apuntes tema2 trabajo energia sp

Tema 2. Sistemas de partculas yteoremas de conservacion.

David BlancoCurso 2009-2010

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1. Introduccion. Cinematica 41.1. Espacio, tiempo y movil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Relatividad del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Descripcion matematica del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Componentes intrnsecas de la aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Tipos de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.1. Movimiento rectilneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7.2. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . 81.7.3. Movimiento con aceleracion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8. Posiciones, velocidades y aceleraciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Principios de la dinamica de Newton 102.1. Fuerzas y masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Primera ley de Newton o ley de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Momento lineal o cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Tipos de fuerza 143.1. Fuerzas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Peso y peso aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Fuerza de rozamiento entre solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Fuerza de rozamiento en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5. Fuerzas elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6. Fuerzas de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7. Fuerzas de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Trabajo y energa 204.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3. Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4. Teorema de conservacion de la energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. Fuerzas conservativas. Energa potencial 24

6. Conservacion de la energa mecanica 276.1. Sistema no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7. Sistemas de partculas. Centro de masa 287.1. Principio de conservacion del momento lineal para un sistema de partculas . . . 287.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2.1. Coordenadas relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3. Energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.4. Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.5. Principio de conservacion de la energa mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

David Blanco ([email protected]) 2 Curso 2009-2010

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8. Colisiones 34


1 INTRODUCCION. CINEMATICA

1. Introduccion. Cinematica

El movimiento es el fenomeno fsico mas obvio y se define como el cambio de posicion de unapartcula. Como la posicion se define mediante el vector de posicion, cualquier cambio de estevector implicara un movimiento.

La mecanica es la parte de la fsica que estudia el movimiento, y se divide as mismo entres ramas: la cinematica, la estatica y la dinamica. La cinematica estudia el movimiento departculas sin atender a las causas (fuerzas) que producen estos movimientos, la estatica estudialas condiciones que se tienen que cumplir para que un sistema no se mueva, y por ultimo, ladinamica estudia las causas del movimiento, que se denominan fuerzas, y los movimientos queestas provocan. En esta seccion se estudiara la cinematica, y el resto del tema tratara sobre ladinamica. La estatica, como tal, no se estudiara.

Los conceptos (energa, posicion, velocidad, . . . ) y el metodo seguido en el estudio de lamecanica aparece en el resto de las ramas de la fsica y en gran parte de los problemas deingeniera, por lo que un tratamiento riguroso de estos es necesario para asegurar la comprensionprofunda.

En este tema se trata los principios basicos de la dinamica de Newton, primero aplicados auna masa puntual, y luego extendidos a un sistema de partculas.

Primero se comenzara con una introduccion sobre cinematicas en esta seccion, donde seintroduciran las magnitudes cinematicas y distintos tipos de movimiento. En la Seccion 2 seenunciaran las leyes de Newton que rigen todo el comportamiento dinamico de las partculas,una vez conocidas las fuerzas. En la Seccion 3 se hablara sobre distintos los distintos tiposde fuerzas que vamos a encontrarnos a lo largo del curso. En la Seccion 4 se estudiaran losconceptos de trabajo, potencia y energa, esta ultima primero en general y luego la energacinetica en particular. Se relacionaran las magnitudes entre ellas y se enunciara el teorema delas fuerzas vivas. La Seccion 5 tratara sobre un tipo especfico de fuerzas, las conservativas, y decomo para estas fuerzas se puede definir una magnitud escalar conocida como energa potencial.En la Seccion 6 se enunciara un teorema fundamental en la mecanica, como es el principio deconservacion de la energa mecanica. Hasta aqu se habran introducidos los conceptos y resultadosmecanicos mas importantes para una unica partcula, en la Seccion 7 se generalizaran todos losanteriores resultados para un sistema de partculas. El tema finaliza en la Seccion 8 estudiandolas colisiones entre partculas.

1.1. Espacio, tiempo y movil

Los conceptos de espacio, tiempo y movil son fundamentales para el desarrollo conceptual dela mecanica clasica, y las definiciones intentan plasmar la intuicion mas comun sobre ellos.

Espacio absoluto. Es el escenario donde ocurren los fenomenos fsicos. Se considera ho-mogeneo y que las leyes de la fsica son validas en todo el espacio.

Tiempo absoluto. Transcurre uniformemente e igual en todas la regiones del espacio.

Movil. El movil mas simple sera la masa puntual o punto material, que sera un cuerpomuy pequeno (solo ocupa un punto), pero que posee una masa finita. Por supuesto es unidealizacion, pero muchos moviles se pueden considerar puntuales dependiendo de la escalaen la que se trabaje.



1.2. Relatividad del movimiento

Para poder hablar de posicion se necesita un sistema de referencia, ya que, como veremos, elmovimiento es el cambio de posicion y la posicion se define como el vector que va del origen delsistema de referencia hasta el punto. As, una partcula estara en movimiento cuando su vectorde posicion vare en el sistema de referencia considerado. Por tanto, el movimiento se considerarelativo al sistema de referencia elegido. Por ejemplo, puedo ver que la silla en la que me sientono se mueve, por lo menos si utilizo un sistema de referencia fijo en el suelo. Sin embargo, vistodesde el espacio, la silla se mueve junto con la tierra, que se desplaza a una velocidad enorme enel sistema solar. No solo el hecho de si se mueve o no es relativo, sino que tambien lo sera el tipode movimiento.

1.3. Descripcion matematica del movimiento

z

r'

x

yO

P'C

P

r

Figura 1: Vector posicion ~r deuna partcula en dos instantesdistintos y la trayectoria recorri-da.

La posicion de una partcula en el espacio queda determi-nada por su vector de posicion ~r, que corresponde al vectorque tiene como inicio el origen de coordenadas O y como fi-nal el punto P donde se encuentra el cuerpo. Al moverse lapartcula, el extremo del vector ~r describira una curva C enel espacio que se conoce como trayectoria, lo que queda repre-sentado en la Figura 1.

El movimiento de una partcula queda determinado si seconoce su posicion en los distintos instantes de tiempo, esdecir, si se conoce ~r = ~r(t). En un sistema de coordenadascartesiano, conocer el vector ~r en todo instante es lo mismoque conocer cada una de sus coordenadas x = x(t), y = y(t)y z = z(t), ya que

~r(t) = x(t)+ y(t)+ z(t)~k

A esta expresion se le conoce como ecuacion del movimiento.El desplazamiento se define como el espacio recorrido por

el movil, es decir la longitud de la trayectoria recorrida, senotara como s y tambien estara en funcion del tiempo s = s(t). El desplazamiento estara rela-cionado con la variacion del vector de posicion ~r, de forma que para un movimiento rectilneose tiene que s = r =

x2 + y2 + z2. Sin embargo, si el movimiento es curvilneo, en

general, el desplazamiento no sera igual al modulo de la variacion del vector de posicion.

1.4. Velocidad

Una partcula pasa de un punto P a un punto Q en un intervalo de tiempo t, siguiendo unatrayectoria curvilnea. As, recorrera un espacio s, al prasar del ~r a ~r + ~r. Esta situacion seesquematiza en la Figura 2. La relacion entre el vector desplazamiento ~r y el tiempo transcurridot se denomina velocidad media < ~v >:

< ~v >=~rt

La velocidad media es un vector secante a la trayectoria, de la misma direccion y el mismosentido que el vector ~r.



zs

x

yO

QP

rr+ r

rC

Figura 2: Desplazamiento de unapartcula.

La velocidad definida de esta manera depende del intervalode tiempo t empleada en medirla. Para evitar esta depen-dencia, se trabaja en el lmite t 0, definiendo la velocidadinstantanea, ~v, como:

~v = lmt0

~rt

=d~r

dt

Como cualquier vector, el vector velocidad se puede ex-presar en funcion de sus componentes cartesianas:

~v =d~r

dt=dx

dt+

dy

dt+

dz

dtk = vx + vy + vz k

La expresion ~v = ~v(t), es decir la expresion que proporcionala velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo,se conoce como ecuacion de la velocidad.

El vector velocidad se puede expresar como ~v = vet, es decir, el vector velocidad es igualal su modulo por un versor et que lleva la misma direccion que d~r, por lo que es tangente a latrayectoria. Esto tambien se puede ver si se divide y multiplica por el espacio recorrido en ladefinicion de velocidad y se opera, de forma:

~v = lmt0

~rs

st

= lmt0

~rs

lmt0

st

=ds

dt

d~r

ds

Un desplazamiento infinitesimal d~r se puede considerar como recto, por lo que ds = |d~r|. Entoncesel segundo cociente de la anterior expresion es igual al vector d~r dividido por su modulo, es decir,un versor en la direccion de d~r. Por otro lado, el espacio recorrido en el paso infinitesimalds =

dx2 + dy2 + dz2, por lo que:

ds

dt=

dx2 + dy2 + dz2

dt=

dx2 + dy2 + dz2

dt2=

=

(dx

dt

)2+(dy

dt

)2+(dz

dt

)2=v2x + v2y + v2z = v

El resultado vuelve a ser ~v = vet.

1.5. Aceleracion

La aceleracion medira la variacion del vector velocidad por unidad de tiempo. De igual maneraque se definio velocidad media y, mediante el paso al lmite, velocidad instantanea, se puede definiraceleracion media, < ~a >:

< ~a >=~vt

Como esta definicion depende del intervalo de tiempo, se hace el lmite t 0 para definirla aceleracion instantanea, ~a, como:

~a = lmt0

~vt

=d~v

dt=d2~r

dt2

Como cualquier vector, el vector aceleracion se puede expresar en funcion de sus componentescartesianas:

~a =d~v

dt=dvxdt

+dvydt

+dvzdtk = ax + ay + az k



En este caso, la direccion del vector aceleracion, en general, no es ni tangente ni normal almovimiento, pero apunta siempre hacia la concavidad de la trayectoria (hacia el interior de lacurva que este describiendo la trayectoria en ese punto).

