Matrices para trabajar una lluvia de datosAbel MartnIES Prez de Ayala de Oviedo

Marta Martn SierraFacultad de Matemticas. Universidad de Oviedo.

NIVEL CURRICULARSegundo de Bachillerato. Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Tema: matrices. Aplicaciones.

Plataforma Moodle

aulamatematica.com

Actividad on-line(a) Se inicia en casa. (b) Puesta comn inicial en una sesin de clase. (c) Se finaliza en casa.

OBJETIVOS

- Utilizar el lenguaje matricial, representar e interpretar tablas de nmeros mediante matrices, identificando sus elementos concretos y aplicando las operaciones necesarias como instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos estructurados en forma de tablas, resolviendo situaciones. - Fomentar que los alumnos desarrollen las capacidades de "pensar" y tomar decisiones, objetivo fundamental de las Matemticas - Valorar la importancia de los medios TIC que tenemos a nuestra disposicin, en el tratamiento de informacin: calculadoras, ordenadores con emulador, etc

Nos planteamos

Cmo organizo los datos? Qu operaciones tengo que realizar? Reflexionar acerca de los resultados que voy obteniendo

ACTIVIDAD EN PEQUEO GRUPO1 hoja con vietas 2 hojas con cuestiones

En profesorado har de moderadorDescarga on-line

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA DE DATOS DEPARTAMENTOSMATEMTICAS MATEMTICAS Libretas: 18 Libretas: 18 MATEMTICAS Lpices: 20 MATEMTICASLibretas: 8 Lpices: 39 HISTORIA Lpices: 39 HISTORIA 6 Bolgrafos: 62 Libretas: Bolgrafos: 62 Libretas: 6 Rotuladores: 7 Lpices: 17 Lpices: 17 Rotuladores: 7 Bolgrafos: 34 Paquete folios: 8 Paquete folios:Bolgrafos: 34 6 8 Rotuladores: Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 Paquete folios: 8

HISTORIA HISTORIA 8 Libretas:

Lpices: 20 Libretas: Bolgrafos:Libretas: 22 32 Bolgrafos: 32Lpices:22 15 Rotuladores: 21 Lpices: 15 Rotuladores: Bolgrafos: 40 21 Paquete folios: 6 Bolgrafos: 40 Paquete folios: 6 Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 Paquete folios: 2

Libretas: 15 Libretas: 15 LENGUA Lpices: 16 LENGUA Lpices: 16 Libretas: Bolgrafos: 36Libretas: 99 Bolgrafos: 36 Lpices: 13 Rotuladores: 4 Lpices: 13 Rotuladores: 4 Bolgrafos: 18 Paquete folios: 8 Bolgrafos: 18 Paquete folios: 8 Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 Paquete folios: 8

LENGUA LENGUA

Pedido de materiales fungibles solicitados por 3 departamentos Didcticos. Cada uno de ellos hace unas peticiones iniciales pero, como consecuencia del aumento del presupuesto, hacen una segunda demanda.

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA DE DATOS PROVEEDORESPROVEEDOR A: /unidad Libretas: 4.6 Lpices: 0.55 Bolgrafos: 1.25 Rotuladores: 2.1 Paquete folios: 4 PROVEEDOR B: /unidad Libretas: 5 Lpices: 0.5 Bolgrafos: 1.1 Rotuladores: 2.5 Paquete folios: 4.1 PROVEEDOR C: /unidad Libretas: 4 Lpices: 0.6 Bolgrafos: 1.3 Rotuladores: 2.45 Paquete folios: 3.95

El administrador hace el pedido a 3 proveedores, que le ofertan estos presupuestos en euros y por unidad.

CUESTIONES(A) Resume, inicialmente, las informaciones de la vieta en 2 matrices: (a1) Matriz A: Segundo pedido de materiales, segn los departamentos.

- Debemos dejar claro que hay unos primeros minutos en los que el alumnado tiene que empezar a tomar decisiones y anotar las dudas que surjan de cara a una primera puesta en comn - Cul corresponde al primer pedido? La que vemos en la vieta encima o la que est debajo? Qu colocamos en las filas y las columnas? Los departamentos? Los pedidos?

