cuaderno de apuntes lógica y matemática comp

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009

Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 1

I. IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO: LÓGICA Y MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de:

Resolver problemas generales de lógica y matemática, demostrando habilidad para operar con principios de lógica deductiva, funciones de variables real y arrays, utilizando paquete matemático MatLab o similar.

DURACIÓN: 90 horas pedagógicas.

II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO ÁREA DE FORMACIÓN: General Diferenciada UBICACIÓN EN LA MALLA: 1er semestre PRERREQUISITO: NO TIENE No tiene III. UNIDADES DE APRENDIZAJE PRIMERA UNIDAD: Nivelación de Matemática DURACIÓN: 20 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: - Reconocen y caracterizan los conjuntos numéricos, aplicando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre

ellos. - Resuelven las cuatro operaciones básicas con ayuda de calculadora científica, utilizando las propiedades y reglas de

los números reales. - Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora

científica, propiedades y reglas de los Números Reales. - -Transforman números decimales a fracción común y viceversa. SEGUNDA UNIDAD: Lógica DURACIÓN: 30 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: - Resuelven operatoria básica con lógica binaria determinando el valor de verdad de una expresión compuesta. - Construyen secuencias lógicas siguiendo las reglas estandarizadas de los árboles lógicos. - Transforman expresiones lógicas a formas equivalentes. - Identifican y aplicar los Principios Fundamentales de la Lógica Formal - Determinan la validez de argumentos, utilizando las Reglas de Inferencia - Determinan si una proposición compuesta es una Tautología, Contradicción o Contingencia - Identifican y operan con los aspectos básicos de la lógica trivalente. TERCERA UNIDAD: Álgebra y Funciones DURACIÓN: 40 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: - Realizan operaciones algebraicas básicas con MatLab. - Realizan operaciones básicas con arrays. - Crean series numéricas con arrays mediante MatLab. - Operan con funciones polinómicas, definiéndolas y valorándolas en distintos ámbitos numéricos mediante MatLab.



- Grafican funciones polinómicas mediante MatLab. - Operan con funciones trigonométricas, definiéndolas y valorándolas en distintos ámbitos numéricos mediante MatLab. - Grafican funciones trigonométricas mediante MatLab. - Resuelven ecuaciones polinómicas de grado n mediante MatLab. - Resuelven ecuaciones trigonométricas de grado n mediante MatLab. - Resuelven sistemas de ecuaciones lineales de n incógnitas. - Resuelven problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales. - Operan con matrices utilizando MatLab. IV. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS A) GENERALES: - Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico. - Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo. - Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y

la carrera que estudian. - Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje. - Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos. - Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera. B) ESPECÍFICAS: - Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos. - Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos. - Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a

través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a

través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de esclarecer y reforzar

contenidos. V. EVALUACIÓN DE UNIDADES Las evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada). Se aplican dos Controles escritos por unidad para obtener una calificación por unidad: Además cada docente puede evaluar trabajos en grupos u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una nota promedio, que corresponde a una nota por unidad. Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen. Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final. El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio. Evaluaciones Nacionales Estandarizadas Primera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 Unidades 1 y 2 Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 Unidad 2 y 3 Evaluaciones Unidad 1: al menos 1 Unidad 2: al menos 1 Unidad 3: al menos 1 Examen de Módulo Examen escrito, nacional. VI. BIBLIOGRAFÍA -Cesar Pérez. “MatLab y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería”. Prentice Hall. 2002. -Soto Prieto, MANUEL Jesús. Álgebra Lineal con MatLab. Prentice Hall.2000. -Apuntes INFORED de AIEP.



VII. CLASE A CLASE PRIMERA UNIDAD: Nivelación de Matemática CLASE 1

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos. • Reconocen y caracterizan los conjuntos numéricos,

aplicando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto de los Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque: Tiene un número infinito de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). 1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tanto podemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero 1.3. Conjunto de Racionales: Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....}

ba

El conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma . Esta fracción en la cual el numerador a,

es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números Racionales, se define como:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∧∈= 0,/ bZba

baQ

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes. 1.4. Conjunto de los Irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar en forma Racional El conjunto de los números Irracionales se define como. I = {x / x es un decimal infinito no periódico}



Algunos ejemplos de números irracionales son:

.......,..........,......., 1415926533414213562123133133310 =π=

ba A él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma No deben confundirse con los números racionales,

porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma ba

1.5. Conjunto de los Reales: El conjunto de los números reales se define como:

{ }IQIR ∪= Con lo cual obtenemos la denominada recta numérica. Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto le corresponde un número Real. Valor absoluto de un número:

aEl valor absoluto de un número real a denotado por , es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=≤=≥

xxentoncesxSixxentoncesxSi

00

Para cualquier número real x

Si x es positivo o 0, entonces x es su propio valor absoluto. No obstante, si x es negativo, entonces – x (que es un número positivo) es el valor absoluto de x. En consecuencia 0≥x , para todos los números reales x. Ejemplo:

44 =

44 =− Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos:

3a. Respuesta: 3

8−−b. Respuesta. 8

4−c. Respuesta. 4

36 −⋅−d. Respuesta: 18



CLASE 2

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos. • Reconocen y caracterizan los conjuntos numéricos,

aplicando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales

• Laboratorio con PC. Guía de trabajo para el laboratorio de computación

1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5. b.-El valor del pasaje del trasporte público se representa por un número positivo. c.-La cantidad de personas que asiste a un evento esta representado por un número positivo. d.-La temperatura de un caluroso día de verano, en grados Celsius está dada por un número positivo. 2. En la figura siguiente, en los recuadros señalados por cada flecha, anote las sumas de los números que están en el cuadriculado respectivo

A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2, de 3, de 4 y de 5 B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2, de 3, de 4 y de 5. C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas.



3. continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

La figura siguiente es parte de esta tabla. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y?

A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103

D) 102 y 104

4. a. Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3 3− b. Anote cuatro números enteros que sean mayores que

5. Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos:

22

5;

7

3;

2

6

7;; eπ6. Ordenar de menor a mayor los números: - (- 3);



CLASE 3

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS 2. Operaciones Básicas con calculadora científica Resuelven las cuatro operaciones básicas, con ayuda de

calculadora científica, utilizando las propiedades y reglas de los números reales

2.1. Adición 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente

Operaciones Básicas: Adición de números reales Cuando se efectúa la adición de números, el resultado se denomina suma. Por ejemplo: a. Sume: 75 ++ y

12)7(5 +=++ b. Sume )8()2( −− y

10)8()2( −=−+− Generalizando: Adición de números reales:

• Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común • Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor, restar el menor) y mantener el signo del

número con mayor valor absoluto Sume los números. a. )20(12 +++b. )8(20 −+−c. )12(15 −++d. )15(30 ++− Sustracción de números reales: Cuando un número se resta de otro número, el resultado se denomina diferencia. Para encontrar una diferencia, podemos convertir la resta en una suma equivalente. Por ejemplo, la resta de 610− es equivalente a la suma de , porque tienen el mismo resultado:

)6(10 −+

4)6(104610 =−+=−

Esto sugiere que, para restar dos números cambiamos el signo del número que se resta y sumamos. Reste: a. =−914b. = 1020−−c. =−−− )12(8



Multiplicación de Números Reales: Cuando se multiplican dos números, el resultado se llama producto. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco veces en una suma:

2044444)4()5( =++++=⋅ El producto de lo encontramos al usar )4(5 −y 4− cinco veces en una suma:

20)4()4()4()4()4()4()5( −=−+−+−+−+−=−⋅ Por lo tanto para multiplicar dos números reales:

• Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo • Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo

000 =⋅=⋅ xx• Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real, entonces

Multiplicar: a. =− )9(3b. =−− )15(4c. )9(3− División de números reales:

)0( ≠= bqba

Cuando se dividen dos números, el resultado lo denominamos cuociente. En la división , el cuociente q, es un

número tal que aqb =⋅ Considere las siguientes divisiones:

24)12(2,122

24=+++=

++ queya

15)3(5,35

15−=−−=

− queya

2412)2(,122

24−=−=

−− queya

Los resultados anteriores sugieren que, para dividir números reales:

• Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. El cuociente es positivo • Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo. • División entre 0: La división entre 0 no está definida.

xdevalorningúnparadefinidoestánox,oargembSin.x

entonces,x0

000 =≠Si



Dividir:

=15

30a.

4

20−b.

=−−

5

10 c.

Orden de las operaciones: Consideremos la expresión: , que contiene las operaciones de adición y multiplicación, convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que las sumas:

4310 ⋅+

12104310 +=⋅+ Realice primero la multiplicación

Luego realice la adición 22= Para indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones, debemos utilizar signos de agrupación como son los paréntesis: ( ) Paréntesis redondo [ ] Paréntesis rectangulares { } Paréntesis de llaves

Por ejemplo en la expresión , los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero: ( ) 273 ⋅+( ) 20210273 =⋅=⋅+ Para garantizar resultados correctos, realizar el siguiente orden. Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación; trabaje del par más interno al más externo.

a. Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha. b. Efectúe todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derecha

Cuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación, repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo. En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por el mismo número) Ejemplo: Evalúe la siguiente expresión:

15:)5(415:)27(4 +=+− 15:20 += 5= 14 += 5=Evaluar:



a. ( )[ ]13:6235 +−Respuesta: 15−

( )( )226

4384

−−+

b.

Respuesta: 2− Propiedades de los números reales: Sean a, b y c elementos pertenecientes a un conjunto numérico, entonces:

AXIOMAS ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Sean a y b números pertenecientes de un mismo conjunto,

entonces:

Clausura (Ley de composición interna)

A1 ba + ba ⋅ pertenece al mismo conjunto

pertenece al mismo conjunto

A2 Conmutatividad abba +=+ abba ⋅=⋅ A3 cbacba ++=++ )()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()( Asociatividad A4 aaa +==+ 00 aaa ⋅==⋅ 11 Elemento Neutro

A5 aaaa +−==−+ )(0)( CLASE 4

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Resuelven las cuatro operaciones básicas con ayuda de calculadora científica, utilizando las propiedades y reglas de los números reales.

. Operaciones Básicas con calculadora científica 2.1. Adición 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente Laboratorio con PC

Guía de trabajo para el laboratorio de computación Efectúe las siguientes operaciones, con ayuda de calculadora científica 1. 53:62 −+Respuesta: 1− 2. )53(:)62( −+Respuesta: 4−

3. 932

)48(3

−⋅+

Respuesta: 12−

Elementos Inversos aaaa ⋅==⋅ −− 11 1 A6 cabacba ⋅Distributividad +⋅=+ )(⋅



)7(3)3(5

)6(4)3(8

−+−

4.

Respuesta: 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 2

2

71

3

55.

Respuesta: 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

6

1

3

5

2

1

4

36.

22

15Respuesta.

7. ( )[ ]1219630440 −+− Respuesta: 368 8. ( )[ ] ( ){ }84039354742 −−−⋅+ Respuesta: 56 9. ( )[ ]40156718765 −−⋅−⋅−⋅−⋅−

CLASE 5

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica y regla de los números reales

Resolución de problemas

1. En 15 barriles de la misma capacidad, se han almacenado 1.200 litros de agua. ¿Cuántos barriles son necesarios para

almacenar 8.400 litros de agua? Respuesta:

a) 1200 15= 80 la capacidad del barril es de 80 litros ⇒÷b) 8400 = 105 se necesitan 105 barriles. 80÷ ⇒3. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Cada cajón tiene 80 manzanas. En diciembre se almacenan otros 639 cajones.

¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) ¿Cuántas manzanas hay en la bodega? B) ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? C) ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? D) Si se venden 180 cajones, ¿cuántos quedan por vender en la bodega?



4. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta. ¿Es posible realizar esta modificación con 37 baldosas?

¿Es posible, si son 36 baldosas? Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo cuyos lados tienen igual medida, por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo, dé 37.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo, se denominan Primos. 5. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes: a. Baja 20 metros para dejar material b. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. Sube 8 metros para reparar una tubería d. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma? Solución: 18 metros 6. En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 grados Celsius bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara? 7. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados, y hasta las cinco de la tarde subió tres grados más. Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados, y de medianoche al alba, bajo seis grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? 8. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año. Enero – Mayo: pérdidas de 2.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3.170 euros mensuales ¿Cual fue el balance final de año? 9. Ud. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada, contabiliza sus

haberes de la siguiente manera: Saldo anterior Depósito/ Cargo ( )±Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.200.000, depositó hoy $350.000, realiza compras por un total de $250.000, usando su Red Compra y cancela la cuenta de la luz con cheque por $15.000. ¿Cuál es su nuevo saldo?

Respuesta: $1.285.00



CLASE 6

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica y regla de los números reales.

Resolución de problemas Laboratorio con PC Guía de trabajo para el laboratorio de computación

Resolver los siguientes problemas: 1. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos .Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos,

pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes:

Comprador 1: 250 kilos de azúcar; comprador 2: 120 kilos de azúcar; comprador 3: 95 kilos de azúcar. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores.

2. .Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor .Cierto año subió 25 días al primer piso, 72 días

al segundo piso, 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio?

3. Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A, B, C y D. El socio A aporta $1.500.000, el socio B la mitad del

aporte del socio A, el socio C, el triple del aporte de A y el socio D $750.000 más que el socio B, determine el aporte total para la formación de la sociedad.

4. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno .Vendió cierto número de unidades en 500 euros, a 5

euros cada una. ¿A que precio debe vender el resto para no perder? 5. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300.000, si por el artículo B canceló $35.800

menos que por el artículo A, determine el precio de cada artículo.



CLASE 7

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Transforman números decimales a fracción común y

viceversa. • Operan con fracciones

Transformaciones: De fracción a decimal De un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES: Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5. 3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales, los finitos (nº decimal) y los periódicos. Éstos últimos pueden a su vez dividirse en periódicos o periódicos mixtos.