1.6. Componentes intrnsecas de la aceleracion

El vector aceleracion se puede descomponer en dos vectores, uno normal o perpendicular almovimiento, y otro tangente. La primera de estas dos componentes se conoce como aceleracionnormal, an, y la segunda como aceleracion tangencial, at. S la direccion normal a la trayectoriase caracteriza por el versor en (apuntando hacia la concavidad), la aceleracion en funcion de estasdos componentes queda:

~a =d~r

dt= atet + anen

Las expresiones de las dos componentes son:

at =dv

dty an =

v2

R(1)

donde R es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto. A continuacion se deducen estasdos expresiones.

El vector aceleracion es la derivada del vector velocidad, pero este ultimo se puede expresarcomo ~v = vet. Introduciendo esto en la definicion de la aceleracion queda

~a =d(vet)dt

=dv

dtet + v

detdt

(2)

De la primera parte de la anterior expresion se deduce la expresion de at. Sobre la segunda parte,hay que calcular cuanto vale detdt . Para ello, se parte de que et et = 1. Si esta igualdad se derivacon respecto al tiempo:

d(et et)dt

=detdt et + et det

dt= 2et det

dt= 0

Por lo que los vectores detdt y et son perpendiculares. As, el vectordetdt es normal a et, en el plano

que definen dos tangentes consecutivas (plano oscuratriz) y hacia la concavidad, o lo que es lomismo, lleva la misma direccion que el versor en. Falta obtener su modulo.

Para ello se observa la Figura 3. En esta figura se ven dos puntos P y P , que estan separadosun desplazamiento infinitesimal d~r. Por perpendicularidad de triangulos se puede ver que eltriangulo formado por et, et y det es equivalente al formado por los dos radios R y el vectordesplazamiento d~r. Por tanto, se debe cumplir que:

|det||et| =

|d~r|R

Ahora, la denominador del termino de la izquierda es el modulo de un versor, por lo que es iguala uno, y el modulo del vector desplazamiento infinitesimal es ds. Con esto, el modulo vector detqueda:

det =ds

R



P'

R

e 'tet

e 't

det

P

R

dr

Figura 3: Esquema de dos puntosP y P , separados un desplaza-miento infinitesimal.

El modulo del vector detdt , sera por tanto:detdt = detdt = 1R dsdt

pero ya se vio, cuando se hablo de velocidad instantanea, quedsdt es igual al modulo de la velocidad, con lo que el vector

detdt

quedadetdt

=v

Ren

Si esta ultima expresion se tiene en cuenta en la expre-sion del vector aceleracion (2), se obtiene la expresion de laaceleracion normal que aparece en (1).

1.7. Tipos de movimiento

A continuacion se enumeran ciertos movimientos comunes y sus ecuaciones del movimiento yde la velocidad.

1.7.1. Movimiento rectilneo uniforme

En este caso ~a = 0, por lo que el vector velocidad sera una constante que llamaremos ~v0.Como no hay aceleracion, la velocidad sera siempre la misma, y la ecuacion de la velocidad queda:

~v = ~v0

Segun la definicion de velocidad

~v0 =d~r

dt ~v0dt = d~r

y si en t = 0, la partcula se encuentra en ~r0, la anterior ecuacion se puede integrar t0

~v0dt = ~r~r0

d~r ~v0t = ~r ~r0

donde se ha tenido en cuenta que ~v0 es constante. Si se despeja la posicion en funcion del tiempose obtiene la ecuaciones del movimiento:

~r = ~r0 + ~v0t

Puede verse que, como ~v0 es una constante, la ecuacion del movimiento es en realidad laecuacion de una recta, como era de esperar ya que el movimiento es rectilneo.

1.7.2. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

En este caso la aceleracion es constante ~a y la velocidad inicial ~v0 lleva la misma direccionque la aceleracion (lo que se nota ~v0||~a).

Para calcular la ecuacion de la velocidad, se utiliza la definicion de la aceleracion:

~a =d~v

dt ~adt = d~v



Como en t = 0 la partcula lleva una velocidad ~v0, la anterior ecuacion se puede integran resul-tando t

0

~adt = ~v~v0

d~v ~v ~v0 = ~adtcon lo que se obtiene la ecuacion de la velocidad:

~v = ~v0 + ~at

Para que el movimiento sea rectilneo, la velocidad debe llevar siempre la misma direccion alvariar el tiempo, y para que esto suceda es facil ver que en la anterior ecuacion que ~v0 y ~a debentener la misma direccion, que es la condicion que se ha exigido inicialmente.

Para obtener la ecuacion del movimiento, solo hay que repetir los pasos que se realizaronpara el movimiento rectilneo uniforme, pero utilizando la ecuacion de la velocidad anteriormentecalculada:

~v =d~r

dt ~vdt = d~r (~v0 + ~at)dt = d~r

y si en t = 0, la partcula se encuentra en ~r0, la anterior ecuacion se puede integrar t0

(~v0 + ~at)dt = ~r~r0

d~r ~v0t+ 12~at2 = ~r ~r0

Si se despeja la posicion en funcion del tiempo se obtiene la ecuacion del movimiento:

~r = ~r0 + ~v0t+12~at2

Se puede elegir el eje x en la misma direccion que la aceleracion y la velocidad, de esta maneralas anteriores ecuaciones quedaran:

x= x0 + v0t+ 12at2

y= y0z= z0

lo que corresponde con un movimiento rectilneo.

1.7.3. Movimiento con aceleracion constante

Dentro de este caso se encuentra el anterior movimiento rectilneo uniformemente acelerado,pero tambien engloba otros movimientos. Como su nombre indica, la aceleracion es constante,~a = cte, y actuando de forma analoga a la realizada anteriormente se puede obtener la ecuaciondel movimiento y de la velocidad:

~r = ~r0 + ~v0t+12~at2

~v = ~v0 + ~at

La diferencia con el caso anterior es que ahora no se requiere que le velocidad inicial y la acele-racion tengan la misma direccion. Si se toma el eje y en la misma direccion que la aceleracion,tal que ~a = a, las anteriores ecuaciones quedan:

x= x0 + v0xty= y0 + v0yt+ 12at

2

z= z0 + v0zt

vx= v0xvy= v0y + atvz= v0z


2 PRINCIPIOS DE LA DINAMICA DE NEWTON

El ejemplo mas tpico de un movimiento de aceleracion constante que no sea un movimientorectilneo uniformemente acelerado es un tiro parabolico. En este caso el cuerpo sale disparadocon una velocidad ~v0 = v0x + v0y desde un punto ~r0. Una vez en el aire, solo afecta la fuerza dela gravedad y la aceleracion que tiene es ~a = g, con g la aceleracion de la gravedad, el eje yes vertical y el eje x horizontal. Si la partcula permanece suficientemente cerca de la superficieterrestre, la aceleracion de la gravedad se puede considerar constante. Por tanto es un movimientode aceleracion constante pero es facil de comprobar que su trayectoria no sera rectilnea sino unaparabola (salvo si v0y = 0 que no sera un tiro parabolico sino uno vertical).

1.8. Posiciones, velocidades y aceleraciones relativas

z

x

yO

r

P z

x

yO

r

r O

Figura 4: Posicion de una partcula des-de dos sistemas de referencia.

Como ya se ha indicado con anterioridad, el movi-miento de una partcula es un concepto relativo, ya quedepende del sistema de referencia que se este conside-rando. As, si se tienen dos sistemas de referencias comolos que se muestran en la Figura 4, el punto P donde seencuentra una partcula se describira mediante distin-tos vectores de posicion en cada uno de los sistemas dereferencia. En el caso del sistema de referencia 1 (de-finido por los ejes x, y, z y el origen O), el punto Pse describe mediante el vector de posicion ~r; mientrasque en sistema de referencia 2 (definido por los ejes x,y, z y el origen O), el mismo punto se describe conel vector de posicion ~r. El punto es el mismo, pero losvectores de posicion son distintos al utilizarse distintossistemas de referencia en cada caso. Este es el sentido

del concepto relatividad del movimiento.Por supuesto, si se conoce el vector de posicion ~rO del origen O (origen del sistema 2) en el

sistema de referencia 1, es muy sencillo relacionar los vectores de posicion del punto P en ambossitemas:

~r = ~rO + ~r

Esta misma discusion realizada se puede realizar para la velocidad. As, si se deriva la anteriorecuacion se obtiene la relacion entre la velocidad de la partcula en el sistema de referencia 1, ~v,y la velocidad en el sistema de referencia 2, ~v:

~v = ~vO + ~v

donde ~vO es la velocidad del origen de coordenadas del sistema 2, O, que ve el sistema decoordenadas 1. Por supuesto, si un sistema de referencia no se mueve respecto el otro ~vO = 0 ylos dos sistema veran la misma velocidad.

Si se vuelve a derivar la ultima ecuacion se obtiene la relacion entre las aceleraciones que venlos sistemas 1 y 2, ~a y ~a:

~a = ~aO + ~a

donde ~aO es la aceleracion de O vista desde el sistema de referencia 1.

2. Principios de la dinamica de Newton

Por la experiencia sabemos que los cuerpos se mueven debido como resultado de la inter-accion que otros cuerpos que lo rodean realizan sobre el. Estas interacciones se describe con la



introduccion del concepto fsico de fuerza. La mecanica se encarga de establecer una relacionentra estas fuerzas o interacciones y los movimientos que provoca.

La mecanica clasica, que es la que estudiaremos en este curso, se encargara de establecer larelacion entre interaccion y movimiento para las partculas no demasiado grandes ni demasiadopequenas, moviendose a velocidades no demasiado altas. Es decir, para los fenomenos que sonobservados comunmente. La mecanica relativista y la mecanica cuantica, son las partes de lafsica encargadas de extender la anterior relacion a los cuerpos grandes y/o moviendose a granvelocidad, la primera, y para los cuerpos pequenos, la segunda.

La mecanica proporciona lo que se llama leyes del movimiento, que son relaciones entre lasfuerzas y el movimiento que estas provoca. Sin embargo, no se encarga de obtener la expre-sion propia de las fuerzas, sino que de esto se encarga otra ramas de la fsica o a traves de laexperimentacion. Estas expresiones de las fuerzas se recogen en las leyes de fuerzas.

