1  

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf h kl b df h kl

 

 

 

Apuntes de clases del Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski 

 

Matemáticas, Estadística y Economía Preparatorias de Doctorado 

Abril/2010  

  

 

  

2

 

Cálculo de Una Variable: Fundamentos 

Un objetivo central de la teoría económica es expresar y entender las relaciones entre variables económicas. Estas relaciones son descritas matemáticamente mediante las funciones. Si estamos interesados en el efecto de una variable económica (como por ejemplo el gasto público) sobre otra variable económica (como el producto interno bruto), debemos estudiar las funciones de una sola variable – un lugar natural para empezar nuestro análisis matemático. 

La información fundamental acerca de estas relaciones entre variables económicas tiene relación a cómo el cambio de una variable afecta a la otra. ¿Cómo el cambio en la oferta de dinero afecta a la tasa de interés? ¿El incremento de un millón de dólares en el gasto del gobierno incrementará o disminuirá la producción total? ¿En cuánto? Cuando tales relaciones se expresan en términos de funciones lineales, el efecto de un cambio en una de las variables sobre la otra es capturada por “la pendiente” de la función. Para funciones más generales no lineales, el efecto de este cambio es capturado por “la derivada” de la función. La derivada es simplemente la generalización de la pendiente a funciones no lineales. En este capítulo, definiremos la derivada de la función de una variable y aprenderemos a cómo computarla. 

Funciones en  1R  

Los fundamentos básicos de las matemáticas son los números y las funciones. En el trabajo con números, nos resultará conveniente representarlos geométricamente como puntos sobre una línea recta. La línea de números es una línea que se extiende infinitamente lejos a la derecha y a la izquierda de un punto llamado el origen. El origen está identificado con el número 0. Los puntos a la derecha representan números positivos y los puntos a la izquierda representan números negativos. Una unidad básica de longitud es elegida, y sucesivos intervalos de esta longitud son marcados a partir del origen. Aquellos que están a la derecha son numerados 

como  1, 2, 3,+ + + etc; aquellos a la izquierda son numerados como  1, 2, 3,− − − etc. Uno puede 

representar cualquier número positivo real sobre la línea mediante la ubicación del punto a la derecha del origen cuya distancia desde el origen en las unidades elegidas es ese número. Los números negativos son identificados de la misma manera pero moviéndonos a la izquierda. Consecuentemente, cualquier número real está representado por exactamente un punto sobre la línea, y cada punto sobre la línea representa uno y sólo un número. Véase la Figura 

2.1. Escribimos  1R para el conjunto de todos los números reales. 

Insertar Figura 2.1. 

 

Una función es simplemente una regla que asigna un número en  1R a cada número en  1R . Por ejemplo, hay una función que asigna a cualquier número el número que es una unidad más 

grande. Escribimos esta función como  ( ) 1f x x= + . Al número  2 , le asigna el número 3  y al 

número  3 2− le asigna el número  1 2− .  Escribimos estas asignaciones como: 

  

3

  ( ) ( )2 3 y 3 2 1 2f f= − = −  

La función que asigna a cualquier número su doble puede ser escrita como  ( ) 2 .g x x=  

Escribimos  ( )4 8g =  y  ( )3 6g − =  para indicar que esta función asigna 8 a 4 y  6− a  3− , 

respectivamente. 

 

A menudo, usamos una variable, digamos  x , como la variable insumo, y otra variable, digamos 

y , como el producto de la función. En esta notación, podriamos escribir las dos funciones  f y 

g como: 

  1 y 2 ,y x y x= + =  

respectivamente. La variable insumo  x es llamada la variable independiente, o en las aplicaciones económicas, la variable exógena. La variable  y es llamada la variable 

dependiente, o en las aplicaciones económicas, la variable endógena. 