Desarrollo decimal finito, es aquél que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0,5, 1,348 ó 367,2982345 Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, …

Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales, pero, de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, llamado período, por ejemplo 0,333333....., 125,67777777....... ó 3,2567256725672567...... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0,33333...

En un desarrollo decimal periódico mixto, antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que no se repite, llamado anteperíodo.

Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periódicas mixtas pero con período 0. TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador: Ejemplos: 1) 31250400125

400125 ,: == (desarrollo decimal finito)

2) 83333306565 ,: == (desarrollo decimal periódico mixto)

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Recíprocamente, dado un desarrollo decimal finito o periódico, puede encontrarse una expresión racional (fracción) para la misma, siguiendo la siguiente norma:

Si el desarrollo decimal es finito: se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en la expresión decimal original. Ejemplo:

10003428728734 =,

Si el desarrollo decimal es periódico: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero, sin coma, hasta la primera repetición del período, la parte entera. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo:



999

323253253253232 −=..., =

99932500

Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por la parte entera, el anteperíodo y la primera repetición del período, el entero formado por la parte entera y el anteperíodo. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo:

9900

45845841414141584 −=..., =

990045383

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreductible. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultado es el mismo. Para obtener fracciones equivalentes, se amplifica o simplifica la fracción, por cualquier número distinto de cero. Ejemplos:

1) Dada la fracción 5

2, si la fracción se amplifica por 2, se obtiene

10

4

2·5

2·2= , que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2

en 5 se obtiene 0,4 y al dividir 4 en 10, también se obtiene 0,4.

2) Dada la fracción 20

5, si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene

4

1

5:20

5:5= , que es equivalente a la anterior,

ya que al dividir 5 en 20 se obtiene 0,25 y al dividir 1 en 4 se obtiene, también, 0,25.

Observación: Si una fracción no es simplificable, se denomina fracción irreductible. Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia. Ejemplos de clases de equivalencia:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧→ ,...,,,,

105

84

63

42

21

21

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−→− ,...,.,

1612

129

86

43

43

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES:

Simplificar una fracción ba

equivale a nbna

:

: . Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación.

Amplificar una fracción ba

equivale a nbna⋅⋅

Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.

Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos. Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192. El mínimo común múltiplo entre 15, 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma.



Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2, 3, 5, 7, etc.

15 45 60 2 15 45 30 2 15 45 15 3 5 15 5 3 5 5 5 5 1 1 1

El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 180

Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 25

3

Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 325

Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.318

325

=

Igualdad de fracciones: bcaddc

ba

=⇔=

Comparación entre dos fracciones bcaddc

ba

≤⇒≤

Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas Ej.: ubicar una fracción entre

45

52∧

45

4552

52

⟨++

⟨ , entonces, se determina que 45

97

52

⟨⟨

11. Inverso multiplicativo. Si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos o inversos multiplicativos.

Ej.: 134

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

OPERACIONES CON FRACCIONES: Si ba y

dc son números racionales, se define:

OPERACIÓN

ADICIÓN

bdbcad

dc

ba +

=+

Adición con denominadores iguales

bca

bc

ba +

=+

SUSTRACCIÓN d

cba

dc

ba −

+=−

MULTIPLICACIÓN

dbca

dc

ba

·

·· =

DIVISIÓN

cbda

cd

ba

dc

ba

·

··: ==



Completar la siguiente tabla, sabiendo que a, b, c, d son números racionales. a b c d

ba

c · d a – ( b + c ) ( a + b ) · c a·b – c·d

1 52−

87

23−

56

2 31

81

1021

101

3 445

54−

252

− 403

Respuesta.

CLASE 8

ba

c · d a – ( b + c ) ( a + b ) · c a·b – c·d

1 3516

− 59

− 409

8057

− 2029

2 38

10021

120227

− 8077

600101

−

3 16225

− 500

3−

1001213

250209

− 5004497

−

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Transformaciones: • Transforman números decimales a fracción común y viceversa. De fracción a decimal

De un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción

• Operan con fracciones

Guía de trabajo para el laboratorio de computación Resolver los siguientes problemas: 1. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción. Susana preparó 2 tortas de igual tamaño, una de piña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan, asistente a la recepción, comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar.

a) Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan b) Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan c) ¿Comió lo mismo de ambas? d) ¿Cuánto comió en total? e) Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se

vende el de piña, ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió?



Solución

a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas, se obtiene la fracción: 24

4

b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes, se obtiene la fracción: 12

2

c) ¿Qué puede decir de las fracciones 20

5 y

4

1? ¿Son iguales? ¿Por qué?

Entonces, tomando la fracción de la torta de piña 24

4se simplifica por 4,

61

42444

=:

:

Luego, hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar 12

2 se simplifica por 2,

61

21222

=::

Podemos concluir que las fracciones 244 y

122 representan la misma fracción, son fracciones equivalentes, luego, don

Juan comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar.

d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. Resulta más fácil la segunda opción, pues, son dos fracciones de igual denominador:

3

1

6

2

6

1

6

1==+ . Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta, en total.

e) Para saber cuánto debería pagar, multiplicamos 4*400 = $1.600, lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Para saber el

valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos ...,$ 3331333

40040031

==⋅ El valor de cada trozo de torta de manjar es

$133. Aproximamos al entero, pues, la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. En total, don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.866 por lo consumido.



2. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disolventes y los 600 m² restantes para pintar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1. Al decir ¼ del resto, significa ¼ de 1/3. Debemos multiplicar ¼ por 1/3,

121

3411

31

41

=⋅⋅

=⋅ .

O sea, 1/12 del almacén contiene disolventes. Pero, la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Si ¼ de 1/3 están con disolventes, entonces, ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes, es decir, está destinado a pintar y corresponden a 600 . 2mMultiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando:

41

123

3413

31

43

==⋅⋅

=⋅ obtenemos que ¼ corresponde a 600 . Luego

multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2.400 .

2m2m

3. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. hasta las 20 hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente:

31 del tiempo se dedica a la construcción de motores

41 de la jornada para carrocerías

21 del tiempo que se ocupa para fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios.

31 del tiempo destinado a carrocerías, se usa para afinar detalles finales.

21 del tiempo utilizado para los accesorios, se destina a almorzar.

El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad?

4. Se tienen dos botellas de bebida. La primera de 1 4

1 lt. y la segunda de

4

3 lt. Con cada una se llenan vasos de

8

1 lt.

¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda?

Respuesta: 4 vasos más 5. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. cada uno. La mantequilla está envasada en

paquetes de 4

1 de kg. Calcular cuántos paquetes se despacharon.

Respuesta: 1.800 paquetes de mantequilla



6. 5

1 de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas,

3

1 se emplean en electricidad,

12

1 en la

recogida de basuras, 4

1 en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza.

a) ¿Cuánto se emplea en limpieza? b) Si la comunidad dispone de $3.300.000, ¿cuánto corresponde a cada actividad?

7. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra

semanalmente. Si en total hay 6.300 empleados, hallar el número de empleados de cada clase. 8. Si 253

312 ,c,b,a === , evalúe

)ac(bcba

−+⋅ 3

9. Si

51534 −==−= c,,b,a , evalúe

cb

c)ba( ⋅+

10. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. Para esto se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.5 metros entre suelo y cielo, además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros. De acuerdo a la situación planteada:

a) Calcular la altura del edificio y la de la construcción. Respuesta: 27,2 metros

b) Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles

son sus dimensiones? Respuesta: 3,16 metros por lado

c) Si por cada departamento se pagan $ 44.775.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19.930? Respuesta: UF 2.246,6314…

Una familia consume 1

21 litro de leche diariamente. Calcular:

a) el consumo semanal b) el consumo en el mes de Abril c) el consumo anual. En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros, además de 10 empleados de la obra. Cada uno recibe con

la comida, 4 vasos de vino de 8

1 litro y 2 vasos de bebida de

5

2 litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de

bebida hubo que encargar? Si un trozo de tela mide 820 cm. y se divide en 4 partes, de modo que, el segundo trozo sea 2/3 del primero, el tercer trozo sea 1/5

del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo, calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela. 14. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión: ( )[ ] ( )[ ] 71438234109 :+−−−−−+−−



15. Sean =⋅

⋅+−===−=

dba)cba(devalorelcalcule,dy,c;,b;a

5320750

41

16. Una jarra tiene 4

5 de litro de capacidad y está llena de jugo. Se echa 51 de litro de este jugo en un vaso. ¿Cuanto queda en la jarra?

17. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito.

Links recomendados http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3ª//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htmhttp://es.wikiversity.org/wiki/N%C3%BAmeros_Realeshttp://www1.universia.net/CatalogaXXI/pub/ir.asp?IdURL=74207&IDC=10010&IDP=PT&IDI=2http://www.sectormatematica.cl/contenidos/numeros.htmhttp://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/op_basicas.htmlhttp://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matematicas_Basicas1.htmhttp://ejercicios-de-matematicas.softonic.com/

http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm


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http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matematicas_Basicas1.htm

http://ejercicios-de-matematicas.softonic.com/



CLASE 9

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Resuelven operatoria básica con lógica binaria

determinando el valor de verdad de una expresión compuesta.

Proposición Función proposicional Proposición simple Proposición Compuesta Conectivos lógicos: Disyunción Disyunción exclusiva Conjunción Conjunción negativa

Lógica Proposicional Los computadores pueden ser programados para seguir ciertas instrucciones en el caso que se cumplan ciertas condiciones. Supongamos, por ejemplo, que disponemos de una planilla electrónica en Excel que contiene las notas promedio de un grupo de alumnos. Podemos programar la planilla para que despliegue un mensaje de “Aprobado” o “Reprobado” en caso que el promedio sea igual o superior a 4.0, o sea inferior, respectivamente. Para realizar tal operación, debemos conocer algunos conceptos básicos de Lógica Proposicional. Un enunciado es una frase que puede ser verdadera (V) o falsa (F). Un enunciado puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Por ejemplo, el enunciado “Mañana habrá un temblor en San Fernando” puede tomar un valor de verdad Verdadero o Falso, pero evidentemente no puede ser verdadero (que haya un temblor) y falso (que no haya un temblor) al mismo tiempo. El enunciado anterior se conoce como simple, dado que posee una sola frase. Existen también enunciados compuestos, los cuales poseen subenunciados y conectivos, que nos permiten elaborar estructuras más complejas. Por ejemplo, podemos utilizar la palabra “y” además del enunciado “caerán los edificios” para formar el enunciado complejo “Mañana habrá un temblor en San Fernando y caerán los edificios” (un poco trágico, verdad). El valor de verdad de un enunciado compuesto está determinado por los valores de verdad de sus subenunciados, junto con la forma en que se conectan. Los siguientes ejemplos permiten considerar las relaciones lógicas básicas que conectan sentencias: Ejemplo 1: Simbolizar “El préstamo es en cuotas o el préstamo es a plazo fijo”. Elementos: Sentencia que simbolizamos con: A: El préstamo es en cuotas. B: El préstamo es a plazo fijo. El conectivo lógico ‘o’ lo simbolizamos por ‘|’. El ejemplo 1 se representa, por lo tanto, en forma simbólica por A | B Ejemplo 2: “María pintará su casa color azul o María pintará su casa color blanco.”



Si utilizamos símbolos, la sentencia puede llevarse a la misma expresión lógica anterior. A: María pinta su casa color azul. B: María pinta su casa color blanco. Entonces, el ejemplo 2 estará representado por A | B El hecho que el ejemplo 1 y el ejemplo 2 se pueden representar ambos por la misma expresión lógica A | B , permite desarrollar una teoría general lógica basada en representaciones literales del tipo A, B. C, … P , Q, R, … y conectivos lógicos del tipo ’|’. Ejemplo 3: Simbolizar: “María canta y María baila.” A: María canta B: María baila El ejemplo se puede representar por A & B, donde ‘&’ corresponde al conectivo ‘y’. Tema fundamental: ¿Existe alguna relación entre el ejemplo 2 y el ejemplo 3? Si analizamos, evidentemente no existe relación si pensamos en los conceptos María pintando, María cantando y bailando. Pero si comparamos las expresiones simbólicas A | B de los ejemplos 1 y 2 con A & B del ejemplo 3, podríamos preguntarnos si existe alguna relación entre A | B con A & B. Para estudiar una relación, debemos introducir otro concepto. Ejemplo 4 Simbolizar “Maria no baila.” El ejemplo 4 podría simbolizarse por una ~ A. ‘~’ es el símbolo lógico de ‘no’. Ejemplo 5: Simbolizar “María no baila o Maria no canta.” A: María baila B: María canta Simbólicamente: ~ A | ~ B Ejemplo 6: Simbolizar “María pinta su casa color azul y María no pinta su casa color blanco.”

