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APUNTES MATEMÁTICA I

MTHT01

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2014

2

ÍNDICE

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN…….. 5

UNIDAD 2: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES..…………………………………...83

3

PRESENTACIÓN

Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática, asignatura

lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias

Básicas.

Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas

de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de

clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación

técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño

profesional.

Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de

resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la

Didáctica de la Matemática.

La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren

metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del

docente un mediador.

El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de

base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.

Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

4 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos , artísticos o

matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar

la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo

definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al

conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la

experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos

en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros.

¿Por qué resolver problemas? un proverbio chino dice " Escucho y olvido, Veo y Recuerdo, Hago y ….. Comprendo! Normalmente no olvidamos lo que hacemos o descubrimos nosotros mismos, George Polya 1957 (uno de los impulsores del estudio de procesos en resolución de problemas) dice “ Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema hay cierto descubrimiento”. Cuando resolvemos un problema aprendemos no solo sobre un tema en particular, si no a enfrentarnos a este tipo de situaciones, a distinguirlas, enunciarlas, interpretarlas, en fin un sin número de actitudes, hábitos y capacidades básicas se favorecen con ellos. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos

inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones,

plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá

de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en

situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de

solución.

La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras,

aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática

que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias,

como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones

problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las

estrategias matemáticas para su solución.

L


Epitafio en la tumba de Diofanto

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceavaparte su mejilla se cubrió con el

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS Y ANÁLISIS

DE LA INFORMACIÓN

primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.


PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTHT01

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

APRENDIZAJE ESPERADO

Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético-algebraica, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información.

Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez.

Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.

Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. APRENDIZAJE ESPERADO

Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.

Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.


Introducción

¿Qué significa aprender matemática?

Habitualmente el aprendizaje de las matemáticas se visualiza como una

acumulación de pedazos de información (definiciones, propiedades y

procedimientos) que se deben dominar a través de la memorización y la

mecanización, una colección de conocimientos que esperan ser aplicados en

algún contexto.

La matemática es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento

deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este

es solo un aspecto de la matemática a desarrollar, el formalismo en realidad

debe ser considerado una meta del trabajo matemático, que tiene su punto

de partida en la intuición y la creación.

Desde esta perspectiva, aprender matemática se relacionaría con construir

y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculándose con los procesos,

tanto de creación, como de formalización del conocimiento matemático.

Desde esta visión, la resolución de problemas es fundamental en el

estudio de la matemática, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de

resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una

reflexión.

Como los són:

¿ Que diferencia existe entre un problema y un ejercicio?

¿Utilizas estrategias cuando estas frente a un problema? respecto de esta

última pregunta es seguro que tu respuesta es " no se" pero si avanzas en la

lectura al observar las estrategias expuestas para la resolución de problemas

podrás notar que siempre las utilizas, algunas más frecuentemente que otras

pero no te habias dado cuenta, esto, te debe hacer caer en cuenta que ya

tienes un gran trecho avanzado y que no es un tema que no conozcas sólo

no te habias detenido en él.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

La conjetura de Fermat

El teorema de Pitágoras permite

asegurar que existen enteros x,

y, z, lados de un triángulo

rectángulo, que cumplen

2 2 2x y z

En 1640 Pierre Fermat,

generalizó la pregunta y la

respondió: Para todos los

enteros 2n no es posible

encontrar enteros x, y, z,

distintos de cero, tal que

n n nx y z

Fermat dijo haber encontrado

una demostración, que no pudo

mostrar por el pequeño espacio

del margen del libro donde

escribía.

El denominado último teorema

de Fermat permaneció sin

demostración durante más de

350 años, hasta que en 1995,

Andrew Wiles, quien dedicó

gran parte de su vida a este

tema, logró completar una

demostración.

Lo realmente importante del

“último teorema” no es su

demostración, sino que en su

búsqueda, se aportó de manera

significativa al desarrollo de la

aritmética y álgebra moderna.


Diferencia entre Problema o Ejercicio.

La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los

medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los

“problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad

ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer

los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o

procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio.

Problema 1:Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines,

tal como se muestra en la siguiente figura:

a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños?

b)¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños?

¿Problema o ejercicio?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

Ejercicio Problema

Situaciones rutinarias,

idénticas o muy similares a

otras que ya fueron resueltas.

Los métodospara resolverlos

son conocidos.

Situaciones no rutinarias. No

existe un camino inmediato o

evidente para su solución.

Es necesario explorar distintas

estrategias y nuevos métodos

de solución.

Admiten más de una estrategia

de solución.


Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son

presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y

estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didáctico del

texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos.

Solución:

a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines.

También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior,

por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término

a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio.

b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma

1 2 3 100

No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la

suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos

enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias

que se pueden usar para resolver este problema.

Métodos generales y particulares

¿Cómo resolver problemas?

Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas es

resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es mucho

más complejo que eso.

Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de

estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es

demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser

transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir

para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido

en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro

cómo aplicarlo en los distintos dominios.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en

general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a

contenidos específicos.

Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la

habilidad de resolución de problemas. Esto es:

1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de

problemas, ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si

pueden ayudar a atacarlo.

2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y

la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la

experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es

necesario revisar el contenido específico.

Método general de Pólya

George Pólya, fue un matemático que nació en Hungría el se dedicó a

trabajar en muchos temas matemáticos, pero en sus últimos años intentó

caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas.

Pólya identificó cuatro etapas en la resolución de problemas:

1. Entender el problema

2. Diseñar un plan

3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solución

Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad

de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se

están realizando, ¿qué estoy haciendo?, ¿me sirve para avanzar en la

solución?, ¿qué otra cosa puedo hacer?, ¿es correcta la solución que obtuve?

Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas,

además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Estrategias de resolución de problemas

El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para

resolver problemas matemáticos:

1. Descomponer el problema en subproblemas.

2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al

problema principal.

3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

Entender el Problema

Diseñar un Plan

Ejecutar el Plan

Examinar la Solución

¿El problema es similar a otro visto antes?

¿Existe alguna propiedad matemática que sea

útil para este caso?

¿Puedo modificar algún método conocido para

aplicarlo en este caso?

¿Cuál es la incógnita?

¿Cuáles son los datos?

¿Cuáles son las condiciones del problema?

¿Las condiciones permiten determinar la

incógnita?

¿Es correcto cada uno de los pasos usados en

la solución?

¿El plan permite avanzar en la solución del

problema?

Reconocer datos e incógnita.

Representar el problema con

gráficos, diagramas o dibujos.

Pensar en un problema similar.

Simplificar el problema a casos

particulares.

Revisar cada paso.

Evaluar el plan propuesto.

¿Se puede comprobar la solución?

¿Se puede obtener el resultado de otra forma?

¿Se puede emplear el método usado en otro

problema? Resolverlo de otra forma para

comprobar la solución.


4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

5. Buscar analogías.

6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un

problema aritmético representándolo geométricamente.

7. Búsqueda por ensayo y error.

8. Método algebraico.

9. Método gráfico.

Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras,

algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con

ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.

Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaños.

Problema 2:Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal

como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaños?

Se discutió antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la

suma

1 2 3 100

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Solución:

Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.

Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular.

Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible

buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo,

descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el

resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:

Estrategia 2:Resolver problemas más simples que sean de algún modo

similar al problema principal.

Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el

problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar

números del 1 al 10?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

55

100 + 55

200 + 55

300 + 55

400 + 55

500 + 55

600 + 55

700 + 55

800 + 55

900 + 55

4500 + 550 = 5050

10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10


a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 veces 11

. 5 11 55

De la misma forma

1 2 3 98 99 100

50 veces 101

50 101 5050

b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.

1 2 3 98 99 100

100 99 98 3 2 1

101 101 101 101 101 101

100 veces 101

Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado

por 2, esto es

100 1015050

2

Estrategia 3:Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

Transferir el problema de un dominio a otro.

Representar el problema geométricamente como un cálculo de área.

Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo

Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6 7 , como la escalera es la

mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir

6 721

2

Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la

cantidad de adoquines de la escalera sería

100 1015050

2

Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para

resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de

problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido

planteadas:

1. Entender el problema:

¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma

¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100

¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del

1 al 100.

Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.

2. Diseñar un plan:

¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de

sumar no es práctica en este caso.

¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso?En la suma

de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La

escalera representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

6

7


3. Ejecutar el plan:

¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales

cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos

permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda

de la geometría permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de

áreas.

4. Examinar la solución:

¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es

posible comprobar el resultado.

¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de

sumas sucesivas de números naturales.

