apuntes para trabajar con geogebra matrices plataforma

CARRERA: CONSTRUCCION CIVIL

SEMESTRE: 20

PROFESOR: Sr. GABRIEL ARAVENA

M A T R I C E S

Las Matrices en el programa Geogebra las veremos de tres formas:

1) Icono VISTA ALGEBRA:

a) ingresemos una matriz, siempre con letras Maysculas. y parntesis de llaves con Alt Gr y y el otro se pone solo, por ejemplo:

A:={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,2,0}} y enter.

Son Filas

En la vista algebraica aparece: A =

1 2 3

1 2 3

4 2 0

2) Icono CAS:

a) En el icono VISTA pinchar x que es Clculo Simblico (CAS)

Profesor: Gabriel Aravena C.

Pagina 1

b) Eliminar la vista algebraica botn derecho x y la vista grafica botn derecho

x

c) Dejando la vista CAS en forma completa para las matrices y tenemos la portada:

1

d) ingresemos una matriz, siempre con letras Maysculas. y parntesis de llaves con Alt Gr y y el otro se pone slo.

A:={{3,-2},{3,1}} y enter.

Se Obtiene 3 2

:3 1

A

En la vista Algebraica aparece de la siguiente forma:

1.73 2

3 1A

Debe ponerse A con dos puntos y el signo igual si no se pone los dos puntos despus no se puede sumar ya que no los toma como valores.

La raz se pone en el icono VISTA y teclado, en el icono

987

654

321

pinchado dos

veces se pincha . y el nmero


Pagina 2

3) Icono Hoja de Clculo:

a) Cerrar la vista CAS. Pero debes tener abierto la vista algebraica

b) En el icono VISTA, pichar hoja de Clculo se escribe la matriz con filas y columnas por ejemplo:

3 2 2

1 0 3

0 1 3

c) Se marcan los datos, botn derecho del mouse, se pincha Crea y Matriz en vista Algbrica aparece la matriz, por ejemplo:

Matriz1=

1 2 3

1 2 3

4 2 0

d) Se puede cambiar el Nombre, pinchando botn derecho y propiedades del objeto y nombre.

En dicha matriz podemos encontrar: 12 32 333 5 3 2 5 2 0 16a a a

Para poner una raz en la hoja de clculo se escribe SQRT(el nmero) y enter, dicho nmero se da con decimales.


Pagina 3

OPERACIONES CON LAS MATRICES

Siempre escribe S:= y lo que deseas.

El Sistema CAS da la Matriz como fue ingresada.

En la vista algebraica la matriz es dada en forma decimal, puedes adems aumentar el nmero de decimales o disminuirlos en el icono opciones y redondeo.

SUMA:

La suma de matrices goza de las propiedades conmutativa y asociativa y tiene elemento neutro (la matriz nula).

A + B = B + A

(A +B) + C = A + (B + C)

A + 0 = 0 + A = 0

Para toda matriz A = (aij), se define su matriz opuesta

-A = (-aij) tal que:

A + (-A) = 0

Ejercicio 1:

Ingresa las siguientes matrices en el sistema Geogebra y smalas.


Pagina 4

2 3

4 1A

4 5

1 2B

Despus escribe C:= A+B y enter y obtienes 2 2

1 1C

RESTA:

Si dos matrices A y B son equidimensionales, entonces

A - B = A + (-B).

O sea que, para restar de A la matriz B, basta con sumar a A la opuesta de B.

La resta de matrices no es conmutativa. A - B B - A

Ejercicio 2: Resta las matrices del ejercicio 1

D:=A-B y enter y obtienes 6 8

5 3D

Realiza tambin B A.

6 8

5 3E

Luego A B B A

MULTIPLICACION POR UN ESCALAR.

Para multiplicar una matriz A por un escalar k cualquiera, basta multiplicar cada elemento de A por l escalar k.


Pagina 5

Ejercicio 3: En el sistema CAS puedes escribir F:= 2A y enter.

4 6

8 2F

Tambin puedes realizar la siguientes operaciones G:= 3A+4B lo cual da:

22 29

16 11G

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ.

Dada una matriz A cualquiera, se llama traspuesta de A, y se simboliza con At , a una

matriz que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A.