Las leyes de movimiento no son otras cosas que las tres leyes de Newton, y permiten obtenercomo se van a mover los cuerpos una vez que se tienen las leyes de fuerzas.

Por otro lado las leyes de fuerza proporcionan las expresiones matematicas de estas en funciondel medio ambiente que rodea a la partcula que se considere.

2.1. Fuerzas y masas

Estos dos conceptos son los mas importantes propios de la dinamica, ya que los conceptosconcernientes al movimiento son propios de la cinematica.

Masa. Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento.Es escalar y aditiva.

Fuerza. Es una medida de la interaccion del medio ambiente que rodea a la partcula sobreesta. Como la interaccion tiene caracter direccional, las fuerzas seran vectoriales.

2.2. Primera ley de Newton o ley de inercia

La primera ley de Newton dice

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uni-forme a menos que se le obligue a variar dicho estado mediante fuerzas que actuensobre el.

Esta ley viene a decir dos cosas fundamentales. Por un lado establece que el reposo y elmovimiento rectilneo son una misma cosa, y por otro permite determinar la ausencia de fuerza.

La primera ley proporciona un procedimiento operacional para detectar cuando actua unafuerza neta sobre un cuerpo: cuando no siga un movimiento rectilneo uniforme. Por tanto, lapresencia de aceleracion implicara la presencia de fuerza. El principal problema radica en que laaceleracion es una magnitud relativa, dependiente del sistema de referencia elegido.

La primera ley es valida solo si el sistema de referencia que se utiliza no tiene aceleracion, loque se conoce como un sistema de referencia inercial. Si se trabaja como un sistema de referenciaque tiene una cierta aceleracion ~a, una partcula en reposo se vera en este sistema como teniendouna aceleracion ~a. Por ejemplo, si nos encontramos en un tren en reposo, con una bola en lamesa delante de nosotros y el tren comienza arranca y comienza a aumentar su velocidad, veremoscomo la bola se desplaza hacia nosotros. Un observador fuera del tren (inercial) podra explicarperfectamente por que la bola se desplaza, pero un observador dentro del tren (no inercial)tendra que recurrir a una fuerza misteriosa que hace rodar la bola.



Por tanto, hay que buscar sistemas de referencia que sean inerciales (sin aceleracion), lo queno es tan facil como parece. Por ejemplo, un sistema de referencia centrado en la superficieterrestre posee una aceleracion debida a la rotacion de la Tierra, que es del orden de 0,03 m/s2

(dependiendo de la latitud). Si se toma un sistema de referencia en el centro de la Tierra, peroque no gire con ella, tambien tendra una aceleracion debida a la traslacion en torno al Sol, siendodel orden de 0,006m/s2. Pero si nos vamos a un sistema de referencia fijo en el Sol, tambienexistira una aceleracion debida a la rotacion del Sistema Solar entorno al centro de la galaxia,que se estima del orden de 3 1010m/s2.

2.3. Segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton dice

La variacion del movimiento de una partcula es proporcional a la fuerza que actuasobre el cuerpo y se realiza en la direccion de la recta en que actua la fuerza.

Matematicamente, esta ley se puede expresar como:

~F = m~a (3)

donde ~F es la resultante de las fuerza (la suma de todas las fuerzas), ~a es el vector aceleracionque se estudio en cinematica y representa la variacion del movimiento, y m es la constante deproporcionalidad entre las dos magnitudes que se conoce como masa de la partcula.

Es conveniente resaltar que la ecuacion (3) es una ecuacion vectorial, lo implica tres igual-dades.

La segunda ley de Newton proporciona una procedimiento operacional para medir fuerzas.Estas fuerzas son vectores, por lo que cumple el principio de superposicion, es decir, se puedensumar vectorialmente. Esto, al igual que cualquier resultado obtenido directamente de las leyesde Newton, es un hecho experimental y no es el resultado de una definicion o una deduccion, yaque las leyes se obtuvieron directamente de la experimentacion.

Las unidades de masa son el kilogramo en el S.I. y el gramo en el CGS.; por lo que las unidadesde fuerza seran kg m/s2 en el S.I., que recibe el nombre de Newton (1 N = 1kg m/s2), y g cm/s2

en el C.G.S., que recibe el nombre de dina (1 din = 1g cm/s2 = 1 105 N).

2.4. Momento lineal o cantidad de movimiento

La segunda ley de Newton se refiere a la variacion del movimiento de un cuerpo, y estemovimiento se ha identificado con velocidad (ya que la variacion de movimiento se ha identi-ficado con aceleracion). Sin embargo, el estado de movimiento de un puno a 30 km/h y de unmosquito a 30 km/h no es el mismo (si no me cree pongase delante de un puno y de un mosquitoy compruebe por s mismo si la situacion fsica es la misma). Este estado de movimiento se des-cribe mas correctamente con una magnitud llamada momento lineal o cantidad de movimiento,que se define como el producto de la masa de la partcula por su velocidad:

~p = m~v

El momento lineal se mide en kg m/s, en el S.I..Con esta definicion la segunda ley de Newton se puede escribir de una forma mas general,

resultando:~F =

d~p

dt(4)



Esta expresion de la segunda ley incluye la expresion (3), en el caso de partculas de masaconstante, pero permite extender la segunda ley a partculas de masa variable, como es el casode cohetes o aviones a reaccion.

La expresion (4) de la segunda ley de Newton tambien permite reformular la primera ley, deforma que en ausencia de fuerza neta (~F = ~0), se tiene que el momento lineal de la partculapermanece constante (~p = cte). Este resultado se conoce como principio de conservacion delmomento lineal para una partcula.

2.5. Impulso

De la expresion (4), se puede obtener que para un intervalo de tiempo muy pequeno dt secumple

~Fdt = d~p

Como la anterior expresion es cierta para cualquier intervalo de tiempo infinitesimal, sera validatambien para una suma de estos intervalos. Es decir tb

ta

~Fdt = ~pb~pa

d~p = ~pb ~pa

El impulso de una fuerza, ~I, se define como el termino de la izquierda de esta ultima igualdad,es decir:

~I = tbta

~Fdt

El impulso se mide en Ns y el impulso de la resultante de las fuerzas cumple:

~I = ~p

Que se conoce como teorema de la cantidad de movimiento, e implica que el impulso de unafuerza puede verse como la efectividad de dicha fuerza para camibiar el estado de movimientode un cuerpo.

2.6. Tercera ley de Newton

La tercera ley de Newton dice

A toda accion se le opone siempre una reaccion igual: osea, las acciones mutuasentre dos cuerpos un sobre otro se dirigen siempre en sentidos opuestos

Esto quiere decir que si la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 se nota ~F12, y lafuerza que el cuerpo 2 ejerce 1 se nota como ~F21, se tiene

~F12 = ~F21 (5)As, una fuerza por s sola es unicamente la mitad de una interaccion mutua entre dos cuerpos,y cualquiera de las dos portes de la interaccion se puede considerar como accion y cualquieracomo reaccion.

Es importante notar que las fuerzas ~F12 y ~F21 no se anulan, desde el punto de vista de ladinamica de una partcula, ya que actuan sobre cuerpos distintos. Si sobre los cuerpo 1 y 2solo actuan las anteriores dos fuerzas, aplicando la segunda ley de Newton sobre estos cuerpos 1y 2, se tiene:

~F21 =d~p1dt

y ~F12 =d~p2dt


3 TIPOS DE FUERZA

Sumando las dos ecuaciones se tiene:

~F12 + ~F21 =d~p1dt

+d~p2dt

=d(~p1 + ~p2)

dt

pero como se cumple (5), entonces la suma de los dos momentos lineales individuales de las dospartculas es constante:

~p1 + ~p2 = cte

Este anterior resultado se conoce como principio de conservacion del momento lineal para dospartculas. Este resultado es facil de extender a mas partculas, resultando que para un sistemade partculas, si solo actuan fuerzas internas (entre las partculas), la suma de los momentoslineal de todas las partculas se conserva. Este hecho se volvera a deducir en la Seccion 7, cuandose trate mas extensamente con sistemas de partculas.

3. Tipos de fuerza

Como ya se dijo en la seccion anterior, una vez conocidas la fuerzas, las leyes de Newtonproporcionan una descripcion completa del movimiento de la partcula. Sin embargo, la obtencionde la expresion de las fuerzas no es un trabajo propio de la mecanica, sino que se tienen queobtener mediante experimentacion u otras ramas de la fsica. Son las que antes hemos llamadoleyes de fuerza. A continuacion se estudiaran brevemente las fuerzas mas comunes con las quepodemos encontrarnos.

3.1. Fuerzas fundamentales

Aunque existen muchas situaciones distintas donde las fuerzas toman expresiones dispersas,todas las interacciones se pueden reducir a cuatro interacciones o fuerzas fundamentales: gravi-tatoria, electromagnetica, fuerte y debil.

La interaccion fuerte es la responsable de la estabilidad de los nucleos atomicos, estableciendo-se entre hadrones; mientras que la interaccion debil se produce entre cualquier tipo de partculaselementales, siendo de mucho menor valor que la interaccion fuerte. Estas dos interacciones sonde corto alcance y solo tienen efectos a escala nuclear.

La fuerza gravitatoria que una masa m1 ejerce sobre otra masa m2 resulta:

~Fg = Gm1m2R312

~R12

donde G es la constante de gravitacion universal y ~R12 es el vector que va de m1 a m2.La fuerza electromagnetica se establece entre cargas. Para una carga, q, moviendose dentro

de un campo electrico ~E y un campo magnetico ~B, la fuerza que los campos hacen sobre la cargaes:

~Fe = q( ~E + ~v ~B)donde ~v es la velocidad de la partcula.

Los dos tipos de fuerzas anteriores son fuerzas de largo alcance y, por tanto, son las unicas queintervienen significativamente en los fenomenos macrocopicos. Sin embargo, para un electron setiene que el cociente Fe/Fg es del orden de 1036, por lo que siempre que haya fenomenos electri-cos el efecto de las fuerzas gravitatorias se puede despreciar. Por tanto, todos los fenomenosmacroscopicos, salvo el peso, se deben a interacciones electromagneticas. Aun as, es imposibleexplicar muchas de las fuerzas cotidianas (tensiones, fuerzas de rozamientos, fuerzas impulsi-vas,. . . ) a partir de estas fuerzas fundamentales, y es necesario recurrir a la experimentacionpara poder explicarlas.