En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es

posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo

muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos

específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este

texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de

apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan.

Problema 3:Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19

conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y

autos hay?

Solución:

Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de

acuerdo al número de conductores y ruedas.

8 motos 16 ruedas

+ 11 autos + 44 ruedas

19 conductores 60 ruedas

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Estrategia 2: Ensayo y error.

a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por

ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son

20 36 56

Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos

hasta coincidir con el total de ruedas.

b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en

una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:

Nº motos Nº autos Nº ruedas

19 0 38

18 1 40

17 2 42

16 3 44

15 4 46

14 5 48

13 6 50

12 7 52

11 8 54

10 9 56

9 10 58

8 11 60

Estrategia 3: Método algebraico.

a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación.

Nº de motos: x

Nº de autos: 19 x

Nº de ruedas: 2 4 19x x

Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior

a 60 se tiene la ecuación

2 4 19 60x x

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Al resolver la ecuación se tiene

2 4 19 60

2 76 4 60

76 2 60

76 60 2

16 2

8

x x

x x

x

x

x

x

Por tanto, son 8 motos y 11 autos.

b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas,

plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Nº de motos: x

Nº de autos: y

Nº de conductores: 19x y

Nº de ruedas: 2 4 60x y

19

2 4 60

x y

x y

Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se

tiene

2x 2 38

2

y

x

( ) 2 22 11

4 60y y

y

Luego 8x

Por tanto son 8 motos y 11 autos.

Estrategia 3: Método gráfico.

Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección

entre las rectas es la solución.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un

software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )

En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben

ingresar las ecuaciones 19x y y 2 4 60x y , el punto de intersección

es , 8,11x y , por tanto hay 8x motos y 11y motos.

Problemas Propuestos

Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada,

respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son

los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los

métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta?

1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra

en la siguiente figura:

¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos

por lado?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

http://www.geogebra.org/


2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares 1 3 5 101 ?

Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relación que hay entre la suma de impares

y el área de cuadrados:

3. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la

suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las

diagonales:

4 Informe del Doctor Z sobre el planeta Matrespro. “Ya tenemos una

semana en Matrespro, y notamos la presencia de seres extraños.

Tienencomo nosotros 20 dedos distribuidos uniformemente en varias

extremidades, pero tienenuna extremidad menos que nosotros. Es

impactante son horribles.” ¿Cómo son estos seres que tienen tan

impresionado al Doctor Z? ¿Podrán existir?

5. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores? 6. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?

Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema,

contando cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuántos

cuadrados de lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y súmalos:

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


7. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué

manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?

8.Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o

$30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha

cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El

ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide

darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo

del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los

$27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son

$29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué

pasó con los $1.000 faltantes?

9. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la

suma sea igual a 20:

10. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo

pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2

cm por lado no tienen pintada ninguna cara?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por métodos,

como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemático

específico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo

en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la

matemática para ampliar el ámbito de problemas que se pueden resolver o

contar con métodos de resolución más eficientes.

Números

La aritmética es la ciencia de los números. La noción de número surgió

inicialmente ante la necesidad práctica de contar, ordenar y medir, lo que

dio origen a los conceptos de número natural y racional. Pero otros tipos de

números, como los irracionales, los números negativos y los complejos,

surgen en ámbitos matemáticos, como abstracciones que toman distancia

de la idea de cantidad, lo que les valió una larga lucha por su legitimidad

como números.

Es necesario entender que los números son esencialmente una abstracción

y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a través

de modelos concretos. Es lo que ocurre con los números negativos, ¿por

qué ( ) ( ) ( ) ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y

ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los números enteros,

así ( ) ( ) ( ) porque la suma de dos deudas es también una deuda.

Pero esa interpretación no es aplicable para el caso de la multiplicación, ya

que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se

desprende al aceptar la regla de signos ( ) ( ) ( ) .

Los números negativos, reciben su nombre por el estatus de negación que

tuvieron durante mucho tiempo. La visión de la matemática que

predominaba hasta antes del siglo XIX exigía una relación directa con la

realidad, que no tenían los números negativos, que venían a reflejar

cantidades menores a cero. Sin embargo, los números negativos eran

necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos

fueran aceptados como números fue necesario que la matemática se

convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificación en el

mundo real.

ARITMÉTICA


Números Naturales

El matemático alemán Leopold Kronecker afirmaba que “Dios creó los

números naturales y el resto lo hizo el hombre”, como una clara

descripción de lo fundamental de los números naturales.

Para formar el conjunto de los números naturales ℕse debe adicionar el 0 a

los números 1, 2, 3,… que utilizamos para contar.

ℕ = {0,1,2,3, … }

De los números naturales se puede decir que:

- Tienen un primer elemento: el 0.

- Todos los números naturales tienen un sucesor: Cada natural n

tiene un sucesor 1n . El 1 actúa como un generador.

- Es un conjunto que no tiene fin.

Por la importancia de base que tienen los números naturales para el resto

de la matemática es necesario invertir un tiempo en revisar algunos

conceptos claves.

Los naturales se pueden separar en pares e impares.

0,2,4,6,....Pares

1,3,5,7,....Impares

Los pares son los múltiplos de 2 y los impares el resto, todos ellos

sucesores de un par. Esto permite representar a los pares de la forma 2n y

a los impares como 2 1n .

Orden:Sean a y b dos números naturales, se dice que a es menor a b ,

esto es a b , si existe otro número natural c tal que

a c b

Por ejemplo, ¿por qué 2 5 ?, porque existe 3 ∈ ℕ tal que 2 3 5 .

ARITMÉTICA


Divisores y Múltiplos:

Sean m y n dos números naturales, se dice que m es divisible por n , 0n ,

si existe otro número natural p tal que

m n p

También se dice que n es divisor de m o que m es múltiplo de n.

Por ejemplo,

¿Por qué 6 es divisible por 3?, porque existe 2 ∈ ℕ tal que 6 3 2 .

Entonces se dice que 3 es divisor de 6 o que 6 es múltiplo de 3.

Propiedad: Todo número tiene al menos dos divisores, el 1 y sí mismo.

Números primos:

Aquellos números, distintos de 1, que tienen como divisores al 1 y a sí

mismo, se denominan números primos.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,....Primos

Descomposición en factores primos:

Todo número natural o es primo o se puede escribir como producto de

números primos, lo que se conoce como “descomposición en factores

primos”, que se obtiene dividendo de forma reiterada.

Por ejemplo: descomponer 60 en factores primos.

En la tabla vamos haciendo la división por números primos comenzando

con el 2.

Por tanto, 60 2 2 3 5

ARITMÉTICA

60 2

30 2 15 3 5 5 1


Problema 4:Encontrar dos números enteros positivos cuyo producto sea

un millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación

Solución:

Aunque puede haber varias formas de resolver este problema, los métodos

que buscan la solución por “tanteo” no resultan muy efectivos. La

aplicación de un conocimiento específico, como lo es la descomposición en

factores primos puede ser de más ayuda. En efecto, al descomponer se

tiene que

Por tanto 1000000 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5

Otras aplicaciones de la descomposición en factores primos

Obtención de divisores: Para obtener todos los divisores de un número,

basta descomponerlo y hacer todas las combinaciones posibles entre

factores, cada una de ellas será un divisor. Por ejemplo, encontrar todos los

divisores de 60:

Por tanto, 60 2 2 3 5

ARITMÉTICA

1000000 2

500000 2

250000 2

125000 2

62500 2

31250 2

15625 5

3125 5

625 5

125 5

25 5

5 5

1

Podemos obtener dos números cuyo producto sea

1000000 separando y multiplicando dos grupos de

factores primos. Para que no aparezcan 10 y por

tanto ceros en su representación, separaremos en

grupos que solo contienen 2 y otro que solo

contiene 5, de esa forma

1000000 64 15625

60 2

30 2 15 3 5 5 1


Los divisores serían:

1

2

3

5

2 2 4

2 3 6

2 5 10

3 5 15

2 2 3 12

2 2 5 20

2 3 5 30

2 2 3 5 60

Simplificación de fracciones: En aritmética las fracciones se pueden

simplificar buscando un divisor en común para el numerador y el

denominador o descomponiendo en factores primos. La ventaja de lo

segundo es que ese método de simplificación es transferible a las fracciones

algebraicas que se verán después. Por ejemplo, simplificar la fracción:

3528

5292

La descomposición en factores primos es

3528 2 2 2 3 3 7 7

5292 2 2 3 3 3 7 7

Luego la fracción es 3528 2 2 2 3 3 7 7

5292 2 2 3 3 3 7 7

los factores iguales se

simplifican obteniendo

3528 2

5292

2 32 3 7 7

2 2 3 3 73 7

2

3

ARITMÉTICA


Estructura algebraica de los naturales

Cuando trabajamos con los números naturales, en realidad involucramos

más que solo el conjunto de números, le asociamos operaciones que nos

permiten trabajar con ellos. En ese sentido, lo relevante es el sistema que

forma el conjunto ℕ y las operaciones definidas en ese conjunto, suma y la

multiplicación, lo que entendemos como el sistema numérico de los

naturales, que se denota por

(ℕ, +,⋅)

¿Qué propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una

pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se

construye el resto de la matemática. Su comprensión permite reconocer lo

que se puede y no se puede hacer matemáticamente.

Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ se cumple:

Asociatividad: ( ) ( )a b c a b c

( ) ( )a b c a b c

Conmutatividad: a b b a

a b b a

Elementos neutros: Existe0 ∈ ℕ, tal que 0 0a

Existe1 ∈ ℕ, 1 0 , tal que 1a a

Distributividad: ( )a b c a b a c

La suma y multiplicación son operaciones binarias, la asociatividad expresa

que para sumar tres números se debe asociar de dos en dos cada vez. La

conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma

o multiplicación, el resultado es el mismo. El 0 es el único número natural

que actúa como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicación.

La distributividad de la multiplicación sobre la suma es la propiedad que

muestra que es posible separar en la suma de productos.

ARITMÉTICA


Prioridad en las operaciones aritméticas y uso de paréntesis

Los paréntesis son recursos del lenguaje matemático que se utilizan para

explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresión

matemática. Generalmente, los problemas aritméticos no requieren el uso

de paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que

se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los

resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo:

Problema 5: Jorge piensa un número, le suma 25, divide el resultado entre

2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, ¿qué número

pensó?

Solución:

Devolviéndonos en el razonamiento la descripción verbal del problema

sería:

Si al final tenía 21

Antes de multiplicar por 3 tenía 7

Antes de restarle 8 tenía 15

Antes de dividir entre 2 tenía 30

Antes de sumar 25 tenía 5.

Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar paréntesis

para definir el orden en que se realizarían. Lo que constituye una forma

habitual de proceder en aritmética.

Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con

paréntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritméticos

provoca problemas en el cálculo y en el tránsito hacia el álgebra. Si se cree

que los paréntesis o los signos operatorios son solo una convención que

exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a

cometer errores, que en aritmética parecen solo de forma, pero que son de

fondo cuando queremos trabajar en álgebra. Por ejemplo, es habitual que el

problema anterior sea escrito de la siguiente forma

21:3 7 8 15 2 30 25 5

ARITMÉTICA


El error está en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente

iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para

expresar “aquí está el resultado”, es una relación de equivalencia, debe

cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para

entender luego como resolver ecuaciones.

Problema 6: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el

número 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritméticas básicas.

Considera los siguientes ejemplos:

0 4 4 4 4

4 41

4 4

Solución:

Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a

mostrar los errores cometidos al no usar los paréntesis.

Supongamos que queremos formar el número 6, sumando dos veces el 4,

dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. ¿La respuesta correcta

será entonces 4 4: 4 4 ?

Al no tener paréntesis la pregunta es en qué orden se resuelve la expresión

aritmética, ¿en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una

prioridad que respetar?

Si colocamos esta expresión en la calculadora científica el resultado será 9,

significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad.

Prioridad de las operaciones aritméticas

1ºParéntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera.

2º Multiplicación y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de

multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicación se

realiza en cualquier orden.

ARITMÉTICA


.

3º Sumas y restas:De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por

asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.

Por ejemplo:

a) 4 4: 4 4

4 1 4

9

b) 5 2 1 6: 2 1 8: 2 2

5 2 1 6 :3 4 2

5 2 1 2 8

5 2 3 8

5 6 8

11 8

3

Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se

requiere usar paréntesis. En efecto

4 4 : 4 4 6

Ejercicios y Problemas Propuestos:

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 2 6:2 3 6 2:3 1

b) 6 2 4 4 : 2 7

c) 2 2 2 2 2 2: 2

d) 1 2 2 1 2 2 2: 2 2

ARITMÉTICA


2. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las siguientes

expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los paréntesis

estrictamente necesarios:

a) 2 5 1 12

b) 6 2 1 4: 2 7

c) 12:3 2 2 1

d) 16:4 4 16:4 2 12

3. A un recepcionista bilingüe, se le paga $6000 por hora, al trabajar 15

horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, cada hora extra se paga al

valor normal más la mitad. ¿Cuántas horas debe trabajar para ganar

$135.000 durante una semana?

4. ¿Cuáles son todos los divisores de 126? Usa descomposición factores

primos.

5. Se debe llenar una bidón de 72 litros, ¿qué medidas puede tener el jarro

que lo llena de forma exacta?

6. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas

donde se abrió es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se

abrió el libro?

7. ¿Cuáles son las últimas tres cifras de 1234567895 ?

8. ¿Cuál es la última cifra de 5877 ?

Ayuda: Comienza con casos más simples y descubre la regularidad

9. En una bandeja hay el doble de pastelillos que en otra. Si se extraen 7

pastelillos de la primera y se depositan en la segunda bandeja, en ambas

queda el mismo número de pasteles (así la presentación al publico es más

ordenada) ¿Cuántas pastelillos tenía al principio cada bandeja?

10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la

siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas

equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo

15 malas y 9 omitidas?

ARITMÉTICA


Números Enteros

Si al conjunto de los números naturales adicionamos los números negativos

obtenemos el conjunto de los números enteros:

ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }

Los números negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C

y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos

representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin

embargo, el camino para su aceptación como números fue largo. En un

mundo en que los números estaban estrechamente relacionados con la

magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que

0.

En realidad los números enteros, a diferencia de los naturales, no solo

expresan medida, además establecen un sentido respecto de un punto de

referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de

cantidad, así como tampoco se podría asociar el 0 en grados Celsius con

ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De

ese modo – 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una

medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de

congelación.

Decir que un número negativo es el que está a la izquierda del cero no es

completamente exacto, lo es solo para la representación clásica de la recta

numérica, que sin embargo, no es más que eso, una entre muchas

representaciones posibles. Por ejemplo, si tomáramos el modelo de las

temperaturas, los negativos no estarían a la izquierda sino por debajo del

cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos términos ni justificar sus

propiedades con la interpretación gráfica.

Lo que realmente importa en los enteros es que para todo número 𝑎 ∈ ℤ

existe un único número (−𝑎) ∈ ℤ tal que

0a a

Se dice que a es el opuesto o inverso aditivo de a .

ARITMÉTICA


Un número entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y

sentido, dado por el signo. El número 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo

positivo, mientras que el – 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo negativo.

Como se ve, ambos números tienen la misma magnitud, pero en sentidos

opuestos:

Los números enteros deben cumplir las mismas propiedades que los

naturales, además de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numérico

de los enteros (ℤ, +,∙) tiene la siguiente estructura:

Asociatividad

Conmutatividad

Elementos neutros

Distributividad

Inverso aditivo

Como consecuencia de estas propiedades básicas, se obtiene algunas cosas

conocidas, por ejemplo que 0 0a . Además, es posible definir la resta

como una suma, esto es:

a b a b

Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer término por el

inverso aditivo del segundo.

Por ejemplo,

a) 3 5 3 5

b) 2 6 2 6

ARITMÉTICA


No es necesario por tanto definir una regla de signos para la resta, basta la

de la suma. La regla de signos para la suma y la multiplicación se pueden

justificar con las propiedades descritas anteriormente. No es necesario

recurrir a metáforas como la de “los amigos y enemigos”, que además de

ocultar la matemática involucrada, no es cierta, ¿quién puede asegurar que

el enemigo de mi enemigo es mi amigo?

Regla de la adición

Para explicar esta regla conviene utilizar un modelo concreto, supongamos

que los números positivos están representados por fichas azules y los

negativos por fichas rojas. Por la propiedad del inverso aditivo, debe ocurrir

que igual número de fichas azules y rojas se anulen entre sí, esto es

0a a . Veamos que pasa al sumar números enteros de igual signo:

3 2 5 + =

3 2 5 + =

Para la suma de enteros de igual signo se suman los valores absolutos y se

mantiene el signo.