Ejercicio 4: hallar la transpuesta de A del ejercicio 1.

La Transpuesta de una matriz, escribiendo en la bandeja de entrada G:=transpone[matriz] y enter.

2 3

4 1A

2 4

3 1

tA

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ.

Asociado a cada matriz cuadrada A hay un nmero llamado determinante de A.

Determinante de A se puede escribir de dos formas:

A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un

nmero real)

Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para evitar la confusin.

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:


Pagina 6

2221

1211

aa

aaA A ( a11 ) ( a22 ) ( a21 ) ( a12 )

Ejemplo:

Encuentre A si

3 23 1 4 2 3 8 3 8 5

4 1A

En el programa Geogebra, tenemos P:=Determinante[Matriz] y enter, da un valor.

Ejemplo 1: sea

11-2-

111-

312

= A ; Hallar el determinante de A

Solucin.

Calcularemos el determinante por la primera fila

1 1 1 1 1 11 2 1 3

1 1 2 1 2 1

2 1 3

A = -1 1

-2 -1 1

2(1 1) 1( 1 2) 3(1 2) 4 1 9 12

multiplicar multiplicar

RESTAR

multiplicar multiplicar

RESTAR


Pagina 7

INVERSA DE UNA MATRIZ.

Tambin la inversa de una matriz escribiendo en la bandeja de entrada G:=inversa[matriz] y enter.

Sea A una matriz no singular de orden n. Existe, asociada a ella, una matriz llamada "la inversa de A", que se anota A-1 y que satisface la condicin:

A.A-1 = A-1.A = In

donde In es la matriz identidad.

Se demuestra que, dada A, su matriz inversa A-1 se obtiene efectuando las operaciones que se indican en la igualdad que sigue:

)C( .1

=At

A

A

1-

,

donde A es el determinante de A y (CA)t es la matriz de los co-factores de A,

traspuesta.

Ejemplo 1: sea

11-2-

111-

312

= A ; se quiere calcular A-1.

Calcularemos el determinante por la primera fila

1 1 1 1 1 11 2 1 3

1 1 2 1 2 1

2 1 3

A = -1 1

-2 -1 1

2(1 1) 1( 1 2) 3(1 2) 4 1 9 12


Pagina 8

Adems, los cofactores son:

1 1

1111 1

C( ) = = 1 - (-1) = 2a-1 1

1 21 1( )12

-1 1C( ) = = -1 - (-2) = 1a

-2 1

1 3

113-1 1

C( ) = = 1 - (-2) = 3a-2 -1

2 11 ( 1)( )21

1 3C( ) = = 1 - (-3) = 4a

-1 1

2 2

1222 3

C( ) = = 2 - (-6) = 8a-2 1

2 31 ( 1)( )23

2 1C( ) = = -2 - (-2) = 0a

-2 -1

3 1

1311 3

C( ) = = 1 - 3 = 2a1 1

3 21 ( 1)( )32

2 3C( ) = = 2 - (-3) = 5a

-1 1

3 3

1332 1

C( ) = = 2 - (-1) = 3a-1 1

la matriz de los cofactores es:

35-2-

084-

31-2

= C A y

303

5-81-

2-4-2

= )C(t

A , de donde:

4

10

4

1

12

5-

3

2

12

1-

6

1-

3

1-

6

1

=

303

5-81-

2-4-2

.12

1 = )C.(

1 = A

t

A

A

1-


Pagina 9

Verificacin:

para verificar la validez de la matriz obtenida, A se pre-multiplica y se post-multiplica por A-1, debiendo resultar, por definicin de matriz inversa, la matriz identidad I. En efecto,

I =

100

010

001

=

4

10

4

1

12

5-

3

2

12

1-

6

1-

3

1-

6

1

.

11-2-

111-

312

= AA. 31-

I =

100

010

001

=

11-2-

111-

312

.

4

10

4

1

12

5-

3

2

12

1-

6

1-

3

1-

6

1

= .AA 31-

RANGO DE UNA MATRIZ

Una matriz cuadrada de orden n tendr inversa si su rango es n.

El Rango de una matriz, se escribe P:=rangoMatriz[Matriz] y enter.