3 TIPOS DE FUERZA

3.2. Peso y peso aparente

El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos que estan sobre ella. Se puedemedir a traves de la aceleracion que adquiera un cuerpo en cada libre ~g, que sera independientede la masa del cuerpo, de forma que el peso ~P es

~P = m~g

La aceleracion de la gravedad ~g depende de varios factores, como la latitud, la altura, la proxi-midad de grandes masas como montanas, etc.; por lo que ~P no es una propiedad intrnseca delos cuerpos, sino que vara de unas posiciones a otras.

La sensacion que nosotros tenemos de la accion de la fuerza gravitatoria no proviene directa-mente del peso sino a traves de las fuerzas que compensan o actuan como reaccion a este peso.El ejemplo mas habitual de estas fuerzas que compensan es la fuerza normal (se estudiara unpoco mas adelante en la seccion de fuerzas de ligadura).

Las fuerza de reaccion que equilibra el peso se conocen como peso aparente. Cuando no hayreaccion que lo equilibre, el peso aparente es nulo y se conoce como situacion de ingravidez.

Ejemplo. Calcular el peso aparente de un cuerpo en suelo de un ascensor esta ace-lerando.Cuando un cuerpo esta situado en el suelo de un ascensor, las fuerzas que actuansobre el son el peso, vertical y hacia abajo, y la fuerza normal que el suelo ejercesobre el cuerpo y evita que el cuerpo penetre en el suelo, que sera tambien verticalpero hacia arriba. Por tanto, la suma de estas fuerzas sera igual a la masa del cuerpopor la aceleracion. La componente vertical de la segunda ley de Newton quedara:

N mg = madonde a es la aceleracion que lleva el ascensor (y por ello el cuerpo que se mueve conel). La fuerza que aparece como reaccion al peso es la normal, y por lo tanto esta esel peso aparente, y resulta:

N = m(g + a)

Si se coloca una balanza en el suelo del ascensor y el cuerpo encima, cuando elascensor no acelera, la normal sera N = mg y este sera el peso aparente que medira labalanza. Pero si el ascensor acelera hacia arriba, a sera positiva, la normal sera N =m(g + a), mayor que mg, y la balanza medira un peso mayor que el que en realidadtiene. Y al contrario, si el ascensor lleva una aceleracion hacia abajo, a sera negativa,la normal sera N = m(ga), menor que mg, y la balanza medira un peso menor queel que en realidad tiene. El caso lmite sera cuando el ascensor tenga una aceleracionhacia abajo igual a la aceleracion de la gravedad, entonces N = 0 y el peso aparentees nulo, lo que antes se ha llamado situacion de ingravidez. (Que pasara cuando laaceleracion sea hacia abajo y mayor que la gravedad?)

3.3. Fuerza de rozamiento entre solidos

Es una fuerza de tipo electromagnetico y su origen es la repulsion que se ejerce entre moleculasde distintos materiales en las superficies imperfectas en contacto. Aun as, no es posible estudiarsus propiedades ni su expresion partiendo de consideraciones electromagneticas, sino que hay querecurrir a la experiencia para poder tratarla.

A traves de experimentos se observa que la fuerza de rozamiento siempre se opone al mo-vimiento relativo entra las superficies en contacto, o bien a la tendencia al movimiento (no


3 TIPOS DE FUERZA

es necesario que se muevan para que aparezcan estas fuerzas). Dentro de ciertos margenes esindependiente de la velocidad de las superficies y del area de las mismas, siendo directamenteproporcional a la fuerza normal que se genera entre ellas (si no hay fuerza normal entre lassuperficies no existe fuerzas de rozamiento).

Existe por tanto dos tipos de fuerzas de rozamiento: la fuerza de rozamiento estatica y lafuerza de rozamiento dinamica. En la primera existe una tendencia al movimiento, pero no seproduce movimiento y es el caso que ocurre cuando empujamos algo sin llegar a moverlo. Si ees el coeficiente de rozamiento estatico entre las dos superficies y ~N es la fuerza normal a las dossuperficies, el modulo de la fuerza de rozamiento estatica es:

FRe eN

La direccion es la misma que la tendencia al movimiento y el sentido oponiendose a el. Esconveniente notar que la expresion de esta fuerza nos da un lmite maximo, a partir del cual elcuerpo se movera, pero no nos proporciona el valor numerico de dicha fuerza (sera una incognita).

Por otro lado, si las superficies en contacto se mueven una respecto de otra y d es el coeficientede rozamiento dinamico entre las dos superficies, el modulo de la fuerza de rozamiento dinamicaes:

FRd = dN

La direccion es la misma que la velocidad relativa y el sentido contrario a esta.

3.4. Fuerza de rozamiento en fluidos

Esta fuerza es tambien una fuerza de rozamiento, pero en este caso no existe fuerza estatica.Como tal se opone al movimiento, pero en este caso depende de las propiedades del fluido(viscosidad), de la geometra del cuerpo y es directamente proporcional a la velocidad.

~Fr = b~v

donde b es una constante dependiendo de la geometra del cuerpo y de la viscosidad del fluido. Porejemplo, para una esfera moviendose en el seno de un fluido newtoniano, la fuerza de rozamientoviscosa queda

~Fr = 6piR~vdonde R es el radio de la esfera y es la viscosidad del fluido.

Ejemplo. Obtener la ecuacion del movimiento de un cuerpo en cada libre su-friendo la fuerza de rozamiento debido al aire. Suponer que el cuerpo se encuentrasuficientemente cerca de la superficie terrestre para considerarse la gravedad constan-te.Supongamos que el cuerpo parte del reposo, por la accion de la gravedad comienzaa acelerar verticalmente hacia abajo y en el momento que adquiere velocidad, apa-rece la fuerza resistiva hacia arriba. Por tanto dos son las fuerzas que actuan sobreel cuerpo: el peso y la fuerza de rozamiento. Segun la segunda ley de Newton en ladireccion vertical se tiene:

FR P = maSustituyendo el valor de la fuerza de rozamiento se tiene:

bv mg = ma bmv g = dv

dt


3 TIPOS DE FUERZA

Si notamos B = bm , agrupamos las variables t y v en miembros distintos, se tiene:

dt =dv

Bv g t

0

dt = v

0

dv

Bv g t = 1B

ln(Bv + gg

)Y despejando la velocidad y sustituyendo el valor de B se obtiene:

v =mg

b

(e

btm 1

)Se puede observar como inicialmente la velocidad es nula y va aumentado hacia abajohasta que en el infinito toma un valor fijo, conocido como velocidad lmite e igual a:

vl = mgb

Es facil comprobar como la velocidad lmite corresponde con la situacion en la queFR = mg.

Para obtener la ecuacion del movimiento no hay mas que integrar la ecuacion dela velocidad:

dy

dt= v =

mg

b

(e

btm 1

)

yy0

dy = t

0

mg

b

(e

btm 1

)dt

y y0 = mgb

(mbe

btm +

m

b+ t)

Lo que permite obtener la ecuacion del movimiento:

y = y0 +mg

b

(t+

m

b

(1 e btm

))Como puede verse, la ecuacion del movimiento dista mucho de la tpica ecuacion decada libra, en la cual el espacio aumenta con el cuadrado del tiempo. Si el rozamientoes pequeno, la exponencial se puede expresar siguiendo un desarrollo en serie de Tailor(se estudiara en calculo mas adelante) como:

ebtm = 1 b

mt+

12b2

m2t2 + . . .

Si nos quedamos a orden 2 (despreciamos potencias mayores de 2 de b, ya que seranmuy pequenas) y se sustituye este desarrollo en la ecuacion del movimiento nos queda:

y = y0 12gt2

Que corresponde con la ecuacion del movimiento en ausencia de rozamiento.

3.5. Fuerzas elasticas

La fuerza elastica es la fuerza recuperadora que aparece al deformarse un solido y tiende aque este recupere su forma original. En general depende de la naturaleza del cuerpo y de cuantose haya deformado. Dentro del margen de elasticidad (antes de que la deformacion sea tan grandeque se vuelva permanente o se rompa) y para deformaciones en una dimension (que tomaremoscomo el eje x), la expresion es

~Fe = kx


3 TIPOS DE FUERZA

donde k es la constante elastica del material y x es la deformacion que sufre el material. Comopuede verse la fuerza actua en sentido contrario a la deformacion.

El caso mas tpico que se suele encontrar es el de muelles, de forma que k se conoce como laconstante del muelle y x es lo alargado o encogido que se encuentre el muelle desde su posicionde relajo.