A: María pinta su casa color azul. B: María pinta su casa color blanco. Simbólicamente: A & ~ B Ejemplo 7: Simbolizar “No es el caso que María canta y María baila.” A: María canta. B: María baila En este caso existen dos interpretaciones para simbolizar:



1 : ~ A & B 2 : ~ (A & B)

En 1 ‘no es el caso’ se considera que se niega ‘María canta’. En 2, ‘No es el caso’, se considera que niega toda la sentencia, que se podría escribir: ‘No es el caso que (María canta y María baila)’; El paréntesis permite especificar el alcance de ‘No es el caso que’. Así aparece el paréntesis como otro elemento esencial en lógica. Conceptos v y f ‘María baila’ puede ser verdadero o falso. Simbólicamente: A: María Baila A A o v f Una forma es señalar los dos ‘valores de verdad’ posibles de A es colocar bajo A, su valor (v o f) Ejemplo 8: Dada la expresión A | B, señale cuatro posibles valores de verdad para dicha expresión, dando valores de verdad a ‘A’ y ‘B’. a) A | B b) A | B v v v f c) A | B d) A | B f v f f En forma de tabla, llamada “Tabla de verdad”: A B

v v v f f v f F

Ejemplo 9: Forme una tabla con valores de verdad para A, B, C en la expresión (A | B ) & C A B C v v v v v f v f v v f f



f v v f v f f f v f f f ¿Puede darse a A | B un valor verdad? Llamaremos a los elementos ‘A’, ‘B’ de ‘A | B’ proposición atómicas, y a ‘A | B’ proposición molecular Una proposición molecular tiene un valor de verdad que depende de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Teorema 1: La siguiente tabla define los valores de verdad de ‘A | B’ en función de los valores de verdad de ‘A’ y los valores de verdad de ‘B’. A B A | B v v v v f v f v v f f f Nota 1: El valor de verdad de la molécula A | B se coloca debajo del símbolo |, para indicar que corresponde al valor de verdad de la molécula completa. Nota 2: Si aplicamos la tabla al ejemplo molecular “Maria canta o María baila” donde: A: María canta B: María baila Podemos afirmar que A | B será falsa como molécula solamente si A es falsa y B es falsa. En todos los demás casos A | B será verdadera. Teorema 2: La siguiente tabla define los valores de verdad de ‘A & B’ en función de los valores de verdad de ‘A’ y los valores de verdad de ‘B’. A B A & B

v v v v f f f v f f f f

Nota: El valor de verdad es la molécula A & B es verdad solamente si los átomos A y B tienen ambos valor de verdad v. En todos los otros casos, la molécula A & B tienen valor de verdad f.



Ejemplo 10: Complete la tabla del ejemplo 4 que corresponde a (A | B) & C Solución: A B C (A | B) & C v v v v v v v f v f v f v v v v f f v f f v v v v f v f v f f f v f f f f f f f Nota: La expresión lógica ‘(A | B)’ & C, tiene como conectivo principal &, que conecta la molécula ‘(A | B)’ con el átomo ‘C’. Debajo del conectivo ‘| ‘de la molécula ‘A | B’ se anota el valor de verdad de esta molécula, que depende de los valores de verdad ‘A’ y ‘B’. El valor de verdad final de la expresión ‘( A | B ) & C’ se anota bajo el conectivo ‘ &’ . Este valor final, depende de los valores de verdad de ‘(A | B)’ y de ‘C ‘, respetando la tabla que define los valores de verdad. Ejemplo 11 Examine la siguiente tabla: A ~ A ~ ~ A v f v f v f Nota: El valor de verdad de ‘A’ es el mismo valor de verdad de ~ ~ ‘A.’ Afirmar: “No es el caso que María no baila’, equivale a decir ‘ María baila’. Aquí se supone que ‘María baila’, se ha simbolizado por ‘A’.

Teorema 3 ‘A | B’ y ‘~ (~ A & ~ B)’ son equivalentes. Demostración: El teorema se puede demostrar con una tabla de verdad. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A B A | B ~ A ~ B ~ A & ~ B ~(~A &~ B)

v v v f f f v v f v f v f v F v v v f f v f f f v v v f



Explicación de la tabla: La columna (3) establece los valores de verdad de la molécula ‘A | B’. La columna (4) y (5) establece los valores de verdad de la molécula ‘~ A’ y ‘~ B’. La columna (6) establece los valores de verdad de la molécula ‘~ A & ~ B’, considerando los valores de verdad de los componentes ‘~ A‘ y ‘~ B’ de la molécula. La columna (7) establece los valores de verdad de la molécula ‘~(~ A &~ B)’ Lo que demuestra la tabla es que los valores de verdad de la columna 3 y la columna 7 son idénticos. El que los valores de verdad de la columna (3) y de la columna (7) son idénticos establece el siguiente teorema.

Teorema 4:

‘A & B’ y ‘~(~ A |~ B)’ son equivalentes. Demostración: El teorema se puede demostrar con una tabla de verdad. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A B A & B ~ A ~ B ~ A | ~ B ~(~ A |~ B)

v v v f f f v

v f f f v v f

f v f v f v f

f f f v v v f

Dado que los valores de verdad de la columna (3) y columna (7) son idénticos se puede afirmar que ‘A & B ‘ y ‘~(~ A | ~ B)’ son equivalentes. Estas relaciones se pueden aplicar a moléculas diferentes, cuyo conectivo principal sea ‘ | ‘ o ‘ & ‘ . Ejemplo 12: Mostrar que ‘~( A | ~ B)’ es equivalente a ‘ ~ A & B’ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A B ~ A ~ B ~ A & B A | ~ B ~ (A | ~ B)

v v f f f v f

v f f v f v f

f v v f v f v

f f v v f v f

Las columnas (5) y (7) confirman que los valores de verdad de las expresiones ‘~ A & B’ y ‘~ (A | ~ B)’ son los mismos, lo que demuestra que son expresiones equivalentes.



Análisis de la relación entre los conectivos ‘|’ y ‘B’ Observe la expresión: 1) A | B equivalente a ~(~ A &~ B) 2) A & B equivalente a ~(~ A |~ B) Nota 1: Si se compara (1) y (2), se puede ver que una regla de transformación común puede consistir: Etapa 1: En la expresión (1) cambie el conectivo ‘|’ por el conectivo ‘&’ En la expresión (2) cambie el conectivo ‘&’ por el conectivo ‘|’ Etapa 2: En la expresión (1) y (2) cambie ‘A’ por ‘~A’ y ‘B’ por ‘~ B’. Etapa 3: Niegue la molécula resultante de las etapas 1 y 2 . En la expresión (1) la molécula ‘~ A & ~ B’ al negarse queda ‘~(~ A &~ B)’. En la expresión (2) la molécula ‘~ A |~ B’ al negarse queda ‘~(~ A |~ B)’. Nota 2: El análisis anterior revela una dualidad importante entre los conectivos ‘ | ‘ y ‘& ‘ Queda establecido que siempre se puede transformar el conectivo ‘ | ‘ en el conectivo ‘ & ‘ y viceversa. Ejercicios: 1. Transforme el conectivo ‘| ‘ en el conectivo ‘ & ‘ en las siguientes expresiones:

1. ~ A |~ B 2. ~( A | B) 3. ~(~ A | B) 4. P |~ Q 5. ~( R | ~ S)

2. Transformar el conectivo ‘& ‘en el conectivo ‘|’ en las siguientes expresiones:

1. ~ C & ~ D 2. (~ A & B) 3. ~ (P &~ Q) 4. ~ P & Q 5. ~(~ R &~ S)



CLASE 10

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Resuelven operatoria básica con lógica binaria

determinando el valor de verdad de una expresión compuesta.