MULTIPLICACION DE MATRICES.


Pagina 10

Ejemplos:

Si A2x3 =

31132

401 y B3x4 =

02321

0011

1121

, entonces

(A B)2x4 =

32349192

1932 5

En el programa Geogebra, tenemos P:=AB y enter. Nota debes poner el signo

E J E R C I C I O S D E M A T R I C E S

1. Dadas las matrices

101

121,

181

120,

30

71,

05

29DCBA

Calcular: A+B, B-A, C+D, D-C, 2A, -3C, 2A-B

2. Dadas las matrices del ejercicio anterior calcula:

La matriz opuesta de A

La matriz opuesta de C.

ttt CBA ,,

BAt

tDC

ttt BABA ,

3. Dadas las matrices

20

11

12

,12

31,

10

11

12

,21

01DCBA

BDyDBb

AByBAa

)

)

DBAd

CDyDCc

)

)

ttttt ABBABAf

DBCyDBCe

,,)

)


Pagina 11

4.- Dadas las matrices:

30

12

11

=y

315

031

102

BA

6214

113

319

4

1 que Comprueba a) 1A

5.- Calcular la inversa de las siguientes matrices, en caso de que se pueda:

011

011

111

A

001

011

111

B

110

421

021

C

111

211

013

D

12

31E

2331

1211

2121

1111

F

1 1 1

2 1 2

0 0 1

G

1 1 2

2 1 1

3 0 3

H

2 1 0

1 2 2

3 3 1

I

2 1 1 1

0 0 1 0

2 1 1 1

0 0 0 1

J

1 2 0 0

0 3 0 0

0 0 2 1

0 0 0 3

K

3 4 2 7

2 3 3 2

5 7 3 9

2 3 2 3

L


Pagina 12

6.- Dadas las siguientes matrices:

620

201

421

A

111

012

323

B

34

12

12

43C

12

21D

0243

1112

3011

2421

E

a) Clasificar las matrices anteriores segn tipo.

b) Calcular suma y producto dos a dos donde sea posible.

c) Calcular el rango de las matrices.

7.- Sea la matriz

222

222

222

B

Comprobar que 0223 BB

8. Un supermercado quiere poner en oferta tres clases de bandejas: A, B y C.

La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de

camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso

anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort

y 80 g de camembert.

Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtn

matricialmente la cantidad que necesitarn, en kilogramos de cada una de las tres

clases de quesos.


Pagina 13

Solucin:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la

matriz que buscamos, con las cantidades en gramos.

Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos:

9. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que

quiere comprar cada persona (A, B, C).

b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos

fruteras.

c) Obtn una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo

que se gastara cada persona haciendo su compra en cada una de las dos

fruteras.

60021

60025

60026

100

80

50

8012080

80120160

15012040

Ca

R

M

C

B

A

Ca

R

M

CBA

6,21

6,25

6,26

60021

60025

60026

1000

1

Ca

R

M

euros/kg. 2

naranjas las yeuros/kg, 0,8 manzanas las euros/kg, 1,8 cuestan peras las , En

euro/kg. 2 naranjas las yeuro/kg, 1 manzanas las euros/kg, 1,5 cuestan peras las , En

y fruterias, dos hay v iven que el en pueblo el En

2

1

21

F

F

FF .


Pagina 14

Solucin:

c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:

10. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay

tres hoteles,

a) Escribe en forma de matriz el nmero de habitaciones (dobles o sencillas) que

necesita cada una de las tres familias.

b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitacin en cada uno de los

tres hoteles.

c) Obtn, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el

gasto diario que tendra cada una de las tres familias en cada uno de los tres

hoteles.

22

8,01

8,15,1b)

321

422

612a)21

N

M

P

C

B

A

FFNMP

4,95,9

2,1313

4,1616

22

8,01

8,15,1

321

422

6122121

C

B

A

N

M

P

C

B

A

FFFFNMP

euros/da. 44 sencilla la yeuros/da, 85 cuesta doble la , En euros/da. 43 cuesta

sencilla la yeuros/da, 86 cuesta doble habitacin la , En euros/da. 45 de es sencilla

habitacin la de el yeuros/da, 84 de es doble habitacin la de precio el , hotel el En

sencillas. dos y

doble habitacin 1 necesita familia la ysencilla, una ydobles eshabitacion 3 necesita

familia la sencilla, una ydobles eshabitacion 2 necesita familia La .y

3

2

1

321

H

H

H

C

BAHHH ,


Pagina 15

Solucin:

c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:

11. Una empresa tiene tres factoras, F1, F2, F3, en las que se fabrican

diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a

continuacin:

F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.



Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada

unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la produccin diaria, obtn matricialmente el

beneficio diario obtenido con cada una de las tres factoras.

Solucin:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la

matriz que buscamos:

444345

858684b)

21

13

12)321

S

D

C

B

Aa

HHHSD

173172174

299301297

214215213

444345

858684

21

13

12 321321

C

B

A

S

D

C

B

A HHHSD HHH


Pagina 16

12. En una pastelera elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche,

huevos y azcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:

A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azcar y 4 huevos.

B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azcar y 7 huevos.

C: 1 litro de leche y 200 g de azcar.

El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el

litro de leche, 1 euro el kg de azcar, y 1,2 euros la docena de huevos.

Obtn matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres

(teniendo en cuenta solamente los tres ingredientes indicados).

Solucin:

El precio de cada litro de leche es de 0,6 euros; el precio de cada gramo de

azcar es de 0,001 euros; y el precio de cada huevo es de 0,1 euros.

Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la

matriz que buscamos:

6002

1008

7002

30

20

5

405080

20010020

3040200

3

2

1

3

2

1

F

F

F

C

B

A

F

F

F

CBA

8,0

262,1

95,0

1,0

001,0

6,0

02001

71124/3

41004/3

C

B

A

H

Az

L

C

B

A

HAzL


Pagina 17

Por tanto, el postre A supone 0,95 euros, el B 1,26 euros; y el C, 0,8

euros.

13.- En una papelera van a vender carpetas, cuadernos y bolgrafos,

agrupndolos en tres tipos de lotes:

- Lote A: 1 carpeta, 1 cuaderno y 1 bolgrafo.

- Lote B: 1 carpeta, 3 cuadernos y 3 bolgrafos.

- Lote C: 2 carpetas, 3 cuadernos y 4 bolgrafos.

Cada carpeta cuesta 6 euros, cada cuaderno 1,5 euros y cada bolgrafo 0,24

euros.

a) Escribe una matriz que describa el contenido (nmero de carpetas, cuadernos y

bolgrafos) de cada lote.

b) Obtn matricialmente el precio total de cada uno de los lotes A, B y C.

Solucin:

a) La matriz ser:

CARPETAS CUADERNOS BOLGRAFOS

1 1 1

1 3 3

2 3 4

A

Lotes B

C

b) Los precios de cada carpeta, cada cuaderno y cada bolgrafo se resumen en la

matriz:

24,0

5,1

6

BOLGRAFO

CUADERNO

CARPETA

Si multiplicamos la matriz obtenida en a) con esta ltima, obtendremos la matriz

que buscamos:


Pagina 18

46,17

22,11

74,7

24,0

5,1

6

432

331

111

BOLGRAFO

CUADERNO

CARPETA

BOLGRAFOCUADERNOCARPETA

C

B

A

C

B

A

Es decir, el lote A cuesta 7,74 euros, el lote B, 11,22 euros y el lote C, 17,46

euros.

ECUACIONES DE MATRICES.

Ejemplo 1.

Dada las siguientes matrices:

4 7 1 1

1 2 1 1A y B

Se pide calcular la matriz X en la siguiente ecuacin:

AX =B

Solucin.

AX =B /A-1

A-1AX = A-1B

X = A-1B

Luego en el programa Geogebra vista CAS, se ingresa la matriz A y B, y

calculamos la inversa de la matriz A se ingresa C:= inversa[A] y enter, se obtiene:

2 7

1 4C

Luego se escribe en X:=C*B se obtiene:


Pagina 19

9 9

5 5X

Ejemplo 2.

Dada las siguientes matrices:

5 1 1 1

9 2 1 1A y B

Se pide calcular la matriz X en la siguiente ecuacin:

AX2 + BX = 0

Solucin.