ANLISIS PREVIOMATEMTICAS MATEMTICAS Libretas: 18 Libretas: 18 MATEMTICAS Lpices: 20 MATEMTICAS

Lpices: 20 Libretas: Bolgrafos:Libretas: 22 32 Bolgrafos: 32Lpices:22 15 Rotuladores: 21 Lpices: 15 Rotuladores: Bolgrafos: 40 21 Paquete folios: 6 Bolgrafos: 40 Paquete folios: 6 Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 Paquete folios: 2

- Unos pocos se decantan por la de arriba como primer pedido y la de abajo como el segundo, siguiendo una especie de orden cronolgico directo. Por la misma razn, otros las colocan al revs, ya que el segundo ira encima del primero. - Este ltimo caso es el que escogen la mayora, pero basndose en la observacin de que los presupuestos aumentaron y, parece ser, que la hoja de encima suele tener, en general, cantidades superiores. Slo un equipo expone sus dudas y menciona la aclaracin "suponiendo que el primero est en la hoja de abajo", argumentando su respuesta en el sentido anteriormente expuesto.

- Nadie decide que las hojas puedan estar colocadas al azar, sin una norma, cosa que podra ser lo ms lgico.

HERRAMIENTA TIC A UTILIZAR

fx CG 20CASIO

(A) RESUMIENDO(A) Resume, inicialmente, las informaciones de la vieta en 2 matrices: (a1) Matriz A: Segundo pedido de materiales, segn los departamentos. (a2) Matriz B: Primer pedido de materiales, segn los departamentos.Departamentos Artculos Departamentos Artculos

Artculos [Libretas, lpices, bolgrafos, rotuladores y paquetes de folios] Departamentos [Matemticas, Historia, Lengua]

(A) ELEMENTOS DE UNA MATRIZArtculos [Libretas, lpices, bolgrafos, rotuladores y paquetes de folios] Departamentos [Matemticas, Historia, Lengua] (a3) Las dimensiones de ambas matrices 5x3

Artculos

(a4) El elemento a12 = 8, seala que en el segundo pedido, el Departamento de Historia reclama 8 libretasDepartamentos

Artculos

El elemento b34 no nos da informacin pues, sencillamente, no existe, no hay ningn elemento en la fila 3 y columna 4.

(B) MATRIZ PRECIOS(B) El administrador acude a tres proveedores que le dan los precios sealados en la vieta (b1) Representa, en forma de matriz, los distintos precios de los proveedores segn los artculos, denomnala matriz P (Precios) y seala sus dimensiones. ProveedoresPrecios

Precio /u [Libretas, lpices, bolgrafos, rotuladores y paquetes de folios] Proveedores [A, B, C]

(B) MATRIZ PRECIOS(b2) Haz un boceto con las operaciones aritmticas que habra que hacer, sin utilizar matrices, para calcular el presupuesto que se le presentar a cada departamento cada uno de los proveedores solicitados Aritmticamente, para saber el presupuesto de cada departamento, segn el proveedor utilizado, habr que realizar las siguientes operaciones: Por ejemplo, al Departamento de Matemticas, el proveedor A le presentar el siguiente presupuesto siendo, en cada sumando, el nmero de unidades en el primer factor y el precio, en el segundo: (Unidades Precio) = = 18 2.1 + 20 0.55 + 32 1.25 + 21 2.1 + 6 4 = 156.9 Departamentos Artculos Precios Proveedores A, B, C

(B) PRESUPUESTOS(b3) Si utilizamos matrices, a qu operaciones matriciales corresponden? A la matriz resultante llmala matriz D (Departamentos/presupuestos) y seala sus elementos. Qu dimensiones tiene esta matriz D? Cmo colocamos las matrices y qu operacin tenemos que realizar para obtener la solucin en forma matricial?

D = At PArtculosDepartamentos

ProveedoresDepartamentos

Proveedores

Artculos

(B) ANLISIS CRTICO(b4) Realiza un comentario crtico de los resultados obtenidos, explicando la matriz resultante y sealando qu proveedor ser el ms aconsejable para cada departamento con el segundo pedido. ProveedoresDepartamentos

Al Departamento de Matemticas le resulta ms econmico el proveedor A, que le cobrar 156.9 euros, al de Historia el proveedor B, que le cobra 159.4 euros y al de Lengua el C, que le cobra 156.65 euros.