Condicional Bicondicional o Doble Implicancia

Proposición Condicional La molécula lógica ‘A ===> B’ queda definida por la tabla de verdad:

A B A ===> B (1) v v v (2) v f f (3) f v v (4) f f v ‘==>’ significa las expresiones ‘implica’ o ‘si A, entonces B’. Nota: Los casos señalados en las líneas (3) y (4) son especialmente importantes. Indican que ‘A ===> B’ siempre es una molécula verdadera si ‘A’ tiene un valor de verdad ‘f’. El único caso en que ‘A ===> B’ es falsa como molécula está indicado en la línea (2). Es importante estudiar detenidamente la molécula ‘A ===> B’ dado la importancia que tiene en los lenguajes de programación. Proposición bicondicional. Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

p ↔ q Se lee “p sí y sólo sí q” Esto significa que p es verdadera sí y sólo si q es también verdadera. O bien p es falsa sí y sólo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional “Es buen estudiante, si y sólo si; tiene promedio siete” Donde: p: Es buen estudiante. q: Tiene promedio siete. Por lo tanto, su tabla de verdad es:

p q p ↔ q V

V

F V F V F V

V

F F

F

La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.



Links recomendados http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_binariahttp://www.it.uc3m.es/~labfo2/COD_FO2_notes-1x2.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunci%C3%B3n_l%C3%B3gicahttp://www2.ing.puc.cl/~marenas/iic2212-08/clases/lp-b.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos/iartificial/pagina4_1.htm CLASE 11 y 12

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Transforman expresiones lógicas a formas equivalentes Proposiciones lógicamente equivalentes

Proposiciones lógicamente equivalentes Dos proposiciones son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Las proposiciones cumplen diversas equivalencias lógicas. Las principales se resumen en la tabla siguiente:

LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes de idempotencia 1a 1b ppp ≅∨ ppp ≅∧

Leyes asociativas 2a 2b )()( rqprqp ∨∨≅∨∨ )()( rqprqp ∧∧≅∧∧ Leyes conmutativas 3a pqqp ∨≅∨ 3b pqqp ∧≅∧

Leyes distributivas 4a )()()( rpqprqp ∨∧∨≅∧∨ 4b )()()( rpqprqp ∧∨∧≅∨∧

Leyes de identidad 5a 5b pfp ≅∨ ptp ≅∧

6a ttp ≅∨ 6b ffp ≅∧

Leyes de complementos 7a tpp ≅¬∨ 7b fpp ≅¬∧

8a f 8b tt ≅¬ f ≅¬ Ley de involución 9a pp ≅¬¬Leyes de Morgan 10a qpqp ¬∧¬≅∨¬ )( 10b qpqp ¬∨¬≅∧¬ )(



http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_binaria

http://www.it.uc3m.es/%7Elabfo2/COD_FO2_notes-1x2.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunci%C3%B3n_l%C3%B3gica

http://www2.ing.puc.cl/%7Emarenas/iic2212-08/clases/lp-b.pdf

http://www.monografias.com/trabajos/iartificial/pagina4_1.htm



Teorema 6: Las moléculas lógicas ‘~ A | B’ y ‘A ===> B’ son equivalentes. Demostración: Se puede demostrar por medio de una tabla de verdad esta equivalencia.

(1) (2) (3) (4) (5)

A B ~ A ~ A | B A ===> B

v v f v v

v f f f f

f v v v v

f f v v v

Nota: Las columnas (4) y (5) tienen los mismos valores de verdad. Esto demuestra la equivalencia de las moléculas. Este teorema se aplica en muchas áreas de la informática. En especial, tiene aplicación en la teoría lógica de la deducción por medio de árboles lógicos. Esta teoría es fundamental en el desarrollo de sistemas con inteligencia artificial.

Ejemplo 1: Aplicando el teorema 6, se puede afirmar las siguientes equivalencias: 1) ‘A | B’ equivale a ‘~ A ==> B’

2) ‘A | ~ B’ equivale a ‘~ A ==> ~ B’

3) ‘~ A | ~ B’ equivale a ‘ A ==>~ B’

Nota: En todos los casos, se niega el lado izquierdo de la molécula con conectivo ‘|’. Se cambia ‘|’ por ‘===>’ y se conserva el lado derecho de la molécula con conectivo ‘|’ (no olvide que la negación de ‘~ A’ es ‘A’). Ejemplo: Aplicando el teorema, se puede afirmar las siguientes equivalencias. 1) ‘A ==> B’ equivale a ‘~ A | B’

2) ‘A ==> ~ B’ equivale a ‘~ A | ~ B’

3) ‘~ A ==> ~ B’ equivale a ‘A | ~ B’ Nota: Si compara el ejemplo 1 con el ejemplo 2, encontrará un procedimiento común para cambiar ‘|’ por ‘==>’ o viceversa. El procedimiento común es: se puede cambiar en una molécula lógica ‘|’ por ‘==>’ (o ‘==>’ por ‘|’), si se niega el lado izquierdo de la molécula y se conserva sin cambio el lado derecho de la molécula. Ejemplo 3: Examine las siguientes equivalencias:

1) (P & Q) ==> R equivale ~(P & Q) | R

2) S | ( T ==> U) equivale ~ S ==> ( T ==> U ) 3) A | (B | C) equivale ~ A ==> (B | C) 4) (A ==> B) ==> C equivale ~ (A ==> B) | C



Nota: En 1), ‘(P & Q)’ es el lado izquierdo de la molécula ‘(P & Q) ==> R’. Al negar el lado izquierdo y conservar el lado derecho, se obtiene la equivalencia. En 2), el lado izquierdo de la molécula ‘S | (T ==> U)’ es ‘S’. Al negar ‘S’, obtenemos ‘~ S’. Se conserva el lado derecho ‘(T ==> U)’ y se obtiene la equivalencia. En 3), se niega el lado izquierdo ‘A’ de la molécula lógica ‘A |(B | C )’ y se conserva el lado derecho ‘( B | C )’ de la molécula lógica . Así se puede obtener la equivalencia cambiando ‘|‘por ‘==>’. En 4), se repite el procedimiento: Se niega el lado izquierdo ‘(A ==> B)’ y se conserva el lado derecho ‘C’ para obtener una equivalencia cambiando ‘==>’ por ‘|’. Ejemplo 4: Examine las siguientes equivalencias. 1) ( A & C ) ==> ( A | B ) equivale a ~ ( A & C ) | ( A | B ) 2) ( P ==>Q ) | ( R ==> S) equivale a ~ ( P ==> Q ) ==> ( R ==> S) 3) ( A ==>B) ==> ( A ==> C) equivale a ~ ( A ==> B ) | ( A ==> C) 4) ( A | P ) | ( P ==> B) equivale a ~ ( A | P ) ==> ( P ==> B) Nota: Si examina estas equivalencias, podrá ver que siguen las reglas generales del cambio de ‘==>’ por ‘|’ (o de ‘|’ por ‘==>’). Sólo que las partes izquierda y derecha de las moléculas tienen un grado de complejidad mayor. Ejercicios1. Escriba nuevamente los siguientes enunciados sin usar el condicional: a) Si llueve, él usa su paraguas. b) Si estudias, aprobarás el módulo. 2. Encuentra la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: a) )()( qpqp ∧¬→¬↔b) )()( pqpq ¬→↔∨¬3. Demuestre, utilizando tablas de verdad a) )()()( rqrprqp →∨→≡→∧b) qrprqp ¬→¬∧≡→→ )()(