Ahora veamos lo que sucede al sumar enteros de distinto signo:

5 2 + =

5 3 + =

La suma de enteros de distinto signo implica la resta de los valores

absolutos, manteniendo el signo del mayor. Más allá de aprenderse esta

regla de memoria basta aplicar las propiedades, descomponiendo el número

para que aparezca el inverso aditivo, esto es

5 + (−2) = 3 + 2 + (−2) = 3

−5 + 3 = −2 + (−3) + 3 = −2

ARITMÉTICA


Regla de la multiplicación

La regla de signos de la multiplicación es

El producto de signos iguales es positivo y el producto de signos distintos es

negativo.

Aceptamos como obvia la regla . A partir de ello justificaremos

el resto, evidenciando la contradicción matemática que implicaría no aceptarlas

como ciertas, utilizaremos algunos ejemplos.

Supongamos que no es , esto es suponer que , por

tanto 2 3 6 , si aplicamos esto en la siguiente expresión tendríamos

2 3 3 2 3 2 3 6 6 12

Pero la misma expresión puede ser resuelta de esta otra forma

2 3 3 2 0 0

Esto implica que 12 0 , una contradicción evidente. Por tanto, como esto un

puede ocurrir, no queda más que aceptar que .

Del mismo modo se puede negar que y llegar a una

contradicción similar, que obligaría aceptarla como cierta.

ARITMÉTICA


Orden en ℤ

¿Por qué 6 2 ?

El argumento que señala que 6 2 porque 6 está a la izquierda

de 2 no es suficiente, ya que se sustentan en la representación arbitraria

de la recta. Tampoco es correcto justificarlo diciendo que 6 está más

lejos del cero que 2 , ya que el 8 está aún más lejos del cero y no es

menor que 2 . Todas estas interpretaciones no tienen base matemática.

Para afirmar que 6 2 hay que recordar que para los naturales se

decía que a b , si existe otro número natural c tal que a c b . Si

extendemos esta definición a los números enteros tendríamos que

Si𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, entonces: a b , si y solo si existe 𝑐 ∈ ℤ tal que a c b

Ahora sí, ¿Por qué 6 2 ?

Porque existe 4 ∈ ℤ tal que 6 4 2

Ejercicios y Problemas Propuestos

1. Calcule:

a) 7 2

b) 9 3

c) 6 3

d) 2 5

e) 2 5

f) 1087532

g) 1 1 1 1 1

ARITMÉTICA


h) 9634523

i) 35 5 14 60:15 16: 4 3 29 7

2. Un avión sube a 5800 metros sobre el nivel del mar, baja 1200 metros y

luego vuelve a subir 580 metros. Si para aterrizar debe descender otros

4900 metros, ¿a qué altura sobre el nivel del mar aterrizó el avión?

3. Un clavadista olímpico se lanzó verticalmente desde una plataforma de

12 metros de altura. Al tocar el fondo de la piscina había recorrido 18

metros. ¿Qué profundidad tiene la piscina?

4. Un emperador nació el año -x a.C y murió el año y -23 a.C, ¿cuál es la

expresión que representa la cantidad de años que vivió? Escoja una

alternativa y justifique matemáticamente:

a) 23-x b) x-23 c) –x-23 d) -23+x

5. Si el antecesor de x es – 4 y el sucesor de y es 0, ¿cuál es el sucesor de

y x ?

6. Rellena las casillas en blanco con números enteros, de modo que la suma

de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las

diagonales:

7. Justifica matemáticamente:

a) ¿Por qué 4 1 ?

b) ¿Por qué 4 9 ?

c) ¿Por qué 4 1 ?

d) ¿Por qué ?

–4 4

1

0

ARITMÉTICA


Números Racionales

Fracciones

Los números naturales son abstracciones que permiten contar colecciones

finitas de objetos. Pero en lo cotidiano no basta solo con contar, también se

necesita medir cantidades, tales como peso, tiempo, distancia, longitud,

área, volumen, etc.

Cuando una cantidad no se puede medir “exactamente” con la unidad de

medida utilizada (metro, minutos, kilogramos, litros, según sea el caso), se

subdivide la unidad original en n partes iguales, cada una de las partes se

denota por

1

n

De ese modo es común subdividir el metro en 100 partes iguales

denominadas centímetros o el minuto en 60 partes iguales llamadas

segundos. Si una cantidad dada contiene exactamente m de estas

subunidades, su medida se denota con la fracción

m

n

Donde m es el numerador y n es el denominador.

Problema 7:Encontrar la medida de la longitud de un tornillo, usando

como unidad de medida la pulgada.

ARITMÉTICA


Solución:

Habitualmente se utilizan fracciones para expresar la medida de los

tornillos. Para medir el largo se divide la pulgada en partes iguales (2, 4, 8,

16 o 32 partes).

En este caso se hace una subdivisión en 8 partes, de las que el tornillo

alcanza a cubrir exactamente 5, se dice por tanto que la medida del tornillo

es 5/8 de pulgada.

Los significados de las fracciones

Las fracciones pueden adquirir distintos significados, de acuerdo al

fenómeno que estén caracterizando. Ampliar este conocimiento permite

identificar el significado que se le debe asignar a las fracciones en un

determinado problema y tratarlas adecuadamente. Revisaremos algunos de

esos significados:

1. Fracción como parte de un todo

Un “todo” se divide en partes iguales

m

n

a) Parte todo continuo:

El todo continuo tiene relación con objetos o situaciones de medición

(área, volumen, longitud, tiempo etc. El todo acepta las subdivisiones que

se deseen.

Longitud Área Volumen

Las partes deben tener la misma medida (longitud, área, volumen, etc.)

ARITMÉTICA

Numerador: partes que se están considerando

Denominador: partes en que dividió el “todo”

considerando

1

3

3

4 2

5 1

4


b) Parte todo discreto:

El todo discreto está asociado a situaciones de conteo. El todo

corresponde a un conjunto de elementos, de los cuales se consideran o

seleccionan un subconjunto de ellos.

Fracción de círculos rojos

2. La fracción como operador En este caso la fracción actúa sobre un número o magnitud,

multiplicándose con ella.

Por ejemplo, Se pintan 5

8 de una pared de 32 mt2.

5

8de 32 es equivalente a

532 20

8

Otro ejemplo, se calcula que en una reducción de personal de una empresa

se despedirá a 2

7 de los empleados, de los cuales

5

8son hombres. Si en la

empresa trabajaban 168 empleados, ¿cuántos hombres serán despedidos?

Se debe calcular 5

8 de

2

7 de 168, esto es,

5 2168 30

8 7

3. La fracción como razón La fracción puede representar la comparación entre dos cantidades.

Por ejemplo, la fracción 2

9 puede representar la razón entre artículos

defectuosos y artículos buenos.

ARITMÉTICA

3

7


4. La fracción como resultado de una división Este significado está relacionado con la fracción que expresa el resultado de la división de dos números naturales o en un contexto concreto situaciones de reparto equitativo. Por ejemplo, si se quiere repartir 3 cervezas entre 5 amigos, la parte que le

toca a cada uno es 3

5.

Problema 8:El control de calidad revisa 1/4 de los artículos de una línea de

producción en el primer turno y la mitad del resto en el segundo turno. Si

en total se revisaron 400 artículos, ¿cuántos quedaron sin revisar?

Solución:

Procedimiento 1: Uso del significado de parte todo continuo de las

fracciones.

Supongamos que el total de artículos de la línea de producción está

representado por un rectángulo

En el primer turno se revisa 1

4

En el segundo turno se revisa 1

2 del resto. El resto son tres partes, que

podemos volver a subdividir en 6 para tomar la mitad de ellas, es decir 3 de

esas partes

ARITMÉTICA


Se observa que la cantidad de artículos revisados corresponde a 5

8 del total

Como los 5

8 corresponden a 400 artículos, cada parte son 80 artículos.

Por tanto, quedan 3 80 240 artículos sin revisar.

Procedimiento 2: Uso del significado fracción como operador.

Nº total de artículos: x

Primer turno se revisa: 1

4

Quedan 3

4

Segundo turno se revisa la mitad de lo que queda: 1 3 3

2 4 8

Se revisan en total: 1 3 5

4 8 8

5

8del total corresponden a 400, se plantea la ecuación

5400

8x

Resolviendo la ecuación se tiene que el total de artículos es

5400

8

400 8

5

640

x

x

x

ARITMÉTICA


Por tanto, la cantidad de artículos sin revisar es

640 400 240

Fraccionesequivalentes

Se dice que las fracciones a

b y

c

d son equivalentes si y solo si a c b d .

Por ejemplo:

2

3 y

6

9 son equivalentes porque 2 9 3 6

Se pueden obtener fracciones equivalentes amplificando o simplificando:

Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por un mismo número

2

2

3 3 6

5 5 10

fracción equivalente, amplificando por 2.