Ejemplo. Obtener la ecuacion del movimiento de un cuerpo sometido unicamentea la accion de una fuerza elastica. Suponer que cuando el cuerpo se encuentra en elorigen de coordenadas el muelle esta relajado y que inicialmente el cuerpo se encuen-tra en reposo en x = A.Como el cuerpo se encuentra originalmente en reposo y el origen de coordenadascorresponde con la situacion en la que el muelle esta relajado, el cuerpo se muevesobre el eje x bajo la accion de una fuerza en la direccion y de modulo Fe = kx.Aplicando la segunda ley de Newton en la direccion , queda

Fe = ma kx = ma

Si se tiene en cuenta la definicion de la aceleracion la ecuacion anterior queda:

kmx =

dv

dt

Se observa como hay dos funciones x y v que dependen del tiempo de una formadesconocida. No se puede realizar el mismo procedimiento que se hizo para la fuerzade rozamiento en fluidos, ya que no hay una sola funcion, a parte del tiempo, sinodos. Por eso, hay que intentar eliminar una de las funciones o el tiempo, para poderdespejar y luego integrar. Para eso se multiplica y se divide el termino derecho de laecuacion por la velocidad y luego se utiliza la definicion de velocidad y se simplifica:

kmx =

v

v

dv

dt=

vdxdt

dv

dt= v

dv

dx k

mx = v

dv

dx

Una vez realizado este procedimiento lo que se tiene es una igualdad funcional en laque solo intervienen dos funciones x y v, por lo que se puede despejar y luego integrar:

kmxdx = vdv

xA

k

mxdx =

v0

vdv

donde se ha tenido en cuenta las condiciones iniciales indicadas. La integral es facilde realizar y permite obtener la velocidad en funcion de la posicion:

k

m

(A2

2 x

2

2

)=v2

2 v =

k

m(A2 x2)

Sin embargo, esto no es lo que se pide, ya que la ecuacion del movimiento corres-ponde con la expresion de la posicion en funcion del tiempo. Para obtenerla hay quetener en cuenta la definicion de la velocidad como v = dxdt , que sustituyendo en laanterior ecuacion queda:

dx

dt=

k

m(A2 x2) dx

km (A

2 x2)= dt

xA

dxkm (A

2 x2)= t

0

dt


3 TIPOS DE FUERZA

La integral de la izquierda se puede hacer facilmente sin mas hacer la transformacion xA

dxkm (A

2 x2)=m

k

xA

dxA2 x2

que es una integral inmediata, cuya primitiva es arcsen(xA

). Con esto la igualdad que

relaciona x y t queda: m

k

(arcsen

( xA

) arcsen

(A

A

))= t

pero el arcoseno de uno es igual a cero, con lo que la anterior ecuacion queda:m

karcsen

( xA

)= t arcsin

( xA

)=

k

mt

Si se toma seno en ambas partes de la igualdad, se obtiene la ecuacion del movimiento:

x = Asen

(k

mt

)

Si se define =

km la anterior ecuacion queda como:

x = Asen (t)

que corresponde con la ecuacion de un movimiento oscilatorio armonico simple, defrecuencia angular , amplitud A y fase inicial nula.

3.6. Fuerzas de ligadura

Todas las fuerzas que se han estudiado hasta ahora son fuerzas activas, es decir, pueden actuarsobre el cuerpo cambiando el estado de movimiento. Las fuerzas de ligadura, por el contrario noson fuerzas activas, sino que son responsables de mantener ciertas condiciones geometricas.

Por ejemplo, para un cuerpo moviendose encima de una superficie horizontal, una condiciongeometrica del problema sera que todo el movimiento que realice el cuerpo debe restringirse ala region por encima de la mesa, aunque haya fuerzas verticales hacia abajo. En este caso lamesa generara una fuerza perpendicular que se conoce como fuerza normal y que impedira queel cuerpo atraviese la mesa.

La fuerza normales suelen aparecer cuando existen superficies rgidas y es el ejemplo mascomun de las fuerzas de ligadura, pero existen otras muchas, como por ejemplo un cuerpo obligadoa moverse a lo largo de un alambre o un canal.

3.7. Fuerzas de inercia

Consideremos una partcula en reposo, por lo que su aceleracion cumple ~a = ~0. Si describimossu movimiento desde un sistema de referencia no inercial, con aceleracion ~a0, lo que se vera esque la partcula se mueve con una aceleracion ~a = ~a0. Si en el sistema de referencia no inercialintentamos aplicar la segunda ley de Newton (lo que sabemos que es incorrecto, ya que las leyesde Newton solo son validas en sistemas de referencia inerciales) quedara

~F = m~a0


4 TRABAJO Y ENERGIA

Por lo tanto deducimos que debe haber una fuerza, de valor m~a0 que provoque la aceleracionque vemos, aunque no podamos encontrar una agente que genera dicha aceleracion. Por tanto,para encontrar las fuerzas de inercia en un sistema de referencia no inercial, hay que saber deantemano cual es la aceleracion a0 del sistema de referencia; en cuyo caso, la fuerza de inerciaque actua sobre la partcula quedara

~Fi = m~a0Estas fuerzas no son necesarias si se trabaja en sistemas de referencias inerciales, que es lo

mas comodo y lo aconsejado en este curso.Se suele decir que las fuerzas de inercia son fuerzas ficticias, porque no existe nada que las

genere, y en este curso pensaremos precisamente esto: no existen fuerzas de inercia.

La anterior afirmacion es incorrecta a la luz del principio de relatividad generalde Einstein, en el que se afirma que son indistinguibles un campos de aceleraciones yun campo gravitacional. Decir que una fuerza de inercia no existe sera equivalente,segun ese principio, a decir que la aceleracion de la gravedad no existe.

4. Trabajo y energa

Las leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de una partcula cuando se conocela fuerza en funcion del tiempo, es decir ~F = ~F (t). Sin embargo, en la mayora de las situacionespracticas, lo que se conoce es la fuerza en funcion de la posicion, es decir, ~F = ~F (~r). Es poresto que es conveniente introducir el concepto de energa para estudiar el movimiento de siste-mas cuyas fuerzas dependan de la posicion. Ademas, el concepto de energa permitira abordarproblemas incluso desconociendo la ley de fuerzas, siempre que se puedan realizar suposicionesrazonables sobre su naturaleza. Este concepto de energa relaciona campos de la fsica aparente-mente inconexos, como electromagnetismo, mecanica o fsica de partculas.

El concepto de energa se introducira a partir del de trabajo, aunque historicamente surgieranal reves.

4.1. Trabajo

Una fuerza ~F = ~F (~r) se puede ver como un campo vectorial, por lo que se puede definir lacirculacion de la fuerzas entre dos puntos, a lo largo de una determinada trayectoria. El trabajoW de la fuerza se define como esta circulacion.

W = ~rb~ra C

~F d~r

Por tanto, el trabajo es una magnitud escalar que depende de los puntos iniciales y finalesy de la trayectoria C.

La unidade del trabajo en el S.I. es el julio que equivale a un Newton por metro 1 J = 1 Nm.En es sistema CGS, la unidad se conoce como ergio, que equivale a una dina por centmetro,1 erg = 1 din cm.

Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todos los puntos de la trayectoria, el trabajoes nulo. Esto sucede sucede, por ejemplo, si un hombre levanta un cuerpo de 100 kg y, mientralos sostiene, lo traslada horizontalmente con velocidad constante. Durante el traslado, la unicafuerza que genera el hombre es una fuerza vertical hacia arriba que contrarresta al peso. Es facilver que si se desplaza horizontalmente, la fuerza que genera el hombre y el desplazamiento sonperpendiculares, y por tanto el trabajo es nulo.


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4 TRABAJO Y ENERGIA

Las trayectorias pueden ser cerradas, es decir, parten de un punto y terminan en el mismopunto. En este caso el trabajo realizado a traves una trayectoria cerrada C se nota como:

W =

C

~F d~r

Ejemplo 1. Trabajo realizado por el peso de un objeto situado cerca de la super-ficie terrestre cuando describe una trayectoria arbitraria desde Pi = (xi, yi, zi) hastaPf = (xf , yf , zf ).La fuerza peso que se ejerce sobre un cuerpo cerca de la superficie terrestre es cons-tante y cumple ~F = mgk, donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleracion dela gravedad es esa region y el versor k es vertical y hacia arriba. La trayectoria sesupone generica, por lo que d~r = dx+ dy+ dzk. Si se realiza el producto vectorial~F d~r = mgdz. Introduciendo este resultado en la definicion de trabajo queda:

W = PfPi

~F d~r = PfPi

mgdz = mg zfzi

dz = mg(zf zi) = mgz

Por tanto, el trabajo realizado no depende de la trayectorias ni de las coordenadas xe y de los puntos iniciales y finales, sino solo de la diferencia de alturas entre el puntoinicial y el punto final, z.

Ejemplo 2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza centrpeta en un movimientocircular.En un movimiento circular la trayectoria es un crculo, por lo que la velocidad ~v y eldesplazamiento d~r son dos vectores tangentes a dicho crculo. La fuerza centrpeta, pordefinicion, apunta siempre hacia el centro de curvatura, lo que en este caso coincidecon con un radio del crculo. Por tanto, la fuerza centrpeta y el vector desplazamientoson perpendiculares lo que producen que:

W = BA

~F d~r = 0

Ejemplo 3. Dada la fuerza ~F = 2xy + (x2 + 2yz3) + 3y2z2k, calcular el traba-jo realizado entre los punto P1 = (0, 0, 0) y P2 = (1, 2, 3) siguiendo las siguientestrayectorias: a) (0, 0, 0) (1, 0, 0) (1, 2, 0) (1, 2, 3); b) por la recta que pasadirectamente por los puntos P1 y P2. (Nota: todas las unidades estan en S.I.)a) El trabajo total W se puede ver como la suma de los trabajos empleados en reco-rrer cada uno de los trozos: W = W1 +W2 +W3.En el trozo 1, d~r = dx, por lo que

W1 = P2P1

~F d~r = 1

0

Fxdx = 1

0

2xydx

Como en este primer trozo y = 0 durante todo el trayecto, hay que sustituir y por 0en la anterior integral y resulta W1 = 0.En el trozo 2, d~r = dx, por lo que

W2 = P2P1

~F d~r = 2

0

Fydy = 2

0

(x2 + 2yz3)dy


4 TRABAJO Y ENERGIA

Como en este segundo trozo x = 1 y z = 0 durante todo el trayecto, sustituyendoqueda

W2 = 2

0

dy = 2 J

.En el trozo 3, d~r = dxk, por lo que

W3 = P2P1

~F d~r = 3

0

Fzdz = 3

0

3y2z2dz

Como en este tercer trozo x = 1 y y = 2 durante todo el trayecto, sustituyendo queda

W3 = 3

0

12z2dz =[4z3]30

= 108 J

.El trabajo total sera

W = W1 +W2 +W3 = 110 J

b) En este segundo caso, el vector desplazamiento lleva siempre la direccion de lalnea que une P1 con P2. El vector que une dichos dos puntos se puede construirfacilmente restando las correspondientes coordenadas. As, si ~r1 y ~r2 son los vectoresde posicion de los puntos P1 y P2, el vector que une los dos puntos sera

~r12 = ~r2 ~r1 = + 2+ 3k

La trayectoria en este caso es una recta de vector director ~r12 y que pasa por el origen,por lo que la ecuacion de la recta en parametricas sera:

x = ; y = 2; z = 3

lo que diferenciando queda:

dx = d; dy = 2d; dz = 3d

Esta es la condicion que cumple cada una de las coordenadas del vector desplaza-miento d~r es su movimiento de P1 a P2, por lo que el vector desplazamiento queda:

d~r = d+ 2d+ 3dk

Con esto se puede calcular ya el trabajo total W :