Links recomendados http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htmhttp://www.mitecnologico.com/Main/EquivalenciaLogicahttp://soko.com.ar/matem/Logica_proposicional.htmhttp://elsanti.netfirms.com/leyes.htmlhttp://www.monografias.com/trabajos58/operaciones-logicas/operaciones-logicas2.shtml



http://www.mitecnologico.com/Main/EquivalenciaLogica

http://soko.com.ar/matem/Logica_proposicional.htm

http://elsanti.netfirms.com/leyes.html

http://www.monografias.com/trabajos58/operaciones-logicas/operaciones-logicas2.shtml



CLASE 13

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Refuerzan aprendizajes esperados de las clases 1 a 12 • Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de las

clases 1 a 12 •

Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas, en preparación de la primera Evaluación Nacional 1. Un vendedor viajero recorrió en su último viaje 3.360 kilómetros, viajando por todo Chile, gastando en total 160 litros de bencina. Si hubiese recorrido 210 kilómetros. ¿Cuanta bencina hubiese ocupado? Respuesta: 10 litros 2. En una fábrica trabajan 35 hombres y 12 mujeres, al final de año se retiran 71 de los hombres y 31 de las mujeres, en busca de nuevas perspectivas económicas. Al año siguiente se contratan 4 hombres y 3 mujeres. ¿Cual es la cantidad total de actual de trabajadores en la empresa? Respuesta: 45 trabajadores 3. Para la instalación y puesta en marcha, de un equipo de refrigeración, la cuarta parte del tiempo se utiliza en la planificación para la ubicación del equipo; la sexta parte del tiempo en la instalación física del equipo y la novena parte del tiempo se destina a una marcha blanca ¿Qué cantidad del tiempo restante le quedará para atender otras tareas?

Respuesta: 3617

4. Un hombre puede hacer un trabajo en 36718 días ¿Qué parte del trabajo puede hacer en

153

días?

Respuesta: 655192

5. Sean las proposiciones p: Ella es hermosa y q: Ella es inteligente. Exprese con lógica simbólica cada una de las siguientes proposiciones:

a. Ella es hermosa e inteligente b. Si ella es fea entonces es inteligente c. Ella no es ni hermosa ni inteligente d. Ella es inteligente pero fea e. No es verdad que ella sea tonta y fea f. Ella es hermosa si y sólo si no es inteligente

6. Utilizando tablas de verdad, demuestre la equivalencia entre las siguientes proposiciones:

a. [ ] [ )()())( rqrprqp ⇒∧⇒≡⇒∨ ]

]b. )()()()( rpqprpqp ⇒∨⇒¬≡⇒⇒⇒c. [ ] [ )()()( rpqprqp ⇒∧⇒≡∧⇒7. En las siguientes proposiciones, transforme el conectivo “o” en “y”, según sea el caso, utilizando los métodos estudiados en clases. a. qp ¬∨ d. )( qp ¬∧¬ b. e. )( qp ¬∨¬ )( qp ¬∧¬¬ c. f. )( qp ∨¬¬ qp ¬∧¬



CLASE 14

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Desarrollan evaluación sumativa

rizada de los aprendizajes sperados de las clases 1 a 12

Evaluación Nacional Estandae

CLASE 15 y 16

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • ican los Principios Fundamentales de la

Lógica Formal

• P s de la lógica Formal:

Suficiente

Implicaciones Derivadas

Identifican y apl

rincipios FundamentalePrincipio de Identidad Principio de no Contradicción Principio del Tercero Excluido Principio de RazónLey del Silogismo

Principios fundamentales de la lógica formalEl razonamiento formal está cimentado sobre ciertos principios lógicos, los que se consideran como leyes del pensamiento. Estos

ente a sí misma. En otras palabras, una proposición no cambia u valor de verdad si es reemplazada por una proposición idéntica.

ros al mismo tiempo. En otras palabras, si una proposición resulta ser verdadera, entonces no uede ser falsa al mismo tiempo.

una tercera osibilidad, es decir, no existe un tercer modo de ser, porque uno de estos juicios debe necesariamente ser verdadero.

nes previamente consideradas y demostradas como verdaderas pueden utilizarse para mostrar la validez de guna proposición.

principios son: a) Principio de Identidad: establece que toda proposición es equivals b) Principio de no contradicción: si hay dos pensamientos, de los que uno afirma y el otro niega la misma cosa, entonces no es posible que ambos sean verdadep c) Principio del tercero excluido: cuando existen dos juicios contradictorios, que se niegan mutuamente, no se dap d) Principio de razón suficiente: sólo son verdaderas aquellas proposiciones que podemos probar, basándonos en otros conocimientos reconocidos antes como verdaderos. En otras palabras, nunca podemos utilizar alguna conjetura para demostrar algo, sólo proposicioal Ejemplos- Las proposiciones “Hoy hace calor en Iquique y hace frío en Punta Arenas” y “hoy hace frío en Punta Arenas y hace calor en

uique” son equivalentes. Por principio de identidad, tienen el mismo valor de verdad.

las siguientes proposiciones son falsas: do”

asa y no está en casa” “2+3=5 y 2+3≠5”

siciones siguientes son verdaderas: n San Fernando”

Iq - Conforme al principio de no contradicción, todas “Hoy hace calor y hace frío en San Fernan “Catalina está en c - Por el principio del tercero excluido, todas las propo “Hoy hace calor o no hace calor e



“Cristián está o no está en casa” “Aprobaré o no aprobaré el módulo de Lógica y Matemática Computacional” Argumentos Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones, llamadas premisas, y otra proposición llamada la conclusión.

es decir, si Q es verdadero cada vez que las remisas son verdaderas. Un argumento que no es válido se conoce como falacia.

só cada vez que P1 y P2 y P3… sea verdadero o, quivalentemente, si y sólo si la proposición p1 y p2 y p3 Q es una tautología.

e verdad o del contenido de los enunciados que aparecen en el argumento, no solamente de la estructura formal del argumento.

Simbólicamente, se denota por QPPP n a,..., 21 Un argumento es válido si las premisas dan como consecuencia la conclusión, p Las proposiciones P1, P2, P3…Pn son verdaderas simultáneamente si y sólo si la proposición P1 y P2 y P3 … y Pn es verdadera. Así, el argumento P1, P2, P3 …Pn a Q es válido si y lo si Q es verdadero e a La validez del argumento no depende de los valores dsi CLASE 17 y 18

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • ez de argumentos, utilizando las

Reglas de Inferencia

odus Tollendo Ponens

Determinan la valid Reglas de Inferencia: Modus Ponendo Ponens

Modus Tollendo Tollens M

Reglas de inferencia Las reglas de inferencia usa dos tipos de elementos: los datos (hechos o evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas almacenadas en la base de conocimiento), para obtener nuevas conclusiones o hechos. Por ejemplo, si la premisa de una regla es cierta. Los datos iniciales se incrementan incorporando las nuevas conclusiones. Por ello, tanto los hechos iniciales o datos de artida como las conclusiones derivadas de ellos forman parte de los hechos o datos de que se dispone en un instante dado.

más de una regla. Para obtener conclusiones, los expertos utilizan ferentes tipos de reglas y estrategias de inferencia y control.