Simplificar: Dividir numerador y denominador por un mismo número

: 3

: 3

12 12 4

15 15 5 fracción equivalente, simplificando por 3.

Para trabajar con las fracciones, muchas veces es conveniente trabajar con

la fracción equivalente más simple. Las fracciones que no se pueden

simplificar reciben el nombre de fracciones irreductibles.

Por ejemplo, determinaremos la fracción irreductible de 36

24.

: 3 : 2 : 2

: 3 : 2 : 2

36 12 6 3

24 8 4 2

ARITMÉTICA

ARITMÉTICA


Fracciones propias e impropias

Las fracciones que representan una parte de la unidad se denominan

propias, mientras que las que representan a un entero más una parte de la

unidad se denominan fracciones impropias.

3 2 7, ,

4 5 8 son fracciones propias (numerador menor que el denominador)

7 9 14, ,

5 4 3 son fracciones impropias (numerador mayor que el

denominador)

Las fracciones impropias siempre pueden ser escritas como la suma de

un entero más una fracción propia, a través del algoritmo de la división.

Por ejemplo:

14 4:32

214

3 34

Las fracciones impropias describen lo que se conoce como números

mixtos, números que son la suma de un entero más una fracción propia,

cuya notación es

14 2 24

3 3 34

Un error usual es pensar que entre el entero y la fracción del número

mixto hay una multiplicación, hay que tener presente que se trata de una

suma, la multiplicación es solo una parte del procedimiento involucrado

al transformar de número mixto a fracción, que justificaremos más

adelante.

5 5 263

7 7 73

+

ARITMÉTICA


Sistema de los números racionales

Más allá de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el

proceso de medir, a

b representa a un tipo de número, denominado número

racional.

Estos números están formados por la razón entre dos enteros a y b, con

0b , que se denotan por

ℚ = {𝑎

𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}

El uso de la palabra número, que originalmente solo hacía referencia a los

números naturales, se justifica en los otros conjuntos numéricos porque

siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicación

de los naturales. El sistema (ℚ, +,∙)cumple:

En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso

multiplicativo, esto es:

Para todo 𝑎 ∈ ℚ, con 0a , existe un número 𝑎−1 =1

𝑎∈ ℚ, tal que:

1 1a a o lo que es lo mismo 1

1aa

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 1 12

2

, ya que

1 12 2 2 1

2

ARITMÉTICA


Nótese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe 1 10

0

.

El inverso multiplicativo de una fraccióna

b es

b

a, en efecto

1

1a a a b ab

b b b a ab

A partir del inverso multiplicativo es posible definir la división, como el producto de un número por el inverso multiplicativo del otro.

Definición: Se dice que a está dividió por b, con 0b , cuya notación es a

b

o :a b si

1aa b

b

Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso

multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0.

Por la frecuencia con que se presenta los errores de la división por cero,

nos detendremos un instante en ello.

¿Cuál es la diferencia entre estas expresiones? 0

2,

2

0y

0

0

Se ha dicho que no está definida la división por cero, sin embargo existe

una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos

que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de

multiplicación, esto es

a) 0

2x implica 0 2 x , que tiene como solución a 0x , luego

00

2

Concluimos que 0 dividido por un número distinto de cero es igual a 0.

ARITMÉTICA


b) 2

0x implica 2 0 x , pero todo número multiplicado por 0 es 0, por

tanto no existe un número x que cumpla esta condición. Más aún si

existiera, al multiplicar tendríamos que 2 0 , un absurdo que contradice

las nociones básicas de la aritmética, para evitarlo se dice que 2

0 es

indefinido.

c) 0

0x implica 0 0 x , en este caso x puede ser cualquier número, todos

ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptáramos esto tendríamos

que 0

0 1 2 3 ....0 , es decir que todos los números son iguales entre

sí, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero

es indeterminado.

Operatoria de fracciones

1. Adición y sustracción

Formalmente se definen por

a c ad bc

b d bd

La idea fundamental de la suma de fracciones es obtener fracciones

equivalentes de igual denominador. El denominador común puede ser el

MCM de los denominadores.

Ejemplo: Calcular 2 5 1

3 4 6

(3,4,6) 12MCM , por tanto

4 3 2

4 3 2

2 5 1 2 5 1 8 15 2 21

3 4 6 3 4 6 12 12 12 12

ARITMÉTICA


2. Multiplicación

a c ac

b d bd

Ejemplo: Calcular 6 2

7 5

6 2 6 2 12

7 5 7 5 35

3. División

:a c a d ad

b d b c bc

En la división se aplica la definición, esto es la división de dos fracciones es

el producto de la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.

Ejemplo: Calcular 3 2

:4 5

3 2 3 5 15:

4 5 4 2 8

Estrategias de cálculo para fracciones

Revisemos algunos casos, que por la frecuencia que aparecen, ameritan

revisar procedimientos inmediatos de cálculo.

1. Suma de entero y fracción

Si consideramos al entero como una fracción con denominador 1,

amplificando y sumando se tiene

5 1

5 1

3 2 3 2 3 2 5 3 132

5 1 5 1 5 5 5

Si observamos bien el penúltimo paso, lo que ocurre al sumar un entero

con una fracción se puede describir como

ARITMÉTICA


3 132

5 5

De igual forma es posible justificar que

5 163

7 7

2. Simplificar antes de multiplicar

En ocasiones puede resultar más útil simplificar antes de multiplicar

fracciones, Por las propiedades de los racionales esa simplificación se puede

hacer entre cualquier numerador y denominador, siempre que se trate de

una multiplicación entre fracciones. Por ejemplo:

48 28 48

35 60

4

355

28

4

605

16

25

El 48 y 60 se simplificaron por 12, mientras que el 28 y el 35 se

simplificaron por 7.

3. Fracciones de fracciones

3

3 5 3 7 214 :5 4 7 4 5 20

7

Si se observa el penúltimo paso en el desarrollo se concluye que en las

fracciones de fracciones el resultado será siempre el producto de los

extremos partido por el producto de los medios.

ARITMÉTICA

+

•

–

•

•


Lo mismo puede servir para el caso de un entero dividido por una fracción

o viceversa. Transformando el entero en una fracción de denominador 1 el

tratamiento es idéntico al anterior. Por ejemplo

a)

2

2 1817 7 7

9 9

b)

2 2

27 799 63

1

Problema 9: Calcular el resultado de la siguiente expresión

1 1 1 1 11 1 1 1 1

2 3 4 5 101

Solución:

Aplicando la suma de enteros y fracción se tiene

1 1 1 1 11 1 1 1 1

2 3 4 5 101

3 4 5 6 102

2 3 4 5 101

Se trata de un producto de 100 fracciones, claramente la idea no es

multiplicarlos de la forma usual, es mejor simplificar antes de multiplicar.

Como cada numerador es igual al denominador de la fracción siguiente, la

simplificación más conveniente será:

3 4

2

3

5

4

6

5

102

101

10251

2

ARITMÉTICA


Problema 10: El matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló un

procedimiento de aproximación de un número irracional a través de

fracciones continuas. Para aproximar 2 se usa la fracción continua

Encontrar una aproximación de 2 desarrollando hasta el tercer 2 de la

fracción continua.

Solución:

Hay que calcular 1

2 11

21

22

Aplicando sucesivamente los procedimientos vistos para la suma de entero

y fracción y fracciones de fracciones se tiene

1

1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 11 1 1 2 12 12

2 2 21 5 1 5 5 522

52 2

2

5 171

12 12

Por tanto una aproximación racional de la raíz de 2 es 17

12.

ARITMÉTICA



1. Determina el valor de las siguientes expresiones:

a) 3 1 5

2 6 12

b) 2 1 7 11

5 12 15 60

c) 1 2 1 2 1 3 5

:2 3 4 5 2 5 6

d) 1 1

2 13 6

e)

21

32

9

4

f) 2

11

23

g)

11

2

33

11

2

h) 15 10 21

28 75 12

i) 48 40 20

:32 27 36

2. Un pastel cuenta con 6 niveles, para confeccionar cada piso se requiere la

una cantidada igual a tres cuartos de la que se ocupó en el piso anterior. Si

en el primer piso se utilizó 8 kilos de masa.

Responde lo siguiente:

a) ¿Qué fracción de la masa utilizada en el primer

piso, se utilizó en el segundo piso? ¿A qué cantidad

de masa corresponde ?

ARITMÉTICA


b) ¿Qué fracción de la masa utilizada en el primer piso, se utilizó en el

cuarto piso? ¿A qué cantidad de masa corresponde ?