W = P2P1

~F d~r = P2P1

(Fxd+ 2Fyd+ 3Fzd) = 10

(42d+ 2(2 + 1084)d+ 3244d

)=

43

+23

+2165

+3245

= 2 + 108

con lo queW = 110 J

Se ha visto que el trabajo de dos mismos puntos a traves de dos trayectorias iguales ha


4 TRABAJO Y ENERGIA

resultado identico. Esto no significa que si se toma una tercera trayectoria entre los dospuntos, el trabajo vaya a salir igual que en los dos casos anteriores. Se estudio que paraque esto sea as, el rotacional de la fuerza debe ser cero en todo punto. Comprobemossi es as:

rot~F =~ ~F = kx

y

z

Fx Fy Fz

=

kx

y

z

2xy x2 + 2yz3 3y2z2

=(6yz2 6yz2) (0 0)+ (2x 2x)k = 0

Por lo tanto, el trabajo entre los puntos P1 y P2 a traves de cualquier trayectoriaes W = 110 J

4.2. Potencia

La potencia es una magnitud que relaciona el trabajo realizado por una fuerza y el tiempoempleado en realizar dicho trabajo. En principio si una fuerza realiza un determinado trabajo alllevar una partcula de una posicion a otra, no hay nada en esta informacion que permita indicarsi la fuerza ha tardado mas o menos tiempo en realizar dicho trabajo y por tanto en recorrerel trayecto. Por lo tanto se pueden tener situaciones en las que el trabajo realizado por fuerzasmuy distintas sea el mismo.

La potencia que realiza una fuerza se define, por tanto, como la derivada del trabajo realizadopor una fuerza con respecto al tiempo:

P =dW

dt

Es por tanto una magnitud escalar, y sus unidades en el S.I. es el watio, 1 W = 1J/s, y en elCGS las unidades seran ergios por segundo.

Es facil encontrar otra expresion para la potencias sin mas que sustituir la expresion deltrabajo diferencial dW = ~F d~r en la definicion:

P =dW

dt=

~F d~rdt

= ~F d~rdt

= ~F ~v

es decir, la potencia que realiza una fuerza es el producto escalar de dicha fuerza por la velocidad.

4.3. Energa

La energa es una magnitud fsica que mide la capacidad que un sistema o un cuerpo tienede producir un trabajo. Se podra decir que es como un almacen de trabajo. Es tambien unamagnitud escalar y se mide en las mismas magnitudes que el trabajo.

Los dos tipos de energa que aparecen en mecanica son:

Energa cinetica: la capacidad que tiene un cuerpo de producir trabajo debido a la velocidadque lleva el cuerpo.

Energa potencial: la capacidad que tiene un cuerpo de producir trabajo debido a la posiciono configuracion que tiene el cuerpo, respecto de una campo de fuerzas externo.


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5 FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGIA POTENCIAL

4.4. Teorema de conservacion de la energa cinetica

Este teorema tambien se conoce clasicamente con el nombre de Teorema de las Fuerzas Vivas.Consideremos una partcula de masa m que se mueve bajo la accion de una fuerza resultante ~F .En este caso, el trabajo que realiza dicha fuerza resultante para ir del punto A al punto B es:

WAB = BA C

~F d~r

pero como ~F es la resultante de las fuerza cumple la segunda ley de Newton:

WAB = BA

m~a d~r = m BA

d~v

dt d~r = m

BA

d~v d~rdt

= m BA

d~v ~v

Para hacer esta integral solo hay que diferenciar la igualdad ~v ~v = v2, que produced(~v ~v) = d~v ~v + ~v d~v = 2~v d~v = d(v2)

por tanto ~v d~v = 12d(v2). Si esto se sustituye en la expresion del trabajo:

WAB =12m

BA

d(v2) =12mv2B

12mv2A

Si se define la energa cinetica de una partcula como Ec = 12mv2, el resultado anterior implica

que el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas es igual a la variacion de energa cinetica:

W = Ec

Es importante notar que este resultado solo es valido para la resultante de las fuerzas.Si, por ejemplo, sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas ~F1 y ~F2, los trabajos W1 y W2 realizadospor estas dos fuerzas en el desplazamiento de un cuerpo en general no seran igual a la variacionde energa potencial (W1 6= Ec y W2 6= Ec).

Por ultimo, una duda que se nos podra presentar es que tanto W como Ec dependen del sis-tema de referencia inercial que se tomen (a traves de la velocidad y la posicion respectivamente).Sin embargo, es facil comprobar que el teorema de conservacion de la energa cinetica se cumplepara cualquiera de estos sistemas inerciales.

5. Fuerzas conservativas. Energa potencial

En general WAB es una funcion de camino, es decir, depende de la trayectoria recorridapara ir de A a B. Sin embargo, existen ciertas fuerzas para las que el trabajo no depende delcamino, es decir:

WAB = BA C1

~F d~r = BA C2

~F d~r

para dos caminos cualquiera C1 y C2 distintos.La primera consecuencia de esta definicion es lo que sucede con el trabajo sobre un camino

cerrado W =~F d~r. En cualquier trayectoria cerrada como la que se muestra en la Figura

5, se pueden definir dos puntos A y B, de forma que sobre la trayectoria total se definen dostrayectorias parciales, C1 que va de A a B siguiendo C, y C2 que va de B a A siguiendo C (verFigura 5). Entonces, el trabajo a traves de la trayectoria cerrada C se puede escribir como:

C

~F d~r = BA C1

~F d~r + AB C2

~F d~r (6)


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z

x

yO

B

C

A

C1

C1

C2

Figura 5: Trayectoria ce-rrada.

Igual que se puede ir de B a A a traves de C2, tambien se puedeir de A a B a traves del mismo camino, sin mas que invertir cadauno de los pasos infinitesimales que componen la circulacion, lo quesupone cambiar d~r en cada paso por d~r. Por lo tanto se cumple: A

B C2

~F d~r = BA C2

~F d~r

Si este resultado se sustituye en (6), el trabajo a traves de unatrayectoria cerrada queda:

C

~F d~r = BA C1

~F d~r BA C2

~F

Pero si la fuerza es conservativa el trabajo entre dos puntos no de-pende del camino, y se llega a la conclusion:

C

~F d~r = 0

Es decir, el trabajo a traves de cualquier trayectoria cerrada de una fuerza conserva-tiva es nulo. Esto ya se enuncio en el tema anterior para cualquier campo vectorial conservativo,pero no se demostro como se acaba de hacer.

De hecho, todo lo que estudio en el tema anterior para campos vectoriales conservativos sepuede aplicar a fuerzas conservativas (como caso particular de campo vectorial conservativo).Por ejemplo, segun el teorema de Stokes, para fuerzas conservativas se cumple ~ ~F = 0.

Otra propiedad que se estudio para campos vectoriales conservativos es que se pueden expresarcomo el gradiente de un campo escalar, lo que implica que la circulacion entre dos puntos se puedeexpresar como la variacion de esta funcion escalar entre los dos puntos extremos de la trayectoria.Si f(~r) es el campo escalar al que nos referimos para la fuerza ~F , esto significa:

~F = ~f and W~rA~rB = ~rB~rA

~F d~r = f(~rB) f(~rA)

Por motivos historicos no se utiliza esta funcion escalar f sino menos esta funcion escalar, yse la denomina energa potencial, Ep. Por tanto, para toda fuerza conservativa se puededefinir una energa potencial y el trabajo de esta fuerza es igual a menos la variacionde la energa potencial:

WAB = Ep = (EpB EpA

)Ejemplo 1. Estudiar si la fuerza gravitatoria cerca de la superficie terrestre es

conservativa y calcular su energa potencial.En el primer ejemplo de la Seccion 4.1 se calculo el trabajo realizado por el peso parair de un punto A a otro B, y el resultado fue:

W = mg(hB hA)donde m es la masa del cuerpo, g la gravedad y hA y hB la altura de los puntos Ay B. Por tanto, es facil ver que la fuerza es conservativa (el trabajo no depende elcamino) y que la energa potencial, en este caso llamada energa potencial gravitatoriaes Ep = mgh.


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Ejemplo 2. Estudiar si las fuerzas centrales son conservativas.Una fuerza central es aquella que se puede expresar en coordenadas esfericas como:

~F = F (r)r

Es decir, la fuerza lleva la direccion de la lnea que une el punto donde se considere lafuerza y el origen de coordenadas, que se llama centro de fuerzas, y cuyo modulo solodepende de la distancia a ese centro. Se vio en el tema anterior que el vector desplaza-miento en coordenadas esfericas se puede expresar como d~r = drr+rsend+rd.Por tanto, el producto escalar de ~F y d~r queda ~F d~r = F (r)dr. Con esto, el trabajoentre dos puntos A y B queda:

WAB = BA

F (r)dr

Esta expresion es una integral escalar en una dimension, por lo que no depende delcamino, lo que indica que las fuerzas centrales son conservativas. Otra formaalternativa demostrar que las fuerzas centrales son conservativas habra sido calcular~ ~F (haciendo uso de coordenadas esfericas) y comprobar efectivamente que esigual a cero.

Ejemplo 3. Estudiar si la fuerza gravitatoria lejos de la superficie terrestre esconservativa y calcular su energa potencial.La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m es

~Fg = GMTmr2

r

donde el origen del sistemas de coordenadas esta en el centro de la tierra, G es laconstante de gravitacion universal, MT es la masa de la tierra y ~r es el vector de posi-cion del cuerpo. Como puede verse, esta expresion corresponde a una fuerza central,por lo que es una fuerza conservativa segun lo visto en el ejemplo anterior (otro ejem-plo clasico de fuerza de este tipo sera la fuerza electrostatica, que se estudiara masadelante en el curso). Para calcular la energa potencial hay que calcular el trabajoentre dos puntos A y B. Este sera

WAB = BA

GMTmr2

dr =(GMTm

rBGMTm

rAdr

)por lo que la energa potencial sera Ep = GMTmr (cuidado con el signo).