AX2 + BX = 0

(AX + B)X = 0 X = 0

AX + B = 0 A-1AX = A-1 (B) X = A-1 (B)

Luego en el programa Geogebra vista CAS, se ingresa la matriz A y B, y

calculamos la inversa de la matriz A se ingresa C:= inversa[A] y enter, se obtiene:

2 1

9 5C

tambin calculamos la negacin de B, D:= B y se obtiene:

1 1

1 1D


Pagina 20

Luego X:= C*D da como resultado:

1 1

4 4X

Comprobacin

AX2 + BX = 0

E:= A*X2 + B*X y enter da como resultado

0 0

0 0E

E J E R C I C I O S D E E C U A C I O N E S

1.- Dadas las matrices:

30

12

11

=y

315

031

102

BA

6214

113

319

4

1 que Comprueba a) 1A

b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.

2.- Resuelve la ecuacin matricial 2A = AX + B, siendo:


Pagina 21

13

21 y

11

01BA

3. Resuelve razonadamente la siguiente ecuacin matricial.

Solucin:

Por tanto:

4.- Despeja la matriz X de la ecuacin BXA y calclala siendo

110

321

10

21ByA

0301

1210

1012

1021

01

14X

1313

0211

1012

1021

0301

1210

01

14X

:01

14 de inversa la Calculamos

A

41

10

41

10 1

tAAdjAAdjA

41

10

11 tAAdjA

A

XX

410313

1313

1313

0211

41

10


Pagina 22

5. Calcula la matriz A que cumple:

35

12

24

31A

6. Halla la matriz A que verifica:

28

9

51

32A

7. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica CBXA 2 siendo

213

72,

11

43,

05

12CBA .

8. Se Consideran las matrices

516

204,

13

12BA

a) Despeja X de la ecuacin matricial BXA 2

b) Calcula X.

9. Sean las matrices

21

01,

01

12BA

a)Calcula IBA 321

b) Determine la matriz X para que IAAX

10. Encuentra una matriz X que verifique IBXA siendo

43

21,

01

10BA

11. Determina una matriz X de dimensin 2x2 tal que

13

01

11

102

52

31X

BAX


Pagina 23

SISTEMAS DE ECUACIONES

Pasos Para el Icono VISTA:

a) Icono VISTA

b) x CAS

c) En la vista CAS escribimos nuestro sistema.

1

d) Ingresemos nuestro sistema soluciones[,]

de la siguiente forma: soluciones[{ecuacion1,ecuacion2},{x,y, etc}] y enter

Ejemplo: resolver el siguiente sistema:

2x-3y=7

3x+y= 7

soluciones[{2x-3y=7,-3x+y=-7},{x,y}] y enter

La solucin es: (2 -1)

Sistema 3x3

En la vista CAS escribimos el siguiente sistema:

1

3 4

3

x y

y z

x z


Pagina 24

soluciones[{x+y=1,3y+-z=-4,x+z=3},{x,y,z}] y enter.

La solucin es: (2 -1 1)

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

1.1 Problemas PAU (Prueba Admisin Universitaria)

Junio 94:

Un grupo de personas se rene para ir de excursin, juntndose un total de 20

entre hombres, mujeres y nios. Contando hombres y mujeres juntos, su nmero

resulta ser el triple del nmero de nios. Adems, si hubiera acudido una mujer

ms, su nmero igualara al de hombres.

a) Plantear un sistema para averiguar cuntos hombres, mujeres y nios han ido

de excursin.

b) Resolver el problema.

Solucin:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al nmero de hombres, mujeres y nios, respectivamente, que

fueron de excursin, tendremos:

xy

zyx

zyx

1

3

20

; ordenamos:

1

03

20

yx

zyx

zyx

Apartado b:

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz en el programa

Geogebra obteniendo los siguientes resultados:

Luego, habrn asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 nios a la excursin.


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Septiembre 94:

Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una

calificacin de 8 puntos. En la segunda pregunta sac dos puntos ms que en la

primera y un punto menos que en la tercera.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuacin obtenida en

cada una de las preguntas.

b) Resolver el sistema.