3. Completa el cuadrado mágico, de modo que la suma de las filas sea igual

a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:

4. La fracción de la meta de turistas atendidos en una región por un

operador de turismo es:

Ordena a las agencias (operarios) de menor a mayor según su capacidad de

atención. (Ayuda: amplifica las fracciones para igualar denominadores)

5. Una pelota se deja caer de tal forma que cada nuevo rebote alcanza una

altura equivalente a los 2/5 de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza al

cuarto rebote si después del primer rebote alcanza una altura de 125 cm?

6. El conductor de una Van llenó el estanque de su vehículo para iniciar un

tour por las bodegas de Mendoza. Después de recorrer los 5

11 del trayecto (

en kilómetros), se da cuenta que ha consumido los 2

5 de la gasolina ( en

litros) que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros,

¿cuál es la capacidad del estanque de la Van?, ¿qué distancia se recorrió en

el tour?

7. Debes ayudar a un cliente que tiene su auto en el estacionamiento del

hotel, el no logra explicarte la medida de la llave que necesita para aflojara

una tuerca. Para ayudarlo utilizas una llave de 1

2 pulgada que le queda

ARITMÉTICA


chica, luego decides utilizar una llave de 3

4 pulgada que le queda grande,

entonces, te das cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de

las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la llave que necesita tu

cliente?

8. Una cadena hotelera, tiene convenio tres operadores de turismo. La

mitad de los pasajeros que llegan al hotel son por intermedio del operador

A, mientras que de los operadores B y C provienen un cuarto delos

pasajeros en cada caso. El área de administración observó que durante este

año recibieron 3.000 pasajeros, pero perdieron los registros de estos y se

necesita saber cuantos provienen de américa del norte, las agencias de

turismo entregaron la información siguiente, la fracción de norteamericanos

que llegaron de los aoperadores A, B y C, respectivamente son 1

20 ,

1

10𝑦

3

25,

¿Cuál es la cantidad de norteamericamos que fueron pasajeros del hotel

provenientes de cada uno de los operadores? ¿Cuantós turistas

norteamericamos albergó el hotel?

9. Si el número irracional 3 se aproxima con la fracción continua

Calcule su valor aproximado hasta el 2 de la tercera fila.

10. En un restaurant se trabaja desde las 14:00 hasta las 02:00. El proceso

para maximizar la producción es el siguiente:

1

3 del tiempo se destina cocinar las bases de los platos más pedidos.

1

4 de la jornada para limpiar y ordenar el mobiliario del restaurant.

1

2 del tiempo que se ocupa en cocinar las bases, se ocupa en la elaboración

de productos que los clientes van consumiendo.

1

3 del tiempo está destinado a limpiar y ordenar queda destinado a la

atención de clientes.

1

2 del tiempo es utilizado para la limpieza se utiliza en alimentacón de

personal. El resto del tiempo se dedica a descansos. ¿Cuánto tiempo se

ocupa en cada actividad?

ARITMÉTICA


Magnitud y medida

La magnitud de un objeto es su característica medible (longitud, peso,

tiempo, velocidad, área, volumen, etc.), que puede ser expresada

cuantitativamente.

El proceso de medir consiste en seleccionar una unidad de medida, cubrir el

objeto con unidades y contar el número de unidades que se utilizaron, este

número corresponde a la medida de la magnitud involucrada.

Problema 11: Medir la longitud del siguiente tornillo:

Solución:

Debemos elegir nuestra unidad de medida. Supongamos que la unidad es el

centímetro (cm).

La medida de la longitud del tornillo es de 2,9 cm.

Muchas veces la elección de la unidad de medida puede ser arbitraria.

Supongamos que adoptamos la pulgada como unidad.

La longitud del tornillo tiene una medida de 18

1

pulgada.

MEDIDA


A b h

Unidades de medida

Magnitudes Geométricas

Generalmente la medida de magnitudes geométricas (perímetro, área y

volumen), se obtienen a partir de fórmulas dadas. Pero, ¿quién puede

recordar tanta fórmula? Lo que proponemos aquí es revisar la manera en

que se obtienen dichas fórmulas, para que estas tengan sentido y puedan

ser reproducidas en otros momentos. La idea fundamental de estos

procedimientos es “recortar la figura” y reordenar formando otra que

tengan medida conocida.

Consideremos la fórmula del área de un rectángulo, igual a la base por la

altura, elegidas arbitrariamente:

Área de un paralelogramo:

A partir de esta fórmula es posible determinar el área de cualquier

paralelogramo, en efecto basta separar las partes y formar un rectángulo de

igual base y altura. El área de un paralelogramo es base por altura:

A b h

MEDIDA

b

h

b

b

h

b

b

h

b


e

f /2

e

f

Área de un triángulo:

Un triángulo es siempre la mitad de un paralelogramo, por tanto es la mitad de

su área, la mitad de la base por la altura:

Área de un rombo:

Consideremos un rombo cualquiera, donde sus diagonales miden e y f. Las

diagonales del rombo, lo dividen de manera natural en cuatro triángulos

rectángulos, cada uno de ellos con catetos y , si se reordenan podemos

formar un rectángulo de lados e y :

Por tanto, el área del rombo es igual al área del rectángulo de base e y altura

, esto es o, lo que es lo mismo:

2

b hA

2

e

2

f

2

f

2

f

2

eA f

2

e fA

MEDIDA

b

h

b b

h

b


Área de un círculo:

Antes que todo, si suponemos que un círculo puede ser visto como un

polígono regular con “infinitos” lados, esto nos permitirá de manera natural

dividirlo en “infinitas” partes, cada una de estas parecida a un triángulo

isósceles (de los cuales conocemos su área). Este proceso es similar a dividir

una torta o una pizza en “infinitos” trozos.

En la siguiente figura podemos observar la situación antes descrita, pero con

un número finito de divisiones:

Luego, si la mitad superior de las partes obtenidas al dividir el círculo se

disponen posteriormente hacia abajo, y la mitad inferior se dispone hacia

arriba, se aprecia que estas encajan a la perfección formando una nueva figira

de forma un paralelogramo.

Si el círculo tiene radio 𝑟, la mitad inferior y superior miden 𝜋𝑟 cada una. El

paralelógramo resultante tiene por ancho la medida de la mitad inferior (o

superior) del círculo, es decir 𝜋𝑟, la altura de este coincide con el radio del

círculo, es decir 𝑟, posteriormente si el área de un paralelógramo es el

producto de la base por la altura, obtenemos:

𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = (𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

= 𝑏 ∙ ℎ

MEDIDA


Pero 𝑏 = 𝜋𝑟 y ℎ = 𝑟, por tanto 𝐴 = ( 𝜋𝑟) ∙ (𝑟), esto es

𝐴 = 𝜋 𝑟2

Volumen de un prisma y de un cilindro circular recto:

Para encontrar el volumen de estos cuerpos podemos imaginarnos lque a

formación de estos sólidos ocurre por la superposición de “infinitas”

superficies de una cierta área (un polígono regular para el prisma y un

círculo para el cilindro).

Hay que determinar entonces el área de la siperficie basal y luego

multiplicarla por la altura del sólido, observemos la siguiente figura:

Para el caso del prisma designaremos por la letra 𝐵 al área de la superficie

basal y por ℎ su altura, luego el volumen de un prisma estará dado por:

𝑉 = 𝐵 ∙ ℎ

En el caso del cilindro, si su radio es 𝑟, el área basal es el del cículo 𝜋 ∙ 𝑟2,

por tanto el volumen del cilíndro es:

𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ

2r

h

MEDIDA

Prisma:

Cuerpo geométrico limitado

por tres o más caras laterales

que son paralelogramos y

dos caras basales que son

polígonos congruentes:

Cilindro:

Cuerpo redondo cuyas caras

basales son círculos

congruentes:

r: radio

h: altura

Cara

lateral

Cara basal

Arista

Vértice


Volumen de una pirámide y de un cono:

Este problema será resuelto empleando una estrategia un poco diferente

a las anteriores, en este caso a partir de un volumen conocido, lo

dividiremos adecuadamente para obtener el volumen buscado. El

volumen conocido será el de un prisma cuya área basal es B y de altura

h y por tanto con volumen

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐵 ∙ ℎ

Imaginemos que la pirámide ha sido inscrita en el prisma, haciendo coincidir

sus bases, y cuyo vértice también coincide con un vértice del prisma, tal como

se muestra en la siguiente figura:

Observamos en la figura, que el prisma se ha dividido en tres pirámides que

tienen igual base y misma altura. Por tanto el volumen de cada una de estas

pirámides es un tercio del volumen del prisma, esto es:

𝑉𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =1

3∙ 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

Luego la fórmula para el volumen de la pirámide de área basal B y altura hes:


3∙ 𝐵 ∙ ℎ

MEDIDA

B

h

Pirámide:

Cuerpo geométrico que tiene

una base poligonal y sus

caras laterales son triángulos

que concurren en un punto

denominado vértice o

cúspide:

Cono:

Cuerpo redondo que tiene

una base circular y un vértice

o cúspide:

r: radio

h: altura


Para determinar el volumen del cono, imaginemos que es una pirámide que

está compuesta por “infinitos” caras laterales, como sugiere la siguiente

figura:

Por tanto, el volumen del cono tiene la misma fórmula de la pirámide, esto es


3∙ 𝐵 ∙ ℎ

Pero en el caso del cono, la base es un círculo de área igual a , por tanto

el volumen de un cono de radio r y altura h es:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =1

3∙

Problema 12: Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita

para construir un cubo en que el área de una cara es 20 cm2.

