ )=1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.




FUNCIÓN DERIVABLE Y FUNCIÓN DERIVADA.

FUNCIÓN ANALÍTICA.

Se dice que una función, f(z), es analítica en un punto z0 si es derivable en todos los puntos de

algún entorno de z0. Una función que es analítica en cada uno de los puntos de un conjunto

abierto, U, diremos que es analítica en U. (También se denominan a las funciones analíticas

CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN.




PUNTO SINGULAR.

DERIVABILIDAD DE LA FUNCIÓN POLINÓMICA.

DERIVABILIDAD DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEJAS.




demostracion:




Las funciones trigonométricas complejas deben ser también una generalización de las funciones reales correspondientes (seno y cosen). Sin embargo, nos encontramos con el problema de que las propiedades geométricas del plano real y en particular la definición de ángulo no se pueden extender intuitivamente al caso complejo. La generalización adecuada de las funciones seno y coseno se hará, en este caso, a partir de las fórmules de Euler:

e i x = cos x + i sin x e − ix = cos x − i sin x

con x real.

1. Sumando las dos expresiones anteriores obtenemos: e i x + e − i x = cos x + i sin x+ cos x − i sin x = 2 cos x De aquí tenemos cos x = e i x + e − i x 2 .

2. De la misma manera, pero restando las expresiones anteriores, obtenemos: e i x − e− i x = 2 i sin x De aquí tenemos sin x = e i x − e − i x 2 i

Estas dos expresiones simbólicas que hemos visto para las funciones reales cos x y sin x sí que se pueden generalizar a los complejos (ya que precisamente utilizan funciones complejas en la definición).

Para z C definimos las funciones trigonométricas complejas siguientes:cos z = e i z + e − i z 2 sin z = e i z - e − i z 2 i tan z = sin z cos z

Algunas propiedades importantes:

La fórmula d’Euler se cumple también en los complejos: e i z = cos z + i sin z , conz ∈ C . La fórmula cos 2 z + sin 2 z = 1 se cumple también en los complejos.

Para calcular cos ( 2 + 3 i ) debemos calcular e i ( 2 + 3 i ) + e − i ( 2 + 3 i ) 2 = e 2 i e − 3 + e − 2 i e 3 2 = ( cos 2 + i sin 2 ) e − 3 + ( cos 2 − i sin 2 ) e 3 2 . A partir de los valores de cos 2 = − 0,41615 , sin 2 = − 0,9093 , e − 3 = 0 , 049787 y e 3 = 20 , 086 , que podemos encontrar con una calculadora de bolsillo y sustituir en la expresión anterior, podemos finalizar los cálculos y obtenemos que cos ( 2 + 3 i ) = − 4,1896 − 9,1092 i .

De manera similar, para calcular sin ( 2 + 3 i ) hacemos e i ( 2 + 3 i ) − e − i ( 2 + 3 i ) 2 i = ( cos 2 + i sin 2 ) e − 3 - ( cos 2 − i sin 2 ) e 3 2 i = 9,1545 − 4,1689 i .




CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.




INTEGRALES SOBRE CURVAS.

Propiedades básicas.




Demostración Usando el Teorema de Green




(TEOREMA DE LA DEFORMACIÓN).




FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY

Esta fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del Cálculo Integral de variable compleja.

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea una función analítica sobre , un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado

y

Siendo un punto que no esté sobre , el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).




SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS



http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica


TEOREMA DE TAYLOR

Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.




La función exponencial (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas (línea verde discontinua).

CASO DE UNA VARIABLE

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más

formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionen a continuación:

donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :

CASO DE VARIAS VARIABLES

El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación.

Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :




Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

SERIE DE LAURENT

Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar.

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma:

Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):



http://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_topol%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Bola_(topolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema

http://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial


Donde:

y

Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:

cuyo dominio es el conjunto de puntos en sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona ; inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.

PROPIEDADES

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar dentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).

Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:

para

y para

(la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).

Convergencia

Si suponemos: es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existe un radio interior r y un radio exterior R de tal forma que:



http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_multi-%C3%ADndice


La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.

Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.

Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.



http://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circular

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa

http://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circular

http://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)

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