(C) CONSEJO ESCOLAR(C) El Consejo Escolar, en un guio a los momentos de crisis, decide reducir en el ltimo pedido 3 unidades de cada uno de los materiales del departamento de matemticas, 2 del de lengua y 1 unidad en los del departamento de historia.. (c1) Indica una matriz R que simbolice dicha reduccin. (c2) Expresa la matriz E que nos indique la nueva matriz pedido de los departamentos, una vez aplicada la reduccin

Departamentos Departamentos Artculos Artculos

(C) CONSEJO ESCOLAR(c3) Cules son los nuevos presupuestos ofertados por los proveedores, una vez aplicada la decisin del Consejo Escolar? Llmala matriz N. Cmo colocamos las matrices y qu operacin tenemos que realizar para obtener la solucin en forma matricial?

N = Et PProveedoresDepartamentos Departamentos

Proveedores

Se mantendrn los proveedores ya que, para cada departamento, siguen siendo ms baratos los que ya se haban elegido.

(D) AADIENDO IMPUESTOSSi hay que aadirle un 6% en concepto de IVA, construye una matriz V con el nuevo importe presupuestario por departamento y proveedor. A cobrar 106 100 = 1.06

V = 1.06 NProveedoresDepartamentos Departamentos

Proveedores

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES(e1) Si queremos hacer el pedido a un solo proveedor para ahorrar gastos de envo, disea y comenta una estrategia que nos pudiese permitir averiguar "matricialmente" cunto va a ser el total de cada uno de los proveedores, independientemente de los departamentos. Comenta lo que haces. A la nueva matriz obtenida denomnala matriz U y seala sus dimensiones. ProveedoresDepartamentos

Pista: Tenemos que conseguir que la operacin a realizar sea algo as... Presupuesto del proveedor A para los distintos departamentos: = 134.514 + 161.597 + 150.202

U = Vt IEurosProveedores

(E) UNIFICANDO PROVEEDORESU = Vt IEurosProveedores

Los proveedores A, B y C pasan al instituto un presupuesto conjunto de, respectivamente, 446.31, 442.34 y 461.68 , IVA incluido, por lo que el ms econmico, en conjunto, ser el proveedor B.

(F) PREVISIN DE AUMENTO DE PRECIOSPREVISIN PREVISIN AUMENTO DE AUMENTO DE PRECIOS: PRECIOS:

Enero: 0.23% Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% Junio: 0.3%

(F) SUBIENDO PRECIOSPREVISIN AUMENTO DE PREVISI PREVISIN AUMENTO DE PRECIOS: PRECIOS:

Enero: 0.23% Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% Junio: 0.3%

(f1) Si la previsin del aumento de los precios es la que aparece en la vieta del enunciado, cules sern los presupuestos, segn los Departamentos dados, por los distintos proveedores si se hace el pedido a finales de junio? Llama a la nueva matriz S.

NOTA: En febrero, por ejemplo, no sube un 0.17 simplemente, sino un 0.17 de lo que haba subido en enero ms el 0.23 que ya haba subido. Se trata pues de un problema de los que denominamos de INCREMENTOS COMPUESTOS

(F) SUBIENDO PRECIOSPREVISIN AUMENTO DE PREVISI PREVISIN AUMENTO DE PRECIOS: PRECIOS:

Enero: 0.23% Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% Junio: 0.3%

Nuevo precio: 101.01965555Z

Enero y febrero

Marzo y abril

Mayo y junio

(F) SUBIENDO PRECIOSRealmente el IVA se aplica despus de obtenidos los nuevos precios; as que a quien hay que aplicarle la subida con el 1.0196 es a la matriz N y luego aadirle el 6% de IVA.

S1 = 1.01965555NProveedoresDepartamentos

Preparamos la calculadora para trabajar con solo 2 decimales , al tratarse de

ProveedoresDepartamentos

(F) SUBIENDO PRECIOS

Ahora aplicamos el IVA y llamamos a la nueva matriz S

S = 1.06S1ProveedoresDepartamentos Departamentos

Proveedores

Matriz S, despus de las subidas y con el IVA incorporado.