Solución:

1º Entendiendo el problema:

Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2, como se muestra en el

dibujo:

2r

2r h

20 cm2

MEDIDA

MEDIDA


Deseamos calcular la suma de las medidas de las aristas del cubo, con esto

sabremos cuánto alambre necesitamos en la construcción del cubo deseado.

2º Diseñando un plan o estrategia de resolución:

Al determinar la cantidad de alambre del cubo, se esta haciendo referencia a

la arista del cubo. Como la información entregada en el enunciado hace

referencia al área de una de las caras, se utilizará la fórmula de área de un

cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el

total dearistas del cubo.

3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:

Sea 𝑥 la medida de una arista del cubo

Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de

sus lados, luego:

20 = 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥2

Extrayendo raiz cuadrada:

√20 = √𝑥2 = 𝑥

Con 𝑥 > 0, luego:

√20 = 𝑥

Simplificando la raiz cuadrada:

20 cm2

X

X

X

X

MEDIDA

MEDIDA


√20 = √4 ∙ 5 = 2√5

Se obtiene que:

𝑥 = 2√5

Por lo tanto, la longitud de la arista del cubo es 2√5 cm. Se sabe además que

un cubo tiene 12 aristas, entonces para determinar la cantidad necesaria de

alambre para construir el cubo, se debe multiplicar 12 por la longitud de la

arista:

12 ∙ 2√5 = 24√5cm

Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas, se obtiene:

24√5 ≈ 53,7cm

4º Examinando la Solución y comunicando resultados:

Para la confección del cubo se necesitan aproximadamente 53,7 cm de

alambre.

Por otra parte cabe destacar que la estrategia empleada se basa en comprender

que la figura geométrica analizada es regular, por tanto basta con estudiar una

de sus caras para obtener la información necesaria del cuerpo geométrico

completo, en este caso es preciso saber que el área de un cuadrado de lado 𝑥 es

𝑥2, y que el número de caras de un cubo es 12.

Observación:Es importante realizar las aproximaciones de los números

irracionales solo al finalizar el problema, ya que la aproximación no es una

igualdad, por ende, si se van realizando aproximaciones en cada paso, el margen de error

MEDIDA

MEDIDA


aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta.


1. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7

cm. ¿Cuánto mide el área sombreada?

2. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles.

a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja

los bordes de la pista?

b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista?

c) ¿Cuánta superficie tiene la pista?

3. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m

de longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse.

4. Eres dueño de una pastelería y necesitas crear recipientes de forma cilindrica de chocolate y

rellenarlos con crema, para una empresa la cual requiere que las dimensiones dimensiones de este pastel

sean 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad de cada recipiente? ¿Se quiere

cubrir la parte superior con una tapa de chocolate que superficie se desea cubrir con esta tapa?

5. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un

cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero.

6. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué

altura alcanzará el agua?


7. En un tour por las Viñas, se tiene preparada una degustación y para esto se tienen 6 litros de

vinos de distintas cepas, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura

interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm. ¿Cuántos comensales se

pueden atender? (Considere que cada comensal degusta una copa)

8. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de

ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a

hacer de cemento. ¿Qué volumen de cemento se necesita para construirlo?

¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito?

9. ¿Cuál es el área de los siguientes triángulos?

10. ¿Cuál de los siguientes triángulos tiene mayor área?

11. Se desean diseñar etiquetas cuadradas y pegarlas sobre una chapa circulara

de radio 5 cm., ¿cuál es el área que cubre cada etiqueta?

MEDIDA

MEDIDA


12. Si en un cuadrilátero se tranzan segmentos de recta que unan los puntos medios de cada lado,

¿qué relación hay entre el área del cuadrilátero y el paralelogramo que se forma en su interior?

13. Calcular el volumen del prisma truncado:


Transformaciones de unidades

Las primeras unidades de medida para longitudes tenían relación con el

cuerpo humano y no siempre se subdividían, sino que se usaban otras partes

del cuerpo, por ejemplo para los babilonios se establecía las siguientes

equivalencias entre unidades de medida

1 codo = 30 dedos (53 cm. aprox.)

1 pie = 2/3 de codo

Hasta antes del siglo XVIII no existían sistemas de medidas universales, las

unidades de medidas se establecían de acuerdo a los usos locales, lo que

generaba complicaciones en el intercambio comercial. El primero en

proponer una escala universal fue Gabriel Mouton en 1670, que se basaba en

la milla (largo de un minuto de arco en la tierra). En 1795 se instaura en

Francia el sistema métrico decimal, fijándose algunas medidas de base (por

ejemplo el metro para las longitudes). Progresivamente muchos países, a

través de acuerdos políticos van adoptando y ampliando este sistema, hasta

establecer 1960 lo que se conoce como “sistema internacional de unidades”,

que entre otras magnitudes establece las siguientes unidades de medida:

- Longitud: metro (m)

- Masa: gramo (g)

- Tiempo: segundo (s)

- Área: metro cuadrado (m2)

- Volumen: metro cúbico (m3)

- Velocidad: metro por segundo (m/s)

Las unidades aceptan subdivisiones y múltiplos, por ejemplo la longitud

presenta las siguientes equivalencias:

Kilómetro (km) = 1000 m. (103 m)

Decímetro (dm) = 0,1 m. (10-1 m)

Centímetro (cm) = 0,01 m. (10-2 m)

Milímetro (mm) = 0,001 m. (10-3 m)

Micrómetro (µm) = 0,000001 m. (10-6 m)

Nanómetro (nm) = 0,000000001 m. (10-9 m)

MEDIDA


Algunas unidades de peso:

Kilogramo (kg) = 1000 g (10³)

Tonelada (t) = 1000000 g (106)

Decigramo(dg) = 0,1 g (10-1)

Centigramo (cg) = 0,01 g (10-2)

Miligramo(mg) = 0,001 g (10-3)

Microgramo (µg) = 0,000001 g (10-6)

Sin embargo, por razones políticas, no todos los países adhieren al sistema

métrico. Gran Bretaña desde un comienzo adoptó un sistema propio que hoy

comparten otros países como Estados Unidos y que es ampliamente utilizado

en ingeniería en países de Latinoamérica. Es el “sistema anglosajón de

unidades”, del cual destacamos las unidades para medir longitud:

Pulgada (in) = 2,54 cm.

Pie (ft) = 12 in = 30,48 cm.

Yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm.

Milla (mi) = 1,76 yd = 1,609347 km.

Legua = 3 mi = 4,828032 km.

En tu especialidad utilizarás con mucha frecuencia transformaciones de

modenas. Basta con que tengas claros la relación que los bancos o casas de

cambio informan.

MEDIDA

http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Tonelada

http://es.wikipedia.org/wiki/Decigramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Centigramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Miligramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Microgramo



1. En http://si3.bcentral.cl/Indicadoressiete/secure/Indicadoresdiarios.aspx

obtendrás datos como el que se muestra a continuación :

Calcula :

a) A cuantos Dólares corresponden $100.000 pesos chilenos.

b) A cuantos Dólares corresponden $230.000 pesos chilenos.

c) A cuantos Euros corresponden $100.000 pesos chilenos.

d) A cuantos Euros corresponden $180.000 pesos chilenos.

e) A cuantos pesos chilenos corresponden $100 dólares.

f) A cuantos pesos chilenos corresponden $340 dólares.

g) A cuantos pesos chilenos corresponden $100 Euros.

h) A cuantos pesos chilenos corresponden $1020 Euros.

i) A cuantos Dólares corresponden $100Euros.

j) A cuantos Euros corresponden $180 Dólares .