Solucin:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, a la puntuacin obtenida en cada pregunta, respectivamente,

tendremos:

1

2

8

zy

xy

zyx

, ordenamos:

1

2

8

zy

yx

zyx

Apartado b:



Luego, habr obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la

tercera.

Junio 95:

Un ama de casa adquiri en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas

y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe

total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma, 9 kg. Adems,

compr 1 kg. mas de naranjas que de manzanas.

a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.



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Solucin:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al nmero de kg. comprados de patatas, manzanas y

naranjas, respectivamente, tendremos:

zy

zyx

zyx

1

9

1160150120100

simplificamos:

1

9

116151210

zy

zyx

zyx

Apartado b)



Por tanto, habr comprado 2 kg. de patatas, 3 kg. de manzanas y 4 kg. de

naranjas.

Junio 96:

En una confitera envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg.

Cierto da se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas ms de tamao

pequeo (250 gr.) que de tamao mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del

kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados

asciende a 125.000 ptas:

a) Plantear un sistema para determinar cuntas cajas se han envasado de cada

tipo.


Solucin:

Apartado a:

Tenemos que:

- precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas.

- precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas.

- precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas.


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Si llamamos x, y, z, al nmero de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg.,

respectivamente, tendremos:

125000400020001000

5

60

zyx

yx

zyx

simplificamos:

125421

5

60

zyx

yx

zyx

Apartado b:



Por tanto, se habrn envasado 25 cajas pequeas, 20 medianas y 15 grandes.

Junio 96 (R):

El precio de entrada a cierta exposicin es de 200 ptas. para los nios, 500 para

los adultos y 250 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposicin fue

visitada por 200 personas en total, igualando el nmero de visitantes adultos al de

nios y jubilados juntos. La recaudacin de dicho da ascendi a 73.500 ptas.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos nios, adultos y

jubilados visitaron la exposicin ese da.


Solucin:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al nmero de nios, adultos y jubilados, respectivamente, que

visitaron ese da la exposicin, tendremos:

73500250500200

200

zyx

zxy

zyx

simplificamos:

7350255020

0

200

zyx

zyx

zyx

Apartado b:



Luego, a la exposicin, habrn acudido 30 nios, 100 adultos y 70 jubilados.


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Septiembre 96:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

112

522

6

zyx

zyx

zyx

a) Obtn su matriz de coeficientes.

b) Calcula el determinante de la matriz anterior.

c) Sin resolver el sistema, razonar si tendr solucin nica.

Solucin:

Apartado a:

Su matriz de coeficientes ser: M =

112

221

111

Apartado b:

El determinante de dicha matriz ser:

112

221

111

M = 2 1 + 4 + 4 + 2 1 = 6

Apartado c:

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los

coeficientes M y la matriz ampliada con los trminos independientes Ma:

M =

112

221

111

Ma =

11112

5221

6111

Como 06

112

221

111

M r(M) = r(Ma) = 3 S.C.D.

Por lo que el sistema tendr una nica solucin.


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Septiembre 97:

La matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:

A =

5211

0412

2111

a) Obtener las ecuaciones del sistema.

b) Calcular el rango de la matriz formada por los coeficientes del sistema.

c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qu

nmero.

Solucin:

Apartado a:

El sistema asociado a la matriz dada ser:

52

042

2

zyx

zyx

zyx

El mismo sistema, expresado en forma matricial:

5

0

2

211

412

111

z

y

x

Apartado b:

Para calcular el rango de la matriz de los coeficientes del sistema M, calculamos el

valor de su determinante |M|:

211

412

111

M = 2 + 2 4 1 4 4 = 13 0

Como que |M| ( 0, sabemos que r(M) = 3




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Junio 98:

Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El nmero total de

matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son slo una cuarta parte

de los matriculados en la primera.

Adems, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la

segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el nmero de alumnos

matriculados en cada sucursal.

b) Resolverlo.

Solucin:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al nmero de alumnos matriculados en la primera, segunda y

tercera sucursal, respectivamente, tendremos:

zyx

xz

zyx

22

4

352

, ordenamos:

22

04

352

zyx

zx

zyx

Apartado b:



Luego, habr 200 alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda

y 50 en la tercera.


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apuntes para trabajar con geogebra matrices plataforma

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