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES(g1) Los departamentos solicitan aadir otros dos artculos en sus pedidos, en concepto de tinta para impresora y correctores de escritura, respectivamente, con las siguientes unidades: Matemticas, 2 y 4, Historia, 3 y 6, Lengua, 2 y 7. Los precios que los proveedores les ofertan son, respectivamente: Proveedor A, 7.1 y 0.8 , proveedor B, 8.05 y 0.6 , proveedor C, 9.45 y 0.4 . Plasma en una matriz L slo los nuevos artculos pedidos por departamento y en una matriz M los proveedores y precios de los artculos. Matriz L Materiales nuevosDepartamentos Proveedores

Matriz M Precios

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES(g2) Escribe una nueva matriz K con el nuevo pedido total por departamentos. DepartamentosDepartamentos

Artculos nuevos

Reordenamos las matrices para poder aadir las columnas correspondientes Matriz KDepartamentos

Artculos

Augment( Trn Mat E, Mat L)Todos los artculos

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES(g3) Escribe una nueva matriz Q con todos los precios ofertados por cada proveedor. ProveedoresProveedores Precios

Precios

Reordenamos las matrices para poder aadir las columnas correspondientes Matriz QProveedores

Augment( Trn Mat P, Mat M)Todos los precios

(G) Departamentos/presupuestos(g4) Calcula el presupuesto en forma de matriz O que se le presentar a cada departamento segn el proveedor donde se haga el pedido sin IVA, sealando las operaciones matriciales realizadas, etc.Todos los artculosDepartamentos

K3x7 3x7 7x3

Todos los precios por artculoProveedores

O= K Qt

Q

(G) Departamentos/presupuestos O = K QtProveedoresDepartamentos

3x3

Matriz O

(G) Nuevos presupuestos con IVA(g5) La matriz W ser la que indique el precio final, con IVA. Realiza un comentario crtico del proveedor ms interesante, por departamento.

1.06 Mat OProveedoresDepartamentos

Mat W

Al Departamento de Matemticas, con pedidos de las nuevas cosas, le cobran respectivamente, 152.96, 156.46 y 172.83 , segn se trate del proveedor A, B o C Al Departamento de Historia le cobran respectivamente, 189.26, 187.57 y 198.33 , segn se trate del proveedor A, B o C. Al Departamento de Lengua le cobran respectivamente, 171.19, 168.86 y 167.85 , segn se trate del proveedor A, B o C.

(G) Nuevos presupuestos con IVA 1.06 Mat OProveedoresDepartamentos Departamentos

Mat WProveedores

Al Departamento de Matemticas le resulta ms econmico el proveedor A, que le cobrar 152.96 , al de Historia el proveedor B, que le cobra 187.57 y al de Lengua el proveedor C que le cobra y 167.85 .

(G) Pedido a un solo proveedor(g6) Si queremos hacer todo el pedido a un solo proveedor, cunto va a ser el total de cada uno de los proveedores, independientemente de los departamentos? A la nueva matriz obtenida denomnala matriz C y haz un breve comentario de los resultados obtenidos.

Wt IPresupuesto totalProveedores Proveedores

Mat CPresupuesto total

Los proveedores A, B y C pasan al instituto un presupuesto conjunto de, respectivamente, 513.41, 512.88 y 539.01 , IVA incluido, por lo que el ms econmico ser el proveedor B.

(H) Seguimos pensandoDada la siguiente matriz X, donde se expresan, en las filas, los departamentos de matemticas, tecnologa y fsica, y en las columnas, las unidades de libros, calculadoras y cajas de DVD y la matriz Z, que nos da los presupuestos suministrados a cada uno de estos 3 departamentos por los almacenes (A, B y C) en los conceptos antes mencionados

XDepartamentos

Artculos

L

C

DVD

ZDepartamentos

Presupuestos suministrados

A

B

C

Calcula los distintos precios por unidad a los que cada Almacn A, B, C han puesto los libros, calculadoras y cajas de DVD.

