apuntes del docente

8/4/2019 Apuntes Del Docente

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APUNTES DOCENTES

PROFESOR: ING. EDGAR VARGAS RUIZ

MATEMTICA BSICA


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UNIDAD 1

CONJUNTOS NUMRICOS

DEFINICIONES

Los nmeros se dividen en grupos o conjuntos; donde cada uno contiene al anterior y es mscompleta que l y con mayores posibilidades en sus operaciones.El conjunto formado por los nmeros racionales y los irracionales (no racionales) se llamaconjunto de nmeros reales y se designa por R.A continuacin estn los subconjuntos en un diagrama:

Con los nmeros reales podemos realizar las mismas operaciones que hacamos con los nmerosracionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo lasmismas propiedades.

Tambin podemos extraer races de cualquier ndice (salvo races de ndice par de nmerosnegativos) y el resultado sigue siendo un nmero real. Eso no ocurra con los nmeros racionales.

LA RECTA REALEl conjunto de los nmeros reales tambin puede representarse sobre una recta. A cada nmero

real le corresponde un nico punto de la recta, y cada punto de la recta representa un nico

nmero real. A esta recta la llamamos recta real. (Ver figura 1)

Figura 1. Recta de los nmeros reales o Recta Real.

REPRESENTACIN DE NMEROS SOBRE LA RECTA REAL

REALES


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Todo nmero real puede situarse sobre la recta real, dependiendo de cmo sea el nmero:

a. Representacin de naturales, enteros o decimales exactos

Ejemplo: 2 y 3,47

b. Representacin de Decimal peridico:Pueden expresarse en forma de fraccin y representar la fraccin (Se divide cada unidaden tantas partes como tenga en denominador y se toman tantas como tenga el numerador.)

Ejemplo: 0,8333333. = 5/65/6

c. Representacin de irracionalesSi un nmero irracional es radical cuadrtico o una combinacin de ellos, se puederepresentar construyendo tringulos rectngulos (Se utiliza el teorema de Pitgoras donde lahipotenusa es lo que queremos dibujar.)

OPERACIONES CON REALES

Orden de OperacionesVeamos el orden jerrquico de las operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritmticas:1. Resolver todo lo que est dentro de smbolos de agrupacin.2. Evaluar las expresiones exponenciales.3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Por Ejemplo: 4 + 5 7El tpico error es comenzar el ejercicio efectuando la suma de 4 y 5, pero como ya sabemos que


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existe un orden establecido, lo correcto es hacer primero el producto 5 7, o sea

4 + 5 7 = 4 + 35 = 39

Otro ejemplo: 57 5(8 - 6)3 .Resolvamos en el orden adecuado:

57 5 23 = 57 5 8 = 57 40 = 17

SUMA Y RESTAAqu proponemos una forma sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muyfciles de recordar

Si se tienen dos nmeros de signos iguales, entonces se suman y se deja el mismosigno.

Ejemplo: 3+5 = 8 esta es una suma comn y corriente entre naturales.Pero y si fuera... 3 5 = 8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vezes de signo negativo porque ambos nmeros son negativos y en realidad estamos avanzandohacia la izquierda sobre la recta real.

Si se tienen dos nmeros de signos diferentes, entonces se restan (entendido como restaentre nmeros naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitudmayor.

Ejemplo: 5 3 = 2

5 + 3 = 2En el primer ejemplo es una resta comn y corriente entre nmero naturales. En el segundo casotenemos dos enteros5 y 3. La regla dice que se restan como se hara entre nmeros naturales53 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo2.