Tipos de reglas de inferencia

• Mecanismo de Resolución

p Las conclusiones pueden clasificarse en dos tipos: simples o compuestas. Las conclusiones simples son las que resultan de una regla. Las conclusiones compuestas son las que resultan de di

• Modus Ponens • Modus Tollens

Modus Ponens Es quizás la regla de inferencia más comúnmente utilizada. Se utiliza para obtener conclusiones simples. En ella, se examina la premisa de la regla, y si es cierta, la conclusión pasa a formar parte del conocimiento. Considere el siguiente ejemplo, supóngase ue se tiene la regla, “Si A es cierto, entonces B es cierto” y que se sabe además que “A es cierto”.

e “B es cierto”. Esta regla de inferencia, que parece trivial, debido a su familiaridad, es base de un número de sistemas expertos.

Ejemplo: q

q Entonces la regla Modus Ponens concluye qula

1. p→



2.

3. q

p ⏐⎯

Modus Tollens Se utiliza también para obtener conclusiones simples. En este caso se examina la conclusión y si es falsa se concluye que la premisa también es falsa. Por ejemplo, supóngase de nuevo que se tiene la regla “A es cierto, entonces B es cierto” pero se sabe ue “B es falso”.

“A s falso”. Auque muy simple y con muchas aplicaciones útiles, la regla Modus Tollens es menos utilizada que la Modus Ponens.

e inferencia Modus Tollens puede ser considerada como una xpansión de la base de conocimiento mediante la adición de reglas.

Ejemplo:

2.

3. ¬p

q Entonces, utilizando la regla Modus Ponens no se puede obtener ninguna conclusión, pero, la regla Modus Tollens concluye quee Por ello, la regla Modus Ponens se mueve hacia delante, es decir, de la premisa a la conclusión de una regla, mientras que la regla Modus Tollens se mueve hacia atrás, es decir, de la conclusión a la premisa. Las dos reglas de inferencia no deben ser vistas como alternativas sino como complementarias. La regla Modus Ponens necesita información de los objetos de la premisa para concluir, mientras que la regla Modus Tollens necesita información sobre los objetos de la conclusión. De hecho, para un motor de inferencia que solamente utiliza Modus Ponens, la incorporación de la regla de

1. p→q ¬q ⏐⎯

Mecanismo de resolución Las reglas de inferencia Modus Ponens y Modus Tollens pueden ser utilizadas para obtener conclusiones simples. Por otra parte, las conclusiones compuestas, que se basan en dos o más reglas, se obtienen usando el llamado mecanismo de resolución. Esta regla

gica. . Esta última expresión se utiliza para obtener la conclusión.

tos tales como la combinación y simplificación de expresiones lógicas, que se ilustra de modo tuitivo en el siguiente ejemplo.

Regla 2: Si B es cierto, entonces C es cierto

resolución consiste en sustituir cada una de las dos reglas por expresiones lógicas equivalentes. o

• s cierto”. Una prueba de esta equivalencia se

• Similarmente, la Regla 2 es equivalente a la expresión lógica: “B es falso o C es cierto”.

Si A, entonces B Ā

de inferencia consiste en las etapas siguientes: 1. Las Reglas son sustituidas por expresiones lógicas equivalentes. 2. Estas expresiones lógicas se combinan en otra expresión ló3 Estas etapas involucran concepin Supóngase que se tienen las dos reglas: Regla 1: Si A es cierto, entonces B es cierto La primera etapa en el mecanismo de

Est se hace como sigue: La Regla 1 es equivalente a la expresión lógica: “A es falso o B emuestra en la tabla de verdad que se muestra en la figura No. 12.

A B Ā o B

V V F V V V F F F F F V V V V F F V F V



La tabla de verdad muestra que la regla “Si A es cierto, entonces B es cierto” es equivalente a la expresión lógica “A es falso o B es erto”

encia se muestra n la siguiente tabla. Esta ma e esió utili idamen n.

Ā

ci

La segunda etapa consiste en combinar las dos expresiones anteriores en una, tal como sigue: las expresiones lógicas “A es falso o

es cierto y “B es falso o C es cierto” implican la expresión “A es falso o C es cierto”. Una prueba de esta equivalBe últi xpr n se za segu te en la tercera etapa para obtener la conclusió

A B C o B B o o C) Ā BC (Ā o B) y ( o C

V V V V V V V V V F V F F F V F V F V F V V F F F V F F F V V V V V V F V F V F F V F F V V V V V F F F V V V V

La tabla de verdad muestra que las expresiones lógicas “A es falso o B es cierto” y “B es falso o C es cierto” implican la expresión “A s falso o C es cierto”. e

Links recomendados http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponenshttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/emilioprados/filosof/Logica/Reglas%20de%20inferencia.htmhttp://culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca/Lexikon%20der%20Linguistik/mo/MODUS%20PONENS%20und%20MODUS%20TOLLENS.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Silogismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Implicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_tercero_excluidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_raz%C3%B3n_suficientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_no_contradicci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_identidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponens

http://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponens

http://culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca/Lexikon%20der%20Linguistik/mo/MODUS%20PONENS%20und%20MODUS%20TOLLENS.htm



http://es.wikipedia.org/wiki/Silogismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Silogismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Implicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_identidad



CLASE 19 y 20

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS • Determinan si una proposición compuesta es una

Tautología, Contradicción o Contingencia • Identifican y operan con los aspectos básicos de la

lógica trivalente

• Tautología Contradicción y Contingencia • Lógica trivalente

Tautología, contradicción y Contingencia Tautología Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples. Por ejemplo, lo que se presenta en la siguiente tabla:

p q ¬p ¬p∨p V V F V V F F V F V V V F F V V

Contradicción Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples. Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología. Por ejemplo, la tabla siguiente:

p q ¬p ¬p∧p V V F F V F F F F V V F F F V F

Contingencia Una proposición contingente (llamada también incongruente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Por ejemplo, la tabla siguiente:

P q p→q V V V V F F F V V F F V



Ejercicios1. Demuestre que la proposición es una tautología )( qpp ∧¬∨2. Demuestre que la proposición es una contradicción. )()( qpqp ∨¬∧∧ Links recomendados http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tautolog%C3%ADahttp://www.mitecnologico.com/Main/TautologiasYContradiccioneshttp://www.monografias.com/trabajos4/matematica/matematica.shtml



http://es.wikipedia.org/wiki/Tautolog%C3%ADa

http://www.mitecnologico.com/Main/TautologiasYContradicciones

http://www.monografias.com/trabajos4/matematica/matematica.shtml

cuaderno de apuntes lógica y matemática comp

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