Ejemplo 4. Estudiar si la fuerza elastica de un muelle es conservativa y calcularsu energa potencial.En una dimension hemos visto que la fuerza de un muelle es F = kx, suponiendoque cuando el cuerpo esta en el origen el muelle esta relajado. En este caso el trabajopara ir de un punto a otro sera:

WAB = BA

Fdx = BA

kdx = (

12kx2B

12kx2A

)por lo que no depende del camino, sera una fuerza conservativa y la energa potencialsera Ep = 12kx

2. En el caso mas general que el origen no este en el punto de reposodel muelle, la fuerza queda F = kx donde x es lo que se ha estirado o contradoel muelle, y la energa potencial quedara Ep = 12kx

2.


6 CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

Para terminar esta seccion solo hay que indicar que hay una arbitrariedad a la hora de elegirla formula de la energa potencial, ya que anadiendo cualquier constante a la formula se siguecumpliendo que el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variacion de la energapotencial. Por ejemplo, para el caso del peso (cerca de la superficie terrestre), la energa potenciales Ep = mgh, pero tambien se podra definir como Ep = mgh + 27, ya que Ep = Ep. Sedice que el origen de la energa potencial (el lugar donde se hace cero) es arbitrario.

6. Conservacion de la energa mecanica

Por un lado hemos visto que el trabajo de la fuerza resultante era igual a la variacion de laenerga cinetica, es decir WAB = Ec. Por otro parte, si todas las fuerzas que actuan sobreun cuerpo son conservativas se puede definir una energa potencial para cada una de ellas, y secumple para el trabajo de la resultante de las fuerzas:

WAB = BA

i

~Fi d~r =i

BA

~Fi d~r =i

Epi

Si se define la energa potencial total Ep como la suma de las energa potenciales, Ep =

iEpi,se tiene que para la resultante de las fuerzas, si todas son conservativas, el trabajo es:

WAB = EpSi se igualan las dos expresiones para el trabajo de la resultante de las fuerzas se tiene:

Ec = Ep EcB EcA = EpA EpB EcB + EpB = EcA + EpAPor lo tanto, si se define la energa mecanica de un cuerpo como la suma de la energa cinetica masla potencial, Em = Ec +Ep, entonces se tiene que la energa mecanica cumple, para cualesquierados puntos A y B que:

EmB = EmALo que se conoce como Principio de Conservacion de la Energa Mecanica y solo se cumple sitodas las fuerzas que actuan son conservativas.

6.1. Sistema no conservativos

Si alguna de las fuerzas que actuan sobre el cuerpo no es conservativa, el trabajo de laresultante de las fuerzas no es igual a menos la variacion de la energa potencial. En este caso,las fuerzas se pueden separar en conservativas ~FCi y no conservativas ~F

NCi , y para las primeras,

su trabajo s es igual a menos la variacion de la energa potencial, y se cumplira:

WAB = BA

i

~Fi d~r = BA

i

~FCi d~r + BA

i

~FNCi d~r = i

Epi + BA

i

~FNCi d~r

Si al igual que antes, la energa potencial total es la suma de las energas potenciales, Ep =iEpi, y el trabajo de las fuerzas no conservativas se nota como W

NC , se tiene:

WAB = Ep +WNC

Por otro lado, el trabajo de la resultantes de las fuerzas siempre es igual a la variacion dela energa potencial, con lo que la anterior igual queda:

Ec = Ep+WNC EcBEcA = EpAEpB+WNC EcB+EpB = EcA+EpA+WNC


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7 SISTEMAS DE PARTICULAS. CENTRO DE MASA

Esto significa que la energa mecanica no se conserva, sino que cumple:

EmB = EmA +WNC

El ejemplo mas tpico de esta situacion es cuando existe una fuerza de rozamiento. Como lafuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento, su trabajo siempre sera negativo (paracada paso infinitesimal se tiene ~FR d~r < 0), por lo que al pasar de un punto inicial A a un puntofinal B, la energa del punto final siempre sera menor que la del punto inicial.

7. Sistemas de partculas. Centro de masa

Hasta este punto del tema se ha estudiado la dinamica de una unica partcula puntual. Enlas dos secciones que restan se tratara el problema de sistemas de partculas, es decir, de comose mueven un conjunto de partculas puntuales.

Se parte de un sistema de N partculas, cada una con un vector de posicion ~ri. Sobre lapartcula i, generica, actua una fuerza resultante ~Fi, que sera la suma de las fuerzas debidas aagentes externos e internos. Por supuesto, sobre cada partcula se puede aplicar lo que se ha vistohasta ahora en el tema, en concreto la segunda ley de Newton. El resultado sera un sistema deN ecuaciones diferenciales acopladas tal como

m1d2~r1dt2

= ~F1

...

mid2~ridt2

= ~Fi

...

mNd2~rNdt2

= ~FN

(7)

Este sistema de ecuaciones esta acoplado, ya que las fuerzas que actuan sobre la partcula idependera en general de la posicion relativa de esta partcula respecto del resto del sistema.Aunque en teora se podra solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales, en la practica noes posible cuando existen fuerzas entre las partculas del sistema que varan con la distanciarelativa, como son las fuerzas gravitatorias o electromagneticas. En este caso, solo se puedenresolver analticamente para un sistema de dos cuerpos.

Aunque para sistemas de tres o mas cuerpos no se puede resolver el problema analticamente,se podra descomponer en complejo movimiento de un sistema como el de una partcula puntual,de masa la masa total del sistema, mas un movimiento relativo en torno al de esta partculapuntual. Esto es lo que se vera en el resto de la seccion.

7.1. Principio de conservacion del momento lineal para un sistema departculas

La resultante de la fuerzas ~Fi que actua sobre la partcula i se puede descomponer, en general,como:

~Fi = ~Fi,ext + ~Fi,int


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donde ~Fi,ext es la suma de de todas las fuerzas debidas a agentes externos y ~Fi,int es la suma detodas la fuerzas que el resto de las partculas del sistema ejercen sobre la partcula i. Si se realizaesta descomposicion, el sistema de ecuaciones diferenciales (7) queda

d~p1dt

= ~F1,int + ~F1,ext

...d~pidt

= ~Fi,int + ~Fi,ext

...d~pNdt

= ~FN,int + ~FN,ext

donde ~pi es el momento lineal de la partcula i. Si se suman todas las anteriores ecuaciones elresultado es

Ni=1

d~pidt

=Ni=1

~Fi,int +Ni=1

~Fi,ext (8)

Ahora bien, como se ha dicho antes la fuerza ~Fi,int es la suma de las fuerzas que el resto delas partculas ejercen sobre la partcula i, es decir

~Fi,int = ~Fi,1 + ~Fi,2 + + ~Fi,i1 + Fi,i+1 + + ~Fi,N =N

j=1(j 6=i)~Fi,j

donde ~Fi,j es la fuerza que la partcula j ejerce sobre la i, y la sumatoria recorre todas laspartculas menos la misma i, ya que la partcula i no puede ejercer una fuerza sobre s misma.En la suma

Ni=1

~Fi,int estara la fuerza que el resto de la partculas ejerce sobre la i, pero tambienla fuerza que el resto de las partculas ejerce sobre la j. As, dentro de la primera se encontrara ~Fi,jy dentro de las segunda estara ~Fj,i. Pero por la tercera ley de Newton se tiene que ~Fj,i = ~Fj,i,por lo que se anularan en la suma. Como esto sucede para cualquier dos partculas, el resultadoes que :

Ni=1

~Fi,int =Ni=1

Nj=1(j 6=i)

~Fi,j = 0

Si estos se sustituye en (8) el resultado es

Ni=1

d~pidt

=Ni=1

~Fi,ext

Si se define el momento lineal total del sistema ~pT como la suma de los momentos linealesindividuales de las partculas, es decir, ~pT =

Ni=1 ~pi, y la suma de todas las fuerzas exteriores

que actuan sobre el sistema se nota como ~Fext =N

i=1~Fi,ext, la ultima ecuacion queda como:

d~pTdt

= ~Fext (9)

Este ultima ecuacion es fundamental en el estudio de la dinamica de sistema de partculas. Porejemplo, si la resultante de las fuerzas exteriores que actuan sobre el sistema es nula, ~Fext = 0,


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de introducir esto en la ecuacion (9), se tiene

~pTdt

= 0 = ~pT = cte

es decir, el momento lineal total del sistema se conserva. A este resultado se conoce como principiode conservacion el momento lineal, e implica que si ~piA y ~piB son el momento lineal de la partculai en los instantes A y B, entonces:

Ni=1

~piA =Ni=1

~piB

7.2. Centro de masa

La expresion (9) se parece mucho a la segunda ley de Newton para una partcula puntual, loque induce a pensar que hay algo en los sistemas que se comporta respecto a las fuerzas exteriorescomo una masa puntual. Este algo sera el centro de masas.

Se define el centro de masas de un sistema de partculas como un punto geometrico cuyovector de posicion en el punto

~rCM =

Ni=1

mi~ri

Ni=1

mi

Si se llama mT =N

i=1mi a la masa total del sistema, el centro de masas se encuentra en laposicion

~rCM =1mT

Ni=1

mi~ri

Se puede calcular la velocidad del centro de masas, sin mas que derivar su posicion conrespecto al tiempo. El resultado es:

~vCM =d~rCMdt

=1mT

Ni=1

mid~ridt

=1mT

Ni=1

mi~vi =1mT

Ni=1

~pi =~pTmT

Es decir, el momento total del sistema es igual a la masa total del sistema por la velocidad delcentro de masa.

Tambien se puede encontrar la aceleracion del centro de masas

~aCM =d~vCMdt

=1mT

Ni=1

mi~ai =1mT

d~pTdt

Pero se tena que d~PTdt = ~Fext, por lo que se obtiene

mT~aCM = ~Fext

Esto implica que el centro de masas de un sistema de partculas, por muy complejo que seael sistema, se mueve como una partcula puntual, de masa mT y sometida a la accion de lasunicamente de las fuerzas exteriores.