MULTIPLICACIN Y DIVISINPara estas operaciones se debe tener en cuenta la siguiente tabla:

Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo

Ejemplo:

5 3 15 15 5 3

5 3 15 15 5 3

5 3 15 15 5 3

5 3 15 15 5 3

OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOSLa definicin de fraccionario y toda la parte terica te la dejamos a ti. Mira cmo se opera entreellos

SUMA Y RESTA


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Este tema lo podemos clasificar en dos:

Suma y resta de homogneos:Son las fracciones con igual denominador, son las ms fciles de sumar, simplemente se sumanlos reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:

Ejemplo:

3 7 5 11 3 7 5 11 10 16

2 2 2 2 2 2

63

2

Suma y resta de heterogneos:Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogneas es encontrar el comndenominador, el cual es el mnimo comn mltiplo (m.c.m) de todos los denominadores presentes:Ejemplo:

2 5 4 32 4 10 123 5 15 15

2

15

En el ejemplo anterior se obtuvo el comn denominador multiplicando los denominadores. Comocomn denominador tambin hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el mltiplomnimo, en este caso 15.

Adems observa que la operacin es muy sencilla:

Se encuentra el mnimo comn mltiplo y se coloca como denominador comn

Se divide el comn denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica

por el numerador15 3 = 5 luego (5) (2) = 10

Se repite la operacin para cada uno de las fracciones

Se suman los resultados obtenidos y la fraccin obtenida se simplifica(si es posible) y listo

Veamos otro ejemplo:5 3 7 1 5 2 3 4 7 5 6 28 27

8 4 2 8 8 8

Esta vez no se multiplicaron entre s los denominadores porque no es necesario, 8 es mltiplocomn tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que si t escogieras por ejemplo16, 24, 32 o cualquier otro mltiplo ms grande estara mal. No! Slo sera un mltiploinnecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores se creceranigualmente. Haz la prueba!

Algunas veces obtener el comn denominador mentalmente no es fcil, entonces debes recurrir ala descomposicin en factores primos para hallar el mnimo comn mltiplo.

Ejemplo:

Sumar:3 1 1

16 12 18


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Cul debe ser el comn denominador?

Descomponer los denominadores en sus factores primos12 = 223 16 =2222 18 = 233

Para hallar el mnimo comn mltiplo se escogen todos los nmeros que haya y los

multiplica con su mayor exponente

En el ejemplo:

24 3

2= 222233 = 144

Por lo tanto el comn denominador ser 144

3 1 1 3 9 1 12 1 8 27 12 8 23

16 12 18 144 8 144

MULTIPLICACIN DE FRACCIONARIOSPara este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicacin de signos y enlo posible saber simplificar fraccionarios.

La multiplicacin se realiza numerador con numerador y denominador con denominadorAs:

a c a c

b d b d

Ejemplo 1:

3 25 3 3 25 3 1

15 9 5 5 9 5 1

Qu sucedi? Sucedi que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 deldenominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Adems laexpresin qued negativa por la multiplicacin de signos.

Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre s, al igual que losdenominadores y luego simplificar, pero eso sera tonto porque de todos modos toca simplificar yterminara dando 1

3 25 3 2251

5 9 5 225

Ejemplo 2:

3 15 2 3 15 2 1 1 2 2

5 27 7 5 27 7 1 3 7 21

DIVISIN DE FRACCIONARIOS


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a c

b d

Se puede realizar de dos formas:

a. En cruz:a c a d

b d b c

b. Extremos / Medios:

a

a dbc b c

d

Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son tiles en uno u otromomento. Igualmente que en multiplicacin de fracciones, cuando la divisin ya est expresada

como una multiplicacin puedes emplear la simplificacin para facilitar tu labor.

Ejemplo:

9 27 9 5 1

25 5 25 27 15

POTENCIACION

Definicin

Sea aun nmero real, entonces el producto de apor s mismo nveces se escribe:

a.a.a.a..a = an donde aes la base y nes el exponente.