(H) Seguimos pensandoXDepartamentos

Artculos

L

C

DVD

ZDepartamentos

Presupuestos suministrados

A

B

C

10 12 5 7 7 12 14 10 4

a b d e g h

c f i

=

304 338 339.5 223 269.5 255 218 248 256

a: , libros, Sum. A d: , calcul, Sum. A g: , DVD, Sum. A

b: , libros, Sum. B e: , calcul, Sum. B h: , DVD, Sum. B

c: , libros, Sum. C f: , calcul, Sum. C i: , DVD, Sum. C

(H) Utilizacin de la matriz inversaArtculosDepartamentos

10 12 5 7 7 12 14 10 4

a b d e g h

c f i

=

304 338 339.5 223 269.5 255 218 248 256

Las operaciones a realizar son las siguientes:

XY=Z X-1 X Y = X-1 Z Y = X-1 Z

El proveedor A pone los libros, las calculadoras y los paquetes de DVD, respectivamente a 8, 17 y 4. El B, a 7.5, 19 y 7 y el C a 6, 21 y 5.5

Consideraciones finales (I)El objetivo es que todo el profesorado pueda ir introduciendo este tipo de metodologa con calculadoras, bien sea con la ayuda del modelo de mano o con el emulador cargado en nuestro PC, en su netbook, etc. Para hacer esta actividad hay que tener las ideas muy claras y relacionar con presteza el lenguaje usual y el lenguaje matricial. Existen multitud de clculos, de conceptos, de operaciones matriciales, con muchos nmeros que pueden hacer que nos perdamos en cualquier momento

Consideraciones finales (II)

Es importante hacer hincapi en que el alumno haga un comentario de lo que est haciendo. Lo normal es que nos coloque operaciones y resultados, sin ms, sin anlisis crtico de resultados y slo preocupado por la aritmtica y los clculos, sin ningn tipo de reflexin ni conclusiones, cercenando la posibilidad de valorar por parte del profesor el trabajo realizado, pues slo se muestra el resultado final.

Consideraciones finales (III)

Como se puede apreciar, los clculos numricos son cada vez ms largos y tediosos y la calculadora cobra cada vez ms importancia a la hora de resolver los problemas y tomar decisiones. Lo verdaderamente difcil es pensar cmo organizar los datos y qu operaciones hay que realizar.

Consideraciones finales (III)

La idea final es ir proponiendo, en un intento de desarrollar el concepto de "inteligencia distribuida", actividades y prcticas de manera TEMTICA. En nuestro caso, desde las Web www.aulatematica.com con el objetivo de trabajar los temas desde puntos de vista alternativos, con un PDF que incluye la actividad para el alumnado, otro, con clave, como cuaderno del profesorado, con todo matizado muy al detalle

CONCLUSIONES

En la construccin del conocimiento, los medios tecnolgicos son herramientas esenciales para ensear, aprender y, en definitiva, para hacer matemticas

CONCLUSIONES

Las aulas de Nuevas Tecnologas estn cada da ms saturadas y no siempre se pueden utilizar cuando se necesitan. Un aula con ordenadores, la disposicin de las mesas, etc. suponen unas barreras difciles de salvar a la hora de agrupar a los alumnos, de fomentar el trabajo en grupo y la ayuda entre iguales. Con las mquinas calculadoras se sortean con xito estas murallas.

CONCLUSIONES

No slo permiten validar nuestras respuestas y consolidar conceptos aprendidos.

CONCLUSIONES

Son un elemento de investigacin matemtica importantsimo. En multitud de casos, con una calculadora grfica, se pueden contrastar conjeturas, verificar hiptesis

CONCLUSIONES

El objetivo fundamental de las Matemticas es aprender a pensar, abrir la mente, y las operaciones, en s mismas, no deben ser el fin de las matemticas, sino uno de los caminos que nos lleven al objetivo final: el anlisis crtico de los resultados

CONCLUSIONES

Tambin se puede analizar, razonar, representar, comunicar y valorar ideas matemticas a travs de "ejercicios" y prcticas.

Quin puede decir que no se han hecho matemticas en la realizacin de esta actividad, con la ayuda de herramientas TIC como son las calculadoras?