Polinomios 

Hablando analíticamente, la más simple de las funciones son los monomios, aquellas funciones 

que pueden ser escritas como  ( ) kf x ax= para algún número  a y para algún entero positivo 

;k  por ejemplo, 

  ( ) ( ) ( )4 7 21 2 33 , , y 10f x x f x x f x x= = − = −   (1.1) 

El exponente  k  que es un entero positivo es llamado el grado del monomio; el número  a es llamado un coeficiente. Una función que está formada mediante la adición de monomios es llamado un polinomio. Por ejemplo, si añadimos los tres monomios de (1.1), obtenemos el siguiente polinomio 

  ( ) 7 4 23 10 ,h x x x x= − + −  

donde nosotros escribimos los monomios del polinomio en orden de un grado decreciente. Para cualquier polinomio, el grado más alto de cualquier monomio que aparece en el es 

llamado el grado del polinomio. Por ejemplo, el grado del polinomio de arriba  h es 7. 

Hay tipos de funciones más complejas: las funciones racionales, las que son ratios de polinomios, como 

 2 5 2

3 2

1 7 1 1, , , y 1 5 3 2 1

x x x x xy y y yx x x x+ + − −

= = = =− + + +

  (1.2) 

funciones exponenciales, en las que la variable  x aparece como un exponente, como por 

ejemplo,  10xy = ; funciones trigonométricas, como  siny x= y  cos ;y x=  y así 

sucesivamente. 

  

4

Gráficos 

Usualmente, la información esencial de una función está contenida en su gráfico. El gráfico de una función de una variable consiste de todos los puntos en el plano Cartesiano cuyas 

coordenadas  ( ),x y satisfacen la ecuación  ( ).y f x=  En la Figura 2.2 de abajo, se incluyen los 

gráficos de las cinco funciones mencionadas más arriba. 

 

Funciones crecientes y decrecientes 

Las propiedades geométricas básicas de una función es saber si crecen o decrecen y la ubicación de su máximo y mínimo global. Una función es creciente si su gráfico se mueve hacia 

arriba desde la izquierda hacia la derecha. Más precisamente, una función  f es creciente si 

( ) ( )1 2 1 2 implica que x x f x f x> >  

Las funciones en los dos primeros gráficos de la Figura 2.2 son funciones crecientes. Una función es decreciente si su gráfico se mueve desde la izquierda hacia la derecha, esto es, si  

  ( ) ( )1 2 1 2 implica que x x f x f x> <  

La cuarta función en la Figura 2.2,  ( ) 72f x x= − es una función decreciente. 

 

Los puntos en los cuales la función cambia desde creciente a decreciente y viceversa son 

importantes. Si una función  f cambia desde creciente a decreciente en  0x , el gráfico de  f se 

mueve hacia arriba alrededor del punto  ( )( )0 0,x f x , como en la Figura 2.3. Esto implica que 

el gráfico de  f se ubica arriba del punto  ( )( )0 0,x f x . Tal punto  ( )( )0 0,x f x es llamado un 

mínimo relativo o local de la función  .f  Si el gráfico de una función  f nunca se ubica debajo 

de  ( )( )0 0,x f x , esto es, si  ( ) ( )0f x f x≥  para todo  ,x entonces  ( )( )0 0,x f x es llamado un 

mínimo global o absoluto de  .f  El punto  ( )0,0 es un mínimo global  de  ( ) 41 3f x x= en la 

Figura 2.2. 

 

Similarmente, si la función  g cambia de creciente a decreciente en  0z , el gráfico de  g se 

mueve hacia abajo en  ( )( )0 0,z g z como en la Figura 2.4, y  ( )( )0 0,z g z es llamado un máximo 

relativo o local de  g ; analíticamente,  ( ) ( )0g x g z≤  para todo  x cercano a  0.z  Si 

( ) ( )0g x g z≤  para todo  ;x entonces,  ( )( )0 0,z g z es un máximo global o absoluto de  .g  La 

función  23 10f x= − en la Figura 2.2. tiene un máximo local y uno global en  ( )0,0 .  