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En el caso de que el sistema de partcula no este constituido por partculas discretas, sinoque sea un sistema continuo, la posicion del centro de masas quedara:

~rCM =1mT

~rdm

es decir, las componentes del vector de posicion del centro de masa seran

xCM =1mT

xdm , yCM =

1mT

ydm , zCM =

1mT

zdm

La velocidad y la aceleracion del centro de masa quedaran definidas como

~vCM =1mT

~vdm y ~aCM =

1mT

~adm

Si se tiene en cuenta que la densidad es = dmdV , con V el volumen, la posicion del centrode masa para un sistema continuo de partculas queda

~rCM =1mT

~rdV

y si el cuerpo es homogeneo, es decir = cte, quedara

~rCM =

V

~rdV =

1V

~rdV

La parte derecha de la anterior igualdad no es otra cosa que la expresion del centro geometricodel sistema. As, si el sistema continuo es homogeneo, el centro de masas se encuentra en el centrogeometrico del sistema.

7.2.1. Coordenadas relativas

Se puede elegir un sistema de coordenadas centrado en el centro de masa, de forma que laposicion de una partcula i en este sistema se notara ~ri, que se denomina posicion de la partculai relativa al centro de masa, o simplemente posicion relativa de la partcula i.

Teniendo esto en cuenta se tiene que para cualquier partcula i, su vector de posicion se puedeexpresar como:

~ri = ~ri + ~rCMSi la anterior ecuacion se multiplica por mi y se suma la para todas las partculas del sistema,

el resultado esNi=1

mi~ri =Ni=1

mi~ri +

Ni=1

mi~rCM

Pero la parte izquierda de la igualdad es mT~rCM , y el segundo sumatorio de la parte derechatambien resulta mT~rCM , por lo que se cumple:

Ni=1

mi~ri = 0

Al igual que se ha hecho con la posicion, la velocidad y la aceleracion de las partculas sepuede expresar como las velocidades y aceleraciones relativas al centro de masa, mas la velocidady la aceleracion del centro de masa, respectivamente. Es decir:

~vi =~vi + ~vCM~ai =~ai + ~aCM

(10)


VirginiaNota adhesivaotra forma


Repitiendo el mismo proceso que se hizo con la posicion relativa se obtiene que:Ni=1

mi~vi = 0 y

Ni=1

mi~ai = 0 (11)

7.3. Energa cinetica

Para una unica partcula se obtuvo que el trabajo de la resultante de las fuerzas era igual a lavariacion de la energa cinetica. Siguiendo con la misma idea, ahora interesa calcular el trabajode la resultante de las fuerzas que actua sobre todo el sistema, y se vera como se puede definiruna energa cinetica total del sistema de forma analoga a como se hizo para una partcula. Estaenerga cinetica total se podra descomponer en una energa cinetica relativa y una del centro demasa, simplificando su calculo.

Para calcular el trabajo de la resultante de las fuerzas ~FT que actuan sobre un sistema, hayque tener en cuenta que esta fuerza total es igual a la suma de las resultantes de las fuerzas queactuan sobre cada una de las partculas:

~FT =Ni=1

~Fi

donde ~Fi es la resultante de las fuerzas que actuan sobre la partcula i. Como el trabajo querealiza la resultante de las fuerzas que actuan sobre la partcula i es igual a la variacion de laenerga cinetica, el trabajo de la resultante total ~FT queda: B

A

~FT d~r = BA

Ni=1

~Fi d~r =Ni=1

BA

~Fi d~r =Ni=1

Eci =Ni=1

EciA Ni=1

EciB

donde Eci es la energa cinetica de la partcula i. De esta forma, si se define la energa cineticade un sistema de partculas como

Ec =Ni=1

Eci

entonces el trabajo de la resultante de las fuerzas que actuan sobre el sistema queda BA

~FT d~r = EcLa energa cinetica del sistema se puede descomponer en energa cinetica relativa o interna y

energa cinetica del centro de masa. Para ello, hay que utilizar la expresion de la velocidad de lapartcula i dada en (10). Teniendo en cuenta esta expresion, la energa cinetica de un sistema departculas queda:

Ec =Ni=1

Eci =Ni=1

12miv

2i =

Ni=1

12mi(~vi + ~vCM ) (~vi + ~vCM )

=Ni=1

12miv

i2 +

Ni=1

12miv

2CM +

Ni=1

mi~vi ~vCM =Ni=1

12miv

i2 +

12mT v

2CM +

(Ni=1

mi~vi

) ~vCM

El ultimo sumando es igual a cero, teniendo en cuenta la expresion (11), de forma que, si se definela energa cinetica relativa, Ec, y la energa cinetica del centro de masas como EcCM = 12mT v

2CM ,

la energa cinetica del sistema de partculas se puede descomponer como:

Ec = Ec + EcCM



7.4. Energa potencial

Si todas las fuerzas que actuan en el sistema y sobre el sistema son conservativas, tanto lasexteriores como las interiores, para cada una de ellas se podra definir una energa potencial, ypara el sistema completo se podra definir una energa potencial total EpT que sera la suma delas energas potenciales individuales.

EpT =Ni=1

Epi

donde Epi es la energa potencial total de la partcula i, tal y como se definio en la Seccion 5.As, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actua sobre el sistema de partculas quedara: B

A

~FT d~r = BA

Ni=1

~Fi d~r =Ni=1

BA

~Fi d~r =Ni=1

Epi = EpT

A parte de como la suma de las distintas energas potenciales de las partculas del sistema,la energa potencial total del sistema se puede separar en dos terminos, uno debido a las fuerzasinteriores y otro debido a las fuerzas exteriores. As:

EpT = BA

Ni=1

~Fi d~r = BA

Ni=1

~Fi,ext d~r BA

Ni=1

~Fi,int d~r = Epext + Epint

Donde Epi,ext es la energa potencial debido a las fuerzas externas y que en general solo depen-dera de la configuracion del centro de masa, y Epi,int es la energa potencial debido a fuerzasinternas y que solo dependera de las posiciones relativas. Por ejemplo, para un solido rgido, enel que la distancia entre dos partculas no puede variar, la energa potencial interna no puedevariar, por lo que no hay que considerarla y a efectos de energa potencial, solo habra que teneren cuenta la variaciones de energa potencial que sufra el centro de masa.

7.5. Principio de conservacion de la energa mecanica

Cuando todas las fuerzas que actuan sobre un sistema son conservativas, el trabajo de laresultante de las fuerzas que actua sobre el sistema ~FT se ha visto que se puede expresar comola variacion de la energa cinetica total o como menos la variacion de la energa potencial total.Si se tiene esto en cuenta se tiene una ecuacion similar a la que se encontro para una partcula:

Ec = Ep EcB EcA = EpA EpB EcB + EpB = EcA + EpAdonde se ha eliminado el subndice T en la energa potencial.

Si se aplican las descomposiciones a las energas cinetica y potencial realizadas en los dosanteriores apartados, la anterior ecuacion queda:

(Ec)B + (EcCM )B + (Epint)B + (Epint)B = (Ec)A + (EcCM )A + (Epint)A + (Epint)A

En el caso del solido rgido, la anterior ecuacion se simplifica enormemente, ya que se puedeeliminar Epint y E

c toma una forma muy sencilla.

Si se define la energa mecanica del sistema de partculas como la suma de la energa cineticamas la potencial, se vuelve a cumplir que la energa mecanica de un sistema de partculas seconserva cuando todas las fuerzas que intervienen son conservativas, es decir:

EmB = EmA


8 COLISIONES

lo que se conoce como el principio de conservacion de la energa mecanica para un sistema departculas.

Para terminar con el apartado, solo indicar que si existen fuerzas no conservativas actuandosobre el sistema (pueden ser externas y/o internas), el facil comprobar que la ecuacion energeticaqueda:

EmB = EmA +WNC

Donde WNC es el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas.

8. Colisiones

En la Seccion 7.1 se demostro que si no existen fuerzas exteriores el momento lineal totalde un sistema permanece constante. Este apartado se demuestra que en el caso de colisiones, elmomento lineal total de un sistema permanece constante aunque haya fuerzas externas, con talde que estas no sean impulsivas.

Por colision o choque se entendera una interaccion que dura muy poco tiempo, de forma quese puede considerar instantanea.

En la Seccion 7.1 se estudio que la derivada del momento lineal total cumpla (9), por lo quesi t es el tiempo que dura la interaccion, la variacion de momento lineal que se produzca sera:

~pT ~Fextt

Si la interaccion dura muy poco, t sera muy pequena, y si la hacemos tender a cero, ~pTtendera a cero tambien. Por lo que en el caso en el que la interaccion se instantanea se tendra:

~pT = 0 (12)

Existe una excepcion a la anterior deduccion y es el caso en el que se tengan fuerzas exteriores~Fext que tomen valores muy altos durante el pequeno tiempo que dura la interaccion. En este caso,al hacer el intervalo durante el que dura la interaccion tender a cero, no tienen por que resultaruna ~pT nula, ya que el producto de algo muy pequeno (el tiempo) por algo muy grande (lafuerza) no tiene que dar algo muy pequeno. Este tipo de fuerzas se denominan impulsivas y sonfuerzas que toman valores muy altos durante intervalos de tiempo pequeno. Ejemplos de estetipos de fuerzas hay muchos, por ejemplo, la fuerza que un palo de golf realiza sobre la pelota, lafuerza entre dos bolas de billar, etc. Es importante notar que puede haber (y casi siempre habra)fuerzas impulsivas dentro del sistema de partculas, pero no puede haber fuerzas externasimpulsivas, si se quiere que se cumpla la ecuacion (12).

Los choque pueden ser elasticos o inelasticos. Los choques elasticos son aquellos en los que seconserva la energa (la energa antes del choque es igual a la energa despues del choque), mientrasque los choques inelasticos son aquellos choques donde no se conserva la energa (generalmentese pierde energa en el choque). Dentro de los choques inelasticos, estan los choques denominadosplasticos o perfectamente inelasticos que son aquellos choques inelasticos con la mayor perdidade energa posible, lo que implica que los cuerpos que chocan permanecen unidos despues delchoque.


apuntes tema2 trabajo energia sp

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