MEDIDA


Gráficos y Tablas

Los gráficos y tablas son recursos que permiten ordenar y presentar la

información. Hay una gran diversidad gráficos y tablas, que involucran a una o

más variables (características de interés de algún fenómeno).

Sin embargo, hay que distinguir que hay gráficos y tablas que son estadísticos y

otras que no. En las tablas y gráficos estadísticos se busca registrar o presentar

la frecuencia de las observaciones, mientras que otros gráficos o tablas tienen

por objeto mostrar cierta información, que no necesariamente tiene relación

con la frecuencia con la que se presentan los datos.

Esta parte del texto tiene relación con los gráficos y tablas en general y plantea

situaciones cuyo propósito es analizar la información contenida en ellos para

responder a ciertas cuestiones problemáticas.

El manejo de datos es relevante, cada vez que la sociedad los requiere, muchas

veces este manejo de datos te permite realizar predicciones lo que te lleva a

tomar decisiones.

Los tipos de gráficos que revisaremos son : Gráfico de barras, gráfico de líneas, circular y pictograma. Tambien daremos lectura a tablas de una entrada y de doble entrada.

Gráfico de barras.

Los gráficos de barras permiten representar la cantidad de veces que aparece

una característica en cuestión, la altura de cada barra es proporcional a la

cantidad de elementos ( frecuencia ) que se encuentran en una categoría en

particular.

Por ejemplo, en el siguiente problema observas como se da lectura a la

información que el gráfico presenta.

Problema 13:En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se

registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información

y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo.

(Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile)

GRÁFICOS Y

TABLAS


a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por

Internet?

c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?

Solución:


El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la

información y medios de comunicación de masas como actividad principal por

sexo.


La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos

contestamos las preguntas.


Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a

continuación

00,5

11,5

22,5

3

Leer Escucharmúsica o

radio

Ver TV Navegarpor

InternetPro

me

dio

de

ho

ras

dia

rias

Actividades principales

Hombres

Mujeres

GRÁFICOS Y

TABLAS


Ahora contestamos las preguntas:

a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

Esta información no la entrega el gráfico.

b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por

Internet?

2,3⏟𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠

− 2⏟𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠

= 0,3⏟𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a

minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por

lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los

minutos, como se muestra a continuación

0,3⏟ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

∙ 60 = 18⏟𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver

televisión?

LeerEscucharmúsica o

radioVer TV

Navegarpor

Internet

Hombres 1,5 1,6 2,8 2,3

Mujeres 1,5 1,5 2,6 2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Pro

me

dio

de

ho

ras

dia

rias

Actividades principales

Hombres

Mujeres

GRÁFICOS Y

TABLAS


La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario

calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver

televisión.

2,8 + 2,6

2= 2,7


a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de

encuestados.

b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres

en navegar por internet.

c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver

televisión.

Gráfico de líneas.

Los gráficos de líneas muestran un conjunto de puntos conectados por una sola línea, este tipo de gráfico se utiliza para representar datos que ocurren durante un período de tiempo. Por ejemplo, todos los días en el diario podemos ver gráficos como los siguientes

(gráfico tomado de Economia y Negocios del Mercurio) En estas gráficas podemos observar la variación de una día a otro de por ejemplo el IPSA ( Índice de Precio Selectivo de Acciones )

GRÁFICOS Y

TABLAS


Gráfico circular.

Este tipo de gráfico, muestra las proporciones de las partes con un todo y es muy útil cuando el objetivo es que el lector visualice algo que se destaca. Generalmente en los diarios o en informes, podrás ver información como la siguiente

De este ejemplo de gráfico muy sencillo puedes inmediatamente concluir

que hay mayor cantidad de alumnos en la jornada diurna, normalmente en

estos gráficos se muestran más que dos sectores.

Pictograma.

Un pictiograma es un diagrama que por medio de símbolos representan

una cantidad específica , generalmente en su representación se utiliza alguna

figura acorde al tema en cuestión.

Por ejemplo el siguiente diagrama muestra el número de autos vendidos por

año.

Año Número de automóviles vendidos =1000

automóviles

2010

2011

2012

2013

GRÁFICOS Y

TABLAS


Tablas de una entrada y de doble entrada.

Para leer la información de una tabla simple basta con tener claro que

simplemente se está informando en ella, la frecuencia de cierta característica

por ejemplo

Puedes leer de esta tabla la cantidad de pasteles que diseño cada pastelero o

podrias saber el total de pasteles diseñados en una hora por los cuatro

pasteleros.

En una tabla de doble entrada se pueden dar lectura al número de objetos

(personas, animales, cosas, etc.) que cumplen con dos caracteríaticas

simultáneamente.

Por ejemplo en los aeropuertos puedes ver el estado de los vuelos en una

pantalla que muestra una tabla de doble entrada para dar esta información

En el siguiente problema observaremos como extraer información de una

tabla de doble entrada

Pasteleros Número de pasteles diseñados

Pastelero 1 10

Pastelero 2 12

Pastelero 3 8

Pastelero 4 23

GRÁFICOS Y

TABLAS


Problema 14:En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se

contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes

laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador

como media del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo

de accidente. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un

accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble

entrada:

Muy

Grave Grave

Lesiones

medias Leve

Muy fumador 20 10 10 30

Fumador 30 40 20 50

Fumador

Esporádico 10 60 80 60

No fumador 5 20 30 50

a) ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

b) ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

c) ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves?

d) ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy

fumadores?

e) ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

Solución:


La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la

gravedad de los accidentes laborales.

GRÁFICOS Y

TABLAS



Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las

preguntas.


Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a

continuación:

Ahora contestamos las preguntas

a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

525 individuos

b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

105⏞

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠𝑛𝑜 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

525⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

=1

5

Muy

Grave Grave

Lesiones

medias Leve Total

Muy fumador 20 10 10 30 70

Fumador 30 40 20 50 140

Fumador

Esporádico 10 60 80 60 210

No fumador 5 20 30 50 105

Total 65 130 140 190 525

GRÁFICOS Y

TABLAS


c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves?

40⏞

𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

140⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒

𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

=2

7

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy

fumadores?

10⏞

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

130⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

=1

13

e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes

graves?

10⏞

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

70⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

=1

7


En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales

un quinto no fuma. De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes

graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo.

GRÁFICOS Y

TABLAS


Arica

Antofagasta

Temuco

Punta Arenas

La Serena


1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino

Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de

temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad

década avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.

En base a los datos entregados en el

gráfico:

a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes?

b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas?

c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica?

d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes?

e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas?

2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de

estudiantes en un viaje académico, reflejando el tiempo (en horas) y la

distancia recorrida (en kilómetros).

a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?

b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la actividad?

GRÁFICOS Y

TABLAS


c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó?

d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el

autobús hasta la próxima detención?

e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se

encuentra el autobús de su punto de partida?

3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia

viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial?

b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg

menos de la dosis inicial?

d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10

mg de concentración en sangre de anestesia?

e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la

anestesia?

4. Dos agencias de viajes realizan un tour a pie por las torres del Paine y

aunque no toman siempre el mismo sendero ambos recorren 1000 metros y

llegan al mismo lugar.

GRÁFICOS Y

TABLAS


El gráfico anterior describe en forma aproximada el comportamiento de los

tours en dicho viaje:

a) ¿Cuál agencia empezó el tour más rápido? Justifica tu respuesta

b) ¿En qué momento un tour alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Cuál fue la

agencia alcanzada?

c) ¿Qué agencia realizó el tour más rápido?

5. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo

con realizar reservas en un hotel (que no esten de acuerdo quiere decir, buscar

cuando llegan a su destino). Según segmento socioeconómico, los resultados se

muestran en la siguiente tabla, en número de casos:

Segmento socioeconómico Total

Alto Medio Bajo

¿Está de acuerdo?

Si 51 158

No 48

Total 73 109 91

Completa la tabla y luego el siguiente párrafo:

De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó

de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con

vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el . . . . . . . . % se ubica en un

segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . . % en el segmento

alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . .

. % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo

el . . . . . . . .% lo está.

6. En la asignatura de Tecnología de Cocina y Pastelería I, están realizando el

siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo dispone de una

regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico. El

experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir

agregando monedas de $10 en el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el

experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder

establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y

luego los grafican:

GRÁFICOS Y

TABLAS


El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres

grupos del curso. Los gráficos fueron los siguientes:

¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu

respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada

gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas)

GRÁFICOS Y

TABLAS

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