 

  

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Dominio 

Algunas funciones están definidas sólo en subconjuntos apropiados de  1 . Dada una función 

,f el conjunto de número  x para los cuales  ( )f x está definida es llamada el dominio de la 

función  .f Para cada una de las cinco funciones de la Figura 2.2, el dominio es todo el conjunto 

de  1 . Sin embargo, dado que la división por cero está indefinida, la función racional 

( ) 1f xx

= no está definida en  0.x =  Dado que está definida en cualquier otra parte, su 

dominio es  { }1 0 .−  Hay dos razones por las cuales el dominio de una función puede estar 

restringido. La más común de las razones matemáticas para restringir el dominio es que uno no puede dividir por cero y uno no puede tomar la raíz cuadrada (o el logaritmo) de un número 

negativo. Por ejemplo, el dominio de la función  ( ) ( )1 2

11

h xx

=−

 es todo  x  excepto { }1,1− , y 

el dominio de la función  ( )2 7h x x= −  es todo  7.x ≥  

El dominio de una función puede también estar restringida por la aplicación en la cual la 

función surge. Por ejemplo, si  ( )C x es el costo de producir  x autos,  x es naturalmente un 

entero positivo. El dominio de C será el conjunto de los enteros positivos. Si redefinimos la 

función de costo de manera que  ( )F x es el costo de producir  x toneladas de autos, el 

dominio de  F es naturalmente el conjunto de los números reales no negativos: 

  { }1 : 0 .x x+ ≡ ∈ ≥  

La mitad de la línea de los reales no negativa, es un dominio común de las funciones que surgen en las aplicaciones. 

Notación. Si el dominio de la función real valorada  ( )y f x= es el conjunto  1D ⊂ , 

escribimos que 

  1: .f D →  

Notación de intervalos 

Hablando de subconjuntos de la línea, revisemos la notación estándar para los intervalos en 1 . Dados dos números  a y b , el conjunto de todos los números entre  a y b es llamado un 

intervalo. Si los puntos finales están excluidos, el intervalo es llamado un intervalo abierto y se escribe 

  ( ) { }1, : .a b x a x b= ∈ < <  

Si los dos puntos finales están incluidos en el intervalo, el intervalo es llamado intervalo cerrado y escribimos  

  

6

  [ ] { }1, : .a b x a x b= ∈ ≤ ≤  

Otras posibilidades: 

 

( ][ )( ) { }[ ) { }( ) { }( ] { }( )

1

1

1

1

1

,

,

, :

, :

, :

, :

,

a b

a b

a x x a

a x x a

a x x a

a x x a

∞ = ∈ >

∞ = ∈ ≥

−∞ = ∈ <

−∞ = ∈ ≤

−∞ ∞ =

 

Ejercicios. 

2.1. Para cada una de las siguientes funciones, dibuje los gráficos. Luego responda las siguientes preguntas: 

a) ¿Dónde la función está creciendo y donde está decreciendo? 

b) Encuentre el mínimo y el máximo global de estas funciones: 

i)  3 2y x= −  

ii)  2y x= −  

iii)  2 1y x= +  

iv)  3y x x= +  

v)  3y x x= −  

vi)  y x=  

2.2. En los modelos económicos es natural asumir que las funciones de costos son funciones crecientes del producto, ya que más producto requiere más insumo, lo cual debe ser pagado. Nombre dos tipos de funciones que surgen en los modelos económicos que son naturalmente funciones crecientes. Nombre funciones decrecientes. Nombre una que probablemente cambie de creciente a decreciente. 

2.3. El grado de una función racional es el grado de su polinomio numerador menos el grado de su polinomio denominador. Cualquier entero, positivo, negativo o cero, puede ser el grado de una función racional. ¿Cuál es el grado de cada una de las funciones en (2)?. 

2.4. Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones: 

  

7

a) 1

1y

x=

− 

b) 1

1y

x=

− 

c) 2

11

yx

=+

 

d)  2 1xy

x=

− 

e)  21y x= −  

f) 2

11 1

yx

=− −

 

2.5 ¿Cuál es el dominio de cada una de las cuatro funciones racionales en (2)? 

2.6 ¿Cuál es el dominio de las funciones económicas mencionadas en el Ejercicio 2.2? 

 

Funciones Lineales 

La más simple de las funciones posibles son los polinomios de grado 0: la función constante 

( )f x b= . Tales funciones asignan el mismo número b a cada número real  x ; ellas son 

demasiado simples para ser interesantes. La más simple de las funciones interesantes son los polinomios de grado uno: funciones de la forma 

  ( )f x mx b= +  

Tales funciones son llamadas funciones lineales porque precisamente son las funciones cuyos cuyos gráficos son líneas rectas, como será demostrado. 

 

La pendiente de una Línea en el Plano