PROPIEDADES

1. 0)(a10 a

2. aa 1

3. mnmn aaa

4. mnmn aa 5.

nnnncbaabc )(

6. n

nnn

n

nn

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

7.mn

m

n

aa

a

8.n

n

aa

1

9. 00 naentoncesparesnyaiS


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10. 00 naentoncesimparesnyaiS

Ejemplos:

RADICACION

Definicin:Se llama raz n-sima de un nmero a, y se escribe n a , a un nmero bque elevado

a nd a.

nn a b si b a

Donde:

se llama radical a radicando nndice de la raz

Ejemplos:

10244porque,41024

813porque,381

27)3(porque,327

82porque,28

19614porque,14196

55

33

33

33

2

Existencia de Radicales:

1. Si aes positivo, entonces n a existe, cualquiera que sea n.

Ejemplos: 4 55, 7, 0,85 existen

2. Si aes negativo, slo existen sus races de ndice impar.

Ejemplos:

3

6

8 existe

0,85 no existe

3. Salvo que asea una potencia n-sima de un nmero entero o fraccionario, n a es un nmero

irracional.

Slo podremos obtener su expresin decimal aproximada.

Forma Exponencial de los Radicales

La raz n-sima de un nmero puede ponerse en forma de potencia:

1/m

nn mn na a a a

Esta nomenclatura es coherente con la definicin.


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aaaaa nnnnnn 1)/1(/1 )()(

Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitir

expresarlos y operar cmodamente con ellos.

1 2 14 25 5 4 2

2 2 a a a

Propiedades de los Radicales:Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos

conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades

de las potencias. Vemoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo

sus aplicaciones.

1.1/np n p p np na a a a Ejemplos:

2

2

44

66 3

9 3 3

4 2 2

Esta propiedad tiene una importante aplicacin, la de simplificar radicales tal y como se ha

visto en los ejemplos anteriores;

2.n n na b a b Ejemplos:

2 2

5 5 5 5

3 3

32 32 2

x y x y

x x x

3.n

n

n

b

a

b

a Ejemplos:

288

33

3 5

3

3 5

3

5

33

xxx

xx

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de

radicales bajo una sola raz, ejemplo:

66 3 2 3 43

6 2 66

36 6 3

3 4 3 4 3 22 3 18

2 324 2 3

4. p n pn a a Ejemplo: 25)5()5( 44

5.mnnm a a Ejemplos:

8

63

55

33


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Radicales Semejantes:Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo ndice y

radicando. Los radicales 3 y 35 son semejantes. Tienen el mismo ndice, 2, y el mismo

radicando, 3. Adems, 8 y 2 son semejantes, esto se comprueba sacando factores delradical.

Operaciones con Radicales1. La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo

coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados orestados, esto es,

( )n n nb a c a b c a

Ejemplos: 3 5 6 5 (3 6) 5 9 5

3 2 2 4448 18 2500 2 2 3 2 5 2 2 3 2 5 2 10 2

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. Ejemplo: 3752

2. El producto de radicales, con el mismo ndice, es igual a otro radical cuyo coeficiente yradicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos delos factores, as tenemos:

n n nb a d c b d a c

Ejemplo:2

156

2

3253

Si los radicales son de distinto ndice, primero hay que reducirlos a ndice comn

Ejemplo: 3 263 62 5 2 5 200

3. El cociente de dos radicales con el mismo ndice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente yradicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los

radicales dividendo y divisor, quedando: nn

n

c

a

d

b

cd

ab

Ejemplo:8 3

8 3 7 57 5

NOTA: En el caso que los radicales sean de diferente ndice, se procede de la misma manera

que en la multiplicacin (primero se reducen a ndice comn)

4. La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando estn elevados a

dicha potencia, nm

nm mb a b a

Ejemplo: 3 3 3 331 1 1

3 3 3 3 32 2 2 2(2 5) (2 5 ) 2 (5 ) 2 5 2 (5 ) 2 5 8 125


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Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de ndice 2, se obtiene el

radicando:

aaa 22

)( .

Ejemplo: 2

2

1 22 25 5 5 5

Racionalizacin de denominadores: A veces conviene suprimir las races deldenominador. Para ello hay que multiplicarlo por la expresin adecuada. Naturalmente, elnumerador tambin se multiplicar por esa misma expresin.Ejemplo:

2 2

3 3

3 33 3

1 1 1 5 5

525 55 5

2

2

1 1 5 3 5 3 5 3 5 3

25 3 225 3 5 3 5 3 5 3

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